【K12教育学习资料】2018考前两个月数学高考理科(江苏专用)总复习训练题：小题满分练10 Wor
[推荐学习]2018考前两个月数学高考理科(江苏专用)总复习训练题：考前回扣2 Word版含答案
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回扣2 导数1．导数的几何意义(1)f′(x0)的几何意义：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，该切线的方程为y －f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．(2)切点的两大特征：①在曲线y＝f(x)上；②在切线上．2．利用导数研究函数的单调性(1)求可导函数单调区间的一般步骤①求函数f(x)的定义域；②求导函数f′(x)；③由f′(x)＞0的解集确定函数f(x)的单调增区间，由f′(x)<0的解集确定函数f(x)的单调减区间．(2)由函数的单调性求参数的取值范围①若可导函数f(x)在区间M上单调递增，则f′(x)≥0(x∈M)恒成立；若可导函数f(x)在区间M上单调递减，则f′(x)≤0(x∈M)恒成立；②若可导函数在某区间上存在单调递增(减)区间，f′(x)＞0(或f′(x)<0)在该区间上存在解集；③若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，则I是其单调区间的子集．3．利用导数研究函数的极值与最值(1)求函数的极值的一般步骤①确定函数的定义域；②解方程f′(x)＝0；③判断f′(x)在方程f′(x)＝0的根x0两侧的符号变化：若左正右负，则x0为极大值点；若左负右正，则x0为极小值点；若不变号，则x0不是极值点．(2)求函数f(x)在区间[a，b]上的最值的一般步骤①求函数y＝f(x)在[a，b]内的极值；②比较函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)的大小，最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．1．已知可导函数f (x )在(a ，b )上单调递增(减)，则f ′(x )≥0(≤0)对∀x ∈(a ，b )恒成立，不能漏掉“＝”，且需验证“＝”不能恒成立；已知可导函数f (x )的单调递增(减)区间为(a ，b )，则f ′(x )＞0(＜0)的解集为(a ，b )．2．f ′(x )＝0的解不一定是函数f (x )的极值点．一定要检验在x ＝x 0的两侧f ′(x )的符号是否发生变化，若变化，则为极值点；若不变化，则不是极值点．1．曲线y ＝f (x )＝x x 2＋1在点(1，f (1))处的切线方程是____________． 答案 y ＝12解析 ∵f (x )＝x x 2＋1的导数f ′(x )＝1－x 2(1＋x 2)2， ∴曲线在点(1，f (1))处的切线斜率k ＝0， ∵切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12， ∴曲线在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝12. 2．(2016·四川)已知a 为函数f (x )＝x 3－12x 的极小值点，则a ＝__________. 答案 2解析 ∵f (x )＝x 3－12x ，∴f ′(x )＝3x 2－12，令f ′(x )＝0，则x 1＝－2，x 2＝2.当x ∈(－∞，－2)，(2，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；当x ∈(－2,2)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，∴f (x )的极小值点为a ＝2.3．f (x )＝x 2＋3xf ′(2)，则1＋f ′(1)＝________.答案 －3解析 由f (x )＝x 2＋3xf ′(2)，求导可得f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)，f ′(2)＝4＋3f ′(2)， f ′(2)＝－2，则f ′(x )＝2x －6，f ′(1)＝2－6＝－4，所以1＋f ′(1)＝－3.4．设曲线f (x )＝－e x －x (e 为自然对数的底数)上任意一点处的切线为l 1，总存在曲线g (x )＝3ax ＋2cos x 上某点处的切线l 2，使得l 1⊥l 2，则实数a 的取值范围为____________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，23 解析 由f (x )＝－e x －x ，得f ′(x )＝－e x －1，因为e x ＋1＞1，所以1e x ＋1∈(0,1)， 由g (x )＝3ax ＋2cos x ，得g ′(x )＝3a －2sin x ，又－2sin x ∈[－2,2]，所以3a －2sin x ∈[－2＋3a,2＋3a ]，要使过曲线f (x )＝－e x －x 上任意一点的切线l 1，总存在过曲线g (x )＝3ax ＋2cos x 上一点处的切线l 2，使得l 1⊥l 2，则⎩⎪⎨⎪⎧－2＋3a ≤0，2＋3a ≥1， 解得－13≤a ≤23. 5．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极小值10，则a ＋b 的值为________．答案 －7解析 ∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0，f (1)＝1＋a ＋b ＋a 2＝10，解得a ＝4，b ＝－11或a ＝－3，b ＝3，经验证，a ＝4，b ＝－11符合题意，故a ＋b ＝－7.6．若函数f (x )＝x 2－12ln x ＋1在其定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是______________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32 解析 因为f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2x －12x， 由f ′(x )＝0，得x ＝12. 利用图象可得⎩⎪⎨⎪⎧ k －1＜12＜k ＋1，k －1≥0，解得1≤k ＜32. 7．已知奇函数f (x )是定义在R 上的可导函数，其导函数为f ′(x )，当x ＞0时，有2f (x )＋xf ′(x )＞x 2，则不等式(x ＋2018)2f (x ＋2018)＋4f (－2)＜0的解集为____________． 答案 (－∞，－2016)解析 由题观察联想可设g (x )＝x 2f (x )，g ′(x )＝2xf (x )＋x 2f ′(x )，结合条件x >0,2f (x )＋xf ′(x )＞x 2，得 g ′(x )＝2xf (x )＋x 2f ′(x )＞0，g (x )＝x 2f (x )在(0，＋∞)上为增函数．又f (x )为R 上的奇函数，所以g (x )为奇函数，所以g (x )在(－∞，0)上为增函数． 由(x ＋2018)2f (x ＋2018)＋4f (－2)＜0，可得(x ＋2018)2f (x ＋2018)＜4f (2)，即g (x ＋2018)＜g (2)，所以x ＋2018＜2，故x ＜－2016.8．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 12x －1，x <1，ln x x 2，x ≥1，则函数y ＝|f (x )|－18的零点个数为________． 答案 4解析 当x <1时，f (x )＝12x －1单调递减，且f (x )>－12；当x ≥1时，f (x )＝ln x x 2，则f ′(x )＝1－2ln x x 3，令f ′(x )＝0，得x ＝e ，当∈[1，e)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，所以f (x )max ＝f (e)＝12e >18，且f (x )≥0，当x 趋近于＋∞时，f (x )趋近于0.作出函数y ＝|f (x )|的大致图象如图所示，由图可知，函数y ＝|f (x )|－18的零点个数为4.9．已知函数f (x )＝x ＋1e x (e 为自然对数的底数)．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)设函数φ(x )＝xf (x )＋tf ′(x )＋1e x ，存在实数x 1，x 2∈[0,1]，使得2φ(x 1)＜φ(x 2)成立，求实数t 的取值范围．解 (1)∵函数的定义域为R ，f ′(x )＝－xe x ，∴当x ＜0时，f ′(x )＞0，当x ＞0时，f ′(x )＜0，∴f (x )在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减．∴f (x )的单调增区间为(－∞，0)，单调减区间为(0，＋∞)．(2)存在x 1，x 2∈[0,1]，使得2φ(x 1)＜φ(x 2)成立，则2[φ(x )]min ＜[φ(x )]max .∵φ(x )＝xf (x )＋tf ′(x )＋e －x ＝x 2＋(1－t )x ＋1e x ， ∴φ′(x )＝－x 2＋(1＋t )x －t e x ＝－(x －t )(x －1)e x . ①当t ≥1时，φ′(x )≤0，φ(x )在[0,1]上单调递减，∴2φ(1)＜φ(0)，即t ＞3－e 2＞1； ②当t ≤0时，φ′(x )≥0，φ(x )在[0,1]上单调递增，∴2φ(0)＜φ(1)，即t ＜3－2e ＜0；③当0＜t ＜1时，若x ∈[0，t )，φ′(x )＜0，φ(x )在[0，t )上单调递减，若x ∈(t,1]，φ′(x )≥0，φ(x )在(t,1]上单调递增，∴2φ(t )＜max{φ(0)，φ(1)}，即2t ＋1e t ＜max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，3－t e .(*) 由(1)知，g (t )＝2·t ＋1e t 在[0,1]上单调递减，故4e ≤2t ＋1e t ≤2，而2e ≤3－t e ≤3e， ∴不等式(*)无解．综上所述，存在t ∈(－∞，3－2e)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫3－e 2，＋∞，使得命题成立． 10．(2017·山东)已知函数f (x )＝13x 3－12ax 2，a ∈R. (1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点(3，f (3))处的切线方程；(2)设函数g (x )＝f (x )＋(x －a )cos x －sin x ，讨论g (x )的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．解 (1)由题意f ′(x )＝x 2－ax ，所以当a ＝2时，f (3)＝0，f ′(x )＝x 2－2x ，所以f ′(3)＝3，因此曲线y ＝f (x )在点(3，f (3))处的切线方程是y ＝3(x －3)，即3x －y －9＝0.(2)因为g (x )＝f (x )＋(x －a )cos x －sin x ，所以g ′(x )＝f ′(x )＋cos x －(x －a )sin x －cos x＝x (x －a )－(x －a )sin x ＝(x －a )(x －sin x )．令h (x )＝x －sin x ，则h ′(x )＝1－cos x ≥0，所以h (x )在R 上单调递增．因为h (0)＝0，所以当x >0时，h (x )>0；当x <0时，h (x )<0.