整式的除法知识点及习题
整式的乘除知识点及题型复习
整式运算考点1、幂的有关运算①=⋅nm a a （m 、n 都是正整数）②=n m a )( （m 、n 都是正整数）③=n ab )( （n 是正整数） ④=÷nm a a （a ≠0，m 、n 都是正整数，且m>n ） ⑤=0a （a ≠0）⑥=-p a （a ≠0，p 是正整数） 幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
积的乘方法则：积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
同底数幂相除，底数不变，指数相减。
例：在下列运算中，计算正确的是（ ）（A ）326a a a ⋅= （B ）235()a a =（C ）824a a a ÷=（D ）2224()ab a b =练习：1、()()103x x -⨯-=________.2、()()()32101036a a a a -÷-÷-÷ = 。
3、23132--⎛⎫-+ ⎪⎝⎭= 。
4、322(3)---⨯- = 。
5、下列运算中正确的是（ ）A ．336x y x =；B ．235()m m =；C ．22122x x-=； D ．633()()a a a -÷-=- 6、计算()8pm n a aa ⋅÷的结果是（ ）A 、8mnp a - B 、()8m n p a ++ C 、8mp np a+- D 、8mn p a+-7、下列计算中，正确的有（ ）①325a a a ⋅= ②()()()4222ab ab ab ab ÷= ③()322a a a a ÷÷= ④()752a a a -÷=。
A 、①②B 、①③C 、②③D 、②④ 8、在①5x x ⋅ ②7x y xy ÷ ③()32x - ④()233x y y ÷中结果为6x 的有（ ）A 、①B 、①②C 、①②③④D 、①②④ 提高点1：巧妙变化幂的底数、指数 例：已知：23a =，326b =，求3102a b+的值；1、 已知2a x =，3bx =，求23a bx-的值。
(完整版)整式的除法练习题(含答案)
《整式的除法》习题一、选择题1．下列计算正确的是( )A.a 6÷a 2=a 3B.a +a 4=a 5C.（ab 3）2=a 2b 6D.a -（3b -a ）=-3b2．计算：(-3b 3)2÷b 2的结果是( )A.-9b 4B.6b 4C.9b 3D.9b 43．“小马虎”在下面的计算中只做对一道题，你认为他做对的题目是( )A.（ab ）2=ab 2B.（a 3）2=a 6C.a 6÷a 3=a 2D.a 3•a 4=a 124．下列计算结果为x 3y 4的式子是( )A.（x 3y 4）÷（xy ）B.（x 2y 3）•（xy ）C.（x 3y 2）•（xy 2）D.（-x 3y 3）÷（x 3y 2）5．已知(a 3b 6)÷(a 2b 2)=3，则a 2b 8的值等于( )A.6B.9C.12D.816．下列等式成立的是( )A.（3a 2+a ）÷a =3aB.（2ax 2+a 2x ）÷4ax =2x +4aC.（15a 2-10a ）÷（-5）=3a +2D.（a 3+a 2）÷a =a 2+a7．下列各式是完全平方式的是（） A 、412+-x x B 、241x + C 、22b ab a ++ D 、122-+x x 8．下列计算正确的是（ ） A 、222)2)(2(y x y x y x -=+- B 、229)3)(3(y x y x y x -=+-C 、1625)54)(54(2+=---n n nD 、22))((m n n m n m -=+--- 二、填空题9．计算：(a 2b 3-a 2b 2)÷(ab )2=_____．10．七年级二班教室后墙上的“学习园地”是一个长方形，它的面积为6a 2-9ab +3a ，其中一边长为3a ，则这个“学习园地”的另一边长为_____．11．已知被除式为x 3+3x 2-1，商式是x ，余式是-1，则除式是_____．12．计算：(6x 5y -3x 2)÷(-3x 2)=_____．13．若35,185==yx ， 则y x 25-= 14．()()()()32223282y x x y x -⋅-⋅--＝ ； 15．若1004x y +=，2x y -=，则代数式22x y -的值是 。
初一数学整式的除法知识点例题
初一数学整式的除法知识点例题1、单项式的除法法则单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
注意：首先确定结果的系数即系数相除，然后同底数幂相除，如果只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式2、多项式除以单项式的法则多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的商相加。
方法总结：①乘法与除法互为逆运算。
②被除式=除式×商式+余式整式的除法的例题一、选择题1.下列计算正确的是A.a6÷a2=a3B.a+a4=a5C.ab32=a2b6D.a-3b-a=-3b2.计算：-3b32÷b2的结果是A.-9b4B.6b4C.9b3D.9b43.“小马虎”在下面的计算中只做对一道题，你认为他做对的题目是A.ab2=ab2B.a32=a6C.a6÷a3=a2D.a3•a4=a124.下列计算结果为x3y4的式子是A.x3y4÷xyB.x2y3•xyC.x3y2•xy2D.-x3y3÷x3y25.已知a3b6÷a2b2=3，则a2b8的值等于A.6B.9C.12D.816.下列等式成立的是A.3a2+a÷a=3aB.2ax2+a2x÷4ax=2x+4aC.15a2-10a÷-5=3a+2D.a3+a2÷a=a2+a二、填空题7.计算：a2b3-a2b2÷ab2=_____.8.七年级二班教室后墙上的“学习园地”是一个长方形，它的面积为6a2-9ab+3a，其中一边长为3a，则这个“学习园地”的另一边长为_____.9.已知被除式为x3+3x2-1，商式是x，余式是-1，则除式是_____.10.计算：6x5y-3x2÷-3x2=_____.三、解答题11. 三峡一期工程结束后的当年发电量为5.5×109度，某市有10万户居民，若平均每户用电2.75×103度.那么三峡工程该年所发的电能供该市居民使用多少年?结果用科学记数法表示12.计算.130x4-20x3+10x÷10x232x3y3z+16x2y3z-8xyz÷8xyz36an+1-9an+1+3an-1÷3an-1.13.若xm÷x2n3÷x2m-n与2x3是同类项，且m+5n=13，求m2-25n的值.14.若n为正整数，且a2n=3，计算3a3n2÷27a4n的值.15.一颗人造地球卫星的速度是2.6×107m/h，一架飞机的速度是1.3×106m/h，人造地球卫星的速度飞机速度的几倍?整式的除法参考答案一、选择题1.答案：C解析：【解答】A、a6÷a2=a4，故本选项错误;B、a+a4=a5，不是同类项不能合并，故本选项错误;C、ab32=a2b6，故本选项正确;D、a-3b-a=a-3b+a=2a-3b，故本选项错误.故选C.【分析】根据同底数幂的除法，底数不变指数相减;合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变;积的乘方，把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，对各选项计算后利用排除法求解.2.答案：D解析：【解答】-3b32÷b2=9b6÷b2=9b4.故选D.【分析】根据积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘;单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式，计算即可.3.答案：B解析：【解答】A、应为ab2=a2b2，故本选项错误;B、a32=a6，正确;C、应为a6÷a3=a3，故本选项错误;D、应为a3•a4=a7，故本选项错误.故选B.【分析】根据积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘;幂的乘方，底数不变指数相乘;同底数幂相除，底数不变指数相减;同底数幂相乘，底数不变指数相加;对各选项分析判断后利用排除法求解.4.