用镜像法求解静电场
第10讲 静电场的解法(1)
第10讲静态场的解法（1）本节内容：1，静电场问题的分类与唯一性定理2，平面镜像3，球面镜像一，静电场问题分类：一类是前面讨论的已知电荷分布求解场的分布型问题；另一类是由场量所满足的支配方程以及场量在边界上的已知条件来求解场的边值型问题。
因为电位是一个标量函数，而且由它可以方便地求出描述电场的其它物理量，故边值问题通常以电位做为研究对象。
边值问题按其边界条件不同可分为三类：（1）已知区域边界上的位函数值，即构成如下边值问题： ()⎩⎨⎧=-=∇Γ02|0ϕϕερϕ或——荻利克莱（Dirichlet ）问题（2）已知待求函数在区域边界上的法向导数值，即： ⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂-=∇Γ02ψϕερϕn ——Neumann 问题 （3）区域边界的一部分已知位函数值，另一部分已知法向导数值，即： ⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂=-=∇ΓΓ02012,ψϕϕϕρϕn ——混合问题三类边值问题的解是否唯一？回答是肯定的，有唯一性定理保证。
二，场的唯一性定理可以证明，在以上三种边界条件下，满足Laplace方程和Poisson方程的电位函数 是唯一的。
这就是场的唯一性定理。
下面利用格林第一公式来证明这一定理。
()⎰⎰∂∂=∇+∇⋅∇S V dS n dV ψϕψϕψϕ2 ——格林第一公式 证明：若1ϕ、2ϕ都满足拉氏方程（或Poisson 方程），则21ϕϕϕ-='满足Laplace 方程，即：02='∇ϕ 令格林公式中ϕ、ψ都是ϕ'，则： ⎰⎰∂'∂'='∇S V dS n dV ϕϕϕ2第一种情况（Dirichlet 问题）： 1ϕ、2ϕ在S 上均满足第一类边界条件，则0='S ϕ ∴ 02='∇⎰V dV ϕ ∵ 02≥'∇ϕ，而积分为0 0='∇⇒ϕ ∴()常数C ='ϕ，而在S 上0='ϕ。
∴ 0≡'ϕ ∴21ϕϕ=第二种情况（Neumann 问题）：1ϕ、2ϕ都满足0ψϕ=∂∂Sn 则：021=∂∂-∂∂=∂'∂SS S n n n ϕϕϕ 故右边=0，同样可得：()常数C =-21ϕϕ ∵ 在参考点处021==ϕϕ，故021≡-ϕϕ ∴21ϕϕ=第三种情况（Mixed问题）证明与第二种情况类似，略。
电磁场镜像法
§1-8 镜像法一、镜像法1. 定义：是解静电场问题的一种间接方法，它巧妙地应用唯一性定理，使某些看来棘手的问题很容易地得到解决。
该方法是把实际上分区均匀媒质看成是均匀的，对于研究的场域用闭合边界处虚设的简单的电荷分布，代替实际边界上复杂的电荷分布来进行计算。
即镜像法处理问题时不直接去求解电位所满足的泊松方程，而是在不改变求解区域电荷分布及边界条件的前提条件下，用假想的简单电荷分布（称为镜像电荷）来等效地取代导体面域（电介质分界面）上复杂的感应（半极化）电荷对电位的贡献，从而使问题的求解过程大为简化。
2. 应用镜像法应主意的问题应主意适用的区域，不要弄错。
在所求电场区域内： ① 不能引入镜像电荷；② 不能改变它的边界条件；③ 不能改变电介质的分布情况；④ 在研究区域外引入镜像电荷，与原给定的电荷一起产生的电荷满足所求解（讨论）的边界条件；⑤其求得的解只有在所确定的区域内正确且有意义。
3. 镜像法的求解范围应用于电场E 和电位ϕ的求解；也可应用于计算静电力F ；确定感应电荷的分布(),,ρστ等。
二、镜像法应用解决的问题一般是边界为平面和球面的情况1. 设与一个无限大导电平板（置于地面）相距h 远处有一点电荷q ，周围介质的介电常数为ε，求解其中的电场E 。
解：在电介质ε中的场E ，除点电荷q 所引起的场外，还应考虑无限大导电平板上的感应电荷的作用，但其分布不知（σ未知），因此无法直接求解。
用镜像法求解该问题。
对于ε区域，除q 所在点外，都有20ϕ∇=以无限远处为参考点()0θϕ= 在边界上有：044q qrrϕϕϕπεπε+--=+=+= 即边界条件未变。
由唯一性定理有11444q q q r r r r ϕπεπεπε+-+-⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭对于大场E 不存在()0E =推广到线电荷τ的情况，对于无限长线电荷也适合上述方法求解。