①当a <0时，g ′(x )＝(x －a )(x －sin x )，当x ∈(－∞，a )时，x －a <0，g ′(x )>0，g (x )单调递增；当x ∈(a,0)时，x －a >0，g ′(x )<0，g (x )单调递减；当x ∈(0，＋∞)时，x －a >0，g ′(x )>0，g (x )单调递增．所以当x ＝a 时，g (x )取到极大值，极大值是g (a )＝－16a 3－sin a ； 当x ＝0时，g (x )取到极小值，极小值是g (0)＝－a .②当a ＝0时，g ′(x )＝x (x －sin x )，当x ∈(－∞，＋∞)时，g ′(x )≥0，g (x )单调递增；所以g (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，g (x )无极大值也无极小值；③当a >0时，g ′(x )＝(x －a )(x －sin x )，当x ∈(－∞，0)时，x －a <0，g ′(x )>0，g (x )单调递增；当x ∈(0，a )时，x －a <0，g ′(x )<0，g (x )单调递减；当x ∈(a ，＋∞)时，x －a >0，g ′(x )>0，g (x )单调递增．所以当x ＝0时，g (x )取到极大值，极大值是g (0)＝－a ；当x ＝a 时，g (x )取到极小值，极小值是g (a )＝－16a 3－sin a . 综上所述，当a <0时，函数g (x )在(－∞，a )和(0，＋∞)上单调递增，在(a,0)上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是g (a )＝－16a 3－sin a ，极小值是g (0)＝－a ； 当a ＝0时，函数g (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值；当a>0时，函数g(x)在(－∞，0)和(a，＋∞)上单调递增，在(0，a)上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是g(0)＝－a，极小值是g(a)＝－16a3－sin a.。
2018考前两个月数学[高考总复习资料]理科(江苏专用)总复习训练题：考前回扣8 Word版含答案
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回扣8 算法、复数、概率统计1．复数的相关概念及运算法则 (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)的分类 ①z 是实数⇔b ＝0； ②z 是虚数⇔b ≠0；③z 是纯虚数⇔a ＝0且b ≠0. (2)共轭复数复数z ＝a ＋b i 的共轭复数z ＝a －b i. (3)复数的模复数z ＝a ＋b i 的模|z |＝a 2＋b 2. (4)复数相等的充要条件a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R)．特别地，a ＋b i ＝0⇔a ＝0且b ＝0(a ，b ∈R)． (5)复数的运算法则加减法：(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i ； 乘法：(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ； 除法：(a ＋b i)÷(c ＋d i)＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i ()其中a ，b ，c ，d ∈R .2．复数的几个常见结论 (1)(1±i)2＝±2i. (2)1＋i 1－i ＝i ，1－i 1＋i ＝－i. (3)i 4n＝1，i4n ＋1＝i ，i4n ＋2＝－1，i4n ＋3＝－i ，i 4n ＋i4n ＋1＋i4n ＋2＋i4n ＋3＝0(n ∈Z)．(4)ω＝－12±32i ，且ω0＝1，ω2＝ω，ω3＝1,1＋ω＋ω2＝0.3．程序框图的三种基本逻辑结构 (1)顺序结构：如图(1)所示． (2)条件结构：如图(2)和图(3)所示． (3)循环结构：如图(4)和图(5)所示．4．牢记概念与公式 (1)概率的计算公式 ①古典概型的概率计算公式P (A )＝事件A 包含的基本事件数m基本事件总数n；②互斥事件的概率计算公式P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )；③对立事件的概率计算公式P (A )＝1－P (A )；④几何概型的概率计算公式P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).(2)抽样方法简单随机抽样、分层抽样、系统抽样．①从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本，则每个个体被抽到的概率都为n N；②分层抽样实际上就是按比例抽样，即按各层个体数占总体的比确定各层应抽取的样本容量．(3)统计中四个数据特征①众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据；②中位数：在样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据．如果数据的个数为偶数，就取中间两个数据的平均数作为中位数； ③平均数：样本数据的算术平均数， 即x ＝1n(x 1＋x 2＋…x n )；④方差与标准差方差：s 2＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]；s ＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2].1．应用互斥事件的概率加法公式，一定要注意首先确定各事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和．2．正确区别互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．3．混淆频率分布条形图和频率分布直方图，误把频率分布直方图纵轴的几何意义当成频率，导致样本数据的频率求错．4．要注意概率P (A |B )与P (AB )的区别(1)在P (A |B )中，事件A ，B 发生有时间上的差异，B 先A 后；在P (AB )中，事件A ，B 同时发生．(2)样本空间不同，在P (A |B )中，事件B 成为样本空间；在P (AB )中，样本空间仍为Ω，因而有P (A |B )≥P (AB )．5．复数z 为纯虚数的充要条件是a ＝0且b ≠0(z ＝a ＋b i ，a ，b ∈R)．还要注意巧妙运用参数问题和合理消参的技巧．6．在解决含有循环结构的框图时，要弄清停止循环的条件．注意理解循环条件中“≥”与“＞”的区别．7．在循环结构中，易错误判定循环体结束的条件，导致错求输出的结果．1．(2017·江苏南京高淳区质检)若a ＋i 1－i(i 是虚数单位)是实数，则实数a 的值是________．答案 －1解析 因为a ＋i 1－i ＝(a ＋i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝a －1＋(a ＋1)i2是实数，所以a ＋1＝0，所以a ＝－1.2．(2017·江苏南京溧水中学质检)某算法的伪代码如图所示，该算法输出的结果是________．I ←1 S ←1While S ≤24S ←S ×I I ←I ＋1Print I 答案 6解析 该算法经过五次循环：经过第一次循环，因为S ＝1＜24，所以得到新的S ＝1，I ＝2； 然后经过第二次循环，因为S ＝1＜24，所以得到新的S ＝2，I ＝3； 然后经过第三次循环，因为S ＝2＜24，所以得到新的S ＝6，I ＝4； 然后经过第四次循环，因为S ＝6＜24，所以得到新的S ＝24，I ＝5； 然后经过第五次循环，因为S ＝24，所以得到新的S ＝120，I ＝6； 所以结束循环体并输出最后的I . 综上所述，可得最后输出的结果是6.3.甲、乙两同学用茎叶图记录高三前5次数学测试的成绩，如图所示，他们在分析对比成绩变化时，发现乙同学成绩的一个数字看不清楚了，若已知乙的平均成绩低于甲的平均成绩，则看不清楚的数字为________． 答案 0解析 设看不清的数字为x ，甲的平均成绩为99＋100＋101＋102＋1035＝101，所以93＋94＋97＋110＋(110＋x )5<101，解得x <1，所以x ＝0.4．样本容量为1000的频率分布直方图如图所示，则样本数据落在[6,14)内的频数为________．答案 680解析 根据给定的频率分布直方图可知，4×(0.02＋0.08＋x ＋0.03＋0.03)＝1⇒x ＝0.09，则在[6,14)之间的频率为4×(0.08＋0.09)＝0.68，所以在[6,14)之间的频数为1000×0.68＝680.5．已知样本9,10,11，x ，y 的平均数是10，标准差是2，则xy ＝________.解析 根据平均数及方差的计算公式，可得9＋10＋11＋x ＋y ＝10×5，即x ＋y ＝20，因为标准差为2，方差为2，所以15[(9－10)2＋(10－10)2＋(11－10)2＋(x －10)2＋(y －10)2]＝2，即(x －10)2＋(y －10)2＝8，解得x ＝8，y ＝12或x ＝12，y ＝8，则xy ＝96.6．某班运动队由足球运动员18人、篮球运动员12人、乒乓球运动员6人组成(每人只参加一项)，现从这些运动员中抽取一个容量为n 的样本，若分别采用系统抽样法和分层抽样法，则都不用剔除个体；当样本容量为n ＋1时，若采用系统抽样法，则需要剔除1个个体，那么样本容量n 为________． 答案 6解析 总体容量为6＋12＋18＝36.当样本容量为n 时，由题意可知，系统抽样的抽样距为36n，分层抽样的抽样比是n 36，则采用分层抽样法抽取的乒乓球运动员人数为6×n 36＝n6，篮球运动员人数为12×n 36＝n3，足球运动员人数为18×n 36＝n2，可知n 应是6的倍数，36的约数，故n ＝6,12,18.当样本容量为n ＋1时，剔除1个个体，此时总体容量为35，系统抽样的抽样距为35n ＋1，因为35n ＋1必须是整数，所以n 只能取6，即样本容量n 为6. 7．投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m 和n ，则复数(m ＋n i)(n －m i)为实数的概率是________． 答案16解析 投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m 和n ，记作(m ，n )，共有6×6＝36(种)结果．(m ＋n i)(n －m i)＝2mn ＋(n 2－m 2)i 为实数，应满足m ＝n ，有6种情况，所以所求概率为636＝16.8．一个袋子中有5个大小相同的球，其中3个白球，2个黑球，现从袋中任意取出一个球，取出后不放回，然后再从袋中任意取出一个球，则第一次为白球、第二次为黑球的概率为____________． 答案310解析 设3个白球分别为a 1，a 2，a 3,2个黑球分别为b 1，b 2，则先后从中取出2个球的所有可能结果为(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，a 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)，(a2，a1)，(a3，a1)，(b1，a1)，(b2，a1)，(a3，a2)，(b1，a2)，(b2，a2)，(b1，a3)，(b2，a3)，(b2，b1)，共20种．其中满足第一次为白球、第二次为黑球的有(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，共6种，故所求概率为620＝310.9．执行如图所示的流程图，则输出的结果是________．