答案：B解析：【解答】A、x3y4÷xy=x2y3，本选项不合题意;B、x2y3•xy=x3y4，本选项符合题意;C、x3y2•xy2=x4y4，本选项不合题意;D、-x3y3÷x3y2=-y，本选项不合题意，故选B【分析】利用单项式除单项式法则，以及单项式乘单项式法则计算得到结果，即可做出判断.5.答案：B解析：【解答】∵a3b6÷a2b2=3，即ab4=3，∴a2b8=ab4•ab4=32=9.故选B.【分析】单项式相除，把系数和同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式，利用这个法则先算出ab4的值，再平方.6.答案：D解析：【解答】A、3a2+a÷a=3a+1，本选项错误;B、2ax2+a2x÷4ax=x+a，本选项错误;C、15a2-10a÷-5=-3a2+2a，本选项错误;D、a3+a2÷a=a2+a，本选项正确，故选D【分析】A、利用多项式除以单项式法则计算得到结果，即可做出判断;B、利用多项式除以单项式法则计算得到结果，即可做出判断;C、利用多项式除以单项式法则计算得到结果，即可做出判断;D、利用多项式除以单项式法则计算得到结果，即可做出判断.二、填空题7.答案：b-1解析：【解答】a2b3-a2b2÷ab2=a2b3÷a2b2-a2b2÷a2b2=b-1.【分析】本题是整式的除法，相除时可以根据系数与系数相除，相同的字母相除的原则进行，对于多项式除以单项式可以是将多项式中的每一个项分别除以单项式.8.答案：2a-3b+1解析：【解答】∵长方形面积是6a2-9ab+3a，一边长为3a，∴它的另一边长是：6a2-9ab+3a÷3a=2a-3b+1.故答案为：2a-3b+1.【分析】由长方形的面积求法可知由一边乘以另一边而得，则本题由面积除以边长可求得另一边.9.答案：x2+3x解析：【解答】[x3+3x2-1--1]÷x=x3+3x2÷x=x2+3x.【分析】有被除式，商及余数，被除式减去余数再除以商即可得到除式.10.答案：-2x3y+1解析：【解答】6x5y-3x2÷-3x2=6x5y÷-3x2+-3x2÷-3x2=-2x3y+1.【分析】利用多项式除以单项式的法则，先用多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加计算即可.三、解答题11.答案：2×10年解析：【解答】该市用电量为2.75×103×105=2.75×1085.5×109÷2.75×108=5.5÷2.75×109-8=2×10年.答：三峡工程该年所发的电能供该市居民使用2×10年.【分析】先求出该市总用电量，再用当年总发电量除以用电量;然后根据同底数幂相乘，底数不变指数相加和同底数幂相除，底数不变指数相减计算.12.答案：13x3-2x2+1;24x2y2+16xy2-1;3-3an+1+3an-1÷3an-1=-3a2+1.解析：【解答】130x4-20x3+10x÷10x=3x3-2x2+1;232x3y3z+16x2y3z-8xyz÷8xyz=4x2y2+16xy2-1;36an+1-9an+1+3an-1÷3an-1=-3an+1+3an-1÷3an-1=-3a2+1.【分析】1根据多项式除以单项式的法则计算即可;2根据多项式除以单项式的法则计算即可;3先合并括号内的同类项，再根据多项式除以单项式的法则计算即可.13.答案：39.解析：【解答】xm÷x2n3÷x2m-n=xm-2n3÷x2m-n=x3m-6n÷x2m-n=xm-5n因它与2x3为同类项，所以m-5n=3，又m+5n=13，∴m=8，n=1，所以m2-25n=82-25×12=39.【分析】根据同底数幂相除，底数不变指数相减，对xm÷x2n3÷x2m-n化简，由同类项的定义可得m-5n=2，结合m+5n=13，可得答案.14.答案：1解析：【解答】原式=9a6n÷27a4n= a2n，∵a2n=3，∴原式= ×3=1.【分析】先进行幂的乘方运算，然后进行单项式的除法，最后将a2n=3整体代入即可得出答案.15.答案：20.解析：【解答】根据题意得：2.6×107÷1.3×106=2×10=20，则人造地球卫星的速度飞机速度的20倍.感谢您的阅读，祝您生活愉快。
整式的乘除知识框架和习题
整式的乘除第二课时 一复习回顾：二今天的学习内容：1．平方差公式：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差，即22))((b a b a b a -=-+。
其结构特征是：①公式左边是两个二项式相乘，两个二项式中第一项相同，第二项互为相反数； ②公式右边是两项的平方差，即相同项的平方与相反项的平方之差。
2．完全平方公式1． 完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍，即2222)(b ab a b a +±=±；口决：首平方，尾平方，2倍乘积在中央；2．结构特征：①公式左边是二项式的完全平方；②公式右边共有三项，是二项式中二项的平方和，再加上或减去这两项乘积的2倍。
3．在运用完全平方公式时，要注意公式右边中间项的符号，以及避免出现222)(b a b a ±=±这样的错误。
3．整式的除法1．单项式除以单项式单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式；2．多项式除以单项式多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加，其特点是把多项式除以单项式转化成单项式除以单项式，所得商的项数与原多项式的项数相同，另外还要特别注意符号。
三整式的乘除检测题一、填一填（每小题3分，共30分）1．计算：（a2b3）2=________．2．计算：（4m+3）（4m－3）=_________．3．a2－3a+_______=（a－_______）．4．澳洲科学家称他们发现了迄今全世界最小、最轻的鱼．•据说这种小型鱼类仅有7毫米长，1毫克重，没有发育出鳍牙齿，寿命仅为两个月，那么600•条这种鱼的总质量为___________________千克（用科学记数法表示）．5．若a m=3，a n=2，则a m+n=_________．6．若（x－3）（x+1）=x2+ax+b，则b a=________．7．有一块绿地的形状如图所示，则它的面积表达式经化简后结果为______．8．若x+y=5，x－y=1，则xy=________．9．计算（－0.25）2006×42006=________．10．研究下列算式，你能发现什么规律？请运用你发现的规律完成下列填空：1×3+1=4=22；2×4+1=9=32；3×5+1=16=42；4×6+1=25=52；第100个等式为：_________________；第n个等式为：___________________．二、选一选（每小题3分，共30分）11．在①（－1）0=1； ②（－1）3=－1； ③3a －2=213a； ④（－x ）5÷（－x ）3=－x 2中，正确的式子有（ ）A ．①②B ．②③C ．①②③D ．①②③④12．下列运算正确的是（ ）A ．a 4+a 5=a 9B ．a 3·a 3·a 3=3a 3C ．2a 4×3a 5=6a 9D ．（－a 3）4=a 713．下列各式中，计算结果为81－x 2的是（ ）A ．（x+9）（x －9）B ．（x+9）（－x －9）C ．（－x+9）（－x －9）D ．（－x －9）（x －9）14．计算a 5·（－a ）3－a 8的结果等于（ ）A ．0B ．－2a 8C ．－a 16D ．－2a 1615．下列式子成立的是（ ）A ．（2a －1）2=4a 2－1B ．（a+3b ）2=a 2+9b 2C ．（a+b ）（－a －b ）=a 2－b 2D ．（－a －b ）2=a 2－2ab+b 216．x 2+ax+121是一个完全平方式，则a 为（ ）A ．22B ．－22C ．±22D ．017．一个长方形的面积为4a 2－6ab+2a ，它的长为2a ，则宽为（ ）A ．2a －3bB ．4a －6bC ．2a －3b+1D ．4a －6b+218．计算（a －b ）（a+b ）（a 2+b 2）（a 4－b 4）的结果是（ ）A ．a 8+2a 4b 4+b 8B ．a 8－2a 4b 4+b 8C ．a 8+b 8D ．a 8－b 819．应用（a+b ）（a －b ）=a 2－b 2的公式计算（x+2y －1）（x －2y+1），则下列变形正确的是（• ）A ．[x －（2y+1）] 2B ．[x+（2y+1）] 2C ．[x －（2y －1）][x+（2y －1）]D ．[（x －2y ）+1][（x －2y ）－1]20．已知m+n=2，mn=－2，则（1－m ）（1－n ）的值为（ ）A．－3 B．－1 C．