第12章整式的乘除知识点总结
整式的乘除法
数学受到高度尊崇的另一个原因在于：恰恰是数学，给精密的自然科学提供了无可置疑的可靠保证，没有第一讲 整式的乘法一、课标要求（学习本章节需要达到的目的）1、掌握同底数幂的乘法；2、幂的乘方；3、积的乘方；4、整式的乘法法则及运算规律.教学重点：同底数幂的乘法及幂的乘方、积的乘方运算. 教学难点：整式的乘法. 二、知识疏理知识点1：同底数幂的乘法法则同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
nm n m a a a +=⋅(m, n 都是正整数)。
例1：计算。
(1)4322⨯ (2)251010⨯(3)54x x ⋅知识点2：幂的乘方幂的乘方，底数不变，指数相乘。
mnn m a a =)((m, n 都是正整数)注意：nm n m a a ≠)(例2：计算。
(1)(32)3(2)(a m )2(3)―(x m )5(4)(a 2)3·a 5知识点3：积的乘方积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
(ab )n ＝a n b n(n 为正整数)例3：计算。
(1)(ab )4(2)322)(y x -(3))()(2352xy x -⋅(4)322)(ab (5)22110⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛10数学受到高度尊崇的另一个原因在于：恰恰是数学，给精密的自然科学提供了无可置疑的可靠保证，没有知识点4：单项式的乘法法则单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
例4：计算：(1))(3223xy y x -⋅ (2))()(c b b a 23245-⋅- 知识点5：单项式与多项式相乘的乘法法则单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
ap an am p n m a ++=++)( 例5：计算。
(1))(b a a 53222-(2)))((322532ab ab a --知识点6：多项式相乘的乘法法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得后积相加。
八年级数学上册 第12章 整式的乘除 12.5 因式分解 2 公式法课件
(2)原式=（2a）²－ 2·2a·1+（1）² =（2a － 1）2.
第十六页，共二十页。
3.多项式4a²+ma+9是完全平方式(fāngshì)，那么m的值是（D ） A.6 B.12 C. －12 D. ±12
4.计算： 2 0 1 4 2 2 0 1 4 4 0 2 6 2 0 1 3 2 .
解
步骤
平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)
完全平方公式a2±2ab+b2=(a±b)2
一提：公因式；
二套：公式； 三查：多项式的因式分解有没有分 解到不能再分解为止.
第十八页，共二十页。
第十九页，共二十页。
内容(nèiróng)总结
12.5 因式分解。（3）-x2-y2。三查（多项式的因式分解要分解到不能再分解为止）。3.中间有两 底数之积的±2倍.。（5）x2+x+0.25.。（4）因为ab不是a与b的积的2倍.。所以16x2+24x+9是一个完全平 方式，。（2）-x2+4xy-4y2.。解: (1)原式=3a（x2+2xy+y2）。分析：（1）中有公因式3a,应先提出(tí chū)公因式，再进一步分解因式。1002－2×100×99+99²。二套：公式
整式乘法 ( a + b )( a - b ) = a 2 - b 2
a 2 - b 2 = ( a + b )( a - b )
因式分解
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.
第六页，共二十页。
辨一辨：下列多项式能否用平方差公式(gōngshì)来分解因式，为什么？
（1）x2+y2 （2）x2-y2
华师版八年级数学上册第12章 整式的乘除2 幂的乘方
12.1 幂的运算 第2课时 幂的乘方
1．理解并掌握幂的乘方的概念与意义； 2．熟练运用幂的乘方运算法则进行计算；
温故知新
同底数幂的乘法
公式： am·an=am+n（m、n为正整数）
文字描述： 同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
大家知道太阳、木星和月亮的体积的大致比例吗？我可以告诉你，
2
（2）解：∵3m=4，3n=1 ，
2
∴32m+3n=32m×33n=(3m)2×(3n)3 =16×（1）3=2．
2
1．若am=2，an=3．则a2m+3n的值为（ ）
A．13
B．31 C．100 D．108
【详解】解：∵am=2，an=3， ∴a2m+3n=(am)2(an)3=23×33=4×27=108. 故选：D．
A．a＜b＜c
B．a＜c＜b
C．b＜a＜c
D．c＜b＜a
【详解】解：a=3444=（34）111，b=4333=(43)111,c=5222=(52)111 ∵34＞43＞52， ∴c＜b＜a； 故选D．
4．已知2x+y=1，则4x·2y的值为
．
【详解】解：∵2x+y=1， ∴4x·2y=(22)x·2y =22x+y =21 =2 故答案为：2．
木星的半径是地球半径的10倍，太阳的半径是地球半径的102倍，假如 地球的半径为r，那么，请同学们计算一下太阳和木星的体积是多少？ （球的体积公式为 V 4 πr3 ）
3
解：设地球的半径为1，则木星的半径就是10.
