利用格林公式计算积分
格林公式及其应用
∫
( 3,4 )
( 1, 2 )
(6 xy 2 − y 3 )dx + (6 x 2 y − 3 xy 2 )dy 在整个 xoy 面
内与路径无关, 内与路径无关,并计算积分值 .
五、利用格林公式,计算下列曲线积分: 利用格林公式,计算下列曲线积分: 1、 ∫ ( x 2 − y )dx − ( x + sin 2 y )dy 其中L 是在圆周
二、计算 ∫ ( 2 xy − x 2 )dx + ( x + y 2 )dy 其中L 是由抛物线 所围成的区域的正向边界曲线, y = x 和 y 2 = x 所围成的区域的正向边界曲线, 并 验证格林公式的正确性 . 利用曲线积分, 三、利用曲线积分, 求星形线 x = a cos 3 t , y = a sin 3 t 所 围成的图形的面积 . 四、证明曲线积分
∂P ∂Q 若 ≡ ∂y ∂x
可用积分法求 du = Pdx + Qdy 在D内的原函数 :
u( x , y ) = ∫
x x0
y
( x0 , y )
• B( x , y )
• A( x0 , y0 )
• C ( x , y0 )
o
Pdx + Qdy
y y0
x
B( x , y )
A ( x 0 , y0 )
∂P ∂Q (4) 在D内 , = 题 ∂y ∂x
∫C Pdx + Qdy = 0,闭曲线C ⊂ D 在D内∫ Pdx + Qdy与路径无关 L
证明 (1) (2) 内任意两条由A 设 L , L 为D 内任意两条由 到B 的有向分段光滑曲 1 2 线, 则
∫L Pdx + Qdy − ∫L Pdx + Qdy
格林(Green)公式曲线积分与路径无关的条
格林公式在数学物理方程、电动力学、流体力学等领域有 广泛的应用，是连接数学与物理世界的重要桥梁。
格林公式的历史背景
发展历程
格林公式是微积分学中的重要内 容，它的起源可以追溯到19世纪 上半叶，当时数学家开始研究如 何将线积分转化为面积分的问题。
贡献人物
乔治·格林（George Green）在 1830年代对这一领域做出了重大 贡献，他通过引入所谓的“格林 函数”来研究平面上向量场的性 质。
格林公式在解决曲线积分问题中的优势
简化计算过程
通过格林公式，可以将复杂的曲线积分问题 转化为面积分问题，从而简化计算过程。
提供解决问题的新思路
格林公式为解决曲线积分问题提供了新的思 路和方法，有助于拓展解题思路。
04
曲线积分与路径无关的应用实例
物理学中的磁场问题
磁场线闭合
在磁场中，如果曲线积分的路径无关，那么磁场线必然是闭合的。这意味着磁场没有源点或漏点，即不存在磁单 极。
磁通量不变
在磁场中，如果曲线积分的路径无关，那么通过某一区域的磁通量将保持不变。这意味着磁场不会因为路径的改 变而发生改变。
电学中的电场问题
电势差恒定
在电场中，如果曲线积分的路径无关，那么电势差将保持恒定。这意味着电场不会因为路径的改变而 发生改变。
电场线闭合
在电场中，如果曲线积分的路径无关，那么电场线必然是闭合的。这意味着电场没有源点或漏点，即 不存在电荷聚集点。
通过格林公式，可以判断一个曲线积分是否 与路径无关，为解决相关问题提供依据。
格林公式与曲线积分的关系证明
利用向量场的散度性质
通过向量场的散度性质，可以推导出格林公 式，从而证明其与曲线积分的关系。
格林公式及其应用
