格林定理镜像法
数学物理方法 12 格林函数法
（14.2.4）
(r r0 ) 代表三维空间变量的 函数，在直角坐标系中其形式为
(r r0 ) ( x x0 ) ( y y0 ) ( z z0 )
（14.2.4）式中 函数前取负号是为了以后构建格林函数方便 格林函数的物理意义【2】：在物体内部（T 内） r0 处放置一个单位点电荷，而该物体的界面保持电位为零, 那么 该点电荷在物体内产生的电势分布，就是定解问题(14.2.4)的 解――格林函数．由此可以进一步理解通常人们为什么称格林 函数为点源函数．
（14.3.8）
上式正是我们所熟知的静电场的电位表达式
二、二维轴对称情形
用单位长的圆柱体来代替球．积分在单位长的圆柱体内进行，即
G(r ,0)dV (r )dV
T T
因为
(r )dV 1
T
G(r ,0)dV G(r,0)dV
令积分常数为0，得到
G(r ,0)
1 1 G(r ,0) ln c 2π r
1 1 ln 2π r
因此二维轴对称情形的格林函数为
G(r , r0 ) 1 1 ln 2π | r r0 |
（14.3.9）
将（14.3.9）代入式（14.3.1）得到二维无界区域的解为
u (r ) 1 1 f (r0 )ln dS0 S0 2π | r r0 |
点场的影响的总和．两项积分中的格林函数相同．这说明 泊松方程的格林函数是点源在一定的边界条件下所产生的 场． 对于拉普拉斯方程 第一边值问题的解为 第三边值问题的解为
f (r0 ) 0
u (r ) (r0 )
G (r , r0 ) ]dS0 n 0
高等电磁场理论-格林函数
3. 除此之外，标量格林函数的一个重要的性质是对源 点和场点的偶对称性，即
G r',r Gr,r'
设有标量格林函数 G r',r1 和 G r',r2 ，它们是不同源点 r1 和 r2 在场点 r' 所产生的标量场，在同一体积 V
内，它们必满足以下方程
（5-2）
在直角坐标系中
r r' x x' y y' z z'
(5-3a)
在圆柱坐标系中
r
r'
1
'
'
'
z
z'
在圆球坐标系中
r
r'
r'2
1
sin
'
r
r'
'
'
(5-3b) (5-3c)
三维 函数 r r' 可以展开为傅里叶积分
r r'
1
2 3
e jk•
合边界 S 上所满足的边界条件，
p r 为已知函数，当 0, 0 时边界上的标量场已知，为第一类边界条件，
对应的问题称为第一类边值问题；
当 0, 0 时边界上的标量场法向导数已知，为第二类边界条件，对应的问题
称为第二类边值问题；
当 0, 0 时通常是在一部分边界上标量场已知而在其余的边界上标量场的法
本征函数归一化，即使本征函数满足
n
r
* m
r dV
mn
V
式中 mn 是克罗内克尔 函数。
mn
1, 0
mn mn
（5-31）
求出本征值与本征函数后，可将标量格林函数用本征函数 n (r) 展开， 即
第9讲 镜像法
P
r
a
d'
R' q' d
R
q
——导体球镜像电荷
第9讲 镜像法
三、导体球面的镜像
1、点电荷位于接地导体球面外
接地导体球边界静电问题 球外的电位函数为
P
r
a
d'
R' q' d
R
q
a q 1 2 2 4π r d 2rd cos d r 2 (a 2 d )2 2r (a 2 d ) cos
镜像法五无限大介质分界平面的镜像1点电荷与无限大电介质分界平面的镜像介质1的镜像电荷镜像法五无限大介质分界平面的镜像1点电荷与无限大电介质分界平面的镜像点电荷对电介质平面分界面的镜像电荷对位于无限大平表面介质分界面附近且平行于分界面的无限长线电荷单位长度带其镜像电荷为镜像法五无限大介质分界平面的镜像2线电流与无限大磁介质分界平面的镜像线电流与磁介质分界平面磁介质1的镜像线电流空间中的磁场由线电流和磁化电流共同产生
点电荷在导体面上的感应电荷电量与镜像电荷电量相等。
第9讲 镜像法
二、平面导体界面的镜像
1、点电荷对无限大接地导体平面的镜像
思考
• 无限大导体平板不接地，有何影响？ • 有限大接地导体平板问题，可否用镜像法求解？
q q
h
h
第9讲 镜像法
二、平面导体界面的镜像
2、无限长线电荷对无限大接地导体平面的镜像
q′
