2.4.2 抛物线的简单几何性质(1) 课件 人教版数学选修2-1(共21张PPT)
解法1 抛物线的焦点 F(1 , 0),
直线l的方程为：y x 1
y x 1 y2 4xBiblioteka x26x1
0
x1
3
2
2
或
x2
3
2
2
y1 2 2 2
y2 2 2 2
AB = (x1 - x2 )2 +(y1 - y2 )2 = 8
例 4 斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y2 4x 的焦 点 F ,且与抛物线相交于 A,B 两点,求线段 AB 的长.
解法2 抛物线的焦点 F(1 , 0),
l的方程为：y x 1
y y
x 2
1 4x
⇒
x2 6x 1 0
x1 + x2 = 6, x1x2
=
1
AB 1 k2 [ x1 x2 2 4x1 x2 ]
= 112 62 41 8
例 4 斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y2 4x 的焦
y
． O
x
M
例 4 斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y2 4x 的焦 点 F ,且与抛物线相交于 A,B 两点,求线段 AB 的长.
解这题,你有什么方法呢? y 6
5
A
4
3
2
F 1
O1
2
3
4
5
6
7
8x
B -1
-2
例 4 斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y2 4x 的焦 点 F ,且与抛物线相交于 A,B 两点,求线段 AB 的长.
特别的，过焦点而垂直于对称轴的弦AB，称为 抛物线的通径。 |AB|=2p
利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出 反映抛物线基本特征的草图.
当堂检测：
1.过抛物线 y2 4x 的焦点作直线交抛物线于A.B两点
，若 x1 x2 10 ，则弦AB的长为______
2.已知等腰直角三角形的直角顶点位于坐标原点， 另两个顶点在抛物线 y2 2 px( p 0)上，若斜边长 为4，抛物线方程是（ ） A. y2 4x B. y2 2x C. y2 8x D. y2 x
K
B1
2
F 1
H
O1
2
3
4
5
6
7
8x
B -1
-2
（一）焦半径：连接抛物线任意一点 与焦点的线段叫做抛物线的焦半径。 y
A ( x1, y1 )
焦半径公式：
AF
x1
p 2
（二）焦点弦：通过焦点的直线，
与抛物线相交于两点，连接两点的
线段叫做抛物线的焦点弦。
F
O
x
B ( x2, y2 )
焦点弦公式： AB x1 x2 p
2.4.2 抛物线的简单几何性质(1)
课前复习 巩旧知
学习目标（一）： 复习前一节的抛物线的定义和 方程，填写学案上的表格,并完成 课前练1-3题。
合作交流 探新知
学习小组之间合作探究
讲授新课： 抛物线y2=2px(p>0) 的几何性质:
y
l d .M
K.
OF
x
(1)范围 x≥0,y∈R (2)对称性 关于x轴对称,对称轴又叫抛物线的轴.
值
不
同
，
p
值
大
，
-4
| y |也大-5 .
三、例典题例解精析析：
例3. 已知抛物线关于x轴对称, 顶点在坐标原 点, 并且过点M(2, - 2 2 ), 求它的 标准方程.
y
2 1
-1
O1
2
3
4x
-1
-2
-3
变式：已知抛物线顶点在坐标原点,对称轴是坐标 轴,并且过点M(2, 2 2 ),求它的标准方程.
(3)顶点 抛物线和它的轴的交点.
(4)离心率 抛物线上的点到焦点的距离和它到准 线的距离的比,叫做抛物线的离心率，用e表示， 由抛物线的定义可知，e=1
讲授新课：抛物线的性质
方程 图
y2 = 2px
（p＞0） y
l
y2 = -2px （p＞0）
yl
x2 = 2py （p＞0）
y
F
x2 = -2py （p＞0）
3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线; 4.抛物线的离心率是确定的,为1;
思考：2.在抛物线方程中，参数
p对图象有何影响？
y2=4x
p值
越大4 3 2
，抛物线开yy口22==也2x1x 越大
.
理 由 ： 对 于 同 一 个 x 值 ， 1
-2
y2= 2 x
2
4
6
8
10
-1
它
们
对
应-2
-3
的
y
点 F ,且与抛物线相交于 A,B 两点,求线段 AB 的长.
