§11.3 格林(Green)公式
y
下面证明 如图，
A(x0 , y0 )
B(x,y) M(x+Dx,y)
O
G
x
2. 平面上曲线积分与路径无关的等价条件
类似可证
y
A(x0 , y0 )
B(x,y) M(x+Dx,y)
O
G
x
( ξ 介于 x 与 x +Dx 之间 )
2. 平面上曲线积分与路径无关的等价条件
如果存在某一函数 u (x, y) 使 du = Pdx + Qdy，则
(Ⅰ) 沿任一闭曲线L的积分
(Ⅱ) 曲线积分
与路径无关；
（Ⅲ）存在某一函数 u (x, y) 使 du = Pdx + Qdy；
（Ⅳ）在G内
证明略.
2. 平面上曲线积分与路径无关的等价条件
如果存在某一函数 u (x, y) 使 du = Pdx + Qdy，如何求 u (x, y)？
此时，积分与路径无关，只与起点和终点有关，如图，记
1. 区域的连通性
设 D 为平面区域，如果 D 内任一闭曲线所围成的部分 都属于 D，则称 D 为平面单连通区域，否则称为复连通区域.
例 D1,D2为图中浅色区域.
D2 D1
单连通区域
复连通区域
1. 格林（Green）公式
L
D
L
Dl
边界曲线 L 的正向: 当观察者沿边界行走时，区域 D 总在他的左边。
§11.3 格林(Green)公式
1. 格林(Green)公式 2. 平面上曲线积分与路径无关的
等价条件 3. 曲线积分的基本定理
§11.3 格林(Green)公式
1. 格林(Green)公式 2. 平面上曲线积分与路径无关的
等价条件 3. 曲线积分的基本定理
1. 格林（Green）公式
2. 平面上曲线积分与路径无关的等价条件
可用凑微分法完成，本题另解如下：
2. 平面上曲线积分与路径无关的等价条件
例2求 其中 L 为抛物线 的弧段。
上由点O (0, 0) 到
解
积分与路径无关.
2. 平面上曲线积分与路径无关的等价条件
原式
1. 格林(Green)公式
2. 平面上曲线积分与路径无关的 等价条件
3. 曲线积分的基本定理
例2中
(2 xy3 y2 cos x)dx (1 2 y sin x 3 x2 y2 )dy
d ( y3 x2 y2 sin x y)
u( x, y) y3 x2 y2 sin x y
原式 =
y3 x2 y2 sin x y
沿
x
y
u(x, y)
x0 P( x, y0 )dx
Q( x, y)dy
y0
沿
2. 平面上曲线积分与路径无关的等价条件
例1 验证在 xOy 面内 是某个函数 u (x, y) 的全微分，并求 u (x, y)。 y 解
B(x,y)
在 xOy 面上皆成立. O
A(x,0)
是某个函数的全微分.
y M
A D3 P
B D1
D2
O
x
C
N
1. 格林（Green）公式
综上， 格林公式的实质： 建立了沿闭曲线的积分与其所围区 域上二重积分之间的联系。 注： 1. L 一定是有向闭曲线；
2. P (x, y), Q (x, y) 一定在区域 D 内有连续的偏导数；
3.
1. 格林（Green）公式
D
:
1 (
x) a
y x
b
2
(x)
d
y
E
D
B
A c
C Oa
x b
1. 格林（Green）公式
y
b
dx
2 ( x) P
x, y
dy
a
1 ( x )
y
L2:
b
a {P[ x,2( x)] P[ x,1( x)]}dx.
A
D
B
b
a P[ x,1( x)]dx
1. 格林（Green）公式
原式
y
N
D
O
x
A(a,0)
OA : y 0, x : 0 a
1. 格林（Green）公式
例2 利用格林公式计算
其中 D 是以
O (0, 0) , A (1, 1) , B(0, 1) 为顶点的三角形闭区域 .
解令
，则
D
xe y2 dy
OA
xe y2 dy
OA AB BO
1. 格林（Green）公式
例3 求
L 是以 A (1, 0) 为中心，以 R
( R > 1) 为半径的圆依逆时针方向一周.
y
解
L
( x, y) (0,0) 时
O
A(0,1) x
1. 格林（Green）公式
在 L 内作一椭圆：
取顺时针方向.
l 和 L 所围区域为 D，由 Green 公式有 y
任取起点为 A，终点为 B 的路径 L1 与 L2，若总有
y
G
B
L1
则称在 G 内曲线积分
A
L2
与路径无关.
O
x
2. 平面上曲线积分与路径无关的等价条件
定理 设开区域 G 是平面单连通区域，函数 P (x, y) , Q (x, y) 在 G 内具有一阶连续偏导数，则下面各命题是等 价的. 在G内：
定积分中，牛顿-莱布尼茨公式
b
a F ( x)d x F (b) F (a)
表示：F( x) 在[a, b]上的积分可以通过它的原函数F ( x)
在这个区间端点的值来表达. 格林公式： 平面闭区域D上的 二重积分可以通过沿
D的边界曲线L上的曲线积分表达 .
