2015艺考生高考数学总复习讲义
2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第六章 第九节数学归纳法 理
第九节 数学归纳法知识梳理数学归纳法：对于某些与正整数n 有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性．先证明当n 取第一个值n 0时命题成立；然后假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥n 0)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立．这种证明方法就叫做数学归纳法．用数学归纳法证明一个与正整数(或自然数)有关的命题的步骤：(1)(归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0(例如n 0＝1，n 0＝2等)时结论正确；(2)(归纳递推)假设当n ＝k (k ∈N *，且k ≥n 0)时结论正确，证明当n ＝k ＋1时结论也正确．由(1)，(2)可知，命题对于从n 0开始的所有正整数n 都正确．用数学归纳法来证明与正整数有关的命题时，要注意： 递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉．基础自测1．(2013·深圳月考)用数学归纳法证明“2n >n 2＋1对于n ≥n 0的正整数n 都成立”时，第一步证明中的起始值n 0应取( )A ．2B ．3C ．5D ．6解析：当n ≤4时，2n >n 2＋1不成立，n ≥5时，2n >n 2＋1成立，所以取n 0＝5. 答案：C2．下列代数式中(其中k ∈N *)，能被9整除的是( )A ．6＋6×7kB ．2＋7k －1C ．3 (2＋7k )D ．2(2＋7k ＋1)解析：(1)当k ＝1时，显然只有3(2＋7k)能被9整除．(2)假设当k ＝n (n ∈N *)命题成立，即3(2＋7n )能被9整除，那么3(2＋7n ＋1)＝21(2＋7n)－36，这就说明，当k ＝n ＋1时命题也成立．故选C.答案：C3．(2013·厦门质检)观察下列不等式：1>12，1＋12＋13>1,1＋12＋13＋…＋17>32，1＋12＋13＋…＋115>2,1＋12＋13＋…＋131>52，…，由此猜测第n 个不等式为________(n ∈N *)．解析：3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，可猜测：1＋12＋13＋…＋12n －1>n 2.了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.答案：1＋12＋13＋…＋12n －1>n24．在数列{a n }中，a 1＝13，且S n ＝n (2n －1)a n ，通过计算a 2，a 3，a 4，猜想a n 的表达式是________．解析：a 1＝13＝11×3，a 2＝115＝13×5，a 3＝135＝15×7，猜想a n ＝1n －n ＋.答案：a n ＝1n －n ＋1．已知f (x )＝12⎝⎛⎭⎪⎫x －1x .(1)若x ≥1时，证明：f (x )≥ln x ；(2)证明：1＋12＋13＋…＋1n >ln(n ＋1)＋nn ＋(n ≥1)．证明：(1)设g (x )＝f (x )－ln x ＝x 2－12x －ln x (x ≥1)，则g ′(x )＝12x 2－1x ＋12＝x 2－2x ＋12x2＝x －22x≥0(x ≥1)，所以g (x )在[1，＋∞)上单调递增，即当x ≥1时，g (x )≥g (1)＝0，即f (x )≥ln x .(2)(法一)由(1)有f (x )＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ≥ln x (x ≥1)，且当x ＞1时，12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＞ln x .令x ＝k ＋1k ，有ln k ＋1k ＜12k ＋1k －k k ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k ＋1，即ln(k ＋1)－ln k ＜12⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋1k ＋1，k ＝1,2,3，…，n .将上述n 个不等式依次相加，得ln(n ＋1)＜12＋12＋13＋…＋1n ＋1n ＋.整理得1＋12＋13＋…＋1n ＞ln(n ＋1)＋nn ＋.(法二)用数学归纳法证明．(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝ln 2＋14＜1，不等式成立．(2)假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，不等式成立，即 1＋12＋13＋…＋1k ＞ln(k ＋1)＋k k ＋. 那么n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋…＋1k ＋1k ＋1＞ln(k ＋1)＋k k ＋＋1k ＋1＝ln(k ＋1)＋k ＋2k ＋. 由(1)有f (x )＝12⎝⎛⎭⎪⎫x －1x ≥ln x (x ≥1)．令x ＝k ＋2k ＋1，得12⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋2k ＋1－k ＋1k ＋2≥ln k ＋2k ＋1＝ ln(k ＋2)－ln(k ＋1)．∴ln(k ＋1)＋k ＋2k ＋≥ln(k ＋2)＋k ＋1k ＋.∴1＋12＋13＋…＋1k ＋1k ＋1＞ln(k ＋2)＋k ＋1k ＋.这就是说，当n ＝k ＋1时，不等式也成立．根据(1)，(2)，可知不等式对任何n ∈N *都成立．2．(2012·大纲全国卷)函数f (x )＝x 2－2x －3.定义数列{x n }如下：x 1＝2，x n ＋1是过两点P (4,5)，Q n (x n ，f (x n ))的直线PQ n 与x 轴交点的横坐标．(1)证明：2≤x n <x x ＋1<3； (2)求数列{x n }的通项公式．(1)证明：因为f (4)＝42－8－3＝5，故点P (4,5)在函数f (x )的图象上，故由所给出的两点P (4,5)，Q n (x n ，f (x n ))可知，直线PQ n 斜率一定存在. 故有直线PQ n 的直线方程为y －5＝f x n －5x n －4·(x －4)．令y ＝0，可求得－5＝x 2n －2x n －8x n －4·(x －4)⇔－5x n ＋2＝x －4⇔x ＝4x n ＋3x n ＋2.所以x n ＋1＝4x n ＋3x n ＋2.下面用数学归纳法证明2≤x n <3. ①当n ＝1时，x 1＝2，满足2≤x 1<3.②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，2≤x k <3成立，则当n ＝k ＋1时，x k ＋1＝4x k ＋3x k ＋2＝4－5x k ＋2，由2≤x k <3⇔x k ＋2<5⇔1<5x k ＋2≤54⇔2<114≤4－5x k ＋2<3即2≤x k ＋1<3也成立．综上可知，2≤x n <3对任意正整数恒成立． 下面证明x n <x n ＋1：由x n ＋1－x n ＝4x n ＋3x n ＋2－x n ＝4x n ＋3－x 2n －2x n x n ＋2＝－x n －2＋4x n ＋2，由2≤x n <3⇒0<－(x n －1)2＋4≤3， 故有x n ＋1－x n >0，即x n <x n ＋1.综合①②可知，2≤x n <x n ＋1<3恒成立．(2)解析：由(1)及题意得x n ＋1＝3＋4x n2＋x n.设b n ＝x n －3，则1b n ＋1＝5b n ＋1，1b n ＋1＋14＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫1b n ＋14，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n ＋14是首项为－34，公比为5的等比数列．因此1b n ＋14＝－34·5n －1，即b n ＝－43·5n －1＋1， 所以数列{x n }的通项公式为x n ＝3－43·5n －1＋1(n ∈N *)．1．观察下表：设第n 行的各数之和为S n ，则S n ＝______________.解析：第一行，1＝12，第二行，2＋3＋4＝9＝32，第三行，3＋4＋5＋6＋7＝25＝52，第四行，4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49＝72，归纳：第n 行的各数之和S n ＝(2n －1)2.答案：(2n －1)22．(2013·揭阳一模改编)已知函数f (x )＝ax1＋xa (x >0，a 为常数)，数列{a n }满足：a 1＝12，a n ＋1＝f (a n )，n ∈N *. (1)当a ＝1时，求数列{a n }的通项公式；(2)在(1)的条件下，证明对∀n ∈N *有：a 1a 2a 3＋a 2a 3a 4＋…＋a n a n ＋1a n ＋2＝n n ＋n ＋n ＋.(1)解析：当a ＝1时，a n ＋1＝f (a n )＝a n1＋a n ，两边取倒数，得1a n ＋1－1a n ＝1，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1a 1＝2为首项，1为公差的等差数列，所以1a n ＝n ＋1，a n ＝1n ＋1，n ∈N *. (2)证明：(法一)由(1)知a n ＝1n ＋1，故对k ＝1,2,3，…，a k a k ＋1a k ＋2＝1k ＋k ＋k ＋＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1k ＋k ＋－1k ＋k ＋ 所以a 1a 2a 3＋a 2a 3a 4＋…＋a n a n ＋1a n ＋2＝12⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫12×3－13×4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13×4－14×5＋…＋⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋n ＋－1n ＋n ＋ ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×3－1n ＋n ＋＝n n ＋n ＋n ＋.(法二)①当n ＝1时，等式左边＝12×3×4＝124，等式右边＝1×＋＋＋＝124，左边＝右边，等式成立；②假设当n ＝k (k ≥1)时等式成立，1 2 3 4 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 9即a 1a2a3＋a2a3a4＋…＋a k a k＋1a k＋2＝k k＋k＋k＋，则当n＝k＋1时，a1a2a3＋a2a3a4＋…＋a k a k＋1a k＋2＋a k＋1a k＋2a k＋3＝k k＋k ＋k＋＋1k＋k＋k＋＝k k＋k＋＋121k＋k＋k＋＝k3＋9k2＋20k＋12k＋k＋k＋＝k2k＋＋k＋k＋k＋k＋k＋＝k＋k＋k＋k＋k＋k＋＝k＋k＋＋5]k＋＋k＋＋3].这就是说当n＝k＋1时，等式成立，综①②知对于∀n∈N*有：a1a2a3＋a2a3a4＋…＋a n a n＋1a n＋2＝n n＋512n＋2n＋3.。
2015年高考数学总复习精品课件：第12章 第3讲 抛物线
第三页，编辑于星期五：十一点 二十四分。
2.抛物线的标准方程、类型及其几何性质(p>0)
标准方程 y2＝2px
y2＝－2px
x2＝2py
x2＝－2py
图形
焦点
准线 范围 对称轴 顶点 离心率
Fp2，0 x＝－2p
x≥0，y∈R x轴
F－p2，0 x＝p2
F0，p2 y＝－p2
简单性质.
