九年级数学上册全册教案-九上封面
教案
科目数学
教师
中数组
桂林市清风实验学校
2011~2012学年上学期
2011 -2012学容（课或章或单元）
教学活动
时数
备注
1
二次根式3
2
2
二次根式的乘法3、加减2
5
3
二次根式的加减1、第21章复习3
5
中秋放假
4
一元二次方程2、解一元二次方程3
5
15
随机事件与概率5
5
16
用列举法求概4、用频率估计概率1
4
17
用频率估计概率1、课题学习2,、
5
18
第25章复习与检测
5
19
期末复习
5
20
期末复习
5
21
期考、评卷、工作总结
5
22
23
24
5
5
解一元二次方程5
5
运动会
6
实际问题与一元二次方程5
5
国庆放假
7
第22章复习与检测5
5
8
图形的旋转3、中心对称2
5
9
中心对称1、图案设计1、
第23章复习与检测3
5
10
圆3、与圆有关的位置关系2
5
11
与圆有关的位置关系4
4
校庆
12
正多边形和圆2、弧长和扇形面积3
5
13
第24章复习与检测
5
14
阶段复习与段考5
新人教版九年级数学上册教案(全册,73页)
新人教版九年级数学上册全册教案设计第二十一章一元二次方程21．1一元二次方程1．通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，分清二次项及其系数、一次项及其系数与常数项等概念．2．了解一元二次方程的解的概念，会检验一个数是不是一元二次方程的解．重点通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)和一元二次方程的解等概念，并能用这些概念解决简单问题．难点一元二次方程及其二次项系数、一次项系数和常数项的识别．活动1 复习旧知1．什么是方程？你能举一个方程的例子吗？2．下列哪些方程是一元一次方程？并给出一元一次方程的概念和一般形式． (1)2x －1 (2)mx ＋n ＝0 (3)1x＋1＝0 (4)x 2＝13．下列哪个实数是方程2x －1＝3的解？并给出方程的解的概念． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 活动2 探究新知 根据题意列方程．1．教材第2页 问题1.提出问题：(1)正方形的大小由什么量决定？本题应该设哪个量为未知数？(2)本题中有什么数量关系？能利用这个数量关系列方程吗？怎么列方程？ (3)这个方程能整理为比较简单的形式吗？请说出整理之后的方程． 2．教材第2页 问题2.提出问题：(1)本题中有哪些量？由这些量可以得到什么？(2)比赛队伍的数量与比赛的场次有什么关系？如果有5个队参赛，每个队比赛几场？一共有20场比赛吗？如果不是20场比赛，那么究竟比赛多少场？(3)如果有x 个队参赛，一共比赛多少场呢？3．一个数比另一个数大3，且两个数之积为0，求这两个数．提出问题：本题需要设两个未知数吗？如果可以设一个未知数，那么方程应该怎么列？ 4．一个正方形的面积的2倍等于25，这个正方形的边长是多少？ 活动3 归纳概念 提出问题：(1)上述方程与一元一次方程有什么相同点和不同点？(2)类比一元一次方程，我们可以给这一类方程取一个什么名字？(3)归纳一元二次方程的概念．1．一元二次方程：只含有________个未知数，并且未知数的最高次数是________，这样的________方程，叫做一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．提出问题：(1)一元二次方程的一般形式有什么特点？等号的左、右分别是什么？(2)为什么要限制a≠0，b，c可以为0吗？(3)2x2－x＋1＝0的一次项系数是1吗？为什么？3．一元二次方程的解(根)：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解(根)．活动4例题与练习例1在下列方程中，属于一元二次方程的是________．(1)4x2＝81；(2)2x2－1＝3y；(3)1x2＋1x＝2；(4)2x2－2x(x＋7)＝0.总结：判断一个方程是否是一元二次方程的依据：(1)整式方程；(2)只含有一个未知数；(3)含有未知数的项的最高次数是2.注意有些方程化简前含有二次项，但是化简后二次项系数为0，这样的方程不是一元二次方程．例2教材第3页例题．例3以－2为根的一元二次方程是()A．x2＋2x－1＝0 B．x2－x－2＝0C．x2＋x＋2＝0 D．x2＋x－2＝0总结：判断一个数是否为方程的解，可以将这个数代入方程，判断方程左、右两边的值是否相等．练习：1．若(a－1)x2＋3ax－1＝0是关于x的一元二次方程，那么a的取值范围是________．2．将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项．(1)4x2＝81；(2)(3x－2)(x＋1)＝8x－3.3．教材第4页练习第2题．4．若－4是关于x的一元二次方程2x2＋7x－k＝0的一个根，则k的值为________．答案：1.a≠1；2.略；3.略；4.k＝4.活动5课堂小结与作业布置课堂小结我们学习了一元二次方程的哪些知识？一元二次方程的一般形式是什么？一般形式中有什么限制？你能解一元二次方程吗？作业布置教材第4页习题21.1第1～7题.21.2解一元二次方程21．2.1配方法(3课时)第1课时直接开平方法理解一元二次方程“降次”——转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax2＋c＝0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a(ex＋f)2＋c＝0型的一元二次方程．重点运用开平方法解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程，领会降次——转化的数学思想．难点通过根据平方根的意义解形如x2＝n的方程，将知识迁移到根据平方根的意义解形如(x ＋m)2＝n(n≥0)的方程．一、复习引入学生活动：请同学们完成下列各题． 问题1：填空(1)x 2－8x ＋________＝(x －________)2；(2)9x 2＋12x ＋________＝(3x ＋________)2；(3)x 2＋px ＋________＝(x ＋________)2.解：根据完全平方公式可得：(1)16 4；(2)4 2；(3)(p 2)2 p2.问题2：目前我们都学过哪些方程？二元怎样转化成一元？一元二次方程与一元一次方程有什么不同？二次如何转化成一次？怎样降次？以前学过哪些降次的方法？二、探索新知上面我们已经讲了x 2＝9，根据平方根的意义，直接开平方得x ＝±3，如果x 换元为2t ＋1，即(2t ＋1)2＝9，能否也用直接开平方的方法求解呢？(学生分组讨论)老师点评：回答是肯定的，把2t ＋1变为上面的x ，那么2t ＋1＝±3 即2t ＋1＝3，2t ＋1＝－3 方程的两根为t 1＝1，t 2＝－2例1 解方程：(1)x 2＋4x ＋4＝1 (2)x 2＋6x ＋9＝2分析：(1)x 2＋4x ＋4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为(x ＋2)2＝1. (2)由已知，得：(x ＋3)2＝2直接开平方，得：x ＋3＝±2 即x ＋3＝2，x ＋3＝－ 2所以，方程的两根x 1＝－3＋2，x 2＝－3－ 2 解：略．例2 市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10 m 2提高到14.4 m 2，求每年人均住房面积增长率．分析：设每年人均住房面积增长率为x ，一年后人均住房面积就应该是10＋10x ＝10(1＋x)；二年后人均住房面积就应该是10(1＋x)＋10(1＋x)x ＝10(1＋x)2解：设每年人均住房面积增长率为x ，则：10(1＋x)2＝14.4 (1＋x)2＝1.44直接开平方，得1＋x＝±1.2即1＋x＝1.2，1＋x＝－1.2所以，方程的两根是x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x2＝－2.2应舍去．所以，每年人均住房面积增长率应为20%.(学生小结)老师引导提问：解一元二次方程，它们的共同特点是什么？共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．我们把这种思想称为“降次转化思想”．三、巩固练习教材第6页练习．四、课堂小结本节课应掌握：由应用直接开平方法解形如x2＝p(p≥0)的方程，那么x＝±p转化为应用直接开平方法解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的方程，那么mx＋n＝±p，达到降次转化之目的．若p＜0则方程无解．五、作业布置教材第16页复习巩固1.第2课时配方法的基本形式理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题．通过复习可直接化成x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程的解法，引入不能直接化成上面两种形式的一元二次方程的解题步骤．重点讲清直接降次有困难，如x2＋6x－16＝0的一元二次方程的解题步骤．难点将不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧．一、复习引入(学生活动)请同学们解下列方程：(1)3x2－1＝5(2)4(x－1)2－9＝0(3)4x2＋16x＋16＝9(4)4x2＋16x＝－7老师点评：上面的方程都能化成x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式，那么可得x＝±p或mx＋n＝±p(p≥0)．如：4x2＋16x＋16＝(2x＋4)2，你能把4x2＋16x＝－7化成(2x＋4)2＝9吗？二、探索新知列出下面问题的方程并回答：(1)列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢？(2)能否直接用上面前三个方程的解法呢？问题：要使一块矩形场地的长比宽多6 m，并且面积为16 m2，求场地的长和宽各是多少？(1)列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题不同之处是：前三个左边是含有x 的完全平方式而后二个不具有此特征．(2)不能．既然不能直接降次解方程，那么，我们就应该设法把它转化为可直接降次解方程的方程，下面，我们就来讲如何转化：x 2＋6x －16＝0移项→x 2＋6x ＝16两边加(6/2)2使左边配成x 2＋2bx ＋b 2的形式→x 2＋6x ＋32＝16＋9 左边写成平方形式→(x ＋3)2＝25降次→x ＋3＝±5即x ＋3＝5或x ＋3＝－5 解一次方程→x 1＝2，x 2＝－8可以验证：x 1＝2，x 2＝－8都是方程的根，但场地的宽不能是负值，所以场地的宽为2 m ，长为8 m .像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法． 可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．例1 用配方法解下列关于x 的方程： (1)x 2－8x ＋1＝0 (2)x 2－2x －12＝0分析：(1)显然方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方式；(2)同上．解：略． 三、巩固练习教材第9页 练习1，2.(1)(2)．四、课堂小结 本节课应掌握：左边不含有x 的完全平方形式的一元二次方程化为左边是含有x 的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程的方程．五、作业布置教材第17页 复习巩固2，3.(1)(2)．第3课时 配方法的灵活运用了解配方法的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤． 通过复习上一节课的解题方法，给出配方法的概念，然后运用配方法解决一些具体题目．重点讲清配方法的解题步骤．难点对于用配方法解二次项系数为1的一元二次方程，通常把常数项移到方程右边后，两边加上的常数是一次项系数一半的平方；对于二次项系数不为1的一元二次方程，要先化二次项系数为1，再用配方法求解．一、复习引入(学生活动)解下列方程：(1)x2－4x＋7＝0(2)2x2－8x＋1＝0老师点评：我们上一节课，已经学习了如何解左边不含有x的完全平方形式的一元二次方程以及不可以直接开方降次解方程的转化问题，那么这两道题也可以用上面的方法进行解题．解：略．(2)与(1)有何关联？二、探索新知讨论：配方法解一元二次方程的一般步骤：(1)先将已知方程化为一般形式；(2)化二次项系数为1；(3)常数项移到右边；(4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；(5)变形为(x＋p)2＝q的形式，如果q≥0，方程的根是x＝－p±q；如果q＜0，方程无实根．例1解下列方程：(1)2x2＋1＝3x(2)3x2－6x＋4＝0(3)(1＋x)2＋2(1＋x)－4＝0分析：我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配方法来完成，即配一个含有x的完全平方式．解：略．三、巩固练习教材第9页练习2.(3)(4)(5)(6)．四、课堂小结本节课应掌握：1．配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步骤．2．配方法是解一元二次方程的通法，它的重要性，不仅仅表现在一元二次方程的解法中，也可通过配方，利用非负数的性质判断代数式的正负性．在今后学习二次函数，到高中学习二次曲线时，还将经常用到．五、作业布置教材第17页复习巩固3.(3)(4)．补充：(1)已知x2＋y2＋z2－2x＋4y－6z＋14＝0，求x＋y＋z的值．(2)求证：无论x，y取任何实数，多项式x2＋y2－2x－4y＋16的值总是正数.21.2.2公式法理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程．复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式的推导，并应用公式法解一元二次方程．重点求根公式的推导和公式法的应用．难点一元二次方程求根公式的推导．一、复习引入1．前面我们学习过解一元二次方程的“直接开平方法”，比如，方程(1)x2＝4(2)(x－2)2＝7提问1这种解法的(理论)依据是什么？提问2这种解法的局限性是什么？(只对那种“平方式等于非负数”的特殊二次方程有效，不能实施于一般形式的二次方程．)2．面对这种局限性，怎么办？(使用配方法，把一般形式的二次方程配方成能够“直接开平方”的形式．)(学生活动)用配方法解方程2x2＋3＝7x(老师点评)略总结用配方法解一元二次方程的步骤(学生总结，老师点评)．(1)先将已知方程化为一般形式；(2)化二次项系数为1； (3)常数项移到右边；(4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；(5)变形为(x ＋p)2＝q 的形式，如果q ≥0，方程的根是x ＝－p±q ；如果q ＜0，方程无实根．二、探索新知 用配方法解方程：(1)ax 2－7x ＋3＝0 (2)ax 2＋bx ＋3＝0如果这个一元二次方程是一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．问题：已知ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，试推导它的两个根x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a，x 2＝－b －b 2－4ac2a(这个方程一定有解吗？什么情况下有解？)分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a ，b ，c 也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．解：移项，得：ax 2＋bx ＝－c二次项系数化为1，得x 2＋b a x ＝－ca配方，得：x 2＋b a x ＋(b 2a )2＝－c a ＋(b2a )2即(x ＋b 2a )2＝b 2－4ac4a 2∵4a 2>0，当b 2－4ac ≥0时，b 2－4ac4a 2≥0∴(x ＋b 2a )2＝(b 2－4ac 2a)2直接开平方，得：x ＋b2a ＝±b 2－4ac 2a即x ＝－b±b 2－4ac2a∴x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ，x 2＝－b －b 2－4ac 2a由上可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根由方程的系数a ，b ，c 而定，因此： (1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0，当b 2－4ac ≥0时，将a ，b ，c 代入式子x ＝－b±b 2－4ac2a就得到方程的根．(2)这个式子叫做一元二次方程的求根公式．(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法． 公式的理解(4)由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根． 例1 用公式法解下列方程：(1)2x 2－x －1＝0 (2)x 2＋1.5＝－3x(3)x2－2x＋12＝0(4)4x2－3x＋2＝0分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可．补：(5)(x－2)(3x－5)＝0三、巩固练习教材第12页练习1.(1)(3)(5)或(2)(4)(6)．四、课堂小结本节课应掌握：(1)求根公式的概念及其推导过程；(2)公式法的概念；(3)应用公式法解一元二次方程的步骤：1)将所给的方程变成一般形式，注意移项要变号，尽量让a>0；2)找出系数a，b，c，注意各项的系数包括符号；3)计算b2－4ac，若结果为负数，方程无解；4)若结果为非负数，代入求根公式，算出结果．(4)初步了解一元二次方程根的情况．五、作业布置教材第17页习题4，5.21.2.3因式分解法掌握用因式分解法解一元二次方程．通过复习用配方法、公式法解一元二次方程，体会和探寻用更简单的方法——因式分解法解一元二次方程，并应用因式分解法解决一些具体问题．重点用因式分解法解一元二次方程． 难点让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题更简便．