1. 格林（Green）公式
( ,1)
2
2
( 0 ,0 )
4
L1:
Oa
b
b
{
a
P[
x,1(
x)]
P[
x,2
(
x)]}dx.
故
1. 格林（Green）公式
类似可证 因此，
y
A
M
D3 P
B D1
(2) 再考虑一般情形
O
如图闭区域 D，其边界线为
引入辅助线
把 D 分成 D1, D2, D3 三个部分，于是
D2
x
C
N
1. 格林（Green）公式
1. 格林（Green）公式
2. 格林公式 定理（Green公式） 设平面闭区域D由分段光滑曲线 L
围成，函数 P(x, y) , Q (x, y) 在 L 上具有一阶连续偏导数， 则有
其中 L 为 D 的正向边界曲线.
1. 格林（Green）公式
证明 (1) 先设 D 既是 X 一 型区域，又是 Y 一 型区域.
L
lD
因此，
O
A(0,1) x
（D1为 l 所围闭区域）
1. 格林(Green)公式
2. 平面上曲线积分与路径无关的 等价条件
3. 曲线积分的基本定理
2. 平面上曲线积分与路径无关的等价条件
积分与路径无关： 如图，G 是平面开区域，
在 G 内存在， 对于 G 内任意两点 A 和 B，
3. 曲线积分的基本定理
3. 曲线积分的基本定理
设 P (x, y) , Q (x, y) 在平面单连通区域G内有一阶连续
偏导数，且存在 u (x, y) ，使在 G 内 du Pdx Qdy,
设 A(x0,y0 )与B(x,y)为G内任意两点, 则有公式
(x,y)
( x0,y0 ) P( x, y)dx Q( x, y)dy u( x, y) u( x0 , y0 )
根据两类曲线积分之间的关系，格林公式还可以表示为
是曲线上点(x,y)处的切向量的 方向余弦. 格林公式简单应用：
取 P y,Q x, 则
D 的面积
1. 格林（Green）公式
例1 求
为圆 解 补充
的上半周。
y
N
成为闭合曲线，它所围成
D
的区域为D. O
Q x
其中 x
A(a,0)
下面证明 如图，
A(x0 , y0 )
B(x,y) M(x+Dx,y)
O
G
x
2. 平面上曲线积分与路径无关的等价条件
类似可证
y
A(x0 , y0 )
B(x,y) M(x+Dx,y)
O
G
x
( ξ 介于 x 与 x +Dx 之间 )
2. 平面上曲线积分与路径无关的等价条件
如果存在某一函数 u (x, y) 使 du = Pdx + Qdy，则
(Ⅰ) 沿任一闭曲线L的积分
(Ⅱ) 曲线积分
与路径无关；
（Ⅲ）存在某一函数 u (x, y) 使 du = Pdx + Qdy；
（Ⅳ）在G内
证明略.
2. 平面上曲线积分与路径无关的等价条件
如果存在某一函数 u (x, y) 使 du = Pdx + Qdy，如何求 u (x, y)？
此时，积分与路径无关，只与起点和终点有关，如图，记
1. 区域的连通性
设 D 为平面区域，如果 D 内任一闭曲线所围成的部分 都属于 D，则称 D 为平面单连通区域，否则称为复连通区域.
例 D1,D2为图中浅色区域.
D2 D1
单连通区域
复连通区域
1. 格林（Green）公式
L
D
L
Dl
边界曲线 L 的正向: 当观察者沿边界行走时，区域 D 总在他的左边。
§11.3 格林(Green)公式
1. 格林(Green)公式 2. 平面上曲线积分与路径无关的
等价条件 3. 曲线积分的基本定理
§11.3 格林(Green)公式
1. 格林(Green)公式 2. 平面上曲线积分与路径无关的
等价条件 3. 曲线积分的基本定理
1. 格林（Green）公式
2. 平面上曲线积分与路径无关的等价条件
可用凑微分法完成，本题另解如下：
2. 平面上曲线积分与路径无关的等价条件
例2求 其中 L 为抛物线 的弧段。
上由点O (0, 0) 到
解
积分与路径无关.
