格林公式例题和习题
0 x
y
0
dy x2 y 2
目录 上页 下页 返回 结束
或
y (1, y) ( x, y)
dy 0 1 y2
y
O (1,0)
( x,0 )
x
π x arctan 2 y
目录
上页
下页
返回
结束
例7. 设质点在力场
作用下沿曲线 L : 求力场所作的功W
π 移动到 由 A( 0, ) 2
一、 格林公式
单连通区域 ( 无“洞”区 区域 D 分类 域 ) 多连通区域 ( 有“洞”区
L D
域) 规定：域 D 边界L 的正向: 域的内部靠左 在 D 上具有连续一阶偏导数, 则有
定理1. 设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成, 函数
Q P d xd y Pd x Qd y ( 格林公式 ) x y D L
解: W F d s
L
y
L
k ( y dx x d y) 2 r
取定点 ( x0 , y0 ) D 及动点 ( x , y ) D , 则原函数为 ( x, y ) y u ( x, y ) P( x, y )d x Q( x, y )d y y
P( x, y0 )d x
x0 y y0
( x0 , y0 ) x
y y0 x x0
L Pd x Qd y 0 .
L
(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分 Pd x Qd y
与路径无关, 只与起止点有关.
(3) 在 D 内是某一函数 的全微分,
d u( x, y) P d x Q d y P Q . (4) 在 D 内每一点都有 y x
D
0
AO
( x 3 y )d x ( y x ) d y
2 2
L D Ax
上页 下页 返回 结束
64 8π 3
O
目录
例5. 验证 出这个函数及
2 2
是某个函数的全微分, 并求源自P Q 证: 设 P x y , Q x y, 则 2x y y x ( x, y ) 由定理2 可知, 存在函数 u (x , y) 使
即
目录 上页 下页 返回 结束
P Q , 则 说明: 根据定理2 , 若在某区域D内 y x 1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径; 注： 求曲线积分时,若积分路径不是闭曲线，且难计 算，则可添加辅助线后，利用格林公式简化计算。
2) 可用积分法求d u = P dx + Q dy在域 D 内的原函数:
1 A xd y y d x 2 L
L
xd y y d x
L
1 2π (ab cos 2 ab sin 2 ) d π ab 2 0
定理1 目录 上页 下页 返回 结束
例1. 设 L 是一条分段光滑的闭曲线, 证明
L
2x y d x x 2 d y 0
Q( x, y )d y
或 u ( x, y )
Q( x0 , y )d y P( x, y)d x
定理2 目录
y0 O x0
上页 下页 返回
x x
结束
3) 若已知 d u = P dx + Q dy , 则对D内任一分段光滑曲 线 AB ,有
AB
B A
B
P ( x , y )d x Q ( x , y )d y
或
D
x
y
P
Q
d xd y Pd x Qd y
L
目录 上页 下页 返回 结束
Q P d xd y P d x Q d y 格林公式 x y D L
推论: 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积
x a cos (0 2π) 所围面积 例如, 椭圆 L : y b sin
证: 令 P 2x y , Q x 2 , 则
利用格林公式 , 得
L
2x y d x x 2 d y 0 d x d y 0
D
目录
上页
下页
返回
结束
例2. 计算
y2
其中D 是以 O(0,0) , A(1,1) ,
B(0,1) 为顶点的三角形闭域 . 解: 令P 0, Q x e ,则
解: 为了使用格林公式, 添加辅助线段 AO , 它与L 所围 区域为D , 则
原式
L AO
( x 3 y ) d x ( y x) d y
2
2
( 4)d xd y ( x 2 3 y )d x D OA y 4 2 4 d xd y x d x
D
A
B
P( x, y ) d x Q( x, y )d y d u u
A
B A
u ( B) u ( A)
注: 此式称为曲线积分的基本公式(P213定理4). 它类似于微积分基本公式:
定理2
目录
上页
下页
返回
结束
例4. 计算 圆周
其中L 为上半
从 O (0, 0) 到 A (4, 0).
y
B(0,1) A(1,1)
D
利用格林公式 , 有
yx
O
D
x
xe xe
y2
dy dy 0 ye
1 y2
y2
OA
dy
1 (1 e 1 ) 2
目录 上页 下页 返回 结束
二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件
定理2. 设D 是单连通域 , 函数 具有一阶连续偏导数, 则以下四个条件等价: (1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有 在D 内
du x y 2 d x x 2 yd y
(0,0) ( x,0)
0 0 x y d y
2
y
y 2 x y 0
dy
目录
上页
下页
返回
结束
xd y yd x 在右半平面 ( x > 0 ) 内存在原函 例6. 验证 2 2 x y y ( x, y ) 数 , 并求出它. y x , Q 2 证: 令 P 2 2 x y x y2 2 2 O (1,0) ( x,0 ) x P y x Q 则 2 ( x 0) 2 2 x ( x y ) y 由定理 2 可知存在原函数
格林公式及其应用
其中L是 D的取正向的边界曲线.