1 D．5 三、做一做（共40分）21．计算（每小题4分，共16分）：（1）（－1）2006+（－12）－2－（3.14－ ）0;（2）（2x3y）2·（－2xy）+（－2x3y）3÷（2x2）（3）（6m2n－6m2n2－3m2）÷（－3m2）; （4）（2x－3）2－（2x+3）（2x－3）22．（6分）运用乘法公式进行简便计算：1232－122×12423．（6分）如图，某市有一块长为（3a+b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，•规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像，则绿化的面积是多少平方米？•并求出当a=3，b=2时的绿化面积．答案:1．a4b62．16m2－9 3．94，324．6×10－45．6 6．197．2x2+xy 8．6 9．1 10．100×102+1=1012；n（n+2）+1=（n+1）211．A 12．C 13．D 14．B 15．D 16．C 17．C 18．•B •19．C 20．A 21．（1）4；（2）－12x7y3；（3）－2n+2n2+1；（4）－12x+1822．原式=1232－（123－1）（123+1）=1232－（1232－1）=1232－1232+1=1 23．（3a+b）（2a+b）－（a+b）2=5a2+3ab（平方米）；•当a=3，b=2时，5a2+3ab=63（平方米）24．当x≤a时，mx（元），当x>a时，am+2m（x－a）=am+2mx－2ma=2mx－ma（元）。
七年级数学整式的除法
关键知识点总结
除法运算步骤 将被除式与除式按降幂排列。
用被除式的第一项除以除式的第一项，得到商式的第一项。
关键知识点总结
将商式的第一项与除式相乘， 得到积式。
用被除式减去积式，得到差式 。
将差式作为新的被除式，重复 以上步骤，直到差式为0或次 数低于除式。
关键知识点总结
注意事项 在除法运算中，要保证每一步的运算都是准确的。
整式的除法与因式分解有着密切的联系。在 整式的除法中，如果被除式可以分解为两个 因式的乘积，那么可以通过因式分解的方法 简化运算过程。同时，因式分解也可以看作 是整式的除法的一种特殊情况，即被除式为 0的情况。因此，掌握因式分解的方法对于
理解和应用整式的除法具有重要意义。
THANK YOU
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练习题与答案
$a$ 的指数部分
$a^4 div a^2 = a^{(4-2)} = a^2$
$b$ 的指数部分
$b^3 div b = b^{(3-1)} = b^2$
练习题与答案
02
01
03
$c$ 保持不变 因此，$(15a^4b^3c) div (5a^2b) = 3a^2b^2c$ 练习题2：计算 $(18x^5y^6z^3) div (9x^3y^3z)$
整式除法可用于解决经济问题中的利 润率、折扣率、税率等问题。
工程问题
在工程问题中，利用整式除法可以计 算工作效率、工作时间、工作总量等 问题。
05
整式除法运算技巧与注意事项
简化计算过程技巧
01
02
03
利用乘法分配律
将除法转化为乘法，简化 计算过程。
提取公因式
在整式除法中，可以提取 被除数和除数的公因式， 使计算更简便。
第02讲 整式的乘除法(知识解读+真题演练+课后巩固)(原卷版)
第02讲整式的乘除法1.掌握单项式乘（或除以）单项式，多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算．2.掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活的运用运算律进行混合运算。
知识点1：单项式乘单项式单项式的乘法法则：单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．知识点2：单项式乘多项式单项式与多项式的乘法法则：单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加．知识点3：多项式乘多项式多项式与多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．知识点4：单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．知识点5：多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．【题型1单项式乘单项式】【典例1】（2023春•青龙县期末）计算2x2y•xy2的结果是．【变式1-1】（2023•长岭县模拟）计算（2x）2（﹣3xy2）＝．【变式1-2】（2023春•永定区期末）计算：2（a2）3•（﹣3a2b）＝．【变式1-3】（2023春•新城区校级期末）＝．【题型2单项式乘多项式】【典例2】（2023春•秦都区期中）计算：3a（2a2﹣4a）﹣2a2（3a+4）．【变式2-1】（2023春•青秀区期中）化简：x+2x（x+1）﹣3x（2x﹣5）．【变式2-2】（2022春•槐荫区期末）计算：﹣3a（2a﹣4b+2）+6a．【变式2-3】（2022春•平桂区期中）计算：m（m3+m2）﹣m3（m﹣3）．【题型3多项式乘多项式】【典例3】（2022秋•惠阳区校级月考）计算：（1）（x﹣3）（x2+4）；（2）（3x2﹣y）（x+2y）．【变式3-1】（2022秋•兴城市期末）计算：（2a﹣3b）（2a2+6ab+5b2）．【变式3-2】（2022秋•南宫市期末）计算：（x﹣2）（x﹣5）﹣x2．【变式3-3】（2023春•沙坪坝区校级期末）计算：（1）（2x2）3﹣6x3（x3+2x2+x）．（2）（2x﹣1）（x+4）+（2x+3）（x﹣5）．【题型4多项式乘多项式-不存在某项问题】【典例4】（2023春•昭平县期末）已知（x2+mx﹣3）（2x+n）的展开式中不含x2项，常数项是﹣6．（1）求m，n的值．（2）求（m+n）（m2﹣mn+n2）的值．【变式4-1】（2023春•巨野县期末）（1）若（x2+mx+n）（x2﹣3x+1）的展开式中不含x2和x3项，求m、n的值．（2）求（m+n）（m2﹣mn+n2）的值．【变式4-2】（2023春•温江区校级期中）若（x+m）（x2﹣3x+n）的展开式中不含x项，x2项的系数为﹣1，求n m的值．【变式4-3】（2023春•茶陵县期中）若的积中不含x项与x2项．（1）求p、q的值；（2）求代数式p2022q2023的值．【题型5多项式乘多项式的实际应用】【典例5】（2022秋•松原期末）如图，某小区有一块长为（2a+3b）米，宽为（3a+2b）米的长方形地块，物业公司计划在小区内修一条平行四边形小路，小路的底边宽为a米，将阴影部分进行绿化．（1）用含有a、b的式子表示绿化的总面积S；（2）若a＝2，b＝4，求出此时绿化的总面积S．【变式5-1】（2023春•绥德县期末）如图，在某高铁站广场前有一块长为2a+b，宽为a+b的长方形空地，计划在中间留两个长方形喷泉池（图中阴影部分），两个长方形喷泉池及周边留有宽度为b的人行通道．（1）求该长方形空地的面积；（用代数式表示）（2）求这两个长方形喷泉池的总面积；（用代数式表示）（3）当a＝200，b＝100时，求这两个长方形喷泉池的总面积．【变式5-2】（2022秋•晋江市期末）甲、乙两个长方形的边长如图所示，其面积分别记为S1，S2．（1）请通过计算比较S1与S2的大小；（2）若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长的和，设该正方形的面积为S3，试说明代数式S3﹣2（S1+S2）的值是一个常数．【变式5-3】（2023春•张店区期中）某学校准备在一块长为（3a+2b）米，宽为（2a+b）米的长方形空地上修建一块长为（a+2b）米，宽为（3a﹣b）米的长方形草坪，四周铺设地砖（阴影部分），（1）求铺设地砖的面积；（用含a、b的式子表示，结果化为最简）（2）若a＝3，b＝4，铺设地砖的成本为50元/平方米，则完成铺设地砖需要多少元？【典例6】（2022秋•西湖区校级期末）当我们利用两种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式，由图1，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．（1）由图2可得等式：．