2018年广州中考相似三角形应用专题(押题)
2018中考压轴之因动点产生的相似三角形问题(部分答案)(PDF版)
课前导学:相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等．判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验．如果已知∠A＝∠D，探求△ABC与△DEF相似，只要把夹∠A和∠D的两边表示出来，按照对应边成比例，分和两种情况列方程．应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等．应用判定定理3解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）．还有一种情况，讨论两个直角三角形相似，如果一组锐角相等，其中一个直角三角形的锐角三角比是确定的，那么就转化为讨论另一个三角形是直角三角形的问题．求线段的长，要用到两点间的距离公式，而这个公式容易记错．理解记忆比较好．如图1，如果已知A、B两点的坐标，怎样求A、B两点间的距离呢？我们以AB为斜边构造直角三角形，直角边与坐标轴平行，这样用勾股定理就可以求斜边AB的长了．水平距离BC的长就是A、B两点间的水平距离，等于A、B两点的横坐标相减；竖直距离AC就是A、B两点间的竖直距离，等于A、B两点的纵坐标相减．九年级数学试题因动点产生的相似三角形问题1.如图，在平面直角坐标系中，双曲线kyx=（k≠0）与直线y＝x＋2都经过点A(2,m)．（1）求k与m的值；（2）此双曲线又经过点B(n,2)，过点B的直线BC与直线y＝x＋2平行交y轴于点C，联结AB、AC，求△ABC的面积；（3）在（2）的条件下，设直线y＝x＋2与y轴交于点D，在射线CB上有一点E，如果以点A、C、E所组成的三角形与△ACD相似，且相似比不为1，求点E的坐标．满分解答:（1）将点A(2,m)代入y＝x＋2，得m＝4．所以点A的坐标为(2,4)．将点A(2,4)代入kyx=，得k＝8．（2）将点B (n ,2)，代入8y x=，得n ＝4．所以点B 的坐标为(4,2)．设直线BC 为y ＝x ＋b ，代入点B (4,2)，得b ＝－2．所以点C 的坐标为(0,－2)．由A (2,4)、B (4,2)、C (0,－2)，可知A 、B 两点间的水平距离和竖直距离都是2，B 、C 两点间的水平距离和竖直距离都是4．所以AB＝BC＝，∠ABC ＝90°．所以S △ABC ＝12BA BC ⋅＝12⨯＝8．（3）由A (2,4)、D (0,2)、C (0,－2)，得AD＝AC＝．由于∠DAC ＋∠ACD ＝45°，∠ACE ＋∠ACD ＝45°，所以∠DAC ＝∠ACE ．所以△ACE 与△ACD 相似，分两种情况：①如图3，当CE AD CA AC=时，CE ＝AD＝此时△ACD ≌△CAE ，相似比为1．②如图4，当CE AC CA AD ==CE＝．此时C 、E 两点间的水平距离和竖直距离都是10，所以E (10,8)．图3图4图22.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点D的坐标为（1，﹣），且与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，A点的坐标为（4，0）．P点是抛物线上的一个动点，且横坐标为m．（l）求抛物线所对应的二次函数的表达式；（2）若动点P满足∠PAO不大于45°，求P点的横坐标m的取值范围；（3）当P点的横坐标m＜0时，过P点作y轴的垂线PQ，垂足为Q．问：是否存在P点，使∠QPO=∠BCO？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．3.如图，已知抛物线y=ax2﹣5ax+2（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于点A（1，0）和点B．（1）求抛物线的解析式；（2）求直线BC的解析式；（3）若点N是抛物线上的动点，过点N作NH⊥x轴，垂足为H，以B，N，H为顶点的三角形是否能够与△OBC相似？若能，请求出所有符合条件的点N的坐标；若不能，请说明理由．4.如图1，已知抛物线的方程C 1：1(2)()y x x m m=-+-(m ＞0)与x 轴交于点B 、C ，与y 轴交于点E ，且点B 在点C 的左侧．（1）若抛物线C 1过点M (2,2)，求实数m 的值；（2）在（1）的条件下，求△BCE 的面积；（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H ，使得BH ＋EH 最小，求出点H 的坐标；（4）在第四象限内，抛物线C 1上是否存在点F ，使得以点B 、C 、F 为顶点的三角形与△BCE 相似？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由．满分解答（1）将M (2,2)代入1(2)()y x x m m =-+-，得124(2)m m=-⨯-．解得m ＝4．（2）当m ＝4时，2111(2)(4)2442y x x x x =-+-=-++．所以C (4,0)，E (0,2)．所以S △BCE ＝1162622BC OE ⋅=⨯⨯=．（3）如图2，抛物线的对称轴是直线x ＝1，当H 落在线段EC 上时，BH ＋EH 最小．设对称轴与x 轴的交点为P ，那么HP EO CP CO=．因此234HP =．解得32HP =．所以点H 的坐标为3(1,)2．（4）①如图3，过点B 作EC 的平行线交抛物线于F ，过点F 作FF ′⊥x 轴于F ′．由于∠BCE ＝∠FBC ，所以当CE BC CB BF =，即2BC CE BF =⋅时，△BCE ∽△FBC ．设点F 的坐标为1(,(2)())x x x m m -+-，由''FF EO BF CO =，得1(2)()22x x m m x m+-=+．解得x ＝m ＋2．所以F ′(m ＋2,0)．由'CO BF CE BF =4m BF +=．所以(m BF m +=．由2BC CE BF =⋅，得2(2)m +=．整理，得0＝16．此方程无解．图2图3图4②如图4，作∠CBF ＝45°交抛物线于F ，过点F 作FF ′⊥x 轴于F ′，由于∠EBC ＝∠CBF ，所以BE BC BC BF=，即2BC BE BF =⋅时，△BCE ∽△BFC ．在Rt △BFF′中，由FF ′＝BF ′，得1(2)()2x x m x m +-=+．解得x ＝2m ．所以F ′(2,0)m ．所以BF′＝2m ＋2，2)BF m =+．由2BC BE BF =⋅，得2(2)2)m m +=+．解得2m =±综合①、②，符合题意的m为2+．5.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=mx2﹣8mx+4m+2（m＞2）与y轴的交点为A，与x轴的交点分别为B（x1，0），C（x2，0），且x2﹣x1=4，直线AD∥x轴，在x轴上有一动点E（t，0）过点E作平行于y轴的直线l与抛物线、直线AD的交点分别为P、Q．（1）求抛物线的解析式；（2）当0＜t≤8时，求△APC面积的最大值；（3）当t＞2时，是否存在点P，使以A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．6．如图，抛物线y=x2+mx+n与直线y=﹣x+3交于A，B两点，交x轴与D，C两点，连接AC，BC，已知A（0，3），C（3，0）．（Ⅰ）求抛物线的解析式和tan∠BAC的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下：（1）P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．（2）设E为线段AC上一点（不含端点），连接DE，一动点M从点D出发，沿线段DE以每秒一个单位速度运动到E点，再沿线段EA以每秒个单位的速度运动到A后停止，当点E的坐标是多少时，点M在整个运动中用时最少？7．如图，已知二次函数(其中0＜m＜1)的图像与x轴交于A、B两点(点A在点B 的左侧)，与y轴交于点C，对称轴为直线l．设P为对称轴l上的点，连接PA、PC，PA=P C．(1)∠ABC的度数为°；(2)求P点坐标(用含m的代数式表示)；(3)在坐标轴上是否存在点Q(与原点O不重合)，使得以Q、B、C为顶点的三角形与△PAC相似，且线段PQ的长度最小？如果存在，求出所有满足条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．8.如图，抛物线与x轴交于点A（﹣，0）、点B（2，0），与y轴交于点C（0，1），连接B C．（1）求抛物线的函数关系式；（2）点N为抛物线上的一个动点，过点N作NP⊥x轴于点P，设点N的横坐标为t（﹣＜t＜2），求△ABN的面积S与t的函数关系式；（3）若﹣＜t＜2且t≠0时△OPN∽△COB，求点N的坐标．9.如图1，在平面直角坐标系xOy 中，顶点为M 的抛物线y ＝ax 2＋bx （a ＞0）经过点A 和x 轴正半轴上的点B ，AO ＝BO ＝2，∠AOB ＝120°．（1）求这条抛物线的表达式；（2）连结OM ，求∠AOM 的大小；（3）如果点C 在x 轴上，且△ABC 与△AOM 相似，求点C 的坐标．10.如图1，已知抛物线211(1)444b y x b x =-++（b 是实数且b ＞2）与x 轴的正半轴分别交于点A 、B （点A 位于点B 是左侧），与y 轴的正半轴交于点C ．（1）点B 的坐标为______，点C 的坐标为__________（用含b 的代数式表示）；（2）请你探索在第一象限内是否存在点P ，使得四边形PCOB 的面积等于2b ，且△PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ，使得△QCO 、△QOA 和△QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．图1满分解答（1）B 的坐标为(b ,0)，点C 的坐标为(0,4b )．（2）如图2，过点P 作PD ⊥x 轴，PE ⊥y 轴，垂足分别为D 、E ，那么△PDB ≌△PEC ．因此PD ＝PE ．设点P 的坐标为(x,x)．如图3，联结OP ．所以S 四边形PCOB ＝S △PCO ＋S △PBO ＝1152428b x b x bx ⨯⋅+⨯⋅=＝2b ．解得165x =．所以点P 的坐标为(1616,55)．图2图3（3）由2111(1)(1)()4444b y x b x x x b =-++=--，得A (1,0)，OA ＝1．①如图4，以OA 、OC 为邻边构造矩形OAQC ，那么△OQC ≌△QOA ．当BA QA QA OA=，即2QA BA OA =⋅时，△BQA ∽△QOA ．所以2()14b b =-．解得843b =±Q 为(1,23+)．②如图5，以OC 为直径的圆与直线x ＝1交于点Q ，那么∠OQC ＝90°。
2018年广州中考数学压轴题真题
2018年广州中考数学压轴题真题题型特点三角形的存在性问题是一类考查是否存在点，使其能构成某种特殊三角形的问题，如：直角三角形、等腰三角形、全等三角形及相似三角形的存在性．常结合动点、函数与几何，考查分类讨论、画图及建等式计算．解题思路①由判定定理确定三角形所满足的特殊关系；②分类讨论，画图；③建等式，对结果验证取舍．对于目标三角形不确定、点的位置难以寻找等存在性问题的思考方向为：①从角度入手，通过角的对应关系尝试画出一种情形．②解决第一种情形．能根据几何特征表达线段长的，借助对应边成比例、或线段长转坐标代入函数表达式求解；不能直接表达线段长的，观察点的位置，考虑联立函数表达式求解．③分类讨论，类比解决其他情形．分类时，先考虑点的位置，再考虑对应关系，用同样方法解决问题．难点拆解①直角三角形关键是用好直角，可考虑：勾股定理逆定理、弦图模型、直线k值乘积为 1；②等腰三角形可考虑直接表达线段长，利用两腰相等建等式，或借助三线合一找相似建等式；③全等三角形或相似三角形关键是研究目标三角形的边角关系，进而表达线段长，借助函数或几何特征建等式．④分类不仅要考虑图形存在性的分类，也要考虑点运动的分类．1.（2012云南改编）如图，在平面直角坐标系中，抛物线错误！未找到引用源。
的图象经过点(2，4)，且与直线错误！未找到引用源。
交于A，B两点．（1）求抛物线的函数解析式．（2）过点A 作AC ⊥AB 交x 轴于点C ，求点C 的坐标．（3）除点C 外，在坐标轴上是否存在点M ，使得△MAB 是直角三角形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．y xOC BA yxOC BAy xOC BA2. （2009广西钦州）如图，已知抛物线错误！未找到引用源。
与坐标轴交于A ，B ，C 三点，A 点的坐标为(﹣1，0)，过点C 的直线错误！未找到引用源。
与x 轴交于点Q ，点P 是线段BC 上的一个动点，过P 作PH ⊥OB 于点H ．若PB =5t ，且0<t <1．（1）点C 的坐标是____________，b =_______，c=______． （2）求线段QH 的长（用含t 的式子表示）．（3）依点P 的变化，是否存在t 的值，使以P ，H ，Q 为顶点的三角形与△COQ 相似？若存在，求出所有t 的值；若不存在，说明理由．y x O Q PH CB A A B COxy3. （2012海南）如图，顶点为P (4，﹣4)的二次函数图象经过原点(0，0)，点A在该图象上，OA 交其对称轴l 于点M ，点M ，N 关于点P 对称，连接AN ，ON ． （1）求该二次函数的关系式．（2）若点A 的坐标是(6，﹣3)，求△ANO 的面积．（3）当点A 在对称轴l 右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题：①证明：∠ANM =∠ONM ；②△ANO 能否为直角三角形？如果能，请求出所有符合条件的点A 的坐标；如果不能，请说明理由．NlM AOP x yyxPO l4. （2011湖北天门）在平面直角坐标系中，抛物线错误！未找到引用源。
2018中考数学压轴题探究专题：相似三角形的存在性问题
中考数学解法探究专题相似三角形的存在性问题考题研究：相似三角形的存在性问题是近几年中考数学的热点问题．解相似三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根。
难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使得解的个数不重复不遗漏，也可以使得列方程和解方程又好又快．解题攻略：相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等．判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验。
应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等．应用判定定理3解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）．解题思路：相似三角形存在性问题需要注意的问题：1、若题目中问题为，则对应线段已经确定。
2、若题目中为与相似，则没有确定对应线段，此时有三种情况：①,②、③、3、若题目中为与,并且有、（或为90°），则确定了一条对应的线段，此时有二种情况：①、，②、需要分类讨论上述的各种情况。