u ( x, y)
P(x, y)dx Q(x, y)dy y
( x0 , y0 )
x
y
x0 P(x, y0 )dx
Q(x, y)dy
y0
或
u (x, y)
y
y0 Q(x0 , y)dy
x
P(x, y)dx
x0
y0
x0
x
©
格林公式及其应用
例 计算 ( x2 2xy)dx ( x2 y4 )dy.其中L为
y)dy
©
例4续
1 0
1 1＋y
y
2
dy
1 1 x 1 1＋x 2
dx
0 1 y 11＋y2 dy
2
01 1 1＋y 2
dy
1 xdx 1 1＋x 2
11 11＋x2 dx
4
01 11＋y 2
dy
0
4(arc tan y)
0 －1
P Q y x
©
证明 (4)
(1)
设L为D中任一分段光滑闭曲线,所围区域为 D D (如图) , 因此在 D上
P Q y x
D D L
利用格林公式 , 得
L
P
d
x
Q
d
y
D
(
Q x
Q x
)dxd
y
0
证毕
©
说明: 根据定理2 , 若在某区域内 P Q , 则 y x
所以
P ( x2 y2 ) 2 y( x－y)
曲线积分格林公式
曲线积分格林公式
曲线积分格林公式是一种计算曲线积分的公式，其中，曲线积分是指对某个函数在某一区间内的积分。
格林公式的具体形式如下：
∫f(x)dx = F(b) - F(a)
其中，∫f(x)dx表示某个函数f(x)在区间[a,b]内的积分，F(x)表示函数f(x)的反函数。
格林公式可以帮助我们快速计算某个函数在某一区间内的积分，因此在数学和工程学等领域中都有广泛的应用。
下面是一个使用曲线积分格林公式计算函数积分的例子：
假设有一个函数f(x) = x^2 + 1，我们要计算这个函数在区间[1,3]内的积分。
我们可以找到函数f(x)的反函数F(x) = √(x-1)。
根据格林公式，我们可以得到：
∫f(x)dx = F(3) - F(1) = √(3-1) -√(1-1) = √2 - 0 = √2。
因此，函数f(x)在区间[1,3]内的积分为√2。
这就是使用曲线积分格林公式计算函数积分的一个例子。
高等数学曲面积分与曲线积分之格林公式
4 1 cos 4 a 2 2 a 4 sin 2 2d 2 2 a 4 d 0 0 2 2
高 等 解法二: 利用圆的参数方程转化为定积分计算 数 学 x a cos ,dx a sin d 电 y a sin ,dy a cosd 2 2 y xdy x ydx 子 L 案
其中C是一条不经过原点的分段
光滑的不自相交的简单闭曲线，方向取逆时针方向.
解:
y x P 2 ,Q 2 2 x y x y2
y
C
2 2 Q y x P x 2 y 2 0时，有 2 x ( x y 2 ) 2 y
D
x
下面分两种情况计算.
ydx xdy Q P ( )dxdy (1)当(0,0) D时, 则C 2 2 D x x y y
顺时针
y 2 xdy x 2 ydx
逆时针
y 2 xdy x 2 ydx
Q p ( )dxdy ( x 2 y 2 )dxdy D x D y
2
0
d 2 d
0
a
a 4
2
高 等 数 学 电 子 案
ydx xdy , 例5 计算 C 2 2 x y
高 等 数 学 电 子 案
例1 求椭圆 x a cos , y b sin 的面积S.