一、复习引入(学生活动)解下列方程：(1)2x 2＋x ＝0(用配方法) (2)3x 2＋6x ＝0(用公式法)老师点评：(1)配方法将方程两边同除以2后，x 前面的系数应为12，12的一半应为14，因此，应加上(14)2，同时减去(14)2.(2)直接用公式求解．二、探索新知(学生活动)请同学们口答下面各题．(老师提问)(1)上面两个方程中有没有常数项？ (2)等式左边的各项有没有共同因式？(学生先答，老师解答)上面两个方程中都没有常数项；左边都可以因式分解．因此，上面两个方程都可以写成：(1)x(2x ＋1)＝0 (2)3x(x ＋2)＝0因为两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0，也就是(1)x ＝0或2x ＋1＝0，所以x 1＝0，x 2＝－12.(2)3x ＝0或x ＋2＝0，所以x 1＝0，x 2＝－2.(以上解法是如何实现降次的？)因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．例1 解方程：(1)10x －4.9x 2＝0 (2)x(x －2)＋x －2＝0 (3)5x 2－2x －14＝x 2－2x ＋34 (4)(x －1)2＝(3－2x)2思考：使用因式分解法解一元二次方程的条件是什么？解：略 (方程一边为0，另一边可分解为两个一次因式乘积．) 练习：下面一元二次方程解法中，正确的是( )A ．(x －3)(x －5)＝10×2，∴x －3＝10，x －5＝2，∴x 1＝13，x 2＝7B ．(2－5x)＋(5x －2)2＝0，∴(5x －2)(5x －3)＝0，∴x 1＝25，x 2＝35C ．(x ＋2)2＋4x ＝0，∴x 1＝2，x 2＝－2D ．x 2＝x ，两边同除以x ，得x ＝1 三、巩固练习教材第14页 练习1，2.四、课堂小结 本节课要掌握：(1)用因式分解法，即用提取公因式法、十字相乘法等解一元二次方程及其应用．(2)因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0.五、作业布置教材第17页 习题6，8，10，11.21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系1．掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用．2．培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力．3．渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律．4．培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神．重点根与系数的关系及其推导难点正确理解根与系数的关系．一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和、两根的积与系数的关系．一、复习引入1．已知方程x 2－ax －3a ＝0的一个根是6，则求a 及另一个根的值．2．由上题可知一元二次方程的系数与根有着密切的关系．其实我们已学过的求根公式也反映了根与系数的关系，这种关系比较复杂，是否有更简洁的关系？3．由求根公式可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根为x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a，x 2＝－b －b 2－4ac 2a .观察两式右边，分母相同，分子是－b ＋b 2－4ac 与－b －b 2－4ac.两根之间通过什么计算才能得到更简洁的关系？二、探索新知解下列方程，并填写表格：(1)关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0(p ，q 为常数，p 2－4q ≥0)的两根x 1，x 2与系数p ，q 之间有什么关系？(2)关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根x 1，x 2与系数a ，b ，c 之间又有何关系呢？你能证明你的猜想吗？解下列方程，并填写表格：(1)关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0(p ，q 为常数，p 2－4q ≥0)的两根x 1，x 2与系数p ，q 的关系是：x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q(注意：根与系数关系的前提条件是根的判别式必须大于或等于零．)(2)形如ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的方程，可以先将二次项系数化为1，再利用上面的结论．即：对于方程 ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0) ∵a ≠0，∴x 2＋b a x ＋c a ＝0∴x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝ca(可以利用求根公式给出证明)例1 不解方程，写出下列方程的两根和与两根积： (1)x 2－3x －1＝0 (2)2x 2＋3x －5＝0 (3)13x 2－2x ＝0 (4)2x 2＋6x ＝ 3 (5)x 2－1＝0 (6)x 2－2x ＋1＝0例2 不解方程，检验下列方程的解是否正确？ (1)x 2－22x ＋1＝0 (x 1＝2＋1，x 2＝2－1) (2)2x 2－3x －8＝0 (x 1＝7＋734，x 2＝5－734)例3 已知一元二次方程的两个根是－1和2，请你写出一个符合条件的方程．(你有几种方法？)例4 已知方程2x 2＋kx －9＝0的一个根是－3，求另一根及k 的值． 变式一：已知方程x 2－2kx －9＝0的两根互为相反数，求k ； 变式二：已知方程2x 2－5x ＋k ＝0的两根互为倒数，求k.三、课堂小结1．根与系数的关系．2．根与系数关系使用的前提是：(1)是一元二次方程；(2)判别式大于等于零． 四、作业布置1．不解方程，写出下列方程的两根和与两根积．(1)x 2－5x －3＝0 (2)9x ＋2＝x 2 (3)6x 2－3x ＋2＝0 (4)3x 2＋x ＋1＝02．已知方程x 2－3x ＋m ＝0的一个根为1，求另一根及m 的值．3．已知方程x 2＋bx ＋6＝0的一个根为－2，求另一根及b 的值.21.3 实际问题与一元二次方程(2课时)第1课时 解决代数问题1．经历用一元二次方程解决实际问题的过程，总结列一元二次方程解决实际问题的一般步骤．2．通过学生自主探究，会根据传播问题、百分率问题中的数量关系列一元二次方程并求解，熟悉解题的具体步骤．3．通过实际问题的解答，让学生认识到对方程的解必须要进行检验，方程的解是否舍去要以是否符合问题的实际意义为标准．重点利用一元二次方程解决传播问题、百分率问题．难点如果理解传播问题的传播过程和百分率问题中的增长(降低)过程，找到传播问题和百分率问题中的数量关系．一、引入新课1．列方程解应用题的基本步骤有哪些？应注意什么？2．科学家在细胞研究过程中发现：(1)一个细胞一次可分裂成2个，经过3次分裂后共有多少个细胞？(2)一个细胞一次可分裂成x个，经过3次分裂后共有多少个细胞？(3)如是一个细胞一次可分裂成2个，分裂后原有细胞仍然存在并能再次分裂，试问经过3次分裂后共有多少个细胞？二、教学活动活动1：自学教材第19页探究1，思考教师所提问题．有一人患了流感，经过两轮传染后，有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？(1)如何理解“两轮传染”？如果设每轮传染中平均一个人传染了x个人，第一轮传染后共有________人患流感．第二轮传染后共有________人患流感．(2)本题中有哪些数量关系？(3)如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？解答：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则依题意第一轮传染后有(x＋1)人患了流感，第二轮有x(1＋x)人被传染上了流感．于是可列方程：1＋x＋x(1＋x)＝121解方程得x1＝10，x2＝－12(不合题意舍去)因此每轮传染中平均一个人传染了10个人．变式练习：如果按这样的传播速度，三轮传染后有多少人患了流感？活动2：自学教材第19页～第20页探究2，思考老师所提问题．两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？(1)如何理解年平均下降额与年平均下降率？它们相等吗？(2)若设甲种药品年平均下降率为x，则一年后，甲种药品的成本下降了________元，此时成本为________元；两年后，甲种药品下降了________元，此时成本为________元．(3)增长率(下降率)公式的归纳：设基准数为a，增长率为x，则一月(或一年)后产量为a(1±x)；二月(或二年)后产量为a(1±x)2；n月(或n年)后产量为a(1±x)n；如果已知n月(n年)后总产量为M，则有下面等式：M＝a(1±x)n.(4)对甲种药品而言根据等量关系列方程为：________________.三、课堂小结与作业布置课堂小结1．列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、找、列、解、答．最后要检验根是否符合实际．