的方程.
2.理解数形结合的思想. (2)利用抛物线的定义将抛物线上的点到
准线的距离和到焦点的距离进行转化.
(3)综合应用抛物线和直线的有关知识，
通过直线与抛物线的位置关系解答相应
问题.
第二页，编辑于星期五：十一点 二十四分。
1.抛物线的定义 平面上到定点的距离与到定直线 l(定点不在直线 l 上)的距 离__相__等____的点的轨迹叫做抛物线，定点为抛物线的_______焦_，点
第二十页，编辑于星期五：十一点 二十四分。
④如图1231(4)，同③有AP1⊥FA1. 综上所述，①②③④都正确.故选 D.
(1)
答案：D
(2)
(3)
(4)
图 12-3-1
第二十一页，编辑于星期五：十一点 二十四分。
【方法与技巧】要充分利用抛物线的定义，即点 P 到该抛 物线准线的距离等于点 P 到其焦点的距离，能得到多个等腰三 角形.利用平行线的性质，得到多对相等的角，要充分利用平面 几何的性质解题.
第十一页，编辑于星期五：十一点 二十四分。
考点 2 抛物线的几何性质
例2：已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到 点(0,2)的距离与点 P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为
2015年艺术生数学复习资料(3)
2015年艺术生辅优数学复习资料（三）函数的概念、表示法与定义域一、考试要求函数概念与基本初等函数内 容等级要求 A B C函数的有关概念√函数的基本性质√ 二 .基础知识 1、函数的概念 ；2、函数的三要素： ， ， 。
（1）函数解析式的求法：①定义法（拼凑）：②换元法：③待定系数法：④赋值法：（2）函数定义域的求法： ①)()(x g x f y =； ②)()(*2N n x f y n ∈=；③0)]([x f y =； ④)(log )(x g y x f =； （3）函数值域的求法；①配方法：②分离常数法（或求导）如：),(,n m x dcx bax y ∈++=；④换元法；⑤三角有界法；⑥基本不等式法；⑦单调性法； ⑧数形结合等； 3、函数的性质：（1）单调性：定义（）；注意定义是相对与某个具体区间而言。
判定方法：定义；导数；复合函数和图像。
（2）奇偶性：定义（）；注意区间是否关于原点对称，比较f(x) 与f(-x)的关系。
f(x) －f(-x)=0⇔ f(x) =f(-x) ⇔f(x)为偶函数⇔图像 关于（）对称； f(x)+f(-x)=0⇔ f(x) =－f(-x) ⇔f(x)为奇函数⇔图像 关于（）对称。
（3）周期性：若函数f(x)对定义域内的任意x 满足：f(x+T)=f(x),则T 为函数f(x)的周期（T 为非零常数）4、函数图像变换：（1）平移变换 ；（2）对称变换 ；（3）伸缩变换 三．基础训练 1．设⎩⎨⎧<+≥-=)10()],6([)10(,2)(x x f f x x x f 则)5(f 的值为（ ）A ．10B ．11C ．12D ．132． 下列函数中,在区间()0,1上是增函数的是（ ）A ．x y =B ．x y -=3C ．xy 1=D ．42+-=x y 3．若偶函数)(x f 在(]1,-∞-上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ）A ．)2()1()23(f f f <-<- B ．)2()23()1(f f f <-<-C ．)23()1()2(-<-<f f fD ．)1()23()2(-<-<f f f4．已知3()4f x ax bx =+-其中,a b 为常数，若(2)2f -=，则(2)f 的值等于( ) A ．2- B ．4- C ．6- D ．10-5．某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程. 在下图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下图中的四个图形中较符合该学生走法的是（ ）6．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 （ ） （A ）R x x y ∈-=,3 （B ） R x x y ∈=,sin （C ） R x x y ∈=, （D ） R x x y ∈=,)21( 7．若函数x x x f 2)12(2-=+，则)3(f = . 8．函数422--=x x y 的定义域 。
2015届高考数学第一轮知识点总复习配套教案15
第二章 函数与导数第6课时 二 次 函 数(对应学生用书(文)、(理)18～19页),1. (必修1P 54测试7)函数f(x)＝x 2＋2x －3，x ∈[0，2]的值域为________．答案：[－3，5]解析：由f(x)＝(x ＋1)2－4，知f(x)在[0，2]上单调递增，所以f(x)的值域是[－3，5]．2. 二次函数y ＝－x 2＋2mx －m 2＋3的图象的对称轴为x ＋2＝0，则m ＝________，顶点坐标为________，递增区间为________，递减区间为________．答案：－2 (－2，3) (－∞，－2] [－2，＋∞)3. (必修1P 45习题8改编)函数f(x)＝(x ＋1)(x －a)是偶函数，则f(2)＝________．答案：3解析：由f(－x)＝f(x)，得a ＝1，∴ f(2)＝3.4. (必修1P 44习题3)函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －1，x ∈[0，＋∞），－x 2＋2x －1，x ∈（－∞，0）的单调增区间是________．答案：R解析：画出函数f(x)的图象可知．5. 设abc>0，二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是________．(填序号)答案：④解析：若a>0，则b 、c 同号，③④两图中c<0，则b<0，所以－b 2a >0，④正确；若a<0，则b 、c 异号，①中c<0，则b>0，－b2a >0，不符合，②中c>0，则b<0，－b2a <0，不符合．1. 二次函数的解析式的三种形式 (1) 一般式：f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)．(2) 顶点式：若二次函数的顶点坐标为(h ，k)，则其解析式f(x)＝a(x －h)2＋k(a ≠0)．(3) 零点式(两根式)：若二次函数的图象与x 轴的交点为(x 1，0)，(x 2，0)，则其解析式f(x)＝a(x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)．2. 二次函数的图象及性质二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象是一条抛物线，对称轴方程为x ＝－b2a ，顶点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，4ac －b 24a ． (1) 当a>0，函数图象开口向上，函数在区间(－∞，－b2a ]上是单调减函数，在[－b 2a ，＋∞)上是单调增函数，当x ＝－b2a 时，y 有最小值，y min ＝4ac －b 24a ．(2) 当a<0，函数图象开口向下，函数在区间[－b2a ，＋∞)上是单调减函数，在(－∞，－b 2a ]上是单调增函数，当x ＝－b2a 时，y 有最大值，y max ＝4ac －b 24a ．3. 二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)，当Δ＝b 2－4ac>0时，图象与x 轴有两个交点M 1(x 1，0)，M 2(x 2，0)，则M 1M 2|a|题型1 求二次函数解析式例1已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1, f(－1)＝－1，且f(x)的最大值为8，求二次函数f(x)的解析式．解：(解法1：利用一般式)设f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)，⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7，∴ 所求二次函数为f(x)＝－4x 2＋4x ＋7.(解法2：利用顶点式)设f(x)＝a(x －m)2＋n ，∵ f(2)＝f(－1)，∴ 抛物线对称轴为x ＝2＋（－1）2＝12，即m ＝12；又根据题意，函数最大值y max ＝8，∴ n ＝8，∴ f(x)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8.∵ f(2)＝－1，∴ a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4.∴ f(x)＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7.