第七章 一阶线性偏微分方程
高等数学-第七章-微分方程
在工程领域中，微分方程组被广泛应用于控制论、信号处理、流体力学等方面。通过求解微分方程组，可以优化工程 设计、提高系统性能等。
经济应用
在经济学中，微分方程组被用来描述经济系统的动态行为，如经济增长模型、金融市场模型等。通过求 解这些微分方程组，可以分析经济现象的发展趋势和内在机制。
05 微分方程的数值解法
常数变易法
对于某些特殊形式的高阶微分方程组，可以通过常 数变易的方法，将其转化为易于求解的方程或方程 组。
幂级数解法
对于某些高阶线性微分方程组，可以通过幂 级数展开的方法，将其转化为无穷级数进行 求解。
微分方程组的应用
物理应用
在物理学中，许多现象可以用微分方程组来描述，如力学中的运动方程、电磁学中的麦克斯韦方程等。通过求解这些 微分方程组，可以揭示物理现象的本质和规律。
非线性微分方程
不满足线性条件的微分方程，称为非线性微分方 程。
微分方程解的性质
唯一性定理 在一定条件下，微分方程的解是 唯一的。
边值问题 给定边界条件的微分方程求解问 题，称为边值问题。边值问题的 解可能不唯一，也可能不存在。
叠加原理
对于线性微分方程，若$y_1$和 $y_2$分别是方程的两个解，则 它们的线性组合 $c_1y_1+c_2y_2$（其中$c_1$ 和$c_2$是任意常数）也是方程 的解。
首次积分法
利用首次积分的方法，将一阶微 分方程组转化为可分离变量的方 程或可降阶的方程，然后求解得 到原方程组的解。
特征线法
对于一阶偏微分方程组，可以通 过引入特征线的概念，将偏微分 方程转化为常微分方程进行求解 。
高阶微分方程组法
变量代换法
通过适当的变量代换，将高阶微分方程组转 化为一阶微分方程组或可降阶的方程，然后 求解得到原方程组的解。
第七章一阶线性偏微分方程
Ψ ϕ1(x1, · · · , xn), · · · , ϕn−1(x1, · · · , xn)
= 常数
xj =ψj (xn)
(2) µ0dx + µ1dy1 + · · · + µndyn是某个函数ϕ的全微分，则ϕ = c就是方程的一个首次积 分。
【例1】 求方程组
的通积分。 【例2】 解方程组
dx xz
=
dy yz
=
dz xy
dx x
=
dy y
=
z
+
dz x2 + y2 + z2
7.2.4 一阶齐次线性偏微分方程的求解
7.2 一阶线性偏微分方程的求解
7.2.1 首次积分
定义 7.1 含有n个未知函数的一阶常微分方程组
dy1 dx
dy2 dx
= f1(x, y1, y2, · · · , yn), = f2(x, y1, y2, · · · , yn),
x2,
·
·
·
,
xn)
∂u ∂xi
=
0
(7.3)
则称其为一阶线性齐次偏微分方程。 4. 非线性偏微分方程 不是线性的偏微分方程为非线性偏微分方程。 5. 拟线性偏微分方程 若非线性偏微分方程关于其最高阶偏导数是线性的，则称它是拟线性偏微分方程。 本章讨论如下的一阶拟线性偏微分方程
n j=1
bj
(x1,பைடு நூலகம்
7.2 一阶线性偏微分方程的求解
5
7.2.3 利用首次积分求解常微分方程组
定义 7.2 称 方 程 组(7.5)的n个 互 相 独 立 的 首 次 积 分 全 体ϕj(x, y1, · · · , yn) = cj，j = 1, 2, · · · , n为方程组(7.5)的通积分。
高等数学-第七章-微分方程
制动时
常微分方程
偏微分方程
含未知函数及其导数的方程叫做微分方程 .
方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程
(本章内容)
( n 阶显式微分方程)
微分方程的基本概念
一般地 , n 阶常微分方程的形式是
的阶.