格林公式的实质: 沟通了沿闭曲线的积分与二重
积分之间的联系.
3. 简单应用
(1) 计算平面面积
格林公式
D
Q x
P y
dxdy
L
Pdx
Qdy
取 P y, Q x,
得
2 dxdy L xdy ydx
D
闭区域D的面积
A 1 xdy ydx 2L
例1 求椭圆 x a cos t, y bsint,0 t 2
解 由格林公式
(e x sin y my )dx (e x cos y m)Ody AO OA
A(a,0)x
mdxdy
1 8
ma 2
OA的方程为y 0, 0 x a
D
故
(e x sin y my )dx (e x cos y m)dy
a
0dx 0
OA
0
所以, I 1 ma2 0 1 ma2.
AO OA OA 8
8
(3) 简化二重积分
D
(Q x
P y
)dxdy
L
Pdx
Qdy
例5 计算 e y2dxdy, 其中D是
D
y 1B
A
以O(0,0), A(1,1), B(0,1)
D
为顶点的三角形闭区域.
解 令 P 0, Q xe y2
O
1x
则 Q P e y2 格林公式
x y
e y2dxdy
规定 边界曲线L的正向 当观察者沿边界行走时,区域D总在他的左边.
y L
D
L
D
l
O
x
L+l 称为复合闭曲线
第四节格林公式
EAC c
⌒
证明(2) 若区域D由按段光滑的 闭曲线围成.如图, 将D分成三个既是 x 型又是 y 型的 区域D1, D2, D3.
L3 D3
D2
L2
L1
D1
D
L
Q P Q P ( x y )dxdy ( x y )dxdy D D1 D2 D3
(
D1 D2 D3
Q P )( )dxdy x y
(
D1
D2
D3
) Pdx Qdy
D
Pdx Qdy.
证明(3) 若D是复连通区域 ,添加直线段
AB,CE. 则D由AB, BA,AFC,CE, EC 及CGA构成. 由(2)知 ( Q P )dxdy D y D x
y2
1
x
e
D
y2
dxdy
x2
OA AB BO
xe
dy
OA
xe
y2
dy
0 xe
1
1 1 x2 1 dx [ e ] 0 (1 e 1 ). 2 2
3) 利用第二类曲线积分可求闭曲线所围区域的面积.
Q P )dxdy Pdx Qdy 格林公式: ( y D x D
y
解 记 L 所围闭区域为 D ,
则原积分
( y
D
2
x )dxdy
2
O
2 x
d 0
2 2
2 cos
d 8
3
2 0
3 cos d . 2
D10_3格林公式
添线段 L1 , 它与L 所围区域为D , 则
I
L L1
L1
12xd xd y
D
1
(e1 12x1)d x 1
A
yL1
DB
L
1 o 1 x
D 的 边 1界1d为xL1x(2取12正x d向y)2e 2e
L
Pd
x
Qd
y
D
(
Q x
P y
里面顺时针方向.
D
负向
L
L的正向: 当观察者沿该方向行走时，D内在 他近处的那部分总在他的左边.
3、格林公式
定理1.设区域 D 由分段光滑正向闭曲线 L 围成 ,
函数
在 D 上有连续偏导数 , 则
L Pd x
Qd y
D
(
Q x
P )dxd y y
(格林公式)
注1 关键条件（1） L 是正向闭曲线；
3
xy
2
)d
y
P dx Q3dxy2 y2d[ux(yx3, y)] 的条件：P Q y x
此时：u( x, y) ( x, y) P( x, y)dx Q( x, y)d y ( x0 , y0 )
x
y
x0 P( x, y0 )dx y0 Q( x, y)d y
, y1 ) P
y0 )dx
(x, y)
d
x
yQy01 (Qx(,x1y,)yd)dyy
( x0 , y0 )
()
注3 若P (x,y)d x + Q (x,y)d y d u(x, y)，
格林公式例题与习题
y dy 0 x2 y2
目录 上页 下页 返回 结束
或
y dy 0 1 y2
π arctan x
2
y
y (1, y) (x, y) O (1,0) ( x,0) x
目录 上页 下页 返回 结束
例7. 设质点在力场
作用下沿曲线 L :
由 A( 0, π ) 移动到 2
求力场所作的功W
y
A
解:
W
Fds
L
L
k r2
( ydx
x d y)
L
令
则有
O Bx
P y
k(x2 y2) r4
Q x
( x2 y2 0)
可见, 在不含原点的单连通区域内积分与路径无关.