2. 平面上曲线积分与路径无关的等价条件
原式
1. 格林(Green)公式
2. 平面上曲线积分与路径无关的 等价条件
3. 曲线积分的基本定理
例2中
(2 xy3 y2 cos x)dx (1 2 y sin x 3 x2 y2 )dy
d ( y3 x2 y2 sin x y)
u( x, y) y3 x2 y2 sin x y
原式 =
y3 x2 y2 sin x y
沿
x
y
u(x, y)
x0 P( x, y0 )dx
Q( x, y)dy
y0
沿
2. 平面上曲线积分与路径无关的等价条件
例1 验证在 xOy 面内 是某个函数 u (x, y) 的全微分，并求 u (x, y)。 y 解
B(x,y)
在 xOy 面上皆成立. O
A(x,0)
是某个函数的全微分.
y M
A D3 P
B D1
D2
O
x
C
N
1. 格林（Green）公式
综上， 格林公式的实质： 建立了沿闭曲线的积分与其所围区 域上二重积分之间的联系。 注： 1. L 一定是有向闭曲线；
2. P (x, y), Q (x, y) 一定在区域 D 内有连续的偏导数；
3.
1. 格林（Green）公式
D
:
1 (
x) a
y x
b
2
(x)
d
y
E
D
B
A c
C Oa
x b
1. 格林（Green）公式
y
b
dx
2 ( x) P
x, y
dy
a
1 ( x )
y
L2:
b
a {P[ x,2( x)] P[ x,1( x)]}dx.
A
D
B
b
a P[ x,1( x)]dx
1. 格林（Green）公式
原式
y
N
D
O
x
A(a,0)
OA : y 0, x : 0 a
1. 格林（Green）公式
例2 利用格林公式计算
其中 D 是以
O (0, 0) , A (1, 1) , B(0, 1) 为顶点的三角形闭区域 .
解令
，则
D
xe y2 dy
OA
xe y2 dy
OA AB BO
1. 格林（Green）公式
例3 求
L 是以 A (1, 0) 为中心，以 R
( R > 1) 为半径的圆依逆时针方向一周.
y
解
L
( x, y) (0,0) 时
O
A(0,1) x
1. 格林（Green）公式
在 L 内作一椭圆：
取顺时针方向.
l 和 L 所围区域为 D，由 Green 公式有 y
任取起点为 A，终点为 B 的路径 L1 与 L2，若总有
y
G
B
L1
则称在 G 内曲线积分
A
L2
与路径无关.
O
x
2. 平面上曲线积分与路径无关的等价条件
定理 设开区域 G 是平面单连通区域，函数 P (x, y) , Q (x, y) 在 G 内具有一阶连续偏导数，则下面各命题是等 价的. 在G内：
定积分中，牛顿-莱布尼茨公式
b
a F ( x)d x F (b) F (a)
表示：F( x) 在[a, b]上的积分可以通过它的原函数F ( x)
在这个区间端点的值来表达. 格林公式： 平面闭区域D上的 二重积分可以通过沿
D的边界曲线L上的曲线积分表达 .
1. 格林（Green）公式
( ,1)
2
2
( 0 ,0 )
4
L1:
Oa
b
b
{
a
P[
x,1(
x)]
P[
x,2
(
x)]}dx.
故
1. 格林（Green）公式
类似可证 因此，
y
A
M
D3 P
B D1
(2) 再考虑一般情形
O
如图闭区域 D，其边界线为
引入辅助线
把 D 分成 D1, D2, D3 三个部分，于是
D2
x
C
N
1. 格林（Green）公式
1. 格林（Green）公式
2. 格林公式 定理（Green公式） 设平面闭区域D由分段光滑曲线 L
围成，函数 P(x, y) , Q (x, y) 在 L 上具有一阶连续偏导数， 则有
其中 L 为 D 的正向边界曲线.
1. 格林（Green）公式
证明 (1) 先设 D 既是 X 一 型区域，又是 Y 一 型区域.
L
lD
因此，
O
A(0,1) x
（D1为 l 所围闭区域）
1. 格林(Green)公式
2. 平面上曲线积分与路径无关的 等价条件
3. 曲线积分的基本定理
2. 平面上曲线积分与路径无关的等价条件
积分与路径无关： 如图，G 是平面开区域，
在 G 内存在， 对于 G 内任意两点 A 和 B，
3. 曲线积分的基本定理
3. 曲线积分的基本定理
设 P (x, y) , Q (x, y) 在平面单连通区域G内有一阶连续
偏导数，且存在 u (x, y) ，使在 G 内 du Pdx Qdy,
设 A(x0,y0 )与B(x,y)为G内任意两点, 则有公式
(x,y)
( x0,y0 ) P( x, y)dx Q( x, y)dy u( x, y) u( x0 , y0 )
根据两类曲线积分之间的关系，格林公式还可以表示为
是曲线上点(x,y)处的切向量的 方向余弦. 格林公式简单应用：
取 P y,Q x, 则
D 的面积
1. 格林（Green）公式
例1 求
为圆 解 补充
的上半周。
y
N
成为闭合曲线，它所围成
D
的区域为D. O
Q x
其中 x
A(a,0)
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格林公式与曲线积分路径无关
?y du ? Pdx ? Qdy .
