2021年上海高考数学冲刺直通车06 数列(专练)学生版

考点06 数列数列的概念及简单表示方法一、单选题1．（2020·上海浦东新区·华师大二附中高三月考）已知数列{}n a 为有穷数列，共95项，且满足2003200(6)2n n nn a C -=，则数列{}n a 中的整数项的个数为（ ） A ．13B ．14C ．15D ．162．（2020·上海市奉贤区曙光中学高三期中）已知数列{}n a 满足1N a *∈，1,2+3,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪⎩为偶数为奇数，若{}n a 为周期数列，则1a 的可能取到的数值有（ ） A ．4个 B ．5个C ．6个D ．无数个二、填空题3．（2020·上海高三专题练习）已知数列{}n a 满足+11=34,1n n a a a +=，则n a =__________. 4．（2020·上海虹口区·高三一模）已知数列{}n a 满足12a =-，且32n n S a n =+(其中n S 为数列{}n a 前n 项和)，()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足(2)()f x f x -=，则2021()f a =___________.三、解答题5．（2020·上海高三专题练习）数列{}n a 中，12a =-，1212n n na a a +-=-，求n a 的通项公式.6．（2020·上海高三专题练习）设函数2()(0,0)ax bx cf x a e ex f++=≠≠+有两个不同的不动点12,x x ，且由1()n n u f u +=确定着数列{}n u ，那么当且仅当0,2b e a ==时，1221112n n n n u x u x u x u x ++⎛⎫--= ⎪--⎝⎭.等差数列及其前n 项和一、单选题1．（2020·上海青浦区·复旦附中青浦分校高三开学考试）设等差数列1a ，2a ，…，n a （3n ≥，*N n ∈)的公差为d ，满足1211n a a a a ++⋅⋅⋅+=-2121122n a a a a +-+⋅⋅⋅+-=+++2n a m +⋅⋅⋅++=，则下列说法正确的是（ ） A ．3d ≥B ．n 的值可能为奇数C ．存在*i N ∈，满足21i a -<<D ．m 的可能取值为11二、填空题2．（2018·上海市奉贤区奉城高级中学高三期中）设数列{}n a 满足12n n a a --=，2n ≥，*n N ∈，前n 项和为n S ，则1lim nn n n S a a →∞+=______.三、解答题3．（2020·上海浦东新区·华师大二附中高三月考）已知数列{}n a ，{}n b 与函数()y f x =，{}n a 是首项115a =、公差0d ≠的等差数列，数列{}n b 满足：()n n b f a =.（1）若2d =，()21f x x =-，求{}n b 的前n 项和n S ；（2）若1d =-，()xf x e =，123n n T b b b b =⋅⋅⋅⋅，问n 取何值时，n T 的值最大？等比数列及其前n 项和一、单选题1．（2020·上海浦东新区·华师大二附中高三期中）已知无穷等比数列{}n a 的各项的和为3，且12a =，则2a =（ ） A ．13B ．25C ．23D ．32二、填空题2．（2020·上海市三林中学高三期中）数列{}()*n a n N ∈中，数列前n 项和为nS，若11a =，12n n a a +=，则10S =________.三、解答题3．（2020·上海崇明区·高三一模）对于数列{}n a ，若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和，则称{}n a 为P 数列.（1）若数列1，2，x ，8是P 数列，求实数x 的取值范围；（2）设数列1a ，2a ，3a ，⋅⋅⋅，10a 是首项为1-、公差为d 的等差数列，若该数列是P 数列，求d 的取值范围；（3）设无穷数列{}n a 是首项为a 、公比为q 的等比数列，有穷数列{}n b 、{}n c 是从{}n a 中取出部分项按原来的顺序所组成的不同数列，其所有项和分别记为1T 、2T ，求证：当0a >且12T T =时，数列{}n a 不是P 数列.数列求和及数列的综合应用一、单选题1．（2020·上海高三专题练习）设{}n a 是以2为首项，1为公差的等差数列，{}n b 是1为首项，2为公比的等比数列，记12n n b b b M a a a =+++，则{}n M 中不超过2009的项的个数为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．112．