比率P的假设检验及其应用-2016.06.08一读

比率P的假设检验及其应用

摘要：假设检验是统计推断的另一项重要内容，它与参数估计类似，但角度不同。

参数估计是利用样本信息推断未知的总体参数，而假设检验则是先对总体参数提出一个假设值，然后利用样本信息判断这一假设是否成立。本文将主要介绍总体比率的假设检验的原理和方法，以及其在各种生活实例中的应用，从而更深的了解假设检验在各种统计方法中的重要作用。

关键词：假设检验；总体比率；检验统计量；拒绝域

Hypothesis Testing and Its Application of Ratio P Abstract:Hypothesis testing is another important content to statistical inference, and it is similar to parameter estimation, but the Angle is different. Parameter estimation is use sample information to infer an unknown population parameter, and the hypothesis testing is a hypothesis is proposed first in the overall parameters, and then using the sample information to determine whether the hypothesis is established. This article mainly introduces the overall rate of the principle and method of hypothesis testing, and its application in all kinds of living examples, thus deeper understanding of the hypothesis testing plays an important part in all kinds of statistical methods.

Key words:hypothesis testing；the overall rate；test statistics；rejection region

目录

一、假设检验的基本问题

（一）假设检验的概述

（二）假设检验的基本步骤

（三）检验的P值

二、总体比率的假设检验及其应用

（一）单个总体比率的假设检验

1.单个总体比率的精确检验及其应用

2.单个总体比率的大样本检验及其应用

（二）两个总体比率的假设检验

1.两个总体比率之差的精确检验及其应用

2.两个总体比率之差的大样本检验及其应用

一、假设检验的基本问题

（一）假设检验的概述

假设检验是统计推断的一项重要组成部分，它在各种统计方法中都有极其重要的应用。假设检验通过首先对总体参数提出的一个假设，然后利用样本信息推断这个假设是否成立这样一个过程，来判断承认还是拒绝该假设。

（二）假设检验的基本步骤

1.建立假设

在假设检验中，通常把被检验的假设叫做原假设，用H0表示，当原假设被拒绝时接受的假设叫做备择假设，用H1表示。在任一假设检验中，原假设与备择假设都是相互对立的，且二者只能居其一。

2.选择检验统计量

建立假设后，对于是否接受原假设则需要根据某一统计量出现的数值，从概率意义上判断来完成，这个统计量称为检验统计量。

3.显著性水平

检验的结果不一定是真实的情况，所以说，检验是有可能犯错误的。在假设检验中可能会犯的错误有两类：一是原假设为真却拒绝原假设，称这种错误为第一类错误，其发生的概率叫做犯第一类错误的概率，或称为拒真概率，在假设检验中把犯第一类错误的概率称为显著性水平，通常用α表示，即

α=P(拒绝H0 | H0为真)=Pθ(X∈W)

另一种错误是原假设为假却接受原假设，称这种错误为第二类错误，其发生的概率叫做犯第二类错误的概率，或称为受伪概率，通常用β表示，即

β=P(接受H0 | H1为真)=Pθ(X∈W)

这两类错误之间也存在着这样的关系：当α减小时，β会随之增大；当β减小时， α会随之增大。这个现象不是偶然的，而具有一般性，也就是说，在样本容量不变的前提下，找到一个使α和β都减小的检验是不可能的，唯一能使α和β同时减小的方法是增大样本容量。

在假设检验中，发生哪一类错误的后果更为严重，就应首先减小哪类错误发生的概率，通常情况下允许犯第一类错误的概率，尽量减小犯第二类错误的概率，一般取α=0.05和0.01，表示发生的概率很小。

4.给出拒绝域

拒绝域是指使原假设被拒绝的样本观测值所在的区域，用W表示。若统计量的值落在拒绝域内，则拒绝原假设；反之，则接受原假设。

5.由样本值计算结果

（三）检验的P值

假设检验的判断还有另外一种形式，即计算检验的P值，检验的P值就是在一个假

设检验中，可以利用样本观测值做出拒绝原假设的最小显著性水平。将检验的P值与心目中的显

著性水平α进行比较，就可以很容易的做出检验的结论。判断如下：

如果α≥p ，则在显著性水平α下拒绝原假设；

如果α＜p ，则在显著性水平α下接受原假设。

二、总体比率的假设检验及其应用

（一）单个总体比率的假设检验

1.单个总体比率的精确检验及其应用

下文所提到的比例p 可将其看作某事件发生的概率，即为两点分布(按：即0-1分布)X ~B(1,p)中的参数。做n 次独立试验，用x 标记事件发生的次数，则X ~B(n,p)，(按：即二项分布)。。