答案 32解析 由题意得log 2n ＋1n ＋2＝log 2(n ＋1)－log 2(n ＋2)，由程序框图的计算公式，可得 S ＝(log 22－log 23)＋(log 23－log 24)＋…＋[log 2n －log 2(n ＋1)]＝1－log 2(n ＋1)，由S ＜－4，可得1－log 2(n ＋1)＜－4⇒log 2(n ＋1)＞5，解得n ＞31， 所以输出的n 为32.10．有一底面半径为1，高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________． 答案23解析 设点P 到点O 的距离小于等于1的概率为P 1，由几何概型，得P 1＝V 半球V 圆柱＝2π3×13π×12×2＝13，故点P 到点O 的距离大于1的概率P 2＝1－13＝23. 11．在区间[－π，π]内随机取出两个数分别记为a ，b ，则函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π2有零点的概率为________． 答案 1－π4解析 由函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π2有零点， 可得Δ＝(2a )2－4(－b 2＋π2)≥0， 整理得a 2＋b 2≥π2.如图所示，(a ，b )可看成坐标平面上的点， 试验的全部结果构成的区域为Ω＝{(a ，b )|－π≤a ≤π，－π≤b ≤π}，其面积S Ω＝(2π)2＝4π2， 事件A 表示函数f (x )有零点，所构成的区域为M ＝{(a ，b )|a 2＋b 2≥π2}， 即图中阴影部分，其面积为S M ＝4π2－π3，故P (A )＝S M S Ω＝4π2－π34π2＝1－π4. 12．对于非负实数a ，在区间[0,10]上任取一个数a ，使得不等式2x 2－ax ＋8≥0在(0，＋∞)上恒成立的概率为________． 答案45解析 由2x 2－ax ＋8≥0，得a ≤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋4x 在(0，＋∞)上恒成立，即a ≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x min 在(0，＋∞)上恒成立．∵x ＋4x≥2x ·4x＝4，当且仅当x ＝2时等号成立，∴0＜a ≤8.故所求概率P ＝810＝45.。
【K12教育学习资料】2018考前两个月数学高考理科(江苏专用)总复习训练题：小题满分练10 Wor
小题满分练101．(2017·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市调研)已知集合A＝{0,3,4}，B＝{－1,0,2,3}，则A∩B＝________.答案{0,3}2．(2017届南京、盐城一模)设复数z满足z(1＋i)＝2，其中i为虚数单位，则z的虚部为________．答案－1解析因为z(1＋i)＝2，所以z＝21＋i＝1－i，所以复数z的虚部为－1.3．(2017·南通一调)口袋中有若干红球、黄球和蓝球，从中摸出一只球．摸出红球的概率为0.48，摸出黄球的概率为0.35，则摸出蓝球的概率为________．答案0.17解析摸出红球、黄球和蓝球为互斥事件，三个事件的概率之和为1，所以摸出蓝球的概率为1－0.48－0.35＝0.17.4．(2017·石家庄质检)设样本数据x1，x2，…，x2017的方差是4，若y i＝x i－1(i＝1,2，…，2017)，则y1，y2，…，y2017的方差为________．答案 4解析设样本数据的平均数为x，则y i＝x i－1的平均数为x－1，则新数据的方差为12 017[(x1－1－x＋1)2＋(x2－1－x＋1)2＋…＋(x2 017－1－x＋1)2]＝12 017[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(x2 017－x)2]＝4.5．(2017·南京、盐城二模)根据如图所示的伪代码，输出S的值为__________．S←1I←1While I≤8S←S＋II←I＋2End WhilePrint S答案 17解析 算法过程有限，可用列表解答．列表时，应先算S ，再算I . 列表如下：在循环结束时，S ＝17，I ＝9.6．(2017·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市调研)函数f (x )＝lg (5－x 2)的定义域是__________． 答案 [－2,2]解析 由lg(5－x 2)≥0，得5－x 2≥1，即x 2－4≤0，解得－2≤x ≤2.7．△ABC 中，设a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若a ＝5，A ＝π4，cos B ＝35，则c ＝________.答案 7解析 因为cos B ＝35，所以B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，从而sin B ＝45，所以sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B＋cos A sin B ＝22×35＋22×45＝7210，又由正弦定理，得a sin A ＝c sin C ，即522＝c7210，解得c ＝7.8.定义在R 上的奇函数f (x )满足当x ≥0时，f (x )＝log 2(2＋x )＋(a －1)x ＋b (a ，b 为常数)．若f (2)＝－1，则f (－6)的值为________． 答案 4解析 由题意得f (0)＝0，所以log 22＋b ＝0，所以b ＝－1，f (x )＝log 2(2＋x )＋(a －1)x －1，又因为f (2)＝－1，所以log 2(2＋2)＋2(a －1)－1＝－1，解得a ＝0，f (x )＝log 2(2＋x )－x －1，f (－6)＝－f (6)＝－[log 2(2＋6)－6－1]＝4.9．(2017·南通、扬州、泰州、淮安调研)已知圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为2π3的扇形，则这个圆锥的高为________． 答案 2 2解析 设圆锥的底面半径为r ，高为h ，因为圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为2π3的扇形，因为扇形的弧长等于底面周长，故有3×2π3＝2πr ，解得r ＝1，又圆锥的母线l ＝3，所以h ＝l 2－r 2＝9－1＝2 2.10．若实数x ，y 满足x >y >0，且log 2x ＋log 2y ＝1，则x 2＋y 2x －y的最小值为________．答案 4解析 因为log 2x ＋log 2y ＝log 2xy ＝1，所以xy ＝2.因为x >y >0，所以x －y >0.所以x 2＋y 2x －y＝(x －y )2＋2xy x －y ＝x －y ＋4x －y≥24＝4，当且仅当x －y ＝2时取等号．11．已知a ，b 为单位向量，且a ⊥b ，向量c 满足|c －a －b |＝2，则|c |的取值范围为________． 答案[]2－2，2＋2解析 如图，OA →＝a ＋b ，OB →＝c ⇒AB →＝c －(a ＋b )， 又|OA →|＝|a ＋b |＝2⇒2－2≤|c|≤2＋ 2.12．(2017·南京、盐城二模)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1：kx －y ＋2＝0与直线l 2：x ＋ky －2＝0相交于点P ，则当实数k 变化时，点P 到直线x －y －4＝0的距离的最大值为________． 答案 3 2解析 当k ＝0时，点P (2,2)到直线x －y －4＝0的距离为22；当k ≠0时，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＋2＝0，x ＋ky －2＝0，得两直线交点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2k1＋k 2，2＋2k 1＋k 2，所以点P 到直线x －y －4＝0的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－2k 1＋k 2－2＋2k 1＋k 2－42＝4⎪⎪⎪⎪⎪⎪k 1＋k 2＋12，为求得最大值，考虑正数k ，则有k 1＋k 2＝11k＋k≤12，当且仅当k ＝1时取等号，所以4⎪⎪⎪⎪⎪⎪k 1＋k 2＋12≤4×322＝3 2. 13．已知数列{}a n 的前n 项和为S n ，S n ＝43()a n －1，则()4n －2＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫16a n ＋1的最小值为________．答案 4解析 ∵S n ＝43()a n －1，∴S n －1＝43()a n －1－1()n ≥2，∴a n ＝S n －S n －1＝43()a n －a n －1， ∴a n ＝4a n －1. 又a 1＝S 1＝43()a 1－1， ∴a 1＝4，∴{}a n 是首项为4，公比为4的等比数列， ∴a n ＝4n， ∴()4n －2＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫16a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4n 16＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫164n ＋1＝2＋4n16＋164n ≥2＋2＝4，当且仅当n ＝2时取“＝”．14．在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B ＝sin 2C －2sin A sin B ，则sin2A ·tan 2B 的最大值是________． 答案 3－2 2解析 由正弦定理，得a 2＋b 2＝c 2－2ab ，由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－22，∵0＜C ＜π， ∴C ＝3π4，A ＝π4－B,2A ＝π2－2B, ∴sin 2A ·tan 2B ＝cos 2B ·sin 2B cos 2B＝()2cos 2B －1()1－cos 2B cos 2B＝3－⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2B ＋1cos 2B ≤3－22cos 2B ·1cos 2B＝3－22，当且仅当cos 2B ＝22时取等号， 即sin 2A ·tan 2B 的最大值是3－2 2.。
【K12教育学习资料】2018考前两个月数学高考理科(江苏专用)总复习训练题：考前回扣10 Word