2．传播问题解决的关键是传播源的确定和等量关系的建立．3．若平均增长(降低)率为x，增长(或降低)前的基准数是a，增长(或降低)n次后的量是b，则有：a(1±x)n＝b(常见n＝2)．4．成本下降额较大的药品，它的下降率不一定也较大，成本下降额较小的药品，它的下降率不一定也较小．作业布置教材第21－22页习题21.3第2－7题．第2课时解决几何问题1．通过探究，学会分析几何问题中蕴含的数量关系，列出一元二次方程解决几何问题．2．通过探究，使学生认识在几何问题中可以将图形进行适当变换，使列方程更容易．3．通过实际问题的解答，再次让学生认识到对方程的解必须要进行检验，方程的解是否舍去要以是否符合问题的实际意义为标准．重点通过实际图形问题，培养学生运用一元二次方程分析和解决几何问题的能力．难点在探究几何问题的过程中，找出数量关系，正确地建立一元二次方程．活动1创设情境1．长方形的周长________，面积________，长方体的体积公式________．2．如图所示：(1)一块长方形铁皮的长是10 cm，宽是8 cm，四角各截去一个边长为2 cm的小正方形，制成一个长方体容器，这个长方体容器的底面积是________，高是________，体积是________．(2)一块长方形铁皮的长是10 cm，宽是8 cm，四角各截去一个边长为x cm的小正方形，制成一个长方体容器，这个长方体容器的底面积是________，高是________，体积是________．活动2自学教材第20页～第21页探究3，思考老师所提问题要设计一本书的封面，封面长27 cm，宽21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上下边衬等宽，左右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度(精确到0.1 cm)．(1)要设计书本封面的长与宽的比是________，则正中央矩形的长与宽的比是________．(2)为什么说上下边衬宽与左右边衬宽之比为9∶7？试与同伴交流一下．(3)若设上、下边衬的宽均为9x cm，左、右边衬的宽均为7x cm，则中央矩形的长为________cm，宽为________cm，面积为________cm2.(4)根据等量关系：________，可列方程为：________.(5)你能写出解题过程吗？(注意对结果是否合理进行检验．)(6)思考如果设正中央矩形的长与宽分别为9x cm和7x cm，你又怎样去求上下、左右边衬的宽？活动3变式练习如图所示，在一个长为50米，宽为30米的矩形空地上，建造一个花园，要求花园的面积占整块面积的75%，等宽且互相垂直的两条路的面积占25%，求路的宽度．答案：路的宽度为5米．活动4课堂小结与作业布置课堂小结1．利用已学的特殊图形的面积(或体积)公式建立一元二次方程的数学模型，并运用它解决实际问题的关键是弄清题目中的数量关系．2．根据面积与面积(或体积)之间的等量关系建立一元二次方程，并能正确解方程，最后对所得结果是否合理要进行检验．作业布置教材第22页习题21.3第8，10题．第二十二章二次函数22．1二次函数的图象和性质22．1.1二次函数1．从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系．2．理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式．3．会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围．重点二次函数的概念和解析式．难点本节“合作学习”涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的概括能力．。
九年级数学上册《封面设计》教案、教学设计
3.分析文字、图片、颜色等元素在封面设计中的运用，引导学生学会如何搭配这些元素，使封面更具美感和视觉冲击力。
4.强调创意思维在封面设计中的重要性，鼓励学生发挥想象，将数学知识融入设计中，创作出独具个性的封面作品。
（三）学生小组讨论
1.教师将学生分成若干小组，每组选择一个主题，进行封面设计的初步讨论和构思。
2.各小组成员根据讨论结果，明确封面设计的风格、色彩、版式等，分工合作，共同完成设计任务。
3.学生在讨论过程中，教师巡回指导，解答学生的疑问，引导学生运用所学知识进行设计。
（四）课堂练习
1.学生根据小组讨论的结果，利用设计软件进行封面设计实践，教师提供实时辅导，帮助学生解决操作中遇到的问题。
1.学生对设计软件的操作能力参差不齐，部分学生对软件的使用较为熟练，而另一部分学生则较陌生，需要教师进行分层指导；
2.学生在审美方面存在差异，有的学生对色彩、版式有较好的把握，而有的学生则较难把握，教师应关注学生的个体差异，因材施教；
3.学生在团队协作和沟通能力方面有待提高，教师应通过小组合作等方式，引导学生学会与他人合作，共同完成设计任务；
（一）教学重点
1.封面设计的基本原则：版面的平衡、对比、重复和统一；
2.设计软件的基本操作和功能运用；
3.文字、图片、颜色等元素的合理搭配；
4.创意思维在封面设计中的应用。
（二）教学难点
1.如何引导学生将数学知识融入封面设计，提高设计的创意性和实用性；
2.培养学生团队协作和沟通能力，使学生在设计过程中更好地相互配合；
2.教师提出问题：“你们知道封面设计的基本原则吗？如何运用数学知识进行封面设计？”引导学生思考封面设计与数学知识之间的联系。
九年级数学上册(人教版)教案
九年级数学上册（人教版）教案第一章：实数1.1 有理数教学目标：理解有理数的定义及其分类；掌握有理数的运算方法，包括加、减、乘、除、乘方和开方；能够运用有理数解决实际问题。
教学内容：有理数的定义及分类；有理数的运算方法及运算律；有理数在实际问题中的应用。
教学步骤：1. 引入有理数的概念，引导学生理解有理数的定义及分类；2. 通过示例讲解有理数的运算方法，让学生进行练习；3. 引导学生运用有理数解决实际问题，巩固所学知识。
作业布置：完成课后练习题，巩固有理数的运算方法；选取一些实际问题，让学生运用有理数解决。
1.2 实数教学目标：理解实数的定义及其与有理数的关系；掌握实数的运算方法，包括加、减、乘、除、乘方和开方；能够运用实数解决实际问题。
教学内容：实数的定义及其与有理数的关系；实数的运算方法及运算律；实数在实际问题中的应用。
教学步骤：1. 引入实数的概念，引导学生理解实数的定义及其与有理数的关系；2. 通过示例讲解实数的运算方法，让学生进行练习；3. 引导学生运用实数解决实际问题，巩固所学知识。
作业布置：完成课后练习题，巩固实数的运算方法；选取一些实际问题，让学生运用实数解决。
第二章：方程2.1 一元一次方程教学目标：理解一元一次方程的定义及其解法；能够运用一元一次方程解决实际问题。
教学内容：一元一次方程的定义及解法；一元一次方程在实际问题中的应用。
教学步骤：1. 引入一元一次方程的概念，引导学生理解一元一次方程的定义；2. 通过示例讲解一元一次方程的解法，让学生进行练习；3. 引导学生运用一元一次方程解决实际问题，巩固所学知识。
作业布置：完成课后练习题，巩固一元一次方程的解法；选取一些实际问题，让学生运用一元一次方程解决。
2.2 二元一次方程教学目标：理解二元一次方程的定义及其解法；能够运用二元一次方程解决实际问题。
教学内容：二元一次方程的定义及解法；二元一次方程在实际问题中的应用。
教学步骤：1. 引入二元一次方程的概念，引导学生理解二元一次方程的定义；2. 通过示例讲解二元一次方程的解法，让学生进行练习；3. 引导学生运用二元一次方程解决实际问题，巩固所学知识。
华东师大版九年级数学上册教案全册
华东师大版九年级数学上册教案全册目录21.1《二次根式》教案21.2.1《二次根式的乘法》教案21.2.2《积的算术平方根》教案21.2.3《二次根式的除法》教案21.3《二次根式的加减》教案22.1《一元二次方程》教案22.2.1《直接开平方法和因式分解法》教案22.2.2《配方法》教案22.2.3《公式法》教案22.2.4《一元二次方程根的判别式》教案22.2.5《一元二次方程的根与系数的关系》教案22.3《实践与探索》教案23.1.1《成比例线段》教案23.1.2《平行线分线段成比例》教案23.2《相似图形》教案23.3.1《相似三角形》教案23.3.2《相似三角形的判定（第1课时）》教案23.3.2《相似三角形的判定（第2课时）》教案23.3.3《相似三角形的性质》教案23.3.4《相似三角形的应用》教案23.4《中位线》教案23.5《位似图形》教案23.6.1《用坐标确定位置》教案23.6.2《图形的变换与坐标》教案24.1《测量》教案24.2《直角三角形的性质》教案24.3.1《锐角三角函数（第1课时）》教案24.3.1《锐角三角函数（第2课时）》教案24.3.2《用计算器求锐角三角函数值》教案24.4《解直角三角形（第1课时）》教案24.4《解直角三角形（第2课时）》教案24.4《解直角三角形（第3课时）》教案25.1《在重复试验中观察不确定现象》教案25.2.1《概率及其意义》教案25.2.2《频率与概率》教案25.2.3《列举所有机会均等的结果》教案第21章《二次根式》复习》教案第22章《一元二次方程》复习》教案第23章《图形的相似》复习》教案第24章《解直角三角形》复习》教案第25章《随机事件的概率》复习》教案第25章《随机事件的概率》复习教案二次根式21.1 二次根式【知识与技能】1.理解二次根式的概念，并利用a（a≥0）的意义解答具体题目.2.理解a（a≥0）是非负数和(a)2=a.3.