解法3 :抛物线的焦点 F(1 , 0),
l的方程为：y x 1
y
6
y x 1 y2 4x
x2
6x
1
A01
5 4 3
A
⇒x1 + x2 = 6, x1x2 = 1
2
|AB |= |AF|+ |BF | = |AA1 |+ |BB1 |
课后小结
我的收获：______________ 我的疑惑：_______________
作业：课时作业
F 1
O1
2
3
4
5
6
7
8x
B B 1
-1
-2
=(x1+1)+(x2+1)
=x1+x2+2=8
∴
, ,
解法4
FA = AA1 KH p FA cos
p
FA
y
1 cos
6
同理 FB p
A5
1
4
A
1 cos
3
AB p p
1 cos 1 cos
2p 22
sin2 sin2 45 8
y
l
形
OF x F O x
O
x l
O F
x
范围 x≥0 y∈R x≤0 y∈R x∈R y≥0 x∈R y≤0
对称轴关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称 关于y轴对称
顶点 （0,0） （0,0） （0,0）
离心率 1
1
1
（0,0） 1
特点
1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无 限延伸,但它没有渐近线; 2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;
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高二数学人教A版选修2-1课件：2.4.2 抛物线的简单几何性质
一 二三
知识精要
典题例解
迁移应用
【例 3】已知抛物线 y2=6x 的弦 AB 经过点 P(4,2),且 OA⊥OB(O 为坐标原点),求弦 AB 的长.
思路分析:要求弦 AB 的长,只需求出 A,B 两点的坐标.为此,设出 A,B 两点的坐标,利用 OA⊥OB 以及 A,B,P 三点共线的条件求解.
������22 6
,������2
,
得������12 ������22
36
+y1y2=0.
一 二三
知识精要
典题例解
迁移应用
∵y1y2≠0,∴y1y2=-36.
①
∵点 A,B 与点 P(4,2)在一条直线上,
∴������6������121 --24
=
������1 -������2 ���6���12-���6���22
A
������ 2
,������
,B
������ 2
,-������
可知通径的长|AB|等于 2p.
目标导航
预习导引
123
抛物线 x=3y2 的通径长等于
.
提示:抛物线方程化为 y2=13x,2p=13,故其通径长为13.
目标导航
预习导引
123
3.直线与抛物线的位置关系 若直线平行或重合于对称轴,则直线与抛物线只有一个公共点;若直线不平行于对称轴,则直线与抛物线有 相切、相交、相离三种情况.
(8)S△AOB=2s������i2n������.
一 二三
知识精要
典题例解
迁移应用
【例2】 已知直线l经过抛物线y2=6x的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点. (1)若直线l的倾斜角为60°,求|AB|的值; (2)若|AB|=9,求线段AB的中点M到准线的距离. 思路分析:(1)由倾斜角可知斜率,从而得到l的方程,与抛物线方程联立,结合抛物线定义可求得|AB|的值;(2) 由|AB|=9求得弦AB中点的横坐标即可求得M到准线的距离.
人教版选修2-1.2.4.2抛物线的几何性质课件
例3、正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外 两个顶点在抛物线y 2 px （p 0）上，求这个
2
正三角形的边长.
y A
O
B
x
解：如图，设正三角形 OAB的顶点A、B在抛物 线上，且坐标分别为（ x1，y1 ）、（x2，y2 ），则 y12 2 px1，
2 1 2 2 2 y2 2 px2 . 2 2 又 | OA || OB | ，所以：x12 y12 x2 y2 ，
斜率为k的直线过抛物线的焦点F且与 抛物线交于A，B两点，求 AB 的长度。
2p 答案： AB ＝2p+ 2 k
变式2 已知抛物线y 2px的焦点为F,过抛
2
物线的焦点F且倾斜角为 ( 90 )的直线
0
与抛物线交于A，B两点，求AB的长度。
2p 解：由变式1知 AB ＝2p 2 k 2 2 2 p(k 1) 2 p(tan 1) 2p 2 2 2 k tan sin
x
B
=x1+x2+2=8
例3.过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点, 通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于 点D,求证:直线DB平行于抛物线的对称轴.
y
A
F
O D B
x
练习:P68 T3
补充（1）通径： （标准方程中2p的几何意义）
y
通过焦点且垂直对称轴的直线， 与抛物线相交于两点，连接这 两点的线段叫做抛物线的通径。
抛物线的几何性质
图 形
y
l
O F x l O
方 程
y2 = 2px （p>0） y2 = -2px
x
p F ( ,0 ) 2 p F ( ,0) 2 p F (0, ) 2 p F (0, ) 2
高中数学人教A版选修2-1课件：2.4.2 抛物线的简单几何性质
������ 2 4
������
������ 2
(������≠0).