（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值；（3）利用图3中的纸片（足够多），画出一种拼图，使该拼图可用来验证等式：2a2+5ab+2b2＝（2a+b）（a+2b）．【变式6-1】（2023春•龙泉驿区期末）“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，若干张边长为a的正方形A纸片，边长为b的正方形B纸片，长和宽分别为a与b的长方形C纸片（如图1）．（1）小李同学拼成一个宽为（a+b），长为（a+2b）的长方形（如图2），并用不同的方法计算面积，从而得出相应的等式：（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2（答案直接填写到横线上）；（2）如果用这三种纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+3b）的大长方形，求需要A，B，C三种纸片各多少张；（3）利用上述方法，画出面积为2a2+5ab+2b2的长方形，并求出此长方形的周长（用含a，b的代数式表示）．【变式6-2】（2021秋•罗庄区期末）我们知道多项式的乘法可以利用图形的面积进行解释，如（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2就能用图1或图2等图形的面积表示：（1）请你写出图3所表示的一个等式：．（2）试画出一个图形，使它的面积能表示：（a+b）（a+3b）＝a2+4ab+3b2．【题型6单项式除法运算】【典例7】（2023•青岛）计算：8x3y÷（2x）2＝．【变式7-1】（2022秋•柳州期末）计算4x2y÷2xy＝【变式7-2】（2023春•威宁县期末）计算：﹣28a3÷7a＝．【变式7-3】（2023秋•鲤城区校级月考）计算：6a2b÷2ab＝．【变式7-4】（2023•城阳区三模）＝．【题型7多项式除法运算】【典例8】（2023•丰城市校级开学）先化简，再求值：（12a3﹣6a2+3a）÷3a，其中a＝﹣1．【变式8-1】（2023春•济南期中）计算：（ab3﹣2a2b2+ab）÷ab．【变式8-2】（2023春•莲湖区期中）计算：（15x4y2﹣12x2y3﹣3x2）÷（﹣3x2）．【变式8-3】（2023春•西安月考）计算：ab（2a3b2c﹣6ab3c2）÷（﹣2ab2c）．1．（2023•随州）设有边长分别为a和b（a＞b）的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为a+b的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．若要拼一个长为3a+b、宽为2a+2b的矩形，则需要C类纸片的张数为（）A．6B．7C．8D．9 2．（2023•金昌）计算：a（a+2）﹣2a＝（）A．2B．a2C．a2+2a D．a2﹣2a 3．（2021•兰州）计算：2a（a2+2b）＝（）A．a3+4ab B．2a3+2ab C．2a+4ab D．2a3+4ab 4．（2020•兰州）化简：a（a﹣2）+4a＝（）A．a2+2a B．a2+6a C．a2﹣6a D．a2+4a﹣2 5．（2021•凉山州）阅读以下材料：苏格兰数学家纳皮尔（J．Npler，1550﹣1617年）是对数的创始人．他发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evler，1707﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若a x＝N（a＞0且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，比如指数式24＝16可以转化为对数式4＝log216，对数式2＝log39可以转化为指数式32＝9．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：log a（M•N）＝log a M+log a N（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0），理由如下：设log a M＝m，log a N＝n，则M＝a m，N＝a n，∴M•N＝a m•a n＝a m+n，由对数的定义得m+n＝log a（M•N）．又∵m+n＝log a M+log a N，∴log a（M•N）＝log a M+log a N．根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题：（1）填空：①log232＝，②log327＝，③log71＝；（2）求证：log a＝log a M﹣log a N（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）；（3）拓展运用：计算log5125+log56﹣log530．1．（2023春•市南区校级期中）小明有足够多的如图所示的正方形卡片A，B和长方形卡片C，如果他要拼一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，共需要C类卡片（）A．3张B．4张C．5张D．6张2．（2022秋•新抚区期末）如图1，将一张长方形纸板四角各切去一个同样的正方形，制成如图2的无盖纸盒，若该纸盒的容积为4a2b，则图2中纸盒底部长方形的周长为（）A．4ab B．8ab C．4a+b D．8a+2b 3．（2023春•裕华区期中）化简x（x﹣2）+4x的结果是（）A．x2+6x B．x2﹣2x C．x2﹣6x D．x2+2x 4．（2023春•平湖市期中）计算（a+3b）（a+2b）的结果是（）A．a2+5ab+5b2B．a2+5ab+6b2C．a2+5b2D．a2+6b2 5．（2023春•临清市期末）若（x2﹣px+q）（x﹣3）展开后不含x的一次项，则p与q的关系是（）A．p＝3q B．p+3q＝0C．q+3p＝0D．q＝3p 6．（2023春•承德县期末）若（x﹣3）（x+n）＝x2+mx﹣21，则m，n的值分别是（）A．4，﹣3B．﹣7，4C．﹣5，18D．4，7 7．（2023春•包河区期中）若关于x的多项式（x2+ax）（x﹣2）展开合并后不含x2项，则a的值是（）A．2B．C．0D．﹣2 8．（2023春•漳浦县期中）已知（x﹣1）（x﹣2）＝x2+mx+n，则m+n的值为（）A．﹣1B．﹣5C．5D．1 9．（2023春•潍坊期中）计算下列各题：（1）x2•（﹣2xy2）3；（2）（2m+1）•．10．（2022秋•河北区期末）计算：（1）a•a5+（a3）2﹣（2a2）3；（2）（2x+1）（x﹣2）．11．（2022秋•天河区期末）计算：（2x+1）（x﹣3）12．（2022春•临湘市校级月考）计算：（1）（﹣2a2b）3+8（a2）2•（﹣a2）•（﹣b）3；（2）（x﹣1）（x2+x+1）．13．（2022秋•昌吉市校级期末）如图，某市有一块长为（3a+b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像．（1）试用含a、b的代数式表示绿化的面积是多少平方米？（2）若a＝10，b＝8，且每平方米造价为100元，求出绿化需要多少费用？14．（2022秋•衡南县期中）若（x2+mx）（x2﹣3x+n）的展开式中不含x2和x3项，求m和n的值．15．（2022春•揭东区期末）如图1，在某住房小区的建设中，为了提高业主的宜居环境，小区准备在一个长为（4a+3b）米，宽为（2a+3b）米的长方形草坪上修建一横一竖，宽度均为b米的通道．（1）通道的面积共有多少平方米？（2）剩余草坪的面积是多少平方米？（3）若修两横一竖，宽度均为b米的通道（如图2），已知a＝2b，剩余草坪的面积是216平方米，求通道的宽度是多少米？16．（2023•桃城区校级模拟）甲、乙两个长方形的边长如图所示（m为正整数），其面积分别为S1，S2．（1）填空：S1﹣S2＝（用含m的代数式表示）；（2）若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和．①设该正方形的边长为x，求x的值（用含m的代数式表示）；②设该正方形的面积为S3，试探究：S3与2（S1+S2）的差是否是常数？若是常数，求出这个常数，若不是常数，请说明理由．。
整式的除法-2023年新七年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练(沪教版)(解析版)