目录 上页 下页 返回 结束
取圆弧 AB : x π cos , y π sin ( : π 0)
2
2
2
W
AB
k r2
(y
一、 格林公式
区域 D 分类
单连通区域 ( 无“洞”区 域 多连) 通区域 ( 有“洞”区
L D
规定：域 D 边域界L) 的正向: 域的内部靠左
定理1. 设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成, 函数 在 D 上具有连续一阶偏导数, 则有
Q P dxdy Pdx Qdy
D x y
0
1 (1 e1) 2
目录 上页 下页 返回 结束
二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件
定理2. 设D 是单连通域 , 函数
在D 内
具有一阶连续偏导数, 则以下四个条件等价:
(1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有 L Pdx Qdy 0.
格林公式习题解析
“ u(x, y) (x,y) 2x ydx x2 d y ”. ( x0 , y0 )
图1
又由于积分 u(x, y) (x,y) 2X Y d X X 2 dY 与路径无关， ( x0 , y0 )
也就意味着，我们可以选取使计算简便的路径，通常我们选择 折线路径，如图 1 和图 2 所示.
y
x
y x
符合定理 9.3.2 中的充要条件，因此，积分与路径无关.
再来计算积分值——
本题中并没有指定积分弧段，只取定了起点 (1,1) 和终点 (2,3) . 由于积分与路径无关，
因此，无论沿哪条积分弧段计算曲线积分，积分值都是相同的， 我们可以选择较简便的折线路径（如图 3 所示）进行计算，记
因此，无论沿哪条积分弧段计算曲线积分，积分值都是相同的， 我们可以选择较简便的折线路径（如图 4 所示）进行计算，记
x x
LAB
:
y
2
(x
:1
3)
，
LBC
:
x y
3 y
( y : 2 4) ，则有
图4
(3,4) (6 x y2 y3)dx (6 x2 y 3 x y2 )d y (1,2)
的正向边界；
答案： 1 (e 1) 5
解析： 本题考查课本第 137~138 页知识点——
可简单地理解为曲线上无“尖点”（导数或偏导数不存在的点）， 即曲线上处处有切线，且切线随切点的移动而连续转动.
简单地讲，格林公式就是把闭区域内的二重积分和该闭区域边界上的曲线积分联系了起 来，这两种积分可以根据我们的需要相互转化，从而简化计算.
u(x, y) y0 (x2 x02 ) x2 ( y y0) 的全微分，随着 (x0, y0 ) 的不同， u(x, y) 也不同.
数学分析21.3格林公式、曲线积分与路线的无关性(含习题及参考答案)
第二十一章 重积分3格林公式、曲线积分与路线的无关性一、格林公式概念：当区域D 的边界L 由一条或几条光滑曲线所组成时，规定边界曲线的正方向为：当人沿边界行走时，区域D 总在他的左边. 与正方向相反的方向称为负方向，记为-L.定理21.11：若函数P(x,y), Q(x,y)在闭区域D 上连续，且有连续的一阶偏导数，则有格林公式：⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂D d y P x Q σ=⎰+L Qdy Pdx . L 为区域D 的边界曲线，并取正方向.证：根据区域D 的不同形状，可分三种情形来证明： (1)若区域D 既是x 型区域，又是y 型区域(如图1)，即 平行于坐标轴的直线和L 至多交于两点，该区域D 可表示为： φ1(x)≤y ≤φ2(x), a ≤x ≤b 或ψ1(x)≤x ≤ψ2(x), c ≤y ≤d.这里y=φ1(x)和y=φ2(x)分别为曲线⌒ACB 和⌒AEB 的方程, x=ψ1(x)和x=ψ2(x) 分别为曲线⌒CAE 和⌒CBE的方程, ∴⎰⎰∂∂Dd x Qσ=⎰⎰∂∂)()(21y y d c dx x Q dy ψψ=⎰d c dy y y Q )),((2ψ-⎰d c dyy y Q )),((1ψ=⎰⋂CBE dy y x Q ),(-⎰⋂CAE dy y x Q ),(=⎰⋂CBE dy y x Q ),(+⎰⋂EAC dy y x Q ),(=⎰L dy y x Q ),(.同理可证：-⎰⎰∂∂Dd y Pσ=⎰L dx y x P ),(. 即有⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂D d y P x Q σ=⎰+L Qdy Pdx . (2)若区域D 是一条按段光滑的闭曲线围成(如图2)，则先用几段光滑曲线将D 分成有限个既是x 型又是y 型的子区域，然后逐块按(1)得到它们的格林公式，相加即可.