分类
或
— 使方程成为恒等式的函数.
通解
— 解中所含独立的任意常数的个数与方程
于是方程化为
(齐次方程)
顶到底的距离为 h ,
说明:
则将
这时旋转曲面方程为
若已知反射镜面的底面直径为 d ,
代入通解表达式得
一阶线性微分方程
第四节
一、一阶线性微分方程
*二、伯努利方程
第七章
一、一阶线性微分方程
一阶线性微分方程标准形式:
若 Q(x) 0,
若 Q(x) 0,
称为非齐次方程 .
第七章
一、齐次方程
形如
的方程叫做齐次方程 .
令
代入原方程得
两边积分, 得
积分后再用
代替 u,
便得原方程的通解.
解法:
分离变量:
例1. 解微分方程
解:
代入原方程得
分离变量
两边积分
得
故原方程的通解为
( 当 C = 0 时, y = 0 也是方程的解)
( C 为任意常数 )
此处
例2. 解微分方程
例4
例5
例6
思考与练习
求下列方程的通解 :
提示:
(1) 分离变量
(2) 方程变形为
作业
P 298 5(1); 6 P 304 1 (1) , (10); 2 (3), (4) ; 4 ; 6
高等数学第七章微分方程微分方程
熟练掌握二阶常系数齐线性微分方程的解法. 掌握自由项（右端）为多项式、指数函数、正弦函数、余
弦函数以及它们的和或乘积的二阶常系数非齐线性微分方 程的解法.
2013/9/23
第一节 微分方程的基本概念
解
2
在许多物理、力学、生物等现象中，不能直接找到联 系所研究的那些量的规律，但却容易建立起这些量与它们 的导数或微分间的关系。
例1
解 原方程即 对上式两边积分，得原方程的通解
例2
解
对上式两边积分，得原方程的通解 经初等运算可得到原方程的通解为
4
原方程的解为
例3
解 两边同时积分，得
故所求通解为
2013/9/23
例4
解 原方程即 两边积分，得 故通解为
曲线族的包络。
例6求解微分方程 解 分离变量
两端积分
工程技术中 解决某些问题时， 需要用到方程的 奇解。
18
例.
的通解.
解: 特征方程为
其根为
对应齐次方程的通解为
为特征方程的单根 ,因此设非齐次方程特解为
代入方程: 比较系数, 得 因此特解为 所求通解为
2013/9/23
19
特解:
故
等式两边取共轭 :
为方程 ③ 的特解 .
第三步 求原方程的特解 原方程 利用第二步的结果, 根据叠加原理, 原方程有特解 :
均为 m 次多项式 .
第四步 分析
因
本质上为实函数 ,
均为 m 次实多项式 .
内容小结
为特征方程的 k (＝0, 1, 2) 重根, 则设特解为
为特征方程的 k (＝0, 1 )重根, 则设特解为 3. 上述结论也可推广到高阶方程的情形.