解： S
1 xdy ydx 2 C
1 1 2 S (a cos b cos b sin a sin )d abd ab 2 C 2 0
高 等 数 学 电 子 案
二
平面上曲线积分与路径无关的条件
格林公式积分与路径无关的条件
例1 计算
L
(3 x y )dy ( x y )dx , 其中
2 2
L为圆周( x 1) ( y 4) 9, 逆时针方向
解一 L的参数方程为
x 1 3 cost , y 4 3 sint , 0 t 2
( 3 x y)dy ( x y)dx ( 21cost 27cos t 18cost sint
0
2
I
L
( x y )dx ( x y )dy x2 y2
③包围原点的任意正向闭曲线
③
在所为区域D内作小圆 l : x 2 y 2 r 2 , 取逆时针方向, 记 l 所围的区域为 D1 , 对区域 D \ D1 应用格林公式 , 得
L
Pdx Qdy Pdx Qdy
I
r
l
D \ D1
(
Q P )dxdy =0 x y
Pdx Qdy
y
L
l 1 2
( x y )dx ( x y )dy
l
[ ( y x ) ( x y )]dxdy r D1 x y
1 2
o
D1
l
r
x
2 2 r
dxdy 2
( x x , y ) ( x, y )
Pd x Qd y
Pd x
P( x x, y )x xu u lim P ( x x, y ) P( x , y ) lim x x 0 x x 0 u 同理可证 Q( x , y ), 因此有 d u P d x Q d y y
格林公式及其应用
o
Dn x
n
Pd界)
L Pdx Qdy
证毕
格林公式
D
Q x
P y
dxd
y
L
P
dx
Q
d
y
推论: 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积
A
1 2
L
xd y
y
dx
例如, 椭圆
L
:
x
y
a cos b sin
,
0 2
所围面积
1 2 (abcos2 absin2 ) d ab 20
例1. 设 L 是一条分段光滑的闭曲线, 证明
2xy dx x2 dy 0 L
证: 令 P 2xy, Q x2, 则
利用格林公式 , 得
针方向, 记 L 和 lˉ 所围的区域为 D1 , 对区域 D1 应用格
林公式 , 得
y
xdy ydx l x2 y2
xdy ydx Ll x2 y2
0d xdy 0
D1
lL
o
x
D1
2
0
r2
cos2 r 2
r2
sin2
d
2
二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件
即 d u(x, y) P dx Q dy (4) 在 D 内每一点都有 P Q .
y x
证明 (1)
(2)
设 L1, L2 为D 内任意两条由A 到B 的有向分段光滑曲
数学分析21.3格林公式、曲线积分与路线的无关性(含习题及参考答案)
第二十一章 重积分3格林公式、曲线积分与路线的无关性一、格林公式概念：当区域D 的边界L 由一条或几条光滑曲线所组成时，规定边界曲线的正方向为：当人沿边界行走时，区域D 总在他的左边. 与正方向相反的方向称为负方向，记为-L.定理21.11：若函数P(x,y), Q(x,y)在闭区域D 上连续，且有连续的一阶偏导数，则有格林公式：⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂D d y P x Q σ=⎰+L Qdy Pdx . L 为区域D 的边界曲线，并取正方向.