第12章整式的乘除知识点总结

第12章整式的乘除

§12.1幂的运算

一、同底数幂的乘法

1、法则：a m·a n·a p·……=a m+n+p+……（m、n、p……均为正整数）

文字：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

2、注意事项：

（1）a可以是实数，也可以是代数式等。

如：π2·π3·π4=π2+3+4=π9；

(-2)2·(-2)3=(-2)2+3=(-2)5=-25；

(2)3·(2)4=(2)3+4=(2)7；

(a+b)3·(a+b)4·(a+b)= (a+b)3+4+1=(a+b)8

（2）一定要“同底数幂”“相乘”时，才能把指数相加。

（3）如果是二次根式或者整式作为底数时，要添加括号。

二、幂的乘方

1、法则:(a m)n=a mn（m、n均为正整数）。推广：｛[(a m)n]p｝s=a mn p s

文字：幂的乘方，底数不变，指数相乘。

2、注意事项：

（1）a可以是实数，也可以是代数式等。

如：(π2)3=π2×3=π6；

[(2)3]4=(2)3×4=(2)12；

[(a-b)2]4= (a-b)2×4=(a-b)8

（2）运用时注意符号的变化。

（3）注意该法则的逆应用，即：a mn= (a m)n，

如：a15= (a3)5= (a5)3

三、积的乘方

1、法则：(ab)n=a n b n（n为正整数）。推广：(acde)n=a n c n d n e n

文字：积的乘方等于把积的每一个因式都分别乘方，再把所得的幂相乘。

2、注意事项：

（1）a、b可以是实数，也可以是代数式等。

如：(2π)3=22π2=4π2；

(2×3)2=(2)2×(3)2=2×3=6；

(-2abc)3=(-2)3a3b3c3=-8a3b3c3；

[(a+b)(a-b)]2=(a+b)2(a-b)2

（2）运用时注意符号的变化。

（3）注意该法则的逆应用，即：a n b n =(ab)n；

如：23×33= (2×3)3=63，

(x+y)2(x-y)2=[(x+y)(x-y)]2

四、同底数幂的除法

1、法则：a m÷a n=a m-n（m、n均为正整数，m＞n，a≠0）

文字：同底数幂相除，底数不变，指数相减。

2、注意事项：

（1）a可以是实数，也可以是代数式等。

如：π4÷π3=π4-3=π；

(-2)5÷(-2)3=(-2)5-3=(-2)2=4；

(2)6÷(2)4=(2)6-4=(2)2=2；

(a+b)16÷(a+b)14= (a+b)16-14=(a+b)2=a2+2ab +b2 （2）注意a≠0这个条件。

（3）注意该法则的逆应用，即：a m-n = a m÷a n；

如：a x-y= a x÷a y，

(x+y)2a-3=(x+y)2a÷(x+y)3

§12.2 整式的乘法

一、单项式与单项式相乘

法则：单项式与单项式相乘，只要将它们的系数与系数相乘，相同字母的幂相乘，多余的字母照搬到最后结果中。

3ab)

如：(-5a2b2)·(-4 b2c)·(-

2

3)]·(a2·a)·(b2·b2)·c

=[(-5)×(-4)×(-

2

=-30a3b4c

二、单项式与多项式相乘

法则：（乘法分配律）只要将单项式分别去乘以多项式的每一项，再将所得的积相加。

如：22

--+-=

x x x

(3)(21)

=(-3x2)·(-x2)+(-3x2)·2 x一(-3x2)·1

=432

-+

363

x x x

三、多项式与多项式相乘

法则：

（1）将一个多项式中的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再将所得的积相加。

如：(m + n)(a + b)= ma+mb+na+nb

(2)把其中一个多项式看成一个整体（单项式），去乘以另一

个多项式的每一项，再按照单项式与多项式相乘的法则继续

相乘，最后将所得的积相加。

如：(m+n)(a+b)

= (m+ n)a+( m +n)b

= ma+ na+mb+nb

§12.3 乘法公式

一、两数和乘以这两数的差

1、公式：(a+b)(a-b)=a2-b2；名称：平方差公式。

2、注意事项：（1）a、b可以是实数，也可以是代数式等。

如：(10+9)(10-9)=102-92=100-81=19；

(2xy+a)(2xy-a)=(2xy)2-a2=4 x2y2-a2；

(a+b+π)( a+b -π)=(2xy)2-a2=4 x2y2-a2；

（2）注意公式中的第一项、第二项各自相同，中间是“异号”的情况，才能用平方差公式。

（3）注意公式的来源还是“多项式×多项式”。

二、完全平方公式

1、公式：(a±b)2=a2±2a b+b2；名称：完全平方公式。

2、注意事项：（1）a、b可以是实数，也可以是代数式等。

如：(2+3)2

=(2)2+2×2×3+32

=2+62+9

=11+62；

(mn-a) 2=(mn)2-2m n·a+ a2= m2n2-2m n a+ a2；

( a+b -π)2

=( a+b)2-2( a+b)π+π2

= a2+2a b+b2-2πa-πb +π2；

（2）注意公式运用时的对位“套用”；

（3）注意公式中“中间的乘积项的符号”。

3、补充公式：(a+ b+ c)2=a2+c2+b2+2a b+2bc+2ca

特别提醒：利用乘法公式进行整式的运算时注意“思维顺序”是：“一看二套三计算”。

§12.4 整式的除法

一、单项式除以单项式

法则：单项式相除，只要将它们的系数与系数相除，相同字母的幂相除，只在被除式中出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。

如：-21a2b3c÷3ab

=(-21÷3)·a2-1·b3-1·c