理解2a=a（a≥0）并利用它进行计算和化简.【过程与方法】1.提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题.2.通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出a（a≥0）是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出(a)2=a（a ≥0），最后运用结论严谨解题.3.通过具体数据的解答，探究并利用这个结论解决具体问题.【情感态度】通过具体的数据体会从特殊到一般、分类的数学思想，理解二次根式的概念及二次根式的有关性质.【教学重点】1.形如a（a≥0）的式子叫做二次根式.2. a（a≥0）是一个非负数；(a)2=a（a≥0）及其运用.3.【教学难点】利用“a（a≥0）”解决具体问题.关键：用分类思想的方法导出a（a≥0）是一个非负数；用探究的方法导出一、情境导入，初步认识回顾：当a是正数时，a表示a的算术平方根，即正数a的正的平方根.当a是零时，a等于0，它表示零的平方根，也叫做零的算术平方根.当a是负数时，a没有意义.【教学说明】通过对算术平方根的回顾引入二次根式的概念.二、思考探究，获取新知概括：a（a≥0）表示非负数a的算术平方根，也就是说，a （a≥0）是一个非负数，它的平方等于a.即有：（1）a≥0；（2）(a)2=a（a≥0）.形如a（a≥0）的式子叫做二次根式.注意：在a中，a的取值必须满足a≥0，即二次根式的被开方数必须是非负数.思考：2a等于什么？我们不妨取a的一些值，如2，-2，3，-3等，分别计算对应的2a的值，看看有什么规律.概括：当a≥0时，2a=a；当a＜0时，2a=-a.三、运用新知，深化理解1.x取什么实数时，下列各式有意义？2.计算下列各式的值：【教学说明】可由学生抢答完成，再由老师总结归纳.四、师生互动，课堂小结1.师生共同回顾二次根式的概念及有关性质：（1）(a)2=a（a ≥0）；（2）当a≥0时，2a=a；当a＜0时，2a=-a.2.通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识，还有哪些疑问？请与同伴交流.【教学说明】教师引导学生回顾知识点，让学生大胆发言，进行知识提炼和知识归纳.1.布置作业：从教材相应练习和“习题21.1”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.本节课从复习算术平方根入手引入二次根式的概念，再通过特殊数据的计算，理解二次根式的有关性质，经历观察、归纳、分类讨论等思维过程，从中获得数学知识与技能，体验教学活动的方法.二次根式的乘除法1.二次根式的乘法【知识与技能】a•=ab（a≥b，b≥0）,并利用它们进行计算和化理解b简.【过程与方法】a•=ab（a≥0,b≥0）并运由具体数据发现规律，导出b用它进行计算.【情感态度】a•=ab（a≥0,b≥0），培养特殊到一般的探究通过探究b精神，培养学生对事物规律的观察发现能力，激发学生的学习兴趣.【教学重点】a•=ab（a≥0,b≥0），及它的运用.b【教学难点】a•=ab（a≥0,b≥0）.发现规律，导出b一、情境导入，初步认识1.填空：参照上面的结果，用“＞”、“＜”或“=”填空.2.利用计算器计算填空.【教学说明】由学生通过具体数据，发现规律，导出a•=ab（a≥0,b≥0）.b二、思考探究，获取新知（学生活动）让3、4个同学上台总结规律.教师点评：（1）被开方数都是正数；（2）两个二次根式的积等于这样一个二次根式，它的被开方数等于前两个二次根式的被开方数的积.一般地，对二次根式的乘法规定为a•=ab（a≥0，b≥0）.：b【教学说明】引导学生应用公式a•=ab（a≥0,b≥0）.b三、运用新知，深化理解1.直角三角形两条直角边的长分别为15cm和12cm,那么此直角三角形斜边长是（）A.32cmB.33cmC.9cmD.27cm【答案】1.B 2.C 3.A 4.D【教学说明】可由学生抢答完成，再由教师总结归纳.四、师生互动，课堂小结1.由学生小组讨论汇报通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识，还有哪些疑问？请与同伴交流.a•=ab（a≥0,b≥2.教师总结归纳二次根式的乘法规定b0）.【教学说明】教师引发学习回顾知识点，让学生大胆发言，进行知识提炼和知识归纳.1.布置作业：从教材“习题21.2”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.这节课教师引导学生通过具体数据，发现规律，导出ba•=ab（a≥0,b≥0），并学会它的应用，培养学生由特殊到一般的探究精神，培养学生对于事物规律的观察、发现能力，激发学生的学习兴趣.积的算术平方根【知识与技能】a•（a≥0,b≥0）；1.理解ab=b2.运用ab=ba•（a≥0,b≥0）.【过程与方法】a•（a≥0,b≥0），并运用它解利用逆向思维，得出ab=b题和化简.【情感态度】a•（a≥0,b≥0）以训练逆向思维,通过让学生推导ab=b严谨解题，增强学生准确解题的能力.【教学重点】a•（a≥0,b≥0）及其运用.ab=b【教学难点】a•（a≥0,b≥0）的理解与应用.ab=b一、情境导入，初步认识a•=ab（a≥0,b≥0）.一般地，对二次根式的乘法规定为ba•（a≥0,b≥0）.反过来，ab=b【教学说明】引导让学生通过复习上节课学习的二次根式的规a•（a≥0,b≥0）.定，利用逆向思维，得出ab=b二、思考探究，获取新知例1化简：【教学说明】引导学生利用ab=ba•（a≥0,b≥0）直接化简即可.例2判断下列各式是否正确，不正确的请改正:【教学说明】注意引导学生理解并掌握积的算术平方根应用的条件：a≥0，b≥0.三、运用新知，深化理解1.化简：（1）20;（2）18;（3）24；（4）54.1gt2（g为重力加速度，它的值为2.自由落体的公式为s=210m/s2），若物体下落的高度为120m，则下落的时间是s.【教学说明】可由学生自主完成分组讨论，小组代表汇报，再由老师总结归纳.四、师生互动，课堂小结1.通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识，还有哪些疑问？请与同伴交流.2.教师总结归纳积的算术平方根等于各因式算术平方根的积，即a•（a≥0,b≥0）.ab=b【教学说明】教师引导学生回顾知识点，让学生大胆发言，进行知识提炼和知识归纳.1.布置作业：从教材“习题21.2”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.本课时教学以“自主探究——合作交流”为主体形式，先给学生独立思考的时间，提供学生创新的空间与可能，再给不同层次的学生提供一个交流合作的机会，培养学生独立探究、合作学习的能力，训练逆向思维，通过严谨解题，增加学生准确解题的能力.二次根式的除法【知识与技能】 1.理解b a b a =（a ≥0,b ＞0）和bab a =（a ≥0,b ＞0），并运用它们进行计算.2.利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简.3.理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式.【过程与方法】1.先由具体数据，发现规律，导出b aba = (a ≥0,b ＞0），并用它进行计算.2.再利用逆向思维，得出bab a =（a ≥0,b ＞0），并运用它进行解题和化简.3.理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式.【情感态度】通过探究b aba =（a ≥0,b ＞0）培养学生由特殊到一般的探究精神；让学生推导bab a =（a ≥0,b ＞0）以训练逆向思维，通过严谨解题，增强学生准确解题的能力.【教学重点】 1.理解b a b a =（a ≥0,b ＞0），ba b a =（a ≥0,b ＞0）及利用它们进行计算和化简.2.最简二次根式的运用. 【教学难点】发现规律，归纳出二次根式的除法规定.最简二次根式的运用.一、情境导入，初步认识（学生活动）请同学们完成下列各题. 1.写出二次根式的乘法规定及逆向公式. 2.填空：3.利用计算器计算填空：【教学说明】每组推荐一名学生上台阐述运算结果，最后教师点评.二、思考探究，获取新知刚才同学们都练习得很好，上台的同学也回答得十分准确，根据大家的练习和回答，我们可以得到：一般地，对二次根式的除法规定：b aba =（a ≥0,b ＞0） 反过来, bab a =（a ≥0,b ＞0） 下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目. 例1 计算：【教学说明】直接利用b aba （a ≥0,b ＞0） 例2化简：观察上面各小题的最后结果，发现这些二次根式有这些特点： （1）被开方数中不含分母；（2）被开方数中所含的因数（或因式）的幂的指数都小于2. 【教学说明】利用二次根式的乘法、除法规定来化简，要求最后结果化成最简二次根式.三、运用新知，深化理解 1.化简：3.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°,AC=2.5cm,BC=6cm,求AB 的长.【教学说明】第1题可由学生自主完成，第2题、3题教师可给予相应的指导.四、师生互动，课堂小结请若干学生口述小结，老师再利用电子课件将小结放映在屏幕上.1.