(解法3：利用两根式)由题意知f(x)＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x －2)(x ＋1)，即f(x)＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值y max ＝8，即 4a （－2a －1）－a 24a ＝8，解得a ＝－4或a ＝0(舍)，∴ 所求函数的解析式为f(x)＝－4x 2－(－4)x －2×(－4)－1＝－4x 2＋4x ＋7.备选变式（教师专享）已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 图象的顶点为(－1，10)，且方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根的平方和为12，求二次函数f(x)的表达式．解：由题意可设f(x)＝a(x ＋1)2＋10，即f(x)＝ax 2＋2ax ＋a ＋10；∴ b ＝2a ，c ＝a ＋10，设方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为x 1、x 2，则x 21 ＋x 22 ＝12，即(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝12，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a 2－2×ca ＝12. 又b ＝2a ，c ＝a ＋10，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a a 2－2×a ＋10a ＝12，解得a ＝－2， ∴f(x)＝－2x 2－4x ＋8.题型2 含参变量二次函数的最值例2 函数f(x)＝2x 2－2ax ＋3在区间[－1，1]上最小值记为g(a)． (1) 求g(a)的函数表达式； (2) 求g(a)的最大值．解：(1) ①当a<－2时，函数f(x)的对称轴x ＝a2<－1，则g(a)＝f(－1)＝2a ＋5；②当－2≤a ≤2时，函数f(x)的对称轴x ＝a2∈[－1，1]，则g(a)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝3－a 22；③当a>2时，函数f(x)的对称轴x ＝a 2>1，则g(a)＝f(1) ＝5－2a.综上所述，g(a)＝⎩⎨⎧2a ＋5（a<－2），3－a22（－2≤a ≤2），5－2a （a>2）.(2) ①当a<－2时，g(a)<1；②当－2≤a ≤2时，g(a)∈[1，3]；③当a>2时，g(a)<1.由①②③可得g(a)max ＝3. 备选变式（教师专享）求二次函数f(x) ＝ x 2－4x － 1在区间[t ，t ＋2]上的最小值g(t)，其中t ∈R .解：函数f(x) ＝ (x －2)2－5的图象的对称轴方程为x ＝2，开口向上．当2∈[t ，t ＋2]，即t ≤2≤t ＋2，也就是0≤t ≤2时，g(t)＝f(2)＝－5；当2 [t ，t ＋2]时，①当t ＞2时，f(x)在[t ，t ＋2]上为增函数，故g(t)＝f(t)＝t 2－4t －1.②当t ＋2＜2，即t ＜0时，f(x)在[t ，t ＋2]上为减函数，故g(t)＝f(t ＋2)＝(t ＋2)2－4(t ＋2)－1＝t 2－5.故g(t)的解析式为g(t)＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2－4t －1，t ＞2，－5，0≤t ≤2，t 2－5，t ＜0.题型3 二次函数的综合应用例3 已知函数g(x)＝ax 2－2ax ＋1＋b(a ≠0，b<1)，在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，设函数f(x)＝g （x ）x .(1) 求a 、b 的值及函数f(x)的解析式；(2) 若不等式f(2x )－k·2x ≥0在x ∈[－1，1]时有解，求实数k 的取值范围．解：(1) g(x)＝ax 2－2ax ＋1＋b ，由题意得 ① ⎩⎪⎨⎪⎧a>0，g （2）＝1＋b ＝1，g （3）＝3a ＋b ＋1＝4，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，② ⎩⎪⎨⎪⎧a<0，g （2）＝1＋b ＝4，g （3）＝3a ＋b ＋1＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3>1(舍)．∴ a ＝1，b ＝0，g(x)＝x 2－2x ＋1，f(x)＝x ＋1x －2. (2) 不等式f(2x)－k·2x≥0，即2x＋12x －2≥k·2x ，∴ k ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1. 设t ＝12x ，则k ≤t 2－2t ＋1，∵ x ∈[－1，1]，故t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2. 记h(t)＝t 2－2t ＋1，∵ t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，∴ h(t)max ＝1，故所求k 的取值范围是(－∞，1]． 变式训练已知函数f(x)＝x 2＋mx ＋n 的图象过点(1，3)，且f(－1＋x)＝f(－1－x)对任意实数都成立，函数y ＝g(x)与y ＝f(x)的图象关于原点对称．(1) 求f(x)与g(x)的解析式；(2) 若F(x)＝g(x)－λf (x)在(－1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围．解：(1) 因为函数f(x)满足f(－1＋x)＝f(－1－x)对任意实数都成立，所以图象关于x ＝－1对称，即－m2＝－1，即m ＝2. 又f(1)＝1＋m ＋n ＝3，所以n ＝0，所以f(x)＝x 2＋2x. 又y ＝g(x)与y ＝f(x)的图象关于原点对称， 所以－g(x)＝(－x)2＋2(－x)， 所以g(x)＝－x 2＋2x.(2) 由(1)知，F(x)＝(－x 2＋2x)－λ(x 2＋2x)＝－(λ＋1)x 2＋(2－2λ)x.当λ＋1≠0时，F(x)的对称轴为x ＝2－2λ2（λ＋1）＝1－λλ＋1，因为F(x)在(－1，1]上是增函数， 所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋λ<0，1－λλ＋1≤－1或⎩⎪⎨⎪⎧1＋λ>0，1－λλ＋1≥1，所以λ<－1或－1<λ≤0.当λ＋1＝0，即λ＝－1时，F(x)＝4x 显然成立． 综上所述，实数λ的取值范围是(－∞，0]．1. 若函数f(x)＝ax 2－3x ＋4在区间(－∞，6)上单调递减，则实数a 的取值范围是________．答案：0≤a ≤14解析：当a ＝0时，f(x)＝－3x ＋4，符合；当a ≠0时，则⎩⎨⎧a>0，32a ≥6，解得0<a ≤14.综上，实数a 的取值范围是0≤a ≤14.2. 已知函数f(x)＝x 2－3x ＋m ，g(x)＝2x 2－4x ，若f(x)≥g(x)恰在x ∈[－1，2]上成立，则实数m 的值为________．答案：2解析：由题意，x 2－3x ＋m ≥2x 2－4x ，即x 2－x －m ≤0的解集是[－1，2]，所以m ＝2.3. (2013·南通三模)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2－2x －1，x ≥0，x 2＋bx ＋c ，x ＜0是偶函数，直线y ＝t 与函数y ＝f(x)的图象自左向右依次交于四个不同点A 、B 、C 、D.若AB ＝BC ，则实数t 的值为________．答案：－74解析：根据偶函数的定义得a ＝1，b ＝2，c ＝－1，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1，x ≥0，x 2＋2x －1，x ＜0，⎩⎪⎨⎪⎧x D ＝3x C ，x C ＋x D ＝2，所以x C ＝12，则t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122－2×12－1＝－74.4. (2013·新课标)若函数f(x)＝(1－x2)(x2＋ax＋b)的图象关于直线x＝－2对称，则f(x)的最大值为________．答案：16解析：因为点(1，0)，(－1，0)在f(x)的图象上，且图象关于直线x＝－2对称，所以点(－5，0)，(－3，0)必在f(x)的图象上，所以f(－5)＝(1－25)(25－5a＋b)＝0，f(－3)＝(1－9)(9－3a＋b)＝0，联立，解得a＝8，b＝15，所以f(x)＝(1－x2)(x2＋8x＋15)，即f(x)＝－(x＋1)(x －1)(x＋3)(x＋5)＝－(x2＋4x＋3)(x2＋4x－5)．