（ⅲ）? （ⅳ）设存在u ?x , y ?，使得 du ? Pdx ? Qdy
所以P ?x, y ?? ? u ?x, y ?,Q ?x, y?? ? u ?x, y ?.因此
?x
?y
?P ? ? 2u , ?Q ? ? 2u . ?y ?x?y ?x ?y?x
令P ?
x
? 2?
y y2
,
Q?
x x2 ?
y2 ,
则当 x 2 ?
y2
?
0时,
有?Q ? ?x
y2 ? x2 (x 2 ? y2)2
?
?P .
?y
(1) 当(0, 0) ? D时,
由格林公式知
xdy ?
?L x 2 ?
ydx y2
?
0
y
D
o
L x
(2) 当(0,0) ? D 时,
作位于D 内圆周 l : x 2 ? y2 ? r 2, y L
?L P ( x , y )dx ? Q ( x , y )dy ? 0
(ii )对 D内任一按段光滑曲线 L，曲线积分
?L P ( x, y )dx ? Q ( x, y )dy
与路线无关 ,只与 L的起点及终点有关 ;
（ⅲ） Pdx ? Qdy 是 D 内某一函数 u 的全微分，即
du ? Pdx ? Qdy ；
?? x?? x Pdx ? Qdy ? P ?x ? ?? x, y ?? x, x
其中 0 ? ? ? 1，由 P ?x , y ?在 D 上的连续性
?u ?x
=
lim ? u ?x? 0 ? x
?
lim
? x? 0
（ⅲ）? （ⅳ）设存在u ?x , y ?，使得 du ? Pdx ? Qdy
所以P ?x, y ?? ? u ?x, y ?,Q ?x, y?? ? u ?x, y ?.因此
?x
?y
?P ? ? 2u , ?Q ? ? 2u . ?y ?x?y ?x ?y?x
令P ?
x
? 2?
y y2
,
Q?
x x2 ?
y2 ,
则当 x 2 ?
y2
?
0时,
有?Q ? ?x
y2 ? x2 (x 2 ? y2)2
?
?P .
?y
(1) 当(0, 0) ? D时,
由格林公式知
xdy ?
?L x 2 ?
ydx y2
?
0
y
D
o
L x
(2) 当(0,0) ? D 时,
作位于D 内圆周 l : x 2 ? y2 ? r 2, y L
?L P ( x , y )dx ? Q ( x , y )dy ? 0
(ii )对 D内任一按段光滑曲线 L，曲线积分
?L P ( x, y )dx ? Q ( x, y )dy
与路线无关 ,只与 L的起点及终点有关 ;
（ⅲ） Pdx ? Qdy 是 D 内某一函数 u 的全微分，即
du ? Pdx ? Qdy ；
?? x?? x Pdx ? Qdy ? P ?x ? ?? x, y ?? x, x
其中 0 ? ? ? 1，由 P ?x , y ?在 D 上的连续性
?u ?x
=
lim ? u ?x? 0 ? x
?
lim
? x? 0
格林公式(公开教学用)
其中L为上半圆周 (x a)2 y2 a2 , y 0
沿逆时针方向从A点到 O 点。
P ex sin y 2y,Q ex cos y 2,
Py ex cos y 2,Qx ex cos y,
5、格林公式的证明（体现分析过程）
证明(1)先考虑积分区域既是 x型，又 是 y 型区域的情况，如图
2
,
补充定理:
1) 设P，Q 在 D 内具有一阶连续偏导数
2)
在
D
内恒有
Q P x y
3) L1, L2 为D内任意两条同向闭曲线;
4) L1,L2 各自所围的区域中有相同的不
属于D的点，则
D
Pdx Qdy Pdx Qdy
L1
L2
L1 L2
解：当 (0,0) D 利用格林公式，结论为0.
2
2
2
其中L为星形线 x 3 y 3 a 3 (a 0) 的正
向。
L
:
x y
a a
cos3 sin3
P Q y x
y
a
a Do a x
a
利用后面学过的知识发现积 分与路径无关,结论显然是0.
(2). (ex sin y 2y)dx (ex cos y 2)dy L
y n y 2(x)
D
Am
y 1(x)
oa x 型区域
B
x
b
y
E
xd 1( y)
nD
c
C
o
m
x 2( y)
x
y 型区域
按照 y 型区域考虑
Q dxdy
沿逆时针方向从A点到 O 点。
P ex sin y 2y,Q ex cos y 2,
Py ex cos y 2,Qx ex cos y,
5、格林公式的证明（体现分析过程）
证明(1)先考虑积分区域既是 x型，又 是 y 型区域的情况，如图
2
,
补充定理:
1) 设P，Q 在 D 内具有一阶连续偏导数
2)
在
D
内恒有
Q P x y
3) L1, L2 为D内任意两条同向闭曲线;
4) L1,L2 各自所围的区域中有相同的不
属于D的点，则
D
Pdx Qdy Pdx Qdy
L1
L2
L1 L2
解：当 (0,0) D 利用格林公式，结论为0.