例题解析1．如图，已知抛物线y=﹣（x+2）（x﹣m）（m＞0）与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，且点A在点B的左侧．（1）若抛物线过点G（2，2），求实数m的值；（2）在（1）的条件下，解答下列问题：①求出△ABC的面积；②在抛物线的对称轴上找一点H，使AH+CH最小，并求出点H的坐标；（3）在第四象限内，抛物线上是否存在点M，使得以点A、B、M为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．2．图甲，四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D，交y轴于点E，连结AB、AE、BE．已知tan∠CBE=，A（3，0），D（﹣1，0），E（0，3）．（1）求抛物线的解析式及顶点B的坐标；（2）求证：CB是△ABE外接圆的切线；（3）试探究坐标轴上是否存在一点P，使以D、E、P为顶点的三角形与△ABE 相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c过点B（3，0），C（0，3），D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式以及顶点坐标；（2）如果点C关于抛物线y=﹣x2+bx+c对称轴的对称点为E点，连接BC，BE，求tan∠CBE的值；（3）点M是抛物线对称轴上一点，且△DAM和△BCE相似，求点M坐标．4．在平面直角坐标系xoy中，一块含60°角的三角板作如图摆放，斜边AB在x 轴上，直角顶点C在y轴正半轴上，已知点A（﹣1，0）．（1）请直接写出点B、C的坐标：B（，）、C（，）；并求经过A、B、C三点的抛物线解析式；（2）现有与上述三角板完全一样的三角板DEF（其中∠EDF=90°，∠DEF=60°），把顶点E放在线段AB上（点E是不与A、B两点重合的动点），并使ED所在直线经过点C．此时，EF所在直线与（1）中的抛物线交于第一象限的点M．连接MB和MC，当△OCE∽△OBC时，判断四边形AEMC的形状，并给出证明；（3）有一动点P在（1）中的抛物线上运动，是否存在点P，以点P为圆心作圆能和直线AC和x轴同时相切？若存在，求出圆心P的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，在矩形ABCD中，AO=10，AB=8，分别以OC、OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，点D（3，10）、E（0，6），抛物线y=ax2+bx+c经过O，D，C三点．（1）求抛物线的解析式；（2）一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似？（3）点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使四边形MENC是平行四边形？若存在，请直接写出点M与点N的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由．6．如图，抛物线C1：y=ax2+bx+4与x轴交于A（﹣3，0），B两点，与y轴交于点C，点M（﹣，5）是抛物线C1上一点，抛物线C2与抛物线C1关于y轴对称，点A、B、M关于y轴的对称点分别为点A′、B′、M′．（1）求抛物线C1的解析式；（2）过点M′作M′Ｅ⊥x轴于点E，交直线A′Ｃ于点D，在x轴上是否存在点P，使得以A′、D、P为顶点的三角形与△AB′Ｃ相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，已知抛物线y=﹣x2+2x的顶点为A，直线y=x﹣2与抛物线交于B，C两点．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）作CD⊥x轴于点D，求证：△ODC∽△ABC；（3）若点P为抛物线上的一个动点，过点P作PM⊥x轴于点M，则是否还存在除C点外的其他位置的点，使以O，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出这样的P点坐标；若不存在，请说明理由．8．如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P以1cm/秒的速度沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q以2cm/秒的速度沿BC运动到点C时停止．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（其中曲线OG为抛物线的一部分，其余各部分均为线段）．（1）试根据图（2）求0＜t≤5时，△BPQ的面积y关于t的函数解析式；（2）求出线段BC、BE、ED的长度；（3）当t为多少秒时，以B、P、Q为顶点的三角形和△ABE相似；（4）如图（3）过E作EF⊥BC于F，△BEF绕点B按顺时针方向旋转一定角度，如果△BEF中E、F的对应点H、I恰好和射线BE、CD的交点G在一条直线，求此时C、I两点之间的距离．9．如图，已知抛物线y=ax2﹣x+c的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点为A （﹣1，0），顶点为B．点C（5，m）在抛物线上，直线BC交x轴于点E．（1）求抛物线的表达式及点E的坐标；（2）联结AB，求∠B的正切值；（3）点G为线段AC上一点，过点G作CB的垂线交x轴于点M（位于点E右侧），当△CGM与△ABE相似时，求点M的坐标．10．如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A（1，1），且与直线y=x﹣2交于B，C两点．（1）求抛物线的解析式及点B、C的坐标；（2）求△ABC的内切圆半径；（3）若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）设点P是位于直线BC下方的抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线交直线BC于点Q，求线段PQ的最大值；（3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴与直线BC交于点M，问是否存在点P，使以M、P、Q为顶点的三角形与△CBO相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．12．已知某二次函数的图象与x轴分别相交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），与y轴相交于C（0，﹣3m）（m＞0），顶点为点D．（1）求该二次函数的解析式（系数用含m的代数式表示）；（2）如图①，当m=2时，点P为第三象限内抛物线上的一个动点，设△APC的面积为S，试求出S与点P的横坐标x之间的函数关系式及S的最大值；（3）如图②，当m取何值时，以A、D、C三点为顶点的三角形与△OBC相似？13．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+3与x轴相交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB=OC，点D是抛物线的顶点，直线AC和BD交于点E．（1）求点D的坐标；（2）连接CD、BC，求∠DBC余切值；（3）设点M在线段CA的延长线上，如果△EBM和△ABC相似，求点M的坐标．14．如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于M点．（1）求抛物线的函数解析式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求PA+PC长；（3）在直线l上是否存在点Q，使以M、O、Q为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+4与x轴的正半轴相交于点A，与y轴相交于点B，点C在线段OA上，点D在此抛物线上，CD⊥x轴，且∠DCB=∠DAB，AB与CD相交于点E．（1）求证：△BDE∽△CAE；（2）已知OC=2，tan∠DAC=3，求此抛物线的表达式．参考答案与试题解析一．解答题（共15小题）1．如图，已知抛物线y=﹣（x+2）（x﹣m）（m＞0）与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，且点A在点B的左侧．（1）若抛物线过点G（2，2），求实数m的值；（2）在（1）的条件下，解答下列问题：①求出△ABC的面积；②在抛物线的对称轴上找一点H，使AH+CH最小，并求出点H的坐标；（3）在第四象限内，抛物线上是否存在点M，使得以点A、B、M为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）把点G的坐标代入抛物线的解析式中可求得m的值；（2）①根据（1）中的m值写出抛物线的解析式，分别求抛物线与x轴和y轴的交点坐标，根据坐标特点写出AB和OC的长，利用三角形面积公式求△ABC 的面积；②由对称性可知：x=1，点A和B关于抛物线的对称轴对称，所以由轴对称的最短路径可知：连接BC与对称轴的交点即为点H，依据待定系数法可求得直线BC 的解析式，将x=1代入得：y=，则点H的坐标为（1，）；（3）在第四象限内，抛物线上存在点M，使得以点A、B、M为顶点的三角形与△ACB相似，根据∠ACB与∠ABM为钝角，分两种情况考虑：①当△ACB∽△ABM 时；②当△ACB∽△MBA时，利用相似三角形的判定与性质，确定出m的值即可．【解答】解：（1）把点G（2，2）代入抛物线y=﹣（x+2）（x﹣m）中得：2=﹣（2+2）（2﹣m），m=4；（2）①由（1）得抛物线的解析式为：y=﹣（x+2）（x﹣4），当x=0时，y=﹣（0+2）（0﹣4）=2，∴C（0，2），∴OC=2，当y=0时，﹣（x+2）（x﹣4）=0，x=﹣2或4，∴A（﹣2，0），B（4，0），∴AB=2+4=6，∴S△ABC=AB?OC=×6×2=6；则△ABC的面积是6；②∵A（﹣2，0），B（4，0），由对称性得：抛物线的对称轴为：x=1，∵点A和B关于抛物线的对称轴对称，∴连接BC与对称轴的交点即为点H，此时AH+CH为最小，设直线BC的解析式为：y=kx+b，把B（4，0），C（0，2）代入得：，解得：，∴直线BC的解析式为：y=﹣x+2，当x=1时，y=，∴H（1，）；（3）存在符合条件的点M，由图形可知：∠ACB与∠ABM为钝角，分两种情况考虑：①当△ACB∽△ABM时，则有，即AB2=AC?AM，∵A（﹣2，0），C（0，2），即OA=OC=2，∴∠CAB=45°，∠BAM=45°，如图2，过M作MN⊥x轴于N，则AN=MN，∴OA+ON=2+ON=MN，设M（x，﹣x﹣2）（x＞0），把M坐标代入抛物线解析式得：﹣x﹣2=﹣（x+2）（x﹣m），∵x＞0，∴x+2＞0，∵m＞0，∴x=2m，即M（2m，﹣2m﹣2），∴AM==2（m+1），∵AB2=AC?AM，AC=2，AB=m+2，∴（m+2）2=2 ?2（m+1），解得：m=2±2，∵m＞0，∴m=2+2；②当△ACB∽△MBA时，则，即AB2=CB?MA，∵∠CBA=∠BAM，∠ANM=∠BOC=90°，∴△ANM∽△BOC，∴，∵OB=m，设ON=x，∴=，即MN=（x+2），令M[x，﹣（x+2）]（x＞0），把M坐标代入抛物线解析式得：﹣（x+2）=﹣（x+2）（x﹣m），同理解得：x=m+2，即M[m+2，﹣（m+4）]，∵AB2=CB?MA，CB=，AN=m+4，MN=（m+4），∴（m+2）2=?，整理得：=0，显然不成立，综上，在第四象限内，当m=2 +2时，抛物线上存在点M，使得以点A、B、M为顶点的三角形与△ACB相似．2．图甲，四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D，交y轴于点E，连结AB、AE、BE．已知tan∠CBE=，A（3，0），D（﹣1，0），E（0，3）．（1）求抛物线的解析式及顶点B的坐标；（2）求证：CB是△ABE外接圆的切线；（3）试探究坐标轴上是否存在一点P，使以D、E、P为顶点的三角形与△ABE 相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣3），将点E（0，3）代入抛物线的解析式求得a的值，从而可得到抛物线的解析式；（2）过点B作BF⊥y轴，垂足为F．先依据配方法可求得点B的坐标，然后依据点A、B、E三点的坐标可知△BFE和△EAO为等腰直角三角形，从而可证明△BAE为直角三角形，接下来证明△BFE∽△EOA，由相似三角形的性质可证明=，从而可得到∠CBE=∠EAB，于是可证明∠CBA=90°，故此CB是△ABE 的外接圆的切线；（3）过点D作DP′⊥DE，交y轴与点P′，过点E作EP″⊥DE，交x轴与点P″．然后证明△DEO、△P′DO、△EP″Ｏ均与△BAE相似，然后依据相似三角形的性质分别可求得DO、OP′、OP″的长度，从而可求得点P的坐标．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣3）．∵将点E（0，3）代入抛物线的解析式得：﹣3a=3，∴a=﹣1．∴抛物线的解析式为y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3．∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴B（1，4）．（2）如图1所示：过点B作BF⊥y轴，垂足为F．∵A（3，0），E（0，3），∴OE=OA=3．∴∠OEA=45°．∵E（0，3），B（1，4），∴EF=BF．∴∠FEB=45°．∴∠BEA=90°．∴AB为△ABE的外接圆的直径．∵∠FEB=∠OEA=45°，∠EOA=∠BFE，∴△BFE∽△AOE．∴tan∠EAB==．∵tan∠CBE=，∴∠CBE=∠EAB．∵∠EAB+∠EBA=90°，∴∠CBE+∠EBA=90°，即∠CBA=90°．∴CB是△ABE的外接圆的切线．（3）如图2所示：∵且∠DOE=∠BEA=90°，∴△EOD∽△AEB．∴当点P与点O重合时，△EPD∽△AEB．∴点P的坐标为（0，0）．过点D作DP′⊥DE，交y轴与点P′．∵∠P′ED=∠DEO，∠DOE=∠EDP′，∴△EDP′∽△EOD．又∵△EOD∽△AEB，∴△EDP′∽△AEB．∵∠ODP′+∠OP′D=90°，∠DEP′+∠OP′D=90°，∴∠ODP′＝∠DEP′．∴=，即．∴OP′＝．∴点P′的坐标为（0，﹣）．过点E作EP″⊥DE，交x轴与点P″．∵∠EDP″＝∠EDO，∠EOD=∠DEP″，∴△EDO∽△P″DE．∵又∵△EOD∽△AEB，∴△EDP″∽△AEB．∴∠EP″O=∠BAE．∴tan∠EP″O==，即=．∴OP″=9．∴P″（9，0）．综上所述，点P的坐标为（0，0）或（0，﹣）或（9，0）．3．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c过点B（3，0），C（0，3），D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式以及顶点坐标；（2）如果点C关于抛物线y=﹣x2+bx+c对称轴的对称点为E点，连接BC，BE，求tan∠CBE的值；（3）点M是抛物线对称轴上一点，且△DAM和△BCE相似，求点M坐标．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）利用待定系数法求抛物线，然后把解析式配成顶点式，从而得到D 的坐标；（2）先利用抛物线的对称性得到E（2，3），作EH⊥BC于H，如图1，易得△OBC为等腰直角三角形得到∠OCB=45°，BC=OB=3，接着判断△CHE为等腰直角三角形得到CH=EH=CE=，所以BH=2，然后利用正切的定义求解；（3）直线x=﹣1交x轴于F，如图2，解方程﹣x2+2x+3=0得A（﹣1，0），再利用正切定义得到tan∠AD=，所以∠CBE=∠ADF，根据相似三角形的判定方法，当点M在点D的下方时，设M（1，m），当=时，△DAM∽△BCE；当=时，△DAM∽△BEC，于是利用相似比得到关于m的方程，解方程求出m即可得到对应的M点的坐标；当点M在D点上方时，则∠ADM与∠CBE互补，则可判断△DAM和△BCE不相似，【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c过点B（3，0），C（0，3），∴，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3，∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D的坐标为（1，4）；（2）抛物线的对称轴为直线x=1，∵点C与E点为抛物线上的对称点，∴E（2，3），作EH⊥BC于H，如图1，∵OC=OB，∴△OBC为等腰直角三角形，∴∠OCB=45°，BC=OB=3，∴∠ECB=45°，∴△CHE为等腰直角三角形，∴CH=EH=CE=，∴BH=BC﹣CH=2，在Rt△BEH中，tan∠EBH===，即tan∠CBE的值为；（3）直线x=﹣1交x轴于F，如图2，当y=0时，﹣x2+2x+3=0，解得x1=﹣1，x2=3，则A（﹣1，0）∵A（﹣1，0），D（1，4），∴AF=2，DF=4，∴tan∠ADF==，而tan∠CBE=，∴∠CBE=∠ADF，AD==2，BE==，BC=3，当点M在点D的下方时，设M（1，m），当=时，△DAM∽△BCE，即=，解得m=，此时M点的坐标为（1，）；当=时，△DAM∽△BEC，即=，解得m=﹣2，此时M点的坐标为（1，﹣2）；当点M在D点上方时，则∠ADM与∠CBE互补，则△DAM和△BCE不相似，综上所述，满足条件的点M坐标为（1，），（1，﹣2）．4．在平面直角坐标系xoy中，一块含60°角的三角板作如图摆放，斜边AB在x 轴上，直角顶点C在y轴正半轴上，已知点A（﹣1，0）．（1）请直接写出点B、C的坐标：B（3，0）、C（0，）；并求经过A、B、C三点的抛物线解析式；（2）现有与上述三角板完全一样的三角板DEF（其中∠EDF=90°，∠DEF=60°），把顶点E放在线段AB上（点E是不与A、B两点重合的动点），并使ED所在直线经过点C．此时，EF所在直线与（1）中的抛物线交于第一象限的点M．