高数格林公式
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《高数》斯托克斯(stokees)公式
20
斯托克斯公式①的物理意义:
(rot A)n d S A d s 为向量场 A 沿
向量场 A 产生的旋度场
的环流量
穿过 的通量
注意 与 的方向形成右手系!
例4.
求电场强度 E
q r3
r
的旋度 .
i jk
解:
rot E
x
y
z
(0, 0, 0) (除原点外)
作业:P183: 1-(1)(3), 2-(1), 3-(2),4-(1)
22
五、积分学四大公式比较
Newton-Leibnitz公式
b df dx f ( x) b
a dx
a
Green公式 Gauss公式
D
(
Q x
P y
)dxdy
Pdx Qdy;
D
ab
D
D
1 x
由于的法向量的三个方向余弦都为正，
y 1
7
解 按斯托克斯公式, 有
z 1
n
zdx xdy ydz
dydz dzdx dxdy
o
1 x
y 1
由于的法向量的三个方向余弦都为正，
再由对称性知：
y
zdx xdy ydz
1
dydz dzdx dxdy
cos
x
P
cos
y Q
cos
z
dS Pdx Qdy Rdz
R
2. Stokes 公式的实质:
表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上的曲线 积分之间的关系.
格林第一第二第三公式的推导
格林第一第二第三公式的推导？
答：格林公式的推导涉及三个主要部分，即格林第一公式、格林第二公式和格林第三公式。
以下是它们的推导过程：
1. 格林第一公式的推导：
格林第一公式可以由高斯公式的散度形式进行推导。
令向量场A为φ▽ψ，其中φ和ψ是标量函数。
通过散度运算，得到▽⋅(φ▽ψ)=▽φ⋅▽ψ+φ▽²ψ。
这就是格林第一公式的形式。
2. 格林第二公式的推导：
令向量场A′为ψ▽φ。
代入格林第一公式，得到∮S ψ▽φ⋅dσ=∫V[ψ▽²φ+▽φ⋅▽ψ]dV。
与原式相减，得到格林第二公式。
3. 格林第三公式的推导：
格林第三公式可以通过格林第一和第二公式进行推导。
具体地，将格林第一和第二公式结合，并进行适当的变换，即可得到格林第三公式。
另外，格林公式与高数中的格林公式有一定关系。
可以通过将Q和P表达为u和v的偏导数，并进行一系列变换，得到与高数中格林公式类似的形式。
请注意，具体的数学符号和表达式可能因教材或参考资料的不同而有所差异。
以上信息仅供参考，建议查阅相关的数学教材或专业资料以获取更详细和准确的推导过程。
高数格林公式例题解析
高数格林公式例题解析
摘要：
1.高数格林公式的概述
2.例题的选取和解析
3.解析过程中需要注意的点和技巧
4.结论和总结
正文：
【1.高数格林公式的概述】
高数格林公式，是多元函数微分学的一种重要公式，它可以用来求解多元函数的曲面积分。
格林公式以其独特的公式形式和广泛的应用范围，在多元函数微分学中占有重要的地位。
【2.例题的选取和解析】
我们选取一个简单的例子来解析高数格林公式的应用。
假设有一个二元函数f(x,y)，我们要求解该函数在曲面x^2 + y^2 = 1 上的积分。
【3.解析过程中需要注意的点和技巧】
在解析过程中，我们需要注意以下两点：
(1) 格林公式的适用范围：格林公式只适用于二元函数的曲面积分，不适用于多元函数的曲面积分。
(2) 格林公式的计算方法：格林公式的计算方法是将曲面的参数方程代入到二元函数中，然后进行积分。
【4.结论和总结】
通过以上的例题解析，我们可以看出，高数格林公式在解决二元函数的曲面积分问题时，有着重要的作用。
同时，我们也了解到，在使用格林公式时，需要注意其适用范围和计算方法。
第四节格林公式
d
EAC c
⌒
证明(2) 若区域D由按段光滑的 闭曲线围成.如图, 将D分成三个既是 x 型又是 y 型的 区域D1, D2, D3.
L3 D3
D2
L2
L1
D1
D
L
Q P Q P ( x y )dxdy ( x y )dxdy D D1 D2 D3
(
D1 D2 D3
Q P )( )dxdy x y
(
D1
D2
D3
) Pdx Qdy
D
Pdx Qdy.
证明(3) 若D是复连通区域 ,添加直线段
AB,CE. 则D由AB, BA,AFC,CE, EC 及CGA构成. 由(2)知 ( Q P )dxdy D y D x
y2
1
x
e
D
y2
dxdy
x2
OA AB BO
xe
dy
OA
xe
y2
dy
0 xe
1
1 1 x2 1 dx [ e ] 0 (1 e 1 ). 2 2
3) 利用第二类曲线积分可求闭曲线所围区域的面积.