证：根据区域D 的不同形状，可分三种情形来证明： (1)若区域D 既是x 型区域，又是y 型区域(如图1)，即 平行于坐标轴的直线和L 至多交于两点，该区域D 可表示为： φ1(x)≤y ≤φ2(x), a ≤x ≤b 或ψ1(x)≤x ≤ψ2(x), c ≤y ≤d.这里y=φ1(x)和y=φ2(x)分别为曲线⌒ACB 和⌒AEB 的方程, x=ψ1(x)和x=ψ2(x) 分别为曲线⌒CAE 和⌒CBE的方程, ∴⎰⎰∂∂Dd x Qσ=⎰⎰∂∂)()(21y y d c dx x Q dy ψψ=⎰d c dy y y Q )),((2ψ-⎰d c dyy y Q )),((1ψ=⎰⋂CBE dy y x Q ),(-⎰⋂CAE dy y x Q ),(=⎰⋂CBE dy y x Q ),(+⎰⋂EAC dy y x Q ),(=⎰L dy y x Q ),(.同理可证：-⎰⎰∂∂Dd y Pσ=⎰L dx y x P ),(. 即有⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂D d y P x Q σ=⎰+L Qdy Pdx . (2)若区域D 是一条按段光滑的闭曲线围成(如图2)，则先用几段光滑曲线将D 分成有限个既是x 型又是y 型的子区域，然后逐块按(1)得到它们的格林公式，相加即可.图2中区域D 可分成三个既是x 型又是y 型的区域D 1,D 2,D 3，则有⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂D d y P x Q σ=⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂1D d y P x Q σ+⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂2D d y P x Q σ+⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂3D d y P x Q σ =⎰+1L Qdy Pdx +⎰+2L Qdy Pdx +⎰+3L Qdy Pdx =⎰+L Qdy Pdx.(3)若区域D 由几条闭曲线所围成(如图3)， 可适当添加直线AB, CE,把区域转化为(2)的情况处理.图D 的边界线由AB,L 2,BA,⌒AFC ,CE,L 3,EC 及⌒CGA构成. 由(2)知 ⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂D d y P x Q σ=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋂⋂CGA EC l CE AFCBA l AB32(Pdx+Qdy)=()⎰⎰⎰++132L L L (Pdx+Qdy)=⎰+L Qdy Pdx .注：格林公式可写为：⎰⎰∂∂∂∂Dd QP y x σ=⎰+L Qdy Pdx .例1：计算⎰AB xdy ，其中曲线AB 为半径为r 的圆在第一象限部分. 解：如图，对半径为r 的四分之一圆域D 应用格林公式有⎰⎰-D d σ=⎰-L xdy =⎰OA xdy +⎰AB xdy +⎰BO xdy =⎰AB xdy . ∴⎰AB xdy =⎰⎰-Dd σ=-41πr 2.例2：计算I=⎰+-Ly x ydxxdy 22, 其中L 为任一不包含原点的闭区域的边界线.