平面与平面平行的判定与性质

平面与平面平行的判定与性质
、选择题
1平面a//平面3,点A、C € a,点B、D € 3,则直线AC //直线BD的充要条件是（）
A . A
B // CDB . AD // CB
C．AB 与CD 相交D．A、B、C、D 四点共面
2. "内存在着不共线的三点到平面3的距离均相等"是“a 3的（）
A .充分不必要条件
B .必要不充分条件
C.充要条件 D .既不充分也不必要的条件
3.平面a//平面3,直线a i,a P€ 3,则过点P的直线中（）
A •不存在与a平行的直线
B •不一定存在与a平行的直线
C.有且只有一条直线与a平行
D.有无数条与a平行的直线
4.下列命题中为真命题的是（）
A •平行于同一条直线的两个平面平行
B .垂直于同一条直线的两个平面平行
C.若一个平面内至少有三个不共线的点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行.
D .若三直线a、b、c两两平行，则在过直线a的平面中，有且只有一个平面与b, c均平行.
5.已知平面a//平面3且a 3间的距离为d , I l,a l '则3与I之间的距离的取值范围为（）
A . （d,〜B. （d,+ 〜
C. {d} D . （0, s）
6.已知直线a、b、c i ,a且a// 3、b // 3 c// 3,贝U “、b、c到平面3的距离均相等"是“a 3的（）矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。

矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。

A .充分不必要条件
B .必要不充分条件
C.充要条件D .既不充分也不必要的条件
7.给出以下命题：
①夹在两个平行平面间的线段，较长的与平面所成的角较小；
②夹在两个平行平面间的线段，如果它们的长度相等，则它们必平行；
③夹在两个平行平面间的线段，如果它的长度相等，则它们与平面所成的角也相等；
④在过定点P的直线中，被两平行平面所截得的线段长为d的直线有且只有一条，则两平行平面间的距离
也为d
其中假命题共有（）
A. 1个
B. 2 个
C. 3个
D. 4 个
&设％// 3, P€ a, Q€ 3当P、Q分别在平面％、3内运动时，线段PQ的中点X也随着运动，则所有的动点X （）聞創沟燴鐺險爱氇谴净。

聞創沟燴鐺險爱氇谴净。

A .不共面
B •当且仅当P、Q分别在两条平行直线上移动时才共面
C .当且仅当P 、Q 分别在两条互相垂直的异面直线上移动时才共面
D .无论P 、Q 如何运动都共面
、填空题
9.已知a//
2/3
AB = * d
3且a 与3间的距离为d ，直线a 与a 相交于点A 与3相交于B ,若
3
，则直线
a 与a 所成的角=
.残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。

残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。

10 .过两平行平面 a B 外的点P 两条直线AB 与CD ，它们分别交 a 于A 、C 两点，交B 于B 、D 两
点，若PA = 6, AC = 9, PB = 8，则E D 的长为 ________________ .酽锕极額閉镇桧猪訣锥。

酽锕极額閉镇桧猪訣锥。

11. 已知点A 、B 到平面a 的距离分别为d 与3d ,则A 、B 的中点到平面 a 的距离为 __________________ . 12. _________________________ 已知平面a 内存在着n 个点，它们任何三点不共线， 若 这n 个点到平面
B 的距离均相等”是“a 3 的充要条件，则 n 的最小值为
.彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。

彈贸摄尔霁毙攬砖卤
庑。

三、解答题
13. 已知平面 a//平面 3直线a// a, a? 3求证：a // 3-
AE = CF
14. 如图，平面 a//平面3 A 、C € a, B 、D € 3,点E 、F 分别在线段 A E 、CD 上，且
EB FD
,
求证：EF //平面 3謀养抟箧飆鐸怼类蒋薔。

謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。

15. P 是厶A E C 所在平面外一点， A', B', C'分别是△ P B C 、△ PCA 、△ PA B 的重心，
(1)求证：平面A'B ，Q 平面A B C ;
(2 )求 S A A B ，： S A A B C .
16 .如图已知平面 a//平面
3线段A B 分别交 a 3于M 、N ，线段AD 分别交a 3于C D ，线段 B F 分别交a, 3于F 、E ,若AM = m , B N = n , MN =卩，求厶END 与厶FMC 的面积之比.厦礴恳蹒骈時 盡继價骚。

厦礴恳蹒骈時盡继價骚。

17.如图，已知：平面a//平面3, A、C € a, B、D € 3, AC与E D为异面直线，AC = 6,B D = 8, A B= CD = 10, A B与CD成60°的角，求AC与B D所成的角.茕桢广鳓鯡选块网羈泪。

茕桢广鳓鯡选块网羈泪。

参考答案
一、选择题
1. D
2. B
3. C
4. B
5. B
6. C
7. A
8. D
二、填空题
9. 60°10. 12 11. d 或2d 12. 5
三、解答题
13.证明：取平面a内一定点A，则直线a与点A确定平面g,设g Aa= b, g n 3= c, 则由all a得a// b,由a// 3得b// c,于是all c.
又•/ a?3, ••• a// 3.
14.证明：(1)若直线AB和CD共面，
•/ a// 3,平面ABDC与a 3分别交于AC、BC两直线，
AE CF
•AC // BD .又T EB = FD ,
•EF // AC // BD , • EF // 平面3，
AE CG
(2)若AB与CD异面，连接BC并在BC上取一点G,使得EB = GB，则在△ BAC中，EG // AC , ACi 平面a,鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。

鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。

•EG / a.又T a/ 3,
••• EG // 3;同理可得：GF// BD，而BDi g
又••• GF// 3- T EGH GF = G,「.平面
又••• EF i 平面EGF , • EF // 3,
综合(1) (2 )得EF // 3
为贍偾蛏练淨。

籟丛妈羥为贍债蛏练淨。

•/ B'、C'均为相应三角形的重心,
•由面面平行的性质定理知，MC // ND，同理MF H NE ;又由等角定理:
MC AM 的两边且方向相同，则两角相等”知：/ END =Z FMC，从而ND = AN 龈讶骅
籴。

預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。

AN m+ p BN n
•ND = AM MC = m MC , NE = BM MF = n +
p MIF .
1
•S A END = 2 ND - NE - sin / END
1 m+ p n
=2- m-n +
p MIC MF - sin/ FMC
n (m+ p)
=m (
n
+
p
)
S A FMC .
15.证明：(1)连接PA'、PB'、PC', 分别交BC、CA、AB 于K、G、H , 连接GH、KG、HK .籟丛妈羥
EGF // 3,
• G、H分别为AC、AB的中点，且PB PC 2 PG = P H = 3 ,
• B' CH GH，同理A B7/ KG , A B' A B=B且GHH KG = G , 从而平面A B' /平面ABC .
(2)由(1)知△ A B' ©△ KGH ,
S A BC•( B C、2 4
(
) —•.S.KGH = GH =
1
又••• S A KGH = 4 S A ABC ,• S A A'
1
B' =C' S A ABC ,
• S A A B' CS A ABC = 1 :9.
16.证明：T a// 3,平面AND分别交a, 3于MC、ND ,
个角的两边分别平行于另一角
NE BN
MF = BM，預頌圣鉉儐歲
S END n ( m+ p) •S.FMC = m (n+ p).
n (m+ p)
即：△ END与厶FMC的面积之比为m (
n
+
P).
17•由all B作BE = AC ,连结CE,贝V ABEC是平行四边形./ DBE是AC与BD所
成的角./ DCE是
AB、CD所成的角，故/ DCE = 60 °渗釤呛俨匀谔鳖调硯錦。

由AB
= CD = 10,知CE= 10,于是△ CDE为等边三角形，
••• DE = 10.
又••• BE = AC = 6, BD = 8,
•••/ DBE = 90°
• AC与BD所成的角为90°
渗釤呛俨匀谔鱉调硯。