一阶偏微分方程求解方法
VS
举例2
求解一阶偏微分方程时，遇到边界条件为 y'(0)=1，y'(1)=2的情况，可以通过有限差 分法进行处理。
感谢您的观看
THANKS
03
3. 求解参数方程
通过求解参数方程，得到 (t = x^2/2 + C) ，其中 (C) 是常数。
02
2. 建立参数方程
根据参数 (t) 的定义，建立参数方 程 (u'(x) = x + t) 。
04
4. 求得原方程的解
将 (t) 关于 (x) 的表达式代入原方 程，得到原方程的解 (u(x) = x^2/2 + C) 。
04 参数法
适用条件
适用于具有特定形式的一阶偏微分方程，如形如 (u'(x) = f(x, u(x))) 的方程。
适用于已知函数 (f(x, u)) 的情况，且在某些特定点上，方程的解 (u(x)) 可以表示为参数 (x) 的函数。
求解步骤
1. 确定参数
选择一个参数 (t) ，使得方程的解 (u(x)) 可以表示为 (t) 的函数。
乘积或商。
03 偏微分方程中的未知函数可以表示为某种周期函 数的乘积或商。
求解步骤
01
1. 将偏微分方程中的未知函数表示为多个函数的乘积
或商。
02 2. 将每个函数分别求解，得到每个函数的解。
03
3. 将所有函数的解组合起来，得到偏微分方程的解。
举例说明
考虑一阶偏微分方程 $$ frac{partial u}{partial x} + u = f(x) $$ 其中 $u = u(x)$ 是未知函数，$f(x)$ 是已知函数。
(e^{int f(x) dx} y' = f(x) e^{int f(x) dx})
一阶偏微分方程教程
一阶偏微分方程教程一、基本概念偏微分方程是指含有多个变量的、涉及未知函数及其偏导数的方程。
一阶偏微分方程是指未知函数的最高阶导数出现在一阶的偏微分方程。
通常用变量x、y表示自变量，用u表示未知函数。
一般形式的一阶偏微分方程为：F(x,y,u,u_x,u_y)=0其中，u_x和u_y分别表示u对x和y的偏导数。
二、解法解一阶偏微分方程的方法主要有特征线法、分离变量法和变换法。
1.特征线法：对于形如P(x,y)u_x+Q(x,y)u_y=R(x,y)的一阶偏微分方程，通过假设u=M(x,y)使得PdM=QdN，解得一条特征线，然后再由特征线的参数表示来求解原偏微分方程。
2.分离变量法：对于形如F(x,y,u)u_x+G(x,y,u)u_y=H(x,y,u)的一阶偏微分方程，可以将原方程化简为两个单变量的常微分方程，再分别求解。
3.变换法：通过引入新的变量或者函数进行变量替换，将原方程转化为另一种形式，使得新形式的方程具有更易求解的性质。
三、应用1.热传导方程：热传导方程描述了物体内部温度分布随时间的变化规律。
它是一个偏微分方程，通过求解热传导方程，可以分析物体的温度变化，从而设计合适的散热装置。
2.波动方程：波动方程描述了机械波在介质中的传播规律。
通过求解波动方程，可以研究地震波、声波等的传播特性，为地震预测和声学设计提供理论基础。
3.稳定性分析：稳定性分析是工程和经济学中一个重要的问题，通过求解偏微分方程，可以研究系统的稳定性，并优化系统的运行。
总结：一阶偏微分方程是数学中重要的研究对象，本教程介绍了一阶偏微分方程的基本概念、解法和应用。
掌握解一阶偏微分方程的方法，对于研究自然界的现象和优化工程设计具有重要意义。
最后，希望读者通过学习本教程可以深入了解一阶偏微分方程，并能够独立解决相关问题。
第七章 一阶线性偏微分方程 常微分方程课件 高教社ppt 王高雄教材配套课件
第七章一阶线性偏微分方程§7.1 首次积分和求解常微分方程组基本概念(,,)ni 1n i 1i u X x x 0x =∂=∂∑(,,)(,,)ni1n1ni 1iuX x x Z x x x =∂=∂∑(,,,)(,,,)ni 1n 1n i 1i uY x x u Z x x u x =∂=∂∑例丨例1解x yu uc0u cu0 x y∂∂+=+=∂∂即例2例2 解(,,)(,,)x y y x u g x y u u g x y u 0-=(,)()()(,)xy x y y x x y u y y x u x x y y u xyu u u v u v u v u g g u u g g u u g u g 0v v x y ∂==-=-⋅--⋅=-⋅=∂(,(,,))((,,))u g x y u 0u g x y u ϕΦ==或特征方程定义•齐次线性偏微分方程特征方程•拟线性偏微分方程特征方程(,,)ni1n i 1iu X x x 0x =∂=∂∑(,,,)(,,,)ni 1n 1n i 1iu Y x x u Z x x u x =∂=∂∑d d