连接MB和MC，当△OCE∽△OBC时，判断四边形AEMC的形状，并给出证明；（3）有一动点P在（1）中的抛物线上运动，是否存在点P，以点P为圆心作圆能和直线AC和x轴同时相切？若存在，求出圆心P的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）利用解直角三角形求出OC的长度，再求出OB的长度，从而可得点B、C的坐标，然后利用待定系数法求二次函数解析式解答；（2）根据相似三角形对应边成比例列式求出OE的长度，再根据点A的坐标求出AO的长度，进而∠MEB=∠AEC=60°．即可得出结论；（3）分在x轴上方和x轴上方两种情况，利用含30°的直角三角形的性质即可得出结论．【解答】解：（1）∵点A（﹣1，0），∴OA=1，由图可知，∠BAC是三角板的60°角，∠ABC是30°角，所以，OC=OA?t a n60°=1×=，OB=OC?cot30°＝×=3，所以，点B（3，0），C（0，），设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，则，解得，所以，抛物线的解析式为y=﹣x2+x+；故答案为：3，0，0，；学科网（2）四边形AEMC是菱形．∵△OCE∽△OBC，∴，即，解得OE=1，∴E（1，0）在抛物线对称轴上，∴△CAE为等边三角形，∴∠AEC=∠A=60°．又∵∠CEM=60°，∴∠MEB=∠AEC=60°．∴点C与点M关于抛物线的对称轴（x=1）对称．C（0，），∴M（2，）．∴MC=AE=2，MC∥AE∴四边形AEMC是平行四边形．∵AC=CM=2∴四边形AEMC是菱形．（3）由⊙P与直线AC和x轴同时相切，易知点P在两线夹角的平分线上，①当在x轴上方时，如图，∠PAO=30°，设点P坐标为（m，﹣m2+m+），过P作PQ⊥x轴，交点为Q，则AQ=PQ，得m+1=（﹣m2+m+）解得，m1=2，m2=﹣1（舍去），所以点P坐标为（2，）②当在x轴下方时，∠PAO=60°，设点P坐标为（n，﹣n2+n+），过P'作P'Q'⊥x轴，交点为Q'，则AQ'=P'Q'，得（n+1）=﹣（﹣n2+n+）解得，n1=6，n2=﹣1（舍去），所以点P坐标为（6，﹣7）综上所述，存在点P满足条件，点P坐标为（2，）或（6，﹣7）．5．如图，在矩形ABCD中，AO=10，AB=8，分别以OC、OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，点D（3，10）、E（0，6），抛物线y=ax2+bx+c经过O，D，C三点．（1）求抛物线的解析式；（2）一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似？（3）点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使四边形MENC是平行四边形？若存在，请直接写出点M与点N的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）由矩形的性质可求得C点坐标，再利用待定系数法可求得抛物线的解析式；（2）用t可分别表示出CQ、PC的长，当∠PQC=∠DAE=90°，有△ADE∽△QPC；当∠QPC=∠DAE=90°，有△ADE∽△PQC，利用相似三角形的性质可分别得到关于t的方程，可求得t的值；（3）由题意可知CE为平行四边形的对角线，根据抛物线的对称性可知当M为抛物线顶点时满足条件，再由平行四边形的性质可知线段MN被线段EC平分，可求得N点坐标．【解答】解：（1）∵四边形ABCO为矩形，∴∠OAB=∠AOC=∠B=90°，AB=CO=8，AO=BC=10．∴C（8，0），∵抛物线y=ax2+bx+c过点D（3，10），C（8，0），O（0，0），∴，解得，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x；（2）∵∠DEA+∠OEC=90°，∠OCE+∠OEC=90°，∴∠DEA=∠OCE，由（1）可得AD=3，AE=4，DE=5．而CQ=t，EP=2t，∴PC=10﹣2t．当∠PQC=∠DAE=90°，△ADE∽△QPC，∴=，即=，解得t=．当∠QPC=∠DAE=90°，△ADE∽△PQC，∴=，即=，解得t=．∴当t的或时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似；（3）存在符合条件的M、N点，EC为平行四边形的对角线，由于抛物线的对称轴经过EC中点，若四边形MENC是平行四边形，那么M点必为抛物线顶点；则M（4，）；而平行四边形的对角线互相平分，那么线段MN必被EC中点（4，3）平分，则N（4，﹣）；∴存在符合条件的M、N点，且它们的坐标为M（4，），N（4，﹣）．6．如图，抛物线C1：y=ax2+bx+4与x轴交于A（﹣3，0），B两点，与y轴交于点C，点M（﹣，5）是抛物线C1上一点，抛物线C2与抛物线C1关于y轴对称，点A、B、M关于y轴的对称点分别为点A′、B′、M′．（1）求抛物线C1的解析式；（2）过点M′作M′Ｅ⊥x轴于点E，交直线A′Ｃ于点D，在x轴上是否存在点P，使得以A′、D、P为顶点的三角形与△AB′Ｃ相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）把A（﹣3，0），M（﹣，5）代入y=ax2+bx+4，得到关于a、b 的二元一次方程组，解方程组求出a、b的值，即可得到抛物线C1的解析式；（2）根据抛物线C1的解析式求出B（1，0），C（0，4）．根据关于y轴对称的两点坐标特征以及抛物线的对称性得出M′（，5），B′（﹣1，0），A′（3，0），∠∠CA′Ａ，那么AB′=2．利用待定系数法求出直线A′Ｃ的解析式，求出D（，CAA′＝2）．由勾股定理得出AC==5，DA′＝=．设P（m，0）．分m＜3与m＞3两种情况讨论即可．【解答】解：（1）把A（﹣3，0），M（﹣，5）代入y=ax2+bx+4得，，解得，所以抛物线C1的解析式为y=﹣x2﹣x+4；学科网（2）令y=0，则﹣x2﹣x+4=0，解得x1=﹣3，x2=1，∴B（1，0），令x=0，则y=4，∴C（0，4）．由题意，知M′（，5），B′（﹣1，0），A′（3，0），∠CAA′＝∠CA′Ａ，∴AB′=2．设直线A′Ｃ的解析式为y=px+q．把A′（3，0），C（0，4）代入，得，解得，∴y=﹣x+4，当x=时，y=﹣×+4=2，∴D（，2）．由勾股定理得，AC==5，DA′＝=．设P（m，0）．当m＜3时，此时点P在点A′的左边，若=，即有△DA′Ｐ∽△CAB′，∴=（3﹣m），解得m=2，∴P（2，0）．若=，即有△DA′Ｐ∽△B′AC，∴=（3﹣m），解得m=﹣，∴P（﹣，0）．当m＞3时，此时点P在点A′的右边，∵∠CB′Ｏ≠∠DA′Ｅ，∴∠AB′Ｃ≠∠DA′Ｐ，∴此情况，△DA′Ｐ与△B′AC不能相似．综上所述，存在点P（2，0）或（﹣，0）满足条件．7．如图，已知抛物线y=﹣x2+2x的顶点为A，直线y=x﹣2与抛物线交于B，C两点．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）作CD⊥x轴于点D，求证：△ODC∽△ABC；（3）若点P为抛物线上的一个动点，过点P作PM⊥x轴于点M，则是否还存在除C点外的其他位置的点，使以O，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出这样的P点坐标；若不存在，请说明理由．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）把抛物线解析式化为顶点式可求得A点坐标，联立直线与抛物线解析式，解方程组，可求得B、C的坐标；（2）由A、B、C三点的坐标可求得AB、BC和AC的长，可判定△ABC为直角三角形，且可得=，可证得结论；（3）设M（x，0），则P（x，﹣x2+2x），从而可表示出OM和PM的长，分=和=两种情况，分别得到关于x的方程，可求得x的值，可求得P点坐标．【解答】解：（1）∵y=﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+1，∴A（1，1），联立直线与抛物线解析式可得，解得或，∴B（2，0），C（﹣1，﹣3）；（2）证明：∵A（1，1），B（2，0），C（﹣1，﹣3），∴AB==，BC==3，AC==2，∴AB2+BC2=2+18=20=AC2，∴△ABC是以AC为斜边的直角三角形，∴∠ABC=∠ODC，∵C（﹣1，﹣3），∴OD=1，CD=3，∴==，∴△ODC∽△ABC；（3）设M（x，0），则P（x，﹣x2+2x），∴OM=|x|，PM=|﹣x2+2x|，∵∠OMP=∠ABC=90°，∴当以△OPM与△ABC相似时，有=或=两种情况，①当=时，则=，解得x=或x=，此时P点坐标为（，）或（，﹣）；②当=时，则=，解得x=5或x=﹣1（与C点重合，舍去），此时P点坐标为（5，﹣15）；综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（，）或（，﹣）或（5，﹣15）．8．如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P以1cm/秒的速度沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q以2cm/秒的速度沿BC运动到点C时停止．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（其中曲线OG为抛物线的一部分，其余各部分均为线段）．（1）试根据图（2）求0＜t≤5时，△BPQ的面积y关于t的函数解析式；（2）求出线段BC、BE、ED的长度；（3）当t为多少秒时，以B、P、Q为顶点的三角形和△ABE相似；（4）如图（3）过E作EF⊥BC于F，△BEF绕点B按顺时针方向旋转一定角度，如果△BEF中E、F的对应点H、I恰好和射线BE、CD的交点G在一条直线，求此时C、I两点之间的距离．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）观察图象可知，AD=BC=5×2=10，BE=1×10=10，ED=4×1=4，AE=10﹣4=6在Rt△ABE中，AB===8，如图1中，作PM⊥BC于M．由△ABE∽△MPB，得=，求出PM，根据△BPQ的面积y=?BQ?PM计算即可问题．（2）观察图象（1）（2），即可解决问题．（3）分三种情形讨论①P在BE上，②P在DE上，③P在CD上，分别求解即可．（4）由∠BIH=∠BCG=90°，推出B、I、C、G四点共圆，推出∠BGH=∠BCI，由△GBH∽△CBI，可得=，由此只要求出GH即可解决问题．【解答】解：（1）观察图象可知，AD=BC=5×2=10，BE=1×10=10，ED=4×1=4，AE=10﹣4=6在Rt△ABE中，AB===8，如图1中，作PM⊥BC于M．∵△ABE∽△MPB，∴=，∴=，∴PM=t，当0＜t≤5时，△BPQ的面积y=?BQ?PM=?2t?t=t2．（2）由（1）可知BC=BE=10，ED=4．（3）①当P在BE上时，点C在C处时，∵BE=BC=10，∴当AE=AP=6时，△PQB与△ABE相似，∴t=6．②当点P在ED上时，观察图象可知，不存在△．③当点P在DC上时，设PC=a，当=时，∴=，∴a=，此时t=10+4+（8﹣）=14.5，∴t=14.5s时，△PQB与△ABE相似．（4）如图3中，设EG=m，GH=n，∵DE∥BC，∴=，∴=，∴m=，在Rt△BIG中，∵BG2=BI2+GI2，∴（）2=62+（8+n）2，∴n=﹣8+或﹣8﹣（舍弃），∵∠BIH=∠BCG=90°，∴B、I、C、G四点共圆，∴∠BGH=∠BCI，∵∠GBF=∠HBI，∴∠GBH=∠CBI，∴△GBH∽△CBI，（也可以先证明△BFI∽△GFC，想办法推出△GFB∽△CFI，推出∠BGH=∠BCI）。
2018年初中中考专题相似三角形
2018中考数学专题相像形（共40题）1．如图，△ABC和△ADE是有公共极点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点P为射线BD，CE的交点．（1）求证：BD=CE；（2）若AB=2，AD=1，把△ADE绕点A旋转，当∠EAC=90°时，求PB的长；（2．如图，直角△ABC中，∠BAC=90°，D在BC上，连结AD，作BF⊥AD分别交AD于E，AC于F．（1）如图1，若BD=BA，求证：△ABE≌△DBE；（2）如图2，若BD=4DC，取AB的中点G，连结CG交AD于M，求证：①GM=2MC；（②AG2=AF?AC．（（（（（（（（（（3．如图，在锐角三角形 ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，（AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC．（1）求证：△ADE∽△ABC；（2）若AD=3，AB=5，求的值．4．如图，点E是正方形ABCD的边BC延伸线上一点，连结 DE，过极点B作BFDE，垂足为F，BF分别交AC于H，交CD于G．（1）求证：BG=DE；（2）若点G为CD的中点，求的值．（5．（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，AE⊥BF于点M，（求证：AE=BF；（2）如图2，将（1）中的正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=2，BC=3，AE⊥BF（于点M，研究AE与BF的数目关系，并证明你的结论．（（（（（（（（（（（6．如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，AC均分∠BAD，点P是AC延伸线上一点，且PD⊥AD．（1）证明：∠BDC=∠PDC；（2）若AC与BD订交于点E，AB=1，CE：CP=2：3，求AE的长．7．△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的极点E与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB订交于点P，线段EF与射线CA订交于点Q．1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE；2）如图②，当点Q在线段CA的延伸线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP=2，CQ=9时BC的长．8．如图，在矩形ABCD中，E为AB边上一点，EC均分∠DEB，F为CE的中点，连结AF，BF，过点E作EH∥BC分别交AF，CD于G，H两点．1）求证：DE=DC；2）求证：AF⊥BF；3）当AF?GF=28时，请直接写出CE的长．9．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，过点B的直线MN∥AC，D为BC边上一点，连接AD，作DE⊥AD交MN于点E，连结AE．（1）如图1，当∠ABC=45°时，求证：AD=DE；（2）如图2，当∠ABC=30°时，线段AD与DE有何数目关系？并请说明原因．10．如图1，边长为2的正方形ABCD中，E是BA延伸线上一点，且AE=AB，点P从点D出发，以每秒1个单位长度沿D→C→B向终点B运动，直线EP交AD于点F，过点F作直线FG⊥DE于点G，交AB于点R．1）求证：AF=AR；2）设点P运动的时间为t，①求当t为何值时，四边形PRBC是矩形？②如图2，连结PB．请直接写出使△PRB是等腰三角形时t的值．11．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD订交于点O，延伸CB至点F，使CF=CA，连结AF，∠ACF 的均分线分别交AF，AB，BD于点E，N，M，连结EO．1）已知BD=，求正方形ABCD的边长；2）猜想线段EM与CN的数目关系并加以证明．12．将两块全等的三角板如图1摆放，此中∠A1CB1=∠ACB=90°，∠A1=∠A=30°．（1）将图1中△A11绕点顺时针旋转°得图，点1是A1与AB的交点，BC452P点Q是A1B1与BC的交点，求证：CP；1=CQ（2）在图2中，若AP1=a，则CQ等于多少？（3）将图2中△A1B1C绕点C顺时针旋转到△A2B2C（如图3），点P2是A2C与AP1的交点．当旋转角为多少度时，有△AP1C∽△CP1P2？这时线段CP1与P1P2之间存在一个如何的数目关系？．13．把Rt△ABC和Rt△DEF按如图（1）摆放（点C与E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．已知：∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8cm，BC=6cm，EF=10cm．