令t＝x2＋4x＝(x＋2)2－4≥－4，则f(x)＝－(t＋3)(t－5)＝－(t－1)2＋16，当t＝1时，f(x)max ＝16.1. 已知函数f(x)＝e x－1，g(x)＝－x2＋4x－3，若有f(a)＝g(b)，则b的取值范围为________．答案：(2－2，2＋2)解析：易知，f(a)＝e a－1>－1，由f(a)＝g(b)，得g(b)＝－b2＋4b －3>－1，解得2－2<b<2＋ 2.2. 已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a、b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)<c的解集为(m，m＋6)，则实数c的值为________．答案：9解析：根据函数f(x)＝x2＋ax＋b的值域为[0，＋∞)，得到a2－4b＝0.又关于x的不等式f(x)<c，可化为x2＋ax＋b－c<0，它的解集为(m，m＋6)，设函数f(x)＝x2＋ax＋b－c的图象与x轴的交点的横坐标分别为x 1、x 2，则|x 2－x 1|＝m ＋6－m ＝6，从而(x 2－x 1)2＝36，即(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝36.又x 1x 2＝b －c ，x 1＋x 2＝－a ，代入得到 c ＝9.3. 设函数f(x)＝x 2－1，对任意x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x m －4m 2f(x)≤f(x －1)＋4f(m)恒成立，则实数m 的取值范围是________．答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ 解析：由题意知x 2m 2－1－4m 2(x 2－1)≤(x －1)2－1＋4(m 2－1)在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞上恒成立， 1m 2－4m 2≤－3x 2－2x ＋1在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞上恒成立，当x ＝32时，函数y ＝－3x 2－2x ＋1取得最小值－53，所以1m 2－4m 2≤－53，即(3m 2＋1)(4m 2－3)≥0，解得m ≤－32或m ≥32.4. 已知函数f(x)＝mx ＋3，g(x)＝x 2＋2x ＋m.(1) 求证：函数f(x)－g(x)必有零点；(2) 设函数G(x)＝f(x)－g(x)－1，若|G(x)|在[－1，0]上是减函数，求实数m 的取值范围．(1) 证明：f(x)－g(x)＝(mx ＋3)－(x 2＋2x ＋m)＝－x 2＋(m －2)x ＋(3－m)．由Δ1＝(m －2)2＋4(3－m)＝m 2－8m ＋16＝(m －4)2≥0，知函数f(x)－g(x)必有零点．(2) 解：|G(x)|＝|－x 2＋(m －2)x ＋(2－m)|＝|x 2－(m －2)x ＋(m －2)|，Δ2＝(m －2)2－4(m －2)＝(m －2)(m －6)，① 当Δ2≤0，即2≤m ≤6时，|G(x)|＝x 2－(m －2)x ＋(m －2)，若|G(x)|在[－1，0]上是减函数，则m －22≥0，即m ≥2，所以2≤m ≤6时，符合条件．② 当Δ2＞0，即m ＜2或m ＞6时，若m ＜2，则m －22＜0，要使|G(x)|在[－1，0]上是减函数，则m －22≤－1且G(0)≤0，所以m ≤0；若m ＞6，则m －22＞2，要使|G(x)|在[－1，0]上是减函数，则G(0)≥0，所以m ＞6.综上，m ≤0或m ≥2.1. 二次函数有三种形式的解析式，要根据具体情况选用：如和对称轴、最值有关，可选用顶点式；和二次函数的零点有关，可选用零点式；一般式可作为二次函数的最终结果．2. 二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，需要按照“三点一轴”来分类讨论(三点即区间的端点和中点，一轴即对称轴)，此类问题是考查的重点．3. 二次函数、一元二次方程与一元二次不等式统称为“三个二次”，它们常结合在一起，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体．请使用课时训练（A）第6课时（见活页）.[备课札记]。
2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第二章 第九节函数的图象及其变换 文
第九节函数的图象及其变换1．掌握图象变换的规律，如平移变换、对称变换、翻折变换、伸缩变换等．2．会运用函数图象理解和研究函数的性质．基础自测1．(2013·福建卷)函数f(x)＝ln(x2＋1)的图象大致是()解析：函数的解析式满足f(x)＝f(－x)，即函数为偶函数，排除C；又f(0)＝0，即函数图象过(0,0)点，排除B，D.故选A.答案：A2．(2012·大连模拟)已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)，若f(x)的图象如右图所示，则函数g(x)＝a x＋b 的图象是()解析：由图知，b＜－1,0＜a＜1，∴g(x)是减函数，排除C，D.又g(0)＝b＋1＜0.故选A.答案：A3．(2012·中山桂山中学月考)设函数y＝f(x)是最小正周期为2的偶函数，它在区间[0,1]上的图象为如下图所示的线段，则在区间[1,2]上，f(x)＝________.解析：依题意，函数在区间[1,2]上的图象与线段AB关于直线x＝1对称，∴点A(0,2)关于直线x＝1的对称点A′(2,2)在所求函数的图象上，易求得f(x)＝x.答案：x4．(2013·湖北宜昌质检)函数y＝f(x)在x∈[－2,2]的图象如图所示，则f(x)＋f(－x)等于________．解析：由函数图象知f(x)为奇函数，则f(x)＋f(－x)＝0.答案：0知识梳理函数图象的作图方法有两种：描点法和利用基本函数图象变换作图． 一、描点法作图用描点法作函数图象的步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即______________(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图象．二、图象变换法作图1．要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等基本初等函数的图象及性质．2．识图：分布范围、变化趋势、对称性、周期性等． 3．四种图象变换：________________________. (1)平移变换．①水平平移：函数y ＝f (x ＋h )的图象可以把函数y ＝f (x )的图象沿x 轴方向向左(h >0)或向右(h <0)平移|h |个单位长度得到，即y ＝f (x )――→h >0，左移h <0，右移y ＝f (x ＋h )； ②竖直平移：函数y ＝f (x )＋k 的图象可以把函数y ＝f (x )的图象沿y 轴方向向上(k >0)或向下(k <0)平移|k |个单位长度得到，即y ＝f (x )―――→k >0，上移k <0，下移y ＝f (x )＋k . (2)对称变换．①函数y ＝－f (x )的图象可以将函数y ＝f (x )的图象关于x 轴对称得到； ②函数y ＝f (－x )的图象可以将函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称得到； ③函数y ＝－f (－x )的图象可以将函数y ＝f (x )的图象关于原点对称得到； ④函数y ＝f －1(x )的图象可以将函数y ＝f (x )的图象关于直线y ＝x 对称得到；⑤函数y ＝f (2a －x )的图象可以将函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称得到，即 y ＝f (x )关于x 轴,y ＝－f (x )， y ＝f (x )关于y 轴,y ＝f (－x )， y ＝f (x )关于原点,y ＝－f (－x )， y ＝f (x )关于直线y ＝x,y ＝f －1(x )，y ＝f (x )关于直线x ＝a,y ＝f (2a －x )． (3)翻折变换．①函数y ＝|f (x )|的图象可以将函数y ＝f (x )的图象(如图①)的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留y ＝f (x )的x 轴上方部分即可得到(如图②)； ②函数y ＝f (|x |)的图象可以将函数y ＝f (x )的图象(如图①)右边沿y 轴翻折到y 轴左边，替代原y 轴左边部分并保留y ＝f (x )在y 轴右边部分即可得到(如图③)．