因此，木星的体积为V木星=
4 π（10）3 3
太阳的体积为V太阳=
4 3
华师版八年级数学上册第12章 整式的乘除2 两数和(差)的平方
【详解】（1）解：方法1：由图形可知，大正方形面积减去四个小长 方形面积来表示即为阴影部分面积， 大正方形边长为(m+n)，则大正方形面积为(m+n)2， 所以阴影部分面积为(m-n)2-4mn； 方法2：阴影部分为正方形，边长为(m-n)，故面积可表示为(m-n)2； 故答案为：(m-n)2-4mn；(m-n)2．
观察下图，用等式表示下图中图形面积的运算：
a b
a b
=
a2
- ab ab + b2
(a-b)2 = a2 - 2ab + b2
例2、计算(2x－3)2； 解: (2x－3)2=(2x)2－2•(2x) •3 +32
( a－ b )2 =a2 － 2ab + b2 =4x2 －12x +9；
补充例题 已知x+y=4，xy=2， 求（1）x2+y2；（2）3x2-xy+3y2；（3）x-y 解 (1)x2+y2=(x+y)2-2xy=42-2×2=16-4=12 (2)3x2-xy+3y2=3(x+y)2-7xy=3×42-7×4=3×16-28=20 (3)(x-y)2＝(x+y)2-4xy =42-4×2=8 所以 x-y= x2 - y2 = 8 2 2
【详解】解：设拼成的矩形一边长 为x， 则依题意得：(a+3)2-a2=3x， 解得，x=2a+3，故A正确． 故选：A．
7．如图，有甲、乙、丙三种不同的正方形或长方形纸片若干张．要用
这三种纸片无重合无缝隙拼接成一个大正方形，先取甲纸片1张，乙纸
片4张，还需取丙纸片
张．
【详解】解：∵(a+2b)2=a2+4ab+4b2， ∴还需取丙纸片4张． 故答案为4．
华师版八年级数学上册第12章3 乘法公式
(－a－b)(a－b)＝(－b－a)(－b＋a)＝(－b)2－ 符号变化
a2＝b2－a2
系数变化 (3a＋2b)(3a－2b)＝(3a)2－(2b)2＝9a2－4b2
续表：
知1－讲
变化形式
应用举例
指数变化 (a3＋b2)(a3－b2)＝(a3)2－(b2)2＝a6－b4
增项变化 (a－b＋c)(a－b－c)＝(a－b)2－c2
知1－练
解法提醒：运用平方差公式计算的三个关键步骤： 第1步，利用加法的交换律调整两个二项式中项的位 置，使之与公式左边相对应，已对应的就不需调整，如 (1)(2)不需调整，(3)(4)就必须调整. 第2步，找准公式中的a， b分别代表哪个单项式或多项式. 第3步，套用公式计算， 注意将底数带上括号. 如(1)中(5m)2不能写成5m2 .
知2－练
＝(2m)2＋2·2m·n＋n2
两个二项式相乘，若有一项相
＝4m2＋4mn＋n2.
同，另一项互为相反数，则用
(4)(2x＋3y)(－2x－3y)
平方差公式计算；若两项都相
＝－(2x＋3y)2
同或都互为相反数，则用完全 平方公式计算.
