高等数学第三节格林公式及其应用
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第三节格林公式
2) 若D不满足以上条件, 则可通过加辅助线将其分割 为有限个上述形式的区域 , 如图 y
Q P D x y d xd y Q P Q P ( )dxdy ( )dxdy x y x y D D
1
G A
L3 D3
F
C
D1
D2
0
r
例4. 计算
其中L为一无重点且不过原点 该方法俗称 “ 挖洞法 。”
y L
D
的分段光滑正向闭曲线.
(1) 当( 0, 0) D 时, xd y yd x Q P ( )dxdy L x 2 y 2 x y D (2) 当 ( 0,0) D 时,
解: 记L所围闭区域为D，
P Q 证: 将格林公式分为: dxdy Pdx， dxdy Qdy D y L D x L
1) 若D 既是 X - 型区域 , 又是 Y - 型区域 d
x 1 ( y)
y
E D
C
x 2 ( y)
A
B
bx
c
2 ( y ) Q Q d 则 d xd y d y dx D x 1 ( y) x c
Q 0, P y , 则有 A ydx
L
例1. 设 L 是一条分段光滑的闭曲线, 证明 证: 令 P 2x y , Q x 2 , 则
L
2x y d x x 2 d y 0
利用格林公式 , 得
L
2x y d x x 2 d y 0d x d y 0
A
D
y
L
o
x
B
L B O O A x dy L x dy x dy x dy x dy L BO OA 在BO上， y = 0 , d y 0, B O x dy 0
格林公式及其应用
其中L是 D的取正向的边界曲线.
格林公式的实质: 沟通了沿闭曲线的积分与二重
积分之间的联系.
3. 简单应用
(1) 计算平面面积
格林公式
D
Q x
P y
dxdy
L
Pdx
Qdy
取 P y, Q x,
得
2 dxdy L xdy ydx
D
闭区域D的面积
A 1 xdy ydx 2L
例1 求椭圆 x a cos t, y bsint,0 t 2
解 由格林公式
(e x sin y my )dx (e x cos y m)Ody AO OA
A(a,0)x
mdxdy
1 8
ma 2
OA的方程为y 0, 0 x a
D
故
(e x sin y my )dx (e x cos y m)dy
a
0dx 0
OA
0
所以, I 1 ma2 0 1 ma2.
AO OA OA 8
8
(3) 简化二重积分
D
(Q x
P y
)dxdy
L
Pdx
Qdy
例5 计算 e y2dxdy, 其中D是
D
y 1B
A
以O(0,0), A(1,1), B(0,1)
D
为顶点的三角形闭区域.
解 令 P 0, Q xe y2
O
1x
则 Q P e y2 格林公式
x y
e y2dxdy
规定 边界曲线L的正向 当观察者沿边界行走时,区域D总在他的左边.
y L
D
L
D
l
O
x
L+l 称为复合闭曲线
738-第三节 格林公式及其应用-PPT精选文档
解 用格林公式。 记右半圆域为 D。 A Q P ( )dxdy 原式 x y D D
OA
OA
L
D
3dxdy
D
3 2 1 . 3| D | 0 sinydy cos 2
2
5/23
OA : x 0
D
例2. 求 (2x y4 )dx (3x5y6 )dy , L:
L
(0 ,0 ) 、 (3 ,0 ) 、 (3 ,2 )为 顶 点 的 三 角 形 ， 的 顺 边 时针方向。 D。 解 用格林公式。 记 相 应 三 角 域 为
原式
D
Q P ( ) dxdy x y D
L
3) 在 D 上， Pdx Qdy 与路径无 ；
AB
4) 在 D 上， Pdx Qdy 是某个函数的全 ( x, y) （ Qdy 是一个原函 . 数 即 有原函数 (x ,y ) Pdx
0 0
8/23
说明: 积分与路径无关时, 曲线积分可记为
P d xQ d y P dxQ dy AB A
21/23
r
x
Q P d x d y P d x Q d y 格林公式 x y D L
用格林公式易证： xOy 面上有界闭区 D 的面
| D| xdy D ydx
D
1 xdy ydx . 2 D
x a cos 所围面积 : ( 0 2 π) 例如, 椭圆 L y b sin 1 A x d y y d x 2L 2 π 1 2 2 πab ( ab cos ab sin ) d 0 2
第三节格林公式及其应用
Qdx ddydy2(y)Q dx
Dx
c 1(y) x
d
d
cQ (2 (y )y ) ,d y cQ (1 (y )y ) ,dy
y
CQ B (x E ,y )d y CQ A (x E ,y )ddy
x1(y)
Q (x ,y )d yQ (x ,y )dy
y
L
D1
l
or
x
02r2co2sr2r2si2nd
2.