2 , ������ ������2 2 2 2 消去 y,得 k x -p(k +2)x+ = 0,
������ sin������ 又 k=tan θ= , 代入|AB|=x1+x2+p,得 cos������ sin2 ������+2cos2 ������ 2������ |AB|= · p+p= 2 . sin2 ������ sin ������
2������2 +16
������4 +64
=2
16������2 1+ 4 ,③ ������ +64
题型一
题型二
题型三
题型四
当 a≠0 时,由③得,
������1 ������2 + =2 1+ ������2 ������1
16
������2 + 2 ������
16 ≤2 1+ = 2 2. 2 × 8 64
2
联立解得p=4,x0=2. 故抛物线的方程为 y2=8x.
题型一
பைடு நூலகம்
题型二
题型三
题型四
与抛物线有关的最值问题
【例 3】 已知点 F(0,1),直线 l:y=-1,P 为平面上的动点,过点 P 作直线 l 的垂线,垂足为点 Q,且������������ ·������������ = ������������ ·������������. (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)已知圆 M 过定点 D(0,2),圆心 M 在轨迹 C 上运动,且圆 M 与 x 轴交于 A,B 两点,设|DA|=l1,|DB|=l2,求
������
������ 2
(������≠0).
2 , ������ ������2 2 2 2 消去 y,得 k x -p(k +2)x+ = 0,
������ sin������ 又 k=tan θ= , 代入|AB|=x1+x2+p,得 cos������ sin2 ������+2cos2 ������ 2������ |AB|= · p+p= 2 . sin2 ������ sin ������
2������2 +16
������4 +64
=2
16������2 1+ 4 ,③ ������ +64
题型一
题型二
题型三
题型四
当 a≠0 时,由③得,
������1 ������2 + =2 1+ ������2 ������1
16
������2 + 2 ������
16 ≤2 1+ = 2 2. 2 × 8 64
2
联立解得p=4,x0=2. 故抛物线的方程为 y2=8x.
题型一
பைடு நூலகம்
题型二
题型三
题型四
与抛物线有关的最值问题
【例 3】 已知点 F(0,1),直线 l:y=-1,P 为平面上的动点,过点 P 作直线 l 的垂线,垂足为点 Q,且������������ ·������������ = ������������ ·������������. (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)已知圆 M 过定点 D(0,2),圆心 M 在轨迹 C 上运动,且圆 M 与 x 轴交于 A,B 两点,设|DA|=l1,|DB|=l2,求
高二数学人教A版选修2-1课件：2.4.2 抛物线的简单几何性质 第1课时 共25张)
y
y2=2px
A
2p
OF
x
B
6.焦半径
连接抛物线上任意一点与焦点的线段叫做抛物
线的焦半径.
y
焦半径公式：
P
OF
x
抛物线的几何性质
方程
y2 = 2px
y2 = -2px
x2 = 2py
x2 = -2py
（p＞0） （p＞0） （p＞0） （p＞0）
图
y
l
yl
y F
ห้องสมุดไป่ตู้y l
形
OF x F O x
O
x l
目标的坚定是性格中最必要的力量源 泉之一，也是成功的利器之一。没有它， 天才会在矛盾无定的迷径中徒劳无功.
2.4.2 抛物线的简单几何性质 第1课时 抛物线的简单几何性质
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
【思考】 类比椭圆、双曲线的几何性质，你认为可以
讨论抛物线的哪些几何性质？
1.掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；（ 重点）
2．能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论，在此基 础上列表、描点、画抛物线图形；（重点、难点）
下面，我们介绍另外一种方法——数形结合的方法.
y
A'
A
OF
x
B' B
题
点
线
y
l
A'
A
OF
x
B' B
还可以如何 求x1+x2?