如图（2），△DEF从图（1）的地点出发，以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速挪动，在△DEF挪动的同时，点P从△ABC的极点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速挪动；当点P挪动到点B时，点P停止挪动，△DEF也随之停止挪动．DE与AC交于点Q，连结PQ，设挪动时间为t（s）．1）用含t的代数式表示线段AP和AQ的长，并写出t的取值范围；2）连结PE，设四边形APEQ的面积为y（cm2），尝试究y的最大值；3）当t为何值时，△APQ是等腰三角形．14．△ABC，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，一条直线DE与边AC订交于点D，与边AB订交于点E．（1）如图①，若DE将△ABC分红周长相等的两部分，则AD+AE等于多少；（用a、b、c表示）（2）如图②，若 AC=3，AB=5，BC=4．DE将△ABC分红周长、面积相等的两部分，求AD；（3）如图③，若DE将△ABC分红周长、面积相等的两部分，且DE∥BC，则a、b、c知足什么关系？15．已知：如图，四边形ABCD是正方形，∠PAQ=45°，将∠PAQ绕着正方形的极点A旋转，使它与正方形ABCD的两个外角∠EBC和∠FDC的均分线分别交于点M和N，连结MN．1）求证：△ABM∽△NDA；2）连结BD，当∠BAM的度数为多少时，四边形BMND为矩形，并加以证明．16．如图，在锐角△ABC中，D，E分别为AB，BC中点，F为AC上一点，且∠AFE=∠A，DM∥EF交AC于点M．1）点G在BE上，且∠BDG=∠C，求证：DG?CF=DM?EG；2）在图中，取CE上一点H，使∠CFH=∠B，若BG=1，求EH的长．（17．△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC上，∠EDF=∠B．（1）如图1，求证：DE?CD=DF?BE （2）D为BC中点如图2，连结EF．①求证：ED均分∠BEF；②若四边形AEDF为菱形，求∠BAC的度数及的值．18．如图，在△ABC中，点P是AC边上的一点，过点P作与BC平行的直线PQ，交AB于点Q，点D在线段BC上，联接AD交线段PQ于点E，且=，点G在BC延伸线上，∠ACG的均分线交直线PQ于点F．（1）求证：PC=PE；（2）当P是边AC的中点时，求证：四边形AECF是矩形．19．如图，已知△ABC中，AC=BC，点D、E、F分别是线段AC、BC、AD的中点，BF、ED的延伸线交于点G，连结GC．1）求证：AB=GD；（2）如图2，当CG=EG时，求的值．20．如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，线段BE、CD订交于点O，且∠DCB=∠EBC=∠A．（1）求证：△BOD∽△BAE；（2）求证：BD=CE；（3）若M、N分别是BE、CE的中点，过MN的直线交AB于P，交AC于Q，线段AP、AQ相等吗？为何？（（（（（（（（（（（21．如图，在矩形ABCD和矩形PEFG中，AB=8，BC=6，PE=2，PG=4．PE与AC交于点M，EF与AC交于点N，动点P从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，陪伴点P的运动，矩形PEFG在射线AB上滑动；动点K从（点P出发沿折线PE﹣﹣EF以每秒1个单位长的速度匀速运动．点P、K同时开始运动，当点K抵达点F时停止运动，点P也随之停止．设点P、K运动的时间是（秒（t＞0）．（（1）当t=1时，KE=，EN=；（2）当t为何值时，△APM的面积与△MNE的面积相等？（3）当点K抵达点N时，求出t的值；（4）当t为何值时，△PKB是直角三角形？（（（（（（（（（（（22．如图（1），在△ABC中，AD是BC边的中线，过A点作AE∥BC与过D点作（DE∥AB交于点E，连结CE．（1）求证：四边形ADCE是平行四边形．（2）连结BE，AC分别与BE、DE交于点F、G，如图（2），若AC=6，求FG的长．23．已知：在正方形ABCD 中，点E 、F 分别是CB 、CD 延伸线上的点，且 BE=DF ， 联络AE 、AF 、DE 、DE 交AB 于点M ．1）如图1，当E 、A 、F 在向来线上时，求证：点M 为ED 中点；2）如图2，当AF ∥ED ，求证：AM 2=AB?BM ．24．已知，如图1，点D 、E 分别在AB ，AC 上，且 =．（1）求证：DE ∥BC ．（ 2）已知，如图2，在△ABC 中，点D 为边AC 上随意一点，连结BD ，取BD 中点E ，连结CE 并延伸CE 交边AB 于点F ，求证：=．（3）在（2）的条件下，若AB=AC ，AF=CD ，求的值．（ （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ （（25．已知△ABC ，AC=BC ，点E ，F 在直线AB 上，∠ECF=∠A ．（ 1）如图1，点E ，F 在AB 上时，求证：AC 2=AF?BE ；（ 2）如图2，点E ，F 在AB 及其延伸线上，∠A=60°，AB=4，BE=3，求BF 的长．26．如图，正方形ABCD，∠EAF=45°．交BC、CD于E、F，交BD于H、G．1）求证：AD2=BG?DH；2）求证：CE=DG；3）求证：EF=HG．（27．如图，C为线段BD上一动点，过B、D分别作BD的垂线，使AB=BC，DE=DB，连结AD、AC、BE，过B作AD的垂线，垂足为F，连结CE、EF．（1）求证：AC?DF=BF?BD；（2）点C运动的过程中，∠CFE的度数保持不变，求出这个度数；（3）当点C运动到什么地点时，CE∥BF？并说明原因．28．如图，在△ABC中，点D在边AB上（不与A，B重合），DE∥BC交AC于点E，将△ADE沿直线DE翻折，获得△A′DE，直线DA′，EA′分别交直线BC于点M，N．1）求证：DB=DM．2）若=2，DE=6，求线段MN的长．（3）若=n（n≠1），DE=a，则线段MN的长为（用含n的代数式表示）．29．如图，已知四边形ABCD和四边形DEFG为正方形，点E在线段DC上，点A、D、G在同向来线上，且AD=3，DE=1，连结AC、CG、AE，并延伸AE交OG于点H．1）求证：∠DAE=∠DCG．2）求线段HE的长．30．如图，△ABC中，点E、F分别在边AB，AC上，BF与CE订交于点P，且∠1=∠2=∠A．（1）如图1，若AB=AC，求证：BE=CF；（2）若图2，若AB≠AC，①（1）中的结论能否建立？请给出你的判断并说明原因；②求证：=．31．如图1，在锐角△ABC中，D、E分别是AB、BC的中点，点F在AC上，且知足∠AFE=∠A，DM∥EF交AC于点M．1）证明：DM=DA；2）点G在BE上，且∠BDG=∠C，如图2，求证：△DEG∽△ECF；3）在图2中，取CE上一点H，使得∠CFH=∠B，若BG=5，求EH的长．32．如图，正方形ABCD中，边长为12，DE⊥DC交AB于点E，DF均分∠EDC交BC于点F，连结EF．（1）求证：EF=CF；（2）当=时，求EF的长．33．如图，已知在△ABC中，P为边AB上一点，连结CP，M为CP的中点，连接BM并延伸，交AC于点D，N为AP的中点，连结MN．若∠ACP=∠ABD．（1）求证：AC?MN=BN?AP；（2）若AB=3，AC=2，求AP的长．34．如图，已知AC、EC分别为四边形ABCD和EFCG的对角线，点E在△ABC内，CAE+∠CBE=90°，当四边形ABCD和EFCG均为正方形时，连结BF．（1）求证：△CAE∽△CBF；（2）若BE=1，AE=2，求CE的长．35．如图①，矩形ABCD中，AB=2，BC=5，BP=1，∠MPN=90°，将∠MPN绕点P从PB处开始按顺时针方向旋转，PM交边AB（或AD）于点E，PN交边AD（或CD）于点F，当PN旋转至PC处时，∠MPN的旋转随即停止．（1）特别情况：如图②，发现当PM过点A时，PN也恰好过点D，此时，△ABP△PCD （填“≌”或“～”）；（2）类比研究：如图③，在旋转过程中，的值能否为定值？假如，恳求出该定值；若不是，请说明原因．36．如图，点M是△ABC内一点，过点M分别作直线平行于△ABC的各边，所形成的三个小三角形△1、△2、△3（图中暗影部分）的面积分别是1、4、25．则△ABC的面积是．37．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，BC=12，CO⊥AB于点O，D是线段OB上一点，DE=2，ED∥AC（∠ADE＜90°），连结BE、CD．设BE、CD的中点分别为P、Q．1）求AO的长；2）求PQ的长；3）设PQ与AB的交点为M，请直接写出|PM﹣MQ|的值．38．尤秀同学碰到了这样一个问题：如图1所示，已知AF，BE是△ABC的中线，且AF⊥BE，垂足为P，设BC=a，AC=b，AB=c．求证：a2+b2=5c2该同学认真剖析后，获得以下解题思路：先连结EF，利用EF为△ABC的中位线获得△EPF∽△BPA，故，设PF=m，PE=n，用m，n把PA，PB分别表示出来，再在Rt△APE，Rt△BPF中利用勾股定理计算，消去m，n即可得证（1）请你依据以上解题思路帮尤秀同学写出证明过程．（2）利用题中的结论，解答以下问题：在边长为3的菱形ABCD中，O为对角线AC，BD的交点，E，F分别为线段AO，DO的中点，连结BE，CF并延伸交于点M，BM，CM分别交AD于点G，H，如图2所示，求MG2+MH2的值．39．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED=∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且．1）求证：△ADF∽△ACG；2）若，求的值．40．如图，四边形中ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，P为对角线AC延伸线上的随意一点，PF交AD于M，PE交BC于N，EF交MN于K．求证：K是线段MN的中点．参照答案与试题分析（共40题）1．（2017?阿坝州）如图，△ABC和△ADE是有公共极点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点P为射线BD，CE的交点．1）求证：BD=CE；2）若AB=2，AD=1，把△ADE绕点A旋转，当∠EAC=90°时，求PB的长；【解答】解：（1）∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，∠DAB=∠CAE．∴△ADB≌△AEC．BD=CE．2）解：①当点E在AB上时，BE=AB﹣AE=1．∵∠EAC=90°，∴CE==．同（1）可证△ADB≌△AEC．∴∠DBA=∠ECA．∵∠PEB=∠AEC，∴△PEB∽△AEC．=．=．PB=．②当点E在BA延伸线上时，BE=3．∵∠EAC=90°，∴CE==．同（1）可证△ADB≌△AEC．∴∠DBA=∠ECA．∵∠BEP=∠CEA，∴△PEB∽△AEC．=．=．PB=．综上所述，PB的长为或．2．（2017?常德）如图，直角△ABC中，∠BAC=90°，D在BC上，连结AD，作BF AD分别交AD于E，AC于F．1）如图1，若BD=BA，求证：△ABE≌△DBE；2）如图2，若BD=4DC，取AB的中点G，连结CG交AD于M，求证：①GM=2MC；②AG2=AF?AC．【解答】证明：（1）在Rt△ABE和Rt△DBE中，，∴△ABE≌△DBE；（2）①过G作GH∥AD交BC于H，∵AG=BG，∴BH=DH，∵BD=4DC，设DC=1，BD=4，∴BH=DH=2，∵GH∥AD，∴= =，∴GM=2MC；②过C作CN⊥AC交AD的延伸线于N，则CN∥AG，∴△AGM∽△NCM，∴=，由①知GM=2MC，2NC=AG，∵∠BAC=∠AEB=90°，∴∠ABF=∠CAN=90°﹣∠BAE，∴△ACN∽△BAF，=，AB=2AG，∴=，∴2CN?AG=AF?A，AG2=AF?AC．3．（2017?杭州）如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC．（1）求证：△ADE∽△ABC；（2）若AD=3，AB=5，求的值．【解答】解：（1）∵AG⊥BC，AF⊥DE，∴∠AFE=∠AGC=90°，∵∠EAF=∠GAC，∴∠AED=∠ACB，∵∠EAD=∠BAC，∴△ADE∽△ABC，（2）由（1）可知：△ADE∽△ABC，∴=由（1）可知：∠AFE=∠AGC=90°，∴∠EAF=∠GAC，∴△EAF∽△CAG，∴，=4．（2017?眉山）如图，点E是正方形ABCD的边BC延伸线上一点，连结DE，过极点B 作BF⊥DE，垂足为F，BF分别交AC于H，交CD于G．1）求证：BG=DE；（2）若点G为CD的中点，求的值．【解答】解：（1）∵BF⊥DE，∴∠GFD=90°，∵∠BCG=90°，∠BGC=∠DGF，∴∠CBG=∠CDE，在△BCG与△DCE中，∴△BCG≌△DCE（ASA），BG=DE，2）设CG=1，∵G为CD的中点，GD=CG=1，由（1）可知：△BCG≌△DCE（ASA），CG=CE=1，∴由勾股定理可知：DE=BG=，sin∠CDE==，GF=，AB∥CG，∴△ABH∽△CGH，∴=，∴BH=，GH=，=5．（2017?河池）（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，AE⊥BF 于点M，求证：AE=BF；2）如图2，将（1）中的正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=2，BC=3，AE⊥BF于点M，研究AE与BF的数目关系，并证明你的结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠C，AB=BC．AE⊥BF，∴∠AMB=∠BAM+∠ABM=90°，∵∠ABM+∠CBF=90°，∴∠BAM=∠CBF．在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（ASA），AE=BF；2）解：AE=BF，原因：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠C，AE⊥BF，∴∠AMB=∠BAM+∠ABM=90°，∵∠ABM+∠CBF=90°，∴∠BAM=∠CBF，∴△ABE∽△BCF，∴=，AE=BF．（6．（2017?泰安）如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，AC均分∠BAD，点P是AC延伸线上一点，且PD⊥AD．（1）证明：∠BDC=∠PDC；（2）若AC与BD订交于点E，AB=1，CE：CP=2：3，求AE的长．【解答】（1）证明：∵AB=AD，AC均分∠BAD，AC⊥BD，∴∠ACD+∠BDC=90°，AC=AD，∴∠ACD=∠ADC，∴∠ADC+∠BDC=90°，PD⊥AD，∴∠ADC+∠PDC=90°，∴∠BDC=∠PDC；2）解：过点C作CM⊥PD于点M，∵∠BDC=∠PDC，CE=CM，∵∠CMP=∠ADP=90°，∠P=∠P，∴△CPM∽△APD，=，设CM=CE=x，∵CE：CP=2：3，∴PC=x，∵AB=AD=AC=1，∴=，解得：x=，故AE=1﹣=．7（．2017?天水）△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，DEF的极点E与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB订交于点P，线段EF与射线CA订交于点Q．（1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE；（2）如图②，当点Q在线段CA的延伸线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP=2，CQ=9时BC的长．【解答】（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B=∠C=45°，AB=AC，AP=AQ，∴BP=CQ，E是BC的中点，∴BE=CE，在△BPE和△CQE中，∵，∴△BPE≌△CQE（SAS）；（2）解：∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∴∠B=∠C=∠DEF=45°，∵∠BEQ=∠EQC+∠C，即∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C，∴∠BEP+45°=∠EQC+45°，∴∠BEP=∠EQC，∴△BPE∽△CEQ，=，BP=2，CQ=9，BE=CE，2∴BE=18，∴BE=CE=3，∴BC=6．8．（2017?绥化）如图，在矩形ABCD中，E为AB边上一点，EC均分∠DEB，F为CE的中点，连结AF，BF，过点E作EH∥BC分别交AF，CD于G，H两点．（1）求证：DE=DC；（2）求证：AF⊥BF；（3）当AF?GF=28时，请直接写出CE的长．