回扣10 极坐标与参数方程1．直线的极坐标方程若直线l 经过点M (ρ0，θ0)，且直线l 的倾斜角为α，则它的极坐标方程为ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程 (1)直线l 过极点：θ＝α.(2)直线l 过点M (a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a .(3)直线l 过点M ⎝⎛⎭⎪⎫b ，π2且平行于极轴：ρsin θ＝b .2．圆的极坐标方程圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r 的圆的极坐标方程为 ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0. 几个特殊位置的圆的极坐标方程 (1)圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r .(2)圆心位于M (r,0)，半径为r ：ρ＝2r cos θ.(3)圆心位于M ⎝⎛⎭⎪⎫r ，π2，半径为r ：ρ＝2r sin θ. 3．常见曲线的参数方程 (1)圆x 2＋y 2＝r2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ(θ为参数)．(2)圆(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝r2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)．(3)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)．(4)抛物线y 2＝2px 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)．(5)过定点P (x 0，y 0)且倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．4．直角坐标与极坐标的互化把平面直角坐标系的原点O 作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．如图，设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x (x ≠0).1．研究极坐标方程时往往要与普通方程之间进行相互转化，在转化时坐标系的选取与建立是以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位． 2．在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一．3．把参数方程转化为普通方程的过程中要注意参数的范围，保证转化前后的等价．参数方程要指明参数，参数变化了，参数方程表示的曲线也发生变化．1．(2017·南京、盐城模拟)在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋35t ，y ＝45t(t 为参数)与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4k 2，y ＝4k (k 为参数)交于A ，B 两点，求线段AB 的长．解 直线l 的普通方程是4x －3y －4＝0， 曲线C 的普通方程是y 2＝4x .由⎩⎪⎨⎪⎧4x －3y －4＝0，y 2＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14，y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4，取A ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1，B (4,4)，所以AB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4－142＋(4＋1)2＝254.2．在极坐标系中，已知点A ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，圆C 的方程为ρ＝42sin θ(圆心为点C )，求直线AC 的极坐标方程．解 方法一 以极点为原点，极轴所在直线为x 轴建立平面直角坐标系xOy .圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝42y ，即x 2＋(y －22)2＝8，圆心C (0,22)，A 的直角坐标为(2，2)．直线AC 的斜率k AC ＝22－20－2＝－1，所以直线AC 的直角坐标方程为y ＝－x ＋22，极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝22，即ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2. 方法二 在直线AC 上任取一点M (ρ，θ)，不妨设点M 在线段AC 上．由于圆心为C ⎝⎛⎭⎪⎫22，π2，S △OAC ＝S △OAM ＋S △OCM ， 所以12×22×2sin π4＝12×2×ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ θ－π4＋12×ρ×22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ，即ρ(cos θ＋sin θ)＝22，化简得AC 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2. 3．(2017·南京学情调研)已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝m .若直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，求实数m 的值． 解 曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，表示以(1,0)为圆心，1为半径的圆．直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝m ，即12ρcos θ＋32ρsin θ＝m ，化为直角坐标方程为x ＋3y －2m ＝0.因为直线l 与曲线C 有且只有一个公共点， 所以直线l 到曲线C 的距离d ＝|1－2m |2＝1， 解得m ＝－12或m ＝32.所以实数m 的值为－12或32.4．(2017·南京、盐城模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝35t ，y ＝45t(t 为参数)．现以坐标原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，设圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，直线l 与圆C 交于A ，B 两点，求弦AB 的长．解 直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝35t ，y ＝45t(t 为参数)化为普通方程为4x －3y ＝0，圆C 的极坐标方程ρ＝2cos θ化为直角坐标方程为 (x －1)2＋y 2＝1，则圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝|4|42＋(－3)2＝45， 所以AB ＝21－d 2＝65.5．已知直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝3，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，设点P 是曲线C 上的任意一点，求P 到直线l 的距离的最大值． 解 由ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝3，可得ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin θ－32cos θ＝3， 所以y －3x ＝6，即3x －y ＋6＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ，得x 2＋y 2＝4，圆的半径为r ＝2，所以圆心到直线l 的距离d ＝6(3)2＋(－1)2＝62＝3， 所以点P 到直线l 的距离的最大值为d ＋r ＝5.6．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ＝32，椭圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos t ，y ＝3sin t (t 为参数)．(1)求直线l 的直角坐标方程与椭圆C 的普通方程； (2)若直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求线段AB 的长．解 (1)由ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ＝32，得ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos θ－12sin θ＝32，即32x －12y ＝32，化简得y ＝3x －3，所以直线l 的直角坐标方程是 3x －y －3＝0.由⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 32＝cos 2t ＋sin 2t ＝1，得椭圆C 的普通方程为x 24＋y 23＝1.(2)联立直线方程与椭圆方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －3，x 24＋y 23＝1，消去y ，得x 24＋(x －1)2＝1，化简得5x 2－8x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝85，所以A (0，－3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫85，335，则AB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－852＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－3－3352＝165.。
【K12教育学习资料】2018考前两个月数学高考理科(江苏专用)总复习训练题：小题满分练8 Word
小题满分练81．(2017·扬州期末)已知集合A ＝{x |x ≤0}，B ＝{－1,0,1,2}，则A ∩B ＝________. 答案 {－1,0}解析 根据交集的定义，A ∩B ＝{x |x ≤0}∩{－1,0,1,2}＝{－1,0}． 2．双曲线x 24－y 25＝1的离心率为________．答案32解析 因为a 2＝4，b 2＝5，所以c 2＝a 2＋b 2＝9，离心率e ＝c a ＝32.3．从某班抽取5名学生测量身高(单位：cm)，得到的数据为160,162,159,160,159，则该组数据的方差s 2＝________. 答案65解析 由题干条件可得x ＝160＋162＋159＋160＋1595＝160，所以s 2＝15(4＋1＋1)＝65.4．(2017·苏州期末)一架飞机向目标投弹，击毁目标的概率为0.2，目标未受损的概率为0.4，则目标受损但未完全击毁的概率为________． 答案 0.4解析 设“目标受损但未完全击毁”为事件A ，则其对立事件A 是“目标未受损或击毁目标”．P (A )＝1－P (A )＝1－(0.4＋0.2)＝0.4. 5．如图所示，该伪代码运行的结果为__________．S ←0 i ←1While S ≤20S ←S ＋i i ←i ＋2End While Print i 答案 11解析 第一次循环，S ＝1，i ＝3；第二次循环，S ＝1＋3＝4，i ＝5；第三次循环，S ＝4＋5＝9，i ＝7；第四次循环，S ＝9＋7＝16，i ＝9；第五次循环，S ＝16＋9＝25，i ＝11，此时S >20，故输出i ＝11.6．已知平面向量a ，b 满足(a ＋b )·(2a －b )＝－4，且|a |＝2，|b |＝4，则a 与b 的夹角为________． 答案π3解析 由题意可得(a ＋b )·(2a －b )＝2a 2－b 2＋a ·b ＝8－16＋a ·b ＝－4，解得a ·b ＝4，所以cos θ＝a ·b |a ||b |＝12，又因为θ∈[0，π]，所以θ＝π3.7．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝1－log 2x ，则不等式f (x )<0的解集是________． 答案 (－2,0)∪(2，＋∞)解析 当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝log 2(－x )－1，f (x )<0，即log 2(－x )－1<0，解得－2<x <0；当x >0时，f (x )＝1－log 2x ，f (x )<0，即1－log 2x <0，解得x >2.