如上题，求证：以AB为直径的圆和抛物线的准线 相切．
分析：运用抛物 线的定义和平面 几何知识来证比 较简捷．
证明：如图，设AB的中点为E，过A，E，B分别向准 线l引垂线AD，EH，BC，垂足分别为D，H，C，
高中数学 2.4.2抛物线的几何性质(一)课件 新人教版选修21
2、对称性： 抛物线只有一条(yī tiáo)对称轴,没有对称中心;
3、顶点： 抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线； 4、离心率： 抛物线的离心率是确定的，等于１； 5、通径： 抛物线的通径为2P, 2p越大，抛物线的张口越大.
6、光学性质：从焦点出发的光线，通过抛物线反射就变成
了平行光束.
第十七页，共17页。
o F ( p ,0) x
2
第六页，共17页。
5、 通径
过焦点(jiāodiǎn)而垂直于对称
轴的弦AB，称为抛物线的通径，
y
y2=2px
|AB|=2p
利用抛物线的顶点 (dǐngdiǎn)、通径的两个端 点可较准确画出反映抛物 线基本特征的草图.
A p , p
2
2p
OF
x
B
p , p 2
为由:条y2件=2(ptixáojiàn)可得A (4代0,3入0)方, 程得:
302=2p·40
解之: p= 45
4
故所求抛物线的标准方程为: y2=
45
2 x,
焦点为( 45 ,0)
8
第十三页，共17页。
例题3
思考例题3:图中是抛物线形拱桥，当水面(shuǐ miàn)在 l
时，拱顶离水面(shuǐ m若ià在n)水2米面，上水有面一(宽sh为uǐ 2m米ià,n高)
抛物镜面：抛物线绕其对称轴旋转(xuánzhuǎn)而成的曲面
灯泡放在抛物线的焦点位置上，通过镜面反射就变 成了平行光束，这就是探照灯、汽车前灯(qián dēnɡ)、手电 设计原理。
平行光线射到抛物镜面上，经镜面反射后，反射光线都
经过抛物线的焦点，这就是太阳灶能把光能转化为热能
3、顶点： 抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线； 4、离心率： 抛物线的离心率是确定的，等于１； 5、通径： 抛物线的通径为2P, 2p越大，抛物线的张口越大.
6、光学性质：从焦点出发的光线，通过抛物线反射就变成
了平行光束.
第十七页，共17页。
o F ( p ,0) x
2
第六页，共17页。
5、 通径
过焦点(jiāodiǎn)而垂直于对称
轴的弦AB，称为抛物线的通径，
y
y2=2px
|AB|=2p
利用抛物线的顶点 (dǐngdiǎn)、通径的两个端 点可较准确画出反映抛物 线基本特征的草图.
A p , p
2
2p
OF
x
B
p , p 2
为由:条y2件=2(ptixáojiàn)可得A (4代0,3入0)方, 程得:
302=2p·40
解之: p= 45
4
故所求抛物线的标准方程为: y2=
45
2 x,
焦点为( 45 ,0)
8
第十三页，共17页。
例题3
思考例题3:图中是抛物线形拱桥，当水面(shuǐ miàn)在 l
时，拱顶离水面(shuǐ m若ià在n)水2米面，上水有面一(宽sh为uǐ 2m米ià,n高)
抛物镜面：抛物线绕其对称轴旋转(xuánzhuǎn)而成的曲面
灯泡放在抛物线的焦点位置上，通过镜面反射就变 成了平行光束，这就是探照灯、汽车前灯(qián dēnɡ)、手电 设计原理。
平行光线射到抛物镜面上，经镜面反射后，反射光线都
经过抛物线的焦点，这就是太阳灶能把光能转化为热能
高中数学选修2-1人教A版：2.4.2抛物线的简单几何性质课件(1)
3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线; 4.抛物线的离心率是确定的e=1; 5.抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响.
P越大,开口越开阔---本质是成比例地放大！
三、典例精析
例1.已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在
直线3x-4y-12=0上，那么抛物线通径长是 16
.
例 2.斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y2 4x 的焦点 F , 且与抛解物法线1相交F1于(1 ,A0,)B, 两点,求线段 AB 的长.
(2)对称性 关于x轴对称,对称轴 又叫抛物线的轴.
(3)顶点 抛物线和它的轴的交点. （0,0）
（4）离心率
抛物线上的点与焦点的距 离和它到准线的距离 之比，叫 做抛物线的离心率，由抛物线 的定义，可知e=1。
y
P(x0 , y0 )
A
OF
x
B
（5）焦半径：连接抛物线任意一点与焦点的线
段叫做抛物线的焦半径。PF
标准方程 y2 2 px( p 0) y2 2 px( p 0) x2 2 py( p 0) x2 2 py( p 0)
y
图形
F
o
x
. .
y F ox
焦点 准线
F ( p ,0) 2
x p 2
F ( p ,0) 2
x p 2
y
F
x o
F (0, p ) 2
y p 2
y
o
x
F
F (0, p ) 2
x0
p 2
（6）通径：通过焦点且垂直对称轴的直线，与
抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物
线的通径。通径长为2p A( p , p)、B( p , p)
P越大,开口越开阔---本质是成比例地放大！
三、典例精析
例1.已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在
直线3x-4y-12=0上，那么抛物线通径长是 16
.
例 2.斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y2 4x 的焦点 F , 且与抛解物法线1相交F1于(1 ,A0,)B, 两点,求线段 AB 的长.
(2)对称性 关于x轴对称,对称轴 又叫抛物线的轴.
(3)顶点 抛物线和它的轴的交点. （0,0）
（4）离心率
抛物线上的点与焦点的距 离和它到准线的距离 之比，叫 做抛物线的离心率，由抛物线 的定义，可知e=1。
y
P(x0 , y0 )
A
OF
x
B
（5）焦半径：连接抛物线任意一点与焦点的线
段叫做抛物线的焦半径。PF
标准方程 y2 2 px( p 0) y2 2 px( p 0) x2 2 py( p 0) x2 2 py( p 0)
y
图形
F
o
x
. .
y F ox
焦点 准线
F ( p ,0) 2
x p 2
F ( p ,0) 2
x p 2
y
F
x o
F (0, p ) 2
y p 2
y
o
x
F
F (0, p ) 2
x0
p 2
（6）通径：通过焦点且垂直对称轴的直线，与
抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物
线的通径。通径长为2p A( p , p)、B( p , p)
人教A版高中数学选修2-1课件：2.4.2抛物线的简单几何性质
第二十页，编辑于星期日：六点 十五分。
例3 若点P在y²=x上 ,点Q在圆 (x-3)²+y²=1上,求|PQ|最小值.
第二十一页，编辑于星期日：六点 十五分。
例4 求抛物线y²=64x上的点到直线 4x+3y+46=0的距离的最小值,并求取 得最小值时的抛物线上点的坐标.
第二十二页，编辑于星期日：六点 十五分。
则｜AF｜＝｜AD｜，｜BF｜＝｜BC｜
故｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜
y
＝｜AD｜＋｜BC｜=2｜EH｜ C
B
所以EH是以AB为直径的 圆E的半径，且EH⊥l，因而
H
E
OF
x
圆E和准线l相切．
DA
第十九页，编辑于星期日：六点 十五分。
例2 给定 y2 2x, 设A(a,0) (a>0),P 是抛物线上一点且|PA|=d,试求d的最 小值.
准线方程
x= -5 y= - —1
8
x= —5
8
y=2
第十一页，编辑于星期日：六点 十五分。
新课
一、抛物线的范围 y2=2px
y
•x 0
•y取全体实数
x
第十二页，编辑于星期日：六点 十五分。
二、抛物线的对称性 y2=2px
y
关于x轴对称
没有对称中心，因 此，抛物线又叫做
x 无心圆锥曲线. 而
椭圆和双曲线又叫 做有心圆锥曲线.
p 若点M 的横坐标为x0，则点M到焦点的距离是
x + — 0
2 ————————————
这就是抛
． y M
物线的焦 半径公式!
．
OF
x
第九页，编辑于星期日：六点 十五分。
例3 若点P在y²=x上 ,点Q在圆 (x-3)²+y²=1上,求|PQ|最小值.