例1-15. P54求空气中一个点电荷q 在地面上引起的感应电荷分布情况。
镜像法求解静电场
镜像法求解静电场
镜像法是求解静电场问题的一种常用方法，它可以将问题简化为一些已知边界条件的部分。
我们可以通过将电荷和导体的形状映射到空间中的另一侧来获得镜像电荷和镜像导体。
这样，我们就可以将问题转化为在一定边界条件下求解单个电荷或导体所产生的电场问题。
具体来说，对于一个导体，镜像法可以将其映射到空间中的另一侧，并将它的电势设为零。
这样，它在空间中的影像就成为了一条等势线。
通过这样的操作，我们可以将一个有限的导体问题转化为无限大空间中的等势面问题，大大简化了求解难度。
同样地，对于一个点电荷，我们也可以利用镜像法求解其产生的电场。
我们将其映射到空间中的另一侧，并计算出镜像电荷。
这样，我们可以将原问题转化为一个在有限空间中求解两个点电荷所产生
的电场问题。
镜像法的一个优点是它能够将问题简化为一些边界条件已知的
问题，从而减少了求解难度。
此外，它也可以应用于复杂问题的求解，如球形和柱形状的导体等。
- 1 -。
镜像法在静电场边值问题中的应用
0, h ) 点, 电位函数 5 满足的是以 ∆ 函数表示的泊松方程:
2
Υ= -
Ε 0
q
∆( x , y , z - h ) , 这也没有变化 ],
这就保证了条件 ( 2) 。 于是原问题中 Z > 0 空间的点的电位可表示为: Υ=
q 1 ( 4Π Ε 0 r1 q
1
r2
) ( 3)
1 1 = { 2 2 2 2 2 1 2} (z - h ) 2 ]1 2 4Π Ε x + y + (z + h ) ] 0 [x + y +
图1
图 1, 无限大导体平面附近点电荷 + q 的镜像法取直角坐标系, z = 0 的平面与导体平面重合, 并设 此面为 O 电位面, 亦即导体平面接地, 因此点电荷 + q 与导体平面之间的电位必须满足下列条件: ( 1) Z = 0 处 ( 1) 5 = 0 ( 2) Z > 0 的空间里, 除点电荷+ q 所在的点外, 处处满足
r1 = a + d 2 2 2
4Π Ε 0 r1
q
+
4Π Ε 0 r2
q′
= 0
( 5)
2d 1 acosΗ , r2 2 = a 2 + d 2 2 - 2d 1 acosΗ
代入 ( 5) 式并整理得到
2 2 2 ( d 1 2 + a 2 ) ] + 2a ( q ′ [ q2 (d 2 2 + a 2 ) - q ′ d 1 - q d 2 ) cosΗ= 0
2
Υ=
4Π Ε 0
q
[
2
(
1
r1
镜像法
p v R
则区域2中任一点的电位为：
2
q q
4π 2 R
q q
2
2
在分界面(R = R′= R″)上，应满足电位的边界条件：
1
1
设想用镜像电荷 代替界面上极化 电荷的作用，并 使镜像电荷和点 电荷共同作用， 满足界面上的边
界条件。
当待求区域为介质1所在区域时，在边界之外设一镜像电荷 q′
介质1中任一点的电位为：
1
q q
4π1R 4π1R
电磁场
第3章 静电场及其边值问题的解法
当待求区域为介质2所在区域时，
* 此时要保证z=0平面边界条件不变，即应为零电位。
q q 4R 4R
故对z=0平面上任意点有R R R0 :
于是，
q 4
1 R
1 R
q 4
q q 0 4 R0
1
x2 y2 (z h)2
电位的法向导数
n
s
f2 s
一、二类边界条件的 线性组合，即
n
s2
f4 s
电磁场
一、静电场边值问题及其分类
第3章 静电场及其边值问题的解法
1. 边值问题的分类----根据场域边界条件的不同
狄利克雷问题：给定整个场域边界上的电位函数值 s f1s
（第一类）
聂曼问题：给定待求位函数在边界上的法向导数值 （第二类）
U0
O
ax
第3章 静电场及其边值问题的解法
镜像法与电轴法(静电场)
两根平行的带等值异号电荷的等半径输电线的电场
解：采用电轴法
建立坐标系，确定电轴位置
b h2 a2
圆柱导线间电场和电位
EP
2π0
(1
1
e1
1
2
e2
)
p
2π0
ln
2 1
两根平行的带等值异号电荷的等半径输电线的电场
c) 场中任一点电位为
P
U0 2lnb(ha)
ln
2 1
b(ha)
U0
20 2lnb(ha)
b(ha)
分裂导线
在高压电力传输中，为了降低电晕 损耗，减弱对通信的干扰，常采用分裂