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，AB∥CD，∴∠DCE=∠CEB，EC均分∠DEB，∴∠DEC=∠CEB，∴∠DCE=∠DEC，∴DE=DC；（2）如图，连结DF，DE=DC，F为CE的中点，∴DF⊥EC，∴∠DFC=90°，在矩形ABCD中，AB=DC，∠ABC=90°，∴BF=CF=EF=EC，∴∠ABF=∠CEB，∵∠DCE=∠CEB，∴∠ABF=∠DCF，在△ABF和△DCF中，，∴△ABF≌△DCF（SAS），∴∠AFB=∠DFC=90°，AF⊥BF；（3）CE=4．原因以下：∵AF⊥BF，∴∠BAF+∠ABF=90°，EH∥BC，∠ABC=90°，∴∠BEH=90°，∴∠FEH+∠CEB=90°，∵∠ABF=∠CEB，∴∠BAF=∠FEH，∵∠EFG=∠AFE，∴△EFG∽△AFE，2∴=，即EF=AF?GF，∥AF?GF=28，∴EF=2，∥∴CE=2EF=4．∥∥∥9．（2017?雨城区校级自主招生）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，过点B的直线MN∥AC，D为BC边上一点，连结AD，作DE⊥AD交MN于点E，连结AE．（1）如图1，当∠ABC=45°时，求证：AD=DE；（2）如图2，当∠ABC=30°时，线段AD与DE有何数目关系？并请说明原因．∵【解答】（1）证明：如图1，过点D作DF⊥BC，交AB于点F，则∠BDE+∠FDE=90°，∵DE⊥AD，∵∴∠FDE+∠ADF=90°，∵∴∠BDE=∠ADF，∵∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，∵∴∠C=45°，∵MN∥AC，∵∴∠EBD=180°﹣∠C=135°，∵∵∠BFD=45°，DF⊥BC，∵∴∠BFD=45°，BD=DF，∵∴∠AFD=135°，∵∴∠EBD=∠AFD，∵在△BDE和△FDA中∵∵，∵∵∴△BDE≌△FDA（ASA），∵AD=DE；∵∵∵2）解：DE=AD，∵原因：如图2，过点D作DG⊥BC，交AB于点G，则∠BDE+∠GDE=90°，∵DE⊥AD，∴∠GDE+∠ADG=90°，∴∠BDE=∠ADG，∵∠BAC=90°，∠ABC=30°，∴∠C=60°，MN∥AC，∴∠EBD=180°﹣∠C=120°，∵∠ABC=30°，DG⊥BC，∴∠BGD=60°，∴∠AGD=120°，∴∠EBD=∠AGD，∴△BDE∽△GDA，=，在Rt△BDG中，=tan30°=，∴DE=AD．（10．（2017?深圳模拟）如图1，边长为2的正方形ABCD中，E是BA延伸线上一点，且AE=AB，点P从点D出发，以每秒1个单位长度沿D→C→B向终点B运动，直线EP交AD于点F，过点F作直线FG⊥DE于点G，交AB于点R．（1）求证：AF=AR；（2）设点P运动的时间为t，①求当t为何值时，四边形PRBC是矩形？②如图2，连结PB．请直接写出使△PRB是等腰三角形时t的值．【解答】（1）证明：如图，在正方形ABCD中，AD=AB=2，AE=AB，∴AD=AE，∴∠AED=∠ADE=45°，又∵FG⊥DE，∴在Rt△EGR中，∠GER=∠GRE=45°，∴在Rt△ARF中，∠FRA=∠AFR=45°，∴∠FRA=∠RFA=45°，AF=AR；2）解：①如图，当四边形PRBC是矩形时，则有PR∥BC，∴AF∥PR，∴△EAF∽△ERP，∴，即：由（1）得AF=AR，∴，解得：或∴，∵点P从点D出发，以每秒∴（秒）；（不合题意，舍去），1个单位长度沿D→C→B向终点B运动，②若PR=PB，过点P作PK⊥AB于K，设FA=x，则RK=BR=（2﹣x），∵△EFA∽△EPK，∴，即：=，解得：x=±﹣3（舍去负值）；∴t=（秒）；若PB=RB，则△EFA∽△EPB，∴=，∴，BP=AB=×2=CP=BC﹣BP=2﹣=，（秒）．综上所述，当PR=PB时，t=；当PB=RB时，秒．11．（2017?江汉区校级模拟）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD订交于点O，延伸CB至点F，使CF=CA，连结AF，∠ACF的均分线分别交AF，AB，BD于点E，N，M，连结EO．1）已知BD=，求正方形ABCD的边长；2）猜想线段EM与CN的数目关系并加以证明．∴【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∴△ABD是等腰直角三角形，2=BD2，∵BD=，∴2AB∴AB=1，∴∴正方形ABCD的边长为1；∴∴∴2）CN=2EM∴证明方法一、原因：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OA=OCCF=CA，CE是∠ACF的均分线，∴CE⊥AF，AE=FE EO为△AFC的中位线EO∥BC∴∴在Rt△AEN中，OA=OCEO=OC=AC，CM=EMCE均分∠ACF，∴∠OCM=∠BCN，∵∠NBC=∠COM=90°，∴△CBN∽△COM，∴，CN=CM，即CN=2EM．证明方法二、∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC=45°=∠DBC，由（1）知，在Rt△ACE中，EO=AC=CO，∴∠OEC=∠OCE，CE均分∠ACF，∴∠OCE=∠ECB=∠OEC，EO∥BC，∴∠EOM=∠DBC=45°，∵∠OEM=∠OCE∴△EOM∽△CAN，∴，CN=2CM．12．（2017?济宁二模）将两块全等的三角板如图1摆放，此中∠A1CB1=∠ACB=90°，A1=∠A=30°．（1）将图1中△A1B1C绕点C顺时针旋转45°得图2，点P1是A1C与AB的交点，点Q是AB与BC的交点，求证：CP=CQ；1 112）在图2中，若AP1=a，则CQ等于多少？3）将图2中△A1B1C绕点C顺时针旋转到△A2B2C（如图3），点P2是A2C与AP1的交点．当旋转角为多少度时，有△AP1C∽△CP1P2？这时线段CP1与P1P2之间存在一个如何的数目关系？．【解答】（1）证明：∵∠B1CB=45°，∠B1CA1=90°，∴∠B1CQ=∠BCP1=45°；又B1C=BC，∠B1=∠B，∴△B1CQ≌△BCP1（ASA）∴CQ=CP1；2）解：如图：作P1D⊥AC于D，∵∠A=30°，∴P1D=AP1；∵∠P1CD=45°，∴=sin45°=，∴CPAP 1 ；1=P 1D=又AP 1=a ，CQ=CP 1，∴CQ=a ；3）解：当∠P 1CP 2=∠P 1AC=30°时，因为∠CP 1P 2=∠AP 1C ，则△AP 1C ∽△CP 1P 2， 因此将图2中△A 1B 1C 绕点C 顺时针旋转30°到△A 2B 2C 时，有△AP 1C ∽△CP 1P 2．这时 = = ，P 1P 2=CP 1．（ 13．（2017?惠阳区模拟）把 Rt △ABC 和Rt △DEF 按如图（1）摆放（点C 与E 重 （ 合），点B 、C （E ）、F 在同一条直线上．已知：∠ ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，（ AC=8cm ，BC=6cm ，EF=10cm ．如图（2），△DEF 从图（1）的地点出发，以1cm/s（的速度沿CB 向△ABC 匀速挪动，在△DEF 挪动的同时，点P 从△ABC 的极点A 出发，以2cm/s 的速度沿AB 向点B 匀速挪动；当点P 挪动到点B 时，点P 停止挪动，△DEF 也随之停止挪动．DE 与AC 交于点Q ，连结PQ ，设挪动时间为t （s ）． （ 1）用含t 的代数式表示线段AP 和AQ 的长，并写出t 的取值范围；（ 2）连结PE ，设四边形APEQ 的面积为y （cm 2），尝试究y 的最大值； （ 3）当t 为何值时，△APQ 是等腰三角形．【解答】（1）解：AP=2t∵∠EDF=90°，∠DEF=45°，∴∠CQE=45°=∠DEF，CQ=CE=t，AQ=8﹣t，的取值范围是：0≤t≤5；2）过点P作PG⊥x轴于G，可求得AB=10，SinB=，PB=10﹣2t，EB=6﹣t，∴PG=PBSinB=（10﹣2t）y=S△ABC﹣S△PBE﹣S△QCE==∴当（在0≤t≤5内），y有最大值，y最大值=（cm2）（3）若AP=AQ，则有2t=8﹣t解得：（s）若AP=PQ，如图①：过点P作PH⊥AC，则AH=QH=，PH∥BC ∴△APH∽△ABC，∴，即，解得：（s）若AQ=PQ，如图②：过点Q作QI⊥AB，则AI=PI=AP=t∵∠AIQ=∠ACB=90°∠A=∠A，∴△AQI∽△ABC∴即，解得：（s）综上所述，当或或时，△APQ是等腰三角形．14．（2017?庐阳区一模）△ABC，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，一条直线DE与边AC订交于点D，与边AB订交于点E．（1）如图①，若DE将△ABC分红周长相等的两部分，则AD+AE等于多少；（用a、b、c表示）2）如图②，若AC=3，AB=5，BC=4．DE将△ABC分红周长、面积相等的两部分，求AD；3）如图③，若DE将△ABC分红周长、面积相等的两部分，且DE∥BC，则a、b、c知足什么关系？【解答】解：（1）∵DE将△ABC分红周长相等的两部分，AD+AE=CD+BC+BE=（AB+AC+BC）=（a+b+c）；2）设AD=x，AE=6﹣x，∵S△ADE=AD?AE?sinA=3，即：x（6﹣x）?=3，解得：x1（舍去），2，=x=∴AD=；3）∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，=，AD=b，AE=c，b c=（a+b+c），=﹣1．（15．（2017?嘉兴模拟）已知：如图，四边形ABCD是正方形，∠PAQ=45°，将∠PAQ 绕着正方形的极点A旋转，使它与正方形ABCD的两个外角∠EBC和∠FDC的均分线分别交于点M和N，连结MN．（1）求证：△ABM∽△NDA；（2）连结BD，当∠BAM的度数为多少时，四边形BMND为矩形，并加以证明．∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∵∴∠ABC=∠ADC=∠BAD=90°，∵BM、DN分别是正方形的两个外角均分线，∴∠ABM=∠ADN=135°，（∵∠MAN=45°，（∴∠BAM=∠AND=45°﹣∠DAN，（∴△ABM∽△NDA；（（（（2）解：当∠°时，四边形BMND为矩形；原因以下：（∵∠°，∠EBM=45°，（∴∠°，（∴∠BAM=∠AMB，（AB=BM，同理AD=DN，（∵AB=AD，∴BM=DN，（∵四边形ABCD是正方形∴∠ABD=∠ADB=45°，∴∠BDN=∠DBM=90°∴∠BDN+∠DBM=180°，（BM∥DN（∴四边形BMND为平行四边形，（∵∠BDN=90°，（∴四边形BMND为矩形．（（（16．（2017?肥城市三模）如图，在锐角△ABC中，D，E分别为AB，BC中点，F（为AC上一点，且∠AFE=∠A，DM∥EF交AC于点M．（1）点G在BE上，且∠BDG=∠C，求证：DG?CF=DM?EG；（2）在图中，取CE上一点H，使∠CFH=∠B，若BG=1，求EH的长．【解答】（1）证明：如图1所示，D，E分别为AB，BC中点，DE∥ACDM∥EF，∴四边形DEFM是平行四边形，DM=EF，如图2所示，∵D、E分别是AB、BC的中点，DE∥AC，∴∠BDE=∠A，∠DEG=∠C，∵∠AFE=∠A，∴∠BDE=∠AFE，∴∠BDG+∠GDE=∠C+∠FEC，∵∠BDG=∠C，∴∠GDE=∠FEC，∴△DEG∽△ECF；∴，∴，∴，DG?CF=DM?EG；（2）解：如图3所示，∵∠BDG=∠C=∠DEB，∠B=∠B，∴△BDG∽△BED，∴，BD2=BG?BE，∵∠AFE=∠A，∠CFH=∠B，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣∠AFE﹣∠CFH=∠EFH，又∵∠FEH=∠CEF，∴△EFH∽△ECF，=，2∴EF=EH?EC，DE∥AC，DM∥EF，∴四边形DEFM是平行四边形，∴EF=DM=DA=BD，∴BG?BE=EH?EC，BE=EC，EH=BG=1．（17．（2017?肥城市模拟）△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC上，（EDF=∠B．（1）如图1，求证：DE?CD=DF?BE（2）D为BC中点如图2，连结EF．①求证：ED均分∠BEF；②若四边形AEDF为菱形，求∠BAC的度数及的值．【解答】（1）证明：∵△ABC中，AB=AC，∴∠B=∠C．∵∠B+∠BDE+∠DEB=180°，∠BDE+∠EDF+∠FDC=180°，∠EDF=∠B，∴∠FDC=∠DEB，∴△BDE∽△CFD，∴，即DE?CD=DF?BE；（2）解：①由（1）证得△BDE∽△CFD，∴，D为BC中点，∴BD=CD，∴=，∵∵∠B=∠EDF，∵∴△BDE～△DFE，∵∴∠BED=∠DEF，∵ED均分∠BEF；∵∵∵②∵四边形AEDF为菱形，∵∴∠AEF=∠DEF，∵∵∠BED=∠DEF，∵∴∠AEF=60°，∵AE=AF，∴∠BAC=60°，∵∠BAC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠B=60°，∴△BED是等边三角形，BE=DE，∵AE=DE，AE=AB，=．18．（2017?长宁区二模）如图，在△ABC中，点P是AC边上的一点，过点P作与BC平行的直线PQ，交AB于点Q，点D在线段BC上，联接AD交线段PQ于点E，且=，点G在BC延伸线上，∠ACG的均分线交直线PQ于点F．1）求证：PC=PE；2）当P是边AC的中点时，求证：四边形AECF是矩形．【解答】（1）证明：∵PQ∥BC，∴△AQE∽△ABD，△AEP∽△ADC，∴=，，=，∵=，∴=，PC=PE；2）∵PF∥DG，∴∠PFC=∠FCG，CF均分∠PCG，∴∠PCF=∠FCG，∴∠PFC=∠FCG，PF=PC，PF=PE，P是边AC的中点，∴AP=CP，∴四边形AECF是平行四边形，PQ∥CD，∴∠PEC=∠DCE，∴∠PCE=∠DCE，∴∠PCE+∠PCF=（∠PCD+∠PCG）=90°，∴∠ECF=90°，∴平行四边形AECF是矩形．19．（2017?安徽模拟）如图，已知△ABC中，AC=BC，点D、E、F分别是线段AC、BC、AD的中点，BF、ED的延伸线交于点G，连结GC．1）求证：AB=GD；（2）如图2，当CG=EG时，求的值．【解答】解：（1）∵D、E分别是线段AC、BC的中点，DE为△ABC的中位线，DE∥AB，即EG∥AB，∴∠FDG=∠A，∵点F为线段AD的中点，AF=DF，在△ABF与△DGF中，∴△ABF≌△DGF（ASA）AB=GD2）∵DE为△ABC的中位线，∴DE=AB，CE=BC=ACDG=AB，∴EG=DE+DGEG=ABDE∥AB，∴∠GEC=∠CBA，AC=BC，CG=EG∴△GEC∽△CBA∴，即，∴20．（2017?蜀山区二模）如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，线段BE、CD订交于点O，且∠DCB=∠EBC=∠A．∴1）求证：△BOD∽△BAE；∴2）求证：BD=CE；∴3）若M、N分别是BE、CE的中点，过MN的直线交AB于P，交AC于Q，线段AP、AQ相等吗？为何？∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴【解答】（1）证明：∵∠BCO=∠CBO，∴∴∠DOB=∠BCO+CBO=2∠BCO，∴∵∠A=2∠BCO，∴∴∠DOB=∠A，∴∵∠ABE=∠ABE，∴∴△BOD∽△BAE；∴∴∴2）解：延伸CD，在CD延伸线上取一点F，使BF=BD，∴∴∠BDF=∠BFD，∴∵∠BDF=∠ABO+∠DOB，∠BEC=∠ABO+∠A，∴由（1）得∠BOD=∠A，∴∴∠BDF=∠BEC，∴∠BFD=∠BEC，∴∴在△BFC与△CEB中，，∴∴∴△BFC≌△CEB，∴BD=BF，BD=CE；3）解：AP=AQ，原因：取BC的中点G，连结GM，GN，M，N分别是BE，CD的中点，∴GM，GN是中位线，∴GM∥CE，GM=CE，GN∥BD，GN=BD，∴BD=CE，∴GM=GN，∴∴∠3=∠4，∴∵GM∥CE，∴∴∠2=∠4，∴∵GN∥BD，∴∴∠3=∠1，∴∠1=∠2，∴AP=AQ．21．（2017?石家庄二模）如图，在矩形ABCD和矩形PEFG中，AB=8，BC=6，PE=2，。
广东省广州市越秀区2018届数学中考模拟试卷(4月份)及参考答案
（1） 求船P到海岸线MN的距离（精确到0.1海里）； （2） 若船A、船B分别以20海里/小时、15海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往救援，试通过计算判断哪艘船先 到达船P处． 24. 已知反比例函数y= （m为常数）的图象经过点A（﹣1，6）．
三、解答题
17. （1）
（2） 因式分解：a3﹣ab2. 18. 计算： （1） 先化简，在求值：（x﹣2）（x+2）﹣x（x﹣1），其中x= ；
（2） 先化简在求值：
，其中a=5．b=﹣3.
