最新一阶偏微分方程求解方法

加权余量法
在求解场域内，偏微分方程的真解为 ，近似解为 它由一组简单函数
ψ i 的线性组合表达，表达中有待定系数 C i 即：
近似解
问题的自 由度
n
Ci i i 1
简单函数，一般选用 简单形式的函数，一 旦选定就是已知的了
待定系数是真 正的求解目标
3.电磁场位函数偏微分方程的数值求解方法－加权余量法
间误差的目标函数 F
3. 用适当的算法使得该目标函数最小化――最小化的过程就确定了
待定系数，从而也就得到了问题的近似解。
2/4 2.数值求解方法
目标函数最小化的目的：一方面，使得近似解最大程度接近真解；另 一方面，求得构成近似解的待定系数。
数学上，构成目标函数的方法很多，不同的构成方法就形成了不同的 数值解法，电磁场中就常见的是：加权处（ ：）xd＝10
3. 加权余量法－－例
3. 加权余数表达式：
F j(R ) jR d jR d ， j 1 ,2
j 1时,得到一个代数方程：
F1(R) 1R d 1R d
d
0 x(2C2)d
| x0 x((C1x1 C2x2 ) x0 0) d
2 2( 2 Cixi) 2(C1x1)2(C2x2)
i1
02C2
2 0
3. 加权余量法－－例
2.结合问题，写出余数表达式：
： R（ ） （ ）
2
（） ＝ Cixi＝C1x1C2x2 i1
在 x0处（ ： ）x0＝ (C1x1C2x2)x0
在 xd处（ ： ）xd＝ (C1x1C2x2)xd
系数，从而确定近似解
3. 加权余量法－－例
该静态电场问题的真解（解析解：）
真解与近似解相同是 由于尝试函数选择的 刚好，通常是有差别 的，如选用三角函数， 但求解过程会复杂， 可见尝试函数的选取
是有技巧的。
4. 加权余量法求解一般化偏微分方程的归纳
一般化偏微分方程： () q
线性微分算子
解得 C 1 ＝ 1/： 0 d； C 2 ＝ 0
近似 （ ） ＝ 解 i 2 1C ix： i＝ C 1x1C 2x2 ＝ 1 dx 0
加权余量法求解流程： 1.选取尝试函数、构造近似解 2.结合问题，写出余数表达式 3. 写出加权余数表达式 4. 令各加权余数表达式为0，得到代数方程组，解之得到待定
| xd x((C1x1 C2x2) xd 10) d
C2d 2 0 (C1d 2 C2d3 10d) d 2C1 d 2(1 d)C2 10d 0
3. 加权余量法－－例
3. 加权余数表达式：
j 2时, 又得到一个代数方程：
F2(R)
2 R
d
2 R
d
d 0
x2 (2C2 )d
由此构建加权量法的目标函数：
关于函数是函数， 称为：泛函数，或
泛函
Fj(R) jRdjRd，
令Fj(R) 0则余数最 小 趋， 于
上述过程中，已经将偏微分方程转化为j个代数方程组，便于计算机求解。
3. 加权余量法－－例
例1.两极电容板内部电场分布问题： 根据问题特点将3维问题简化为2维， 进一步简化为1维。 该问题是静态电场问题， 偏微分方程和边界条件：
() s
则其余数为：
R()()()q R()()()s
令加权余数为0，构建代数方程：
n
其中： Cii i1
3.电磁场位函数偏微分方程的数值求解方法－加权余量法
电磁场问题总可以用位函数的偏微分方程和相应的边界条件表述
2
A
2A t 2
J
2
2
t 2
1 g(1)
t 2(2)2h(2)
两个偏微分方程形式相同，故以电位方程的求解过程为例。磁位矢 量的方程可以分解到个分量上变为标量方程。
3.电磁场位函数偏微分方程的数值求解方法－加权余量法
3.电磁场位函数偏微分方程的数值求解方法－加权余量法
加权余数的定义：
目标函数：
wjRdw*jRd，j1,2,....
加权函数的选取方法很多：如点重合、子域重合、最小二乘法、迦辽金法。 效果较好的、运用较多的是迦辽金法：
wj＝w*j＝j
即：迦辽金法选取尝试函数本身为加权函数
3.电磁场位函数偏微分方程的数值求解方法－加权余量法
| x0 x 2 ((C1x1 C2 x 2 ) x0 0) d
| xd x 2 ((C1x1 C2 x 2 ) xd 10 ) d
2 3
C2d 3
0
(C1d 3
C2d
4
10 d
2)
d
3C1
d
3( 2 3
d )C2
10 d
2
0
3. 加权余量法－－例
4. 求解上述两个代数方程组，得到待定系数，从而确定近似解
一阶偏微分方程求解方法
2/4 2.数值求解方法
1. 基本思想：
以偏微分方程的近似解来代替其真解，只要近似解与真解足够 接近，就可以近似解作为问题的解，并满足足够的精度。
2. 基本方法：
尝试函数，基 函数，形函数
1. 2.
ψ 假表然设示后一，建个线立近性一似组种解 合 考的虑，系了该数微解就分一是方组一程（组和形待边式定界上系条）数件简的单C 关函i 于数真解i 的线和性近组似合解来
2 0 0 0; d 10;
3. 加权余量法－－例
加权余量法求解： 1.选取尝试函数、构造近似解：
理论上任意选取， 操作中越简单越好
i xi (i1,2)
n
2
C i iC ix i C 11 C 22 C 1 x 1 C 2 x 2
i 1
i 1
2.结合问题，写出余数表达式：
:R 2 2
加权余量法就是一种定义近似解与真解之间误差（即余数），并设 法使其最小的方法。
加权余量法误差（即余数）的定义：
问题的自 由度
场域 内: R22 边界 上R ： （） （）
注意：一般余数并不表示近似解与真解间的差（场域内），加权余量法 的采用拉普拉斯算子作用后的差别（即余数），来代表近似解接近 偏微分方程真解的程度。
3.电磁场位函数偏微分方程的数值求解方法－加权余量法
当余数小于要求的精度时，就可以认为近似解就是偏微分方程的解。 要减少余数，我们可以通过寻求适当的待定系数来实现。 为有效表达减小余数的效果，还选取适当的加权函数，以使余数和该加
权函数的积分为0。－－“加权余量法”的来由。
设加权函数wj为 ： ;w*j