d n1212nx x x X X X ===d d d d n 1212n x x x uY Y Y Z====首次积分定义首次积分d (,,,),(),,,6d 0ii 1n i 0i y f x y y y x y i 1nx===（）首次积分彼此独立彼此独立(,,)(,,)n 1111n 1n n 1nny y D D y y y y ψψψψψψ∂∂∂∂=∂∂∂∂n 1111n 11nn x x x x ϕϕϕϕ--∂∂⎡⎤⎢⎥∂∂⎢⎥⎢⎥⎢⎥∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂⎣⎦一阶线性偏微分方程与常微分方程组的关系d (,)d yf x y 8x=（）d (,)d y f x y 0x y x x yψψψψ∂∂∂∂+=+=∂∂∂∂(,)u u f x y 09x y∂∂+=∂∂（）d d (,)d d u u u y u uf x y 0x x y x x y ∂∂∂∂=+=+=∂∂∂∂定理1定理112n 12nf f f 010x y y y ψψψψ∂∂∂∂++++=∂∂∂∂（）d (,,,),(),,,d 0ii 1n i 0i y f x y y y x y i 1n 6x===（）证(,,,)0001n x y y G∈()(,,,)i i 0y x i 12n ϕ==(,(),,())1n x x x const ψϕϕ=d(,(),,())d 1n x x x 0x ψϕϕ=(,,,)(,,,)(,,,)n00000001n i 01n 01n i 1i x y y f x y y x y y 0x y ψψ=∂∂+=∂∂∑(,,,)0001n x y y G ∈12n 12nf f f 010x y y y ψψψψ∂∂∂∂++++=∂∂∂∂（）(),,,d(,(),,())d i i 1n 12n y x 12n i 12nx x x f f f 0xxy y y ϕψψψψψϕϕ==⎛⎫∂∂∂∂=++++= ⎪∂∂∂∂⎝⎭(,(),,())1n x x x constψϕϕ=d (,,,),(),,,d 0ii 1n i 0i y f x y y y x y i 1n 6x===（）§7.3 利用首次积分求解常微分方程组定理2d(,,,),,,dii1nyf x y y i1n11x==（）(,,,),,,i1n ix y y c i1n12ψ==（），证(,,,)(,,,)12n 12n 0y y y ψψψ∂≠∂(,,,),,,i 1n i x y y c i 1n 12ψ==（）(,,,),,,i 1n i x y y c i 1n 13ϕ==（）(,(,,,),,(,,,)),,,j 11n n 1n j x x c c x c c c j 12n ψϕϕ==d (,,,)(,,,),,,d n i j 1n j 1n i 1ix x 0j 12nxy xϕψϕϕψϕϕ=∂∂+⋅==∂∂∑,,,,j j j1n 1nf f 0j 12n 14x y y ψψψ∂∂∂+++==∂∂∂（）(,,,),,,nj ii 1n d f x 0j 12ny dxψϕϕϕ∂⎡⎤-==⎢⎥∂⎣⎦∑(,,,)(,,,)(,,,),,,nj 1n i 1n j 1n i 1i x f x x 0j 12n x y ψϕϕϕϕψϕϕ=∂∂+⋅==∂∂∑d (,,,),,,d ii 1n y f x y y i 1n 11x==（）(,,,),,,i 1n i x y y c i 1n 12ψ==（）(,,,)(,,,)12n 12n 0y y y ψψψ∂≠∂d (,,,),,,d ii 1n f x j 12nx ϕϕϕ==(,,,),,,,i i 1n y x c c i 12nϕ==(,,,,),,,,i i 01n y x x y y i 12nϕ==(,,,)(,,,)i i 01n c x y y i 12n ψ==(,,,)(,,,)i i 1n y x c c i 12n ϕ==(,,,,)(,,,)(,,,)i 001n i i 01n x x y y y x c c i 12n ϕϕ===(,,,)(,,,,),,,,i 1n i 01n x c c x x y y i 12n ϕϕ==(,,,,)(,,,)i i 01n y x x y y i 12n ϕ==(,,,)(,,,)i i i 01n c c x y y i 12n ψ===，d (,,,),,,d ii 1n y f x y y i 1n 11x==（）求首次积分方法(,)(,,)x c y x c 00c cϕψ∂∂≠≠∂∂或d d d d n12012ny y y x g