布置作业：从教材“习题21.2”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.本课时教学突出学生主体性原则，即通过探究学习，指导学生独立思考，通过具体数据得出规律，再让学生相互交流，或上台展示自己的发现，或表述个人的体验，从中获取成功的体验后，激发学生探究的激情.二次根式的加减法【知识与技能】1.掌握同类二次根式的概念，会判断同类二次根式，会合并同类二次根式.2.掌握二次根式加减乘除混合运算的方法.【过程与方法】通过二次根式的加减法运算培养学生的运算能力.【情感态度】形成良好的思维习惯，学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能运用所学的知识解决问题.【教学重点】二次根式加减法的运算.【教学难点】探讨二次根式加减法的运算方法，快速准确进行二次根式加减法的运算.一、情境导入，初步认识1.合并同类项：（1）2x+3x；（2）2x2-3x2+5x2.解：（1）5x；（2）4x2.这几道题是你运用什么知识做的？加减法则.2.化简：3.如何进行二次根式的加减计算?先化简，再合并.4.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同，这些二次根式就称为同类二次根式，就是本书中所讲的被开方数相同的二次根式.如22与32；28、38与58.二、思考探究，获取新知例1计算：例2计算：【教学说明】进行二次根式的加减运算时，必须先将其化简，是同类二次根式才可合并.例3计算：【教学说明】在二次根式的运算中，多项式乘法法则和乘法公式仍然适用.三、运用新知，深化理解.1.下列计算是否正确？为什么？【教学说明】这类计算的简便方法是先变形，再代入求值.四、师生互动，课堂小结请学生分组讨论，小组代表汇报，教师展示本节课学习的知识要点.1.布置作业：从教材相应练习和“习题21.3”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.本节课通过复习整式的加减法合并同类项，引入二次根式的概念及二次根式的合并方法，对法则的教学与整式的加减比较学习，在理解、掌握和运用二次根式的加减法运算法则的学习过程中，渗透了分析、概括、类比等数学思想方法，提高学生的思维品质和兴趣.一元二次方程22.1 一元二次方程【知识与技能】1.知道一元二次方程的意义，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）.2.在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中，使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识.【过程与方法】通过解决实际问题，把实际问题转化为数学模型，引入一元二次方程的概念，让学生认识一元二次方程及其相关概念，提高学生利用方程思想解决实际问题的能力.【情感态度】通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情.【教学重点】判定一个数是否是方程的根.【教学难点】由实际问题列出的一元二次方程解出根后，还要考虑这些根是否确定是实际问题的根.一、情境导入，初步认识问题1 绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？【分析】设长方形绿地的宽为x米，不难列出方程x（x+10）=900，整理可得x2+10x-900=0.（1）问题2 学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率.解：设这两年的年平均增长率为x，我们知道，去年年底的图书数是5万册，则今年年底的图书数是5（1+x）万册，同样，明年年底的图书数又是今年年底的（1+x）倍，即5（1+x）·（1+x）=5（1+x）2万册.可列得方程5（1+x）2=7.2，整理可得5x2+10x-2.2=0（2）【教学说明】教师引导学生列出方程，解决问题.二、思考探究，获取新知思考、讨论问题1和问题2分别归结为解方程（1）和（2）.显然，这两个方程都不是一元二次方程.那么这两个方程与一元二次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？共同特点：（1）都是整式方程（2）只含有一个未知数（3）未知数的最高次数是2【归纳总结】上述两个整式方程中都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程.通常可写成如下的一般形式：ax2+bx+c=0（a、b、c是已知数，a≠0）.其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数，bx叫做一次项系数，c叫做常数项.例1判断下列方程是否为一元二次方程：解：①是；②不是；③是；④不是；⑤不是；⑥是.【教学说明】（1）一元二次方程为整式方程；（2）类似⑤这样的方程要化简后才能判断.例2 将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数.一次项系数及常数项.解:2x2-13x+11=0；2，-13，11.【教学说明】将一元二次方程化成一般形式时，通常要将首项化负为正，化分为整.三、运用新知，深化理解1.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项.（1）5x2-1=4x（2）4x2=81（3）4x（x+2）=25（4）（3x-2）（x+1）=8x-3解：（1）5x2-4x-1=0；5，-4，-1；（2）4x2-81=0；4，0，-81（3）4x2+8x-25=0；4，8，-25（4）3x2-7x+1=0；3，-7，1.2.根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式.（1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x；（2）一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x；（3）把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x.解：（1）4x2=25；4x2-25=0；（2）x（x-2）=100；x2-2x-100=0；（3）x=（1-x）2；x2-3x+1=0.3.若x=2是方程ax2+4x-5=0的一个根，求a的值.解:∵x=2是方程ax2+4x-5=0的一个根.3.∴4a+8-5=0解得：a=-4四、师生互动，课堂小结1.只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0（a≠0），一元二次方程的项及系数都是根据一般式定义的，这与多项式中的项、次数及其系数的定义是一致的.3.在实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中，体会学习一元二次方程的必要性和重要性.1.布置作业：从教材相应练习和“习题22.1”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.学习本课时，可让学生先自主探索再合作交流，小组内，小组之间充分交流后概括所得结论，从而强化学生对一元二次方程的有关概念的认识，掌握建模思想，利用一元二次方程解决实际问题.一元二次方程的解法1.直接开平方法和因式分解法【知识与技能】1.会用直接开平方法解形如a(x-k)2=b（a≠0,ab≥0）的方程.2.灵活应用因式分解法解一元二次方程.3.使学生了解转化的思想在解方程中的应用.【过程与方法】创设学生熟悉的问题情境，综合运用探究式、启发式、活动式等几种方法进行教学.【情感态度】鼓励学生积极主动的参与“教”与“学”的整个过程，激发求知的欲望，体验求知的成功，增强学习的兴趣和自信心.【教学重点】利用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程.【教学难点】合理选择直接开平方法和因式分解法较熟练地解一元二次方程.一、情境导入，初步认识问：怎样解方程(x+1)2=256？解：方法1：直接开平方，得x+1=±16所以原方程的解是x1=15,x2=-17方法2：原方程可变形为：（x+1）2-256=0，方程左边分解因式，得（x+1+16）（x+1-16）=0即（x+17）（x-15）=0所以x+17=0或x-15=0原方程的解x1=15,x2=-17【教学说明】让学生说出作业中的解法，教师板书.二、思考探究，获取新知例1 用直接开平方法解下列方程（1）（3x+1）2=7;（2）y2+2y+1=24;（3）9n2-24n+16=11.【教学说明】运用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程时，最容易出现的错误是漏掉负根.例2 用因式分解法解下列方程：（1）5x2-4x=0（2）3x（2x+1）=4x+2（3）（x+5）2=3x+15【教学说明】解这里的（2）（3）题时，注意整体划归的思想.三、运用新知，深化理解1.用直接开平方法解下列方程（1）3（x-1）2-6=0（2）x2-4x+4=5（3）（x+5）2=25（4）x2+2x+1=42.用因式分解法解下列方程：3.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径.解：设小圆形场地的半径为xm.