非均匀感应电荷产生的电位很难求解，可以
用等效电荷产生的电位替代。
第9讲 镜像法 问题的提出 几个实例：
接地导体球附近点电荷产生的电位
等效电荷
q′
q
用等效电荷代替非 均匀感应电荷
静电场求解的三种方法研究
静电场是静止的电荷所产生的场， 它具有以下特点：
ʉ 0） = 0 , ∇∙D =ρ ； （3） 不考虑永久磁体 （M 基本方程： ∇ˑE 2 - E 1) = 0 ， 2 - D 1) = σ ； （4） 边值关系： n n (D ˑ (E ∙ 2 - E 1) = 对于均匀介质而言， 介质分界面上的束缚电荷用： n (E ∙ σP + σf ， ε0
3.1.1 基本原理
导体板上所带电荷决定的[2]。而这些问题的特点是： 空间中没有自由电荷分布， 而自由电荷只出现在一 些导体的表面上， 因此， 如果选择这些导体表面作为区域 V 的边界， 则在 V 内部自由电荷密度 ρ = 0 ， 因 而泊松方程 ∇2 ϕ = ∇2 ϕ = 0 ρ 化简为比较简单的拉普拉斯方程[3]： ε
郭福强 张保花 王俊珺 静电场求解的三种方法研究
107
（1） 均匀各向同性线性介质[1]： （2） 静电平衡时的导体：
= σE = 0 导体内部： J = D =P ; ρP = ρ = 0 ； σʂ0⇒E
外部表面： E = E n = σ , E t = 0 电荷分布在表面上， 电场处处垂直于导体表面。 ε 3 3.1 求解静电场问题的三种方法 分离变量法 在许多实际问题中， 静电场是有带电导体决定的。例如， 电容器内部的电场是由作为电极的两个
分离变量法的优点
分离变量法的优点是求解静电场时适用于考虑求解区域内没有自由电荷分布的区域， 只有在界面
形状比较简单的几何曲面时， 这类问题的解才能以解析解形式给出， 而且视不同区域的对称性和边界 条件情况而定[4]； 分离变量法求解静电场解题步骤思路比较清晰， 学生在学习的过程中容易掌握； 在利 用边值关系和边界条件求解待定系数时， 边界条件不多， 学生很容易结合以上条件求解出特解。 4 4.1 镜像法 基本原理 在一些特殊情形下， 如区域内只有一个或几个点电荷， 区域边界是导体或介质界面， 这类问题通常 采用镜像法求解。在求解过程中提前设想存在某一个假想的点电荷来代替导体或介质表面的感应电 荷或极化电荷， 注意在这种替换下不能改变空间中的电荷分布， 关键是在于能否满足边界条件。 4.2 基本步骤 （1） :判断是否符合镜像法求解的条件； （2） :是否存在假想的电荷， 初步估计它所在的位置；
镜像电源求格林函数
静电源像法求解格林函数摘要利用静电源象法求出不同区域的格林函数,是求解这些区域上的拉普拉斯方程与泊松方程边界间题的关键。
同时,静电源象法也是物理专业学生在电动力学等专业课的学习中应熟练掌握的一个有用工具。
针对这个间题文章归纳出利用静电源像法求格林函数的一般基本思路。
关键词格林函数；静电源像法；狄利克雷边值静电源像法理论依据静电源像法求区域的格林函数归结为求函数g（,),也就是求感应电荷产生的点位。
当区域的边界具有特殊的对称性时，就可以用类似于反射波的方法求的格林函数。
在区域外也有一个点电荷，他对自由空间的电场产生一个电位，这两个点电荷所产生的电位在边界上恰好抵消，这个点电荷在内的电位就等于感应电荷产生的电位。
现在利用静电源法求秋的格林函数，K是以O为圆心，R为半径的球面。
在点放置一单位电荷，在半射线上截线段使=，（1.1）其中,,称点为关于球面K的反演点。
设P是球面K 上的任意给定一点，考察三角形,他们在点O有公共角，而夹此角的二相应边按（1.1）式是成比例的，因此这两三角形是相似的。
有相似性得到，对球面K上任意点P必有。
在点处有一个点电荷，根据上式，它所产生的电位恰好与处单位电荷所产生的电位抵消，必须是在处的点电的电量为-,因此,这样一来，以K为球面的球上的格林函数就是：, (1.2) 现在用（1.2）求方程满足边界条件（1.3）的狄利克雷问题的解。
应用，其中=,是和OM的夹角，利用（1.1）式，根据（1.2）式就得到格林函数：, 易知在球面K上，-=因此，得到在球上的狄利克雷问题的接的表达式为，（1.4）球坐标形式如下其中（）是点的坐标，是球面K上P的坐标，。