g g g ====(,,)i 0i g g f i 1n ==,,,01nμμμ,d d d d 0011n n 011n n g g g 0x y y μμμμμμϕ+++=+++=d (,,,),,,d ii 1n y f x y y i 1n 11x==（）例1 求解方程组d d d d 222222y2xy x x y z z 2xz x x y z ⎧=⎪--⎪⎨⎪=⎪--⎩d d d 222x y zx y z 2xy 2xz==--d d y z yz=1y c z=d d d d ()222x x y y z z yx x y z 2xy++=++2222x y zc y++=12222yc z x y z c y ⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩例2 求方程组的通积分d d d x y z xz yz xy==,,012g xz g yz g xy===,,012y x 2z μμμ===-001122g g g 0μμμ++=()2012dx dy dz d xy z μμμ++=-21xy z c -=2xc y=212xy z c x cy ⎧-=⎪⎨=⎪⎩。
一阶偏微分方程教程
方程的解：若函数u连续并具有方程所涉及的连续 方程的解：若函数 连续并具有方程所涉及的连续 的各阶偏导数， 的各阶偏导数 ， 且该函数代入方程使得方程在某 区域内成为恒等式， 区域内成为恒等式 ， 则称该函数为方程在该区域 内的解 古典解） 内的 解 （ 古典解 ） 。 满足某些特定条件的解称为 特解，这些条件称为定解条件 一般情况下， 定解条件。 特解 ， 这些条件称为 定解条件 。 一般情况下 ， 一 个具有n个自变量的 阶方程的解可以含有 个n-1 个具有 个自变量的m阶方程的解可以含有 个自变量的 阶方程的解可以含有m个 元任意函数，这样的解称为通解。 元任意函数，这样的解称为通解。 通解 定解问题 ： 定解条件通常包括 边界条件 和 初始条 定解问题：定解条件通常包括边界条件 边界条件和 两种。含有定解条件的方程求解问题称为定解 件 两种 。 含有定解条件的方程求解问题称为 定解 问题， 包括初值问题（ 问题） 问题 ， 包括初值问题 （ Cauchy问题 ） 、 边值问 问题 题和混合问题。 题和混合问题。
u u u P ( x, y , z ) + Q ( x, y , z ) + R ( x, y , z ) x y z = f ( x, y, z )u + g ( x, y, z )
为已知函数。 其中 f , g为已知函数。 为已知函数 其特征方程组为
(6)
dx dy dz du = = = P Q R fu + g
12
于是
Φ ( t , s ) = f (± t + y , ± t + y s )
2 0 2 0
从而原Cauchy问题的解为 问题的解为 从而原
u = Φ ( x2 y 2 , x2 z 2 )
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第七章 一阶线性偏微分方程7-1求下列方程组的通积分及满足指定条件的解。
1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+=t y x dtdy y x dt dx 2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=y x dtdy y x dt dx 2 ，当0=t 时，1==y x 3）xy dz z x dy y z dx -=-=- 解 1） 方程组的两式相加，得t y x dt y x d ++=+)(2)(。
令 y x z +=，上方程化为一阶线性方程t z dtdz +=2， 解之得412121--=t e C z t 即得一个首次积分为121)4121(),,(C e t y x y x t t =+++=Φ-。
方程组的两式相减，得t dty x d -=-)(， 解之得另一个首次积分为 22221),,(C t y x y x t =+-=Φ。
易验证 021111det det 2211≠-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂Φ∂∂Φ∂∂Φ∂∂Φ∂x x y x 。
因此，11),,(C y x t =Φ和22),,(C y x t =Φ是两个独立的首次积分，所以，方程组的通积分为121)4121(),,(C e t y x y x t t =+++=Φ-， 22221),,(C t y x y x t =+-=Φ。