图2中区域D 可分成三个既是x 型又是y 型的区域D 1,D 2,D 3，则有⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂D d y P x Q σ=⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂1D d y P x Q σ+⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂2D d y P x Q σ+⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂3D d y P x Q σ =⎰+1L Qdy Pdx +⎰+2L Qdy Pdx +⎰+3L Qdy Pdx =⎰+L Qdy Pdx.(3)若区域D 由几条闭曲线所围成(如图3)， 可适当添加直线AB, CE,把区域转化为(2)的情况处理.图D 的边界线由AB,L 2,BA,⌒AFC ,CE,L 3,EC 及⌒CGA构成. 由(2)知 ⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂D d y P x Q σ=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋂⋂CGA EC l CE AFCBA l AB32(Pdx+Qdy)=()⎰⎰⎰++132L L L (Pdx+Qdy)=⎰+L Qdy Pdx .注：格林公式可写为：⎰⎰∂∂∂∂Dd QP y x σ=⎰+L Qdy Pdx .例1：计算⎰AB xdy ，其中曲线AB 为半径为r 的圆在第一象限部分. 解：如图，对半径为r 的四分之一圆域D 应用格林公式有⎰⎰-D d σ=⎰-L xdy =⎰OA xdy +⎰AB xdy +⎰BO xdy =⎰AB xdy . ∴⎰AB xdy =⎰⎰-Dd σ=-41πr 2.例2：计算I=⎰+-Ly x ydxxdy 22, 其中L 为任一不包含原点的闭区域的边界线.解：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂22y x x x =22222)(y x x y +-, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∂∂22y x y y =22222)(y x x y +- 在上述区域D 上连续且有界，∴⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂Dd yx yx y x x x σ2222=0. 由格林公式可得I=0.注：在格林公式中，令P=-y, Q=x ，则得到一个计算平面区域D 的面积S D 的公式：S D =⎰⎰Dd σ=⎰-L ydx xdy 21.例3：如图，计算抛物线(x+y)2=ax (a>0)与x 轴所围的面积.解：曲线⌒AMO由函数y=x ax -, x ∈[0,a]， 直线OA 为直线y=0， ∴S D =⎰-ydx xdy 21=⎰-OA ydx xdy 21+⎰⋂-AMO ydx xdy 21=⎰⋂-AMO ydx xdy 21=dx x ax ax ax a ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0)(1221=dx ax a ⎰-02121=dx x a a⎰4=62a .二、曲线积分与路线的无关性概念：若对于平面区域D 上任一封闭曲线，皆可不经过D 以外的点而连续收缩于属于D 的某一点，则称此平面区域为单连通区域，否则称为复连通区域。
格林公式及其应用
例如： P
y x2 y2
， Q
x x2 y2
，在复连通域
1 2 2 D ( x , y ) x y 4 中，具有连续偏导数， 2
Q y2 x2 P 2 x ( x y 2 )2 y
x y 1
2
2
Pdx Qdy 2 0
2．定理 2
若向量值函数 A( x , y ){ P ( x , y ),Q ( x , y )} 在单连
通域 D 上有一阶连续偏导数，则以下四个命题等价： P Q （1） ( x, y )D ，有 ； y x
（2）沿 D 内任意的逐段光滑闭曲线 C，有
C PdxQdy0 ； Pdx Qdy 与路径无关，只与位于 D 内的 （3 ） C ( AB )
B ( 2,0)
x
kx k (1 y ) y W F ds dx dy C C r3 r3 A (0,1)
其中 C： y 2 x x 2 ， x : 20 。
M ( x, y)
o
B ( 2,0)
x
∵ P
kx r3
， Q
k (1 y ) r3
P 3kx(1 y ) Q ， ， y x r5
其中 C： y 2 x x 2 ， x : 20 。
M ( x, y)
o
B ( 2,0)
x
P 3kx(1 y ) Q ∵ P ， Q ， ， y x r3 r3 r5 Q P C OB ( x y )dxdy C OB D OB BO
y
A (0,1)
则 MA{ x,1 y} ，
r MA x 2 (1 y)2 ，
高等数学：格林公式
D
由于 xdy 0,
xdy 0, xdy dxdy 1 r2.