2
2
2
其中L为星形线 x 3 y 3 a 3 (a 0) 的正
向。
L
:
x y
a a
cos3 sin3
P Q y x
y
a
a Do a x
a
利用后面学过的知识发现积 分与路径无关,结论显然是0.
(2). (ex sin y 2y)dx (ex cos y 2)dy L
y n y 2(x)
D
Am
y 1(x)
oa x 型区域
B
x
b
y
E
xd 1( y)
nD
c
C
o
m
x 2( y)
x
y 型区域
按照 y 型区域考虑
Q dxdy
格林公式的使用
格林公式的使用在数学和物理领域，格林公式（Green's theorem）是一种重要的工具，用于计算曲线和曲面之间的积分关系。
它由英国数学家格林（George Green）于19世纪提出，并在向量分析和微积分中得到广泛应用。
本文将介绍格林公式的基本原理和使用方法，并探讨它在实际问题中的应用。
格林公式是关于向量场和曲线/曲面积分之间的重要定理。
它提供了一种将曲线积分转化为曲面积分的方法，或者将曲面积分转化为曲线积分的方法。
格林公式有两种形式，一种是平面形式，另一种是曲面形式。
平面形式的格林公式表达了一个二维向量场经过封闭曲线的环量与该向量场在曲线包围的区域上的散度之间的关系。
具体而言，设有一个向量场F(x, y) = (P(x, y), Q(x, y))，其中P 和Q 是函数关于x 和y 的偏导数，而 C 是一个简单的、光滑的、逆时针方向的曲线，那么格林公式可以表达为：∮C P(x, y)dx + Q(x, y)dy = ∬D (Qx - Py)dA其中，∮C 表示曲线 C 的环量，∬D 表示曲线 C 所围成的区域 D 上的曲面积分，dA 表示微元面积。
右侧的(Qx - Py) 是向量场的散度。
曲面形式的格林公式是平面形式的推广，适用于三维空间中的曲面和曲线积分之间的关系。
设有一个向量场F(x, y, z) = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))，其中P、Q 和R 是函数关于x、y 和z 的偏导数，而S 是一个封闭曲面，曲面的边界是一条简单、光滑的、逆时针方向的曲线，那么格林公式可以表达为：∮S (Pdydz + Qdzdx + Rdxdy) = ∭V (∇·F)dV其中，∮S 表示曲面S 的曲面积分，∭V 表示曲面S 所围成的体积V 上的体积积分，(∇·F) 是向量场的散度，dV 表示微元体积。
格林公式的应用非常广泛，在实际问题中，格林公式可以用于解决各种与曲线和曲面积分相关的计算和应用。
格林公式
L1 : y 1 ( x : 1 2) L L1 L2 , 其中， 取积分路径： L2 : x 2 ( y : 1 3)
y
2 2 3 2
则
(2, 3) ．
(2,1)
4 1 ( x 1)d x 1 (2 y )d y 3
(1,1)
．
o
x
例6
y
L
o
D A(2,0) x l
5d xd y
D
0
2
8 5 x d x . 3 2
2
例4
计算
其中L为一无重点且不过原点
的分段光滑逆时针向闭曲线. 解 令 则
y
L
D
o
x
记 L 所围成的闭区域为 D .
(1) 当( 0, 0) D 时, 由格林公式知
(2) 当(0,0) D 时, 作位于 D 内圆周 l : x 2 y 2 r 2 ,
D
yx
o
x
1 0 d x x (1 x )d y . 3
1 1
例3
计0,0)到点A(2,0)的上半圆周 x y 2 x .
解
令 P x 2 2 y , Q 3 x ye y , 则
设 l : y 0 ( x : 2 0), 则 利用格林公式 , 得
1 故 . 0d x y d y xy d x y ( x )d y 0 0 (0,0) 2
(1,1) 2
计算
解
令
则
y
(1,1) ．
o
故原曲线积分在全平面内与路径无关．
(1,0)
x
L1 : y 0 ( x : 0 1) 取积分路径：L L1 L2 , 其中， L2 : x 1 ( y : 0 1) 2 2 4 ( x 2 xy )d x ( x y )d y 故 L
11.3格林公式
y
x
由定理2 可知, 存在函数 u (x , y) 使 du Pdx Qdy
u(x, y) xy2dx
1 x2 y2 2
C ( y)
又
所以
u(x, y)
则 1 x2 y2 C 2
例6.