19. 如图，小明在操场上放风筝，已知风筝线AB长100 米，风筝线与水平线的夹角α=37°，小王拿风筝线的手离地面 的高AD为1.5米，求风筝离地面的高度BE（精确到0.1米）．
14. 一天，小青想利用影子测量校园内一根旗杆的高度，在同一时刻内，小青的影长为2米，旗杆的影长为20米，若小 青的身高为1.60米，则旗杆的高度为________米．
15. 一个圆锥的底面圆的直径为6cm，高为4cm，则它的侧面积为________ cm2 （结果保留π）． 16. 小明手中有两张卡片分别标有3，﹣1，小华手中有三张卡片分别标有2，0，﹣1．如果两人各随机抽取一张卡片， 那么和为正数的概率是________．
A. B. C. D. 8. 如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则线段OM长的最小值为（ ）
A.2B.3C.4D.5 9. 已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＜0；③b+2a＜0；④a
专题14 相似三角形问题-攻破15个特色专题之备战2018中考数学高端精品(解析版)
专题14 相似三角形问题【考点综述评价】因动点产生的相似三角形问题，常常出现在综合题中．一是以几何图形为载体，赋予动点、动线和动面，来探究相似三角形问题，进而研究面积、函数最值等问题；二是以动态问题为背景或与函数图象、圆结合探究相似三角形的存在性问题；三是以相似三角形为背景，经历“问题情境，建立模型，求解，应用”的基本过程，设置探究性问题．问题设置常常具有开放性．相似三角形由于对应边、对应角的不确定，或者是图形的不确定，常常需要进行分类讨论，解题时根据对应角或对应边来分类．要注意确定分类标准，按一个标准进行分类，做到“不重复，不遗漏”．【考点分类总结】考点1：利用三角形相似与图象的判断【典型例题】（2017湖北省黄石市）如图，直线l：y=kx+b（k＜0）与函数4yx（x＞0）的图象相交于A、C两点，与x轴相交于T点，过A、C两点作x轴的垂线，垂足分别为B、D，过A、C两点作y轴的垂线，垂足分别为E、F；直线AE与CD相交于点P，连接DE，设A、C两点的坐标分别为（a，4a）、（c，4c），其中a＞c＞0．（1）如图①，求证：∠EDP=∠ACP；（2）如图②，若A、D、E、C四点在同一圆上，求k的值；（3）如图③，已知c=1，且点P在直线BF上，试问：在线段AT上是否存在点M，使得OM⊥AM？请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）-1；（3）（125，65）．【分析】（1）由P、E、D的坐标可表示出P A、EP、PC和DP的长，可证明△EPD∽△CP A，利用相似三角形的性质可证得结论；（2）连接AD、EC，可证明△AEC≌△CDA，可得CD=AE，把A、C坐标代入直线l解析式，可求得k的值；（3）假设在线段AT上存在点M，使得OM⊥AM，连接OM、OA，可表示出C、F、P、B的坐标，利用直线BF的解析式可求得a的值，可求得A点坐标，可求得T点坐标，在△OAT中，利用等积法可求得OM 的长，在Rt OMT中可求得MT的长，作MN⊥x轴，同理可求得MN的长，则可求得ON的长，可判断N 在线段BT上，满足条件，从而可知存在满足条件的M点．学+-科/网【解答】（1）证明：解得k=44a ca c--=﹣4ac=﹣1；（3）假设在线段AT上存在点M，使OM⊥AM，连接OM、OA，作MN⊥x轴于点N，如图2，∵c=1，∴C（1，4），F（0，4），P（1，4a），B（a，0），设直线BF的解析式为y=k′x+4，由题意可得：'404'4k aka+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得a=2，∴A（2，2），∴AP为△DCT的中位线，∴T（3，0），∴AT=22(31)(02)-+- =5∵S△OAT=12OT•AB=12AT•OM，∴OM=OT ABAT⋅=5=5，在Rt△OMT中，MT=22OT OM-=23635- =5，同理可求得MN=OM MTOT⋅=65，在Rt△OMN中，ON=22OM MN- =3636525-=125，∵2＜125＜3，∴点M在线段AT上，即在线段AT上存在点M，使得OM⊥AM，M点的坐标为（125，65）．【方法归纳】利用相似三角形，得出比例式，代入得出函数关系式，结合图象进行判断．【变式训练】（2017湖北省恩施州）如图，∠AOB=90°，反比例函数2yx=-（x＜0）的图象过点A（﹣1，a），反比例函数kyx=（k＞0，x＞0）的图象过点B，且AB∥x轴．（1）求a和k的值；（2）过点B作MN∥OA，交x轴于点M，交y轴于点N，交双曲线k yx=于另一点，求△OBC的面积．【答案】（1）a=2，k=8；（2）15．【分析】（1）把A（﹣1，a）代入反比例函数2yx=-得到A（﹣1，2），过A作AE⊥x轴于E，BF⊥⊥x 轴于F，根据相似三角形的性质得到B（4，2），于是得到k=4×2=8；（2）求的直线AO的解析式为y=﹣2x，设直线MN的解析式为y=﹣2x+b，得到直线MN的解析式为y=﹣2x+10，解方程组得到C（1，8），于是得到结论．点N，∴M（5，0），N（0，10），解2108y xyx=-+⎧⎪⎨=⎪⎩得：18xy=⎧⎨=⎩或42xy=⎧⎨=⎩，∴C（1，8），∴△OBC的面积=S△OMN﹣S△OCN﹣S△OBM=12×5×10﹣12×10×1﹣12×5×2=15．考点2：相似三角形中的开放性问题【典型例题】（2017辽宁省鞍山市）如图，∠MBN =90°，点C 是∠MBN 平分线上的一点，过点C 分别作AC ⊥BC ，CE ⊥BN ，垂足分别为点C ，E ，AC =42，点P 为线段BE 上的一点（点P 不与点B 、E 重合），连接CP ，以CP 为直角边，点P 为直角顶点，作等腰直角三角形CPD ，点D 落在BC 左侧．（1）求证：CP CE CD CB=；学科*-网 （2）连接BD ，请你判断AC 与BD 的位置关系，并说明理由；（3）设PE =x ，△PBD 的面积为S ，求S 与x 之间的函数关系式．【答案】（1）证明见解析；（2）AC ∥BD ；（3）2122S x x =-+． 【分析】（1）由△CPD ∽△CEB 证得结论；（2）先证△EPC ∽△BDC ，得到∠PEC=∠DBC ．由AC ⊥BC ，得到∠ACB+∠DBC=180°，即可得到结论；（3）如图所示，过点P 作PF ⊥BD ．交DB 的延长线于点F ．通过解直角三角形、（2）中相似三角形的对应边成比例和三角形的面积公式写出函数关系式即可．【解答】（1）证明：∵∠MBN =90°，点C 是∠MBN 平分线上的一点，∴∠CBE =45°，又CE ⊥BN ，∴∠BCE =45°，∴BE =CE ，∴△BCE 是等腰直角三角形．又∵△CPD 是等腰直角三角形，∴△CPD ∽△CEB ，∴CP CD CE CB =，∴CP CE CD CB=； （2）解：AC ∥BD ，理由如下：∵∠PBF=∠CBF﹣∠CBP=90°﹣45°=45°，即BP=BE﹣PE=4﹣x，∴PF=BP•sin∠PBF=（4﹣x）×2=22﹣2x，∴S=12DB•PF=12×2x×（22﹣2x），即：2122S x x=-+．【方法归纳】两个三角形相似，根据不同的对应边或对应角需要分类讨论．【变式训练】（2017怀化）如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线25y ax bx=+-与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点D是y轴上的一点，且以B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似，求点D的坐标；（3）如图2，CE∥x轴与抛物线相交于点E，点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平行的直线与BC，CE分别交于点F，G，试探究当点H运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H的坐标及最大面积；（4）若点K为抛物线的顶点，点M（4，m）是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P，Q，使四边形PQKM的周长最小，求出点P，Q的坐标．【答案】（1）245y x x =--；（2）D 的坐标为（0，1）或（0，103）；（3）当t =52时，四边形CHEF 的面积最大为252，此时H （52，354-）；（4）P （137，0），Q （0，133-）． 【分析】（1）根据待定系数法直接抛物线解析式；（2）分两种情况，利用相似三角形的比例式即可求出点D 的坐标；（3）先求出直线BC 的解析式，进而求出四边形CHEF 的面积的函数关系式，即可求出最大值；（4）利用对称性找出点P ，Q 的位置，进而求出P ，Q 的坐标．【解答】（1）∵点A （﹣1，0），B （5，0）在抛物线25y ax bx =+-上，∴5025550a b a b --=⎧⎨+-=⎩，∴14a b =⎧⎨=-⎩，（3）设H （t ，245t t --），∵CE ∥x 轴，∴点E 的纵坐标为﹣5，∵E 在抛物线上，∴245x x --=﹣5，∴x =0（舍）或x =4，∴E （4，﹣5），∴CE =4，∵B （5，0），C （0，﹣5），∴直线BC 的解析式为y =x ﹣5，∴F （t ，t ﹣5），∴HF =t ﹣5﹣（245t t --）=2525()24t --+，∵CE ∥x 轴，HF ∥y 轴，∴CE ⊥HF ，∴S 四边形CHEF =12CE •HF =2525()24t --+，当t =52时，四边形CHEF 的面积最大为252，此时H （52，354-）． （4）如图2，∵K 为抛物线的顶点，∴K （2，﹣9），∴K 关于y 轴的对称点K '（﹣2，﹣9），∵M （4，m ）在抛物线上，∴M （4，﹣5），∴点M 关于x 轴的对称点M '（4，5），∴直线K 'M '的解析式为71333y x =-，∴P （137，0），Q （0，133-）．考点3：相似三角形的存在性问题【典型例题】（2017山东省莱芜市）抛物线2y ax bx c =++过A （2，3），B （4，3），C （6，﹣5）三点．（1）求抛物线的表达式；（2）如图①，抛物线上一点D 在线段AC 的上方，DE ⊥AB 交AC 于点E ，若满足5DE AE =D 的坐标；（3）如图②，F 为抛物线顶点，过A 作直线l ⊥AB ，若点P 在直线l 上运动，点Q 在x 轴上运动，是否存在这样的点P 、Q ，使得以B 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABF 相似，若存在，求P 、Q 的坐标，并求此时△BPQ 的面积；若不存在，请说明理由．【答案】（1）265y x x =-+-；（2）D （72，154）；（3）P （2，﹣2），Q （﹣3，0），S △BPQ =292或P （2，2），Q （3，0），S △BPQ =52或P （2，﹣5），Q （﹣1，0），S △BPQ =17或P （2，﹣1），Q （5，0），S △BPQ =5．【分析】（1）由对称性和A （2，3），B （4，3），可知抛物线的对称轴是：x =3，利用顶点式列方程组解出可得抛物线的表达式；（2）如图1，先利用待定系数法求直线AC 的解析式，设点D （m ，﹣m +6m ﹣5），则点E （m ，﹣2m +7），根据解析式表示DE 和AE 的长，由已知的比例式列式得结论；（3）根据题意得：△BPQ 为等腰直角三角形，分三种情况：①若∠BPQ =90°，BP =PQ ，如图2，作辅助线，构建全等三角形，证明△BAP ≌△QMP ，可得结论；如图3，同理可得结论；②若∠BQP =90°，BQ =PQ ，如图4，证得：△BNQ ≌△QMP ，则NQ =PM =3，NG =1，BN =5，从而得出结论；如图5，同理易得△QNB ≌△PMQ ，可得结论；学科+-网③若∠PBQ =90°，BQ =BP ，如图6，由于AB =2≠NQ =3，此时不存在符合条件的P 、Q ．2x +7，设点D （m ，﹣m 2+6m ﹣5），2＜m ＜6，则点E （m ，﹣2m +7），∴DE =（﹣m 2+6m ﹣5）﹣（﹣2m +7） =﹣m 2+8m ﹣12，设直线DE 与直线AB 交于点G ，∵AG ⊥EG ，∴AG =m ﹣2，EG =3﹣（﹣2m +7）=2（m ﹣2），m ﹣2＞0，在Rt △AEG 中，∴AE 5m ﹣2），由5DE AE =25(2)m -52m 2﹣11m +14=0，解得：m 1=72，m 2=2（舍去），则D （72，154）． （3）根据题意得：△ABF 为等腰直角三角形，假设存在满足条件的点P 、Q ，则△BPQ 为等腰直角三角形，分三种情况：①若∠BPQ =90°，BP =PQ ，如图2，过P 作MN ∥x 轴，过Q 作QM ⊥MN 于M ，过B 作BN ⊥MN 于N ，易证得：△BAP ≌△QMP ，∴AB =QM =2，PM =AP =3+2=5，∴P （2，﹣2），Q （﹣3，0），在Rt △QMP 中，PM =5，QM =2，由勾股定理得：PQ 2225+29，∴S △BPQ =12PQ •PB =292； 如图3，易证得：△BAP ≌△PMQ ，∴AB =PM =2，AP =MQ =3﹣2=1，∴P （2，2），Q （3，0），在Rt △QMP 中，PM =2，QM =1，由勾股定理得：PQ 5S △BPQ =12PQ •PB =52； ②若∠BQP =90°，BQ =PQ ，如图4，易得：△BNQ ≌△QMP ，∴NQ =PM =3，NG =PM ﹣AG =3﹣2=1，∴BN =MQ =4+1=5，∴P （2，﹣5），Q （﹣1，0），∴PQ =2253 =34，∴S △BPQ =12PQ •PB =342=17； 如图5，易得△QNB ≌△PMQ ，∴NQ =PM =3，∴P （2，﹣1），Q （5，0），∴PQ =10，∴S △BPQ =12PQ •PB =102 =5；③若∠PBQ =90°，BQ =BP ，如图6，过Q 作QN ⊥AB ，交AB 的延长线于N ，易得：△P AB ≌△BNQ ，∵AB =2，NQ =3，AB ≠NQ ，∴此时不存在符合条件的P 、Q ．综上所述：P （2，﹣2），Q （﹣3，0），S △BPQ =292或P （2，2），Q （3，0），S △BPQ =52或P （2，﹣5），Q （﹣1，0），S △BPQ =17或P （2，﹣1），Q （5，0），S △BPQ =5．【方法归纳】一是求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形，根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论；二是利用已知三角形中的对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小； 三是若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解．【变式训练】（2017济宁）定义：点P是△ABC内部或边上的点（顶点除外），在△P AB，△PBC，△PCA中，若至少有一个三角形与△ABC相似，则称点P是△ABC的自相似点．例如：如图1，点P在△ABC的内部，∠PBC=∠A，∠PCB=∠ABC，则△BCP∽△ABC，故点P是△ABC 的自相似点．请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题：在平面直角坐标系中，点M是曲线33yx（x＞0）上的任意一点，点N是x轴正半轴上的任意一点．（1）如图2，点P是OM上一点，∠ONP=∠M，试说明点P是△MON的自相似点；当点M的坐标是（3，3），点N的坐标是（3，0）时，求点P的坐标；（2）如图3，当点M的坐标是（3，3），点N的坐标是（2，0）时，求△MON的自相似点的坐标；（3）是否存在点M和点N，使△MON无自相似点？若存在，请直接写出这两点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）P（34，34）；（2）（1，33）或（2，233）；（3）存在，M3，3），N（30）．【分析】（1）由∠ONP=∠M，∠NOP=∠MON，得出△NOP∽△MON，证出点P是△MON的自相似点；过P作PD⊥x轴于D，则tan∠POD=MNON3AON=60°，由点M和N的坐标得出∠MNO=90°，由相似三角形的性质得出∠NPO=∠MNO=90°，在Rt△OPN中，由三角函数求出OP=32，OD=34，PD=34，即可得出答案；（2）作MH⊥x轴于H，由勾股定理求出OM=23OM的解析式为y=33x，ON=2，∠MOH=30°，分两种情况：①作PQ ⊥x 轴于Q ，由相似点的性质得出PO =PN ，OQ =12ON =1，求出P 的纵坐标即可； ②求出MN =22(3)1+=2，由相似三角形的性质得出PN MNON MO=，求出PN =233，在求出P 的横坐标即可；（3）证出OM =23=ON ，∠MON =60°，得出△MON 是等边三角形，由点P 在△MON 的内部，得到∠PON ≠∠OMN ，∠PNO ≠∠MON ，即可得出结论．