综上，不等式f (x )<0的解集是(－2,0)∪(2，＋∞)．8．已知正五棱锥底面边长为2，底面正五边形中心到侧面斜高距离为3，斜高长为4，则此正五棱锥体积为________． 答案 20解析 设正五棱锥高为h ，底面正五边形的角为108°， 底面正五边形中心到边距离为tan54°，h ＝12tan54°，则此正五棱锥体积为13×5×12×2×tan54°×12tan54°＝20.9．设△ABC 是等腰三角形，∠ABC ＝120°，则以A ，B 为焦点且过点C 的双曲线的离心率为________． 答案3＋12解析 设AB ＝BC ＝2c ，则由余弦定理可得CA ＝AB 2＋BC 2－2AB ×BC cos120°＝23c .根据双曲线的定义可得CA －CB ＝2a ，即23c －2c ＝2a ，所以(3－1)c ＝a ，故双曲线的离心率e ＝c a ＝3＋12. 10．若数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n2，其前n 项和为S n ，则S n ＝________.答案34⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n 解析 因为a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 2，所以当n ≥2时有a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －2a n －1＝n －12，两式作差得3n －1a n ＝12，所以a n ＝12·13n －1，又因为当n ＝1时，a 1＝12适合此式，所以数列{}a n 的通项公式为a n ＝12·13n －1，所以S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－131－13＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13.11．已知sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5π6＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 的值为________． 答案59解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝－13，sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝1－19＝89，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5π6＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝－13＋89＝59.12．已知点P 是△ABC 内一点(不包括边界)，且AP →＝mAB →＋nAC →，m ，n ∈R ，则(m －2)2＋(n －2)2的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，8 解析 因为点P 是△ABC 内一点(不包括边界)，且AP →＝mAB →＋nAC →，所以m ，n 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，n ＞0，m ＋n ＜1，作出不等式组表示的平面区域如图所示．因为(m －2)2＋(n －2)2表示的是区域内的动点(m ，n )到点A (2,2)的距离的平方．因为点A 到直线m ＋n ＝1的距离为|2＋2－1|2＝32，故⎝ ⎛⎭⎪⎫322＜(m －2)2＋(n －2)2＜OA 2，即(m －2)2＋(n －2)2的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫92，8.13．椭圆x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过椭圆的右焦点F 2作一条直线l 交椭圆于P ，Q 两点，则△F 1PQ 的内切圆面积的最大值是________．答案9π16解析 令直线l ：x ＝my ＋1，与椭圆方程联立消去x ，得()3m 2＋4y 2＋6my －9＝0，可设P ()x 1，y 1，Q ()x 2，y 2， 则y 1＋y 2＝－6m 3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4. 可知1F PQ S ＝12F 1F 2||y 1－y 2 ＝()y 1＋y 22－4y 1y 2＝12m 2＋1()3m 2＋42，又m 2＋1()3m 2＋42＝19()m 2＋1＋1m 2＋1＋6≤116， 故1F PQS≤3.三角形的周长与三角形内切圆的半径的积是三角形面积的二倍， 则内切圆半径r ＝12F PQS8≤34，其面积的最大值为9π16. 14．已知函数f (x )的定义域为R ，若存在常数k ，使|f (x )|≤k2017|x |对所有实数都成立，则称函数f (x )为“期望函数”，给出下列函数： ①f (x )＝x 2；②f (x )＝x e x；③f (x )＝xx 2－x ＋1；④f (x )＝xe x ＋1.其中函数f (x )为“期望函数”的是________．(写出所有符合条件的函数序号) 答案 ③④解析 ①假设函数f (x )＝x 2为“期望函数”，则|f (x )|＝|x 2|≤k2017|x |，当x ≠0时，k ≥2017|x |，因此不存在k ，因此假设错误，即函数f (x )＝x 2不是“期望函数”；②假设函数f (x )＝x e x 为“期望函数”，则|f (x )|＝|x e x |≤k2017|x |，当x ≠0时，k ≥2017e x，因此不存在k ，因此假设错误；③假设函数f (x )＝x x 2－x ＋1为“期望函数”，|f (x )|＝|x |⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≤43|x|，当x≠0时，对任意的k2017≥43，都有|f(x)|≤k2017|x|成立，故正确；④假设函数f(x)＝xe x＋1为“期望函数”，|f(x)|＝|x|e x＋1≤k2017|x|对所有实数都成立，故正确．故答案为③④.。
【配套K12】2018考前两个月数学高考理科(江苏专用)总复习训练题：压轴大题突破练2 Word版含
2．数 列1．已知数列{a n }中a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧ 13a n ＋n ，n 为奇数，a n －3n ，n 为偶数.(1)是否存在实数λ，使得数列{a 2n －λ}是等比数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由；(2)若S n 是数列{a n }的前n 项和，求满足S n >0的所有正整数n .解 (1)由已知，得a 2(n ＋1)＝13a 2n ＋1＋(2n ＋1) ＝13[a 2n －3(2n )]＋2n ＋1＝13a 2n ＋1. 令a 2(n ＋1)－λ＝13(a 2n －λ)，得a 2(n ＋1)＝13a 2n ＋23λ，所以λ＝32. 此时，a 2－λ＝13＋1－32＝－16. 所以存在λ＝32，使得数列{a 2n －λ}是等比数列． (2)由(1)知，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 2n －32是首项为－16，公比为13的等比数列， 所以a 2n －32＝－16⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝－12·13n ， 即a 2n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫3－13n . 由a 2n ＝13a 2n －1＋(2n －1)，得a 2n －1＝3a 2n －3(2n －1)＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫3－13n －6n ＋3， 所以a 2n －1＋a 2n ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫3－13－6n ＋3＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫3－13 ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －6n ＋9， 所以S 2n ＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 2n －1＋a 2n )＝－2⎣⎢⎡⎦⎥⎤13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －6(1＋2＋…＋n )＋9n ＝13n －3n 2＋6n －1， 从而S 2n －1＝S 2n －a 2n ＝32×13n －3n 2＋6n －52. 因为13n 和－3n 2＋6n ＝－3(n －1)2＋3在n ∈N *时均单调递减，所以S 2n 和S 2n －1均各自单调递减．计算得S 1＝1，S 2＝73，S 3＝－73，S 4＝－89， 所以满足S n >0的所有正整数n 的值为1和2.2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，设数列{b n }满足b n ＝2(S n ＋1－S n )S n －n (S n ＋1＋S n )(n ∈N *)．(1)若数列{a n }为等差数列，且b n ＝0，求数列{a n }的通项公式；(2)若a 1＝1，a 2＝3，且数列{a 2n －1}，{a 2n }都是以2为公比的等比数列，求满足不等式b 2n < b 2n －1的所有正整数n 的集合．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，所以a n ＋1＝a 1＋nd ，S n ＝na 1＋n (n －1)2d . 由b n ＝2(S n ＋1－S n )S n －n (S n ＋1＋S n )(n ∈N *)，得b n ＝2a n ＋1S n －n (2S n ＋a n ＋1)．又由b n ＝0，得2(a 1＋nd )⎣⎢⎡⎦⎥⎤na 1＋n (n －1)2d －n [2na 1＋n (n －1)d ＋a 1＋nd ]＝0对一切n ∈N *都成立，即(d 2－d )n 2＋(3a 1d －d 2－2a 1)n ＋2a 21－a 1d －a 1＝0对一切n ∈N *都成立．令n ＝1，n ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ d ＝0，a 1＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ d ＝1，a 1＝1，经检验，符合题意．所以数列{a n }的通项公式为a n ＝0或a n ＝n .(2)由题意得a 2n －1＝2n －1，a 2n ＝3×2n －1，S 2n ＝2n －1＋3(2n －1)＝4×2n －4，S 2n －1＝S 2n －a 2n ＝4×2n －4－3×2n －1＝5×2n －1－4.b 2n ＝2a 2n ＋1S 2n －2n (2S 2n ＋a 2n ＋1)＝2×2n ×(4×2n －4)－2n (8×2n －8＋2n )＝2n ＋1(2n ＋2－9n －4)＋16n .b 2n －1＝2a 2n S 2n －1－(2n －1)(2S 2n －1＋a 2n )＝6×2n －1×(5×2n －1－4)－(2n －1)(10×2n －1－8＋3×2n －1)＝2n －1(30×2n －1－26n －11)＋16n －8.