＝－[(2x)2＋2·2x·3y＋(3y)2]
＝－(4x2＋12xy＋9y2)＝－4x2－12xy－9y2.
知2－讲
知2－讲
(6)ab＝12[(a＋b)2－(a2＋b2)]＝14[(a＋b)2－(a－b)2]； (7)(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc； (8)a2＋b2＋c2＋ab＋ac＋bc＝12[(a＋b)2＋(b＋c)2＋(a＋c)2]
例 3 计算： (1)(x＋7y)2；(2)(－4a＋5b)2； (3)(－2m－n)2；(4)(2x＋3y)(－2x－3y).
华师大版八年级数学上册课件-第12章 整式的乘除
练习 下面的计算对不对？若不对，应当怎样改正？
（1） x6 x2 x3； （2） a3 a a3； （3） y5 y2 y3； （4）（-c）4 （-c）2 -c2.
例1 计算:
（1）x8÷x2 ；（2） a4 ÷a ；
（3）(ab) 5÷(ab)2；
思考：当底数是几个因式的积或是一个多项式时,需要 怎么看待? 解: (1) x8 ÷x2=x 8-2=x6.
学习目标
1.理解幂的乘方法则； 2.运用幂的乘方法则进行计算．
合作探究 达成目标
探究点一 幂的乘方法则的推导
根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空,看看计算的
结果有什么规律:
(1)（32）3 = 32×32×32 = 3( )
(2)（a2）3 = a2 × a2 × a2 =a( )
(3)（am）3 =
试一试
计算：
(ab)3= (ab)• (ab)•(ab) = (a•a•a)•(b•b•b) = a3b3
(ab)4 = a4b4
由 (ab)3 = a3b3
(ab)4 = a4b4 从左到右的变化
猜想 (ab)n= anbn
(n是正整数)
根据乘方的意义和乘法的运算律，计算：
（ab）（n n是正整数）．
1．下列各式中运算正确的是（ ） A．a2·a5=a20 B. a2+a5=a7 C. a2·a2=2a2 D. a2·a5=a7 2.下列能用同底数幂进行计算的是（ ） A.(x+y)2(x-y)3 B.（-x+y）3（x+y）2
C.(x+y)2(x+y)3 D.-(x-y)2(-x-y)
3.计算：
推广：（abc）n =anbncn.
第12章 12.3 12.3. 1 两数和乘以这两数的差
5. 计算： (1)(34x＋32y)(23y－43x)＝ 49y2－196x2 ； (2)(－3x－2y)(3x－2y)＝ 4y2－9x2 ． 6. 填写适当的式子： (1)(－6a＋ 2b )(2b＋ 6a )＝4b2－36a2； (2)(a＋b－c)(a－b＋c)＝[a＋( b－c )][a－( b－c )] ＝a2－( b－c )2.
C．12
D．15
【解析】∵a2－b2＋6b＝(a＋b)(a－b)＋6b，a＋b＝3， ∴a2－b2＋6b＝3(a－b)＋6b＝3(a＋b)＝3×3＝9.
6. 若(2x＋3y)(m x－ny)＝9y2－4x2，则 m ，n 的值为 (B )
A．m ＝2，n＝3 B．m ＝－2，n＝－3 C．m ＝2，n＝－3 D．m ＝－2，n＝3 7. 2019×2017－20182＝ －1 ．
第12章 整式的乘除 12.3 乘法公式
12.3.1 两数和乘以这两数的差
1. 两数和与两数差的积，等于这两数的 平方差 ．用 公式表示为：(a＋b)(a－b)＝ a2－b2 ．
2. 能用平方差公式进行运算的式子的特点： (1)左边是两个二项式的积，每个二项式中的两项 里，有一项是 相同的 ，另一项是 互为相反数 ； (2)右边是乘式中两项的平方差，即 相同 项的平方 减去 相反 项的平方．
＝225556；
(3)1. 01×0. 99； 解：原式＝(1＋0. 01)×(1－0. 01) ＝0. 9999；
38 (4)711×611. 解：原式＝(7＋131)(7－131)＝48111221.