验证
x
dy x2
y y
d
2
x
在右半平面
(
x
>
0
)
内存在原函
数 , 并求出它.
o (1,0) ( x,0) x
arctan x
注意! 2
y
例５-６求二元函数u(x,y)使du=P (x,y) dx+Q (x,y) dy
称为二元函数的全微分求积. 简单情况时可按下列方法求解
所以
全微分方程
1.定义: 若存在 u(x, y) 使, du P (x, y)dx Q(x, y)dy 则称 P (x, y) dx Q (x, y) dy 0 ①
例2. 设 L 是一条分段光滑的闭曲线, 证明
2xy dx x2 dy 0 L
证: 令 P 2xy, Q x2, 则
利用格林公式 , 得
2xy dx x2 dy L
0dx dy
0
D
例3. 计算
其中L为一无重点且不过原点
的分段光滑正向闭曲线. 解: 令
则当x2 y2 0时,
说明: 根据定理2 , 若在某区域内 P Q , 则 y x
1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径; 2) 求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算,
若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线; 3) 可用积分法求d u = P dx + Q dy在域 D 内的原函数:
格林(Green)公式曲线积分与路径无关的条
数学与其他学科的交叉应用
格林公式在数学物理方程、电动力学、流体力学等领域有 广泛的应用，是连接数学与物理世界的重要桥梁。
格林公式的历史背景
发展历程
格林公式是微积分学中的重要内 容，它的起源可以追溯到19世纪 上半叶，当时数学家开始研究如 何将线积分转化为面积分的问题。
贡献人物
乔治·格林（George Green）在 1830年代对这一领域做出了重大 贡献，他通过引入所谓的“格林 函数”来研究平面上向量场的性 质。
格林公式在解决曲线积分问题中的优势
简化计算过程
通过格林公式，可以将复杂的曲线积分问题 转化为面积分问题，从而简化计算过程。
提供解决问题的新思路
格林公式为解决曲线积分问题提供了新的思 路和方法，有助于拓展解题思路。
04
曲线积分与路径无关的应用实例
物理学中的磁场问题
磁场线闭合
在磁场中，如果曲线积分的路径无关，那么磁场线必然是闭合的。这意味着磁场没有源点或漏点，即不存在磁单 极。
磁通量不变
在磁场中，如果曲线积分的路径无关，那么通过某一区域的磁通量将保持不变。这意味着磁场不会因为路径的改 变而发生改变。
电学中的电场问题
电势差恒定
在电场中，如果曲线积分的路径无关，那么电势差将保持恒定。这意味着电场不会因为路径的改变而 发生改变。
电场线闭合
在电场中，如果曲线积分的路径无关，那么电场线必然是闭合的。这意味着电场没有源点或漏点，即 不存在电荷聚集点。
通过格林公式，可以判断一个曲线积分是否 与路径无关，为解决相关问题提供依据。
格林公式与曲线积分的关系证明
利用向量场的散度性质
通过向量场的散度性质，可以推导出格林公 式，从而证明其与曲线积分的关系。
格林公式在数学物理方程、电动力学、流体力学等领域有 广泛的应用，是连接数学与物理世界的重要桥梁。
格林公式的历史背景
发展历程
格林公式是微积分学中的重要内 容，它的起源可以追溯到19世纪 上半叶，当时数学家开始研究如 何将线积分转化为面积分的问题。
贡献人物
乔治·格林（George Green）在 1830年代对这一领域做出了重大 贡献，他通过引入所谓的“格林 函数”来研究平面上向量场的性 质。
格林公式在解决曲线积分问题中的优势
简化计算过程
通过格林公式，可以将复杂的曲线积分问题 转化为面积分问题，从而简化计算过程。
提供解决问题的新思路
格林公式为解决曲线积分问题提供了新的思 路和方法，有助于拓展解题思路。
04
曲线积分与路径无关的应用实例
物理学中的磁场问题
磁场线闭合
在磁场中，如果曲线积分的路径无关，那么磁场线必然是闭合的。这意味着磁场没有源点或漏点，即不存在磁单 极。
磁通量不变
在磁场中，如果曲线积分的路径无关，那么通过某一区域的磁通量将保持不变。这意味着磁场不会因为路径的改 变而发生改变。
电学中的电场问题
电势差恒定
在电场中，如果曲线积分的路径无关，那么电势差将保持恒定。这意味着电场不会因为路径的改变而 发生改变。
电场线闭合
在电场中，如果曲线积分的路径无关，那么电场线必然是闭合的。这意味着电场没有源点或漏点，即 不存在电荷聚集点。
通过格林公式，可以判断一个曲线积分是否 与路径无关，为解决相关问题提供依据。
格林公式与曲线积分的关系证明
利用向量场的散度性质
通过向量场的散度性质，可以推导出格林公 式，从而证明其与曲线积分的关系。
格林公式(公开教学用)
B
x
b
y
E
xd 1( y)
nD
c
C
o
m
x 2( y)
x
y 型区域
按照 y 型区域考虑
Q dxdy
d
[
2 ( y) Q(x, y)dx]dy
D x
c 1( y)
x
d
c Q( 2 ( y), y) Q(1( y), y)dy
Q(x, y)dy Q(x, y)dy Q(x, y)dy
3）平面曲线 L 的正向：当人（观
察者）沿L的方向行走时，D内在靠近人
Hale Waihona Puke 的一侧始终在人的左侧。L
L
D
D l洞
外圈是逆时针方向；内圈是顺时针方向。
2、格林(Green)公式(定理1)
（1）D 是由分段光滑 (或光滑)的有向
闭曲线 L 围成； （2）函数 P(x, y),Q(x, y) 在D上具有一
阶连续偏导数；
y2 x2 x2 y2
2
,
补充定理:
1) 设P，Q 在 D 内具有一阶连续偏导数
2)
在
D
内恒有
Q x
P y
3) L1, L2 为D内任意两条同向闭曲线;
4) L1,L2 各自所围的区域中有相同的不
属于D的点，则
D
Pdx Qdy Pdx Qdy
L1
L2
L1 L2
解：当 (0,0利) 用D格林公式，结论为0.