整式的除法【知识梳理】一：单项式除以单项式1、单项式除以单项式：两个单项式相除，把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． 二：多项式除以单项式1、多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加．（1）多项式除以单项式，商式与被除式的项数相同，不可丢项，如（2）中容易丢掉最后一项． （2）要求学生说出式子每步变形的依据．（3）让学生养成检验的习惯，利用乘除逆运算，检验除的对不对．【考点剖析】 题型一：单项式除以单项式 例1．计算：（1）527398b b ÷；（2）645242x y x y −÷； （3）362424a b a b ÷；（4）()22153ab b ÷−．【答案】（1）35627b ；（2）22xy −；（3）212ab ；（4）5a −． 【解析】（1）52523737356989827b b b b −⎛⎫÷=÷= ⎪⎝⎭；（2）()64526542242422x y x y x y xy −−−÷=−÷=−；（3）()362432642124242a b a b a b ab −−÷=÷=；（4）()()()22221531535ab b ab a−÷−=÷−=−．【总结】本题考查了单项式除以单项式：两个单项式相除，把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． 【变式1】计算：（1）()226ab ab ÷=；（2）()()2515xy xy ÷−=；（3）()231255a x a ÷=；（4）()32243a b ab ÷=−．【答案】（1）2312a b ；（2）2375x y −；（3）325ax ；（4）28a b −．【解析】（1）2236212ab ab a b ⋅=；（2）22351575xy xy x y −⋅=−； （3）233125525a x a ax ÷=；（4）()3222438a b ab a b÷−=−．【总结】本题考查了单项式乘以单项式以及单项式除以单项式，注意法则的准确运用． 【变式2】计算：()2233310.52x y z x y ⎛⎫−÷− ⎪⎝⎭．【答案】3212xy z −．【解析】()()22333462332311120.50.524x y z x y x y z y z x xy ⎛⎫−÷−=÷−= −⎪⎝⎭．【总结】本题主要考查了单项式除以单项式．【变式3】计算：()()4312282x y y x ⎡⎤+÷−+⎣⎦．【答案】332x y −−．【解析】()()()()443312282128232x y y x x y x y −⎡⎤+÷−+=÷−+=−−⎡⎤⎣⎦⎣．【总结】本题主要考查了单项式除以单项式． 【变式4】若32144m n x y x y x ÷=，求2531335m n mn ÷的值．【答案】259．【解析】33121444mnm n x y x y x y x −−÷==，∴3210m n −=⎧⎨−=⎩，解得51m n =⎧⎨=⎩，253215321313535359m n mn m n mn −−⎛⎫÷=÷= ⎪⎝⎭，把51m n =⎧⎨=⎩代入得 原式2552551999mn ==⨯⨯=． 【总结】本题考查了单项式除以单项式，以及幂的运算． 【变式5】计算：()()564233331232a b c a b c a b c ÷−÷．【答案】2−． 【解析】()()()56423333523633413123212322a b c a b c a b c ab c −−−−−−÷−÷=÷−÷=−⎡⎤⎣⎦．【总结】本题主要考查了单项式除以单项式的运算，注意先确定符号，再去计算． 题型二：多项式除以单项式 例2．计算：（1）()3286x x x −÷；（2）()()2101055x x −−÷−．【答案】（1）286x x −；（2）2221x x −++．【解析】（1）()32322868686x x x x x x x x x−÷=÷−÷=−；（2）()()()()()22210105510510555221x x x x x x −−÷−=÷−−÷−−÷−=−++．【总结】本题考查了多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加． 【变式1】计算：()22642xy x y xy −÷． 【答案】32y x −．【解析】()2222642624232xyx y xy xy xy x y xy y x−÷=÷−÷=−．【总结】本题考查了多项式除以单项式． 【变式2】计算：（1）()324222a a a a −+÷；（2）()643396123a a a a −+÷．【答案】（1）221a a −+；（2）3324a a −+．【解析】（1）()32322422242222221a a a a a a a a a a a a −+÷=÷−÷+÷=−+； （2）()64336343333961239363123324a a a a a a a a a a a a −+÷=÷−÷+÷=−+．【总结】本题考查了多项式除以单项式． 【变式3】计算：（1）()312273ax ax ax −÷；（2）()2322224822x y x y xy xy +−÷．【答案】（1）249x −；（2）241xy x +−．【解析】（1）()3321227312327349ax ax ax ax ax ax ax x −÷=÷−÷=−；（2）()232222232222224822428222x y x y xy xy x y xy x y xy xy xy +−÷=÷+÷−÷241xy x =+−．【总结】本题考查了多项式除以单项式．【变式4】计算：()()33232222181263x y x y x y x y −+−÷−． 【答案】642xy y −+．【解析】()()33232222181263x yx y x y x y −+−÷−()()()33222322222218312363x y x y x y x y x y x y =−÷−+÷−−÷−642xy y =−+．【总结】本题考查了多项式除以单项式．【变式5】计算：()()755364523521287x y x y x y x y −+÷−．【答案】232534x y y xy −+−．【解析】()()755364523521287x yx y x y x y −+÷−()()()755253526452357217287x y x y x y x y x y x y =÷−−÷−+÷−232534x y y xy =−+−． 【总结】本题考查了多项式除以单项式，计算时注意商的符号．【变式6】计算：()()222233ab a ab a b a b a b ⎡⎤−−−÷⎣⎦．【答案】13b ．【解析】()()222233ab a ab a b a b a b ⎡⎤−−−÷⎣⎦()3223222233a b a b a b a ba b =−−+÷222133a b a b b =÷=．【总结】本题考查了多项式乘单项式、合并同类项及多项式除以单项式． 【变式7】计算：()()()22342343223x x x x x x x x ++⋅−++÷−．【答案】543223321x x x x x ++−−−．【解析】()()()22342343223xx x x x x x x ++⋅−++÷−()345232123x x x x x =++−++543223321x x x x x =++−−−．【总结】本题考查了多项式乘单项式、合并同类项及多项式除以单项式． 【变式8】已知一个多项式与单项式22x y −的积是32212x y x y −，求这个多项式． 【答案】1124x y−+．【解析】()32221112224x y x y x y x y ⎛⎫−÷−=−+ ⎪⎝⎭．【总结】本题考查了多项式除以单项式，计算时要准确理解题意．【过关检测】一、单选题1．（2022秋·七年级单元测试）计算（﹣6xy 2）2÷（﹣3xy ）的结果为（ ） A ．﹣12xy 3 B ．2y 3 C ．12xy D ．2xy 3【答案】A【分析】先算积的乘方，再进行除法计算 【详解】原式＝36x2y4÷（﹣3xy ）＝﹣12xy3， 故选：A ．【点睛】本题考查了积的乘方，单项式的除法，掌握计算方法和计算顺序是解题关键．2．（2023·上海·七年级假期作业）小明在做作业的时候，不小心把墨水滴到了作业本上，▄×2ab ＝4a 2b +2ab 3，阴影部分即为被墨汁弄污的部分，那么被墨汁遮住的一项是（ ） A ．（2a +b 2） B ．（a +2b ） C ．（3ab +2b 2） D ．