9. 已知 a－b＝2，b－c＝2，a＋c＝14，求 a2－b2 的值．
解：把 b－c＝2，a＋c＝14 相加得：a＋b＝16，所 以 a2－b2＝(a－b)(a＋b)＝2×16＝32.
新华师大数学八年级上册：第12章整式的乘除小结与复习
公式的常 a2＝ (a＋b) (a－b)＋b2； a2＋b2＝(a＋b)2－ 2ab , 或(a－b)2＋ 2ab ；
用变形 b2＝ a2 －(a＋b)(a－b). (a＋b)2＝(a－b)2＋ 4ab .
[点拨](1)乘法公式实际上是一种特殊形式的多项式的乘法，公 式的主要作用是简化运算；
(2)公式中的字母可以表示数，也可以表示其他单项式或多 项式．
3．乘法公式 公式名称 两数和乘以这两数的差
两数和(差)的平方
两数和(差)的平方，等
两数和与这两数的差的积，于这两数的 平方和 加
文字表示
等于这两数的平方差
ห้องสมุดไป่ตู้
上(减去) 这两数积 的2
倍
式子表示 (a＋b)(a－b)＝a2－b2
(a±b)2＝a2±2ab＋b2
①左边是两个 二 项式相 乘，这两个二项式中有一 ①左边是一个 二 项式的和
7．用公式法分解因式 把 乘法公式 反过来，可以把符合公式特点的多项式分解 因式，这种分解因式的方法叫做公式法．这两个公式是： (1)逆用平方差公式
a2－b2 ＝ (a＋b)(a－b) ； (2)逆用两数和(差)的平方公式
a2±2ab＋b2＝ (a±b)2 . [点拨] 这里的两个公式是用来分解因式的，与乘法公式刚 好左右互换．运用公式分解因式，首先要对所给的多项式的 项数、次数、系数和符号进行观察，判断符合哪个公式的条 件．公式中的字母可表示数、字母、单项式或多项式，只有 符合公式的特征时才能运用公式．
（2）原式=（-8）×（-8）2015 ×（0.125）2015 =（-8）[（-8） ×0.125]2015 =（-8）×（-1）2015=8.
方法总结
幂的运算性质包括同底数幂的乘法、幂的乘方、积的 乘方及同底数幂的除法.这四种运算性质贯穿全章，是整式 乘除及因式分解的基础.其逆向运用可将问题化繁为简，负 数乘方结果的符号，奇次方得负，偶次方得正.
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第12章整式的乘除§12.1幂的运算一、同底数幂的乘法1、法则：a m·a n·a p·……=a m+n+p+……（m、n、p……均为正整数）文字：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
2、注意事项：（1）a可以是实数，也可以是代数式等。
如：π2·π3·π4=π2+3+4=π9；(-2)2·(-2)3=(-2)2+3=(-2)5=-25；(2)3·(2)4=(2)3+4=(2)7；(a+b)3·(a+b)4·(a+b)= (a+b)3+4+1=(a+b)8（2）一定要“同底数幂”“相乘”时，才能把指数相加。
（3）如果是二次根式或者整式作为底数时，要添加括号。
二、幂的乘方1、法则:(a m)n=a mn（m、n均为正整数）。
推广：｛[(a m)n]p｝s=a mn p s文字：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
2、注意事项：（1）a可以是实数，也可以是代数式等。
如：(π2)3=π2×3=π6；[(2)3]4=(2)3×4=(2)12；[(a-b)2]4= (a-b)2×4=(a-b)8（2）运用时注意符号的变化。
（3）注意该法则的逆应用，即：a mn= (a m)n，如：a15= (a3)5= (a5)3三、积的乘方1、法则：(ab)n=a n b n（n为正整数）。
推广：(acde)n=a n c n d n e n文字：积的乘方等于把积的每一个因式都分别乘方，再把所得的幂相乘。
2、注意事项：（1）a、b可以是实数，也可以是代数式等。
如：(2π)3=22π2=4π2；(2×3)2=(2)2×(3)2=2×3=6；(-2abc)3=(-2)3a3b3c3=-8a3b3c3；[(a+b)(a-b)]2=(a+b)2(a-b)2（2）运用时注意符号的变化。