从中可解得通解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--+'-'=---'+'=81414181414122212221t t C e C y t t C e C x t t 。
2）方程组的两式相比，得 yx y x dy dx --=2， 变形得恰当方程 02=--+x d y y d x y d y x d x ，解之得一个首次积分为 12222C xy y x =-+，即 =Φ),,(1y x t 2122)(C y y x =+-。
给方程组第一式乘以y ，第二式乘以x ，再相减得])[()22(2222y y x xy y x y x x y +--=-+-='-'，1)(22-=+-'+'-'-'yy x y y y x y y x y ， 1)(22=+-'+'-'-'-y y x y y y x y y x y 两边积分，得另一个首次积分为=Φ),,(2y x t 2arctanC t y x y =--， 易验证 211),,(C y x t =Φ和22),,(C y x t =Φ是两个独立的首次积分，所以，方程组的通积分为2122)(C y y x =+-，2arctan C t yx y =--， 通解为 ⎩⎨⎧'+'='-'+'+'=t C tC y t C C t C C x s i n c o s s i n )(c o s )(211212，其中211sin C C C ='，212cos C C C ='。
容易得满足0=t 时，1==y x 的解为⎩⎨⎧=-=t y t t x cos sin cos 。
3） 三个分式相加，得xy dz z x dy z y x d -=-=++0)(，则一个首次积分为 1C z y x =++。
给三个分式的分子分母分别乘以z y x ,,，再相加，得xy zdz z x ydy z y x d -=-=++0)(222， 又得另一个首次积分为 2222C z y x =++。
容易验证1C z y x =++，2222C z y x =++是两个独立的首次积分，所以方程组的通积分为1C z y x =++，2222C z y x =++。
评注：求首次积分时，注意利用部分方程的相加、相减、相比，利用比例的基本性质等。
还要注意验证首次积分的独立性。
7-2 求下列方程的通解及满足给定条件的解。
1）0)( )( )2( 22=∂∂-+∂∂++∂∂--zu xz xy y u xz xy x u y yz z 2）)(9)2()2(333443y x z yz y x y x z x x y -=∂∂-+∂∂- 3） z y x zu y x u y u x u z x u u z y ++=∂∂+++∂∂+++∂∂++)()()( 4） ,nu zu z y u y x u x =∂∂+∂∂+∂∂n 为自然数。
5） 0=∂∂+∂∂y z x z yz， 3,0y z x == 解 1）这是一阶线性齐次偏微分方程，它的特征方程组为xz xy dz xz xy dy yyz z dx -=+=--222， 由此得zy dz z y dy -=+ 即得一个首次积分为 1222C z yz y =--。
又由xz xy dz xz xy dy yyz z dx -=+=--222，得 zy dz z y dy y yz z xdx -=+=--222， 22222zyz zdz zy y ydy y yz z xdx -=+=--， 利用合比性质得022222zdz ydy xdx zyz ydz zy y ydy y yz z xdx ++=-=+=--， 则另一个首次积分为 2222C z y x =++。
容易验证这两个首次积分相互独立，故得原方程的通解)2,(22222z yz y z y x u --++Φ=其中Φ为任意二元连续可微函数。
2）原方程的特征方程组为)(922333443y x z dz y x y dy x x y dx -=-=-， 由此得3333339)2()2(y x z dz x y x y y dy x dx -=-+-+， 即)(33)(33333x y z dz x y y dy x dx --=-+。
因此131ln C xyz '=所以得特征方程组的一个首次积分 131C xyz =。
又 433422xxy y x y dx dy --=为齐次方程，令ux y =，则 2234--=+u u u dx du x u 分离变数，得x dx du u u u =+-)1(233， 即x dx du uu u =-+)213(32， 积分可得2231ln C xu u '=+。
