格林定律和维尔纳定律定律解释讲解
11-3曲面解析
L AO ( x 2 3 y ) d x ( y 2 x) d y OA
( x 2 3 y ) d x ( y 2 x) d y
D
4 2 x dx 0
4 d xd y
64 8 3
y
L D
o
Ax
例 3 计算 L 2xydx x2dy 其中 L 为抛物线
1 1 ONA xdy ydx AMO xdy ydx 2 2
1 AMO xdy ydx 2
1 0 a a x( 1)dx ( ax x )dx 2 2 ax
a a 1 2 0 xdx 6 a . 4
M
A(a ,0)
N
三、平面上曲线积分与路径无关的条件
取 P y, Q x, 得 2
dxdy xdy ydx
L D
二、格林公式的应用
1.简化曲线积分
例 1 计算
AB
y
A
D
xdy,其中曲线
x
AB 是半径为 r 的圆在第一 象限部分.
o
L
B
解
引入辅助曲线 L,
L OA AB BO 应用格林公式, P 0, Q x 有
第十一章 曲线积分
第三节 格林公式及其应用
一、格林公式
1.单复连通区域
定义：设D为平面区域 如果D内任一闭曲线所围的部分都 属于D 则称D为平面单连通区域 否则称为复连通区域
D D
单连通区域
复连通区域
2.边界曲线的方向
定义：当观察者沿区域D的边界曲线L行走时 如果左手在区
域D内 则行走方向是L的正向
P Q ， y x 原积分与路径无关
高等数学第3讲格林公式及其应用.ppt
特别地，取 C ,
2
则
u( x, y) arctan x arctan y
2
y
x
( x 0)
例8 I 2xy3 y2 cos x dx 1 2 y sin x 3x2 y2 dy L L为在抛物线 2x y2 上由点(0, 0) 到 , 1 的一段弧 . 2
定理1 设闭区域 D 由分段光滑的曲线 L围
成,函数 P( x, y)及Q( x, y)在 D上具有一阶连
续偏导数, 则有
D
( Q x
P y
)dxdy
L
Pdx
Qdy
(1)
其中 L是 D的取正向的边界曲线,
公式(1)叫做格林公式.
L1
D
L2
L1
D
L2
L由L1与L2连成
L由L1与L2组成
边界曲线L的正向: 当观察者沿边界行走时,区 域D总在他的左边.
OA
x x
y0
R
0 0dx
0
I
1 4
R2
BO Pdx Qdy OA Pdx Qdy
1 4
R2
R
.
例5
计算L
xdy x2
ydx ,其中 y2
L为一条无重
点,分段光滑且不经过原点的连续闭曲线, L
的方向为逆时针方向.
解 记 L所围成的闭区域为 D ,
令P
y x2 y2
,
Q
x2
x
y2
,
则当 x2
DP Q
其中 L 是D的取正向的边界曲线
三、简单应用
1. 计算平面面积
格林公式:
D
(Q x
P y
)dxdy
英语单词First的词源探析及其同源词
词源学（etymology）主要研究词汇的来源、发展史、音 义演变，或研究同源词（cognates）现象（夏征农，2009）。索 绪尔（1959）指出词源学还要研究一个词跟其他词的历史关 系，要研究词族（word family）及其历史。
据此,本文将从历史来源,音义演变和同源词等角度来 探究 first 的词源和其同源词，以期对英语词汇的习得有 所帮助。根据 《牛津英语词典》(Oxford English Dictionary，OED), first 在古英语时期拼写为 fyrst，表示“最前 面的，主要的”，是 fore 的最高级形式。First 来自于原始日 耳曼语中的 furist（古萨克逊语的 fuirst，古高地德语的 furist，古冰岛语的 fyrstr，中古荷兰语的 vorste，德语的
维尔纳定律指出，出现在非重读音节的末尾的清擦音 f、s 和 x， 经 过 浊 化 转 变 成 了 b、z 和 g（LyleCampbell, 2004）。这说明 f-b 之间有亲属关系，属于音近。
根据第二次（日耳曼语）子音推移（Second Germanic
作者简介：孔祥龙（1983—），男，助教，研究方向为外语教学、翻译。 172
总第 455 期 2019 年 4 月（中）
The Science Education Article Collects
Total.455 April 2019（B）
英语单词 Fi r s t 的词源探析及其同源词
孔祥龙
（上海健康文献标识码：A
DOI：10.16871/ki.kjwhb.2019.04.080
Fürst 均来自于此）。在古印欧语语中 preisto 是 pre 的最 高级，它们都与现代英语中的前缀 per-（表示向前、首先、主 要等义）同源。
格林公式及其应用
其中L是 D的取正向的边界曲线.