y =33x ，ON =2，∠MOH =30°，分两种情况： ①如图3所示：∵P 是△MON 的相似点，∴△PON ∽△NOM ，作PQ ⊥x 轴于Q ，∴PO =PN ，OQ =12ON =1，∵P 的横坐标为1，∴y =33×1=33，∴P （1，33）； ②如图4所示：由勾股定理得：MN 22(3)1+2，∵P 是△MON 的相似点，∴△PNM ∽△NOM ，∴PN MNON MO=，即223PN =，解得：PN 23，即P 23，代入y 3x 233 ，解得：x =2，∴P （223）； 综上所述：△MON 的自相似点的坐标为（13223）； （3）存在点M 和点N ，使△MON 无自相似点，M 3，3），N （230）；理由如下：∵M（3，3），N（23，0），∴OM=23=ON，∠MON=60°，∴△MON是等边三角形，∵点P在△MON的内部，∴∠PON≠∠OMN，∠PNO≠∠MON，∴存在点M和点N，使△MON无自相似点．【新题好题训练】1．（2017江苏省泰州市）如图，P为反比例函数kyx（k＞0）在第一象限内图象上的一点，过点P分别作x轴，y轴的垂线交一次函数y=﹣x﹣4的图象于点A、B．若∠AOB=135°，则k的值是（）A．2B．4C．6D．8【答案】D．【分析】作BF⊥x轴，OE⊥AB，CQ⊥AP，易证△BOE∽△AOD，根据相似三角形对应边比例相等的性质即可求出k的值．【解答】作BF⊥x轴，OE⊥AB，CQ⊥AP；设P点坐标（n，kn），∵直线AB函数式为y=﹣x﹣4，PB⊥y中，∵∠DAO=∠OBE，∠BEO=∠ADO，∴△BOE∽△AOD；∴OE BEOD AD=，即222224knn n+=+；整理得：nk+2n2=8n+2n2，化简得：k=8．故选D．2．（2017山东省潍坊市）如图，在△ABC中，AB≠AC．D、E分别为边AB、AC上的点．AC=3AD，AB=3AE，点F为BC边上一点，添加一个条件：，可以使得△FDB与△ADE相似．（只需写出一个）【答案】D F∥AC或∠BFD=∠A．【分析】结论：DF∥AC，或∠BFD=∠A．根据相似三角形的判定方法一一证明即可．【解答】DF∥AC，或∠BFD=∠A．理由：∵∠A=∠A，13AD AEAC AB==，∴△ADE∽△ACB，∴①当DF∥AC时，△BDF∽△BAC，∴△BDF ∽△EAD．②当∠BFD=∠A时，∵∠B=∠AED，∴△FBD∽△AED．故答案为：DF∥AC或∠BFD=∠A．3．（2017湖北省随州市）在△ABC在，AB=6，AC=5，点D在边AB上，且AD=2，点E在边AC上，当AE= 时，以A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似．【答案】125或53．【分析】若A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，则AE ABAD AC=或AD ABAE AC=，分情况进行讨论后即可求出AE的长度．4．（2017江苏省南通市）我们知道，三角形的内心是三条角平分线的交点，过三角形内心的一条直线与两边相交，两交点之间的线段把这个三角形分成两个图形．若有一个图形与原三角形相似，则把这条线段叫做这个三角形的“內似线”．（1）等边三角形“內似线”的条数为；（2）如图，△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求证：BD是△ABC的“內似线”；（3）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，E、F分别在边AC、BC上，且EF是△ABC的“內似线”，求EF的长．【答案】（1）3；（2）证明见解析；（3）35 12．【分析】（1）过等边三角形的内心分别作三边的平行线，即可得出答案；（2）由等腰三角形的性质得出∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD，证出△BCD∽△ABC，再由三角形的外角性质证出BD平分∠ABC即可；学/-+科网（3）分两种情况：①当43CE ACCF BC==时，EF∥AB，由勾股定理求出AB22AC BC+5，作DN⊥BC于N ，则DN ∥AC ，DN 是Rt △ABC 的内切圆半径，求出DN=12（AC +BC ﹣AB ）=1，由角平分线定理得出43DE CE DF CF ==，求出CE 的长，证明△CEF ∽△CAB ，得出对应边成比例求出EF =3512； ②当43CF AC CE BC ==时，同理得：EF =3512即可．分两种情况：①当43CE AC CF BC ==时，EF ∥AB ，∵∠ACB =90°，AC =4，BC =3，∴AB =22AC BC +=5，作DN ⊥BC 于N ，如图2所示：则DN ∥AC ，DN 是Rt △ABC 的内切圆半径，∴DN =12（AC +BC ﹣AB ）=1，∵CD 平分∠ACB ，∴43DE CE DF CF ==，∵DN ∥AC ，∴37DN DF CE EF ==，即137CE =，∴CE =73，∵EF ∥AB ，∴△CEF ∽△CAB ，∴EF CE AB AC =，即7354EF =，解得：EF =3512； ②当43CF AC CE BC ==时，同理得：EF =3512；综上所述，EF 的长为3512．5．（2017河南省）如图，直线23y x c =-+与x 轴交于点A （3，0），与y 轴交于点B ，抛物线243y x bx c =-++经过点A ，B ．（1）求点B 的坐标和抛物线的解析式；（2）M （m ，0）为x 轴上一动点，过点M 且垂直于x 轴的直线与直线AB 及抛物线分别交于点P ，N ． ①点M 在线段OA 上运动，若以B ，P ，N 为顶点的三角形与△APM 相似，求点M 的坐标；②点M 在x 轴上自由运动，若三个点M ，P ，N 中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称M ，P ，N 三点为“共谐点”．请直接写出使得M ，P ，N 三点成为“共谐点”的m 的值．【答案】（1）B （0，2），2410233y x x =-++；（2）①M 的坐标为（52，0）或（118，0）；②12或﹣1或14-． 【分析】（1）把A 点坐标代入直线解析式可求得c ，则可求得B 点坐标，由A 、B 的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）①由M 点坐标可表示P 、N 的坐标，从而可表示出MA 、MP 、PN 、PB 的长，分∠NBP=90°和∠BNP=90°两种情况，分别利用相似三角形的性质可得到关于m 的方程，可求得m 的值；②用m 可表示出M 、P 、N 的坐标，由题意可知有P 为线段MN 的中点、M 为线段PN 的中点或N 为线段PM 的中点，可分别得到关于m 的方程，可求得m 的值． 【解答】（1）∵23y x c =-+与x 轴交于点A （3，0），与y 轴交于点B ，∴0=﹣2+c ，解得c =2，∴B （0，2），∵抛物线243y x bx c =-++经过点A ，B ，∴12302b c c -++=⎧⎨=⎩，解得：1032b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线解析式为2410233y x x =-++；（2）①由（1）可知直线解析式为223y x =-+，∵M （m ，0）为x 轴上一动点，过点M 且垂直于x 轴的直线与直线AB 及抛物线分别交于点P ，N ，∴P （m ，223m -+），N （m ，2410233m m -++），∴PM =223m -+，AM =3﹣m ，PN =2410233m m -++﹣（223m -+）=2443m m -+，∵△BPN 和△APM 相似，且∠BPN =综上可知当以B ，P ，N 为顶点的三角形与△APM 相似时，点M 的坐标为（2.5，0）或（118，0）； ②由①可知M （m ，0），P （m ，223m -+），N （m ，2410233m m -++），∵M ，P ，N 三点为“共谐点”，∴有P 为线段MN 的中点、M 为线段PN 的中点或N 为线段PM 的中点，当P 为线段MN 的中点时，则有2（223m -+）=2410233m m -++，解得m =3（三点重合，舍去）或m =12； 当M 为线段PN 的中点时，则有223m -++（2410233m m -++）=0，解得m =3（舍去）或m =﹣1；当N 为线段PM 的中点时，则有223m -+=2（2410233m m -++），解得m =3（舍去）或m =14-； 综上可知：当M ，P ，N 三点成为“共谐点”时m 的值为12或﹣1或14-．6．（2017辽宁省葫芦岛市）如图，∠MAN =60°，AP 平分∠MAN ，点B 是射线AP 上一定点，点C 在直线AN 上运动，连接BC ，将∠ABC （0°＜∠ABC ＜120°）的两边射线BC 和BA 分别绕点B 顺时针旋转120°，旋转后角的两边分别与射线AM 交于点D 和点E ．（1）如图1，当点C 在射线AN 上时，①请判断线段BC 与BD 的数量关系，直接写出结论； ②请探究线段AC ，AD 和BE 之间的数量关系，写出结论并证明；学科+*网（2）如图2，当点C 在射线AN 的反向延长线上时，BC 交射线AM 于点F ，若AB =4，AC 3出线段AD 和DF 的长．【答案】（1）①BC =BD ；②AD +AC 3；（2）AD =3DF =3137． 【分析】（1）①结论：BC =BD ．只要证明△BGD ≌△BHC 即可．②结论：AD +AC =3BE ．只要证明AD +AC =2AG =2EG ，再证明EB =32BE 即可解决问题； （2）如图2中，作BG ⊥AM 于G ，BH ⊥AN 于H ，AK ⊥CF 于K ．由（1）可知，△ABG ≌△ABH ，△BGD≌△BHC ，易知BH ，AH ，BC ，CH ， AD 的长，由sin ∠ACH =AK BHAC BC=，推出AK 的长，设FG =y ，则AF =3y ，BF 24y +，由△AFK ∽△BFG ，可得AF AKBF BG=，可得关于y 的方程，求出y 即可解决问题．【解答】（1）①结论：BC =BD ．理由：如图1中，作BG ⊥AM 于G ，BH ⊥AN 于H ．由（1）可知，△ABG ≌△ABH ，△BGD ≌△BHC ，易知BH =GB =2，AH =AG =EG =3BC =BD 22BH CH + 31CH =DG =33AD =53，∵sin ∠ACH =AK BH AC BC =331=，∴AK 2331，设FG =y ，则AF =23y ，BF 24y +，∵∠AFK =∠BFG ，∠AKF =∠BGF =90°，∴△AFK ∽△BFG ，∴AF AKBF BG=，∴22323314yy-=+，解得y=103或310（舍弃），∴DF=GF+DG=10333+，即DF=313．7．（2017新疆）如图，抛物线213222y x x=-++与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．（1）试求A，B，C的坐标；（2）将△ABC绕AB中点M旋转180°，得到△BAD．①求点D的坐标；②判断四边形ADBC的形状，并说明理由；（3）在该抛物线对称轴上是否存在点P，使△BMP与△BAD相似？若存在，请直接写出所有满足条件的P 点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）；（2）①D（3，﹣2）；②矩形；（3）点P的坐标为：（1.5，1.25），（1.5，﹣1.25），（1.5，5），（1.5，﹣5）．【分析】（1）直接利用y=0，x=0分别得出A，B，C的坐标；（2）①利用旋转的性质结合三角形各边长得出D点坐标；②利用平行四边形的判定方法结合勾股定理的逆定理得出四边形ADBC的形状；（3）直接利用相似三角形的判定与性质结合三角形各边长进而得出答案．【解答】（1）当y=0时，2130222x x=-++，解得：x1=﹣1，x2=4，则A（﹣1，0），B（4，0），当x=0时，y=2，故C（0，2）；（2）①过点D作DE⊥x轴于点E，∵将△ABC绕AB中点M旋转180°，得到△BAD，∴DE=2，AO=BE=1，8．（2017内蒙古赤峰市）如图，一次函数31y x=-+的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为边在第一象限作等边△ABC．（1）若点C在反比例函数kyx=的图象上，求该反比例函数的解析式；（2）点P（23，m）在第一象限，过点P作x轴的垂线，垂足为D，当△P AD与△OAB相似时，P点是否在（1）中反比例函数图象上？如果在，求出P点坐标；如果不在，请加以说明．【答案】（1）23y x=；（2）P （23，1）在反比例函数图象上． 【分析】（1）由直线解析式可求得A 、B 坐标，在Rt △AOB 中，利用三角函数定义可求得∠BAO =30°，且可求得AB 的长，从而可求得CA ⊥OA ，则可求得C 点坐标，利用待定系数法可求得反比例函数解析式； （2）分△P AD ∽△ABO 和△P AD ∽△BAO 两种情况，分别利用相似三角形的性质可求得m 的值，可求得P 点坐标，代入反比例函数解析式进行验证即可．学科/*+/网当△PDA ∽△AOB 时，则有PD AD OA OB =313=，解得m =3，此时P 点坐标为（33）； 把P （233）代入23y x =可得32323，∴P （33）不在反比例函数图象上，把P （231）代入反比例函数解析式得12323，∴P （231）在反比例函数图象上； 综上可知P 点坐标为（31）．9．（2017海南省）抛物线23y ax bx =++ 经过点A （1，0）和点B （5，0）． （1）求该抛物线所对应的函数解析式； （2）该抛物线与直线335y x =+ 相交于C 、D 两点，点P 是抛物线上的动点且位于x 轴下方，直线PM ∥y 轴，分别与x 轴和直线CD 交于点M 、N ．①连结PC 、PD ，如图1，在点P 运动过程中，△PCD 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；②连结PB ，过点C 作CQ ⊥PM ，垂足为点Q ，如图2，是否存在点P ，使得△CNQ 与△PBM 相似？若存在，求出满足条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）2318355y x x =-+；（2）①当t =72时，△PCD 的面积有最大值，最大值为102940；②P （2，-95）或（349，﹣5527）． 【分析】（1）由A 、B 两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）①可设出P 点坐标，则可表示出M 、N 的坐标，联立直线与抛物线解析式可求得C 、D 的坐标，过C 、D 作PN 的垂线，可用t 表示出△PCD 的面积，利用二次函数的性质可求得其最大值； ②当△CNQ 与△PBM 相似时有NQ PM CQ BM =或NQ BMCQ PM=两种情况，利用P 点坐标，可分别表示出线段的长，可得到关于P 点坐标的方程，可求得P 点坐标． 【解答】=237147()5220t --+．联立直线CD 与抛物线解析式可得：2335318355y x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，解得：03x y =⎧⎨=⎩或7365x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，∴C （0，3），D （7，365），分别过C 、D 作直线PN 的直线，垂足分别为E 、F ，如图1，则CE =t ，DF =7﹣t ，∴S △PCD =S △PCN +S △PDN =12PN •CE +12PN •DF =72PN =2737147[()]25220t --+ =22171029()10240t --+，∴当t =72时，△PCD 的面积有最大值，最大值为102940；②存在．∵∠CQN =∠PMB =90°，∴当△CNQ 与△PBM 相似时，有NQ PM CQ BM =或NQ BMCQ PM=两种情况，∵CQ ⊥PM ，垂足为Q ，∴Q （t ，3），且C （0，3），N （t ，335t +），∴CQ =t ，NQ =335t +﹣3=35t ，∴53CQ NQ =，∵P （t ，2318355t t -+），M （t ，0），B （5，0），∴BM =5﹣t ，PM =0﹣（2318355t t -+）=2318355t t -+-，当NQ PM CQ BM =时，则PM =35BM ，即2318355t t -+-=35（5﹣t ），解得t =2或t =5（舍去），此时P （2，-95）； 当NQ BM CQ PM =时，则BM =35PM ，即5﹣t =35（2318355t t -+-），解得t =349或t =5（舍去），此时P （349，﹣5527）； 综上可知存在满足条件的点P ，其坐标为（2，-95）或（349，﹣5527）．10．（2017辽宁省抚顺市）如图，OF 是∠MON 的平分线，点A 在射线OM 上，P ，Q 是直线ON 上的两动点，点Q 在点P 的右侧，且PQ =OA ，作线段OQ 的垂直平分线，分别交直线OF 、ON 交于点B 、点C ，连接AB 、PB ．（1）如图1，当P、Q两点都在射线ON上时，请直接写出线段AB与PB的数量关系；（2）如图2，当P、Q两点都在射线ON的反向延长线上时，线段AB，PB是否还存在（1）中的数量关系？若存在，请写出证明过程；若不存在，请说明理由；学+-科网（3）如图3，∠MON=60°，连接AP，设APOQ=k，当P和Q两点都在射线ON上移动时，k是否存在最小值？若存在，请直接写出k的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）AB=PB；（2）存在；（3）k=0.5．【分析】（1）结论：AB=PB．连接BQ，只要证明△AOB≌△PQB即可解决问题；（2）存在．证明方法类似（1）；（3）连接BQ．只要证明△ABP∽△OBQ，即可推出APOQ=ABOB，由∠AOB=30°，推出当BA⊥OM时，ABOB的值最小，最小值为0.5，由此即可解决问题；【解答】（1）连接：AB=PB．理由：如图1中，连接BQ．∵BC垂直平分OQ，∴BO=BQ，∴∠BOQ=∠BQO，∵OF平分∠MON，∴∠AOB=∠BQO，∵OA=PQ，∴△AOB≌△PQB，∴AB=PB．（2）存在，理由：如图2中，连接BQ．∵BC垂直平分OQ，∴BO=BQ，∴∠BOQ=∠BQO，∵OF平分∠MON，∠BOQ=∠FON，∴∠AOF=∠FON=∠BQC，∴∠BQP=∠AOB，∵OA=PQ，∴△AOB≌△PQB，∴AB=PB．（3）连接BQ．。