OA
BO
AB D
4
2. 简化二重积分
y
例 2 计算
e y2 dxdy ,其中D 是
B 1
D
D
以O(0,0), A(1,1), B(0,1)为顶点
的三角形闭区域.
o
解 令P 0, Q xe y2 ,
A
1
x
则 Q P e y2 , x y
c
1 ( y) x
d
c
Q(
2
(
y),
y)dy
d
c
Q(
1(
y),
y)dy
ห้องสมุดไป่ตู้
y
Q( x, y)dy Q( x, y)dy
CBE
CAE
d
x 1( y)
Q( x, y)dy Q( x, y)dy
CBE
EAC
A
c
LQ( x, y)dy
o
E D B
C
x 2( y)
x
同理可证
D
P y
dxdy
L
P(
A
1 2
L
xdy
ydx
1
2 ONA
xdy
ydx
1
2 AMO
xdy
ydx
1
2 AMO
xdy
ydx
M
N
A(a,0)
1 2
0
a
x(
2
a ax
1)dx
(
ax x)dx
a a
40
xdx 1 a2 . 6
例3. 计算
§11.2(2)格林公式
Q P ∫∫D( x y )dxdy = ∫L Pdx + Qdy
4
2) 若D不满足以上条件, 则可通过加辅助线将其分割 为有限个上述形式的区域 , 如图 Q P ∫∫D( x y ) dxdy
y
1 D2 D
L
= ∑∫∫
k =1 n
n
Dk
(
Q P ) dxdy x y
Dn
o
x
= ∑∫
k =1
du = xy2 dx + x2 ydy. (0,0)( Nhomakorabea, y) .
= ∫ x 0 dx + ∫
0
x
y 2 x y dy 0
(x,0)
=∫
y 2 x y dy 0
18
xd y y d x 在右半平面 ( x > 0 ) 内存在原函 例6. 验证 2 2 x +y y 数 , 并求出它. (x, y) y x , Q= 2 证: 令 P = 2 2 x +y x + y2 2 2 o (1,0) ( x,0) x P y x Q 则 = 2 = ( x > 0) 2 2 x (x + y ) y 由定理 2 可知存在原函数 定理
Q P ∫∫ x y dxdy = ∫ Pdx + Qdy ( 格林公式 ) D L
或
∫∫ P
D
x
y
Q
dxdy = ∫ Pdx + Qdy
L
2
证明: 证明 1) 若D 既是 X - 型区域 , 又是 Y - 型区域 , 且 1(x) ≤ y ≤ 2 (x) y E D: d a ≤ x ≤b
y0 x0 x0 y y0 x
格林公式及其应用
易于计算时，可应用格林公式计算
O
L2 L L1 L3
x
（2）L不封闭时，采取“补线”的方法：
L L l lD ( Q x P y)dx d l y
要求右端的二重积分及曲线l积分易于计算。l 选用直线段、折线、圆、半圆、椭圆、抛物线等。
（3）如在D上P、Q一阶偏导连续，且处处有
(1) 沿D中任意光滑闭曲线 L,有 LPdxQdy0。
(2) 对 D中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分
PdxQdy与路径无关, 只与起止点有关.
L
(3)PdxQdy在 D内是某一函数 u(x, y)的全微分, 即 d u ( x ,y ) P d x Q d y
(4) 在 D内每一点都有 P Q 。 y x
注意本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径无关内有设pq在单连通域d内具有一阶连续偏导数则有思考与练习且都取正向问下列计算是否正确的半圆计算质点m沿着以ab为直径的半圆从a12运动到故所求功为ab锐角其方向垂直于om且与y轴正向夹角为对质点m所作的功
8.2 格林公式及其应用
8.2.1 格林公式 8.2.2 平面上曲线积分与路径无关的条件
a a xdx1a2
40
6
8.2.2 平面上曲线积分与路径无关的条件
如果在区域G内有
y
PdxQdy L1
PdxQdy L2
B G
L1
A
L2
o
x
则称曲线积分L Pdx Qdy在G 内与路径无关,
否则与路径有关。
平面上曲线积分与路径无关的等价条件 定理8.2.2 设 D是单连通域,函数P (x ,y)Q ,(x ,y)在D内 具有一阶连续偏导数, 则以下四个条件等价: