人教版数学九年级上册：第二十一章 《一元二次方程》单元测试卷(附答案)
第二十一章《一元二次方程》单元测试题
（满分120分，时间120分钟）
姓名： 学校： 班级： 得分：
一、选择题（每题3分，共30分）
1.下列关于x 的方程：①ax 2+bx+c=0， ②3x （x ﹣4）=0， ③x 2+y ﹣3=0， ④ x+x=2，⑤x 3﹣3x+8=0， ⑥ x 2﹣5x+7=0．其中是一元二次方程的有（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
2.已知一元二次方程210x x +-=，下列判断的是（ ）
A ．该方程有两个相等的实数根
B ．该方程有两不个相等的实数根
C ．该方程无实数根
D ．该方程根的情况不确定
3.关于x 的方程2
210kx x +-=无实数根，则k 的取值范围是（ ）
A ．0k ≠
B ．1k <-
C ．k ≤-1
D ．1k =-
4.方程2（x+1）2=1化为一般式为（ ）
A ．2x 2+4x+2=1
B ．x 2+4x=﹣1
C ．2x 2+4x+1=0
D ．2x 2+2x+1=0
5.下列方程中，一定有实数解的是（ ）
A ．x 2+1=0
B ．（2x+1）2=0
C ．（2x+1）2+3=0
D ．（ x ﹣a ）2=a
6.已知关于x 的方程x 2
﹣（2k ﹣1）x+k 2
=0有两个不相等的实数根，那么k 的最大整数值是（ ）
A.﹣2
B.﹣1
C.0
D.1
7.已知3是关于x 的方程x 2
﹣（m+1）x+2m=0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC 的两条边的边长，则△ABC 的周长为（ ） A.7 B.10
C.11
D.10或11
8.甲、乙两个同学分别解一道一元二次方程，甲因把一次项系数看错了，而解得方程两根为﹣3和5，乙把常数项看错了，解得两根为2和2，则原方程是（ ） A.x 2+4x ﹣15=0 B.x 2﹣4x ﹣15=0 C.x 2+4x+15=0 D.x 2﹣4x+15=0
9.使分式256
1
x x x --+的值等于零的x 的值是（ ）
A.6
B.-1或6
C.-1
D.-6
10.在一幅长80cm ，宽50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5400cm 2，设金色纸边的宽为xcm ，那么满足的方程为（ ）
A ．2
13014000x x +-= B ．2
653500x x +-= C ．2
13014000x x --=
D ．2
653500x x --=
二、填空题（每题3分，共30分）
11.把一元二次方程(1)(1)2x x x +-=化成二次项系数大于零的一般式为 ，其中二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 . 12.已知方程22310x x --=的两根是1x 、2x ，则
12
11
x x += . 13.设a 、b 是一个直角三角形两条直角边的长，且2222()(1)12a b a b +++=，则这个直角三角形的斜边的长为 .
14.当方程
02-x 1m -x 1-m 1
m 2
=++）（）（是一元二次方程时，m 的值为 .
15.若关于x 的一元二次方程x 2
﹣x+m=0有两个不相等的实数根，则m 的值可能是 （写出一个即可）.
16.若矩形ABCD 的两邻边长分别为一元二次方程x 2
﹣7x+12=0的两个实数根，则矩形ABCD 的对角线长为 .
17.若关于x 的一元二次方程x 2+2x ﹣k=0没有实数根，则k 的取值范围是 . 18.设x 1，x 2是一元二次方程x 2
﹣2x ﹣3=0的两根，则x 12
+x 22
= . 19.若x 2
﹣4x+m 2
是完全平方式，则m= .
20.一个容器盛满纯药液40L ，第一次倒出若干升后，用水加满；第二次又倒出同样体积的溶液，这时容器里只剩下纯药液10L ，则每次倒出的液体是 L.
三、解答题，请写出必要的过程（共60分）
21.用适当的方法解下列方程（每小题3分，共12分）.
（1）2
316x x -=；
（2）22
(32)(23)x x -=-；
（3）2
23990y y --=；
（4）2
(32)5(32)40x x ---+=.
22.（6分）已知：x 1、x 2是关于x 的方程x 2
+（2a ﹣1）x+a 2
=0的两个实数根且（x 1+2）（x 2+2）
=11，求a 的值．
23.（6分）已知1x 、2x 是关于x 的一元二次方程22(21)(1)0x m x m ++++=的两个实数根。
（1）用含m 的代数式表示2212x x +； （2）当22
1215x x +=时，求m 的值。
24.（8分）先化简，再求值：a
4
-a 4a 4-a a -1a 2-a 2a 2
2÷+++）（，其中a 满足a 2﹣4a ﹣1=0．
25.（8分）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0．
（1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根；
（2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．
26.（8分）如图，某农场有一块长40m，宽32m的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路，要使种植面积为1140m2，求小路的宽．
27.（12分）汽车产业的发展，有效促进我国现代化建设．某汽车销售公司2018年盈利1500万元，到2020年盈利2160万元，且从2018年到2020年，每年盈利的年增长率相同．
（1）该公司2019年盈利多少万元？
（2）若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计2021年盈利多少万元？
第二十一章《一元二次方程》单元测试题
参考答案
一、选择题（每题3分，共30分）
1-5 ABBCB 6-10 CDBAD
二、填空题（每题3分，共30分） 11.01-x 2x 2=+；1；2；-1 12.-3 13.3 14.-1
15.-1即可）
（41
m < 16.5 17. 1k -< 18. 10 19. ±2 20. 20
三、解答题，请写出必要的过程（共60分）
21.（1）3
3
2-3x 3323x 21=+=； （2）1-x 1x 21==； （3）19-y 21y 21==； （4）2x 1x 21==；
22.a=-1
23.（1）1-m 4m 22+
（2）m=2
24.5
1
25.（1）解：
.
m 02-m 2m 4-]2m -[2
2数根为何值时，方程总有实不论）（）（△由题意可知：
∴≥=⨯+=
（2）
.
1m 2m 2
-1m 1
x ;m
2
x m 22-m 2m x 21正整数根时方程有两个不相等的综上，当不合题意，舍去
或数根
方程有两个不相等的实）（由题意可知：===∴==∴±+=
26. 小路的宽为2m. 27. （1）1800万元 （2）2592万元。
九年级数学上册《第二十一章 一元二次方程》单元测试卷带答案(人教版)
九年级数学上册《第二十一章一元二次方程》单元测试卷带答案(人教版）班级姓名学号一、单选题1．方程x2－2(3x－2)+(x+1)=0的一般形式是( )A．x2－5x+5=0 B．x2+5x+5=0 C．x2+5x－5=0 D．x2+5=02．一元二次方程x2-6x-5=0配方后可变形为（）A．（x-3）2=14 B．（x-3）2=4 C．（x+3）2=14 D．（x+3）2=43．已知a、c互为相反数，则关于x的方程ax2+5x+c=0(a≠0)根的情况（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．有一根为54．已知a是方程x2−2021x+1=0的一个根，则a2−2020a+2021a2+1的值为（）A．2018 B．2019 C．2020 D．20215．方程3x（x﹣3）=5（x﹣3）的根是（）A．53B．3 C．53和3 D．53和﹣36．已知2x2+4x−3=0的两根分别是x1和x2则x1+x2的值是（）A．2 B．-2 C．−23D．−327．关于x的一元二次方程x2−2x+k=0有两个相等的实数根，则k的值为（）A．1B．−1C．2D．−28．李明去参加聚会，每两人都互相赠送礼物，他发现共送礼物20件，若设有n人参加聚会，根据题意可列出方程为（）A．n(n+1)2=20 B．n（n﹣1）=20C．n(n−1)2=20 D．n（n+1）=20二、填空题9．若方程（a+1）x2﹣3x+1=0是关于x的一元二次方程，则a需满足．10．用配方法解一元二次方程x2＋6x＋1＝0时，配方后方程可化为：.11．若关于x的方程x（kx-4）-x2+6=0没有实数根，则k的最小整数值为．12．已知方程x2+4x−3=0的两根分别为x1和x2，则x1+x2+x1x2=．13．学校秋季运动会上，九年级准备队列表演，一开始排成8行12列，后来又有84名同学积极参加，使得队列增加的行数比增加的列数多1．现在队列表演时的列数是．三、解答题14．求下列各式中的x .（1）2x2−18=0（2）(x−1)3=6415．若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+1＝0有两个实数根（1）求k的取值范围？（2）当k=8时，求一元二次方程的解16．已知关于x的方程x2−3ax−3a−6=0（1）求证：方程恒有两不等实根；（2）若x1，x2是该方程的两个实数根，且(x1−1)(x2−1)=1，求a的值.17．应用题：（本题第一问要求列方程作答）某市要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛．（1）应该邀请多少支球队参加比赛？（2）若某支球队参加3场后，因故不参与以后的比赛，问实际共比赛多少场？18．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a-c）=0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长（1）如果x=-1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根.19．为倡导积极健康的生活方式、丰富居民生活，区推出系列文化活动，其中的乒乓球比赛采用单循环赛制（即每两名参赛者之间都要进行一场比赛）经统计，此次乒乓球比赛男子组共要进行28场单打. （1）参加此次乒乓球男子单打比赛的选手有多少名？（2）在系列文化活动中，社区与某旅行社合作组织“丰收节”采摘活动收费标准是：如果人数不超过20人，每人收费200元；如果超过20人，每增加1人，每人费用都减少5元经统计，社区共支付“采摘活动”费用4500元求参加此次“丰收节”采摘的人数.参考答案1．A2．A3．A4．C5．C6．B7．A8．B9．a≠﹣110．(x＋3)2＝811．212．−713．1514．（1）解：2x2-18=0∴2x2=18∴x2=9∴x=±3（2）解：由题意得：x-1=4∴x=515．（1）解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣6x+1＝0有两个实数根∴△＝b2﹣4ac≥0，即（﹣6）2﹣4×k×1≥0解这个不等式得：k≤9又∵k是二次项系数∴k≠0则k的取值范围是k≤9且k≠0．（2）解：x1=12x2=1416．（1）证明：∵Δ=b2−4ac=(−3a)2−4×1×(−3a−6)=9a2+12a+24=(3a+2)2+20>0∴该方程恒有二不等实根；（2）解：由根与系数的关系x1+x2=3a x1x2=−3a−6∵(x1−1)(x2−1)=1∴x1x2−(x1+x2)+1=1∴−3a−6−3a+1=1解得a=−1.17．（1）解：设应该邀请x支球队参加比赛x（x﹣1）＝15依题意，得：12解得：x1＝6，x2＝﹣5（不合题意，舍去）．答：应该邀请6支球队参加比赛．× 5×4＝13（场）．（2）解：3 +12答：实际共比赛13场．18．（1）解：△ABC是等腰三角形.理由：∵x=-1是方程的根∴（a+c）×（-1）2+2b×（-1）+（a-c）=0∴a+c-2b+a-c=0，∴a-b=0a=b，∴△ABC是等腰三角形（2）解：△ABC是直角三角形理由：∵方程有两个相等的实数根∴（2b）2-4（a+c）（a-c）=0，∴4b2-4a2+4c2=0∴a2=b2+c2，∴△ABC是直角三角形.（3）解：∵△ABC是等边三角形∴a=b=c∴一元二次方程化为x2+x=0∴x（x+1）=0∴x1=0，x2=-1.19．（1）解：设参加此次乒乓球男子单打比赛的选手有x名x(x−1)=28 .根据题意，得：12解得：x1=8x2=−7（错误，舍去）；∴参加此次乒乓球男子单打比赛的选手有8名. （2）解：设参加此次“丰收节”采摘的人数为y人∵200×20=4000<4500∴y>20；根据题意，得y[200−5(y−20)]=4500 .解得：y1=y2=30 .∴参加此次“丰收节”采摘的人数为30人.。
2024-2025学年人教版九年级数学上册第二十一章 一元二次方程单元测试卷(含答案)
第二十一章一元二次方程一、选择题1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）A．x−1=0B．x2−x−1=0C．x2−y=0D．1x+x−1=02．一元二次方程x2−4x+1=0配方后，可化为（ ）A．(x−2)2=3B．(x+2)2=3C．(x−2)2=4D．(x+2)2=43．若x=1是方程x2+mx+1=0的一个解，则m的值为（ ）A．1B．2C．−1D．−24．方程x(x−2)=0的解是（ ）A．0B．2C．−2D．0或25．如果关于x的一元二次方程k x2−4x+2=0有实数根，则k的取值范围是（ ）A．k≤2B．k≤2且k≠0C．k<2且k≠0D．k≥2且k≠06．若x1+x2=3，x1x2=2，则以x1，x2为根的一元二次方程是（ ）A．x2−3x+2=0B．x2+3x−2=0C．x2+3x+2=0D．x2−3x−2=07．学校要组织一场篮球联赛，赛制为单循环形式，即每两队之间比赛一场，计划安排15场比赛，应邀请多少个队参加比赛？设应邀请x个球队参加比赛，下列算式正确的是（ ）A．x(x+1)=15B．x(x−1)=15C．12x(x+1)=15D．12x(x−1)=158．若m，n是关于x的一元二次方程x2+2x−5=0的两个根，则m2+mn−2n的值为（ ）A．−6B．6C．−4D．4二、填空题9．若关于x的方程（m+1）x2﹣3x+2＝0是一元二次方程，则m的取值范围是 ．10．将关于x的一元二次方程x2−6x−5=0化成(x+a)2=b的形式，则b= ．11．方程3x2−6x=0的解是 12．已知关于x的方程(a−2)x2−2x+1=0有实数根，则a的取值范围是 13．若x1，x2是一元二次方程x2−x−6=0的两个实数根，则1x1+1x2的值为 ．三、计算题14．解方程：（1）3x2−10x+6=0；（2）5(x+3)2=2(x+3)．15．已知关于x的一元二次方程x2−(2k+1)x+k2+k=0 .（1）求证：方程有两个不相等的实数根.（2）若 Rt△ABC的两边AB，AC的长分别是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，求 k 的值.16．已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2−1=0有两个不相等的实数根.（1）求m的取值范围.（2）设x1，x2分别是方程的两个根，且x21+x22+x1x2−17=0，求m的值.17．交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同.（1）求该品牌头盔销售量的月增长率.（2）若此种头盔的进价为30元/个，经测算，此种头盔在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个.现希望该头盔每月销售利润为10 000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少?18．某超市销售一种衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该超市准备适当降价，经过一段时间测算，发现每件衬衫每降价1元，平均每天可多售出2件.（1）若每件衬衫降价4元，平均每天可售出多少件衬衫? 此时每天销售获利多少元?（2）在每件盈利不少于 25元的前提下，要使该衬衫每天销售获利为1 200元，问每件衬衫应降价多少元?（3）该衬衫每天的销售获利能达到 1 300 元吗?如果能，请写出降价方案；如果不能，请说明理由.1．B 2．A 3．D 4．D 5．B 6．A 7．D 8．D 9．m≠-1 10．1411．x1=0，x2=212．a≤313．−1614．（1）解：3x2−10x+6=0，∵a=3，b=−10，c=6，∴b2−4ac=(−10)2−4×3×6=28>0，∴x=−b±b2−4ac2a =10±286=5±73，∴x1=5+73，x2=5−73；（2）解：5(x+3)2=2(x+3)，5(x+3)2−2(x+3)=0，(x+3)(5x+13)=0，x+3=0或5x+13=0，解得x1=−3，x2=−135．15．（1）证明：∵关于x的一元二次方程为x2−(2k+1)x+k2+k=0，∴Δ=[−(2k+1)]2−4(k2+k)=4k2+4k+1−4k2−4k=1>0，∴关于x的一元二次方程x2−(2k+1)x+k2+k=0有两个不相等的实数根；（2）解：∵关于x的一元二次方程为x2−(2k+1)x+k2+k=0，∴(x−k)[x−(k+1)]=0，解得：x1=k，x2=k+1.∵ Rt△ABC的两边AB，AC的长分别是这个方程的两个实数根，分两种情况讨论如下：当BC=5为直角边时，k2+52=(k＋1)2，解得：k=12；当BC=5为斜边时，k2+(k+1)2=52，解得：k1=3，k2=−4（根据边长为正判断不合题意，舍去），∴k=12或k=3．16．（1）解：∵一元二次方程有两个不相等的实根∴(2m+1)2−4×1×(m2−1)=4m2+4m+1−4m2+4=4m+5＞0，解得m>−54；（2）解：∵ x1，x2分别是方程的两个根∴x1+x2=−(2m+1)=−2m−1，x1·x2=m2−1；∵x12+x22+x1x2−17=0，配方后可得(x1+x2)2−x1x2−17=0；将x1+x2=−(2m+1)=−2m−1和x1·x2=m2−1代入，可得：(−2m−1)2−(m2−1)−17=0，化简可得3m2+4m−15=0；解得m=53或-3（舍去）；∴m的值为53.17．（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，依题意，得：150(1+x)2=216，解得：x1=0.2=20%，x2=−2.2（不合题意，舍去）．答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%；（2）设该品牌头盔的实际售价为y元，依题意，得：(y−30)(600−y−400.5×5)=10000，整理，得：y2−130y+4000=0，解得：y1=80（不合题意，舍去），y2=50，∵尽可能让顾客得到实惠，∴该品牌头盔的实际售价应定为50元，答：该品牌头盔的实际售价应定为50元．18．（1）解：由题意可得，每件衬衫降价4元，平均每天可售出衬衫的数量为：20+4×2=28（件）；此时每天获取的利润为(40-4)×28=1008（元）；（2）解：设每件衬衫降价x元（0≤x≤15），由题意可得(20+2x)×(40-x)=1200，整理得x2-30x+200=0，解得x1=10，x2=20(舍)，答：在每件盈利不少于25元的前提下，要使该衬衫每天销售获利为1200元，每件衬衫应降价10元；（3）解：该衬衫每天的销售获利不能达到1300元，理由如下：设每件衬衫降价y元，由题意可得(20+2y)×(40-y)=1300，整理得y2-30y+250=0，∵b2-4ac=302-4×1×250=-100＜0，∴此方程没有实数根，即该衬衫每天的销售获利不能达到1300元.。
人教版九年级数学上册《第二十一章一元二次方程》单元测试卷-附答案
人教版九年级数学上册《第二十一章一元二次方程》单元测试卷-附答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题1．下列方程中是一元二次方程的是（）A．x+y2=2B．x+4=2C．x2+4x=2D．x2+1x=22．如果x=2是一元二次方程x2+bx+2=0的一个根，则b的值是（）A．2 B．－2 C．3 D．−33．一元二次方程x2−6x+1=0配方后可变形为（）A．(x−3)2=8B．(x−3)2=10C．(x+3)2=8D．(x+3)2=104．一元二次方程x2+2x−1=0的实数根有（）A．1个B．2个C．0个D．无数个5．方程x2−49=0的解为（）A．x1=7，x2=−7B．x1=1，x2=7C．x1=x2=7D．x1=x2=−76．已知关于x的一元二次方程ax2+2x−1=0有两个实数根，则a的取值范围是（）A．a>−1且a≠0B．a≥−1且a≠0C．a≥−1D．a≤−17．2024年元旦开始，梧州市体育训练基地吹响冬季足球训练“集结号”，该基地组织了一次单循环的足球比赛（每两支队伍之间比赛一场），共进行了36场比赛，设有x支队伍参加了比赛，依题意可列方程为（）A．x(x+1)=36B．x(x−1)=36C．x(x+1)2=36D．x(x−1)2=368．设x1,x2是一元二次方程x2−2x−1=0的两根，则1x1+1x2=（）A．12B．−12C．2 D．−2二、填空题9．若方程(m−1)x m2+1−x−2=0是一元二次方程，则m的值是.10．将一元二次方程x2−8x−5=0化成(x+a)2=b（a，b 为常数）的形式，则ab＝．11．关于x的一元二次方程ax2−2(a−1)x+a=0有实数根．则a的取值范围．12．已知三角形的两边长为1和2，第三边的长是方程x2−5x+6=0的一个根，则这个三角形的周长是．13．若 m，n 是一元二次方程x2−2x−5=0的两个根，则m2n+mn2=．三、计算题14．解方程：（1）x2+1=7x；（2）x2+4x−5=0．四、解答题15．关于x的一元二次方程−x2+2x−k=0．（1）若方程有两个实根，求k的取值范围．（2）若方程的一根为−1，求k的值及另一根．16．已知关于x的方程x2﹣3ax﹣3a﹣6＝0（1）求证：方程恒有两不等实根；（2）若x1，x2是该方程的两个实数根，且（x1﹣1）（x2﹣1）＝1，求a的值．17．如图，某小区矩形绿地的长宽分别为35m，15m．现计划对其进行扩充，将绿地的长、宽增加相同的长度后，得到一个新的矩形绿地．（1）若扩充后的矩形绿地面积为800m2，求新的矩形绿地的长与宽；（2）扩充后，实地测量发现新的矩形绿地的长宽之比为5：3．求新的矩形绿地面积．18．第31届世界大学生夏季运动会在成都举办，吉祥物“蓉宝”深受大家的喜爱．某商场从厂家购进了成都大运会吉祥物蓉宝毛绒公仔和3D钥匙扣两种商品，每个毛绒公仔的进价比每个3D钥匙扣的进价多30元．若购进毛绒公仔4个，3D钥匙扣5个，共需要570元．（1）求毛绒公仔、3D钥匙扣两种商品的每个进价分别是多少元？（2）该商场从厂家购进成都大运会吉祥物蓉宝毛绒公仔和3D钥匙扣两种商品共60个，所用资金恰好为4200元．在销售时，每个毛绒公仔的售价为100元，要使得这60个商品卖出后获利25%，则每个3D钥匙扣的售价应定为多少元？参考答案1.【答案】C2.【答案】D3.【答案】A4.【答案】B5.【答案】A6.【答案】B7.【答案】D8.【答案】D9.【答案】-110.【答案】-111.【答案】a≤12且a≠012.【答案】513.【答案】514.【答案】（1）解：原方程可化为x2−7x+1=0b2−4ac=(−7)2−4×1×1=45>0x=7±√452=7±3√52x1=7+3√52（2）解：∵x2+4x−5=0∴(x+5)(x−1)=0∴x+5=0或x−1=0∴x1=−515.【答案】（1）解：∵方程有两个实根∴Δ=22−4×(−1)×(−k)≥0解得k≤1∴k的取值范围为k≤1.（2）解：设方程的另一根为x 2，依题意得{−1+x 2=2−x 2=k解得{x 2=3k =−3∴k 的值为−3，另一根为316.【答案】（1）证明：∵Δ=b 2−4ac =(−3a)2−4×1×(−3a −6)=9a 2+12a +24=(3a +2)2+20>0∴该方程恒有两个不等实根；（2）解：由根与系数的关系x 1+x 2=3a,x 1x 2=−3a −6∵(x 1−1)(x 2−1)=1∴x 1x 2−(x 1+x 2)+1=1∴−3a −6−3a +1=1解得a =−117.【答案】（1）解：（1）设将绿地的长、宽增加xm ，则新的矩形绿地的长为(35+x)m ，宽为(15+x)m 根据题意得：(35+x)(15+x)=800整理得：x 2+50x −275=0解得：x 1=5，x 2=−55（不符合题意，舍去）∴35+x =35+5=40，15+x =15+5=20答：新的矩形绿地的长为40m ，宽为20m（2）设将绿地的长、宽增加ym ，则新的矩形绿地的长为(35+y)m ，宽为(15+y)m 根据题意得：(35+y)：(15+y)=5：3即3(35+y)=5(15+y)解得：y =15∴(35+y)(15+y)=(35+15)×(15+15)=1500答：新的矩形绿地面积为1500m 218.【答案】（1）解：设毛绒公仔、3D 钥匙扣两种商品的每个进价分别是(30＋x)和x 元，由题意得： 4(30+x)+5x =570，解得x =50答：毛绒公仔、3D 钥匙扣两种商品的每个进价分别是80和50元；（2）解：设毛绒公仔买了x 个，由题意可得：80x +50(60−x)=4200解得x=40设3D钥匙扣的每个售价为y元，由题意得：20x40+20(y−50)=4200×25%解得y=62.5答：每个3D钥匙扣的售价为62.5元。
人教版九年级上册数学《第二十一章一元二次方程》单元测试题(含答案)
2019年春九年级上册数学《第二^一章一元二次方程》单元测试题一 •选择题（共10小题）21.关于X 的方程（m - 1） x +2mx - 3= 0是一元二次方程，则22. 一元二次方程 x +5 =- 4x 的一次项的系数是（C .4. 方程（x+1） 2= 0的根是（25. 方程x +2x+1= 0的根是（50万个，第三季度生产零件182万个.若该厂八、九月份平均每月生 产零件的增长率均为 x ,则下面所列方程正确的是（）2A . 50 （1+x ） =182B . 50+50 （1+x ） = 182C . 50+50 （1+x ） +50 （ 1+2x ）= 1822D . 50+50 （1+x ） +50 （ 1+x ） = 182二 .填空题（共8小题）m 的取值是（A •任意实数C . m — 1D . m > 19 *3.若关于x 的一元二次方程（a+1） x 2+x+a-1 = 0的一个根是0,则a 的值为（A . X 1 = X 2= 1B . X 1 = X 2=- 1C . X 1=- 1,x 2= 1D .无实根A . X 1 = X 2= 1B . X 1 = X 2 =— 1 X 1=- 1,X 2= 1D .无实根26. 一元二次方程 x +x - 1 = 0的根是（T+后x= ----------2x =- 1+!A . x = 4B .x = 0 8.如果（x+2y ） 2 “+3 (x+2y )-4= 0,那么A . 1 B. -49.已知关于x 的 兀二次方程 2x +(2k+1)x+k A . k >-— B. k > 4 X 1= 0, X 2= 4x+2y 的值为（C . 1 或-42=0①C . k v- 1 X 1= 0, X 2=- 4则k 的取值范围为（ ）k v 410 .某机械厂七月份生产零件 )7.方程x 2= 4x 的根是（211.已知x=- 1是方程X +ax+3 - a= 0的一个根，则a的值是_______________12 .如果关于x的方程（m- 1）x3- m/+2 = 0是一元二次方程，那么此方程的根是______________213. _____________________________________________________________________ 已知关于x的一元二次方程mx+x+1 = 0有实数根，则m的取值范围是________________________________ .14. _____________________________________________________________________ 将一元二次方程x2- 6x+10 = 0化成(x-a) 2= b的形式，则b的值为___________________________________ .15 .圣诞节时，某班一个小组有x人，他们每两人之间互送贺卡一张，已知全组共送贺卡110张，则可列方程为________ .16 .我市计划用三年时间对全市学校的设施和设备进行全面改造，2015年市政府已投资5亿元人民币，若每年投资的增长率相同，2017年投资7.2亿元人民币，那么每年投资的增长率为___________ .1 1217 •已知X1, X2是方程x2- 3x+1 = 0的两个实数根，则————= .巧七------218. _____________________________________________________________________ 已知x= 2是一元二次方程x +mx+6= 0的一个根，则方程的另一个根是_______________________________ .三•解答题(共7小题)19. 解方程：(1) 2 (x- 3)= 3x ( x-3)(2)2x2- x- 3= 0.2 220 .是否存在某个实数m,使得方程x +mx+2= 0和x +2x+m = 0有且只有一个公共的实根？如果存在，求出这个实数m及两方程的公共实根；如果不存在，请说明理由.21.关于x的方程(m+1) x|m- 1|+mx- 1 = 0是一元二次方程，求m的值.222 .已知：关于x的一元二次方程x -( k+3) x+2k+2 = 0 .(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程有一个根小于0,求k的取值范围.23 .汽车产业的发展，有效促进我国现代化建设.某汽车销售公司2015年盈利1500万元，到2017年盈利2160万元，且从2015年到2017年，每年盈利的年增长率相同.(1)求平均年增长率？(2)若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计2018年盈利多少万元？24 .某镇为打造“绿色小镇”，投入资金进行河道治污.已知2016年投入资金1000万元，2018年投入资金1210万元.(1)求该镇投入资金从2016年至2018年的年平均增长率；(2)若2019年投入资金保持前两年的年平均增长率不变，求该镇2019年预计投入资金多少万元？25 .为了让学生亲身感受合肥城市的变化，蜀山中学九( 1)班组织学生进行“环巢湖一日研学游”活动，某旅行社推出了如下收费标准：(1)如果人数不超过30人，人均旅游费用为100元；(2) 如果超过30人，则每超过1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不能低于80元.该班实际共支付给旅行社 3150 元，问：共有多少名同学参加了研学游活动？参考答案与试题解析一．选择题（共 10 小题）21 .关于x 的方程（m - 1） x+2mx - 3= 0是一元二次方程，则 m 的取值是（）A .任意实数B . m 丰 1C. m z- 1D . m > 1【分析】根据一元二次方程的定义求解.一元二次方程必须满足二次项系数不为 0,所以m - 1z 0,即可求得 m 的值．【解答】 解：根据一元二次方程的定义得： m - 1丰0,即m ^ 1, 故选： B ．【点评】 此题考查一元二次方程,一元二次方程必须满足三个条件： （ 1）未知数的最高次数是 2； （ 2）二次项系数不为 0． （ 3）整式方程．要特别注意二次项系数 a z 0 这一条件,当 a = 0 时,上面的方程就不是一元二次方程了．当 b = 0 或 c = 0 时,上面的方程在 a z 0 的条件下,仍是一元二次方程,只不过是不完全的一元二次 方程．22.一元二次方程 x +5 =- 4x 的一次项的系数是（ ）【分析】 方程整理为一般形式,找出一次项系数即可．2【解答】 解：方程整理得： x 2+4x+5= 0, 则一次项系数为 4． 故选： A ．【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax 2+bx+c = 0 ( a , b ,c 是常数且a z 0)特别要注意 a 工0的条件•这是在做题过程中容易忽视的知识点•在一般形式 中ax 2叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项•其中a , b , c 分别叫二次项系数，一次项系数，常 数项.223 .若关于x 的一元二次方程(a+1) x +x+a - 1 = 0的一个根是0,贝V a 的值为()A . 1B . - 1C .± 1D . 02019 年春九年级上册数学《第二十一章测试题一元二次方程》单元A ．4B ．- 4C ．1D ．5【分析】把x= 0代入方程(a+1) x2+x+a2- 1= 0得a2- 1 = 0,然后解关于a的方程后利用一元二次方程的定义确定满足条件的 a 的值．【解答】解：把x= 0代入方程(a+1) x2+x+a2- 1 = 0得a2- 1= 0,解得纳=1, a2=- 1,而a+1 z 0,所以a= 1.故选：A.【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.4. 方程( x+1) 2= 0 的根是( )A . x1 = X2= 1B . X1= X2= - 1 C. X1= - 1 , X2= 1 D .无实根【分析】根据一元二次方程的解法即可求出答案．【解答】解：由于( x+1) 2=0,x+1 = 0,X1 = X2=- 1故选：B.【点评】本题考查一元二次方程的解法,解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法,本题属于基础题型.25. 方程x2+2x+1= 0的根是( )A . X1 = X2= 1B . X1 = X2=- 1 C. X1=- 1 , X2= 1 D .无实根【分析】由原方程得出( x+1 ) 2= 0,开方即可得．【解答】解：••• x2+2x+1 = 0,2.•.(x+1) 2= 0,贝x+1 = 0,解得：X i = X2=- 1 ,故选：B.【点评】本题主要考查解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握完全平方公式及配方法解一元二次方程.26. —元二次方程x2+x- 1 = 0的根是（）A . x= 1 - ^ B. x= ：；：C. x=- 1+7 D. x= 一：二乙【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义可判断方程根的情况.【解答】解：•••△= 12- 4X（- 1）= 5>0,• ••方程有两个不相等的两个实数根，即x=——.2故选：D.【点评】本题考查了公式法解一元二次方程，用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a z 0；2② b2- 4ac>0.7 .方程x2= 4x的根是（）A . x= 4B . x= 0C . X1= 0, x2= 4 D. x〔= 0, x?=- 4【分析】原式利用因式分解法求出解即可.【解答】解：方程整理得：x （x-4）= 0,可得x= 0或x- 4= 0,解得：X1 = 0, X2= 4,故选：C.【点评】此题考查了一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.2&如果（x+2y）+3 （x+2y）- 4= 0,那么x+2y 的值为（）A. 1 B . -4 C . 1 或-4 D . - 1 或3【分析】在本题中有两个未知数，且通过观察最后结果，可采用换元法，把x+2y当成一个整体进行考虑.2【解答】解：设x+2y = a,则原方程变形为a +3a - 4= 0,解得a=- 4或a = 1.故选C .【点评】此题主要是把x+2y当成一个整体，把求代数式的值的问题转化为解关于这个整体的方程，利用求根公式求解.9 .已知关于x的一元二次方程x2+（ 2k+1 ）x+k2= 0①有两个不相等的实数根.则k的取值范围为（）【分析】根据方程的系数结合根的判别式△> 0,即可得出关于k 的一元一次不等式，解之即可得出结论.【解答】解：•••关于x 的一元二次方程x 2+(2k+1) x+k 2= 0有两个不相等的实数根，.•.△=( 2k+1) 2 - 4x 1 x k 2= 4k+1 >0,k >——4 故选：A .【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△> 0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键.10 .某机械厂七月份生产零件 50万个，第三季度生产零件 产零件的增长率均为 x ,则下面所列方程正确的是(2A . 50 (1+x ) =1822B . 50+50 (1+x ) = 182C . 50+50 (1+x ) +50 ( 1+2x )= 1822D . 50+50 (1+x ) +50 ( 1+x ) = 182【分析】设该厂八、九月份平均每月生产零件的增长率均为 生产零件的数量，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解.【解答】解：设该厂八、九月份平均每月生产零件的增长率均为 x ,根据题意得：50+50 (1+x ) +50 (1+x ) 2= 182 . 故选：D .【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解2【分析】把x =— 1代入方程x +ax+3 — a = 0得到关于a 的一元一次方程，解之即可. 【解答】 解：把x =— 1代入方程x 2+ax+3 — a = 0得： 1 — a+3 — a = 0, 解得：a = 2, 故答案为：2 .【点评】本题考查了一元二次方程的解，正确掌握代入法是解题的关键.A -k >- ■C . k v — 1D . k v 4182万个.若该厂八、九月份平均每月生x ,根据该机械厂七月份及整个第三季度题的关键.二 .填空题(共8小题)211.已知x=—1是方程x +ax+3 —a= 0的一个根，则a的值是2 .12•如果关于x 的方程（m - 1） x 3- m/+2 = 0是一元二次方程，那么此方程的根是【解答】解：由题意得: m = 1,原方程变为：-x 2+2 = 0, x = T , 故答案为：…【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握二次项系数不为零是解题关键.一 2 (1)13.已知关于x 的一元二次方程 mx+x+1 = 0有实数根，则 m 的取值范围是 m w —且m z 0 . 【分析】由于关于x 的一元二次方程有实数根，计算根的判别式，得关于 m 的不等式，求解即可. 【解答】解：•••关于x 的一元二次方程 m/+x+1 = 0有实数根， 则厶=1 - 4m > 0,且 m z 0. 解得m w 且m z 0.4 故答案为：mw =且m z 0.4【点评】本题考查了根的判别式、一次不等式的解法及一元二次方程的定义.题目难度不大，解题 过程中容易忽略 m z 0条件而出错.14.将一元二次方程 x 2- 6x+10 = 0化成（x -a ） 2= b 的形式，则b 的值为 -1 . 【分析】利用配方法得到（x - 3） 2=- 1，从而得到b 的值. 【解答】解：x 2- 6x+10 = 0,2x - 6x+9 =- 1, （x -3） 2=- 1 , 所以b 的值为-1.【点评】 本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成（ x+m ） 2= n 的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法. 15 .圣诞节时，某班一个小组有x 人，他们每两人之间互送贺卡一张，已知全组共送贺卡110张,则可列方程为x （x - 1 ）= 110【分析】设这个小组有x 人，要求他们之间互送贺卡，即除自己外，每个人都要求送其他的人一张【分析】直接利用一元二次方程的定义得出m 的取值范围，再代入方程解方程即可.2x - 6x=- 10,贺卡，即每个人要送X- 1张贺卡，所以全组共送x (X- 1)张，又知全组共送贺卡110张，由送贺卡数相等为等量关系，列出方程即可.【解答】解：设这个小组有X人，则每人应送出X- 1张贺卡，由题意得：x (x- 1 )= 110,故答案为：X (x- 1 )= 110.【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程的知识，关键在于找出等量关系，列出方程.16 .我市计划用三年时间对全市学校的设施和设备进行全面改造，2015年市政府已投资5亿元人民币，若每年投资的增长率相同，2017年投资7.2亿元人民币，那么每年投资的增长率为20% . 【分析】设每年投资的增长率为X,根据2015年及2017年市政府投资的钱数，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论.【解答】解：设每年投资的增长率为X,根据题意得：5 (1+x) 2= 7.2 ,解得：X1 = 0.2= 20% , X2=- 2.2 (不合题意，舍去).故答案为：20%.【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.1」217 .已知X1, X2是方程X2- 3x+1 = 0的两个实数根，则=3 .X1 z21」【分析】首先根据根与系数的关系求出X1 + X2= 3, X1X2= 1,然后将一丁变形，再将X1 + X2= 3 ,X1 x2X1X2= 1代入即可.2【解答】解：••• X1, X2是方程X2- 3X+1 = 0的两个实数根，根据根与系数的关系有：X1+X2= 3, X1X2= 1 ,1 1 X 1 + X ?所以-------- = =3.K1 “七故答案为：3.【点评】本题主要考查根与系数的关系，关键是熟练运用.218. 已知x= 2是一元二次方程x +mx+6= 0的一个根，则方程的另一个根是x= 3 .【分析】设方程的另一根为a，由根与系数的关系可得到a的方程，可求得a的值，即可求得方程的另一根.【解答】解：设方程的另一根为a,-— _、，、—2T x= 2是一兀二次方程x+mx+6= 0的一个根，••• 2a = 6,解得a= 3,即方程的另一个根是x= 3,故答案为：x= 3.【点评】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程的两根之和等于- '、两a根之积等于'是解题的关键.a三•解答题(共7小题)19. 解方程：(1) 2 (x- 3) = 3x ( x- 3)(2)2x2- x- 3= 0.【分析】(1)先移项得到2 (x- 3)- 3x (x- 3)= 0,然后利用因式分解法解方程；(2)利用因式分解法解方程.【解答】解：(1) 2 (x- 3)- 3x (x- 3)= 0,(x-3)( 2- 3x)= 0,x - 3= 0 或2 - 3x= 0,所以X1 = 3, X2=；(2)( 2x- 3)( x+1 )= 0,2x- 3= 0 或x+1 = 0,所以X1 = ^ , X2=- 1 .2【点评】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法.2 220. 是否存在某个实数m,使得方程x +mx+2= 0和x +2x+m = 0有且只有一个公共的实根？如果存在，求出这个实数m及两方程的公共实根；如果不存在，请说明理由.【分析】设两方程的公共根为a,然后将两方程相减，消去二次项，求出公共根和m的值.【解答】解：假设存在符合条件的实数m,且设这两个方程的公共实数根为a，则(①I a2+2a+nF0 ②①-②，得 a (m - 2) + (2 - m)= 0(m - 2)( a - 1)= 0m= 2 或a= 1.当m= 2时，已知两个方程是同一个方程，且没有实数根，故m= 2舍去；当a= 1时，代入②得m=- 3,把m=- 3代入已知方程，求出公共根为x= 1.故实数m=- 3，两方程的公共根为x= 1.【点评】本题考查的是两个一元二次方程的公共根的问题，一般情况是将两方程相减求出公共根，再求出其中的字母系数．21 .关于x的方程(m+1) x|m 1|+mx- 1 = 0是一元二次方程，求m的值.【分析】根据一元二次方程的定义，必须满足两个条件：( 1)未知数的最高次数是2；( 2)二次项系数不为0，据此即可求解.【解答】解：根据题意得，|m- 1|= 2,且m+1z 0,解得：m= 3,答：m 的值为3.【点评】本题主要考查一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c = 0 (a, b, c 是常数且a z 0)，特别要注意a工0的条件.22. 已知：关于x的一元二次方程x2-( k+3) x+2k+2 = 0.( 1 )求证：方程总有两个实数根；( 2)若方程有一个根小于0,求k 的取值范围.【分析】(1)根据方程的系数结合根的判别式可得出△=(k- 1) 2>0，由此可证出方程总有两个实数根；(2)利用因式分解法解一元二次方程可得出x的值，结合方程有一个根小于0,即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围.【解答】(1)证明：•••△= [ -( k+3) ]2- 4X 1X( 2k+2)= k2- 2k+1 =( k- 1) 2>0, .方程总有两个实数根；(2)解：T x2-( k+3) x+2k+2 = 0，即(x- 2) [x-( k+1) ] = 0,x1 =2, x2= k+1 .•• •方程有一个根小于0,【点评】本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当厶> 0时，方程有两个实数根”；（2）利用因式分解法求出一元二次方程的根.23. 汽车产业的发展，有效促进我国现代化建设.某汽车销售公司2015年盈利1500万元，到2017 年盈利2160 万元，且从2015 年到2017 年，每年盈利的年增长率相同.（ 1 ）求平均年增长率？（2）若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计2018 年盈利多少万元？【分析】（1）设平均年增长率为x,根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果；（2）由求出的年增长率确定出所求即可.【解答】解：（1 ）设平均年增长率为x,根据题意得：1500 （1+x）2= 2160,整理得：（1+x）2= 1.44,开方得：1+x=± 1.2,解得：x= 0.2 = 20%或x=- 2.2 （舍去），则平均年增长率为20%；（2）根据题意得：2160X（1+20%）= 2592 （万元），则2018 年盈利2592 万元.【点评】此题考查了一元二次方程的应用,弄清题意是解本题的关键.24. 某镇为打造“绿色小镇”,投入资金进行河道治污.已知2016年投入资金1000万元, 2018年投入资金1210万元.（1）求该镇投入资金从2016 年至2018 年的年平均增长率；（2）若2019年投入资金保持前两年的年平均增长率不变, 求该镇201 9年预计投入资金多少万元？【分析】（1）设该镇投入资金从2016年至2018年的年平均增长率为x,根据该镇2016年及2018年投入的资金金额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）根据2019年投入资金金额=2018年投入资金金额X（1 +增长率），即可求出结论.【解答】解：（1）设该镇投入资金从2016年至2018年的年平均增长率为x,根据题意得：1000 （1+x）2= 1210,解得：X1 = 0.1= 10%, X2=- 2.1 （舍去）.答：该镇投入资金从2016年至2018 年的年平均增长率为10%.（2）1210 X（1+10% ）= 1331 （万元）.答：该镇2019 年预计投入资金1331 万元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算．25．为了让学生亲身感受合肥城市的变化，蜀山中学九（1）班组织学生进行“环巢湖一日研学游” 活动，某旅行社推出了如下收费标准：（1）如果人数不超过30 人，人均旅游费用为100元；（2）如果超过30 人，则每超过1 人，人均旅游费用降低2 元，但人均旅游费用不能低于80 元．该班实际共支付给旅行社3150 元，问：共有多少名同学参加了研学游活动？【分析】根据题意先判断出参加的人数在30 人以上，设共有x 名同学参加了研学游活动，再根据等量关系：（100-在30人基础上降低的人数X 2）x参加人数=3150,列出方程，然后求解即可得出答案．【解答】解：I 100 X 30= 3000 V 3150,•••该班参加研学游活动的学生数超过30人.设共有x 名同学参加了研学游活动,由题意得：x[100 - 2 （x- 30）] = 3150,解得x1= 35, x2= 45,当x= 35时，人均旅游费用为100 - 2 （35 - 30）= 90> 80,符合题意；当x= 45时，人均旅游费用为100 - 2 （45 - 30）= 70V 80,不符合题意，应舍去.答：共有35名同学参加了研学游活动．【点评】此题考查一元二次方程的应用；得到人均付费是解决本题的易错点,得到总费用的等量关系是解决本题的关键．。
九年级数学上册《第二十一章一元二次方程》单元测试卷-带答案(人教版)
九年级数学上册《第二十一章一元二次方程》单元测试卷-带答案(人教版)一、选择题1．方程x 2=4的解是( ) A ．x=2 B ．x=-2 C ．x 1=1，x 2=4 D ．x 1=2，x 2=-22．用配方法解方程2250x x +-=时，原方程应变形为（ ）A ．()216x +=B ．()216x -=C ．()229x +=D ．()229x -= 3．关于x 的方程3x 2﹣2x+1=0的根的情况是（ ）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．没有实数根D ．不能确定4．方程x 2=x 的根是（ ） A ．x=1B ．x=0C ．x 1=1，x 2=0D ．x 1=1，x 2=－15．若1x =是方程230x mx ++=的一个根，则方程的另一个根是（ ）A ．3B ．4C ．﹣3D ．－4 6．若关于x 的方程()22310m x x +-+=是一元二次方程，则m 的取值范围是（ ）A ．0m ≠B ．2m >-C ．2m ≠-D ．0m > 7．若关于x 的一元二次方程()22210k x x -+-=有实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．1k ≤B ．1k ≤且2k ≠C ．1k ≥且2k ≠D ．2k ≥8．菱形的一条对角线长为8，其边长是方程29200x x -+=的一个根，则该菱形的周长为（ ）A ．40B ．16C ．16或20D ．209．设 a b ，是方程220200x x +-=的两个实数根，则(1)(1)a b --的值为（ ）A ．2022-B ．2018C ．2018-D ．202210．要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个各队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排共计28场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛?若设应邀请x 个队参赛，可列出的方程为（ ）A ．(1)28x x +=B ．(1)28x x -=C ．1(1)282x x += D ．1(1)282x x -=11．若()22250a a x ---=是一元二次方程，则a ＝ .12．小华在解方程28x x =时，只得出一个根是8x =，则被他漏掉的一个根是x = .13．若1x ，2x 是关于x 的方程2250x x --=的两个实数根，则代数式211234x x x --+的值是 .14．某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了10条航线，则这个航空公司共有 个飞机场三、解答题15．若关于x 的一元二次方程(m-1) 2x +2x+2m -1=0的常数项为0，求m 的值是多少？16．用配方法解一元二次方程： 210x x +-= .17．解方程：()222y y y +-=.18．已知关于x 的一元二次方程210x mx m -+-=．求证：方程总有两个实数根．19．已知关于x 的一元二次方程2210x kx --=有一个根是-3，求另一个根及k 值.四、综合题20．已知关于x 的一元二次方程x 2−(m+1)x+m+6=0的其中一个根为3.（1）求m 的值及方程的另一个根；（2）若该方程的两根的值为一直角三角形的两边长，求此直角三角形的第三边长.21．已知关于x 的方程23360x ax a ---=（1）求证：方程恒有两不等实根；（2）若x 1，x 2是该方程的两个实数根，且12(1)(1)1x x --=，求a 的值.22．如图，Rt ABC 中是方程()()2140x m x m --++=的两根.（2）P ，Q 两点分别从A ，C 出发，分别以每秒2个单位，1个单位的速度沿边AC ，BC 向终点C ，B 运动，（有一个点达到终点则停止运动），求经过多长时间后2PQ =？参考答案与解析1．【答案】D【解析】【解答】x 2=4x 1=2，x 2=-2故答案为：D【分析】正数的平方根有两个2．【答案】A【解析】【解答】解：移项，得225x x +=配方，得22151x x ++=+即()216x +=故答案为：A【分析】根据配方法的步骤“把常数项移到等号的右边，在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，左边配成完全平方式，再两边开平方”即可求解.3．【答案】C【解析】【解答】解：∵a=3，b=﹣2，c=1 ∴△=b 2﹣4ac=4﹣12=﹣8＜0∴关于x 的方程3x 2﹣2x+1=0没有实数根.故答案为：C.【分析】先计算根的判别式△=b 2-4ac 的值，当△＞0时，方程由有个不相等的实数根，当△=0时，方程有两个相等的实数根，当△＜0时，方程无实数根，据此判断即可.4．【答案】C【解析】【解答】∵x 2＝x ∴x 2﹣x ＝0则x （x ﹣1）＝0解得x 1＝0，x 2＝1故答案为：C.【分析】先移项，把原方程化为一元二次方程的一般式，再利用因式分解法解一元二次方程即可.5．【答案】A【解析】【解答】解： 1x =是方程230x mx ++=的一个根，设另一根为1x ，113x ∴⨯=，13x ∴=，即方程的另一个根是 3.x =故答案为：A【分析】根据根与系数的关系进行解答即可.6．【答案】C【解析】【解答】解：∵方程()22310m x x +-+=是关于x 的一元二次方程 ∴20m +≠．∴2m ≠-．故答案为：C ．【分析】利用一元二次方程的定义可得20m +≠，再求出m 的取值范围即可。
初中数学人教版九年级上册 第二十一章 一元二次方程单元测试(含简单答案)
第二十一章一元二次方程一、单选题1．方程x2－4＝0的解是A．x＝2B．x＝－2C．x＝±2D．x＝±42．下列方程中，是一元二次方程的是（）=1 A．xy=0B．x2+1=0C．x2=x(x−1)D．x2+1x3．方程3x2=5x+7的二次项系数、一次项系数，常数项分别为（）A．3，5，7B．3，−5，−7C．3，−5，7D．3，5，−74．将方程x2−6x−1=0配方后，原方程可变形为（）A．(x−3)2=8B．(x−3)2=10C．(x+3)2=10D．(x+3)2=85．若关于x的一元二次方程(k−2)x2+4x+1=0有两个实数根则k的取值范围是( ) A．k<6B．k<6且k≠2C．k≤6且k≠2D．k>66．已知a是方程x2−2x−1=0的一个解，则代数式2a2−4a+3的值为（）A．4B．－4C．5D．－57．已知m是一元二次方程x2−4x+1=0的一个根，则2023−m2+4m的值是（）A．−2023B．2023C．2022D．20248．如果关于x的方程(m−2)x2−(2m−1)x+m=0只有一个实数根，那么方程mx2−(m+2)x+(4−m)=0的根的情况是（）A．没有实数根B．有两个不相等的实数根C．有两个相等的实数根D．只有一个实数根9．2022年，新《医保目录》启用，部分药品实行降价．某药品经过两次降价，每瓶零售价由132元降为102元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（）A．132(1+x)2=102B．132(1−x)2=102C．132(1−2x)=102D．132(1−x2)=10210．已知一元二次方程a(x+m)2+n=0(a≠0)的两根分别为−4，3，则方程a(x+m−1)2 +n=0的两根分别为（）A．2，−5B．−3，4C．3，−4D．−2，5二、填空题11．把下列方程中一元二次方程的序号填在横线上：．+5=0 ⑥3x3﹣4x2+1=0．①x2=4②2x2+y=5③3x+x2﹣1=0 ④5x2=0⑤3x2+x212．方程2（x+1）2＝（x+2）（x﹣2）化为一般形式为．13．把方程x2+6x+3=0变形为(x+ℎ)2=k的形式，其中h，k为常数，则k=．14．关于x的一元二次方程x2+2x+4c=0有两个相等的实数根，则c=．15．连续两个奇数的乘积为483，则这两个奇数为．16．若关于x的一元二次方程mx2+x−1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是．17．若ΔABC的两边长分别为3和4，第三边的长是方程x2−6x+5=0的根，则ΔABC的周长是．18．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m 长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边，且BC＞AB）．若花园的面积为192m2，则AB的长为m．三、解答题19．解方程:(1)x2−5x−6=0；(2)2x2−4x−1=0；(3)(x−7)2+2(x−7)=0；(4)(3x+2)2=4(x−3)2.20．已知关于x的一元二次方程x2+(2m+2)x+m2−4=0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若m为负整数，且该方程的两个根都是整数，求m的值．21．已知关于x的一元二次方程（a﹣c）x2＋2bx＋（a＋c）＝0．其中a、b、c分别为△ABC 三边的长．（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．22．交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔7月份到9月份的销量，该品牌头盔7月份销售250个，9月份销售360个，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同．(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；(2)若此种头盔的进价为25元/个，测算在市场中当售价为40元/个时，月销售量为400个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到7000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？参考答案：1．C2．B3．B4．B5．C6．C7．D8．C9．B10．B11．①③④⑤12．x 2+4x +6＝013．614．14/0.2515．21,23或−23,−21.16．m >−14且m ≠017．1218．1219．（1）x 1=6，x 2=-1；（2）x 1=2+62，x 2=2−62；（3）x 1=7，x 2=5；（4）x 1=-8，x 2=45．20．（1） m >−52；（2）m =−2．21．（1）△ABC 为等腰三角形；（2）△ABC 为直角三角形22．(1)20%(2)45。
人教版(2024)九年级上册第二十一章 一元二次方程 单元试卷(含答案)
第二十一章一元二次方程一、选择题1. 下列方程为一元二次方程的是( )A．x2−3=x(x+4)B．x2−1=3xC．x2−10x=5D．4x+6xy=332. 一元二次方程2x2+3x−4=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是( )A．2，−3，−4B．2，3，4C．2，−3，4D．2，3，−43. 方程x2+5x=0的适当解法是( )A．直接开平方法B．配方法C．因式分解法D．公式法4. 用因式分解法解方程x2+px−6=0，若将左边分解后有一个因式是x+3，则p的值是( )A．−1B．1C．−5D．55. 方程(x+1)(x−3)=5的解是( )A．x1=1，x2=−3B．x1=4，x2=−2C．x1=−1，x2=3D．x1=−4，x2=26. 下列方程中，没有实数根的方程是( )A．(x−1)2=2B．(x+1)(2x−3)=0C．x2+2x+4=0D．3x2−2x−1=07. 一个三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2−6x+8=0的一个根，则此三角形的周长为( )A．9B．11C．13D．11或138. 如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2 m，另一边减少了3 m，剩余一块面积为20 m2的矩形空地．设原正方形空地的边长为x m，则下面所列方程正确的是( )A．(x−3)(x−2)=20B．(x+3)(x+2)=20C．x2−3x−2x=20D．x2−3×2=20二、填空题9. 请你写出其中一个解为x=2的一个一元二次方程．10. 如果m是方程x2−2x−6=0的一个根，那么代数式2m−m2+7的值为．11. 关于x的方程(m+1)x2+2mx+1=0是一元二次方程，则m的取值范围是．12. 已知关于x的一元二次方程(m−2)x2+x−1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是．13. 已知一元二次方程x2−3x−10=0的两个实数根为x1，x2，则(x1−1)(x2−1)的值是．14. 已知矩形的长比宽长2米，要使矩形面积为55.25米2，则宽应为多少米？设宽为x米，可列方程为．15. 已知x=2是关于x的一元二次方程x2+bx−c=0的一个根，则b与c的关系是．（请用含b的代数式表示c）16. 已知3是关于x的方程x2−(m+1)x+2m=0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为．三、解答题17. 解方程：(1) (x−3)2=2x(3−x)．(2) x2−2x−4=0．18. 已知关于x的一元二次方程x2+(k+1)x+1k2=0有两个不相等的实数根．4(1) 求k的取值范围．(2) 当k取最小整数时，求此时方程的解．19. 关于x的一元二次方程mx2−3(m−1)x+2m−3=0(m>3)的两个实数根分别为x1，x2，且x1<x2．(1) 求证：方程有一根为定值．(2) 若9x1−3x2≥4，求m的取值范围．条（n≥3的整数）．20. 已知n边形的对角线共有n(n−3)2(1) 五边形的对角线共有条；(2) 若n边形的对角线共有35条，求边数n；(3) A同学说，我求的一个多边形共有10条对角线，你认为A同学说法正确吗？为什么？21. 如图，某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙，墙长25 m，另外三边木栏围着，木栏长40 m．（1）若养鸡场面积为200 m2，求鸡场靠墙的一边长．（2）养鸡场面积能达到250 m2吗？如果能，请给出设计方案，如果不能，请说明理由．22. 利客来超市销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低2元，平均每天可多售出4件．(1) 若降价6元，则平均每天销售数量为件；(2) 当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？答案一、选择题1. C2. D3. C4. B5. B6. C7. C8. A二、填空题9. x2+x−6=010. 111. m≠−112. m>74且m≠2．13. −1214. x(x+2)=55.2515. c=4+2b16. 10或11三、解答题17.(1)(x−3)2=2x(3−x), (x−3)2−2x(3−x)=0,(x−3)2+2x(x−3)=0,(x−3)(x−3+2x)=0,(x−3)=0或x−3+2x=0,∴x1=3,x2=1.(2)x2−2x−4=0,x2−2x=4,x2−2x+1=4+1,(x−1)2=5,x−1=±5,∴x1=1+5,x2=1−5.18.(1) ∵关于x的一元二次方程x2+(k+1)x+14k2=0有两个不相等的实数根，∴Δ=b2−4ac=(k+1)2−4×14k2>0，∴2k+1>0，∴k>−12．(2) ∵k取最小整数，∴k=0，∴原方程整理为：x2+x=0,∴方程的解为：x1=0，x2=−1．19.(1) Δ=[−3(m−1)]2−4m(2m−3) =m2−6m+9=(m−3)2,∵m>3，∴(m−3)2>0，即Δ>0，∴方程有两个不相等的实数根，∵x=3(m−1)±(m−3)2m，∴方程有一个根为1，∴方程有一根为定值．(2) ∵x=3(m−1)±(m−3)2m，∴x1=1，x2=2−3m，∵9x1−3x2≥4，∴9−3(2−3m)≥4，解得m≤9，故m的取值范围是3<m≤9．20.(1) 5(2) 由题意得：n(n−3)2=35．整理得：n2−3n−70=0．解得：n=10或n=−7（舍去）．∴边数n为10．(3) A同学说法是不正确的．理由：当12n(n−3)=10，整理得：n2−3n−20=0．解得：n=3±892．∴符合方程n2−3n−20=0的正整数n不存在．∴多边形的对角线不可能有10条．21. （1）设鸡场垂直于墙的一边长为x m，则鸡场平行于墙的一边长为(40−2x)m．根据题意得：x(40−2x)=200,解得：x1=x2=10,所以40−2x=20．答：鸡场平行于墙的一边长为20 m．（2）假设能，设鸡场垂直于墙的一边长为y m，则鸡场平行于墙的一边长为(40−2y)m，根据题意得：y(40−2y)=250,整理得：y2−20y+125=0.因为Δ=(−20)2−4×1×125=−100<0，所以该方程无解，所以假设不成立，即养鸡场面积不能达到250 m2．22.(1) 32(2) 设每件商品应降价x元时，该商店每天销售利润为1200元．根据题意，得(40−x)(20+2x)=1200.整理，得x2−30x+200=0.解得：x1=10,x2=20.∵要求每件盈利不少于25元，40−20=20<25∴x2=20应舍去，解得：x=10．答：每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元。
人教版九年级上册数学第21章《一元二次方程》 单元测试(含答案)
试卷第1页，总3页 第二十一章《一元二次方程》 测试题一、单选题（共12小题，每小题3分，共36分）1．下列方程为一元二次方程的是 ( )A ．ax 2+bx+c=0B ．x 2－2x －3C ．2x 2＝0D ．xy ＋1＝02．把方程x （3-2x ）+5=1化成一般式后二次项系数与常数项的积是（ ）A ．3B ．-8C ．-10D ．153．若关于x 的一元二次方程(a ＋1)x 2＋x ＋a 2－1＝0的一个解是x ＝0，则a 的值为( )A ．1B ．－1C ．±1D ．04．若a-b+c=0，则方程ax 2+bx+c=0(a 0≠)必有一个根是（ ）A ．0 B ．1C ．-1 D ．b a -5．用配方法解一元二次方程2x 2﹣4x+1=0，变形正确的是（ ）A ．（x ﹣12）2=0 B ．（x ﹣12）2=12 C ．（x ﹣1）2=12 D ．（x ﹣1）2=06．已知直角三角形的两边长是方程x 2﹣7x+12=0的两根，则第三边长为（ ） A ．7 B ．5C 7D ．577．若关于 x 的一元二次方程x 2﹣x ﹣3m ＝0有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是（）A ．m 12>B ．m 112<C ．m ＞﹣112D ．m 112< 8．若方程x 2－3x －1＝0的两根为x 1、x 2，则11x ＋21x 的值为( ) A ．3 B ．－3 C ．13 D ．－139．已知关于x 的一元二次方程(2a －1)x 2＋(a ＋1)x ＋1＝0的两个根相等，则a 的值等于( )A ．－1或－5B ．－1或5C ．1或－5D ．1或510．如图，在长为33米宽为20米的矩形空地上修建同样宽的道路（阴影部分），余下的部分为草坪，要使草坪的面积为510平方米，则道路的宽为（ ）A ．1米B ．2米C ．3米D ．4米11．是下列哪个一元二次方程的根（ ） A ．3x 2+5x+1=0、 B ．3x 2﹣5x+1=0、 C ．3x 2﹣5x ﹣1=0、 D ．3x 2+5x ﹣1=012．已知m ，n 是方程x 2﹣2018x +2019＝0的两个根，则（m 2﹣2019m +2018）（n 2﹣2019n +2018）的值是（ ）A ．1B ．2C ．4037D ．4038二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．一元二次方程4x 2= 3x 的解是_____________．14．圣诞节时，某班一个小组有x 人，他们每两人之间互送贺卡一张，已知全组共送贺卡110张，则可列方程为_____．15．关于a 的方程2420a a ++=的两个解为1a 、2a ，则2212a a +=_____. 16．已知两数的积是12,这两数的平方和是25, 以这两数为根的一元二次方程是___________.三、解答题（共6小题，第17题8分，第18题12分，第19题6分，第20题6分，第21题8分，第22题12分，共52分）17、解下列方程 (1) x 2-2x-5=0 (用配方法) (2)2x 2+3x=4(公式法)18、已知关于x 的方程||(2)210m m x x ++-=．（1）当m 为何值时是一元一次方程？（2）当m 为何值时是一元二次方程？19、 已知两个方程20x px q ++=和20x qx p ++=仅有一个相同的根，求p q +的值．20、小刚在做作业时，不小心将方程2350x bx --=的一次项系数用墨水覆盖住了，但从题目的答案中，他知道方程的一个解为5x =，请你帮助小刚求出被覆盖住的数试卷第3页，总3页 21、已知关于x 的一元二次方程22(51)40x m x m m -+++=. 求证：无论m 取任何实数时，原方程总有两个实数根；22、现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．（1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率；（2）如果平均每人每月最多可投递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？参考答案1．考点：一元二次方程试题解析：解析：A 选二次项系数为字母，要强调不为0；B 选项不是等式；D 选项有两个未知数，故选C ．答案：C2．.考点：一元二次方程的一般形式试题解析：解析：x （3-2x ）+5=1 -2x 2+3x+4=0 -2×4=-8 故选B ．答案：B3．考点：一元二次方程的解试题解析：解析：将x ＝0代入原方程得a 2－1＝0且a ＋1≠0所以a=1故选A ．答案：A4．考点：一元二次方程试题解析：解析：A 选二次项系数为字母，要强调不为0；B 选项不是等式；D 选项有两个未知数，故选C ．答案：C5．考点：配方法答案第4页，总3页试题解析：解析x 2﹣2x+12=0 x 2﹣2x+1=12（x ﹣1）2=12故选C ．答案：C6．考点：解一元二次方程和勾股定理试题解析：解析：解方程得x 1 =3, x 2=4.当3和4为直角边时，第三边为5，当4为斜边故选D ．答案：D7．考点：一元二次方程根的判别式和一元一次不等式的解法试题解析：解析：∆= b ²-4ac >0即1+12m >0 m >﹣112故选C ． 答案：C8．考点：一元二次方程根与系数的关系 试题解析：解析：11x ＋21x =(x ₁+x ₂)/(x ₁x ₂)=﹣3 故选B ． 答案：B9．考点：一元二次方程根的判别式和解一元二次方程试题解析：解析：(a ＋1)²- 4(2a －1)=0解得a ₁=1a ₂=5故选D ．答案：D10．考点：一元二次方程的应用试题解析：解析：设路宽为x,依题可得：（20-x ）(33-x)=510解得x 1 =3, x 2=50（舍去）故选C ．答案：C11．考点：一元二次方程求根公式试题解析：解析：由一元二次方程求根公式与方程给出的根可找出a=3 b=5 c = - 1 故选D ．答案：D12．考点：一元二次方程的解和根与系数的关系试题解析：解析：将m 和n 分别代入方程变形得m 2﹣2018m =-2019n 2﹣2018n =-2019将原式变形后整体代入（-2019-m+2018(-2019-n+2018)=(-1-m)(-1-n)=1+m+n+mn∵m+n=2018 mn=2019∴原式=1+2018+2019=4038故选D ．答案：D13．考点：解一元二次方程(因式分解法)试题解析：解析：4x 2 -3x= 0 x(4x-3)=0 x 1 =0, x 2=34答案：x 1 =0, x 2=3414．考点：一元二次方程的应用试题解析：答案：x （x ﹣1）＝11015．考点：一元二次方程根与系数的关系和完全平方公式试题解析：解析：2212a a +=（a ₁+a ₂）²-2a ₁a ₂答案：1216．考点：一元二次方程解法和根与系数的关系试题解析：解析：∵ x₁x₂=12 x₁²+x₂²=25∴x ₁+x ₂=7或-7答案：x 2-7x+12=0或x 2+7x+12=017．考点：一元二次方程解法答案：(1)11x =21x =；(2)134x -=，234x -= 18．考点：一元一次方程和一元二次方程的概念试题解析：解析：（1）注意分三种情况讨论（2）注意指数和系数答案：（1）-2或±1或0 （2）2 19．考点：一元二次方程根和方程组试题解析：解析：x ²+px+q= x ²+qx+p (p-q)x=p-q x=1代入原方程1+p+q=0 ∴p+q=-1答案：-1；.20．考点：一元二次方程解试题解析：解析：答案：1421．考点：一元二次方程根的判别式和完全平方公式试题解析：解析：答案：∵∆= b ²-4ac =（5m+1）²-4（4m ²+m ）=9m ²+6m+1=(3m+1)²≥0∴不论m 取任何实数，原方程总有两个实数根22．考点：一元二次方程的应用和一元一次不等式试题解析：解析：（1）设增长率为x ，依题可得10（1+x ）²=12.1解得x 1 =0.1, x 2=-2.1(舍去)故增长率为10％；（2）6月总数12.1×（1+10％）=13.31>21×0.6所以不能完成任务。
第二十一章 一元二次方程 单元测试(含答案) 2024-2025学年人教版九年级数学上册
第二十一章一元二次方程一、选择题（每题3分，共24分）1．在一元二次方程x2−2x−3=0中，一次项系数是（ ）A．1B．0C．−2D．−3 2．若x=−1是关于x的方程x2+ax=0的一个根，则a的值为（ ）A．1B．2C．3D．43．用配方法解方程x2-6x-1=0时，配方结果正确的是（ ）A．(x-3)2=10B．(x-3)2=8C．(x-6)2=10D．(x-3)2=1 4．一元二次方程x2−2x=0的解是（ ）A．x1=3，x2=1B．x1=2，x2=0C．x1=3，x2=−2D．x1=−2，x2=−15．一元二次方程x(x−1)=2(x−1)的解完全正确的是（ ）A．x=2B．x1=2,x2=1C．x1=−2,x2=1D．x1=3,x2=−1 6．若关于x的一元二次方程（k−1）x2−4x−1=0有实数根，则k的取值范围（ ）A．k＞−3B．k≥−3且k≠1C．k＞−3且k≠0D．k≤−37．若一元二次方程2x2+3x﹣6＝0的两个根分别为x1，x2，则x1•x2的值等于（ ）A．﹣6B．6C．﹣3D．38．甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，若有一人感染了“甲流”，若得不到有效控制，则每轮传染平均一个人传染x人，经过两轮传染后共有256人感染了“甲流”．则关于x的方程为（ ）A．x+x(x+1)=256B．x2+x=256C．1+x+x(x+1)=256D．(x+1)+(x+1)2=256二、填空题（每题4分，共20分）9．若方程(m−1)x2+6x−1=0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 ．10．用配方法解一元二次方程x2+6x+3=0时，将它化为(x+m)2=n的形式，则m−n的值为 .11．已知关于x的一元二次方程2m x2−4x+1−5n=0有两个相等的实数根，则2m+5n的值为 .12．已知三角形两边的长分别是2和5，第三边的长是方程x2-7x+10＝0的根，则这个三角形的周长是 ．13．已知m,n是方程x2+4x−3=0的两个实数根，则m2+5m+n+2024的值是 ．三、计算题（共10分）14．解方程：（1）x2−4x−12=0；（2）x(x−9)=8(9−x)．四、解答题（共46分）15．关于x的一元二次方程2x2−4x+(2m−1)=0有两个不相等的实数根.（1）求m的取值范围；（2）若方程有一个根为x=3+1，求m的值和另一根.16．已知关于x的一元二次方程x2−(m+2)x+m−1=0.（1）求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且x21+x22−x1x2=9，求m的值.17．为了提升居民生活质量，完善社区公共区域配套设施，今年夏天长春市在多个城区实施了旧城改造工程．已知某工程队在开始施工的7月份为某小区翻新道路12000m2，为了在入冬前完成道路翻新工程，之后加快了工程进度，结果9月份为该小区翻新道路14520 m2．（1）求这两个月该工程队工作效率的月平均增长率．（2）若10月份该工程队的工作效率按此增长率增长，估计到10月末该工程队能否完成该小区共55000m2的道路翻新任务？18．某超市销售一种衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该超市准备适当降价，经过一段时间测算，发现每件衬衫每降价1元，平均每天可多售出2件.（1）若每件衬衫降价4元，平均每天可售出多少件衬衫? 此时每天销售获利多少元?（2）在每件盈利不少于 25元的前提下，要使该衬衫每天销售获利为1 200元，问每件衬衫应降价多少元?（3）该衬衫每天的销售获利能达到 1 300 元吗?如果能，请写出降价方案；如果不能，请说明理由.1．C2．A3．A4．B5．B6．B7．C8．C9．m≠110．−311．112．1213．202314．（1）解：x2−4x−12=0 x2−4x=12x2−4x+4=12+4(x−2)2=16x−2=±4即：x−2=4或x−2=−4∴x1=6，x2=−2（2）解：x(x−9)=8(9−x)解：x(x−9)−8(9−x)=0x(x−9)+8(x−9)=0(x−9)(x+8)=0即：x−9=0或x+8=0∴x1=9，x2=−815．（1）解：∵方程2x2−4x+(2m−1)=0有两个不相等的实数根，∴Δ=16−8(2m−1)=24−16m>0解得m<32；∵方程有一个根x=3+1，∴2×(3+1)2−4×(3+1)+(2m−1)=0解得m=−32，则2x2−4x−4=0，x2−2x−2=0∵x1+x2=2，∴x2=2−(1+3)=1−3，则x1=1+3，x2=1−3，即m的值是−32，另一根是1−3．16．（1）证明：Δ=[−(m+2)]2−4×1×(m−1)=m2+8，∵无论m取何值，m2+8>0，恒成立，∴无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；（2）解：∵x1，x2是方程x2−(m+2)x+m−1=0的两个实数根，∴x1+x2=m+2，x1⋅x2=m−1，∵x21+x22−x1x2=(x1+x2)2−3x1x2=9，∴(m+2)2−3(m−1)=9解得：m1=1或m2=−2.17．（1）解：设该工程队工作效率的月平均增长率为x，根据题意，得12000(1+x)2=14520．解这个方程，得x1=0.1，x2=−2.1（不合题意舍去）．答：该工程队工作效率的月平均增长率为10%．（2）解：8月的工程量为：13200m2；10月的工程量为：15972m2；12000+13200+14520+15972=55692>55000．所以该工程队能完成该小区的道路翻新任务．18．（1）解：由题意可得，每件衬衫降价4元，平均每天可售出衬衫的数量为：20+4×2=28（件）；此时每天获取的利润为(40-4)×28=1008（元）；（2）解：设每件衬衫降价x元（0≤x≤15），由题意可得(20+2x)×(40-x)=1200，整理得x2-30x+200=0，解得x1=10，x2=20(舍)，答：在每件盈利不少于25元的前提下，要使该衬衫每天销售获利为1200元，每件衬衫应降价10元；（3）解：该衬衫每天的销售获利不能达到1300元，理由如下：设每件衬衫降价y元，由题意可得(20+2y)×(40-y)=1300，整理得y2-30y+250=0，∵b2-4ac=302-4×1×250=-100＜0，∴此方程没有实数根，即该衬衫每天的销售获利不能达到1300元.。
人教版数学九年级数学上册第21章《一元二次方程》单元测试卷及答案
第21章《一元二次方程》单元测试卷一、单选题（每小题只有一个正确答案）1．下列方程是一元二次方程的是（）A．+x2=0B．3x2﹣2xy=0C．x2+x﹣1=0D．ax2﹣bx=02．如果﹣1是方程x2﹣3x+k=0的一个根，则常数k的值为（）A．4B．2C．﹣4D．﹣23．若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围（）A．k＜1且k≠0B．k≠0C．k＜1 D．k＞14．方程的解是A．x1=2，x2= 3B．x1=2，x2=1C．x=2D．x=35．已知关于x的方程有一个根为，则另一个根为A．5B．C．2D．6．若k＞4，则关于x的一元二次方程x2+4x+k=0的根的情况是（）A．没有实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．无法判断7．已知一元二次方程的两个解恰好分别是等腰的底边长和腰长，则的周长为A．13B．11或13C．11D．128．用配方法解一元二次方程，方程可变形为（）A．B．C．D．9．若α，β是一元二次方程3x2+2x－9=0的两根，则的值是（）.A．B．－C．－D．10．如图所示，AC是一根垂直于地面的木杆，B是木杆上的一点，且AB=2米，D是地面上一点，AD=3米.在B处有甲、乙两只猴子，D处有一堆食物.甲猴由B往下爬到A处再从地面直奔D处，乙猴则向上爬到木杆顶C处腾空直扑到D处，如果两猴所经过的距离相等，则木杆的长为（）A．m B．2m C．3m D．5 m11．某旅游景点8月份共接待游客25万人次,10月份共接待游客64万人次．设每月的平均增长率为x，则可列方程为（）A．B．C．D．12．若实数范围内定义一种运算“﹡”，使a*b=（a+1）2-ab，则方程（x+2）*5=0的解为（）A．-2B．-2，3C．，D．，二、填空题13．写出一个一元二次方程，使其有一个根为1，并且二次项系数也为1，方程为________．14．已知关于的方程有两个相等的实根，则的值是__________．15．已知是关于方程的一个根，则的值为______．16．关于x的方程ax2+4x﹣2=0（a≠0）有实数根，那么负整数a=_____（一个即可）．17．某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元，设平均每次降价的百分率为x，则可列方程为________________________________．三、解答题18．关于x的一元二次方程有实数根，求m的取值范围；若方程有一个根为，求m的值和另一根．19．解方程（1）x2﹣2x﹣2=0 （2）（x+1）2=4（x﹣1）2．20．解方程：(1)x2－6x－6＝0; (2)2x2－7x＋3＝0.21．解方程：方程已知x：y：：2：3，求的值．22．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．（1）若设该种品牌玩具的销售单价为x元（x＞40），请将销售利润w表示成销售单价x的函数；（2）在（1）问条件下，若商场获得了10000元销售利润，求该玩具销售单价x应定为多少元？（3）若想获得最大利润，应将销售价格定为多少，并求出此时的最大利润.23．一块矩形场地，场地的长是宽的2倍．计划在矩形场地上修建宽都为2米的两条互相垂直的小路，如图，余下的四块小矩形场地建成草坪．四块小矩形草坪的面积之和为364平方米，求这个矩形场地的长和宽各是多少米？参考答案1．C【分析】根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）二次项系数不为0；（4）是整式方程．由这四个条件对四个选项进行验证．A.不是整式方程，不是一元二次方程；B.含有两个未知数，不是一元二次方程；C.符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；D.二次项系数a不知是否为0，不能确定是否是一元二次方程．故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．2．C【分析】把x=-1代入方程可得到关于k的方程，可求得k的值．【详解】∵-1是方程x2-3x+k=0的一个根，∴（-1）2-3×（-1）+k=0，解得k=-4，故选：C．【点睛】考查一元二次方程的解，把方程的解代入得到到关于k的方程是解题的关键．3．A分析：由方程有两个不相等的实数根，可知∆>0,且二次项系数不等于0，据此列式求解即可.详解：由题意得，，解之得，k＜1且k≠0 .故选A.点睛：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式∆=b2﹣4ac：当∆>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆<0时，一元二次方程没有实数根.4．A【分析】利用因式分解法求解即可.【详解】,移项得：(x-2)²-(x-2)=0,提公因式得：（x-2）(x-2-1)=0,解得：.故选A.【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，解题的关键是根据方程的特点选择合适的方法求解即可.根据关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣2，可以设出另一个根，然后根据根与系数的关系可以求得另一个根的值．∵关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣2，设另一个根为m，∴﹣2+m=，解得：m=﹣1．故选B．【点睛】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是明确两根之和等于一次项系数与二次项系数比值的相反数．6．A【分析】计算根的判别式，利用k的取值范围进行判断其符号即可求得答案．【详解】∵x2+4x+k=0，∴△=42-4k=4（4-k），∵k＞4，∴4-k＜0，∴△＜0，∴该方程没有实数根，故选：A．【点睛】考查根的判别式，掌握方程根的情况与根的判别式的关系（①当>0时，方程有两个不相等的实数根；②当=0时，方程有两个相等的实数根；③当<0时，方程没有实数根）是解题的关键．7．B【分析】由一元二次方程的两个解恰好分别是等腰的底边长和腰长，利用因式分解法求解即可求得等腰的底边长和腰长，然后分别从当底边长和腰长分别为3和5时与当底边长和腰长分别为5和3时去分析，即可求得答案．【详解】，，或，即，，一元二次方程的两个解恰好分别是等腰的底边长和腰长，当底边长和腰长分别为3和5时，，的周长为：；当底边长和腰长分别为5和3时，，的周长为：；的周长为：11或13．故选：B．【点睛】此题考查了因式分解法解一元二次方程、等腰三角形的性质以及三角形三边关系此题难度不大，注意分类讨论思想的应用．先把常数项7移到方程右边，然后把方程两边加上42即可．【详解】方程变形为：x2+8x=-7，方程两边加上42，得x2+8x+42=-7+42，∴（x+4）2=9．故选D．【点睛】本题考查了利用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）：先把二次系数变为1，即方程两边除以a，然后把常数项移到方程右边，再把方程两边加上一次项系数的一半，这样把方程变形为：（x-）2=．9．C【解析】分析：根据根与系数的关系可得出α+β=-、αβ=-3，将其代入=中即可求出结论．详解：∵α、β是一元二次方程3x2+2x-9=0的两根，∴α+β=-，αβ=-3，∴===．故选：C．点睛：本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于-、两根之积等于是解题的关键．10．B【分析】设BC=x，AC=（2+x），从题意可得到AB+AD=BC+CD可得CD=5-x，AB=2，AD=3，把数据代入DC2=AC2+AD2，可得到一元二次方程．【详解】设BC的长为x米，∵AB+AD=BC+CD，∴CD=5-x，∵AC2+AD2= DC2,∴(2+x)2+32=(5-x) 2，∴x= ，AC=2+ =2m．故选B．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理及数形结合的思想，通过图形找到等量关系然后列方程求解．11．A【分析】设平均每月的增长率为，则由题意可得9月份的游客人数为：，10月份的游客人数为：，这样结合10月份共接收游客64万人即可列出方程了.【详解】设平均每月的增长率为，根据题意可得：.故选A.【点睛】读懂题意，设平均每月的增长率为，由此表达出10月的游客人数为是解答本题的关键.12．D【分析】根据运算“﹡”的规则，可将所求的方程化为：（x+2+1）2-5（x+2）=0，然后解这个一元二次方程即可．【详解】依题意，可将所求方程转化为：（x+3）2-5（x+2）=0，化简得：x2+x-1=0解得x1=，x2=，故选：D【点睛】本题考核知识点：本题是一个阅读型的问题，弄清新运算的规则是解答此类题的关键．13．答案不唯一，如x2＝1【分析】本题根据一元二次方程的根的定义，确定一元二次方程．【详解】一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0（k≠0），一个二次项系数为1，即a=1，并且一个根也为1，可令b=0，c=－1，这样的一元二次方程是x2＝1．故答案为：答案不唯一，如x2＝1．【点睛】根据一元二次方程的定义，利用待定系数法求出方程的解析式．14．【解析】分析: 根据二次项系数非零及根的判别式△=0，即可得出关于k的一元一次不等式及一元一次方程，解之即可得出k的值.详解:：∵关于x的方程（k-1）x2-2kx+k-3=0有两个相等的实根，∴＝＝，解得：k=．故答案为：.点睛：本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当△=0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键.15．16分析：先利用一元二次方程解的定义得到2-2=8，然后把变形为2（2-2），再利用整体代入的方法计算．详解：∵是关于方程的一个根，，∴2-2-8=0，∴2-2=8，∴=2(2-2)=2×8=16.故答案为：16.点睛：此题考查了一元二次方程的解，利用方程的解可以求方程中字母系数的值或与一元二次方程根有关的代数式的值，或将根代入方程，得到关于字母的代数式，充分利用含有这个字母的等量关系，将所求代数式变形或化简，求出其嗲数是的值，注意可利用整体代入思想. 16．﹣2【分析】先根据判别式的意义得到=42+8a≥0，解得a≥-2，然后在解集中找出负整数即可．【详解】∵关于x的方程ax2+4x-2=0（a≠0）有实数根，∴△=42+8a≥0，解得a≥-2，∴负整数a=-1或-2．故答案为-2．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式=b2-4ac．当＞0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当＜0，方程没有实数根．17．125（1-x）2 =80．【解析】分析：等量关系为：原价×（1-下降率）2=80，把相关数值代入即可．详解：第一次降价后的价格为125×（1-x），第二次降价后的价格为125×（1-x）×（1-x）=55×（1-x）2，∴列的方程为125×（1-x）2=80，故答案为125×（1-x）2=80．点睛：本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．18．；（2）m的值为，方程的另一根为1．【分析】若一元二次方程有实数根，则根的判别式，建立关于m的不等式，求出m的取值范围还要注意二次项系数不为0；将代入方程可求得m的值，解方程即可求得方程的另一根，即可解题．【详解】关于x的一元二次方程有实数根，，解之得；是这个方程的一个根，，，方程为：，整理得：，方程的根为1．故m的值为，方程的另一根为1．【点睛】本题考查了一元二次方程的求解，本题中代入求得m的值是解题的关键．19．（1）x1=1+，x2=1﹣；（2）x1=3，x2=．【分析】(1)配方法解；(2)因式分解法解.【详解】（1）x2﹣2x﹣2=0，x2﹣2x+1=2+1，（x﹣1）2=3，x﹣1=，x=1，x1=1，x2=1﹣，（2）（x+1）2=4（x﹣1）2．（x+1）2﹣4（x﹣1）2=0．（x+1）2﹣[2（x﹣1）]2=0．（x+1）2﹣（2x﹣2）2=0．（x+1﹣2x+2）（x+1+2x﹣2）=0．（﹣x+3）（3x﹣1）=0．x1=3，x2=．【点睛】考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程．20．(1)x1＝3＋，x2＝3－(2)x1＝，x2＝3.【分析】【详解】解：（1）方程可化为x2－6x+9=6+9（x-3）2=15x-3=所以，x1=,x2=.（2）因为，a=2,b=-7,c=3>0所以，方程由两个不相等的实数根.所以， .所以，x1＝，x2＝3.【点睛】本题考核知识点：解一元二次方程. 解题关键点：熟练掌握一元二次方程的解法. 21．（1），；（2）．【分析】（1）直接利用十字相乘法分解因式得出答案；（2）根据题意表示出x，y，z的值，进而代入求出答案．【详解】（1）x2+3x﹣4=0（x+4）（x﹣1）=0，则x1=﹣4，x2=1；（2）∵x：y：z=1：2：3，∴设x=a，则y=2a，z=3a，∴==﹣．【点睛】本题主要考查了比例的性质以及因式分解法解一元二次方程，正确分解因式是解题的关键．22．（1）w=﹣10x2+1300x﹣30000; (2)玩具销售单价为50元或80元时，可获得10000元销售利润，（3）销售价格定为65元时，可获得利润12250元.【分析】(1)根据销售量与销售单价之间的变化关系就可以直接求出w与x之间的关系式;(2)列出﹣10x2+1300x﹣30000=10000 的方程，求解即可;(3)把w=﹣10x2+1300x﹣30000化为顶点式，求出最大利润即可.【详解】（1）w=﹣10x2+1300x﹣30000；（2）依题意﹣10x2+1300x﹣30000=10000解之得：x1=50，x2=80答：玩具销售单价为50元或80元时，可获得10000元销售利润；（3）∵w =﹣10x2+1300x﹣30000=﹣10(x﹣65) 2+12250,∴当x=65，w取得最大值，∴销售价格定为65元时，可获得利润12250元.【点睛】本题考查了二次函数的应用及一元二次方程的实际应用，解题的关键是理解题意正确列出二次函数的解析式.23．这个矩形场地的宽为15米，长为30米．【分析】将两条小路分别平移至矩形场地的边上，则四块小矩形场地的面积和变为一块大矩形的面积，根据矩形的面积公式列方程即可得出答案．【详解】解：设这个矩形场地的宽为x米，长为2x米，根据题意可得：(2x﹣2)(x﹣2)=364，则x2﹣3x﹣180=0，(x﹣15)(x+12)=0，解得：x1=15，x2=﹣12（舍去），2x=30（m），答：这个矩形场地的宽为15米，长为30米．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，将两条小路平移至矩形的边上，使四块小矩形拼成一个大的矩形，然后利用矩形的面积公式列出方程是解决此题的关键．。