（2019·上海市建平中学高三月考）已知数列{}n a 满足()2*110,n n n a a a a ta n N+=>=-+∈，若存在实数t ，使{}n a 单调递增，则a 的取值范围是（ ）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,4二、填空题3．（2020·上海高三专题练习）已知等差数列{}n a 中*111,tan tan ()n n n a d b a n N a +===⋅∈，则数列{}n b 的前n 项和n S =___.4．（2019·上海华师大二附中高三期中）如图，一个粒子从原点出发，在第一象限和两坐标轴正半轴上运动，在第一秒时它从原点运动到点()0,1，接着它按图所示在x 轴、y 轴的垂直方向上来回运动，且每秒移动一个单位长度，那么，在2018秒时，这个粒子所处的位置在点______.三、解答题5．（2020·上海高三专题练习）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，其中2*,,,n S kn pn n N k p =+∈是常数．（1）求证：数列{}n a 为等差数列；（2）若1p =且对于任意的*24,,,m m m m N a a a ∈成等比数列，求k 的值；（3）设1231,0,(1)n n n k p T a a a a ===-+-++-，若对一切正数n ，不等式111(1)2n n n n n T a a λ+-+⎡⎤<+-⋅⎣⎦恒成立，求实数λ的取值范围．一、单选题1．（2020·上海市七宝中学高三期中）单调递增的数列{}n a 中共有N 项，且对任意,,(1),i j k i j k N ≤<<≤i j a a +，j k a a +和k i a a +中至少有一个是{}n a 中的项，则N 的最大值为（ ）A ．9B ．8C ．7D ．62．（2020·上海浦东新区·华师大二附中高三月考）已知数列{}n a 满足2134n n n a a a +=-+，13a =，则下列选项错误的是（ ） A ．数列{}n a 单调递增B ．不存在正数M ，使得n a M <恒成立C ．111lim 111n n a a →∞+⋅⋅⎛⎫⋅⎝--⎪⎭+= D ．100101a =3．（2020·上海市复兴高级中学高三期中）已知数列{}n a 满足：10a =，()()1ln 1n an n a e a n *+=+-∈N ，前n 项和为n S （参考数据：ln 20.693≈，ln3 1.099≈，则下列选项错误的是（ ）. A ．{}21n a -是单调递增数列，{}2n a 是单调递减数列 B ．1ln 3n n a a ++≤ C ．2020670S < D ．212n n a a -≤ 二、填空题4．（2019·上海杨浦区·高三二模）定义域为集合{1,2,3,,12}⋅⋅⋅上的函数()f x 满足：①(1)1f =；②|(1)()|1f x f x +-=（1,2,,11x =⋅⋅⋅）；③(1)f 、(6)f 、(12)f 成等比数列；这样的不同函数()f x 的个数为________5．（2020·上海高三专题练习）数列{}n a 的前n 项和为n S ，若数列{}n a 的各项按如下规律排列：12，13，23，14，24，34，15，25，35，45，1n ，2n ，…，1n n -，…有如下运算和结论：①2438a =；②数列1a ，23a a +，456a a a ++，78910a a a a +++，…是等比数列；③数列1a ，23a a +，456a a a ++，78910a a a a +++，…的前n 项和为24n n nT +=；④若存在正整数k ，使10k S <，110k S +≥，则57k a =.其中正确的结论是_____.（将你认为正确的结论序号都填上） 三、解答题6．（2020·上海高三专题练习）若有穷数列{}n a 满足()12:0,3k a a a k N k *≤<<<∈≥且对任意的,(1)i j i j k ≤≤≤，j i j i a a a a +-与至少有一个是数列{}n a 中的项，则称数列{}n a 具有性质P （1）判断数列1，2，4，8是否具有性质P ，并说明理由；（2）设项数为(,3)k k N k *∈≥的数列{}n a 具有性质P ，求证：()1212k k k ka a a a a -=++++；（3）若项数为(,3)k k N k *∈≥的数列{}n a 具有性质P ，写出一个当4k =时，{}n a 不是等差数列的例子，并证明当4k >时，数列{}n a 是等差数列一、单选题1．（2020·上海松江区·高三一模）记n S 为数列{}n a 的前项和，已知点(,)n n a 在直线102y x =-上，若有且只有两个正整数n 满足n S k ≥，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(8,14] B ．