即y ＝f (x )――――――――――――――→保留x 轴上方图象将x 轴下方图象翻折上去y ＝|f (x )|. y ＝f (x )――――――――――――――――――――→去掉y 轴左边图象保留y 轴右边图象，并作关于y 轴对称图象y ＝f (|x |)． (4)伸缩变换．①函数y ＝f (ax )(a >0)的图象可以将函数y ＝f (x )的图象中的每一点纵坐标不变，横坐标缩短(a >1)或伸长(0<a <1)为原来的1a 倍得到；②函数y ＝af (x )(a >0)的图象可以将函数y ＝f (x )的图象中的每一点横坐标不变，纵坐标伸长(a >1)或缩短(0<a <1)为原来的a 倍得到，即y ＝f (x ) y ＝f (ax )，y ＝f (x )――→a >1，纵向伸长为原来的a 倍0<a <1，纵向缩短为原来的a 倍y ＝af (x )．1．(2013·四川卷)函数y ＝x 2 3x －1的图象大致是( )a ＞1,横向缩短为原来的 a1 倍0＜a ＜1，横向伸长为原来的 倍 一、(3)单调性、奇偶性、周期性、最值 二、3.平移变换、对称变换、翻折变换和伸缩变换解析：对于函数y ＝x 23x －1定义域为{x ∈R ，且x ≠0}，去掉A ，当x <0时，3x －1<0，x 2>0，∴y <0，去掉C 、D ，选B.答案：B2．(2012·湖北卷)已知定义在区间[0,2]上的函数y ＝f (x )的图象如下图所示，则y ＝－f (2－x )的图象为( )解析：y ＝f (x )→y ＝f (－x )→y ＝f [－(x －2)]→y ＝－f (2－x )，即将y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，再向右平移2个单位长度，然后关于x 轴对称，即为B 图象．答案：B1．(2013·广东茂名一模)函数f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎫x －1x 的图象是( )解析：因为x －1x＞0，解得x ＞1或－1＜x ＜0，所以函数f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎫x －1x 的定义域为：(－1,0)∪(1，＋∞)，所以选项A 、C 不正确．当x ∈(－1,0)时，g (x )＝x －1x是增函数，因为y ＝ln x 是增函数，所以函数f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎫x －1x 是增函数．故选B. 答案：B2.已知函数y ＝1x，将其图象向左平移a (a ＞0)个单位，再向下平移b (b ＞0)个单位后图象过坐标原点，则ab 的值为________．解析：图象平移后的函数解析式为y ＝1x ＋a－b ，由题意知1a －b ＝0，∴ab ＝1.答案：1。
【金版学案】2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第七章 第九节抛物线(一) 理
第九节 抛物线(一)知识梳理一、抛物线的定义平面内到定点F 的距离等于到定直线l (定点不在定直线上)的距离的点的轨迹是抛物线．其中定点叫做焦点，定直线叫做准线． 注意：当定点在定直线上时，点的轨迹是过该定点且与定直线垂直的一条直线．基础自测1．已知抛物线y 2＝2px 上一点M (1，m )到其焦点的距离为5，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝8B ．x ＝－8C ．x ＝4D ．x ＝－4解析：由题意得1＋p 2＝5，故p ＝8，所以准线方程为x ＝－p2＝－4，故选D.答案：D1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质.2.理解数形结合的思想.2．一动圆的圆心在抛物线x 2＝－8y 上，且动圆恒与直线y －2＝0相切，则动圆必过定点( )A ．(4,0)B ．(0，－4)C ．(2,0)D ．(0，－2)解析：由抛物线的定义知到焦点距离与到准线的距离相等，动圆必过焦点(0，－2)．故选D.答案：D3．若动点P 到点F (2,0)的距离与它到直线x ＋2＝0的距离相等，则点P 的轨迹方程为____________．解析：由抛物线定义知点，P 的轨迹是以F (2,0)为焦点，直线x ＝－2为准线的抛物线，所以p ＝4，所以其方程为y 2＝8x .答案：y 2＝8x4．若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为________．解析：椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点为(2,0)，所以抛物线y 2＝2px 的焦点为(2,0)，则p ＝4.答案：41．(2013²四川卷)抛物线y 2＝4x 的焦点F (1,0)到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是( )A.12B.32 C ．1 D. 3解析：抛物线y 2＝4x 的焦点F (1,0)，双曲线x 2－y 23＝1的渐近线是y ＝±3x ，即3x ±y＝0，所以所求距离为|3±0|32＋2＝32.故选B. 答案：B2．已知平面内一动点P 到点F (1,0)的距离与点P 到y 轴的距离的差等于1. (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线l 1，l 2，设l 1与轨迹C 相交于点A ，B ，l 2与轨迹C 相交于点D ，E ，求A D →²E B →的最小值．解析：(1)设动点P 的坐标为(x ，y )， 由题意有x －2＋y 2－|x |＝1.化简得y 2＝2x ＋2|x |.当x ≥0时，y 2＝4x ；当x <0时，y ＝0.所以，动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x (x ≥0)和y ＝0(x <0)．(2)由题意知，直线l 1的斜率存在且不为0，设为k ，则l 1的方程为y ＝k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，y 2＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实根，于是x 1＋x 2＝2＋4k2，x 1x 2＝1.因为l 1⊥l 2，所以l 2的斜率为－1k.设D (x 3，y 3)，E (x 4，y 4)，则同理可得x 3＋x 4＝2＋4k 2，x 3x 4＝1.故A D →²E B →＝(A F →＋F D →)²(E F →＋F B →)＝A F →²E F →＋A F →²F B →＋F D →²E F →＋F D →²F B →＝|A F →|²|F B →|＋|F D →|²|E F →|＝(x 1＋1)(x 2＋1)＋(x 3＋1)(x 4＋1)＝x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋x 3x 4＋(x 3＋x 4)＋1＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋4k 2＋1＋1＋(2＋4k 2)＋1＝8＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋1k 2≥8＋4³2k 2²1k2＝16.当且仅当k 2＝1k2，即k ＝±1时，A D →²E B →取最小值16.1．(2013²汕头一模)已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为________．解析：因为y 2＝4x ，所以p ＝2，焦点坐标为(1,0)，依题意可知当P ，Q 和焦点三点共线且点P 在中间的时候，距离之和最小如图，故P 的纵坐标为－1，然后代入抛物线方程求得x ＝14.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－12．在平面直角坐标系xOy 中，动点P 到定点F ()1，0的距离与到定直线l ：x ＝－1的距离相等．(1)求动点P 的轨迹E 的方程；(2)过点F 作倾斜角为45°的直线m 交轨迹E 于点A ，B ，求△AOB 的面积．解析：(1)设P ()x ，y ，由抛物线定义知，点P 的轨迹E 为抛物线，方程为y 2＝4x .(2)m ：y ＝x －1，代入y 2＝4x ，消去x 得y 2－4y －4＝0.设A ()x 1，y 1，B ()x 2，y 2，则y 1，y 2为方程的两实根，于是y 1＋y 2＝4，y 1²y 2＝－4.则||y 2－y 1＝y 1＋y 22－4y 1y 2＝42，所以S △AOB ＝12³||OF ³||y 2－y 1＝12³1³42＝2 2.。
2015届高考数学第一轮知识点总复习配套教案50