所以b 2n －b 2n －1＝2n ＋1(2n ＋2－9n －4)＋16n －[2n －1(30×2n －1－26n －11)＋16n －8] ＝2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n －1－5n －52＋8＝22n －1＋8－2n ⎝⎛⎭⎪⎫5n ＋52. 记f (n )＝22n －1＋8－2n ⎝⎛⎭⎪⎫5n ＋52，即 f (n )＝2n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×2n －⎝ ⎛⎭⎪⎫5n ＋52＋8.记g (n )＝12×2n －⎝⎛⎭⎪⎫5n ＋52， 则g (n ＋1)－g (n )＝12×2n ＋1－⎝⎛⎭⎪⎫5n ＋152－12×2n ＋5n ＋52＝12×2n －5， 当n ＝1,2,3时，g (n ＋1)－g (n )<0；当n ∈N *时，n ≥4，g (n ＋1)－g (n )＝12×2n －5＞0， 因为当n ＝1时，g (1)＝－132＜0， 所以g (4)<0，且g (6)＝－12<0，g (7)＝532>0. 所以f (n )＝2n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×2n －⎝ ⎛⎭⎪⎫5n ＋52＋8在n ≥7(n ∈N *)时也单调递增， 当n ＝1时，f (1)＝－5<0；当n ＝2时，f (2)＝－34<0；当n ＝3时，f (3)＝－100<0；当n ＝4时，f (4)＝－224<0；当n ＝5时，f (5)＝－360<0；当n ＝6时，f (6)＝－24<0；当n ＝7时，f (7)＝3400>0，所以满足条件的正整数n 的集合为{1,2,3,4,5,6}．3．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且2a 5－a 3＝13，S 4＝16.(1)求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)设T n ＝∑ni ＝1(－1)i a i ，若对一切正整数n ，不等式λT n <[a n ＋1＋(－1)n ＋1a n ]2n －1恒成立，求实数λ的取值范围； (3)是否存在正整数m ，n (n >m >2)，使得S 2，S m －S 2，S n －S m 成等比数列？若存在，求出所有的m ，n ；若不存在，请说明理由．解 (1)设数列{a n }的公差为d .因为2a 5－a 3＝13，S 4＝16，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2(a 1＋4d )－(a 1＋2d )＝13，4a 1＋6d ＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝2，所以a n ＝2n －1，S n ＝n 2.(2)①当n 为偶数时，设n ＝2k ，k ∈N *，则T 2k ＝(a 2－a 1)＋(a 4－a 3)＋…＋(a 2k －a 2k －1)＝2k .代入不等式λT n <[a n ＋1＋(－1)n ＋1a n ]·2n －1，得λ·2k <4k ，从而λ<4k 2k . 设f (k )＝4k 2k ，则f (k ＋1)－f (k )＝4k ＋12(k ＋1)－4k 2k ＝4k (3k －1)2k (k ＋1).因为k ∈N *，所以f (k ＋1)－f (k )＞0，所以f (k )是递增的，所以f (k )min ＝2，所以λ<2.②当n 为奇数时，设n ＝2k －1，k ∈N *，则T 2k －1＝T 2k －(－1)2k a 2k ＝2k －(4k －1)＝1－2k .代入不等式λT n <[a n ＋1＋(－1)n ＋1a n ]2n －1，得λ(1－2k )<(2k －1)4k ，从而λ>－4k . 因为k ∈N *，所以－4k 的最大值为－4，所以λ>－4.综上，λ的取值范围为(－4,2)．(3)假设存在正整数m ，n (n >m >2)，使得S 2，S m －S 2，S n －S m 成等比数列，则(S m －S 2)2＝S 2(S n －S m )，即(m 2－4)2＝4(n 2－m 2)，所以4n 2＝(m 2－2)2＋12，即4n 2－(m 2－2)2＝12，即(2n －m 2＋2)(2n ＋m 2－2)＝12.因为n >m >2，所以n ≥4，m ≥3，所以2n ＋m 2－2≥15.因为2n －m 2＋2是整数，所以等式(2n －m 2＋2)(2n ＋m 2－2)＝12不成立，故不存在正整数m ，n (n >m >2)，使得S 2，S m －S 2，S n －S m 成等比数列．4．若一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都大于2，则称这个数列为“A 型数列”．(1)若首项为1，公差为整数的等差数列{a n }为“A 型数列”，且其前n 项和为S n ，若对于任意n ∈N *，都有S n <32n 2＋n ，求{a n }的通项公式； (2)已知等比数列{a n }的每一项均为正整数，且{a n }为“A 型数列”，b n ＝23a n ，c n ＝a n (n ＋1)·2n －5，当数列{b n }不是“A 型数列”时，试判断数列{c n }是否为“A 型数列”，并说明理由． 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则d >2，由a 1＝1，得S n ＝n ＋n (n －1)2d ，且S 1<52. 由题意，得n ＋n (n －1)2d <32n 2＋n 对n ∈N *均成立， 即d <3n n －1对n ≥2均成立， ∵3n n －1＝3＋3n －1>3， ∴d ≤3，又d ＞2，∴d＝3，∴a n＝3n－2.(2)设数列{a n}的公比为q，则a n＝a1q n－1，∵{a n}的每一项均为正整数，且a n＋1－a n＝a n q－a n＝a n(q－1)>2>0，∴a1>0，且q>1，∵a n＋1－a n＝q(a n－a n－1)>a n－a n－1，即在{a n－a n－1}中，a2－a1为最小项，同理，在{b n－b n－1}中，b2－b1为最小项，由{a n}为“A型数列”，可知只需a2－a1>2，即a1(q－1)>2，又∵{b n}不是“A型数列”，且b2－b1为最小项，∴b2－b1≤2，即a1(q－1)≤3，由数列{a n}的每一项均为正整数，可得a1(q－1)＝3，∴a1＝1，q＝4或a1＝3，q＝2.①当a1＝1，q＝4时，a n＝4n－1，则c n＝4n－1(n＋1)·2n－5＝2n＋3n＋1，令d n＝c n＋1－c n(n∈N*)，则d n＝2n＋4n＋2－2n＋3n＋1＝2n＋3·n(n＋1)(n＋2)，令e n＝d n＋1－d n(n∈N*)，则e n＝2n＋4·n＋1(n＋2)(n＋3)－2n＋3·n(n＋1)(n＋2)＝2n＋3n＋2·n2＋n＋2(n＋1)(n＋3)>0，∴{d n}为递增数列，即d n>d n－1>d n－2>…>d1，即c n＋1－c n>c n－c n－1>c n－1－c n－2>…>c2－c1，∵c2－c1＝323－8＝83>2，∴对任意的n∈N*都有c n＋1－c n>2，即数列{c n}为“A型数列”．②当a1＝3，q＝2时，a n＝3·2n－1，则c n＝3·2n＋1(n＋1)·2n－5＝48n＋1，显然，{c n}为递减数列，c2－c1<0≤2，故数列{c n}不是“A型数列”；综上所述，当a n＝4n－1时，数列{c n}为“A型数列”，当a n＝3·2n－1时，数列{c n}不是“A型数列”．。
【K12教育学习资料】2018考前两个月数学高考理科(江苏专用)总复习训练题：附加题高分练3 Wor
3．曲线与方程、抛物线1．(2017·江苏南通天星湖中学质检)已知点A (1,2)在抛物线F ：y 2＝2px 上．(1)若△ABC 的三个顶点都在抛物线F 上，记三边AB ，BC ，CA 所在直线的斜率分别为k 1，k 2，k 3, 求1k 1－1k 2＋1k 3的值； (2)若四边形ABCD 的四个顶点都在抛物线F 上，记四边AB ，BC ，CD ，DA 所在直线的斜率分别为k 1，k 2，k 3，k 4，求1k 1－1k 2＋1k 3－1k 4的值． 解 (1)由点A (1,2)在抛物线F 上，得p ＝2，∴抛物线F ：y 2＝4x ， 设B ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214，y 1，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 224，y 2， ∴1k 1－1k 2＋1k 3＝y 214－1y 1－2－y 224－y 214y 2－y 1＋1－y 2242－y 2＝y 1＋24－y 2＋y 14＋2＋y 24＝1. (2)另设D ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 234，y 3，则1k 1－1k 2＋1k 3－1k 4＝y 1＋24－y 2＋y 14＋y 3＋y 24－2＋y 34＝0. 2．(2017·江苏赣榆中学月考)抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P (1,2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上．(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1＋y 2的值及直线AB 的斜率．解 (1)由已知条件，可设抛物线的方程为y 2＝2px .∵点P (1,2)在抛物线上，∴22＝2p ×1，得p ＝2，故所求抛物线的方程是y 2＝4x ，准线方程是x ＝－1.(2)设直线PA 的斜率为k PA ，直线PB 的斜率为k PB ，则k PA ＝y 1－2x 1－1(x 1≠1)，k PB ＝y 2－2x 2－1(x 2≠1)． ∵PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补，∴k PA ＝－k PB ，由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在抛物线上，得y 21＝4x 1，①y 22＝4x 2，②∴y 1－214y 21－1＝－y 2－214y 22－1，∴y 1＋2＝－(y 2＋2)，∴y 1＋y 2＝－4，由①－②得直线AB 的斜率k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝4y 1＋y 2＝－44＝－1(x 1≠x 2)． 3．(2017·江苏常州中学质检)已知点A (－1,0)，F (1,0)，动点P 满足AP →·AF →＝2||FP →.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)在直线l ：y ＝2x ＋2上取一点Q ，过点Q 作轨迹C 的两条切线，切点分别为M ，N .问：是否存在点Q ，使得直线MN ∥l ？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．解 (1)设P (x ，y )，则AP →＝(x ＋1，y )，FP →＝(x －1，y )，AF →＝(2,0)，由AP →·AF →＝2|FP →|，得2(x ＋1)＝2(x －1)2＋y 2，化简得y 2＝4x .故动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x .(2)直线l 方程为y ＝2(x ＋1)，设Q (x 0，y 0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．设过点M 的切线方程为x －x 1＝m (y －y 1)，代入y 2＝4x ，得y 2－4my ＋4my 1－y 21＝0， 由Δ＝16m 2－16my 1＋4y 21＝0，得m ＝y 12，所以过点M 的切线方程为y 1y ＝2(x ＋x 1)，同理过点N 的切线方程为y 2y ＝2(x ＋x 2)．