静电源像法求解半空间的狄利克雷问题要求一个半空间z>0上的调和函数，它在平面z=0上取函数f(x,y):.点的对称点是。
由此，有如下的格林函数：对于半空间z>0来讲，平面z=0的法线方向是与z轴相反的方向，即。
此外，对于半空间的情形，只要对调和函数()加上在无穷远处的条件：（），再由公式，可得到半空间上的调和方程的狄利克雷问题的解的表达式为：=静电源像法应用举例无限大导体平面前的点电荷用镜像法解题，设在无限大接地导体平面（z=0）附近有一点电荷Q与平面距离为z=h导体平面是等位面。
求解分层介质结构空域格林函数的固定实镜像法(1)
=
e 2jε ikz i
- j k z ( d i - h)
i
1
- j kz | z |
i
+
k z iB h + k i A h kρ
- j k z ( d i - h)
i
2
e
2
e
2
e
j kz z
i
+
k z i Ch - k i D h kρ
( d + h) i
2
e
2
e
2
e - j kzi z
h)
( 10 )
( 10 ) 两个递推关系式即可得到位于第 i 层内的源在第 j 层内产生的场 。 根据 ( 9) 、
2 固定实镜像法求闭式空域格林函数
空域格林函数是谱域格林函数的 Hankel 变换
G
A , qe
=
1 π 4
∫d k k H
S IP
ρρ 0
( 2)
( kρ ρ ) GA , qe ( kρ)
( 3) ( 4) ( 5) ( 6) ( 7)
=e =e =e
- j k z ( d i - h)
i
R TM , TE e
- j kz h
i
i, i +1
- j k z ( d i - h)
i
- R TM , TEe
- j k z ( 2 d i - h)
i i
i,i - 1
- j k z ( d i + h)
i
TM , TE
Ce h De h
- j kz h
i
R TE , TM e
i,i - 1
第二章 格林定理 镜像法
S
( )dS n n
2 / / 2
/
/ ( )dS n n
/
V
( )d
S
right
i
Si
i / / i ( i i )dS n n i / i 1 / ( )dS i ( ) dS ( i qi/ i / qi ) Si n n i
2.10.2 球面镜像法
例4-2 如图4-3(a)所示，一个半径为a的接地导体球，一点电
荷q位于距球心d处，求球外任一点的电位。
图4-3 球面镜像 (a) 球面镜像原问题；(b) 等效问题
解：我们先试探用一个镜像电荷q′等效球面上的感应面电荷 在球外产生的电位和电场。从对称性考虑，镜像电荷q′应置
2.9.2 格林互易定理
互易定理是描述不同场及其场源成对称关系的公式，格林定理是不同 函数间成对称关系的互易定理的数学表述。两个定理的区别在于：格林定 理不含具体的物理意义，而互易定理可以看为格林定理的一个直接推论和 应用
它是描述在带电体系中，空间各处的电荷分布与在其它各电荷分布 处所产生的电位间存在互易关系。 现测得各带电导体的电位为 i 体电荷元处的电位为
q q' q' ' ,
q q'
2
q"
1
2 1 q' q 2 1
21 q' ' q 2 1
和
H1 H 2
在有界区域内满足给定源的场方程、初始条件 及不同边界条件的场解是唯一的
2.10
2.10.1 平面镜像法
镜像法
一、电象法的概念和适用条件1.求解泊松方程的难度一般静电问题可以通过求解泊松方程或拉普拉斯方程得到电场。
但是，在许多情况下非常困难。
例如，对于介质中、导体外存在点电荷的情况虽然可以采用叠加法求解，但是求解比较困难。
求解的困难主要是介质分界面或导体表面上的电荷一般非均匀分布的，造成电场缺乏对称性。
2. 以唯一性定理为依据在唯一性定理保证下，采用试探解，只要保证解满足泊松方程及边界条件即是正确解。
特别是对于只有几个自由点电荷时，可以将导体面上感应电荷分布等效地看作一个或几个点电荷来给出尝试解。
3.电象法概念、适用情况电象法：用假想点电荷来等效地代替导体边界面上的面电荷分布，然后用空间点电荷和等效点电荷迭加给出空间电势分布适用情况：a)所求区域有少许几个点电荷，它产生的感应电荷一般可以用假想点电荷代替。
b)导体边界面形状比较规则，具有一定对称性。