则可列方程2πx2=π（x+5）2.解得x1=5+52,x2=5-52（舍去）.答：小圆形场地的半径为（5+52）m.【教学说明】可由学生自主完成例题，分小组展示结果，教师点评.四、师生互动，课堂小结1.引导学生回忆用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程的一般步骤.2.对于形如a（x-k）2=b（a≠0,b≥0）的方程，只要把（x-k）看作一个整体，就可转化为x2=n（n≥0）的形式用直接开平方法解.3.当方程出现相同因式（单项式或多项式）时，切不可约去相同因式，而应用因式分解法解.1.布置作业：从教材相应练习和“习题22.2”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.本节课教师引导学生探讨直接开平方法和因式分解法解一元二次方程，让学生小组讨论，归纳总结探究，掌握基本方法和步骤，合理、恰当、熟练地运用直接开平方法和因式分解法，在整个教学过程中注意整体划归的思想.2.配方法【知识与技能】1.使学生掌握配方法的推导过程，熟练地用配方法解一元二次方程.2.在配方法的应用过程中体会“转化”的思想，掌握一些转化的技能.【过程与方法】通过探索配方法的过程，让学生体会转化的数学思想方法.【情感态度】学生在独立思考和合作探究中感受成功的喜悦，并体验数学的价值，增加学生学习数学的兴趣.【教学重点】使学生掌握用配方法解一元二次方程.【教学难点】发现并理解配方的方法.一、情境导入，初步认识问题要使一块矩形场地的长比宽多6m，并且面积为16m2，场地的长和宽分别是多少？设场地的宽为xm，则长为（x+6）m，根据矩形面积为16m2,得到方程x（x+6）=16,整理得到x2+6x-16=0.【教学说明】创设实际问题情境，让学生感受到生活中处处有数学，激发学生的主动性和求知欲.二、思考探究，获取新知探究如何解方程x2+6x-16=0？问题1 通过上节课的学习，我们现在会解什么样的一元二次方程？举例说明.【教学说明】用问题唤起学生的回忆，明确我们现在会解的一元二次方程的特点：等号左边是一个完全平方式，右边是一个非负常数，即（x+m）2=n（n≥0），运用直接开平方法可求解.问题2 你会用直接开平方法解下列方程吗？（1）（x+3）2=25（2）x 2+6x+9=25（3）x 2+6x=16（4）x 2+6x-16=0【教学说明】教师启发学生逆向思考问题的思维方式，将x 2+6x-16=0转化为（x+3）2=25的形式，从而求得方程的解.解：移项得：x2+6x=16，两边都加上9即（26）2,使左边配成x 2+bx+（b2）2的形式，得：x 2+6x+9=16+9,左边写成完全平方形式，得：（x+3）2=25,开平方,得：x+3=±5,（降次）即x+3=5或x+3=-5解一次方程得：x 1=2,x 2=-8.【归纳总结】将方程左边配成一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数，从而可以直接开平方求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法.例1填空：（1）x 2+8x+16=（x+4）2（2）x 2-x+41=（x-21）2 （3）4x 2+4x+1=（2x+1）2例2 列方程：（1）x2+6x+5=0 （2）2x2+6x+2=0 （3）（1+x）2+2（1+x）-4=0【教学说明】教师可让学生自主完成例题，小组展示，教师点评归纳.【归纳总结】利用配方法解方程应该遵循的步骤：（1）把方程化为一般形式ax2+bx+c=0；（2）把常数项移到方程的右边；（3）方程两边同时除以二次项系数a；（4）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（5）此时方程的左边是一个完全平方形式，然后利用直接开平方法来解.三、运用新知，深化理解1.用配方法解下列方程：（1）2x2-4x-8=0（2）x2-4x+2=01x-1=0（3）x2-22.如果x2-4x+y2+6y+2 z+13=0，求（xy）z的值.【教学说明】学生独立解答，小组内交流，上台展示并讲解思路.四、师生互动，课堂小结1.用配方法解一元二次方程的步骤.2.用配方法解一元二次方程的注意事项.1.布置作业：从教材相应练习和“习题22.2”中选取.2.完成练习册中课时练习的“课时作业”部分.本节课先创设情境导入一元二次方程的解法，引导学生将要解决的问题转化为已学过的直接开平方法来解，从而探索出配方法的一般步骤，熟练运用配方法来解一元二次方程.公式法【知识与技能】1.理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念.2.会熟练应用公式法解一元二次方程.【过程与方法】通过复习配方法解一元二次方程，引导学生推导出求根公式，使学生进一步认识特殊与一般的关系.【情感态度】经历探索求根公式的过程，培养学生抽象思维能力，渗透辩证唯物主义观点.【教学重点】求根公式的推导和公式法的应用.【教学难点】一元二次方程求根公式的推导.一、情境导入，初步认识用配方法解方程：（1）x2+3x+2=0 （2）2x2-3x+5=0解：（1）x1=-1,x2=-2 （2）无解二、思考探究，获取新知如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根？问题已知ax2+bx+c=0（a≠0），试推导它的两个根【分析】因为前面具体数字的题目已做得很多，现在不妨把a,b,c也当成具体数字，根据上面的解题步骤就可以推导下去.探究一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a,b,c而定，因此:（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0，当b 2-4ac ≥0时，将a,b,c 代入式子aac b b x 242-±-=就得到方程的根，当b 2-4ac ＜0时,方程没有实数根.（2）aac b b x 242-±-=叫做一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的求根公式.（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.【教学说明】教师可以引导学生利用配方法推出求根公式，体验获取知识的过程，体会成功的喜悦，可让学生小组展示.例1 用公式法解下列方程：①2x 2-4x-1=0 ②5x+2=3x 2③（x-2）（3x-5）=0 ④4x 2-3x+1=0解：①x 1=1+26,x 2=1-26 ②x 1=2,x 2=-31 ③x 1=2,x 2=35 ④无解【教学说明】（1）对②、③要先化成一般形式；（2）强调确定a,b,c 的值，注意它们的符号；（3）先计算b 2-4ac 的值，再代入公式.三、运用新知，深化理解1.用公式法解下列方程：（1）x2+x-12=0 （2）x2-2x-41=0 （3）x2+4x+8=2x+11 （4）x（x-4）=2-8x （5）x2+2x=0（6）x2+25x+10=0 解：（1）x1=3,x2=-4;（2）x1=232+,x2=232-；（3）x1=1,x2=-3;（4）x1=-2+6，x2=-2-6；（5）x1=0,x2=-2;（6）无解.【教学说明】用公式法解方程关键是要先将方程化为一般形式.四、师生互动，课堂小结1.求根公式的概念及其推导过程.2.公式法的概念.3.应用公式法解一元二次方程.1.布置作业：从教材相应练习和“习题22.2”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.。
初三数学上册全册教案(北师大版)
初三数学上册全册教案（北师大版）北师大版九年级数学上全册精品教案第一证明（二）（时安排）1．你能证明它们吗？3时2．直角三角形2时3．线段的垂直平分线2时4．角平分线1时1你能证明它们吗?（一）教学目标：知识与技能目标：1．了解作为证明基础的几条公理的内容。
2．掌握证明的基本步骤和书写格式．过程与方法1．经历“探索——发现——猜想——证明”的过程。
2．能够用综合法证明等区三角形的有关性质定理。
情感态度与价值观1．启发、引导学生体会探索结论和证明结论，即合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充的辩证关系．2．培养学生合作交流、独立思考的良好学习习惯．重点、难点、关键1．重点：探索证明的思路与方法。
能运用综合法证明问题．2．难点：探究问题的证明思路及方法．3．关键：结合实际事例，采用综合分析的方法寻找证明的思路．教学过程：一、议一议：1．还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？2．你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗？给出公理和定理：1．等腰三角形两腰相等，两个底角相等。
2．等边三角形三边相等，三个角都相等，并且每个角都等于延伸．二、回忆上学期学过的公理本套教材选用如下命题作为公理:1两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行;2两条平行线被第三条直线所截,同位角相等;3两边夹角对应相等的两个三角形全等; （SAS）4两角及其夹边对应相等的两个三角形全等; （ASA）三边对应相等的两个三角形全等; （SSS）6全等三角形的对应边相等,对应角相等三、推论两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