所以直线MN 的方程为y 0y ＝2(x 0＋x )，又MN ∥l ，所以2y 0＝2，得y 0＝1，而y 0＝2(x 0＋1)， 故点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1. 4．(2017·江苏宝应中学质检)如图，已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线C 交于A (x 1，y 1)(y 1＞0)，B (x 2，y 2)两点，T 为抛物线的准线与x 轴的交点．(1)若TA →·TB →＝1，求直线l 的斜率；(2)求∠ATF 的最大值．解 (1)因为抛物线y 2＝4x 焦点为F (1,0)，T (－1,0)．当l ⊥x 轴时，A (1,2)，B (1，－2)，此时TA →·TB →＝0，与TA →·TB →＝1矛盾，所以设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，代入y 2＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，则x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1，① 所以y 21y 22＝16x 1x 2＝16，所以y 1y 2＝－4，②因为TA →·TB →＝1，所以(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2＝1，将①②代入并整理得，k 2＝4，所以k ＝±2.(2)因为y 1＞0，所以tan ∠ATF ＝y 1x 1＋1＝y 1y 214＋1＝1y 14＋1y 1≤1，当且仅当y 14＝1y 1，即y 1＝2时，取等号，所以∠ATF ≤π4，所以∠ATF 的最大值为π4.。
【配套K12】2018考前两个月数学高考理科(江苏专用)总复习训练题：小题满分练9 Word版含答案
小题满分练91．(2017·苏北四市期末)已知集合A ＝{－2,0}，B ＝{－2,3}，则A ∪B ＝________. 答案 {－2,0,3}2．已知i 为虚数单位，则复数2i1＋i＝________. 答案 1＋i3．(2017·南通、扬州、泰州、淮安三调)某人随机播放甲、乙、丙、丁4首歌曲中的2首，则甲、乙2首歌曲至少有1首被播放的概率是________． 答案56解析 从甲、乙、丙、丁4首歌曲中随机抽取2首播放，因为播放是有顺序的，所以所有的基本事件有：(甲，乙)，(乙，甲)，(甲，丙)，(丙，甲)，(甲，丁)，(丁，甲)，(乙，丙)，(丙，乙)，(乙，丁)，(丁，乙)，(丙，丁)，(丁，丙)，共12个，而甲、乙2首歌曲至少有1首被播放的事件所包含的基本事件有：(甲，乙)，(乙，甲)，(甲，丙)，(丙，甲)，(甲，丁)，(丁，甲)，(乙，丙)，(丙，乙)，(乙，丁)，(丁，乙)，共10个，故所求事件的概率为P ＝1012＝56.4．(2017·常州期末)双曲线x 24－y 212＝1的右焦点与左准线之间的距离是________．答案 5解析 因为a 2＝4，b 2＝12，所以c 2＝16，即右焦点为(4,0)，又左准线为x ＝－a 2c＝－1，故右焦点到左准线的距离为5.5．已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x ∈R ，使x 2＋2ax ＋2－a ＝0”，若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围是______________． 答案 {a |a ≤－2或a ＝1}解析 p 为真，则x 2≥a ，所以a ≤1；q 为真，则Δ＝(2a )2－4(2－a )≥0，解得a ≥1或a ≤－2.命题“p 且q ”为真命题， 则a 的取值范围为a ≤－2或a ＝1.6．(2017·苏州期末)阅读下面的流程图，如果输出的函数f (x )的值在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12内，那么输入的实数x 的取值范围是________．答案 [－2，－1]解析 流程图表示输出分段函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ∈[－2，2]，2，x ∉[－2，2]的值．令f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12，得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤2，14≤2x ≤12，解得－2≤x ≤－1.7．已知圆锥的母线长为10cm ，侧面积为60πcm 2，则此圆锥的体积为________cm 3. 答案 96π解析 设圆锥的底面半径为r cm ，高为h cm ，则12·2πr ·10＝60π，所以r ＝6cm ，从而高h ＝8cm ，此圆锥的体积V ＝13×36π×8＝96π(cm 3)．8．(2017·广东佛山检测)所有真约数(除本身之外的正约数)的和等于它本身的正整数叫做完全数(也称为完备数、完美数)．如：6＝1＋2＋3；28＝1＋2＋4＋7＋14；496＝1＋2＋4＋8＋16＋31＋62＋124＋248.此外，它们都可以表示为2的一些连续正整数次幂之和．如6＝21＋22,28＝22＋23＋24，…，按此规律，8128可表示为________． 答案 26＋27＋…＋212解析 因为8 128＝26×127， 又由1－2n1－2＝127，解得n ＝7.所以8 128＝26×(1＋2＋…＋26) ＝26＋27＋ (212)9．(2017·常州期末)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 3＝4，S 9－S 6＝27，则S 10＝__________. 答案 65解析 因为S 9－S 6＝a 7＋a 8＋a 9＝3a 8＝27，所以a 8＝9，即S 10＝10(a 1＋a 10)2＝5(a 3＋a 8)＝65.10．(2017届苏北四市一模)若tan β＝2tan α，且cos αsin β＝23，则sin(α－β)的值为________． 答案 －13解析 因为tan β＝2tan α，所以sin βcos β＝2sin αcos α，即cos αsin β＝2sin αcos β.又因为cos αsin β＝23，所以sin αcos β＝13，从而sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝13－23＝－13. 11．函数f (x )的图象关于y 轴对称，且对任意x ∈R 都有f (x －3)＝－f (x )，若当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，52时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，则f (2017)＝________.答案 －14解析 因为函数f (x )对任意x ∈R 都有f (x －3)＝－f (x )， 所以f (x －6)＝－f (x －3)＝f (x )， 函数f (x )是周期为6的函数，f (2017)＝f (336×6＋1)＝f (1)，由f (x －3)＝－f (x )可得f (－2－3)＝－f (－2)＝f (1)， 因为函数f (x )的图象关于y 轴对称， 所以函数f (x )是偶函数，f (－2)＝f (2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14，所以f (2017)＝f (1)＝－f (－2)＝－14.12．(2017·南京三模)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝1，BC ＝2，BB 1＝3，∠ABC ＝90°，点D 为侧棱BB 1上的动点．当AD ＋DC 1最小时，三棱锥D －ABC 1的体积为________．答案13解析 将侧面展开如图，所以由平面几何性质可得：AD ＋DC 1≥AC 1，当且仅当A ，D ，C 1三点共线时取等号．此时BD ＝1，所以S △ABD ＝12×AB ×BD ＝12.在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中有BB 1⊥CB ，又AB ⊥CB ，易得CB ⊥平面ABD ，所以C 1B 1⊥平面ABD ，即C 1B 1是三棱锥C 1－ABD 的高，所以11D ABC C ABD V V －－＝＝13×C 1B 1×S △ABD ＝13×2×12＝13.13．(2017届苏北四市一模)已知正数a ，b 满足1a ＋9b＝ab －5，则ab 的最小值为________．答案 36解析 因为正数a ，b 满足1a ＋9b ＝ab －5，所以ab －5≥29ab，当且仅当9a ＝b 时等号成立，即ab －5ab －6≥0，解得ab ≥6或ab ≤－1(舍去)，因此ab ≥36，从而(ab )min ＝36.14．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若△ABC 为锐角三角形，且满足b 2－a 2＝ac ，则1tan A －1tan B的取值范围是__________． 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫1，233解析 方法一 原式可化为1tan A －1tan B ＝cos A sin A －cos B sin B ＝sin B cos A －cos B sin A sin A sin B ＝sin (B －A )sin A sin B.由b 2－a 2＝ac ，得b 2＝a 2＋ac ＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即a ＝c －2a cos B ，也就是sin A ＝sin C －2sin A ·cos B ，即sin A ＝sin(A ＋B )－2sin A cos B ＝sin(B －A )，由于△ABC 为锐角三角形，所以有A ＝B －A ，即B ＝2A ，故1tan A －1tan B ＝1sin B ，在锐角三角形ABC 中易知，π3<B <π2，32<sin B <1，故1tan A －1tan B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，233.方法二 根据题意，作CD ⊥AB ，垂足为点D ，画出示意图．因为b 2－a2＝AD 2－BD 2＝(AD ＋BD )(AD －BD )＝c (AD －BD )＝ac ，所以AD －BD ＝a ，而AD ＋BD ＝c ，所以BD ＝c －a2，则c >a ，即ca>1，在锐角三角形ABC 中有b2＋a 2>c 2，则a 2＋a 2＋ac >c 2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫c a2－c a－2<0，解得－1<c a <2，因此，1<c a <2.而1tan A －1tan B＝AD －BDCD＝aa 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫c －a 22＝11－14⎝ ⎛⎭⎪⎫c a －12∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，233.。
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小题满分练10
1．(2017·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市调研)已知集合A＝{0,3,4}，B＝{－1,0,2,3}，则A∩B＝________.