（1）设n 21x ,x ,x 为两点分布)p ,1(B ~X 的样本，考虑右侧假设检验：000p vsp p p :H >≤，给出拒绝域{}c x W ≥=，由于x 为整数，所以c 取非负整数值。但是对于给定α的,不一定找到恰好的c ，使

（1）设n 21x ,x ,x 为两点分布)p ,1(B ~X 的样本，考虑右侧假设检验：H 0：p

≤p 0，H 1：p ＞p 0，给出拒绝域{}c x W ≥=，由于x 为整数，所以c 取非负整数值。但是对于给定α的,不一定找到恰好的c ，使

,)p 1(p i n )p 1(p i n i n 0i 0n 1c i i n 0i 0n

c i 00-+=-=-???? ??>α>-???? ??∑∑

对此情况比较常见的办法是，找一个c 0,使

α=-???? ??=≥-=∑i n 0i 0n

c i 0)p 1(p i n )p ;c x (P

若取c=c 0,相当于提高检验的显著性水平，若取c=c 0+1,则相当于降低检验的显著性

水平，由于取c=c 0+1可以保证α

=-???? ??=≥-=∑i n 0i 0n

c i 0)p 1(p i n )p ;c x (P 的左侧不大于α（按：对c 0+1，上面的小概率P 比c 0会更小≤α，设小c 自然检验更加明显，检

验效率更高，但容易弃真），所以取c=c 0+1可得到水平为α的检验。

由此可以类似推出，对于假设检验问题H 0：p ≥p 0，H 1：p ＜p 0，检验的拒绝域可以为

}{,c x W ≤=c 为满足α≤-???? ??-=∑i n 0i 0n

c i )p 1(p i n 0的最大正整数。 对于假设检验问题H 0：p ＝p 0，H 1：p ≠p 0，检验的拒绝域为{},c x c x W 21≥≤=或其中

1c 为满足2)p 1(p i n i n 0i 0c 0i 1

α≤-???? ??-=∑的最大整数，2c 为满足2)p 1(p i n i n 0i 0n c i 2α≤-???? ??-=∑的最小整数。

（2)应用

例1.1.1 在一次模拟考试后，某班级的班主任对这次的成绩做了一次统计，统计结果发现有%40的同学达到了80分以上，现从该班级随机抽取20名同学，其中有5位同学成绩在80分以上。在显著性水平05.0=α下，能否认为这次的统计结果属实？ 解：由题意可知：这是一个关于单个总体比率的双侧假设检验问题，由于3018n <=，故可用精确检验的方法进行检验。设该班级学生成绩达到80分以上的比率为p ，x 表示20名学生中成绩达到80分以上的人数，则)p ,20(b ~x 。

现建立假设：4.0p :H ;4.0p :H 10≠=

拒绝域为：}{21c x c x W ≥≤=或,下求1c 和2c

由前面可知：

1c 为满足2)p 1(p i n i n 0i 0c 0i 1

α≤-???? ??-=∑的最大整数，2c 为满足2)p 1(p i n i n 0i 0n c i 2α≤-???? ??-=∑的最小整数，又因

0510.0)4x (P 025.00160.0)3x (P =≤<<=≤

故3c 1=，又有

022.0)12x (P 025.00564.0)11x (P =≥>>=≥

故12c 2=，所以拒绝域为}{12x 3x W ≥≤=或，由于观测值5不在拒绝域内，也就是说未落入拒绝域，即接受原假设，可以认为这次的统计结果属实。

例1.1.2 某工厂在一次对产品质量的调查中显示，该产生产的产品优质品率不低于%30，为了验证这一结论，该产随机从生产的产品中抽取了15件产品，其中发现有3件是优质品。问：在显著性水平05.0=α下，能否认为这次的调查结果属实？并给出检验的P 值。

解：由题意可知：这是一个关于总体比例的左侧的假设检验。设p 表示该工厂产品的优质品率，x 表示抽取的15件产品中的优质品数，则可有),15(~p b x 。 先建立假设：3.0p :H ;3.0p :H 10<≥

检验的拒绝域为：}{c x W ≤=，下计算c 的值。

由于1269.0)2x (P 025.00352.0)1x (P =≤<<=≤，所以可取1c =，检验的拒绝域为}{1x W ≤=，因题中得到的优质品数为3，未落入拒绝域，故接受原假设，可以认为这次的调查结果属实。