（3）注意该法则的逆应用，即：a n b n =(ab)n；如：23×33= (2×3)3=63，(x+y)2(x-y)2=[(x+y)(x-y)]2四、同底数幂的除法1、法则：a m÷a n=a m-n（m、n均为正整数，m＞n，a≠0）文字：同底数幂相除，底数不变，指数相减。
2、注意事项：（1）a可以是实数，也可以是代数式等。
如：π4÷π3=π4-3=π；(-2)5÷(-2)3=(-2)5-3=(-2)2=4；(2)6÷(2)4=(2)6-4=(2)2=2；(a+b)16÷(a+b)14= (a+b)16-14=(a+b)2=a2+2ab +b2 （2）注意a≠0这个条件。
（3）注意该法则的逆应用，即：a m-n = a m÷a n；如：a x-y= a x÷a y，(x+y)2a-3=(x+y)2a÷(x+y)3§12.2 整式的乘法一、单项式与单项式相乘法则：单项式与单项式相乘，只要将它们的系数与系数相乘，相同字母的幂相乘，多余的字母照搬到最后结果中。
3ab)如：(-5a2b2)·(-4 b2c)·(-23)]·(a2·a)·(b2·b2)·c=[(-5)×(-4)×(-2=-30a3b4c二、单项式与多项式相乘法则：（乘法分配律）只要将单项式分别去乘以多项式的每一项，再将所得的积相加。
如：22--+-=x x x(3)(21)=(-3x2)·(-x2)+(-3x2)·2 x一(-3x2)·1=432-+363x x x三、多项式与多项式相乘法则：（1）将一个多项式中的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再将所得的积相加。
如：(m + n)(a + b)= ma+mb+na+nb(2)把其中一个多项式看成一个整体（单项式），去乘以另一个多项式的每一项，再按照单项式与多项式相乘的法则继续相乘，最后将所得的积相加。
如：(m+n)(a+b)= (m+ n)a+( m +n)b= ma+ na+mb+nb§12.3 乘法公式一、两数和乘以这两数的差1、公式：(a+b)(a-b)=a2-b2；名称：平方差公式。
2、注意事项：（1）a、b可以是实数，也可以是代数式等。
如：(10+9)(10-9)=102-92=100-81=19；(2xy+a)(2xy-a)=(2xy)2-a2=4 x2y2-a2；(a+b+π)( a+b -π)=(2xy)2-a2=4 x2y2-a2；（2）注意公式中的第一项、第二项各自相同，中间是“异号”的情况，才能用平方差公式。
（3）注意公式的来源还是“多项式×多项式”。
二、完全平方公式1、公式：(a±b)2=a2±2a b+b2；名称：完全平方公式。
2、注意事项：（1）a、b可以是实数，也可以是代数式等。
如：(2+3)2=(2)2+2×2×3+32=2+62+9=11+62；(mn-a) 2=(mn)2-2m n·a+ a2= m2n2-2m n a+ a2；( a+b -π)2=( a+b)2-2( a+b)π+π2= a2+2a b+b2-2πa-πb +π2；（2）注意公式运用时的对位“套用”；（3）注意公式中“中间的乘积项的符号”。
3、补充公式：(a+ b+ c)2=a2+c2+b2+2a b+2bc+2ca特别提醒：利用乘法公式进行整式的运算时注意“思维顺序”是：“一看二套三计算”。
§12.4 整式的除法一、单项式除以单项式法则：单项式相除，只要将它们的系数与系数相除，相同字母的幂相除，只在被除式中出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。
如：-21a2b3c÷3ab=(-21÷3)·a2-1·b3-1·c=-7ab2c（2x2y）3·（-7xy2）÷14x4y3=8x6y3·（-7xy2）÷14x4y3=[8×（-7）]·x6+1y3+2÷14x4y3=（-56÷14）·x7-4·y5-3=-4x3y25（2a+b）4÷（2a+b）2=（5÷1）（2a+b）4-2=5（2a+bz2=5（4a2+4ab+b2）=20a2+20ab+5b2二、多项式除以单项式法则：（乘法分配律）只要将多项式的每一项分别去除以单项式，再将所得的商相加。