第八章 立体几何初步第1课时 空间点、直线、平面之间的 位置关系⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫对应学生用书（文）97～99页 （理）99～101页1. (原创)已知点P 、Q ，平面α，将命题“P ∈α，Q ÏαÞPQ Ëα”改成文字叙述是________．答案：若点P 在平面α内，点Q 不在平面α内，则直线PQ 不在平面α内．解析：正确理解符号语言表达空间点、线、面之间的位置关系，能正确进行自然语言、图形语言和符号语言的相互转化．2. (原创)有下列命题：①空间四点共面，则其中必有三点共线；②空间四点不共面，则其中任何三点不共线；③空间四点中有三点共线，则此四点共面；④空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面．其中正确的命题是________．(填序号)答案：②③解析：①只须四点共面，任何三点不必共线；②③正确；④错误．3. (必修2P 28习题1改编)在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，与AD 1平行的对角线有________条.答案：1解析：与AD 1平行的对角线仅有1条，即BC 1.4. (必修2P31练习12改编)如图所示，在三棱锥A－BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则(1) 当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为菱形；(2) 当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH是正方形．答案：AC＝BD AC＝BD且AC⊥BD解析：易知EH∥BD∥FG，且EH＝12BD＝FG，同理EF∥AC∥HG，且EF＝12AC＝HG，显然四边形EFGH为平行四边形．要使平行四边形EFGH为菱形需满足EF＝EH，即AC＝BD；要使四边形EFGH为正方形需满足EF＝EH且EF⊥EH，即AC＝BD且AC⊥BD.5. (必修2P24练习3改编)设P表示一个点，a，b表示两条直线，α、β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是________．(填序号)①P∈a，P∈αÞaÌα；②a∩b＝P，bÌβÞaÌβ；③a∥b，aÌα，P∈b，P∈αÞbÌα；④α∩β＝b，P∈α，P∈βÞP∈b.答案：③④解析：当a∩α＝P时，P∈α，P∈α，但aËα，∴①错；a∩β＝P时，②错；如图，∵a∥b，P∈b，∴PÏa，∴由直线a与点P确定唯一平面α.又a∥b，由a与b确定唯一平面γ，但γ经过直线a与点P，∴γ与α重合，∴bÌα，故③正确；两个平面的公共点必在其交线上，故④正确．1. 公理1：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上所有点都在这个平面内．公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他的公共点，这些公共点的集合是一条直线．公理3：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面．推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．2. 空间两条直线的位置关系3.(1) 公理4：平行于同一条直线的两条直线平行．(2) 定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．[备课札记]题型1 平面的基本性质例1 画一个正方体ABCDA 1B 1C 1D 1，再画出平面ACD 1与平面BDC 1的交线，并且说明理由．解：F ∈CD 1、F ∈平面ACD 1、E ∈AC 、E ∈平面ACD 1、E ∈BD 、E ∈平面BDC 1、F ∈DC 1、F ∈平面DC 1B ，则EF 为所求．备选变式（教师专享）在长方体ABCDA 1B 1C 1D 1的A 1C 1面上有一点P(如图所示，其中P 点不在对角线B 1D 1)上．(1) 过P 点在空间作一直线l ，使l ∥直线BD ，应该如何作图？并说明理由；(2) 过P 点在平面A 1C 1内作一直线m ，使m 与直线BD 成α角，其中α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，这样的直线有几条，应该如何作图？ 解：(1) 连结B 1D 1，BD ，在平面A 1C 1内过P 作直线l ，使l ∥B 1D 1，则l 即为所求作的直线，如图(a)．∵ B 1D 1∥BD ，l ∥B 1D 1，∴ l ∥直线BD.图(a)(2) ∵ BD ∥B 1D 1，∴ 直线m 与直线BD 也成α角，即直线m 为所求作的直线，如图(b)．由图知m 与BD 是异面直线，且m 与BD所成的角α∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π2. 当α＝π2时，这样的直线m 有且只有一条，当α≠π2时，这样的直线m 有两条．图(b)题型2 共点、共线、共面问题,例2) 如图，四边形ABEF 和ABCD 都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB ＝90°，BC ∥=12AD ，BE ∥=12FA ，G 、H 分别为FA 、FD 的中点．(1) 证明：四边形BCHG 是平行四边形．(2) C 、D 、F 、E 四点是否共面？为什么？(1) 证明：由已知FG ＝GA ，FH ＝HD ，可得GH ∥=12AD.又BC ∥=12AD ，∴ GH ∥=BC.∴ 四边形BCHG 为平行四边形．(2) 解：(解法1)由BE ∥=12AF ，G 为FA 中点知，BE ∥=FG ，∴ 四边形BEFG 为平行四边形．∴ EF ∥BG .由(1)知BG ∥CH ，∴ EF ∥CH ，∴ EF 与CH 共面．又D ∈FH ，∴ C 、D 、F 、E 四点共面．(解法2)如图，延长FE 、DC 分别与AB 交于点M 、M′，∵ BE ∥=12AF ，∴ B 为MA 中点．∵ BC ∥=12AD ，∴ B 为M′A 中点．∴ M 与M′重合，即FE与DC 交于点M(M′)．∴ C 、D 、F 、E 四点共面．变式训练如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，对角线A 1C 与平面BDC 1交于点O ，AC 、BD 交于点M ，E 为AB 的中点，F 为AA 1的中点．求证：(1) C 1、O 、M 三点共线；(2) E 、C 、D 1、F 四点共面．证明：(1) ∵C1、O、M∈平面BDC1，又C1、O、M∈平面A1ACC1，由公理2知，点C1、O、M在平面BDC1与平面A1ACC1的交线上，∴C1、O、M三点共线．(2) 连结EF，A、B、C、D，∵E、F分别是AB，A1A的中点，∴EF∥A1B.∵A1B∥CD1，∴EF∥CD1.∴E、C、D1、F四点共面．题型3空间直线位置关系问题例3已知A是△BCD平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点．(1) 求证：直线EF与BD是异面直线；(2) 若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．(1) 证明：假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A、B、C、D在同一平面内，这与A是△BCD平面外的一点相矛盾．故直线EF与BD是异面直线．(2) 解：取CD的中点G，连结EG、FG，则EG∥BD，所以相交直线EF与EG所成的角，即为异面直线EF与BD所成的角．在Rt△EGF中，由EG＝FG＝12AC，求得∠FEG＝45°，即异面直线EF与BD所成的角为45°.备选变式（教师专享）已知四棱锥PABCD的顶点P在底面的射影恰好是底面菱形ABCD的两条对角线的交点，若AB＝3，PB＝4，则PA长度的取值范围为________．答案：(7，5)解析：由题意知PO⊥平面ABCD，AB＝3，PB＝4，设PO＝h，OB＝x，则PA2＝h2＋9－x2＝16－x2－x2＋9＝25－2x2，因为0<x<3，所以7<25－2x2<25，所以7<PA<5.1. (2013·福州检测)给出下列四个命题：①没有公共点的两条直线平行；②互相垂直的两条直线是相交直线；③既不平行也不相交的直线是异面直线；④不同在任一平面内的两条直线是异面直线．其中正确命题是________．(填序号)答案：③④解析：没有公共点的两条直线平行或异面，故命题①错；互相垂直的两条直线相交或异面，故命题②错；既不平行也不相交的直线是异面直线，不同在任一平面内的两条直线是异面直线，命题③、④正确．2. 下列命题错误的是________．