（3）L要求取正向.（若不是正向 ? )
（4）二重积分的被积函数必须是 Q P .
x y
同学们思考一下，说明的第（2） 条其实是可以修改的，应该改成什么？
高等数学第三节 格林公式 平面上曲线积分与路径无关条件
D Q x P ydLPdxQ dy, ①
其中曲线积分是按沿Ｌ的正向计算的，公式 ①
称为格林公式.
其中曲线积分是按沿Ｌ的正向计算的，公式 ①
称为格林公式.
y
C y = 2(x) L
B D
A y =1(x)
E
Oa
bx
证明 假定穿过区域 D 内部且平行于坐标轴的直
线与 D 的边界曲线的交点不超过两个 (如图所示).
于是根据二重积分
的计算法，有
D
P y
d
b a
12((xx))Py dydx
y
C y = 2(x) L
D
B
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A y =1(x)
E
Oa
bx
a b{P [x,2(x) ]P [x,1(x)d ]x.}
第十一章 曲线积分与曲面积分
*第三节 格林公式 平面上曲线积分与路径无 关的条件
一、格林(Green)公式
二、平面上曲线积分与路径 无关的条件
一、格林(Green)公式
定理(格林定理) 设 D 是以分段光滑曲线 L 为边界的平面有界闭区域，函数 P(x, y) 及 Q(x, y) 在 D 上具有一阶连续的偏导数，则
解 显然，用这段路径来计算是很复杂且困难.
能否换一条路径呢？为此计P算 ,Q. 其中 P(x, y) y x
= x2y + 3xex, Q(x,y)1x3ysiny,
3
得
Px2Q.
y
x
显P(然 x,y)Q ,(x,y) ,P,Q在 全D 平 上面 连 . 域 续 y x
mdmπa2mπa2.
D
其中曲线积分是按沿Ｌ的正向计算的，公式 ①
称为格林公式.
其中曲线积分是按沿Ｌ的正向计算的，公式 ①
称为格林公式.
y
C y = 2(x) L
B D
A y =1(x)
E
Oa
bx
证明 假定穿过区域 D 内部且平行于坐标轴的直
线与 D 的边界曲线的交点不超过两个 (如图所示).
于是根据二重积分
的计算法，有
D
P y
d
b a
12((xx))Py dydx
y
C y = 2(x) L
D
B
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A y =1(x)
E
Oa
bx
a b{P [x,2(x) ]P [x,1(x)d ]x.}
第十一章 曲线积分与曲面积分
*第三节 格林公式 平面上曲线积分与路径无 关的条件
一、格林(Green)公式
二、平面上曲线积分与路径 无关的条件
一、格林(Green)公式
定理(格林定理) 设 D 是以分段光滑曲线 L 为边界的平面有界闭区域，函数 P(x, y) 及 Q(x, y) 在 D 上具有一阶连续的偏导数，则
解 显然，用这段路径来计算是很复杂且困难.
能否换一条路径呢？为此计P算 ,Q. 其中 P(x, y) y x
= x2y + 3xex, Q(x,y)1x3ysiny,
3
得
Px2Q.
y
x
显P(然 x,y)Q ,(x,y) ,P,Q在 全D 平 上面 连 . 域 续 y x
mdmπa2mπa2.