(其中l 的方向 取逆时针方向)
(注意格林公式的条件)
3. 计算平面面积
格 林 公 式 :D ( Q x P y )dx L d P y d Q xdy
取 Py,Qx, 得 2dxd yLxdyydx
即
(x2y3xex)d x1x3ysiyn d y
L
3
3e2π(12π)3.
xdy ydx
例 6
计算
L
x2 y2 , 其中 L 由点 A(- , - )
经曲线 y = cos x 到点 B(, - ) (如图).
（或沿G 内任意闭曲线的曲线积分为零）的充
要条件是P Q 在G 内恒成立. y x
有关定理的说明：
( 1 ) 开 区 域 G 是 一 个 单 连 通 域 .
(2) 函 数 P (x,y),Q (x,y)在 G 内 具 有 一 阶 连
续 偏 导 数 . 两条件缺一不可
证 充分性：
因为 Q P , (x, y) G，所以对 G 内任
D
闭 区 域 D 的 面 积 A 1 2Lxd yyd . x
取 P0,Qx, 得ALxdy 取 Py,Q0, 得ALydx
格林公式及其应用
L1 L2 L2
Pdx Qdy Pdx Qdy
L2
Pdx Qdy Pdx Qdy 0，
L1 L1 ( L2 ) L2
Pdx Qdy 0
此时L1 ( L2 )为有向闭曲线，故结论成立, 反之也成立.
3、定理2
设区域G是一个单连通域，函数P( x, y )、Q( x, y ) 在G内具有一阶连续偏导数，则曲线积分 Pdx Qdy
Q y2 x2 P 2 2 2 x ( x y ) y 则
L
xdy ydx x y
2 2
0
(2) 原点在D内时
选取适当小的r 0， 作位于D内的圆周l x2 y2 r 2 记L与l所围的闭区域为D1;
即D1为复连通区域,
l的方向取逆时针方向 有 , xdy ydx x y
P 因 连续，故第一式左边 y 2 ( x ) P ( x, y ) P b dy dx y dxdy a 1 ( x ) y D a Px, 2 ( x) Px,1 ( x)dx
b
第一式右边 Pdx Pdx Pdx
第三节
格林公式及其应用
一、格林公式
二、平面上曲线积分与路径 无关的条件 三、二元函数的全微分求积
一、 格林公式
平面单连通区域: 设D为平面区域，如果D内任一闭曲线所围的部
分都属于D，则称D为平面单连通区域，否则称为复连
通区域.
通俗的说，平面单连通区域是不含有“洞”的区
域.
例如 圆形区域： x, y ) x 2 y 2 1} {(
Pdx Qdy
ABPA
Q P x y dxdy Pdx Qdy D3 BCNB
Pdx Qdy Pdx Qdy
L2
Pdx Qdy Pdx Qdy 0，
L1 L1 ( L2 ) L2
Pdx Qdy 0
此时L1 ( L2 )为有向闭曲线，故结论成立, 反之也成立.
3、定理2
设区域G是一个单连通域，函数P( x, y )、Q( x, y ) 在G内具有一阶连续偏导数，则曲线积分 Pdx Qdy
Q y2 x2 P 2 2 2 x ( x y ) y 则
L
xdy ydx x y
2 2
0
(2) 原点在D内时
选取适当小的r 0， 作位于D内的圆周l x2 y2 r 2 记L与l所围的闭区域为D1;
即D1为复连通区域,
l的方向取逆时针方向 有 , xdy ydx x y
P 因 连续，故第一式左边 y 2 ( x ) P ( x, y ) P b dy dx y dxdy a 1 ( x ) y D a Px, 2 ( x) Px,1 ( x)dx
b
第一式右边 Pdx Pdx Pdx
第三节
格林公式及其应用
一、格林公式
二、平面上曲线积分与路径 无关的条件 三、二元函数的全微分求积
一、 格林公式
平面单连通区域: 设D为平面区域，如果D内任一闭曲线所围的部
分都属于D，则称D为平面单连通区域，否则称为复连
通区域.
通俗的说，平面单连通区域是不含有“洞”的区
域.
例如 圆形区域： x, y ) x 2 y 2 1} {(
Pdx Qdy
ABPA
Q P x y dxdy Pdx Qdy D3 BCNB
格林公式及其应用
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(二)、平面上曲线积分与路径无关的等价条件 二、
定理2. 定理 设D 是单连通域 , 函数 具有一阶连续偏导数, 则以下四个条件等价: (1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有 在D 内
∫L Pdx + Qdy = 0.
L
(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分 ∫ Pdx + Qdy D 与路径无关, 只与起止点有关. (3) 即 在 D 内是某一函数 的全微分,
B
L1
A
=∫
L1+L− 2
Pdx + Qdy
L2
(根据条件(1))
= ∫ Pdx + Qdy
说明: 说明 积分与路径无关时, 曲线积分可记为
∫AB Pdx + Qdy = ∫A Pdx + Qdy
定理2 目录 上页 下页 返回 结束
B
(3) 证明 (2) 在D内取定点 与路径无关, 有函数
和任一点B( x, y ), 因曲线积分
证明: 证明 1) 若D 既是 X - 型区域 , 又是 Y - 型区域 , 且 ϕ1(x) ≤ y ≤ ϕ2 (x) y E D: d a ≤ x ≤b
A D
ψ2 ( y) ∂Q ∂Q d 则 ∫∫ dxdy = ∫ dy∫ dx D ∂x ψ1( y) ∂x c
d d c c
B
c C oa bx
∂P ∂Q = . ∂ y ∂x
∫
L
x2 + y2
o D 1
x
（１）有连续偏导 （２）且满足
但对区域 D 以原点为圆心的圆线L来说 1 xd y − ydx ∫L x2 + y2 = 2π ≠ 0 xd y − ydx 若区域D为如图 则 ∫L x2 + y2 在区域D与路径无关 故可以看到同一曲线积分在不同区域积分的路径无关性不同
(二)、平面上曲线积分与路径无关的等价条件 二、
定理2. 定理 设D 是单连通域 , 函数 具有一阶连续偏导数, 则以下四个条件等价: (1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有 在D 内
∫L Pdx + Qdy = 0.
L
(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分 ∫ Pdx + Qdy D 与路径无关, 只与起止点有关. (3) 即 在 D 内是某一函数 的全微分,
B
L1
A
=∫
L1+L− 2
Pdx + Qdy
L2
(根据条件(1))
= ∫ Pdx + Qdy
说明: 说明 积分与路径无关时, 曲线积分可记为
∫AB Pdx + Qdy = ∫A Pdx + Qdy
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B
(3) 证明 (2) 在D内取定点 与路径无关, 有函数
和任一点B( x, y ), 因曲线积分
证明: 证明 1) 若D 既是 X - 型区域 , 又是 Y - 型区域 , 且 ϕ1(x) ≤ y ≤ ϕ2 (x) y E D: d a ≤ x ≤b
A D
ψ2 ( y) ∂Q ∂Q d 则 ∫∫ dxdy = ∫ dy∫ dx D ∂x ψ1( y) ∂x c
d d c c
B
c C oa bx
∂P ∂Q = . ∂ y ∂x
∫
L
x2 + y2
o D 1
x
（１）有连续偏导 （２）且满足
但对区域 D 以原点为圆心的圆线L来说 1 xd y − ydx ∫L x2 + y2 = 2π ≠ 0 xd y − ydx 若区域D为如图 则 ∫L x2 + y2 在区域D与路径无关 故可以看到同一曲线积分在不同区域积分的路径无关性不同
第三节_格林公式及其应用
第三节_格林公式及其应用
格林公式是一个重要的微积分计算工具，用于计算微分方程在给定边
界条件下的解。
它可以用来解决一类非常有用的问题，例如求解复杂的微
分方程组、积分变分形式的物理问题。
此外，格林公式还可以应用于计算
微分函数在任意区间上的有限性以及在一些特定情况下的无穷性。
格林公式的主要思想是，给定边界以及满足一些条件的控制变量，可
以将一个微分方程组的解表示为不同常量的线性组合。
因此，可以通过解
决有限个简单的常系数非齐次线性微分方程来求解更复杂的微分方程组。
其中，常系数非齐次线性微分对应的格林公式是：
y(t) = A*exp(αt) + B*exp(βt)
其中，A、B是常数，α、β是解的根。
这个公式可以用来求解不同
类型的微分方程，包括拉普拉斯方程、伯努利方程、线性齐次微分方程组等。
应用：
1、求解拉普拉斯方程
拉普拉斯方程是一类重要的常微分方程，它可以用来描述物理系统的
传播过程以及电、热等物理场的扩散等现象。
拉普拉斯方程的一般形式为：y"+αy'+βy=f(t)
这里，α、β是常数，f(t)是一个任意函数。
可以用格林公式来求
解这个方程的解：
y(t) = A*exp(αt) + B*exp(-αt) + [1/α]*∫exp(-αt)f(t)dt
其中，A、B是常数，α是解的根。
2、求解伯努利方程。
第三节 格林公式及其应用
第三节 格林公式及其应用 ㈠．本课的基本要求掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数 ㈡．本课的重点、难点格林公式、平面上的曲线积分与路径无关的条件为本课重点，求全微分为难点 ㈢．教学内容一．格林公式及其应用微积分基本定理——牛顿-莱布尼兹公式确立了函数f(x)在闭区间上的定积分与它的原函数F(x)在这个区间的端点上的值之间的关系。
相仿的，在平面闭区域D 上的二重积分与沿区域D 的边界曲线L 上的曲线积分之间也有类似的关系。
格林（Green ）公式就是阐明它们之间关系的一个重要公式。
定义（单连通域） 一个平面区域D ，如果全落在此区域内的任何一条封闭曲线都可以不经过D 以外的点而连续地收缩为一点，则称此区域D 为单连通的，否则为复连通的。
（如图） 我们首先规定区域D 的边界曲线L 的正向：当观察者沿L 的某个方向行走时，区域D 总在它的左边（如图），则该方向即为L 的正方向。
定理1（格林定理） 设D 是以分段光滑曲线L 为边界的平面有界闭区域，函数P(x,y)及Q(x,y)在D 上具有一阶连续的偏导数，则⎰⎰⎰+=∂∂-∂∂LQdy Pdx d yPx Q σ)(⑴其中符号⎰L表示沿L 正方向的曲线积分。
公式⑴称为格林公式。
证 先假设穿过区域D 内部且平行坐标轴的直线与D 的边界曲线L 的交点恰好为两点，即区域D 既是X ─型又是Y ─型的情形。
设}),()(|),{(21b x a x y x y x D ≤≤≤≤=ϕϕ。
因为yP∂∂连续，所以由二重积分的计算法有 ⎰⎰⎰⎰⎰-=∂∂=∂∂b a x x b a Ddx x x P x x P dy y y x P dx dxdy y P))}(,())(,({),(12)()(21ϕϕϕϕ 另一方向，由对坐标的曲线积分的性质及计算法有⎰⎰⎰⎰⎰+=+=abbaL L Ldx x x P dx x x P Pdx Pdx Pdx ))(,())(,(2121ϕϕ⎰⎰-=babadx x x P dx x x P ))(,())(,(21ϕϕ因此，=∂∂-⎰⎰Ddxdy y P⎰L Pdx ⑵ 设}),()(|),{(21d y c y x y y x D ≤≤≤≤=ψψ，类似地可证=∂∂⎰⎰Ddxdy x Q⎰LQdy ⑶由于D 既是X ─型又是Y ─型的，⑵、⑶同时成立，合并后即得公式⑴。
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原式 Q xPydxdyDyexdxdy
0exD dx0sin xydy12
exsin2xdx
0
1 40 ex(co2xs1)dx
1 5
e
1
7
例 3 .计 I L ( x s 算 2 y i y n ) d ( x 2 x c 2 y o 1 ) d , sy
其 L 为 中 x 2 圆 y 2 R 周 2 上A ( 从 R ,0 )经 点
BO
OA
14R2R.
10
一 G 公 r : P ( e x ,y 式 ) e Q ( ,x n ,y ) 在 D 内 ( 单连通或多 连通闭区域)有连续偏导数, 则
Q x P y dxdyD P dxQ dy (1 ) D
二 P (x,y)Q ,(x,y)在 单连通区域 G内有连续偏导数,
(由2)
L 1Pd Q x dL 2 yPd Q xd Ly 1(PL2d) xQdy0
L 1P d Q x d L 2y P d Q xdy
12
3 4在 G 内任 A (x 0 取 ,y 0 )和 C 两 (x ,y ) 点
令u(x,y)(x,y) Pd Q x dy (x0,y0)
D C(x, y)
则下列四个命题等价:
1. PyQ x 在G内处处,成立
2 . 对 G 内 于任L 有 意 L P d 闭 x Q d y 曲 0 , 线 3. LPdxQdy在 G内与路,径无关
4 . 存 u u 在 (x ,y )使 d u P d x Q d y 在 G 内恒 .