第二十一页，编辑于星期日：六点 十五分。
例4 求抛物线y²=64x上的点到直线 4x+3y+46=0的距离的最小值,并求取 得最小值时的抛物线上点的坐标.
第二十二页，编辑于星期日：六点 十五分。
则｜AF｜＝｜AD｜，｜BF｜＝｜BC｜
故｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜
y
＝｜AD｜＋｜BC｜=2｜EH｜ C
B
所以EH是以AB为直径的 圆E的半径，且EH⊥l，因而
H
E
OF
x
圆E和准线l相切．
DA
第十九页，编辑于星期日：六点 十五分。
例2 给定 y2 2x, 设A(a,0) (a>0),P 是抛物线上一点且|PA|=d,试求d的最 小值.
准线方程
x= -5 y= - —1
8
x= —5
8
y=2
第十一页，编辑于星期日：六点 十五分。
新课
一、抛物线的范围 y2=2px
y
•x 0
•y取全体实数
x
第十二页，编辑于星期日：六点 十五分。
二、抛物线的对称性 y2=2px
y
关于x轴对称
没有对称中心，因 此，抛物线又叫做
x 无心圆锥曲线. 而
椭圆和双曲线又叫 做有心圆锥曲线.
p 若点M 的横坐标为x0，则点M到焦点的距离是
x + — 0
2 ————————————
这就是抛
． y M
物线的焦 半径公式!
．
OF
x
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【精品】高中数学人教A版选修2-1课件：2.4.2抛物线的简单几何性质课件(17张)
高二数学选修2-1
抛物线的简单几何性质
问题1：椭圆、双曲线都有哪些性质？ 椭圆：范围、对称性、顶点、离心率。 双曲线：范围、对称性、顶点、渐近 线、离心率。
问题2：如何研究得到这些性质？ 通过方程得到;通过图形得到。
问题3 抛物线的标准方程和图形各是什么？ P的几何意义是什么？
﹒ ﹒ ﹒
y
图 形
2 px ( p 0 ) 所以设方程为： y 又因为点M在抛物线上：
2
( 22 ) 2 p 2p2
2
因此所求抛物线标准方程为： y 2 4 x
变式：求顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴， 并且经过点(2, 2 2 )的抛物线的标准方程。
例 2： 斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y 2 4 x 的焦 点 F ,且与抛物线相交于 A,B 两点,求线段 AB 的长.
o
标准方程
焦点
准线
x
y
o
x
y
o
x
﹒
o
y
x
一、探索新知 如何研究抛物线y2 =2px（p>0）的几何性质?
1、
=2px（p>0）
x y 0 有2p p 0
oF ( p , 0 )
2
x
, y R 所以抛物线的范围为 x0
x 0
2、
对称性
(x, y)
关于x轴
y
对称
2
关于y 轴 对称 关于y 轴 对称
e=1
x 2 py y 0, ( p 0) x R
2
e=1
二、典例精析
例１：已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标 原点，并且经过点M（２， 2 2 ），求它的标准方程.
抛物线的简单几何性质
问题1：椭圆、双曲线都有哪些性质？ 椭圆：范围、对称性、顶点、离心率。 双曲线：范围、对称性、顶点、渐近 线、离心率。
问题2：如何研究得到这些性质？ 通过方程得到;通过图形得到。
问题3 抛物线的标准方程和图形各是什么？ P的几何意义是什么？
﹒ ﹒ ﹒
y
图 形
2 px ( p 0 ) 所以设方程为： y 又因为点M在抛物线上：
2
( 22 ) 2 p 2p2
2
因此所求抛物线标准方程为： y 2 4 x
变式：求顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴， 并且经过点(2, 2 2 )的抛物线的标准方程。
例 2： 斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y 2 4 x 的焦 点 F ,且与抛物线相交于 A,B 两点,求线段 AB 的长.
o
标准方程
焦点
准线
x
y
o
x
y
o
x
﹒
o
y
x
一、探索新知 如何研究抛物线y2 =2px（p>0）的几何性质?
1、
=2px（p>0）
x y 0 有2p p 0
oF ( p , 0 )
2
x
, y R 所以抛物线的范围为 x0
x 0
2、
对称性
(x, y)
关于x轴
y
对称
2
关于y 轴 对称 关于y 轴 对称
e=1
x 2 py y 0, ( p 0) x R
2
e=1
二、典例精析
例１：已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标 原点，并且经过点M（２， 2 2 ），求它的标准方程.
数学选修2-1抛物线的简单几何性质(1) 课件
(1)当a-1≤0,即a≤1,y=0时, dmin2=a2.这时dmin=|a|.
(2)当a-1>0,即a>1时,y=a-1时d2取到最小值,不符合题意.
综上可知a≤1.
【误区警示】
类型 二
抛物线性质的应用
【典型例题】 1.(2013·唐山高二检测)抛物线y=4x2上一点到直线y=4x-5的 距离最短,则该点的坐标是( A.( 1 ,1) 2 C.(1,2) )
B.(0,0) D.(1,4)
2.已知A,B是抛物线y2=2px(p>0)上两点,O为坐标原点,若 |OA|=|OB|,且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点,求直线AB的 方程.
x2=2py (p>0)
x2=-2py (p>0)
x≥0,y∈R x≤0,y∈R x∈R,y≥0 x∈R,y≤0 _________ _________ _________ _________
x __轴
y __轴
O(0,0) _______ p p p p F(0, ) F( ,0) F( ,0) F(0, ) 2 2 ______ ________ _______2 ________2 p p p p y y x x ______ 2 ______ 2 _______ 2 ______ 2 e=__ 1
M为AB的中点,作MM1⊥l于M1,则由抛物线的
定义可知|AA1|=|AF|,
|BB1|=|BF|,在直角梯形BB1A1A中,
1 1 |MM1|= 1 (|AA1|+|BB1|)= (|AF|+|BF|)= |AB|, 2 2 2 故以抛物线的焦点弦为直径的圆,必与抛物线的准线相切.
2.(1)抛物线y2=2px的焦点为F( p ,0),当AB不垂直于x轴时, 2 设直线AB的方程为y=k(x- p )(k≠0). 2 p y k(x ), 由 2 消去y, 2 y 2px, 2 2 k 2 2 2 得k x -p(k +2)x+ p =0. 4 p2 由根与系数的关系得x1x2= (定值). 4 2 p p 当AB⊥x轴时,x1=x2= ,x1x2= 也成立. 4 2
(2)当a-1>0,即a>1时,y=a-1时d2取到最小值,不符合题意.
综上可知a≤1.
【误区警示】
类型 二
抛物线性质的应用
【典型例题】 1.(2013·唐山高二检测)抛物线y=4x2上一点到直线y=4x-5的 距离最短,则该点的坐标是( A.( 1 ,1) 2 C.(1,2) )
B.(0,0) D.(1,4)
2.已知A,B是抛物线y2=2px(p>0)上两点,O为坐标原点,若 |OA|=|OB|,且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点,求直线AB的 方程.
x2=2py (p>0)
x2=-2py (p>0)
x≥0,y∈R x≤0,y∈R x∈R,y≥0 x∈R,y≤0 _________ _________ _________ _________
x __轴
y __轴
O(0,0) _______ p p p p F(0, ) F( ,0) F( ,0) F(0, ) 2 2 ______ ________ _______2 ________2 p p p p y y x x ______ 2 ______ 2 _______ 2 ______ 2 e=__ 1
M为AB的中点,作MM1⊥l于M1,则由抛物线的
定义可知|AA1|=|AF|,
|BB1|=|BF|,在直角梯形BB1A1A中,
1 1 |MM1|= 1 (|AA1|+|BB1|)= (|AF|+|BF|)= |AB|, 2 2 2 故以抛物线的焦点弦为直径的圆,必与抛物线的准线相切.
2.(1)抛物线y2=2px的焦点为F( p ,0),当AB不垂直于x轴时, 2 设直线AB的方程为y=k(x- p )(k≠0). 2 p y k(x ), 由 2 消去y, 2 y 2px, 2 2 k 2 2 2 得k x -p(k +2)x+ p =0. 4 p2 由根与系数的关系得x1x2= (定值). 4 2 p p 当AB⊥x轴时,x1=x2= ,x1x2= 也成立. 4 2