解：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂22y x x x =22222)(y x x y +-, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∂∂22y x y y =22222)(y x x y +- 在上述区域D 上连续且有界，∴⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂Dd yx yx y x x x σ2222=0. 由格林公式可得I=0.注：在格林公式中，令P=-y, Q=x ，则得到一个计算平面区域D 的面积S D 的公式：S D =⎰⎰Dd σ=⎰-L ydx xdy 21.例3：如图，计算抛物线(x+y)2=ax (a>0)与x 轴所围的面积.解：曲线⌒AMO由函数y=x ax -, x ∈[0,a]， 直线OA 为直线y=0， ∴S D =⎰-ydx xdy 21=⎰-OA ydx xdy 21+⎰⋂-AMO ydx xdy 21=⎰⋂-AMO ydx xdy 21=dx x ax ax ax a ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0)(1221=dx ax a ⎰-02121=dx x a a⎰4=62a .二、曲线积分与路线的无关性概念：若对于平面区域D 上任一封闭曲线，皆可不经过D 以外的点而连续收缩于属于D 的某一点，则称此平面区域为单连通区域，否则称为复连通区域。
格林公式积分方向
格林公式积分方向
格林公式是对一个闭合曲面S（也可以是一个曲线）上的散度和旋度进行积分，公式分别为：
∬S ∇·F dS = ∫L F · dr
其中，∇·F是F的散度（divergence），F是一个向量场，dS 是曲面元素面积，L是曲线路径，F · dr是向量场F在曲线路径上的微分。
在格林公式中，曲面和曲线都有一个方向，这个方向一般是由右手法则确定的。
对于曲面S来说，曲面元素面积dS的方向垂直于曲面且向外指，根据右手法则，曲线L的方向应该是沿着曲面的边界，也就是沿着曲面S的边缘的方向。
所以，在使用格林公式时，需要注意曲面和曲线的方向。
如果方向选取不当，会导致计算结果的正负错误。
一般来说，在确定曲面和曲线的方向时，可以根据实际问题的几何特点和物理规律进行选择，以保证计算结果的正确性。
二重积分的格林公式和斯托克斯定理
二重积分的格林公式和斯托克斯定理在向量微积分中，格林公式和斯托克斯定理是两个非常重要的定理。
它们可以帮助我们更好地处理向量场和曲面。
在这篇文章中，我们将讨论二重积分的格林公式和斯托克斯定理。
1. 二重积分的格林公式格林公式是一个非常基础的定理，它描述了一个边界内函数的积分与边界上的一些特定性质之间的关系。
在二维平面上，格林公式是这样表述的：$$\oint_{\partial D}P(x,y)dx+Q(x,y)dy=\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy$$其中，$D$代表一个二维区域，$\partial D$代表该区域的边界，$P(x,y)$和$Q(x,y)$是$D$内的连续偏导数函数。
该公式的意义在于，对于一个有连续偏导数的函数$P$和$Q$，如果我们知道它们在某个区域$D$内的值，那么我们可以通过计算该区域的边界$\partial D$上的积分来得到它们的一些属性，比如说它们的旋转量或者它们逐渐变化的速率等。