导线的方法，即将每一根导线分成几股 排列成圆柱形表面，以减弱传输线周围 的电场。（原理P50）
镜像法（电轴法）小结
2d
d
2
)2
a
2 1
已知一对半径为a,相距为d的长直圆柱导体传输线 之间电压为U0，试求圆柱导体间电位的分布。
a)确定电轴的位置
b2h2a2
b
d2h
(d)2a2 2
b) 场中任一点电位为
ln 2 2π0 1
由 U0AB解出
b (h a ) b (h a ) U 02 π0ln b (h a ) 2 π0ln b (h a )
谢谢大家聆听！！！
35
镜像法（电轴法）的理论基础是静电场唯一 性定理；
镜像法（电轴法）的实质是用虚设的镜像电 荷（电轴）替代未知电荷的分布，使计算场域为 无限大均匀介质；
镜像法（电轴法）的关键是确定镜像电荷 （电轴）的个数（根数），大小及位置；
5.5 镜像法
20
两根线电荷 <-----------> 两个导体柱
* l
l
* l
l
o
P'
P
o'
a 2 O' P O ' P'
a 2 OP OP '
电磁场与电磁波
b d a
2
2
21
b d a
2
2
o
o'
已知：两根无限长平行圆柱,半径为a, 轴心距离为2d 求：两柱间单位长度上的电容 两根线电荷 <-----------> 两个导体柱 引入两 “线电荷”
电磁场与电磁波
2
若定解问题存在唯一的稳定解, 则称定解问题是
适定的。 换言之, 适定指的是解是存在的, 唯一的, 并且稳 定的。 解方程时可自由选择任何合理方法，甚至可以凭 经验去猜测出一个形式解。
而实际中解决工程问题时不能模棱两可，我们 需要得到适定的解。 静电场问题解法的多样性与适定性要求有矛盾 吗？？？
2
边界条件
切向：
E1t E 2t
2 1 1 fc n n
1 2
E1t E 2t J 1t / 1 J 2t / 2 1 2
恒定电场媒质边界 J 1n J 2 n 1 E1n 2 E 2 n
1 2 2 1 n n
M pl p* l d
a * OP d
2
电磁场与电磁波
19
问题扩展：电位
“长导体柱”+ “线电荷”
OP OP a
'
2
l
相应的问题等效为求解两个 “线电荷”周围的电场、电位？
《电磁场与电磁波》答案(1)
《电磁场与电磁波》答案(1)一、判断题（每题2分，共20分）说明：请在题右侧的括号中作出标记，正确打√，错误打×1. 均匀平面波是一种在空间各点处电场强度相等的电磁波。
2. 电磁波的电场强度矢量必与波的传播方向垂直。
3. 在有限空间V 中，矢量场的性质由其散度、旋度和V 边界上所满足的条件唯一的确定。
4. 静电场是有源无旋场，恒定磁场是有旋无源场。
5. 对于静电场问题，仅满足给定的泊松方程和边界条件，而形式上不同的两个解是不等价的。
6. 电介质在静电场中发生极化后，在介质的表面必定会出现束缚电荷。
7. 用镜像法求解静电场问题的本质，是用场域外的镜像电荷等效的取代原物理边界上的感应电荷或束缚电荷对域内电场的贡献，从而将有界空间问题转化为无界空间问题求解。
8. 在恒定磁场问题中，当矢量位在圆柱面坐标系中可表为()zA A r e =r r时，磁感应强度矢量必可表为()B B r e φ=r r。
9. 位移电流是一种假设，因此它不能象真实电流一样产生磁效应。
10.均匀平面波在理想媒质中的传播时不存在色散效应，在损耗媒质中传播时存在色散效应。
二、选择题（每题2分，共20分） （请将你选择的标号填入题后的括号中）1. 有一圆形气球，电荷均匀分布在其表面上，在此气球被缓缓吹大的过程中，始终处在球外的点其电场强度（ C ）。
[ ×]1 [ ×]2 [ √]3 [ √]4 [ ×]5[ √]6 [ √]7 [ √]8[ ×]9 [ √]10A ．变大B ．变小C ．不变2. 用镜像法求解电场边值问题时，判断镜像电荷的选取是否正确的根据是（ D ）。
A ．镜像电荷是否对称 B ．场域内的电荷分布是否未改变 C ．边界条件是否保持不变 D ．同时选择B 和C3. 一个导体回路的自感（ D ）。
A ．与回路的电流以及回路的形状、大小、匝数和介质的磁导率有关B ．仅由回路的形状和大小决定C ．仅由回路的匝数和介质的磁导率决定D ．由回路的形状、大小、匝数和介质的磁导率决定 4. 判断下列矢量哪一个可能是恒定磁场（ C ）。
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1、镜象法的基本要领