（2ab +b 2）【答案】A【分析】根据多项式除单项式的运算法则计算即可． 【详解】∵（4a2b+2ab3）÷2ab ＝2a+b2， ∴被墨汁遮住的一项是2a+b2． 故选：A ．【点睛】本题考查了多项式除以单项式，一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加．3．（2020秋·七年级校考课时练习）计算()()42357153x y x y −÷−的结果为（ ） A ．55xy B ．355x yC ．5xD ．35x【答案】B【分析】根据单项式除以单项式除法的运算法则进行计算即可． 【详解】()()()423578125785127351531531535x y x y x yx y x y x y −−−÷−=÷=÷=，故选：B ．【点睛】本题考查了单项式除以单项式，掌握运算法则是解题关键． 4．（2023·上海·七年级假期作业）下列运算中正确的是（ ）． A ．()()632632x x x ÷= B ．()()826842x x x ÷= C ．()()233xy x y ÷=D ．()()222x y xy xy ÷=【答案】B【分析】根据积的乘方和单项式的除法法则逐项计算判断即可．【详解】解：A 、()()633632x x x ÷=，故本选项计算错误；B 、()()826842x x x ÷=，故本选项计算正确； C 、()()22333xy x xy ÷=，故本选项计算错误；D 、()()2221x y xy ÷=，故本选项计算错误．故选：B ．【点睛】本题主要考查积的乘方和单项式的除法，熟练掌握运算法则是解题关键．【答案】B【分析】把被除式、除式里的系数、同底幂分别相除可得解． 【详解】解：211131344a b c ac −−⎛⎫÷= ⎪⎝⎭，故选B ．【点睛】本题考查整式的除法，熟练掌握整式的除法法则是解题关键．6．（2023·上海·七年级假期作业）如图，墨迹污染了等式中的运算符号，则污染的是（ ）A ．＋B ．－C ．×D ．÷【答案】D【分析】根据整式的加减乘除计算法则逐一判断可求解． 【详解】解：∵332x 与4x 不是同类项，不能进行加减计算，∴A 、B 选项不符合题意；∵34324128x x x ⨯=，∴C 选项不符合题意；∵323248÷=x x x ，∴D 选项符合题意； 故选：D ．【点睛】本题主要考查整式的四则运算，掌握相关计算法则是解题的关键．二、填空题7．（2023·上海·七年级假期作业）如果一个单项式乘以3x 的积是3x 2y ，那么这个单项式是 ___． 【答案】xy【分析】根据单项式的除法求解即可．【详解】解：由题意可得，这个单项式为233x yxy x =故答案为xy【点睛】此题考查了单项式除以单项式，解题的关键是熟练掌握单项式除法的运算法则．【答案】﹣8x3y【分析】单项式除以单项式：把系数，同底数幂分别相除，对于只在被除式里含有的字母则连同它的指数一起作为商的一个因式，根据运算法则直接计算即可． 【详解】解：原式＝﹣8x3y ． 故答案为：﹣8x3y ．【点睛】本题考查的是单项式除以单项式，掌握单项式除以单项式的法则是解本题的关键. 9．（2019秋·上海青浦·七年级校考阶段练习）计算：232-93a b b ÷=_____________ 【答案】-3a2b【分析】根据单项式除以单项式的运算法则计算可得．【详解】解：23293a b b −÷=-3a2b故答案为-3a2b ．【点睛】本题主要考查整式的除法，解题的关键是掌握单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式．【答案】29a b【分析】先根据除数=被除数÷商，可知A=32133a b ab÷，再根据整式的除法运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵32133a b A ab÷=， ∴A=32133a b ab ÷=29a b ． 故答案为：29a b ．【点睛】本题考查整式的除法运算，正确掌握运算法则是解题关键． 11．（2020秋·七年级校考阶段练习）计算：4262÷=a b a _________．【答案】23a b【分析】利用单项式除以单项式的法则计算即可【详解】解：422623b ÷=a b a a故答案为：23a b【答案】24168x y −+【分析】根据多项式除以单项式的运算法则计算即可．【详解】()322322223181264x yx y x y x y ⎛⎫−+−÷− ⎪⎝⎭()()32222322222233318126444x y x y x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−÷−+÷−+−÷− ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭32232222222218126333444x y x y x y x y x y x y −−=++−−− 24168x y =−+，故答案为：24168x y −+．【点睛】本题主要考查了多项式除以单项式的知识，掌握多项式除以单项式的运算法则是解答本题的关键．【答案】13n ab+−【分析】根据单项式的乘法和除法法则从左到右依次计算即可.【详解】原式=3221124n n a b a b −−÷=13n ab +−.故答案为13n ab+−.【点睛】本题考查了单项式的乘法和除法，熟练掌握单项式的乘法和除法是解答本题的关键. 14．（2021秋·上海·七年级期末）计算：8x 2y 4÷（﹣2xy 2）＝_____． 【答案】﹣4xy2【分析】根据单项式除以单项式运算法则，本题只需要把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，计算得出答案即可．【详解】解：8x2y4÷（﹣2xy2）＝21424x y −−−=﹣4xy2．故答案为：﹣4xy2．【点睛】本题考查了单项式除以单项式，掌握单项式除以单项式的运算法则是解题关键． 15．（2022秋·上海·七年级专题练习）计算：4a 3÷2a ＝_____． 【答案】2a2【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案 【详解】解：4a3÷2a ＝312a − =2a2．故答案为：2a2．【点睛】本题考查同底数幂的除法法则，正确使用法则是重点 16．（2022秋·上海·七年级校考期中）计算：446x x ÷=_____． 【答案】323x /323x【分析】根据单项式除以单项式运算法则进行计算即可． 【详解】解：432463x x x ÷＝． 故答案为：323x ．【点睛】本题主要考查了单项式除以单项式，熟练掌握单项式除以单项式运算法则是解答本题的关键．【答案】3x2y【分析】根据单项式除以单项式的法则计算即可. 【详解】原式=3x2y ，故答案为3x2y ．【点睛】本题考查整式的运算有关知识，根据整式的运算法则即可求出答案. 18．（2019秋·上海黄浦·七年级统考期末）计算：（2xy ）2÷2x ＝_____． 【答案】2xy2【分析】首先根据积的乘方的运算方法，求出（2xy ）2的值是多少；然后用它除以2x 即可． 【详解】（2xy ）2÷2x ＝4x2y2÷2x ＝2xy2 故答案为：2xy2．【点睛】此题主要考查了整式的除法的运算方法，以及幂的乘方与积的乘方的运算方法，要熟练掌握．三、解答题19．（2020·七年级上海市建平中学西校校考期中）计算：()()322563−÷a b a a【答案】22523a b a −【分析】根据整式的除法法则，用多项式的每一项去除单项式，应用单项式除以单项式的除法法则计算，再把所得的商相加即可得出答案．【详解】解：()()322563−÷a b a a 3225363=÷−÷a b a a a 22523=−a b a ．【点睛】本题考查了多项式除以单项式，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题． 20．（2021·上海奉贤·七年级校联考期末）计算：（6x 3+3x 2﹣2x ）÷（﹣2x ）﹣（x ﹣2）2． 【答案】﹣4x2+52x ﹣3【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．【详解】原式＝6x3÷（﹣2x ）+3x2÷（﹣2x ）+（﹣2x ）÷（﹣2x ）﹣（x ﹣2）2 ＝﹣3x2﹣32x+1﹣（x2﹣4x+4）＝﹣3x2﹣32x+1﹣x2+4x ﹣4＝﹣4x2+52x ﹣3．