Q P )dxdy Pdx Qdy 格林公式: ( y D x D
y
解 记 L 所围闭区域为 D ,
则原积分
( y
D
2
x )dxdy
2
O
2 x
d 0
2 2
2 cos
d 8
3
2 0
3 cos d . 2
EAC c
⌒
证明(2) 若区域D由按段光滑的 闭曲线围成.如图, 将D分成三个既是 x 型又是 y 型的 区域D1, D2, D3.
L3 D3
D2
L2
L1
D1
D
L
Q P Q P ( x y )dxdy ( x y )dxdy D D1 D2 D3
(
D1 D2 D3
Q P )( )dxdy x y
(
D1
D2
D3
) Pdx Qdy
D
Pdx Qdy.
证明(3) 若D是复连通区域 ,添加直线段
AB,CE. 则D由AB, BA,AFC,CE, EC 及CGA构成. 由(2)知 ( Q P )dxdy D y D x
y2
1
x
e
D
y2
dxdy
x2
OA AB BO
xe
dy
OA
xe
y2
dy
0 xe
1
1 1 x2 1 dx [ e ] 0 (1 e 1 ). 2 2
3) 利用第二类曲线积分可求闭曲线所围区域的面积.
Q P )dxdy Pdx Qdy 格林公式: ( y D x D
y
解 记 L 所围闭区域为 D ,
则原积分
( y
D
2
x )dxdy
2
O
2 x
d 0
2 2
2 cos
d 8
3
2 0
3 cos d . 2
高等数学-格林公式及其应用.ppt
l D1
O D2
x
1
2π
d
1 2π
π
20
2
l :4x2 y2 2
法二
l
ydx xdy 4x2 y2
l
ydx
2
xdy
1
2
ydx xd y
l
格林公式
D2是由l 所围区域
4x2 y2 2
所以 I 0 π
π.
1
2
1
2
(1
D2
(2)
π
2
1)dxdy
2
π
25
10.3 格林公式及其应用
Pdx Qdy
L
(L1, L2, L3对D来说为正方向)
8
10.3 格林公式及其应用
(3) 对复连通区域证明:
对若复区连域通不区止域由D一, 格条林闭公曲式线
的右所曲端围线应成积 包.添分 括加,沿且直区边线域界段D的的A方全B向,部CE对边.区界 G D
域则DD来的说边都界是曲正线向由. AB, L2 , BA,
2π 0
格林公式
sin d(
2
(Q P )dxdy D1 x y 0
cos ) cos d(
2
2
0 sin
)
24
10.3 格林公式及其应用
l
ydx xdy 4x2 y2
2π
sin
d(
2
cos
)
2
cos
d(
sin
)
0
2
2 0
π
2
2
sin
2
2
2
2
cos2
d
y L: x2 y2 4
高数A第7章课件：chap7.3-1格林公式及其应用
其中 C 为由点 A(a ,0) 至点 O(0,0) 的上半圆周 x 2 y 2 ax
( a0 ) .
解：添加辅助线OA ，则C OA 是一条正向封闭曲线，
为D . 设其围成的区域
y
C
∵ P( x, y )e siny my ，
Q( x, y ) e x cos y m,
x
C
ydx xdy x y
2 2
2 a 2 sin2 t a 2 cos2 t dt 2 . 2 0
2 2
D
Q P ( )dxdy 0 . x y
D
(0,0) D ，y （2）当 C 为圆周 x 2 y 2 a 2 时，
P , Q 在点(0,0) 不连续，
o
x
C
D
不能用Green 公式.
o
ax
解法 1：C 的参数方程为 x acost , y asint , t :0 2 ，
解： （1）设闭曲线 C 所围的区域为 D， y x 当 ( x , y ) (0,0) 时， P 2 2 ， Q 2 2 ， x y x y
Q y2 x2 P , 2 2 2 x ( x y ) y
由 Green 公式得
y
C
C
ydx xdy x y
例 3．求由星形线 C
2 2 2 ： x 3 y 3 a 3 所围成的面积
A.
x acos3 t , t : 0 2 . 解： C 的参数方程为 3 y asi n t , y
a
1 A xdy ydx 2 C
o
a
x
高等数学：格林公式
D
由于 xdy 0,
xdy 0, xdy dxdy 1 r2.