u (x ,y)称P d 为 x Q dy的一个 11 原
同理 (经路A径 D)C
x
y
u ( x ,y ) x0P(x,y)dxy 0 Q ( x 0 ,y ) dy ( 1 )0
由(9) uQ(x,y) 由 (1)0uP(x,y)
y
x
13
duudxudy x y
u Q(x, y) y
P (x ,y ) d Q x (x ,y ) dy uP(x, y)
a2b02 d ab.
6
例 2e x (1 cy o )d x s (y siy )d n y
L
其 L 是 中 D 域 0 x ,0 y sx i 的 n 正 .
解 P (x ,y)ex(1co y)sQ (x,y) ex(ysiy)n
Q xex(ysiny)
P ex siny y
(x,y)
x
即u(x,y) Pd Q x dy (x0,y0)
为PdxQd的 y 一个原. 函数
4 1设有 G 上 定的 义 u (x,函 在 y) 数
使 d u P d x Q d y,
则有u xP(x,y),
u Q(x, y) y
进一步2u P,
2u Q
xy y y x x
14
由P及Q的连续性立得 y x 2u 2u x y y x
2 0 rr s2in ( rsi)n rc r2 ors c o d s
2
0
d
2
此例 ,在XY平面上除原点Q x外 处 Py,处有
但是闭曲线的积分却是 不零! 除去原 X点 Y平 的 面不
是单连 !原 通点 域是 "洞 一 ". 个
17
例 4 I ( 3 , 4 ) 6 x 2 y y 3 d x 6 x 2 y 3 x 2 d y y ( 1 , 2 )
高等数学第三节格林公式及其应用
积
解 A D xd 0 y 2aco b sc o ds ab02co2sd4ab02cos2 d
4ab
4
ab.
或 A12Dxdyydx
1 2 0 2 a c o b c s o b s i( n a s i)n d
第一象B 限 (0,R 到 )的点 一.段弧
y
B
解 . 记 P x s2 iy n y , Qx2co2ys1,
D
则 QxPy 2xco2ys(2xco 2ys 1 )
O
Ax
1.
J (xsi2nyy)dx (x2co2ys1)dy
LBO OA
QxPydxdy
dxdy
D
1 4
R2
.
9
D
(xsi2nyy)dx(x2co2sy1)dy
1 4
R2
.
LBO OA
y
(xsi2y n y)d x (x2co 2y s1 )dy
B
D
O
Ax
BO x0
yy
0
0 dy R
R
(xsi2y n y)d x (x2co 2y s1 )dy
OA x x
y0
R
0 dx
0
0
I1 4 R 2P d Q x d P y d Q xdy
围成多连通区域D, 在 D上应 Gr 用 公 ee:式 n
D P d x Q d y Q x P y d x d y0 D
(1)1
Q xx2x 2y 2y 222 x2,P yx2 x2 y2 y 22 2y2 16
( 1 ) 式 1 L 左 P Q d 端 x d P y Q dx dy L P d Q x d P y d Q xdy xy:2rrcs ions0
即 PQ. y x
证毕 .
2u P x y y
2u Q y x x
15
例 解3 PI(x, yL )xxxd22 yyyyy2d2,xQL(x为, y包)围x2原x点y2的任y意光D曲滑L线
这两个函数在原点无定义, 以原点
为 ,画 圆 r 的 半 心 ,( r 充 圆 径 )L分 和为 小 x
(线积分与路,才 径可 无以 关这) 样记
PdxQdyyy0x
AB
x0
P(x,
y0)dx
BCPdxQ x dyx不变yy0Q(y x, y)dy
A ( x0, y0 )
B(x, y0)
G
u ( x ,y ) x 0 P ( x ,y 0 ) d y x 0 Q ( x ,y ) dy ( 9 )
证明1 过 2 程 3 4 为 1: 12: 在G内任取一条 L,L闭 围曲 成线 D L
一闭域D, 在 D上应 Gr 用 定 ee:理 n G
LPdQ x d y Q xP ydx (d由 1 y)0 . B
2 3在 G 内 D 任A 取 和 B .用 两两 点 LG2条 A L1 曲 L 1 和 线 L 2 联 A 和 结 B ,则