【点睛】此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．21．（2023秋·上海嘉定·七年级上海市育才中学校考期末）计算：()342(2)(12)(12)x x x x x −÷−−+−．【答案】22x【分析】先算除法和乘法，再去括号合并同类项即可． 【详解】解：()342(2)(12)(12)x x x x x −÷−−+−324(2)2(2)(14)x x x x x =÷−−÷−−−222114x x =−+−+22x =【点睛】本题考查了整式的四则混合运算，熟练掌握运算顺序是解答本题的关键．四则混合运算的顺序是先算乘除，再算加减；同级运算，按从左到右的顺序计算．【答案】9【分析】根据单项式除以单项式法则将等式左边化简，再根据左边等于右边，列出等式求得m 、n 的值，再根据单项式除以单项式法则将原式化简，代入数据计算即可．【详解】解：∵33121444m n m n x y x y x y x −−÷==，∴3210m n −=⎧⎨−=⎩，解得51m n =⎧⎨=⎩，∴253215321313535359m n mn m n mn −−⎛⎫÷=÷= ⎪⎝⎭，把51m n =⎧⎨=⎩代入得，原式2552551999mn ==⨯⨯=． 【点睛】本题考查了单项式除以单项式，以及幂的运算．利用法则将代数式进行化简是解决此题的关键．23．（2023·上海·七年级假期作业）计算：()()564233331232a b c a b c a b c ÷−÷．【答案】2−【分析】根据单项式除以单项式进行计算即可．【详解】解：()()564233331232a b c a b c a b c ÷−÷()5236334131232a b c −−−−−−=÷−÷⎡⎤⎣⎦2=−．【点睛】本题主要考查了单项式除以单项式的运算，注意先确定符号，再去计算． 24．（2022秋·七年级单元测试）小伟同学的错题本上有一题练习题，这道题被除式的第二项和商的第一项不小心被墨水污染了（污染处用字母M 和N 表示），污染后的习题如下：()()422223012632x y M x y x y N xy y ++÷−=+−．(1)请你帮小伟复原被污染的M 和N 处的代数式，并写出练习题的正确答案；(2)爱动脑的小芳同学把练习题的正确答案与代数式2x y xy y ++相加，请帮小芳求出这两个代数式的和，并判断所求的和能否进行因式分解？若能，请分解因式；若不能，请说明理由．【答案】(1)3218M x y =−；25N x y =−；2532x y xy y −+−(2)能，()221y x −−【分析】（1）根据多项式与单项式的除法法则计算即可（2）先求正确答案与2x y xy y ++的和，再因式分解即可． 【详解】（1）()2323618M xy x y x y =−=−，()42223065N x y x y x y =÷−=−，∴原题为())32422221830126x y x y x y x y +÷−−. 则答案为：2532x y xy y −+− （2）()22253244x y xy y x y xy y x y xy y −+−+++=−+−，能因式分解：()()2224444121x y xy y y x x y x −+−=−−+=−−【点睛】本题考查多项式除以单项式及因式分解，掌握相应法则时解题关键．【答案】44x y −【分析】先计算完全平方公式、单项式乘以多项式，再计算括号内的整式加减，然后计算多项式除以单项式即可得．【详解】解：原式22211164444x xy y xy y x ⎛⎫−++−÷ ⎪⎝⎭=()21634x xy x −=÷344x y =−．【点睛】本题考查了完全平方公式、单项式乘以多项式、多项式除以单项式等知识点，熟练掌握整式的运算法则是解题关键．【答案】(1)21600− (2)53225a a +(3)264【分析】（1）根据新定义的运算法则计算即可；（2）根据新定义的运算法则及整式的混合运算法则计算即可；（3）将2a =代入（2）中结论即可求解．【详解】（1）解：243 1.2−2314832 1.23421600=−⨯−÷=−； （2）解：()()()()86323386168626216822a a a a a a a a a a a a −+=+−−−−()53534242a a a a =+−−53534242a a a a =+−+ 53225a a =+；（3）解：2−的相反数是2，当2a =时，386621682a aa a a a +−−535322522252264a a =+=⨯+⨯=．【点睛】本题考查新定义运算，整式的混合运算，含乘方的有理数的混合运算，掌握新定义的运算法则并正确计算是解题的关键．【答案】2223x x −+− 【分析】根据多项式除以单项式法则进行运算，即可求解．【详解】解：()43222423x x x x ⎛⎫−+÷− ⎪⎝⎭211223x x =−+− 【点睛】本题考查了多项式除以单项式法则，熟练掌握和运用多项式除以单项式法则是解决本题的关键．【答案】5【分析】根据整式的运算法则，幂的运算法则处理．【详解】解：∵2223421111533n n n n xyz m x y z x y z ++−+⎛⎫−⋅=÷ ⎪⎝⎭， ∴22232311915x y z m x y z ⋅=．∴3232221131595m x y z x y z xz =÷=．∵正整数x 、z 满足：1223723x z −⋅==，∴3x =，12z −=．∴3x =，3z =，∴3273355m =⨯⨯=． 【点睛】本题考查幂的运算法则，整式的混合运算，掌握相关法则是解题的关键．。
新版北师大七年级数学下册第一章《整式的乘除运算》知识点总结及习题
第一章整式的乘除知识点总结一、单项式：数字与字母的乘积组成的代数式叫做单项式。
单独的一个数或一个字母也是单项式。
一个单项式中，数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。
注意：π是数字，而不是字母，它的系数是π，次数是0. 二、多项式几个单项式的代数和叫做多项式。
其中每个单项式叫做这个多项式的项。
多项式中不含字母的项叫做常数项。
多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。
三、整式：单项式和多项式统称为整式。
四、整式的加减法：整式加减法的一般步骤：（1）去括号；（2）合并同类项。
五、幂的运算性质：1、同底数幂的乘法：),(都是正整数n m aa a nm nm+=∙2、幂的乘方：),(都是正整数）（n m a a mnn m =3、积的乘方：)()(都是正整数n b a ab nnn= 4、同底数幂的除法：)0,,(≠=÷-a n m a a a nm nm都是正整数六、零指数幂和负整数指数幂： 1、零指数幂：);0(10≠=a a 2、负整数指数幂：),0(1是正整数p a aa p p≠=- 七、整式的乘除法：1、单项式乘以单项式：法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余的字母连同它的指数不变，作为积的因式。
2、单项式乘以多项式：法则：单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
3、多项式乘以多项式：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
4、单项式除以单项式：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。
5、多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。
八、整式乘法公式：1、平方差公式： 22))((b a b a b a -=-+2、完全平方公式： 2222)(b ab a b a ++=+ 2222)(b ab a b a +-=-七年级数学（下）第一章《整式的运算》一、 知识点：1、都是数与字母的乘积的代数式叫做单项式（单独的一个数或一个字母也是单项式）；几个单项式的和叫做多项式；单项式和多项式统称整式。
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存储器能存储多少张这样的数码照片？
2．怎样进行计算： am an _____ （ a 0, m,n 都是正整数，并且 m n ）。
3.探究：根据乘法和除法互为逆运算，由上面“复习完成”第 2 题的结果填空：
1 216 28= ; 2 55 53= ; 3107 105= ; 4 a6 a3= .