OA
BO
AB D
4
2. 简化二重积分
y
例 2 计算
e y2 dxdy ,其中D 是
B 1
D
D
以O(0,0), A(1,1), B(0,1)为顶点
的三角形闭区域.
o
解 令P 0, Q xe y2 ,
A
1
x
则 Q P e y2 , x y
c
1 ( y) x
d
c
Q(
2
(
y),
y)dy
d
c
Q(
1(
y),
y)dy
ห้องสมุดไป่ตู้
y
Q( x, y)dy Q( x, y)dy
CBE
CAE
d
x 1( y)
Q( x, y)dy Q( x, y)dy
CBE
EAC
A
c
LQ( x, y)dy
o
E D B
C
x 2( y)
x
同理可证
D
P y
dxdy
L
P(
A
1 2
L
xdy
ydx
1
2 ONA
xdy
ydx
1
2 AMO
xdy
ydx
1
2 AMO
xdy
ydx
M
N
A(a,0)
1 2
0
a
x(
2
a ax
1)dx
(
ax x)dx
a a
40
xdx 1 a2 . 6
例3. 计算
高等数学格林公式PPT课件
正向闭路.
解: 令 P x ,yy2 ,Q x ,yx2
y
L
则 P2y,Q2x
y
x
在L所围成的区域D上连续
D x
由格林公式得ID 2x2ydxdy 2d0 2Rcos2cossind 2 R3
2
5
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例3.求 I y x 3 e y d x x y 3 x e y 2 y d y , L
其中L是圆周 x2y2 a2的顺时针方向.
y
解:令 Px,yyx3ey
L
Q x,yxy3xey2y
D x
则 Px3ey,Qy3ey
y
x
在L所围成的区域D上连续, 由格林公式得
I L P x ,y d x Q x ,y d y Dy3x3dxdy 0
注:用格林公式时,一定要注意曲线积分的方向性.
y
0, a
Dl x
0, a
7
高斯 目录 上页 下页 返回 结束
则
P 2 y , Q a 2 y 1
y a 2x2 x
a 2x2
在 l L 所围成的闭区域D上连续,
L
y
0, a
所以由格林公式得:
I lL
l
Dadxdy aa2ylnady
1 2
a
3
Dl x
0, a
注: 用格林公式时, 若L非闭, 则可使用补边法使积分
注:使用格林公式时,若 P , Q 闭曲线所围区域上不 y x
连续, 可先挖去不连续的点后, 再使用格林公式.
11
高斯 目录 上页 下页 返回 结束
三、平面曲线积分与路径无关的等价条件
1.定义:设A,B为D内任意两点, 若从
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L Pdx Qdy
证毕
定理1 目录 上页 下页 返回 结束
格林公式
D
Q x
P y
dxd
y
L
Pd
x
Qd
y
推论: 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积
A
1 2
L
xd y
y
dx
例如,
椭圆
L
:
x
y
a cos b sin
(0 2π) 所围面积
1 2π
2 0
(abcos2
absin2 ) d
其中D 是以 O(0,0) , A(1,1) ,
B(0,1) 为顶点的三角形闭域 .
解: 令P 0, Q xe y2, 则
y
B(0,1)
A(1,1)
D yx
利用格林公式 , 有
O
x
x e y2 dy D
x e y2 dy 1 ye y2 dy
OA
0
1 (1 e1) 2
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5π
xd y ydx l x2 y2
提示: x2 y2 0时 (1) Q P
1 4
l
x
d
y
yd
x
1 4
D
2
d
x y (2) Q P
2π
x y
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备用题 1. 设 C 为沿 x2 y2 a2 从点 (0, a) 依逆时针
到点 (0,a) 的半圆, 计算
y2 dx ax 2 y ln(x a2 x2 ) dy
L AO
(x2 3y) dx ( y2 x) dy OA
4
D
dxd
y
4
0 x
2
dx
8 π 64 3
y L
D
O
Ax
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例4. 验证
是某个函数的全微分, 并求
出这个函数.
证:
设
P
xy2,
Q x2 y,则
P 2xy y
Q x
由定理2 可知, 存在函数 u (x , y) 使
A
A
注: 此式称为曲线积分的基本公式(P213定理4).
它类似于微积分基本公式:
定理2 目录 上页 下页 返回 结束
例3. 计算
其中L 为上半
圆周
从 O (0, 0) 到 A (4, 0).
解: 为了使用格林公式, 添加辅助线段 AO,它与L 所围
区域为D , 则
原式
(x2 3y) dx (y2 x) dy
Ox
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当(0,0) D时, 在D 内作圆周 l : x2 y2 r 2, 取逆时
针方向, 记 L 和 l ¯所围的区域为 D1 , 对区域 D1 应用格
林公式 , 得
y
xdy ydx l x2 y2
xdy ydx Ll x2 y2
0d xdy 0
D1
lL
( x,0) x
由定理 2 可知存在原函数
0 x
y dy 0 x2 y2
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例7. 设质点在力场
作用下沿曲线 L :
由 A( 0, π ) 移动到 2
求力场所作的功W
y
A
解:
W
Fds
L
L
k r2
( ydx
x d y)
L
令
则有
O Bx
P y
k(x2 y2) r4
二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件
定理2. 设D 是单连通域 , 函数
在D 内
具有一阶连续偏导数, 则以下四个条件等价:
(1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有 L Pdx Qdy 0.