格林公式的实质: 沟通了沿闭曲线的积分与二重
积分之间的联系.
3. 简单应用
(1) 计算平面面积
格林公式
D
Q x
P y
dxdy
L
Pdx
Qdy
取 P y, Q x,
得
2 dxdy L xdy ydx
D
闭区域D的面积
A 1 xdy ydx 2L
例1 求椭圆 x a cos t, y bsint,0 t 2
解 由格林公式
(e x sin y my )dx (e x cos y m)Ody AO OA
A(a,0)x
mdxdy
1 8
ma 2
OA的方程为y 0, 0 x a
D
故
(e x sin y my )dx (e x cos y m)dy
a
0dx 0
OA
0
所以, I 1 ma2 0 1 ma2.
AO OA OA 8
8
(3) 简化二重积分
D
(Q x
P y
)dxdy
L
Pdx
Qdy
例5 计算 e y2dxdy, 其中D是
D
y 1B
A
以O(0,0), A(1,1), B(0,1)
D
为顶点的三角形闭区域.
解 令 P 0, Q xe y2
O
1x
则 Q P e y2 格林公式
x y
e y2dxdy
规定 边界曲线L的正向 当观察者沿边界行走时,区域D总在他的左边.
y L
D
L
D
l
O
x
L+l 称为复合闭曲线
高数考研备战格林公式的应用与解题技巧
高数考研备战格林公式的应用与解题技巧格林公式（Green's theorem）是高等数学中的一个重要定理，也是考研数学中的重要内容之一。
它在很多场景中有广泛的应用，帮助我们解决各种复杂的问题。
本文将介绍格林公式的基本原理和应用，并提供一些解题技巧，以帮助考生备战高等数学考研。
一、格林公式的基本原理格林公式是由英国数学家格林（George Green）于1828年提出的，它将二维平面上的曲线积分转化为对该曲线所围成的区域的面积积分。
具体地说，设曲线C是一条分段光滑的闭合曲线，曲线C所包围的区域称为D。
如果函数P(x, y)和Q(x, y)在区域D上具有一阶连续偏导数，那么有格林公式的表达式如下：∮C (Pdx + Qdy) = ∬D (Qₓ - Pᵧ)dA其中，∮C表示曲线C上的曲线积分，∬D表示对区域D上的面积积分，Pdx + Qdy表示关于x和y的微分形式，Qₓ和Pᵧ分别表示Q对x求偏导和P对y求偏导。
二、格林公式的应用格林公式在物理、工程和数学等多个领域都有广泛的应用。
下面将介绍几种常见情况下的应用。
1. 曲线积分的计算格林公式可以帮助我们计算曲线C上的曲线积分。
具体操作是，将积分转化为对曲线所包围的区域D上面积积分的计算。
通过求解二重积分，我们可以更简单地计算出原本复杂的曲线积分。
2. 面积的计算格林公式可以通过计算面积积分来帮助我们计算区域D的面积。
通过求解面积积分，我们可以不需要遍历整个区域来计算面积，而是通过对边界曲线上的积分来得到结果。
这在实际问题中十分有用，节省了计算的时间和精力。
3. 流量的计算格林公式还可以用于计算流体力学中的流量。
通过设定P和Q的形式并代入格林公式，我们可以将流量计算问题转化为对面积积分的计算。
这样一来，我们可以更加方便地求解流体力学中的流量问题。
三、解题技巧在考研中遇到格林公式的应用题时，我们可以采取以下的解题技巧：1. 理解问题在开始解题之前，先要完全理解问题的背景和要求。
格林定律和维尔纳定律定律解释
05
CHAPTER
格林定律和维尔纳定律的发 展趋势和未来研究方向
格林定律的发展趋势和未来研究方向
01
深化跨语言研究
进一步探索格林定律在不同语言 中的表现，以揭示其在语言演变 中的普遍性和特殊性。
02
结合认知科学
03
扩展研究范围
将格林定律与认知科学领域的研 究相结合，探究语言习得的内在 机制和规律。
格林定律和维尔纳定律解释
目录
CONTENTS
• 格林定律 • 维尔纳定律 • 格林定律与维尔纳定律的比较 • 格林定律和维尔纳定律的实证研究 • 格林定律和维尔纳定律的发展趋势和未来研
究方向
01
CHAPTER
格林定律
格林定律的定义
格林定律是指语言中的音素随着时间的推移会发生规律性的 变化，这种变化通常是由语音相似性、发音方便性等因素引 起的。
格林定律和维尔纳定律都强调了语言中语音的相 互关系，并试图解释语音之间的对应关系。
两者之间的差异
格林定律主要关注于印欧语系中日耳曼语族的语言变化，而维尔纳定律则更广泛地 适用于印欧语系中的各种语言。
格林定律主要关注于元音的变化，而维尔纳定律则更侧重于音节和词的辅音变化。
格林定律强调了音变的一致性，即同一语言中相同类型的语音变化会发生在不同的 词中，而维尔纳定律则更注重音变的规律性和系统性。
02
此外，维尔纳定律的应用还需要 考虑政策干预、市场结构、产业 结构等因素的影响，因此在实际 应用中需要综合考虑多种因素。
03
CHAPTER
格林定律与维尔纳定律的比 较
两者之间的相似之处
格林定律和维尔纳定律都是语言学中的重要定律， 都涉及到音变和语音对应关系。
格林倒易定理证明
格林倒易定理证明格林倒易定理是数学中非常重要的一个定理，它在几何、电磁学和流体力学等领域都有广泛的应用。
该定理由德国数学家格林于1828年首次提出，被称为格林倒易定理或格林公式。
首先，我们来看一下该定理的内容。
格林倒易定理是关于二维平面上的曲线积分和面积积分之间的关系。
简而言之，该定理可以将曲线积分转化为面积积分，或者将面积积分转化为曲线积分。
具体来说，假设有一个平面内的有界区域D，边界为C，且C是一个简单闭合曲线，即不交叉、没有自交的曲线。
若函数P(x, y)和Q(x, y)在D上有一阶连续偏导数，那么有：∮C [P(x, y)dx + Q(x, y)dy] = ∬D [(∂Q/∂x - ∂P/∂y)]dxdy其中，dx和dy分别表示微小位移在x轴和y轴上的分量，∮C表示对曲线C的积分，∬D表示对区域D的积分，∂Q/∂x表示Q对x的偏导数，∂P/∂y表示P对y的偏导数。
这个公式意味着，通过计算曲线C上某个向量场（P, Q）的积分，可以得到区域D内这个向量场的发散，即（∂Q/∂x - ∂P/∂y）。
反之，通过计算区域D内的向量场的发散，可以得到曲线C上该向量场的积分。
格林倒易定理在几何学中的应用非常广泛，可以用于计算曲线的长度、曲线的外法向量、曲率等。
在电磁学中，格林倒易定理可以用于计算电场或磁场的闭合曲线的环流，从而得到电场或磁场的发散。
在流体力学中，格林倒易定理可以用于计算流体速度场的环流和流体密度的发散。
在实际应用中，我们可以利用格林倒易定理简化计算过程。
通过转化曲线积分为面积积分或反之，我们可以将问题从曲线上的积分转化为区域内的双重积分，从而简化计算过程并得到更便于处理的结果。
总之，格林倒易定理作为数学中的重要工具，可以将曲线积分和面积积分之间建立起联系，为几何学、电磁学和流体力学等领域的问题提供了一种统一的解决方法。
在实践中，我们可以通过灵活运用该定理来简化计算，并获得更深入的理解和洞察力。
英语词汇历代史：西古语言辅音变-格林定律威尔纳定律（系列连载Day2）
英语词汇历代史：西古语言辅音变-格林定律威尔纳定律（系列连载Day2）[德国钱币上的格林兄弟像]格林定律和威尔纳定律，是英语词汇音变规律中非常重要常见的两个规律。
这两个规律乍看起来比较抽象难懂，但其实仔细用例子想一想，明白了收获和获益也非常大。
了解了这两个音变规律，以后的英语学习都会变得简单而有趣了。
印欧语到日耳曼语(古英语)的转变印欧语(IE)辅音在日耳曼语(Gmc)里所发生的变化称为第一次音变(the First Sound Shift)，又称格林定律(Grimm’s Law)，其内容如下：IE p, t, k>Gmc f, þ (=th), x(在词头—h)IE b, d, g>Gmc p, t, kIE bh, dh, gh>Gmc b, d, g下面分别举例：IE p>Gmc f:拉丁文pater ‘father’>古英语fæder ‘father’希腊文pyr ‘father’>古英语fyr ‘fire’IE t>Gmc þ:拉丁文tres ‘three’>古英语þreo ‘three’拉丁文tenuis ‘thin’>古英语þynne ‘thin’IE k>Gmc x(或h)拉丁文quod ‘what’>古英语hwæt ‘what’希腊文kardia ‘heart’>古英语heorte ‘heart’IE b>Gmc p:拉丁文bucca ‘cheek, mouth cavity’> 古英语pohha ‘sack’IE d>Gmc t:拉丁语duo ‘two’>古英语twa ‘two’希腊文drys ‘oak’>古英语treow ‘tree’IE g>Gmc k:拉丁文genu ‘knee’>古英语cneow ‘knee’希腊文gyne ‘woman’>古英语cwen ‘queen’IE bh(梵文bh，希腊文ph，拉丁文f) >Gmc b:梵文bhratar,(拉丁文frater)>古英文broþor “brother”希腊文phogein ‘roast’>古英语bacan ‘bake’IEdh(梵文dh，希腊文th，拉丁文f)>Gmcd:梵文duhitar(<dhughəter：希腊文thygater>) > 古英语dohtor ‘daughter’梵文madhu ‘honey’(希腊文methy ‘wine’)>古英语meodu ‘mead’IE gh(重建原始印欧语*gh, 希腊文kh, 拉丁文h)>Gmcg:重建原始印欧语*ghostis ‘stranger, guest’(拉丁文hostis)>古英语gæst‘guest’(WS giest)希腊文khole ‘bile’(拉丁文fel ‘gall’)>古英语galla ‘gall’ (WS gealla)印欧语p,t,k变为日耳曼语f þ (=th) x(词头h) 先于印欧语b,d,g 变为日耳曼语p,t,k，否则p,t,k进一步变为f þ (=th) x(词头h)，英语本族词就没有p,t,k的词了。
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? 维尔纳定律还有一个伴随产物：即在此规则下， PIE中的s在PGmc的某些词中转变成了z。继而
，在斯堪的纳维亚语和西部日尔曼语支的德语、 荷兰语、英语和弗里斯兰语中，z又转变成了r， 维尔纳定律解释了某些屈折变化中/s/和/r/的交替 。比如，古英语动词ceosan（“选”，现代英 语作“choose”），复数过去时为curon过去分词 为 (ge)coren < *kius- | *kuz- < *?éus- | *?us-（
? 梵语，希腊语和拉丁语的清塞音（p-，t-，k-） ，对应日耳曼语的擦音（英语的f-，th-，h-） 。
? 塞音
? 原始印欧语原有三套塞音：
? 清不送气塞音（相当于中国传统音韵学的全清 ）
? 浊不送气塞音（相当于全浊）
? 浊送气塞音
? 在这种构拟系统中，没有清送气塞音（次清） ，因为这些塞音只出现在梵语里，而大部分是 拟声词，借词或者某种特殊因变（例如：*st> sth- ）而来的，原来没有这套塞音。
? 印欧语“带”（ *bher）和“兄弟”： ? 梵语 bhar-āmi - bhratar ? 拉丁语 fer-o - frater ? 希腊语 phér-ō - phrátēr ? 俄语 бр-ать (бер -у, бер -ёшь) - брат ? 日耳曼语族 -英语 bear - brother
? 起先，少许的“异常”并未引起过多的关注 ，学者们更热心于发现更多“规则”的实例 。然而，终究还是有越来越多的语言学家， 不再满足于这些“听话”子集，而是决心要 构建出普遍适用的“无例外”的音变规则体 系。
? 一个由PIE的*t到PGmc的*d的典型例子是 *ph?tēr （“父”，*h?表示喉音，e上的一横是 长音记号）与*fa?ēr 的对映（而不是预期的
? 解答
? 卡尔·维尔纳第一个开始去探求，究竟是什么因 决定了这两种结果的分配。通过观察，他发现 ，这些发生了不按“规则”的浊化的清擦音不 会出现在词首，而且前临的元音在PIE中都是 非重音。在现代日尔曼语中重读音节多固定在 词首，但是原始的PIE重音位置很多都在希腊 语和早期梵语中保留了下来。*ph?tēr和 *b?reh?tēr之间最要紧的区别就在于，前者的重 音在第二音节，后者却是位于词首（cf.梵语的 pitā和bhrātā）。
清擦音（f,t ,x）来自印欧语的不送气清 塞音
清塞音（p,t,k ）来自不送气浊塞音 浊塞音（b,d,g ）来自送气浊塞音
维尔纳定律（Verner's law）
Verner's law
? 由卡尔·维尔纳于1875年提出，该定律 描述了发生在原始日耳曼语（PGmc ） 中的一次历史音变，指出了，出现在非 重读音节的末尾的清擦音*f, *t , *s和*x， 经过浊化转变成了*b, *d, *z 和*g。
“尝，试”）。假如声母未发生转变的话， coren的词形可能会一直保存在英语中（cf. kiesen : gekoren（choose，古语））。
? 类似的，*wert -和*wur? -的差异也因重 音位词干和屈折词尾（首音节轻读）的不 同而得以解释。还有其他一些符合维尔纳 定律的例子，比如：现代德语的ziehen |
(ge)zogen （“拉”）< PGmc. *tiux- | *tug- < PIE *déuk- | *duk′-（“引”）.
格林定律（Grimm's ），
Grimm's law
? 又译格林姆定律或格里姆定律，是 一项用来描述印欧语语音递变的定 律，由德国语言学家雅各布·格林 （Jakob Grimm）提出。格林指： 属于印欧语系的语言不仅有共同的 词汇和共同的形态，语音变化且很 有规律。例如：
Grimm's law
? 疑团
? 发现了格林定律以后，在运用过程中出现了一 系列的不规则现象。原始印欧语（PIE）的轻 塞音*p, *t, *k按照格林定律本应该在原始日尔 曼语中分别转变成*f, *t （齿间擦音）和*x(舌根 擦音），通常情况下的确是这样的。但是，在 一大批的同源词中，以其在拉丁语、古希腊语 、梵语、和波罗的语中的形态可断定其PIE音 素是*p, *t, *k，在日尔曼语中却表现为浊塞音 *b, *?, *g。
? 格里姆定律包括三个重要方面：
? 对应规律 -梵语的浊送气塞音（bh-，dh-，gh），对应希腊语的清送气塞音（ph-，th-，kh），对应拉丁语的擦音（f-，f-，h-），对应日 耳曼语的浊塞音（英文的b-，d-，g-）。
? 梵语，希腊语和拉丁语的浊塞音（b-，d-，g），对应日耳曼语的清塞音（英语的p-，t-，k）。
? 从上面的例子可见，在共同的词汇里（来自 原始印欧语的词汇，即同源词）梵语bh-对 应拉丁语f-对应希腊语ph-，这种规律叫“对
应规律”。当不同语言中几个单词（这里： “带”、“兄弟”，但是有很多相同的例子 ）显示出同样的对应规律时，这些语言之间 有“对应关系”。分析了不同语言之间的对 应规律以后，历史语言学的任务是设想原始 语的哪种音演变成对应规律所表现的不同的 音。例如，格里姆认为，bh-：f-：ph-这种 对应规律是原始印欧语*bh-的不同表现：梵 语的发音与原始语最相近。
*fatēr ) 。有趣的是，同为亲属称谓且结构也 相似的PIE：*b?reh?tēr （“兄弟”）所对映的
PGmc：brōtēr 则完全符合格林定律。更有意 思的是，我们经常会发现，与PIE：*t对映的*t 和*?还可以分别出现在同一词根的不同形态中 ，如*wert -（“转”）字的单数第三人称过去 时为*wart ，而复数型和过去分词却作*wur? （加相应的屈折词尾）。
? 语音演变 ? 梵语保留了原始的发音。
? 希腊语的浊送气塞音清化了，变成清送气 塞音，不送气塞音不变。
? 拉丁语的浊送气塞音变成擦音，不送气塞 音不变。
? 但发生最明显的变化是日尔曼语族和亚美尼亚
语，这些语言和印欧语的对应规律相当复杂， 可用表格的方式介绍：
从以上表格可见，原始日尔曼语的辅音 的来源是：