这里有一些关于格林公式的示例：- 如果$P$和$Q$分别代表了相同的向量场中的$x$分量和$y$分量，那么格林公式表示该向量场在区域$D$内的旋转量等于该场在边界$\partial D$上的通量。
- 对于一个平面区域$D$内的单连通区域，其边界$\partial D$可以被看做是一段曲线。
如果$P$和$Q$在该区域内有连续偏导数，那么格林公式的左侧就等于这段曲线的线积分，而右侧表示该区域内的闭合曲面的曲率。
2. 斯托克斯定理斯托克斯定理是格林公式的推广，它允许我们在三维空间中处理类似的问题，在该空间中，定理的表述如下：$$\oint_S\vec F\cdot\vec ds=\iint_{\partial S}(\nabla\times\vec F)\cdot\vec n\ dS$$其中，$\vec F$代表一个连续可微的三维向量场，在$S$上取正方向的外法向量为$\vec n$，$\partial S$代表该曲面的边界，$\nabla\times\vec F$代表向量场$\vec F$的旋度。
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［ ］ 辛格． 明威 传 ［ ． 国珍， 浙 江文 艺 出版 社， ９ 海 Ｍ］ 周 译．
１８ ４ ． ９ ３：３
［ ］ Ｊｈ ．Ｈ ｇｐａ．Ｓｍ ｅ ｙｉ“ ａ ｉ ｔｅＲ ｉ” Ｊ ． ３ ｏｎ Ｖ ａｏｉ ｎ ｙ ｍ ｔ ｎ Ｃｔ ｎ ｈ ａ ［ ］ ｒ ｎ
二、 构造封 闭曲线再计算
如果空间有向曲线 Ｌ不是封闭的 ， 么需 添加辅助的有 向曲线 ， ， Ｌ与 构成 定向的封闭曲线 ， 那 Ｊ使 。 再运用格林公 式进
行计 算
注： 添补的辅助 曲线 Ｌ 的方 向应选为与 Ｌ的方 向相一 致。方向或者都是正方 向， ｎ 或者都是负方向 。
例２计 （ ｓｙ ８） ＋ ｅ。，７） ， ，算ｆｅｉ ＋ｙ （ ｃ， ｄ 其中Ｌ 从００ ） （，的 半圆 Ｘｎ ｓ一 ｙ 是 （，到Ａ６ ） 上 弧。 ０ ０
Ｃ ｌｇ ｎｌｈ １６ （２ ：． ｏ ｅｅＥ ｇｓ ， ９２ １）３ ｌ ｉ
（ 责任 编辑
魏艳君 ）
［ ］ 胡玲玲． ４ 解读《 雨中猫》 中猫的隐喻 ［ ］安徽 文学： Ｊ． 下半
而在 上 ， ｙ＝０ ｄ ，ｙ＝ｏ 则 ： ｏ ＝０ 所 以 ＝ １５ｒ ， ， ３叮
例， ｘ 面 第 象 内 形 为 ａｓ ０ｔ— 直 段 ｛ ，ｌ０≤≤） ＝ ３ 上 一 限 星 线 ： ａｃｔ， ≤ ；线 ＝（Ｙ ，Ｙ。， Ｏ平 记ｙ Ｌｆ ｓｏ’ ｛ ｉ ｔ Ｘ ｎ ＝ Ｊ Ｌ ）：０ ： ＝ ≤≤ ： 厶 ｌ ｖ ‘
ｄ ： 一
Ｌ
ｄ 一 ｄ＋ ｄ＋ｘｙ １ ｙ （ ｙ ｙ ￣） 。 ｄ
＝
÷ ｃ ｎ ÷。ｃ －ｎｄ 而 。 。 。 ｓｔ ： 。 ｓ 础＝ ｉ） ８ ｇｔ
所以， 平面 图形 的质心 ： ５ ＝ ２ ６。
。
三、 封闭 曲线存在的特殊情形
如果所 给的有 向曲线 是封闭的 ， 但是不 满足 格林 公式所要求的函数 Ｐ（ 、 （ 、 ，） Ｑ ，） ａ ｅ
摘要 ： 林公式表达 了平 面上 沿闭曲线对坐标的曲线积分与 区域 Ｄ上二 重积分之 间的关 系。介 绍格林公 式计算 格 积分 的常用方法 ， 深对格 林公式运用的思考与理解 。 加
中分号 闭 向耄标 图类： 洧曲献识 Ａ
０１ ２ ２ ７
．
公式
文 献 标 识码 ： Ａ
文编＿ ７（ ０ 章号 …２ ７ １ ０ ＿ … 邶
ｅ ｒ一２ ， ｏ
融＿
： ｘ ， ＝
ｙ ３
，Ｐ≠＿ ｏ ｏ Ｑ
利用格林公式 把曲线积分化为二重积分 ， 再利用二重积分 的对称性计算 其值 。得