(填序号)①如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β；②如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β；③如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么直线l⊥平面γ；④如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β.答案：④解析：根据长方体模型可知，④是错的．3. 如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中：①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直．以上四个命题中，正确命题的是________．(填序号)答案：②③④解析：还原成正四面体知GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60°角，DE⊥MN.4. 若直线l不平行于平面α，且lËα，则下列命题正确的是________．(填序号)①α内的所有直线与l异面；②α内不存在与l平行的直线；③α内存在唯一的直线与l平行；④α内的直线与l都相交．答案：②5. 从正方体ABCD－A1B1C1D1的8个顶点中任意取4个不同的顶点，这4个顶点可能是：(1) 矩形的4个顶点；(2) 每个面都是等边三角形的四面体的4个顶点；(3) 每个面都是直角三角形的四面体的4个顶点；(4) 有三个面是等腰直角三角形，有一个面是等边三角形的四面体的4个顶点．其中正确的结论有________个．答案：4解析：四边形ABCD适合(1)，四面体ACB1D1适合(2)，DB1C1D1适合(3)，DA1C1D1适合(4)，因此正确的结论有4个．1. 若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的__________条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”)答案：充分不必要解析：若两条直线无公共点，则两条直线可能异面，也可能平行．若两条直线是异面直线，则两条直线必无公共点．2. (2013·南昌模拟)若P是两条异面直线l、m外的任意一点，则下列命题中假命题的是________．(填序号)①过点P有且仅有一条直线与l、m都平行；②过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直；③过点P有且仅有一条直线与l、m都相交；④过点P有且仅有一条直线与l、m都异面．答案：①③④解析：①是假命题，因为过点P不存在一条直线与l、m都平行；②是真命题，因为过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直，这条直线与两异面直线的公垂线平行或重合；③是假命题，因为过点P也可能没有一条直线与l、m都相交；④是假命题，因为过点P可以作出无数条直线与l、m都异面，这无数条直线在过点P且与l、m都平行的平面上．3. 如图，在四面体ABCD中作截面PQR，若PQ、CB的延长线交于M，RQ、DB的延长线交于N，RP、DC的延长线交于K.求证：M、N、K三点共线．证明：∵ M∈PQ，直线PQÌ平面PQR，M∈BC，直线BCÌ平面BCD，∴M是平面PQR与平面BCD的一个公共点，即M在平面PQR与平面BCD的交线l上．同理可证：N、K也在l上．∴ M、N、K三点共线．4. 已知：a、b、c、d是不共点且两两相交的四条直线，求证：a、b、c、d共面．证明：证法1：若当四条直线中有三条相交于一点，不妨设a、b、c相交于一点A，∴直线d和A确定一个平面α.又设直线d与a、b、c分别相交于E、F、G，则A、E、F、G∈α.∵ A、E∈α，A、E∈a，∴a.同理可证bÌα，cÌα.∴a、b、c、d在同一平面α内．证法2：当四条直线中任何三条都不共点时，如图．∵这四条直线两两相交，则设相交直线a、b确定一个平面α.设直线c与a、b 分别交于点H、K，则H、K∈α.又H、K∈c，∴cÌα.同理可证dÌα.∴a、b、c、d四条直线在同一平面α内．1. 证明点线共面的常用方法：一是依据题中所给条件先确定一个平面，然后证明其余的点或线都在面内；二是将所有元素分成几个部分，然后分别确定几个平面，再证这些平面重合；三是采用反证法．2. 证明三线共点的方法：通常先证明两条直线的交点在第三条直线上，而第三条直线是两个平面的一条交线．3. 异面直线的证明方法：一是应用判定定理(过平面内一点与平面外一点的连线与平面内不经过该点的直线是异面直线)；二是采用反证法．判定异面直线时通常采用排除法(既不相交也不平行)或判定定理．4. 对于异面直线所成的角，要注意角的范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，π2以及两条直线垂直的定义，平移法是解决此类问题的关键．请使用课时训练（B ）第1课时（见活页）.[备课札记]。
2015年高考数学总复习新课标课件：第五章
1）
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n（n－1）
故 an＝2 2 .
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(2)递推公式 an＋1＝2an＋3 可以转化为 an＋1＋3＝2(an＋3)． 令 bn＝an＋3，则 b1＝a1＋3＝4，且bbn＋n 1＝aan＋ n＋1＋33＝2， 所以数列{bn}是以 4 为首项，2 为公比的等比数列． 所以 bn＝4×2n－1＝2n＋1， 即 an＝2n＋1－3.
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4．已知数列{an}的通项公式是 an＝22· n－3n5－（1（n为n为奇偶数数）），则 a3a4＝ ___5_4____． 解析：a3＝2×3－5＝1，a4＝2·34－1＝54，a3a4＝54.
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5．若数列 {an}的通项公式为
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3．根据下列条件，求数列的通项公式an.
(1)a1＝1，an＋1＝2nan；
(2)a1＝1，an＋1＝2an＋3.
解：(1)由于aan＋ n 1＝2n，
故aa12＝21，aa23＝22，…，aan－n 1＝2n－1，
将这 n－1 个等式叠乘，
得aa1n＝21＋2＋…＋(n－1)＝2n（n2－
－n1，n为正奇数， 也可写为 an＝ n3，n为正偶数.
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观察法求数列通项公式的技巧： 观察归纳法求数列的通项公式，关键是找出各项的共同规律 及项与项数n的关系，当项与项之间的关系不明显时，可采用 适当变形或分解，以凸显规律，便于归纳，当各项是分数时 ，可分别考虑分子、分母的变化规律及联系，正负相间出现 时，可用(－1)n或(－1)n＋1调节．
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2015艺考生高考数学总复习讲义第一章、集合基本运算一、基础知识：1.元素与集合的关系:用∈或∉表示；2.集合中元素具有确定性、无序性、互异性.3.集合的分类：①按元素个数分：有限集，无限集；②按元素特征分；数集，点集。
如数集{y|y=x2},表示非负实数集，点集{(x，y)|y=x2}表示开口向上，以y轴为对称轴的抛物线；4.集合的表示法：①列举法：用来表示有限集或具有显着规律的无限集，如N+={0，1，2，3，…}；②描述法：一般格式：{}∈，如：{x|x-3>2}，{(x,y)|y=x2+1}，…；()x A p x描述法表示集合应注意集合的代表元素，如{(x,y)|y= x2+3x+2}与 {y|y= x2+3x+2}是不同的两个集合③字母表示法:常用数集的符号：自然数集N；正整数集*N N或；整数集Z；有理数+集Q、实数集R;5．集合与集合的关系:用⊆，≠⊂，=表示;A是B的子集记为A⊆B；A是B的真子集记为A≠⊂B。
A⊆；②空集是任何集合的子集，常用结论：①任何一个集合是它本身的子集，记为A记为A ⊆φ；空集是任何非空集合的真子集；③如果B A ⊆，同时A B ⊆，那么A = B ；如果A B ⊆，B C ⊆，A C ⊆那么. ④n 个元素的子集有2n 个；n 个元素的真子集有2n －1个；n 个元素的非空真子集有2n －2个.6．交集A ∩B={x |x ∈A 且x ∈B};并集A ∪B={x |x ∈A ，或x ∈B};补集C U A=｛x |x ∈U ，且x ∉A ｝，集合U 表示全集.7.集合运算中常用结论:注：本章节五个定义1.子集定义：一般地，对于两个集合A 与B ，如果集合A 中的任何一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 包含于集合B ，或集合B 包含集合A ，记作A ⊆B （或B ⊇A ）,即若任意x ∈A,有x ∈B ，则A ⊆B(或A ⊂B)。