(14,18] C ．(18,20]D ．81(18,]42．（2020·上海崇明区·高三一模）设{}n a 为等比数列，则“对于任意的*2,m m m N a a +∈>”是“{}n a 为递增数列”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件二、填空题3．（2020·上海青浦区·高三一模）已知等差数列{}n a 的首项11a =，公差2d =，其前n 项和为n S ，则2lim nn na S →∞=___________. 4．（2020·上海杨浦区·高三一模）平面直角坐标系中，满足到1(1,0)F -的距离比到2(1,0)F 的距离大1的点的轨迹为曲线T ，点(,)n n P n y (其中0n y >，n *∈N )是曲线T 上的点，原点O 到直线2n P F 的距离为n d ，则lim →∞=n n d ____________. 5．（2020·上海浦东新区·高三一模）若等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1211n n a S +=，则数列{}n a 的前n 项和为n S 为________．.6．（2020·上海闵行区·高三一模）已知定义在[0,)+∞上的函数()f x 满足()()151,0222,2x x f x f x x ⎧--≤<⎪=⎨--≥⎪⎩.设()f x 在[)()*22,2n n n -∈N 上的最大值记作n a ，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则n S 的最大值为___________.7．（2020·上海嘉定区·高三一模）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项10a >，公差0d <，若对任意的*n N ∈，总存在*k ∈N ，使21(21)k n S k S -=-.则3k n -的最小值为___________.8．（2020·上海嘉定区·高三一模）设各项均为正数的无穷等比数列{}n a 满足：11a =，2321a a +=，则数列{}n a 的各项的和为___________.9．（2020·上海崇明区·高三一模）计算：123lim (2)n nn n →∞+++⋅⋅⋅+=+________三、解答题10．（2020·上海松江区·高三一模）对于由m 个正整数构成的有限集123{,,,,}m M a a a a =，记12()m P M a a a =+++，特别规定()0P ∅=，若集合M 满足：对任意的正整数()k P M ≤，都存在集合M 的两个子集A ､B ，使得()()k P A P B =-成立，则称集合M 为“满集”， （1）分别判断集合1{1,2}M =与2{1,4}M =是否为“满集”，请说明理由； （2）若12,,,m a a a 由小到大能排列成公差为d (*d ∈N )的等差数列，求证：集合M 为“满集”的必要条件是11,a =1d =或2；（3）若12,,,m a a a 由小到大能排列成首项为1，公比为2的等比数列，求证：集合M 是“满集”11．（2020·上海虹口区·高三一模）设x 是实数，n 是整数，若12x n -<，则称n 是数轴上与x 最接近的整数.（1）数列{}n a 的通项为n a ，且对任意的正整数n ，n 是数轴上与n a 最接近的整数，写出一个满足条件的数列{}n a 的前三项；（2）数列{}n a 的通项公式为n a n =，其前n 项和为n S ，求证：整数n a数；（3）n T 是首项为2，公比为23的等比数列的前n 项和，n d 是数轴上与n T 最接近的正整数，求122020d d d ++⋅⋅⋅+.12．（2020·上海长宁区·高三一模）若对于数列{}n a 中的任意两项i a ､j a ()i j >，在{}n a 中都存在一项m a ，使得2i m ja a a =，则称数列{}n a 为“X 数列”；若对于数列{}n a 中的任意一项()3n a n ≥，在{}n a 中都存在两项k a ､()l a k l >，使得2kn la a a =，则称数列{}n a 为“Y 数列”.（1）若数列{}n a 为首项为1公差也为1的等差数列，判断数列{}n a 是否为“X 数列”，并说明理由； （2）若数列{}n a 的前n 项和()21nn S n =-∈*N，求证：数列{}na 为“Y 数列”；（3）若数列{}n a 为各项均为正数的递增数列，且既为“X 数列”，又为“Y 数列”，求证：1234,,,a a a a 成等比数列.。