＝ 一
Ⅱ 筹 （ ） Ｊ３ｘｘ ｙｄ 。ｘ。 一 ｆ －）ｙ ３ｙ ｙｄ 。 ＇ ｄ 。ｘ ｄ ３ｄ ｄ 一３ｙ （ ｙ
解： 经分析本题 中 Ｐ ， ： ｉ ＋ ｙＱ ，） ｅ 。 一 都较繁 ， （ ｅ ｎ ８ ，（ ， ＝ ｓ ７ ， ） ｓｙ ， ｃｙ 故构造辅 助线 ： 连接Ａ ， 向从点 Ａ到点 Ｄ 因 ０方 ，
：ｅ ｃ ｓ ￣ ｏ ｙ＋８．
ｖ
：ｅ Ｃ Ｓ ｘ Ｏ ｙ一７
Ｏ ｘ
ｔｎ： ｒ ｃ ｔｎ Ｕｎｖ ｒｉ ｒｓ ，１ ７ ． ｏ Ｐ ｉ ｅｏ ｉｅ ｓ ｙ Ｐ ｅ ｓ ９ ３ ｎ ｔ
［ ］ 林六辰． 美小说要素解析 ［ ． ７ 英 Ｍ］ 上海： 上海外语教育 出
版 社 ，Ｏ ４：８ ２０ １６—１９ ８．
［ ］ 邵锦娣 ， ８ 白劲鹏． 学导论［ ． 文 Ｍ］上海 ： 上海 外语教 育 出
一
月 ， １ （） １６ ２ ０６ ： ． ０ ０
［ ］ 陶风． ５ 简洁的叙事 ， 含蓄的象征 ： 雨中猫》 谈《 作品 中的深 入浅出［ ］文学评论 ， ００７ ： ． Ｊ． ２ １（ ）３ ９ ［ ］ 贾艳萍． ６ 女人和猫 ： 析海 明威短篇小说《 雨中猫》 的象征
代文豪海 明威对 小说 《 中猫》中猫 的困境 的描写 ， 雨 最终
论文集粹
Ｔｈ ｏ ｉ ＆ Ｃｈ ｎｇ ｉ ｇ ｅ Ｗ ｒｄ ｏ ｑ ｎ Ｖｏ． ８ Ｎｏ． ０１ １２ ７２ １
重 庆与世界 ２１年第２ 卷第７ ０１ ８ 期
利 用格 林公 式 计 算 积分
李 波
（ 西南交通大学 峨眉校区 ， 四川 峨 眉山 ６ ４０ ） １２ ２
解： 经分析 ， 向曲线 Ｌ 有 所围的平 面区域 ｏ： （ ｌ ＋（ 一 ）≤１ ｒ｛ ，） Ｙ １ ）内含 有不 连续 的点 （ ，）但 注意 到把 曲线 ０１，
的方程代入积分 ， 后即 消去 了该不连续 的奇点 ， 再用格林公式得
，ｆ ＝，２ 一ｄ ＝ ＝ ｃ ｄ ＋ｄ 百 ｒ
得
＝
肛ｄ （ ＝ （ ｙ＋ ｙ＋ ｙ ＝ ｙ ： １ ｙ ÷＿ ｄ 』 ｄ ＿ ｄ 『 － ｆ － － ）
÷ … ｓｃ
其 中， 然有 显 ｘｙ—ｙ ＝ ０ ｄ ｄ ｄ ， ｙ—ｙ ＝０ ｄ 。
（ｏ） ＋： ａ３ ０。 ｃｔ ｓ＋
丢 ｓ ｓ 素 ｃ 。 ： 丌 。 ｉ 。 。 砉。 ｎ 础： ２ 一ｓ ４ ｚ 由匀 平 图 于 线，对 ， 的心ｘ）互吉 ｄ＝ ÷ 曲 同 ， 林 式 于 质 面 形 关 直 ） 称故 质 （ 有 ： 盯 ＝ 。理由 公 得 ＝ ， 格
则 ＿『：＋ 一（ ）ｄ＝ ｆ 而 ｆ 一 ｙ ｓ ＋ ＝
盯
作暑 ： （８ ，研方： 方 、 者介 一 ， 万 微刀 积。 薯 波０２男 究向 分程 面分 简 １－ 冗同 曲 刀 李 ９ ５） ８ 假 叫
李
波 ： 用格 林公 式计 算积 分 利
９ ３
一
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￡ 卜 Ｌ 一 ＝ ＝ ＝（ ） ｄ
ＯＡ Ｌ ＯＡ Ｄ 。 ／
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一
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（ ： 注 此封闭 曲线沿逆 时针 方向 ， 运用格林公 式时添加“ ”号 ） ＋
÷ｆ Ｉｃ ）一ｃ： 垒 （ 一ｅｚ ＝ １ 一 ｅ ｓ 『 ｛ ｒ ｏ ｅ
又 草 捅 亏 ：ｕ 卜 ¨儿 ｕ “ … ～ ～