单项式相除，把
与
分别相除作为商的因式，对于只在被除式
里含有的 ，则连同它的指数作为商的一个因式．
-精品-
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（二）多项式除以单项式的法则：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1. 根据除法与乘法互为逆运算
（1） am bm m _____;
（2） a2 ab a ____; （3） 4x2 y 2xy2 2xy _______.
1、理解和掌握整式除法的运算法则. 2、从探索整式除法的运算法则的过程中，获得成功的体验，积累研究数学问题的 经验。 3、运用整式除法的运算法则，熟练、准确地进行计算.发展有条理的思考及表达 能力。 学习重点 整式除法运算法则及其应用。 学习难点 探索整式除法的运算法则过程。 学习过程 一、预习交流，学情检测 复习完成： 1.填空： (1) 2a 4a2 _____;(2) 3xy 2x2 _____; (3) 3ab2 4a2x3 _____;
4. 观察上述结果，看看计算结果有什么规律，并猜想： am an _____ . 对于除法运 算，有没有什么特殊的要求呢？这里的底数 a 有什么条件限制？ m、n 呢？ 5.归纳：同底数幂的除法法则 am an ________ （ a 0, m,n都是正整数，并且 m n ）。
文字语言：同底数幂相除，底数 ，指数 。
A. a5 a2 a3 C. a7 a5 a2
．)
B. x6 x2 x62 x3
D. x8 x6 x2
4．下列计算正确的是( )
A. a3 2 a6
B. a2 a a2
C. a a a2
D. a6 a3 a2
5. 填空：
（1） x11 x6
；
（2）
1 4
除以这个单项式，再把所得的
_____ 。
三、反思总结，测评反馈
1．计算 2x3 x2 的结果是 （
）
A. x
B. 2x
2．下列计算中，错．误．的是
C. 2x5
(
)
A. a3 a3 2a3 B. a2 a3 a5
-精品-
D. 2x6
[键入文字]
C. a3 2 a9
2.计算： （4） am m bm m _____; (5) a2 a ab a ____; （6） 4x2 y 2xy 2xy2 2xy _______ . 对比（1）与（4）、（2）与（5）、（3）与（6）的计算结果，看看发现什么结论？
3. 归纳：多项式除以单项式的法则
多项式除以单项式，先把这个多项式的
-精品-
[键入文字]
2.填空：（1） m a b _____; （2） a a b _____; (3) 2xy 2x y _______.
二、合作研讨，探究解疑 1.问题：木星的质量约是 1．90×1024 吨．地球的质量约是 5.08×1021 吨．•你知道木星 的质量约为地球质量的多少倍吗？
复习完成： 1.同底数幂的乘法法则是： am an ____ （ m、n 都是正整数） 2．根据同底数幂的乘法法则计算：
1 28 216; 2 53 55; 3 105 107; 4 a3 a6;
二、合作研讨，探究解疑 1．问题：一种数码照片的文件大小是 28K，一个存储量为 26M（1M=210K）•的移动
2.怎样进行单项式除以单项式，多项式除以单项式，其法则是什么？
（一）单项式除以单项式的法则：
1.根据除法与乘法互为逆运算，由“复习完成”第 1 题的结果填空：
（1）8a3 2a _____;
（2） 6x3 y 3xy ___;
（3）12a3b2 x3 3ab2 ____ .
2.归纳：单项式除以单项式的法则
0 指数幂的意义
6.探究：先分别利用除法的意义填空，再利用 am an amn 的方法计算，你能得出什
么结论？
1 32 32 ; 2103 103 ; 3 am am a 0.
7.验证：
am am 1, 而am am a a ,
a0 ___ a __ 0.
8.归纳：规定 a0 ___ a __ 0.
1 2
；
2 2
（3） a5 a ；
（4） xy7 xy2
；
（．5．）．a b4 a b2
；．
6. 计算：
（1）
x2
5
x2
2
;
-精品-
(2)
a3
2
a2
3
;
（3） ab2 3 ab2 . （4） x2 x2 3 x5;
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7.已知 1 米=109 纳米，某种病毒的直径为 100 纳米，多少个这种病毒能排成 1 毫米长？
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整式的除法 同底数幂的除法（第一课时）
学习目标 1.理解和掌握同底数幂的除法和运算法则. 2.运用同底数幂的除法和运算法则，熟练、准确地进行计算.提高表达能力。 3.感受数学法则、公式的简洁美与和谐美。
学习重点 准确、熟练地运用法则进行计算.
学习难点 根据乘、除互为逆运算关系得出法则.
学习过程 一、预习交流，学情检测
问题拓展 1.已知 2m a,32n b, 求 23m10n 的值。
（点拨：公式 am an amn 也可以逆用成 amn am an 来解决一些问题。）
2. 已知 4m3 • 8m1 24m7 16 ，求 m 的值。
-精品-
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整式的除法（第二课时）
时间：2013 年 10 月 27 日 学习目标
即：任何
0 的数的 0 次幂都等于 .
三、反思总结，测评反馈
1.计算 a3 a2 的结果是
（
）
-精品-
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A. a5 B. a 1 C. a
D. a2
2.若 x 20 1成立，则 x 满足（
）
A. x 2 B. x 2 C. x 1 D. x 0
3．．．下．列．计．算．正．确．的．是．．(