因而得另一首次积分22233C yx x y =+， 容易验证这两个首次积分相互独立，故得原方程的隐式解0),(223331=+Φyx x y xyz ， 其中Φ为任意二元连续可微函数。
3） 原方程的特征方程组为 zy x du y x u dz x u z dy u z y dx ++=++=++=++。
由合比性质得xy dy dx u z y x du dz dy dx --=++++++)(3 由此可得一个首次积分131)()(C x y u z y x =-+++。
同理，由yz dz dy u z y x du dz dy dx --=++++++)(3， 可得另一个首次积分231)()(C y z u z y x =-+++。
再由 zu du dz u z y x du dz dy dx --=++++++)(3， 得第三个首次积分331)()(C z u u z y x =-+++。
容易验证这三个首次积分相互独立，故得原方程的隐式解 0))()(),()(),()((313131=-+++-+++-+++Φz u u z y x y z u z y x x y u z y x 其中Φ为任意三元连续可微函数。
4） 原方程的特征方程为 nudu z dz y dy x dx === 不难求得三个独立的首次积分321,,C xu C x z C x y n ===。
于是，原方程的隐式通解为0),,(=Φn xu x z x y 其中Φ是各变元的连续可微函数。
若能解出u ，则得通解),(xz x y F x u n =。
其中F 为各变元的连续可微函数。
5）这是一阶拟线性偏微分方程，它的特征方程组为1dz dy yz dx ==。
先求得一个首次积分为 2C z =。
代入得 12dy y C dx =， 解得另一个首次积分为 2222C y C x =-，即122C zy x =-。
容易验证这两个首次积分相互独立，故得原方程的隐式解0),2(2=-Φz zy x其中Φ是任意的二元连续可微函数。
将3,0y z x ==代入2C z =和122C zy x =-，得5231C C -=，故所求满足条件的解为 325)2(zy x z --=，即325)2(x zy z -=。
评注：求解一阶线性齐次偏微分方程或拟线性偏微分方程，实际上转化为求解一个常微分方程组的问题。
7-3 求与下列曲面族正交的曲面（a 为任意常数）。
1） axy z =2） a xyz =解1）设所求曲面方程为),(y x z z =，则过曲面上任一点),,(z y x 的法线方向为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∂∂∂∂1,,y z x z ，而曲面axy z =在),,(z y x 的法线方向为{}1,,-ax ay 。
由于所求曲面与axy z =正交，所以在曲面),(y x z z =上的点满足01=+∂∂+∂∂yz ax x z a y ， 这是一个一阶拟线性偏微分方程。
它的特征方程组为 1-==dz ax dy ay dx ， 由axdy ay dx =，解得它的一个首次积分为1221),,(C y x z y x =-=Φ。
由1-=dz ay dx 和axy z =，得1-=dz ayx xdx ， 即zdz xdx -=，另一个首次积分为2222),,(C z x z y x =+=Φ。
由于 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂Φ∂∂Φ∂∂Φ∂∂Φ∂∂Φ∂∂Φ∂z x y x z y xz y x 202022222111， 042002det det 2211≠=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂Φ∂∂Φ∂∂Φ∂∂Φ∂xz z x z y z y ，即z x ,解不为零时，其中的一个二阶子 矩阵的行列式不为零。
所求曲面方程),(y x z z =满足0),(2222=+-Φz x y x ，其中Φ是任意的二元连续可 微函数。
)b 设所求曲面方程为0),,(=z y x u ，则过曲面上任一点),,(z y x 的法线方向为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂∂∂∂∂∂z u y u x u ,,，而曲面a xyz =在),,(z y x 的法线方向为{}xy xz yz ,,。
由于所求曲面与a xyz =正交，所以在曲面0),,(=z y x u 上的点满足0=∂∂+∂∂+∂∂zu xy y u xz x u yz ， 这是一个一阶线性齐次偏微分方程。