这时我们也说集合A 是集合B 的子集（subset ）。
如果集合A 不包含于集合B ，或集合B 不包含集合A,就记作A?B （或B?A ），即:若存在x ∈A,有x ∉B ，则A?B(或B?A)说明：A ⊆B 与B ⊇A 是同义的，而A ⊆B 与B ⊆A 是互逆的。
空集是指不含任何元素的集合。
（}0{、φ和}{φ的区别；0与三者间的关系） 规定:空集∅是任何集合的子集，即对于任意一个集合A 都有∅⊆A 。
(注意：B A ⊆，讨论时不要遗忘了φ=A 的情况。
)2.真子集：由“包含”与“相等”的关系，可有如下结论：(1)A ⊆A (任何集合都是其自身的子集)；(2)若A ⊆B ，而且A ≠B （即B 中至少有一个元素不在A 中），则称集合A 是集合B 的真子集（p ro pe rs ubse t ），记作(3)对于集合A，B ，C，若A ?B，B?3并集的定义：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与集合B 的并集（union set ）。
记作：A ∪B （读作：“A 并B ”），即 这样，在问题（1）（2）中，集合A ，B 的并集是C ，即A B ⋃= C 例．A ＝{x|x>3}，B ＝{x|x<6}，则A ∪B ＝ 。
4，交集的定义： 一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，叫作集合A 、B 的交集（intersection set ），记作A ∩B （读“A 交B ”）即： A ∩B ＝{x|x ∈A ，且x ∈B} 例，已知集合A ＝｛(x ,y )|64=+y x ｝,B ={(x ,y )|723=+y x },求A ∩B 。
5，补集的定义：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合，叫作集合A 相对于全集U 的补集（complementary set ），记作：U C A ，读作：“A 在U 中的补集”，即例．设U ＝{x|x<8，且x ∈N}，A ＝{x|(x-2)(x-4)(x-5)＝0}，则U C A ＝ ；三．考题精选一、选择题1、（2012福建文科卷2）已知集合M={1，2，3，4}，N={-2,2}，下列结论成立的是（ D ）A.N ⊆MB.M ∪N=MC.M ∩N=ND.M ∩N={2}2、已知全集}6,5,4,3,2,1{=U ，集合}5,3,1{=A ，}6,5,4{=B ，则结合)(C U B A Y =（ B ）A ．}6,4,2{B ．}2{C ．}5{D ．}6,5,4,3,1{3、有下列结论：（ A ）（1）空集没有子集；（2）空集是任何集合的真子集；（3）任何一个集合必有两个或两个以上的子集；（4）如果N M ⊆，则不属于集合M 的元素必不属于集合N 。
A 、 0个B 、 1个C 、2个D 、 3个C U A4、设集合A={x |x ∈Z 且-10≤x ≤-1}，B={x |x ∈Z ，且|x |≤5}，则A ∪B 中的元素个数是( C )(A)11 (B)1 (C)16 （D) 185、设{}220,M x x x x R =++=∈，a =lg(lg10)，则{a }与M 的关系是( B )(A){a }=M (B)M ⊆{a } (C){a }∈M (D)M ⊇{a }6、有下列说法：（1）0与{0}表示同一个集合；（2）由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3，2，1}；（3）方程2(1)(2)0x x --=的所有解的集合可表示为{1，1，2}；（4）集合{45}x x <<是有限集. 其中正确的说法是（ D ）.A. 只有（1）和（4）B. 只有（2）和（3）C. 只有（2）D. 以上四种说法都不对7、（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学）已知集合A ={0,1,2},则集合B ={},x y x A y A -∈∈中元素的个数是 （ C ）(A) 1 (B) 3 (C)5 (D)98、{}{}{}1,2,3,4,5,|,,,A B M x x a b a A b B ====+∈∈则M 中的元素个数为（ B ）(A)3 (B)4 (C)5 (D)69、（2013年新课标）已知集合{}{}2|(1)4,,1,0,1,2,3M x x x R N =-<∈=-,则=N M I （ A ）(A){}2,1,0 (B){}2,1,0,1- (C){}3,2,0,1- (D){}3,2,1,010、（辽宁卷1）已知集合{}3|0|31x M x x N x x x +⎧⎫==<=-⎨⎬-⎩⎭，≤，则集合{}|1x x ≥＝（ D ）A ．M N IB ．M N UC ．)(N M C U ID ．)(N M C U Y11、（2013浙江）设集合}043|{},2|{2≤-+=->=x x x T x x S ,则=⋃T S C R )( （ C ）A.(2,1]-B. ]4,(--∞C. ]1,(-∞D.),1[+∞12、（2012全国卷3）已知集合A ＝{1.3. m }，B ＝{1，m} ,A U B ＝A, 则m= （ B ）A 0或3B 0或3C 1或3D 1或313、已知全集,U R =且{}{}2|12,|680,A x x B x x x =->=-+<则()U C A B I 等于 （ C ）A.[1,4)- B (2,3) C (2,3] D (1,4)-14、设集合{}22,A x x x R =-≤∈，{}2|,12B y y x x ==--≤≤，则()R C A B I 等于（ B ）A ．RB ．{},0x x R x ∈≠C ．{}0D ．∅15、若集合{}{}2135,322A x a x a B x x =+≤≤-=≤≤，则能使A B ⊆成立的所有a 的集合是（ A ）A 、{}19a a ≤≤B 、{}69a a ≤≤C 、{}9a a ≤D 、∅16、已知a 、b 、c 为非0实数，则=M a b c abc a b c abc +++的所有值组成的集合为（ D ）A 、{4}B 、{-4}C 、{0}D 、 {0，4，-4}二、填空题17、满足{}{}1,31,3,5A =U 的集合A 最多有 4 个。
18、用列举法表示集合A=},512|{**N x N x x ∈∈-=___ A={1.2.3.4}____________. 19、设,a b R ∈，集合{1,,}{0,,}ba b a b a +=，则b a -= 220、已知集合11{11}|242x M N x x +⎧⎫=-=<<∈⎨⎬⎩⎭Z ，，，，则M N =I -1 21、若A ={(x ，y )| y =x +1},B={y |y =x 2+1},则A ∩B =（0，1）（1，2） .22、已知集合A={x │a+1＜x ＜2a —1}，B={x │-1＜x ＜4}，若A ≠∅，且A B ⊆，则a 的取值范围是________(2,二分之五）23、定义集合运算:{},,.A B z z xy x A y B *==∈∈设{}1,2A =,{}0,2B =,则集合A B *的所有元素之和为 6 集合是不是{0,2,4}24、已知函数1()1f x x =-的定义域为M ，g(x)=ln(1)x +的定义域为N ，则M ∩N=（-1,1） 25、已知A={4|2m m Z -∈}，B={x |3}2x N +∈，则A ∩B=__空集 （m 是偶数，x 是奇数）__ 。
26、已知集合A ＝{x|-3<x<3，x ∈Z}，B ＝{(x,y)|y ＝x 2+1，x ∈A}，则集合B 用列举法表示是 B={（-2，5） （2，5）（1，2）（-1，2）（0，1）}27、若}{2228x A x -=∈Z ≤<，{2R |log |1}B x x =∈>，则)(C R B A ⋂的元素个数为___1___ B 的范围小于二分之一或大于228、已知集合A ＝{x|x<a}，B ＝{x|1<x<2}，且=R ，则实数a 的取值范围是____a 大于等于2_____三、简答题29、设全集的值。
求实数b a A C b A a a U U ,},5{},2,{},32,3,2{2==-+=a =-4或2b =330、 B.x B,B A },,1{},x ,4,1{A 2的值及集合求且已知=⋂==x B第一种情况：X=x 的平方 x=0或1 由于集合元素的互异性，x 不等于1 所以B={1,0} 第二种情况：x 平方=4 x=正负2 B={1,4}31、已知集合{|12},{|0}M x x N x x a =-≤<=-≤，若M N ≠∅I ，求a 的取值范围. X 大于等于-132、（1）已知集合},03|{},3,1{=-==mx x B A 且A B ⊆，则m 的值是 1或3 。