本题也可通过计算检验的P 值得出结论，用X 表示服从二项分布)3.0,15(b 的随机变量，则检验的P 值为：

2969.0)3.01(3.0x 15)3x (P p x 15x 3

0x =-???? ??=≤=-=∑ 由于检验的P 值05.02969.0=α>显著性水平，故接受原假设，所以可以认为这次的调查结果属实。

2.单个总体比率的大样本检验及其应用

（1）设样本n 21x ,x ,x 取自两点分布总体),p ,1(B ~X 其中p ~表示样本比例，p 为对

总体比率的某一假设值。当n 很大，np 和)p 1(n -都大于5时，样本比例p ~

近似服从均值为p ，方差为n /)p 1(p -的正态分布，而标准化检验统计量())

p 1(p p p ~n u 000--=，则近似服从标准正态分布。

在给定显著性水平的条件下，表1总结了大样本情况下总体比例检验的一般方法。

例1.2.1政府在对消费者的一项调查中表明，%18的居民的早餐饮料是牛奶。某一城市的牛奶商却认为，该城市的居民早餐饮用牛奶的比例应该更高。为了证明这一说法，该生产商随机抽取了一个500人的随机样本，其中有120人早餐饮用牛奶。在

05.0=α的显著水平下，检验该生产商的说法是否属实？

解：由题意可知，这是一个右侧检验。要证实生产商的说法是否属实，即要证明早餐引用牛奶的人数比例是否大于%18，由于18.0p 0

=，样本比例42.0500120p ~==，500n =大于30，0np 和)p 1(n 0-都大于5，故可用正态分布逼近。

现建立假设：%18p :H %,18p :H 10>≤

检验统计量为：492.3)

18.01(18.0)18.024.0(500)p 1(p )p p ~(n u 000=--=--= 由于05.0=α，经查表有645.1u u 95.005.01==-，因为645.1492.3>,落入了拒绝域，故拒绝原假设，即该生产商的说法属实，也就是可以认为这个城市的拒绝早餐饮用牛奶的比例高于%18。

例1.2.2 某位关心空气保护的公共福利社团的代表人宣称：“在工业发展日渐迅速的今天，空气污染成了人们关心的大问题。在某一工业区域内，能够遵守政府制定的空气污染标准法则的工厂不足%65，但是环境保护局的负责人却认为至少有%65的工厂是遵守这个标准法则的。因此这个环境保护局的负责人从这个工业区内随机选取了70家工厂，并且发现其中的42家是遵守这个法则的。在显著性水平为05.0=α下，验证真正的比率是否少于%65？

解：由题意可知，此题为一左侧检验。样本比率6.07042p ~==，已知70n =大于30，5.24)65.01(70)p 1(n ,5.45%6570np =-?=-=?=均大于5，故可以用正态分布逼近。

建立假设：%65p :H %,65p :H 10<≥

检验统计量为：877.0)

65.01(65.0)65.06.0(70)p 1(p )p p ~(n u 000-=--=--= 由于05.0=α，645.1u 05.0=，且877.0645.1->，未落入拒绝域，因此不能否定原假设，即使观察的样本比率少于%65，但也不能否定遵守法则的工厂的真正比率不少于%65这个原假设，所以可以认为，真正的比率并未少于%65。

（二）两个总体比率的假设检验

1.两个总体比率之差的精确检验及其应用

2.两个总体比率之差的大样本检验及其应用

按：纵向叙述

(1)两个总体比率之差的精确检验和大样本检验

设两个独立样本1,,21n X X X 和2n 21Y ,Y ,Y 分别取自二项分布总体X 和Y ，其中1

p 和2p 分别为两个独立总体的比例，1p ~和2p ~分别为它们的样本比例，且21p ~p ~-的数学

期望和标准差分别为：

2

121p p )p ~p ~(E -=- 2

2211121)1()1()~~(S n p p n p p p p -+-=- （按：标准差原文是D ，下同，这里应该是S 。21p ~p ~

-两个总体比率之差1p -2p 的抽样分布，还有总体分布？）

在上式中，1n 和2n 分别表示两个总体的样本容量。当11p n ,)p 1(n 11-,22p n 和

)p 1(n 22-都大于或等于5时，由中心极限定理可知，21p ~p ~

-近似地服从正态分布。由于两个总体的比例1p 和2p 是未知的，则需要用两个样本的比例1p ~和2p ~估计)~~(S 21p p -，

即两个样本比例之差抽样分布的标准差。

此时有：

对于两个总体比率之差的检验分为两种情况：一种是检验两个总体比率之差是否为0，当原假设成立时，即)0p p (p p :H 21210=-=或的最佳估计量是将两个样本的结果联

合起来，得到一个合并的比例p ?，其中2

122112121n n n p n p n n x x p ?++=++=，1x 表示样本1中具有某种特征单位的个数，2x 表示样本2中具有某种特征单位的个数。故两个总体比率之差的检验统计量就可以表示为：