c) 给定边界条件注意：a）做替代时，所研究空间的泊松方程不能被改变（即自由点电荷位置、Q 大小不能变）。
所以假想电荷必须放在所求区域之外。
b）不能改变原有边界条件（实际是通过边界条件来确定假想电荷的大小和位置）。
c）一旦用了假想（等效）电荷，不再考虑原来的电荷分布。
d）坐标系选择仍然根据边界形状来定。
4.格林等效层定理（1）等势面包围的体积V内的电荷在V外产生的电势与在此等势面上置一导体面，并将V内电荷都搬到导体上所产生的电势完全一样。
（2）相反，带电导体所产生的电势也可以用导体面内一定等效电荷分布来代替，只要它产生与导体表面完全重合的等势面。
四、应用举例1.接地无限大平面导体板附近有一点电荷，求空间电势。
从物理问题的对称性和边界条件考虑，假想电荷应在左半空间 z 轴上。
φ=解：根据唯一性定理左半空间右半空间，Q 在（0，0，a ）点， 电势满足泊松方程。
边界上00z φ==Q '设电量为 a '，位置为（0，0，）14Q Q φπε'=+zφ='==由边界条件确定Q'a'φ和、唯一解是因为象电荷在左半空间，所以舍去正号解,Q Q a a''=-=±4Qφπε=讨论：（a）导体面上感应电荷分布02223/22()zQaz x y aφσεπ=∂=-=-∂++223/222()Qa rdrQ dS Q Qr aπσπ∞'''==-=-=+⎰⎰（b）电荷Q 产生的电场的电力线全部终止在导体面上它与无导体时，两个等量异号电荷产生的电场在右半空间完全相同。
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H ? H1 ? H2
? ? E ? ?? ?H
?t
? ?D ? 0
? ? H ? ?E ? ? ?E
?t
? ?B ? 0
11
? ?(E ? H ) ? H ?? ? E ? E ?? ? H
?? ???[ ? (E ? H ) ?d ? ? ?
V
J
?E
?
? ?t
(
1 2
?E
2
?
1 2
? H 2 )]d?
2.10.1 唯一性定理
8
?
? ? 设在区域V内， 1 和 2 满足泊松方程，即:
?
2? 1
?
?
? (r ) ?
?
2?
2
?
?
? (r ) ?
? ? 在V的边界S上 1 和 2 满足同样的边界条件， 即:
? 1 |S ? f (r )
? 2 |S ? f (r )
9
令φ =φ1-φ2，则在V内，▽2φ=0，在边界面 S上，φ|S=0。在格 林第一恒等式中，令Ψ=φ，则:
r ur
r uur
n ? E |边界 ? 0 n ? H |边界 ? 0
???V
(
1 2
?E
2
?
1 2
?H 2 )]d?
?
0
式中的被积函数总为正值，要使上式成立，必有
E?0
H ? 0和
E1 ? E2
H1 ? H2
在有界区域内满足给定源的场方程、初始条件
13
及不同边界条件的场解是唯一的
2.10 镜像法
V
i?1
qi/? i ?
?? / d?
V
这是格林互易定理的普遍形式
证明：
??V? (??
2?
?
??
2? )d?
?
??S
(???Biblioteka ?n????
)dS ?n
现令： ? ? ?
? ?? /
??? ?? (? ? 2? / ? ? /? 2? )d? ?
(? ?? / ? ? / ?? )dS
V
S
?n
?n 4
left
?
1
?
??V?
(?
/?
?
?
? / )d?
5
??? ? left
?
1
?
(? / ? ? ? ? / )d?
V
? Right ?
i
1
?
(?
i qi/
?
?
i / qi )
n
n
? ??? ? ??? qi?
/ i
?
i?1
V ? / ?d? ? i?1 qi/? i ?
?? / d?
V
证毕
（1）当整个空间除导体外，没有其它体电荷密度分布
它是描述在带电体系中，空间各处的电荷分布与在其它各电荷分布 处所产生的电位间存在互易关系。
? ? 现测得各带电导体的电位为
体电荷元处的电位为
i
当各导体的电荷变为 ，
q
/ i
体电荷密度变为 ? /
? ? 相应的电位变为
/ i
和
/
，则有
3
n
n
? ??? ? ??? q
i?