答案{0,3}
2．(2017届南京、盐城一模)设复数z满足z(1＋i)＝2，其中i为虚数单位，则z的虚部为________．
答案－1
解析因为z(1＋i)＝2，所以z＝
2
1＋i
＝1－i，所以复数z的虚部为－1.
3．(2017·南通一调)口袋中有若干红球、黄球和蓝球，从中摸出一只球．摸出红球的概率为0.48，摸出黄球的概率为0.35，则摸出蓝球的概率为________．
答案0.17
解析摸出红球、黄球和蓝球为互斥事件，三个事件的概率之和为1，所以摸出蓝球的概率为1－0.48－0.35＝0.17.
4．(2017·石家庄质检)设样本数据x1，x2，…，x2017的方差是4，若y i＝x i－1(i＝1,2，…，2017)，则y1，y2，…，y2017的方差为________．
答案 4
解析设样本数据的平均数为x，
则y i＝x i－1的平均数为x－1，
则新数据的方差为
1
2 017
[(x1－1－x＋1)2＋(x2－1－x＋1)2＋…＋(x2 017－1－x＋1)2]
＝1
2 017
[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(x2 017－x)2]＝4.
5．(2017·南京、盐城二模)根据如图所示的伪代码，输出S的值为__________．S←1
I←1
While I≤8
S←S＋I
I←I＋2
End While
Print S
答案 17
解析 算法过程有限，可用列表解答．列表时，应先算S ，再算I . 列表如下：
在循环结束时，S ＝17，I ＝9.
6．(2017·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市调研)函数f (x )＝lg (5－x 2
)的定义域是__________． 答案 [－2,2]
解析 由lg(5－x 2
)≥0，得5－x 2
≥1，即x 2
－4≤0，解得－2≤x ≤2.
7．△ABC 中，设a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若a ＝5，A ＝π4，cos B ＝3
5，则c ＝________.
答案 7
解析 因为cos B ＝35，所以B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，从而sin B ＝45，所以sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B
＋cos A sin B ＝
22×35＋22×45＝7210，又由正弦定理，得a sin A ＝c sin C ，即522＝c
72
10
，解得c ＝7.
8.定义在R 上的奇函数f (x )满足当x ≥0时，f (x )＝log 2(2＋x )＋(a －1)x ＋b (a ，b 为常数)．若f (2)＝－1，则f (－6)的值为________． 答案 4
解析 由题意得f (0)＝0，所以log 22＋b ＝0，所以b ＝－1，f (x )＝log 2(2＋x )＋(a －1)x －1，又因为f (2)＝－1，所以log 2(2＋2)＋2(a －1)－1＝－1，解得a ＝0，f (x )＝log 2(2＋x )－x －1，
f (－6)＝－f (6)＝－[lo
g 2(2＋6)－6－1]＝4.
9．(2017·南通、扬州、泰州、淮安调研)已知圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为
2π
3的扇形，则这个圆锥的高为________． 答案 2 2
解析 设圆锥的底面半径为r ，高为h ，因为圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为
2π3
的扇形，因为扇形的弧长等于底面周长，故有3×2π
3
＝2πr ，解得r ＝1，又圆锥的母线l ＝3，
所以h ＝l 2－r 2
＝9－1＝2 2.
10．若实数x ，y 满足x >y >0，且log 2x ＋log 2y ＝1，则x 2＋y 2
x －y
的最小值为________．
答案 4
解析 因为log 2x ＋log 2y ＝log 2xy ＝1，所以xy ＝2.因为x >y >0，所以x －y >0.所以x 2＋y 2
x －y
＝
(x －y )2
＋2xy x －y ＝x －y ＋4
x －y
≥24＝4，当且仅当x －y ＝2时取等号．
11．已知a ，b 为单位向量，且a ⊥b ，向量c 满足|c －a －b |＝2，则|c |的取值范围为________． 答案
[]2－2，2＋2
解析 如图，OA →＝a ＋b ，OB →＝c ⇒AB →
＝c －(a ＋b )， 又|OA →
|＝|a ＋b |＝2⇒2－2≤|c|≤2＋ 2.
12．(2017·南京、盐城二模)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1：kx －y ＋2＝0与直线l 2：
x ＋ky －2＝0相交于点P ，则当实数k 变化时，点P 到直线x －y －4＝0的距离的最大值为
________． 答案 3 2
解析 当k ＝0时，点P (2,2)到直线x －y －4＝0的距离为22；当k ≠0时，解方程组
⎩⎪⎨⎪⎧
kx －y ＋2＝0，x ＋ky －2＝0，
得两直线交点P 的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫2－2k
1＋k 2，2＋2k 1＋k 2，
所以点P 到直线x －y －4＝0的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－2k 1＋k 2－2＋2k 1＋k 2－42
＝
4⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
k 1＋k 2＋12
，为求得最大值，
考虑正数k ，则有k 1＋k 2＝
11k
＋k
≤12，当且仅当k ＝1时取等号，所以4⎪⎪⎪⎪
⎪⎪k 1＋k 2＋12≤4×3
22
＝3 2. 13．已知数列{}a n 的前n 项和为S n ，S n ＝43()a n －1，则()4n －2＋1⎝ ⎛⎭
⎪⎫16a n ＋1的最小值为________．
答案 4
解析 ∵S n ＝4
3()a n －1，
∴S n －1＝4
3()a n －1－1()n ≥2，
∴a n ＝S n －S n －1＝4
3
()a n －a n －1， ∴a n ＝4a n －1. 又a 1＝S 1＝4
3
()a 1－1， ∴a 1＝4，
∴{}a n 是首项为4，公比为4的等比数列， ∴a n ＝4n
， ∴()4
n －2
＋1⎝ ⎛⎭
⎪⎫16a n ＋1
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4n 16＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫164n ＋1＝2＋4n
16＋164n ≥2＋2＝4，
当且仅当n ＝2时取“＝”．
14．在△ABC 中，若sin 2
A ＋sin 2
B ＝sin 2
C －2sin A sin B ，则sin2A ·tan 2
B 的最大值是________． 答案 3－2 2
解析 由正弦定理，得a 2
＋b 2
＝c 2
－2ab ，
由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－2
2
，
∵0＜C ＜π， ∴C ＝
3π4，A ＝π4－B,2A ＝π
2
－2B, ∴sin 2A ·tan 2
B ＝cos 2B ·sin 2
B cos 2B
＝
()2cos 2B －1()
1－cos 2B cos 2
B
＝3－⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2B ＋1cos 2B ≤3－22cos 2
B ·1cos 2B
＝3－22，当且仅当cos 2
B ＝
2
2
时取等号， 即sin 2A ·tan 2
B 的最大值是3－2 2.。