)n 1n 1)(p ?1(p ?)p ~p ~(n )p ?1(p ?n )p ?1(p ?0)p ~p ~(z 2

1212121+--=-+---= 第二种情况是：两个总体比率之差为某一不为0的常数，即)0d (d p p :H 00210≠=-时，

在这种情况下可以直接用两个样本的比例1p ~

和2p ~相应估计两个总体的的比例1p 和2p ，)1,0(N ~n )p ~1(p ~n )p ~1(p ~)p p ()p ~p ~(n )p 1(p n )p 1(p )p p ()p ~p ~(22211121212221112121 -+----≈-+----

继而得到两个总体比率之差的检验统计量为：

2

22111021n )p ~1(p ~n )p ~1(p ~d )p ~p ~(z -+---=, 由上面的推导计算可以将两个总体比率之差的大样本检验方法概括在表2中。

（按：浙大概率统计第四版教材的第三章习题结论

即泊松分布和二项分布的和的分布有可加性。）

（2)应用

例2.2.1 政府对某一行业的两个公司进行了一项调查，调查内容为这两个公司的员工是希望得到特定增加的基本工资，还是希望得到特定增加的各种福利费用。在A 公司随机抽取的180名员工中，有80人愿意增加各种福利费用；在B 公司随机抽取的250名员工中，有120人希望增加各种福利费用。在显著水平01.0=α下，是否可以认为这两个公司中希望增加各种福利费用的员工比例有显著差异?

解：由题意可知，这是一个两个总体比例是否为0的假设检验。已知250n ,180n 21==，44.018080p ~1==，48.0250120p ~2==。

建立假设：0p p H ;0p p H 211210≠-==-=

463.0250

18025048.018044.0n n n p ~n p ~n n x x p ?2122112121=+?+?=++=++=

检验统计量为：

8206.0)250

11801)(463.01(463.00)48.044.0()n 1n 1)(p ?1(p ?0)p ~p ~(z 2

121-=+---=

+---= 由于01.0=α，拒绝域为2z z α>，58.2z 2-=-α，又58.28206.0->-，未落入拒绝域内，故接受原假设，可以认为两个公司中希望增加各种福利费用的员工比例没有显著差异。

例2.2.2 为了发展旅游事业，一些介绍当地旅游文化的旅游手册，都由当局的旅游管理部门向有需要的旅游者免费提供。有研究人员表明，需要旅游手册的旅游者与不需要旅游手册的旅游者在各个旅游消费方面存在着一些差异。现有两个由366名需要旅游手册者与488名不需要旅游手册者组成的随即样本，对于样本中的成员最近一次离家三天或三天以上的度假或是愉悦的旅行提出几个问题。其一为：“就这次旅行来说，你个人认为是积极的（即包括一些刺激，具有挑战性的事件或有意义的教育活动），还是消极的（大多数时间用于休息和放松）？”在下表中给出了消极度假的人数，现根据给出的数据是否能说明，需要旅游手册者消极度假的可能性比不需要旅游手册者

解：由题意可知：这也是一个两个总体比率之差是否为0的假设检验。已知：488n ,366n 21==，765.0280p ~1==，861.0488420p ~2

==。 现建立假设：0p p :H ;0p p :H 211210<-≥-

820.0488

366488861.0366765.0n n n p ~n p ~n n x x p ?2122112121=+?+?=++=++= 检验统计量为：)n 1n 1)(p ?1(p ?0)p ~p ~(z 2

121+---= )488

13661)(80.01(820.00)861.0765.0(+---= 614.3-=

由于05.0=α，这是一个左侧检验，645.1z 05.0-=-，因645.1614.3-<-，落入了拒

绝域，故拒绝原假设，所以可以说明需要旅游手册者消极度假的可能性比不需要旅游手册者小。

例2.2.3 在某工厂的一项质量调查结果中表明，该厂的甲车间生产的产品里不合格品的比率比乙车间生产的产品里不合格品的比率大%4，现从甲乙两个车间随机抽取两个独立样本,其中从家车间抽取200个产品，不合格品数为160个；从乙车间抽取220个产品，不合格品数为165个。根据所给的数据，能否检验这次调查结果是否属实？（05.0=α）。

知：220n ,200n 21==，75.0220

165p ~,80.0200160p ~

21====，04.0d 0=。 现建立假设：04.0p p :H ;04.0p p :H 211210>-≤-

检验统计量为: 2

22111021n )p ~1(p ~n )p ~1(p ~d )p ~p ~(z -+---= 220

)75.01(75.0200)80.01(80.004.0)75.080.0(-+---= 246.0=

由于05.0=α，645.1z z 05.0==α，又645.1246.0<，即α

原假设，所以可以认为这次调查的结果属实。

参考文献：

[1]茆诗松，程依明，濮晓华.概率论与数理统计教程[M].北京：高等教育出版社，2004.

[2]贾俊平.统计学[M].（第二版).北京：清华大学出版社，2006.

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[4]张建司，孙冒言，王世进.应用统计学[M].北京：清华大学出版社，2010.

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小结