如：(21x4y3-35x3y2+7x2y2)÷(-7x2y)=21x4y3÷(-7x2y)-35x3y2÷(-7x2y)+ 7x2y2÷(-7x2y)=-3x2y2+5xy-y[4y(2x-y)-2x(2x-y)]÷(2x-y)= 4y(2x-y)÷(2x-y)-2x(2x-y)]÷(2x-y)=4y-2x◇整式的运算顺序：先乘方（开方），再乘除，最后加减，括号优先。
§12.5 因式分解一、因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解。
（分解因式）因式分解与整式乘法互为逆运算二、提取公因式法：把一个多项式的公因式提取出来，使多项式化为两个因式的积，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
△公因式定义：多项式中每一项都含有的相同的因式称为公因式。
△具体步骤：（1）“看”。
观察各项是否有公因式；（2）“隔”。
把每项的公因式“隔离”出来；（3）“提”。
按照乘法分配律的逆运用把公因式提出来，使多项式化为两个因式的积。
△(a-b) 2n=(b-a) 2n(n为正整数)；(a-b) 2n+1=-(b-a) 2n+1(n为正整数)；如：8a2b-4ab+2a=2a·4ab-2a·2b+2a·1=2a(4ab-2b+1)；-5 a2+25 a=-5 a·a+5a·5=-5 a(a+5)(注意：凡给出的多项式的“首项为负”时，要连同“-”号与公因式一并提出来。
)三、公式法：利用乘法公式进行因式分解的方法，叫做公式法。
1、平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)；名称：平方差公式。
△注意事项：（1）a 、b 可以是实数，也可以是代数式等。
如：102-92 =(10+9)(10-9)=19×1=19；4 x 2y 2-a 2=(2xy )2-a 2=(2xy+a )(2xy-a )；()()n n n n n n n 8)1212)(1212(121222=+-+-++=--+（2）注意公式中的第一项、第二项各自相同，中间是“异号”的情况，才能用平方差公式。
（3）注意公式的结构好形式，运用时一定要判断准确。
2、完全平方公式：(a ±b )2=a 2±2a b+b 2；名称：完全平方公式。
△注意事项：（1）a 、b 可以是实数，也可以是代数式等。
如：m 2n 2-2m n a+ a 2=(mn )2-2m n ·a+ a 2=(mn-a )2；x 2+4xy+y 2=x 2+2·x ·2y+(2y )2=( x+2 y )2（2）注意公式运用时的对位“套用”；（3）注意公式中“中间的乘积项的符号”。
四、补充分解法：1、公式：x 2+(a+b )x+ab =(x+a )( x+b )。
如：x 2+5x+6= x 2+(2+3)x+2×3=(x+2)( x+3)；x 2+5x-6=x 2+[6+(-1))]x+6×(-1)=(x+6)( x-1)2、“十字相乘法”如：2914++=(x+2)( x+7)x x228--=(x+2)( x-4)x x1 2 1 21 7 1 -42 + 7=9 2 + (-4)= -2五、综合1、注意利用乘法公式进行因式分解时注意“思维顺序”是：“一看二套三分解”。
2、遇到因式分解的题目时，其整体的思维顺序是：（1）看首项是否为“一”，若为“一”，就要注意提负号；（2）看各项是否有公因式，若有公因式，应该首先把公因式提取出来再说；（3）没有公因式时，就要考虑用乘法公式进行因式分解或者“十字相乘法”。
3、注意事项：（1）注意（a-b）与（b-a）的关系是互为相反数；（2）因式分解要彻底，不要只提出公因式就完，还要看剩下的因式是否可以继续分解；（3）现阶段的因式分解的题目，一般都要求在有理数范围内分解，所以不能出现带根号的数；（4）注意“十字相乘法”只适用于“二次三项式型”因式分解，不要乱用此法。