格林公式 ： 闭区域 Ｄ由光滑 （ 设 或分段光滑 ） 的曲线 Ｌ围成 ， 函数 Ｐ ，） Ｑ（ ， 在 口上具有一阶连续偏导数 ， （ ｙ 及 ，） ， 则有
公式
） ，
（一 馨
其 Ｌ。界向 中是 边 正
一
、
封闭 曲线存在直接计算
＝ ｃｅ ÷一
（ 责任 编辑 魏艳君 ）
而 上 ＝０ ０ 以 ＝ 一 ÷ ｅ。 在 ， ｆ 。 ＋ ＝ ｃ ＝ 所 １ ， 一
（ 上接 第 ８ ８页 ）０世纪 ２ ２ ０年代 的美 国迷惘 的一代 ， 以及 他 们在战争 中破 碎 的价 值理 想 。在 战争 中饱 受创 伤 之苦 的
也表达 了他对 那个 时代 里 的众 多身处 困境 的雨 中猫 的深
切关怀 。
意义［］ 西北农 林科 技 大 学 学报 ： 会科 学版，Ｏ６ Ｊ． 社 ２Ｏ
（ ）１５ ９： ． ０
参 考文献 ：
［ ］ Ｇ ｒ ｄＢ ｅ ｏ ｎ ｌｙＪｎｓ ｅ ｉ ｗ ｙＬｆ ａｄ １ ｅａ ．Ｎ ｌ ｎ ａｄＧｏ ｏｅ ，Ｈ ｍｎ ａ ｉ ｎ ｌ ｓ ｒ ｇ ｅ Ｗｏｋ Ｍ］ ｅ ｏ ： ａｔ ｏ ｉ ｕｌａ ｏｓ １８ ． ｒｓ［ ，Ｎ ｗＹ ｒ Ｆ ｃ ｎＦｌ Ｐ ｂ ｃｔｎ ， ９４ ｋ ｓ ｅ ｉ ｉ ［ ］ Ｃｒ ｓＢ ｅ ｉｇ ａ ｈ ｉ ｒａ Ａ ｔｔ Ｍ］ ｒ ｃ— ２ ａ ｏ ．Ｈ ｍｎｗｙＴ ｅＷｒｅ ｓ ｒｓ ［ ．Ｐｉ ｅ ｌ ｔ ｉ ｎ
才 为 “一” （ ） 林 公 式 中 ， 边 Ｌ的方 向为 正方 向 。 。 ２格 左
例 ５ 计算 ［ １一ｃ ） 一（ ， （ 。ｙ ｙ—ｓ ｙ ］ ｉ ） ， ｎ 为 ， ＝ｓ 从 （ ， ） ， ｉ ｎ ０ ０ 到 （ｒｏ 的一段 弧。 １，）
解： 添加线 ， 则 与 构成 封闭曲线 ， 又 一Ｏ ｉ Ｐ：ｅ ．（ ｉ ｙ ＿ ｘ． ： 一 ， 以 ｓ ） ｅ ｉ 所
或子 区域 包含在 ｌ 所围 的区域 内， 曲线 ｌ Ｌ的方 向一致 ， 且 与 于是在 三上 的曲线积分等 于在 ｌ 的曲线积分 ， 上 即有
（ ｙｄ ，） ＋Ｑ（ ｙ ｄ ＝ （ ｙ ｄ ，）ｙ ，）ｘ＋Ｑ（ ）ｙ ｄ
９ ４
重
庆
与
世
界
四、 用格 林公 式时有关 曲线方 向的问题 运
如果平 面有 向曲线 Ｌ是封闭的 ， 么 ， 那 直接运 用格林公 式计 舁。
例ｌ 算 线 分 （３ｅ （３ 一ｙｙ其 ￡ 圆 ＋ Ⅱ 顺 针 向 ， 曲 积 虫ｙ＋） ＋ ２ｄ 中 是 周 ＝ 时 方 。 计 ｘ ｒ ＋ ｙ ）， 的
解： 经分析易知该 曲线积分 中有
： ， ， ｙ）：
如果封闭平 面曲线 ￡的方程代 入某 曲线 积分后 。仍然 在 Ｌ所 围的 区域 上存 在某些 点或子 区域 Ｐ（ ） 、 ，） ，） Ｑ（ ） 、 ， ， 不连续 ， 而在 的其他地 方都连续 ， 且 ＝ ， 则构造一条 有规则 的封闭 曲线 ｆｃ ， ０ 使其偏 导数不 连续 的那 些点
运 片 格 林 公 式 计 算 曲线 积分 时 ， ｊ 曲线 的有 向性 是 至 关 重 要 的 ， 往 往 封 闭 曲 线 方 向 的 判 断 正 误 与 否 也 决 定 解 题 过 而
程是否正确 。 注 ： １ 封闭的有 向曲线取正方 向为“＋”、 （） 取负方 向为“一” 。注意只有 对单连通 区域而 言 ， 时针才 为“＋” 顺 时针 逆 、
， ，
在曲线 Ｌ所 包围的有 界
０ｖ Ｏ Ｘ
平面闭区域 ｏ上 连续 的条 件 ， ｒ 那么 ， 可以先把 曲线 Ｌ的方程代入 该 曲线积 分 ， 后者 曲线积分 已满足 格林公 式条件 ， 若 则用 格林 公式把它化为二重积分计算 。