D
格林公式、高斯公式、斯托克斯公式的应用
Green公式、Stokes公式、Gauss公式在专业学科中的应用摘要格林（Green）公式，斯托克斯（Stokes）公式和高斯（Gauss）公式是多元函数积分学中的三个基本公式，它们分别建立了曲线积分与二重积分、曲面积分与三重积分、曲线积分和曲面积分的联系。
它们建立了向量的散度与通量、旋度与环量之间的关系，除了在数学上应用于计算多元函数积分，在其他领域也有很多重要的应用。
本文将主要从这三个公式与物理学之间的联系展开介绍它们的其他应用，其中包括应用于GPS面积测量仪，确定外部扰动重力场，应用于保守场以及推证阿基米德定律和高斯定理等，帮助人们加深对格林公式、斯托克斯公式和高斯公式的理解，从而能够更准确地应用此三个公式。
关键词：格林公式斯托克斯公式高斯公式散度旋度应用目录一、引言 (1)二、格林（Green）公式的应用 (1)（一）格林公式的定义 (1)1、单连通区域的概念 (1)2、区域的边界曲线的正向规定 (1)3、陈述 (1)(二)格林公式的物理原型 (1)1、物理原型 (2)2、计算方法 (2)（三）格林公式与GPS面积测量仪 (3)1.应用曲线积分计算平面区域面积 (3)2.GPS面积测量仪的数学原理 (4)3.实验结果 (5)4.进一步讨论 (5)（四）应用格林积分直接以地面边值确定外部扰动重力场 61.扰动重力位的地面边值问题 (6)2.地面边值问题的格林公式表示 (6)三、Stokes公式的应用 (8)（一）Stokes公式简介 (8)（二）环量与环量密度 (9)（三）环量的应用 (9)1.开尔文定理 (9)2.开尔文定理的推论 (10)3.升力 (10)（四）旋度 (11)（五）旋度的应用 (12)1. 平面矢量场的旋度 (12)2.环流量是区域S 内有无漩涡的量度 (12)3.旋度是矢量场某点漩涡强度的量度 (13)4.空间矢量场的旋度 (13)四、Gauss公式的应用 (16)1、数学中的高斯公式 (16)2、保守场的推导 (17)3、高斯公式在电场中的运用 (17)4、高斯定理在万有引力场中的应用 (19)5.高斯公式推证阿基米德浮力定律 (21)6.高斯公式推证静电场中的高斯定理 (22)7.高斯公式与散度 (24)五、结语 (25)六、参考文献 (26)一、引言格林（Green）公式，斯托克斯（Stokes）公和高斯（Gauss）公式是多元函数积分学中的三个基本公式，它们分别建立了曲线积分与二重积分、曲面积分与三重积分、曲线积分和曲面积分的联系。
高等数学 格林公式
设 G 为开的单连通域, A、B 是 G 内的任意两点, L 是 G 内从 A 到 B 的光滑或分段光滑的有向曲线,若 曲线积分 L P ( x , y )dx Q( x , y )dy 只
o y
L
B
L1
G
A
x
与 L 的两个端点有关而与积分的路径无关, 则称曲 线积分 L P ( x , y )dx Q( x , y )dy 在 G 内与路径无关.
解 记 L 所围闭区域为 D ,
则原积分
2 2 ( y x )dxdy D
y
O
2 x
d 0
2 2
2 cos
d 8
3
2 0
3 cos d . 2
4
2) L 是封闭曲线但在L 所围区域 D 内P、Q有奇点,则 不能直接应用格林公式.
第四节
格林公式
一、格林(Green)公式 二、曲线积分与路径无关的条件 三、二元函数的全微分求解 * 四、曲线积分基本定理
一、格林公式
1. 区域连通性 设 D 为平面区域 , 如果 D 内任一闭曲线所围成的 部分都属于 D , 则称 D 为平面单连通区域 , 否则 称为复连通区域.
D D
单连通区域
2 2 L
2 B
A
其中 L 是以 O(0,0), A(1,2), B(0,2) 为顶点 的OAB 的正向边界.
I 2 .
o
D
1
x
例1 计算 ( x 2 2 xy )dx ( y 2 2 xy )dy ,
L
2 B
y
A
其中 L 是以 O(0,0), A(1,2), B(0,2) 为顶点 的OAB 的正向边界.
o y
L
B
L1
G
A
x
与 L 的两个端点有关而与积分的路径无关, 则称曲 线积分 L P ( x , y )dx Q( x , y )dy 在 G 内与路径无关.
解 记 L 所围闭区域为 D ,
则原积分
2 2 ( y x )dxdy D
y
O
2 x
d 0
2 2
2 cos
d 8
3
2 0
3 cos d . 2
4
2) L 是封闭曲线但在L 所围区域 D 内P、Q有奇点,则 不能直接应用格林公式.
第四节
格林公式
一、格林(Green)公式 二、曲线积分与路径无关的条件 三、二元函数的全微分求解 * 四、曲线积分基本定理
一、格林公式
1. 区域连通性 设 D 为平面区域 , 如果 D 内任一闭曲线所围成的 部分都属于 D , 则称 D 为平面单连通区域 , 否则 称为复连通区域.
D D
单连通区域
2 2 L
2 B
A
其中 L 是以 O(0,0), A(1,2), B(0,2) 为顶点 的OAB 的正向边界.
I 2 .
o
D
1
x
例1 计算 ( x 2 2 xy )dx ( y 2 2 xy )dy ,
L
2 B
y
A
其中 L 是以 O(0,0), A(1,2), B(0,2) 为顶点 的OAB 的正向边界.