/ i
?
i?1
? / ?d? ?
r? ? [ x2 ? y2 ? ( z ? h)2 ]1/ 2 , r? ? [ x2 ? y2 ? (z ? h)2 ]1/2
Ex
?
qx
4?? 0
????
1 r?3
?
1 r?3
????
Ey
?
qy
4?? 0
????
1 r?3
?
1 r?3
????
Ez
?
qz
4?? 0
????
z
? r?3
h
?
z
? r?3
n
n
? ? qi?
/ i
?
q
/ i
?
i
i?1
i?1
6
（2）若整个空间除体电荷密度分布外，没有其它诸导体
??V?? / ?d? ? ??V?? ? /d?
7
2.10 唯一性定理 镜像法
在电磁场问题中，往往需要求解有限区域中给定边界条件下 的电磁场问题。
如果只考察空间某—有限区域的电磁场，而区域内、外常存在不同 场源，显然仅仅知道区域内的场源并不足以能完全确定有限区域内的电 磁场，还必须知道区域外场源的影响，而外域场源的影响可以通过用边 界面上的等效场来取代，故内域场由其内部场源和边界场值唯一确定。
S?
??
?n
??
??
?n
??dS ?
格林定理可用于解的唯一性证明和求解泊松方程的积分
解，在电磁场理论中是很重要的定理之一
2
2.9.2 格林互易定理
互易定理是描述不同场及其场源成对称关系的公式，格林定理是不同 函数间成对称关系的互易定理的数学表述。两个定理的区别在于：格林定 理不含具体的物理意义，而互易定理可以看为格林定理的一个直接推论和 应用
?V (? ?
2?
?
?
?
??
?
)dV
?
?S ?
??
?n
dS
由于▽ 2φ =0，所以有:
? ? ?
?
2
dV
?
? ?? dS
V
S ?n
在S上φ =0，因而上式右边为零，因而有:
??
?
2
dV
?
0
V
10
或者这样来证明
设满足麦克斯韦方程、初始条件和边界条件的电磁场解不唯一， 至少有两组解
E ? E1 ? E2
2.9 格林定理 互易定理
2.9.1 格林定理
?V? ?FdV ? ?SF ?dS
在上式中，令 F ? ? ? ? 则:
? ?F ? ? ?(? ? ? ) ? ? ? 2? ? ? ? ?? ?
? ? ? ?FdV ? (? ? 2? ? ? ? ?? ? )dV
V
V
?? (? ? ? ) ?dS S
? ò?? right ? i
Si
(?
i
??
/ i
?n
?
?
/ i
?? i )dS ?n
? 乙?? ?? ? ? [? i i
Si
(?
??
/ i
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)dS
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?
/ i
(? ?? i )dS ?
Si
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i
?
2?
1
?
?
? (r ) ?
? 2? ?? ? ? ?(r ) ?
1
?
(?
i qi/
?
?
i /qi )
?? ? ?? ?dS S ?n
1
即:
?(? ? 2?
V
???
?? ? )dV ? ?S?
??
?n
dS
这就是格林第一恒等式。n是面元的正法向，即闭合面
的外法向。
? ? (? ? 2? ? ? ? ?? ? )dV ? ? ?? dS
V
S ?n
? ? (? ? 2?
V
? ? ? 2? )dV ?
???
2.10.1 平面镜像法
例4-1 求置于无限大接地平面导体上方，距导体面为h处的点 电荷q的电位。
图4-1 无限大导体平面上点电荷的镜像
14
解： 当 z>0 时，▽2φS=0 当 z=0时，φ=0 当 z→∞、|x|→∞、|y|→∞时，φ→0。
15
?
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1
4?? 0
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q r?
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q r?
????
??? ? ??? ? ?? V
(
1 2
?E
2
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1 2
?H
2 )]d?
?
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t 0
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?E 2 d? )dt ?
t
(
(E ? H ) ?d ? )dt
V
0
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??? ? ?? V
(
1 2
?E
2
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1 2
?H
2 )]d?
?
?
t 0
(
?
(E ? H ) ?nd? )dt
12
(E ? H ) ?n ? E ?(H ? n) ? H ?(n ? E)
h
????
16
由Dn=ρS可得导体表面的面电荷密度：
?S
?
?0Ez
?
?
2?