广东省广州市长兴中学九年级数学《相似三角形应用》复习模拟押题
B AC C ’[ O C B ADE 图 D C B A广东省广州市长兴中学九年级数学《相似三角形应用》初三 班 姓名 学号一、[复习]1、相似三角形的性质：相似三角形的对应 、对应 、对应 、对应 及对应 、的比都等于 。
2、相似三角形的判定：相似三角形的判定定理一：如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角 ，那么这两个三角形相似．相似三角形的判定定理二：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边 ，并且 相等，那么这两个三角形相似。
相似三角形的判定定理三：如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边 ，那么这两个三角形相似。
3、对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果d c b a ，长臂长16m ，求当短臂外端下降时，长臂外端升高的高度。
图613、如图7，△ABC 中，BC=12cm ，高AD=6cm ，正方形的阿美的影长为80cm ，她身旁的旗杆影长10m ， 则旗杆高为 m ．（3）、06年广州中考第23题本小题满分12分 图8是某区部分街道示意图，其中CE 垂直平分AF ， AB ／／DC ，BC ／／DF ．从B 站乘车到E 站只有两条路线有直 3 60 A ’[B ’[A B C D AB C P Q MN D 眼睛小玲的位置镜子的位置 A B C E D F A B接到达的公交车，路线1是B---D---A---E ，路线2是B---C---F---E ，请比较两条路线路程的长短，并给出证明．《相似三角形的应用》初三 班 姓名 学号1、①在比例尺为1∶5000的地图上，量得甲、乙两地的距离是13厘米，则两地的实际距离是 千米。
②两地的实际距离为20公里，地图上的距离为20厘米，这张地图的比例尺为 ，这张地图的面积与实际面积的比为 。
2、已知：913y y x =-， 求DF 、BF 的长。
2018中考相似三角形专题温习
中考温习--相似三角形一、比例关于四条线段a ，b ，c ，d ，若是其中两条线段的比(即它们长度的比)与另两条线段的比相等，如a cb d =(即ab ＝bc )，咱们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 1.若322=-y y x , 那么_____=yx； 2．以以下长度（同一单位）为长的四条线段中，不成比例的是（ ）A ．2，5，10，25B ．4，7，4，7C ．2，0.5，0.5，4D ．2，5，52，25 3．若a ∶3 =b ∶4 =c ∶5 , 且6=-+c b a , 那么___________,____,===c b a ； 4．：假设43===f e d c b a , 那么______=++++fd b ec a 5、已知023a b=≠，求代数式()225224a b a b a b -⋅--的值．2、平行线分线段成比例、 定理： 推论：练习一、如以下图，EF ∥BC ，假设AE ∶EB=2∶1,EM=1,MF=2,那么AM ∶AN=____,BN ∶NC=_____二、已知：如图，ABCD ，E 为BC 的中点，BF ︰FA ＝1︰2，EF 与对角线BD 相交于G ，求BG ︰BD 。
3、如图，在ΔABC 中，EF//DC ，DE//BC ，求证： （1）AF ︰FD ＝AD ︰DB ； （2）AD 2＝AF ·AB 。
3 、相似三角形的判定方式判定0.平行于三角形一边的直线与其他两边或两边延长线相交，所截得的三角形与 判定1. 两个角对应相等的两个三角形__________．判定2. 两边对应成_________且夹角相等的两个三角形相似． 判定3. 三边对应成比例的两个三角形___________． 判定4.斜边和 对应成比例的两个直角三角形相似 常见的相似形式：1. 假设DE∥BC（A 型和X 型）那么______________．2.子母三角形（1） 射影定理：假设CD 为Rt△ABC 斜边上的高（双直角图形） (2)∠ABD=∠c那么Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD 且AC 2=________，CD 2=_______，BC 2=__ ____．E A D CBEAD CBAD CB练习一、如图，已知∠ADE=∠B ，那么△AED ∽__________二、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，DE ⊥AB 于D ，那么△ADE ∽_________ 3、如图；在∠C=∠B ，那么_________ ∽_________,__________ ∽_________4.如图，具有以下哪个条件能够使⊿ACD ∽⊿BCA （ ）A BCAB CDAC = B CDBD ACAB = C CB CD AC •=2 D BD AD CD •=25.以下四个三角形，与右图中的三角形相似的是（ ）6、若是一个直角三角形的两条边长别离是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长别离是3、4及x ，那么x 的值（ ）A. 只有1个B. 能够有2个C. 能够有3个D. 有无数个A ．B ．C ．D ． ABCDOAC A CA BE CDEDD4 、相似三角形的性质与应用1. 相似三角形的对应边_________，对应角________．2. 相似三角形的对应边的比叫做________，一样用k表示．3. 相似三角形的对应边上的_______•线的比等于_______比，周长之比也等于________比，面积比等于_________．练习一、如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，那么小明的影子AM长为米．3、如图，在△ABC中，M、N别离是边AB、AC的中点，那么△AMN的面积与四边形MBCN的面积比为( )．(A) 12(B)13(C)14(D)233、如图，Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC于点D，假设BD：CD=3：2，那么tanB=（）A．B．C．D．4、如图，△ABC中，E、F别离是AB、AC上的两点，且，假设△AEF的面积为2，那么四边形EBCF的面积为．五、如图，在边长为9的正三角形ABC中，BD=3，∠ADE=60°，那么AE的长为．6.如图，点M是△ABC内一点，过点M别离作直线平行于△ABC的各边，所形成的三个小三角形△1、△2、△3（图中阴影部份）的面积别离是4，9和49．那么△ABC的面积是．7.如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF=4：25，那么DE：EC=（）A．2：5 B．2：3 C．3：5 D．3：2八、如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D为BC的中点，假设动点E以1cm/s的速度从A点动身，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时刻为t秒（0≤t＜6），连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为（）A．2B．2.5或3.5 C．3.5或4.5 D．2或3.5或4.55、相似多边形（1）对应边成比例，对应角相等的两个多边形叫做相似多边形．（2）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等（3）相似多边形对应边的比称为相似比．相似多边形面积的比等于相似比的平方．练习1.如图，在长为8 cm、宽为4 cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部份）与原矩形相似，那么留下矩形的面积是（）A. 2 cm2B. 4 cm2C. 8 cm2D. 16 cm22.（2020.潍坊）已知矩形ABCD中，AB=1,在BC上取一点E ,沿AE将△AB E向上折叠，使B点落在AD上的F点，假设四边形EFDC与矩形ABCD相似，那么AD=（）A．215-B．215+ C．3D．24、将一个长为a，宽为b的矩形，（1）分为相同的两个矩形，且与原矩形相似，求a:b(2)分为相同的三个矩形，且与原矩形相似，求a:b(3)割掉一个正方形，剩余的矩形与原矩形相似，求a:b五、如图，AB∥EF∥CD，（1）AB＝10，CD＝15，AE∶ED＝2∶3，求EF的长。
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2018年广州中考相似三角形应用专题（押题）
动态几何中的相似三角形
例题讲解一：如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，3AD =，5DC =，10BC =，梯形的高为4．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t （秒）．
（1）当MN AB ∥时，求t 的值；
（2）试探究：t 为何值时，MNC △为直角三角形．
变式练习1-1：如图所示，在ΔABC 中，BA=BC=20cm ，AC=30cm ，点P 从A 点出发，沿着AB 以每秒4cm 的速度向B 点运动；同时点Q 从C 点出发，沿CA 以每秒3cm 的速度向A 点运动，设运动时间为x 。
（1）当x 为何值时，PQ ∥BC ？（2）当
3
1
=∆∆ABC
BCQ S S ，求ABC BPQ S S ∆∆的值；（3）ΔAPQ 能否与ΔCQB 相似？若能，求出AP 的长；若不能，请说明理由。
C
M B
变式练习1-2：如图，已知直线l 的函数表达式为483
y x =-+，且l 与x 轴，y 轴
分别交于A B ，两点，动点Q 从B 点开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动，同时动点P 从A 点开始在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动，设点Q P ，移动的时间为t 秒． （1）求出点A B ，的坐标；
（2）当t 为何值时，APQ △与AOB △相似？
（3）求出（2）中当APQ △与AOB △相似时，线段PQ 所
在直线的函数表达式．
O P A
Q
B
y
x
图-2
A
D O B
C
2 1
M
N 图-1
A
D B
M N
1
2 图-3
A D O B
C 2
1
M
N
O
例题讲解二：在图1至图3中，直线MN 与线段AB 相交 于点O ，∠1 = ∠2 = 45°．
（1）如图1，若AO = OB ，请写出AO 与BD 的数量关系和位置关系；
（2）将图1中的MN 绕点O 顺时针旋转得到 图2，其中AO = OB ．求证：AC = BD ，AC ⊥ BD ； （3）将图2中的OB 拉长为AO 的k 倍得到 图3，求AC
BD 的值．
变式练习2-1：已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90º，∠A＝30º，点P在AC上，且∠MPN＝90
当点P为线段AC的中点，点M、N分别在线段AB、BC上时（如图1），过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F，可证t△PME∽t△PNF，得出PN ＝3PM．（不需证明）
当PC＝2P A，点M、N分别在线段AB、BC或其延长线上，如图2、图3这两种情况时，请写出线段PN、PM之间的数量关系，并任选取一给予证明．
变式练习2-2：如图1，在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形ABC 和
AFG 摆放在一起，A 为公共顶点，∠BAC =∠AGF =90°，它们的斜边长为2，若
∆ABC 固定不动，∆AFG 绕点A 旋转，AF 、AG 与边BC
的交点分别为D 、E (点D 不与点B 重合,点E 不与点C 重合),设BE =m ，CD =n.
（1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明. （2）求m
与n 的函数关系式，直接写出自变量n 的取值范围.
（3）以∆ABC 的斜边BC 所在的直线为x 轴，BC 边上的高所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(如图12).在边BC 上找一点D ，使BD =CE ，求出D 点的坐标，并通过计算验证BD 2＋CE 2=DE 2.
（4）在旋转过程中,(3)中的等量关系BD 2＋CE 2=DE 2是否始终成立,若成立,请证明,若不成立,请说明理由.
例题讲解三：如图１，PMN Rt △中，90P ∠=o ，PM PN =，8MN =cm ，矩形ABCD 的长和宽分别为8cm 和2cm ，C 点和M 点重合，BC 和MN 在一条直线上．令
PMN Rt △不动，矩形ABCD 沿MN 所在直线向右以每秒1cm 的速度移动（如图
２），直到C 点与N 点重合为止．设移动x 秒后，矩形ABCD 与PMN △重叠部分
的面积为y 2cm ．求y 与x 之间的函数关系式．
变式练习3-1：如图，在等腰梯形ABCD 中，AB DC ∥，45A =o ∠，10cm AB =，4cm CD =．等腰直角三角形PMN 的斜边10cm MN =，A 点与N 点重合，MN 和AB
A B D
P
N
C (M ) ２ ２
图２
图１
A B D
P
N
C (M ) ２ ２
图２
图１
在一条直线上，设等腰梯形ABCD 不动，等腰直角三角形PMN 沿AB 所在直线以1cm/s 的速度向右移动，直到点N 与点B 重合为止．
（1）等腰直角三角形PMN 在整个移动过程中与等腰梯形ABCD 重叠部分的形状 由 形变化为 形；
（2）设当等腰直角三角形PMN 移动(s)x 时，等腰直角三角形PMN 与等腰梯形
ABCD 重叠部分的面积为2(cm )y ，求y 与x 之间的函数关系式；
（3）当4(s)x 时，求等腰直角三角形PMN 与等腰梯形ABCD 重叠部分的面积．
A （N ）
M
P
A N
M P
B
A （N ）
M
P
A N
M P
B
例题讲解四：如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度
是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，
设运动时间为t（s），解答下列问题：
（1）当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由；
（2）设△BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；
（3）作QR//BA交AC于点R，连结PR，当t为何值时，△APR∽△PRQ？
精选
变式练习4-1：如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，6cm AD =，4cm CD =，
10cm BC BD ==，点P 由B 出发沿BD 方向匀速运动，速度为1cm/s ；同时，线
段EF 由DC 出发沿DA 方向匀速运动，速度为1cm/s ，交BD 于Q ，连接PE ．若设运动时间为t （s ）（05t <<）．解答下列问题： （1）当t 为何值时，PE AB ∥？
（2）设PEQ △的面积为y （cm 2），求y 与t 之间的函数关系式； （3）是否存在某一时刻t ，使2
25
PEQ BCD S S =△△？
A
E D
B
F
精选
变式练习4-2：在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC = 3，AB = 5．点P 从点C 出发沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P 、Q 的运动，DE 保持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交折线QB -BC -CP 于点E ．点P 、Q 同时出发，当点Q 到达点B 时停止运动，点P 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）． （1）当t = 2时，AP = ，点Q 到AC 的距离是 ； （2）在点P 从C 向A 运动的过程中，求△APQ 的面积S 与 t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围）
（3）在点E 从B 向C 运动的过程中，四边形QBED 能否成 为直角梯形？若能，求t 的值．若不能，请说明理由；
（4）当DE 经过点C 时，请直接．．写出t 的值．
A
E D B F
P
P 精选。