1) 根据唯一性定理要求的条件求解电磁场 泊松方程边值问题； 2) 在求解区域之外引入象电荷取代感应电 荷，保持求解区域电荷分布不变； 3) 引入镜象电荷，不改变求解区域边值关 系和边界条件。
2、与分离变量法比较
共同点：
1)两种方法都是根据边值关系和边 界条件进行求解； 2)可解的条件都是唯一性定理所要 求的分区均匀介质和边界条件。
不同点：
分离变量法 镜象法
求解区域没有（或 求解区域有一个 电荷分布 者经过变换没有） 或者几个自由点 电荷 自由电荷分布 分离变量求解拉 求解区域之外引入 具体方法 普拉斯方程 象电荷取代感应电 荷
静电学的基本问题是求满足给定 边界条件的泊松方程的解。主要 方法有四种：
（1）分离变量法（） （2）镜象法（?） （3）格林函数法（?） （4）多极矩展开法（?）
分离变量法：适用于所考虑的区域 内没有自由电荷分布的情况，求解 拉普拉斯方程。
镜像法适用范围？ a)所求区域内有少许几个点电荷; b)导体边界面形状比较规则，具有 一定对称性; c)给定边界条件。
第四节 镜象法 求解静电场
(Method of Images)
课的类型：讲授课
教学方法：讲解法
教学目的：学习一种求解静电场 的特殊方法—镜像法（简洁明了）
重点：用镜像法求解静电场。
难点：确定像电荷的数目、每 个像电荷的电量的大小与位置。
一、相关内容回顾
二、镜像法求解静电场的基本思想 三、镜像法应用举例 四、总结与讨论
二、镜象法求解静电场的基本思想
1. 镜像法概念 用假想点电荷来等效地代替 导体边界面上的面电荷分布，然 后用空间点电荷和等效点电荷叠 加给出空间电势分布。这种等效 电荷称为镜像电荷，这种求解方 法称为镜像法。
2. 镜象法的理论依据
唯一性定理是镜像法的理论依 据。 3. 镜象法的基本思想
在求解区域之外引入像电荷取 代感应电荷，但不改变求解区域 的边值关系和边界条件。
解：
电荷：一个点电荷 界面：导体球面 区域：球面外区域
已知界面电势为零，满足唯 一性定理的要求，可以确定 电势。
点电荷Q使导体表面产生异号的 感应电荷Q’。
整个电势是由Q和Q’共同产生的。
（1）根据对称 性分析，假想电 荷应在圆心和点 电荷的连线上， 即极轴上。
Q Q [ ] 40 r r 1
三、镜象法应用举例 例1 接地无限大平面导体板附近 有一点电荷Q，求空间中的电势。
解： 电荷：一个点电荷 界面：接地无穷大导体 区域：上半空间（下半空间 电势为零） 已知界面电势为零，满足唯 一性定理的要求，可以确定 电势。
上半空间电势特征： •导体表面是等势面 •电场线垂直于导体 表面 点电荷Q使导体表面产生异号的感应 电荷Q 。整个电场是由Q和Q共同 产生的。
P R
O
Q
r r
Q
Z
球坐标系
Q 和 r 如何确定？
（2）由边界条件确定
任意，可得 ① ②
解取
R02 b a
R0Q Q a
？
点电荷 和接地 导体球 之间电 场线示 意图
讨论： ①
Q Q
？
② 球面感应电荷分布
R0 Q Q dS R R0 a
0 R R R0
2 2 a R Q 0 4 R0 (a 2 R02 2R0 a cos ) 3 / 2
导体球接地后，感应电荷总量不为零？
（4）若导体不接地，电势不为零， 该怎么分析？ （5）若导体不接地，导体上带上自 由电荷，又如何分析？ （6）点电荷和导体球之间的相互作 用力，如何求解?
四、总结与讨论
从物理问题的对称 性和边界条件考虑， 假想电荷应在左半 空间 z 轴上。
1 40 [ Q x 2 y 2 ( z a) 2
r
Q Q/
P
r
z
a
Q x 2 y 2 ( z a) 2
]
Q’和a如何确定？
z 0
0
Q x2 y2 a2
Q x 2 y 2 a 2
舍去正号解 x 2 y 2 ( z a) 2
接地导 体外有 一点电 荷的电 势分布 图
Q
例2 真空中有一半径为R0的接地导体 球，距球心为a（a>R0）处有一点电 荷Q，求空间各点的电势（如图）。
一、相关内容回顾 唯一性定理给出静电场可以唯一 求解的条件。 唯一性定理：在可均匀分区的区 域V内给定自由电荷分布，区域V 内的电场由V的边界S上的电势或 者电势法向导数唯一地确定。
如果V内含有导体区域 ，将导体表 面视为边界面。如果不是给定导体 边界上的电势或者电势法向导数， 而是给定每个导体上的总电荷，唯 一性定理同样成立。这是由电荷与 电场之间的制约关系决定的。