(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分 Pdx Qdy L
与路径无关, 只与起止点有关.
C a2 x2
解: 添加辅助线如图 , 利用格林公式 .
原式 =
y
C
D
a C
CC C
Ox
D
2y a2 x2
dxd y
a
a (2y ln a) d y a
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2. 质点M 沿着以AB为直径的半圆, 从 A(1,2) 运动到 点B(3, 4), 在此过程中受力 F 作用, F 的大小等于点 M 到原点的距离, 其方向垂直于OM, 且与y 轴正向夹角为 锐角, 求变力 F 对质点M 所作的功. ( 1990 考研 )
d
dy
2 ( y) Q dx
D x
c
1(y) x
Oa
bx
d
d
c Q( 2 ( y), y ) dy c Q(1( y), y ) dy
Q(x, y)dy Q(x, y)dy
CBE
EAC
定理1 目录 上页 下页 返回 结束
即
①
同理可证 ②
①、②两式相加得:
D
Q x
P y
d xd y
P(x, y)dx
x0
O x0
xx
定理2 目录 上页 下页 返回 结束
4) 若已知 d u = P dx + Q dy ,则对D内任一分段光滑曲
线 AB ,有
AB P(x, y)dx Q(x, y)dy
B
A P(x, y)d x Q(x, y)dy
D
B
A
B
B
d u u u(B) u(A)
Q P dxdy Pdx Qdy
D x y
L
( 格林公式 )
或
x y dxdy Pdx Qdy
DP Q
L
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证明: 1) 若D 既是 X - 型区域 , 又是 Y - 型区域 , 且
D
:
1(
x) a
y x
2
b
(
x)
y d
E
AD B
cC
则
Q dxdy
L Pdx Qdy
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2) 若D不满足以上条件, 则可通过加辅助线将其分割
为有限个上述形式的区域 , 如图
D
Q x
P y
d xd y
n
Q P dxdy
k 1 Dk x y
y D2 D1 L
Dn
O
x
n
Pdx Qdy
k 1 Dk
(Dk 表示 Dk的正向边界)
解: 由图知 F ( y , x), 故所求功为
W AB F d s y d x x d y
(y d x xd y)
2D d x d y
2π 2
y F A
B D
M (x, y)
O
x
AB的方程
y
2
43 31
(x
1)
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3. 已知曲线积分 L F(x, y) [ y sin xdx cos x dy]
与路径无关, 其中 F C1, F (0,1) 0, 求由 F(x, y) 0
取定点( x0, y0 ) D及动点 ( x , y ) D , 则原函数为
(x,y)
u ( x, y)
P(x, y)dx Q(x, y)dy
yy
( x0 , y0 )
x
y
x0 P(x, y0 )dx
Q(x, y)dy
y0
y0
或
u (x, y)
y
y0 Q(x0 , y)dy
x
L2
B
A
L1
L1L2 Pdx Qd y
(根据条件(1))
Pdx Qdy L2
说(1明) 沿: 积D 中分任与意路光径滑无闭关曲线时L, 曲, 有线L积Pd分x 可Q记dy 为 0.
(2)与对路D 径中A无B任P关一d,分x只段与Q光起d滑y止曲点线有ABPL关,d曲.x 线 Q积d分y L Pdx Qdy
第三节
第十一章
格林公式及其应用
一、格林公式
二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件
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一、 格林公式
区域 D 分类
单连通区域 ( 无“洞”区 域 多连) 通区域 ( 有“洞”区
L D
域 D 边界L 的正域向) : 域的内部靠左
定理1. 设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成, 函数 在 D 上具有连续一阶偏导数, 则有
对 D 内任意闭曲线 L 有 P d x Q d y 0 L
在 D 内有 Q P x y
在 D 内有 d u P dx Q dy
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P214
作业
3 ; 4 (3) ;
5 (1) , (4) ；6 (2) ,(5) ;
第四节 目录 上页 下页 返回 结束
1. 设 C 为沿 x2 y2 a2 从点 (0, a) 依逆时针到点 (0,a) 的半圆, 计算
的全微分,
定理2 目录 上页 下页 返回 结束
证明 (4) (1)
设L为D中任一分段光滑闭曲线, 所围区域为 D D (如图) , 因此在 D上
P Q y x
D
D L
利用格林公式 , 得
L
Pd
x
Q
d
y
D (
Q x
Q x
)d xd y
0
证毕
(4)
在
D
内每一点都有
P y
Q . x
(1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有 L Pdx Qdy 0.