（AAS）证明过程：已知：∠A=∠D,∠B=∠E,B=EF求证：△AB≌△DEF证明：∵∠A+∠B+∠=180°，∠D+∠E+∠F=180°（三角形内角和等于180°）∴∠=180°-(∠A+∠B)∠F=180°-(∠D+∠E)又∵∠A=∠D,∠B=∠E（已知）∴∠=∠F又∵B=EF（已知）∴△AB≌△DEF（ASA）推论等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
人教版九年级数学上册教案(全册)
人教版九年级数学上册教案（全册）第二十一章二次根式教材内容．本单元教学的主要内容：二次根式的概念；二次根式的加减；二次根式的乘除；最简二次根式．．本单元在教材中的地位和作用：二次根式是在学完了八年级下册第十七章《反比例正函数》、第十八章《勾股定理与其应用》等内容的基础之上继续学习的，它也是今后学习其他数学知识的基础．教学目标．知识与技能（）理解二次根式的概念．（）理解（≥）．；（）掌握>），（≥，>）．（）先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念．•再对概念的内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简．（）用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘（除）法规定，•并运用规定进行计算．（）利用逆向思维，•得出二次根式的乘（除）法规定的逆向等式并运用它进行化简．（）通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点，•给出最简二次根式的概念．利用最简二次根式的概念，来对相同的二次根式进行合并，达到对二次根式进行计算和化简的目的．．情感、态度与价值观通过本单元的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，经过探索二次根式的重要结论，二次根式的乘除规定，发展学生观察、分析、发现问题的能力．教学重点．是一个非负数；（＝（≥）；•与其运用．．二次根式乘除法的规定与其运用．．最简二次根式的概念．．二次根式的加减运算．教学难点（≥）的理解与应用．．二次根式的乘法、除法的条件限制．．利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式．教学关键．潜移默化地培养学生从具体到一般的推理能力，突出重点，突破难点．．培养学生利用二次根式的规定和重要结论进行准确计算的能力，•培养学生一丝不苟的科学精神．单元课时划分本单元教学时间约需课时，具体分配如下：．二次根式课时．二次根式的乘法课时．二次根式的加减课时教学活动、习题课、小结课时．二次根式第一课时教学内容二次根式的概念与其运用教学目标（≥）的意义解答具体题目．教学重难点关键．重点：形如．难点与关键：利用“”解决具体问题．一、复习引入（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题：，那么它的图象在第一象限横、•纵坐标相问题：已知反比例函数3x等的点的坐标是．问题：如图，在直角三角形中，，，∠°，那么边的长是．AC问题：甲射击次，各次击中的环数如下：、、、、、，那么甲这次射击的方差是，那么．老师点评：，问题：由方差的概念得.二、探索新知，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式．因此，一般地，我们•的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．．有算术平方根吗？．的算术平方根是多少？．当<老师点评:（略）、例．下列式子，哪些是二次根式，x（>）、•≥）．分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或． （>）、；不是二次根式的有：、1x 、．例．在实数范围内有意义？分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于，所以≥，才能有意义．解：由≥，得：≥13当≥13在实数范围内有意义．三、巩固练习教材练习、、．四、应用拓展例．11x +在实数范围内有意义？ 分析：11x +在实数范围内有意义，中的≥和11x +中的≠． 解：依题意，得由①得：≥32由②得：≠当≥32且≠时，11x +在实数范围内有意义．例()xy的值．(答案)()若，求的值．(答案:25)五、归纳小结（学生活动，老师点评）本节课要掌握：”称为二次根号．．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．六、布置作业．教材复习巩固、综合应用．．选用课时作业设计．.课后作业:《同步训练》第一课时作业设计一、选择题．下列式子中，是二次根式的是（）．．下列式子中，不是二次根式的是（）．1x．已知一个正方形的面积是，那么它的边长是（）．．15．以上皆不对二、填空题．形如的式子叫做二次根式．．面积为的正方形的边长为．．负数平方根．三、综合提高题．某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒，其高为0.2m，按设计需要，•底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？．当是多少时，在实数范围内有意义？.）个．．．．．无数.第一课时作业设计答案:一、．．．（≥）．没有二、．依题意得：，∴当>3且≠时，＋在实数范围内没有意义．2.13．．，二次根式()第二课时教学内容．（≥）．（≥）是一个非负数和（）（≥），并利用它们进行计算和化简．）（≥）；最后运用结论严谨解题．教学重难点关键（≥）与其运用．．重点：（≥）是一个非负数；•（≥）．教学过程一、复习引入（学生活动）口答．什么叫二次根式？<老师点评（略）．二、探究新知议一议：（学生分组讨论，提问解答）老师点评：根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出做一做：根据算术平方根的意义填空：）；；（；；；（；）． 老师点评：是的算术平方根，根据算术平方根的意义，是一个平方等于的非负数，因此有（）．同理可得：），，），13，72，），所以例 计算．． ． ．） 分析：我们可以直接利用（（≥）的结论解题．解：32， ··，56，）． 三、巩固练习计算下列各式的值：） ）22-四、应用拓展例 计算．（≥） ． ．．分析：（）因为≥，所以>；（）≥；（）2a （）≥；（）（）··（）≥．（≥）的重要结论解题．解：（）因为≥，所以>（）∵2a（）又∵（）≥，∴2a≥（）∵（）··（）又∵（）≥∴≥，∴（例在实数范围内分解下列因式:（）（）()分析：(略)五、归纳小结本节课应掌握：．（≥）;）（≥）．六、布置作业．教材复习巩固．（）、（）．．选用课时作业设计．.课后作业:《同步训练》第二课时作业设计一、选择题．下列各式中次根式的个数是（ ）．． ． ． ．．数没有算术平方根，则的取值范围是（ ）．．> ．≥ ．< ．二、填空题．）．三、综合提高题．计算（）（） （）（12）（） ()．把下列非负数写成一个数的平方的形式:（） （） （）16 （）（≥） ．已知，求的值．．在实数范围内分解下列因式:（）（）第二课时作业设计答案:一、．．二、．．非负数三、．（）（）（）（12）14×32（）23()．（）（）（）（）16（）（≥）．.（）））（）（）（）（）（）()略以上已经编排二次根式()第三课时教学内容教学目标，并利用这个结论解决具体问题．教学重难点关键．重点：．．难点：探究结论．教学过程一、复习引入老师口述并板收上两节课的重要内容；．＝（≥）．那么，问题．二、探究新知（学生活动）填空：；；．（老师点评）：根据算术平方根的意义，我们可以得到：110；23；37．例 化简分析：因为（），（）（），（），（）（）•去化简．解：三、巩固练习教材练习．四、应用拓展例 <•并根据这一性质回答下列问题．，则可以是什么数？分析，∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“（）2”中的数是正数，因为，那么≥．（）根据结论求条件；（）根据第二个填空的分析，逆向思想；（）根据（）、<．解：（）因为，即使>所以不存在；当<要使，即使>，<综上，<例当>分析：(略)五、归纳小结本节课应掌握：<应用拓展．六、布置作业．教材习题．、、、．．选作课时作业设计．.课后作业:《同步训练》第三课时作业设计一、选择题．的值是（）．．．23．23．以上都不对确的是（）．．二、填空题．三、综合提高题．先化简再求值：当时，求的值，甲乙两人的解答如下：甲的解答为：原式；（）2a．两种解答中，的解答是错误的，错误的原因是．，求的值．（提示：先由≥，判断•的值是正数还是负数，去掉绝对值）.答案:一、．．二、．．．三、．甲甲没有先判定是正数还是负数．由已知得••≥，••≥所以，所以．.．二次根式的乘除第一课时教学内容（≥，≥）与其运用．（≥，≥），并利用它们进行计算和化简行计算；•（≥，≥）并运用它进行解题和化简．教学重难点关键重点：（≥，≥）（≥，≥）与它们的运用．．难点：发现规律，导出教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们完成下列各题．．填空×；参考上面的结果，用“>、<或＝”填空．．利用计算器计算填空×，，×．二、探索新知（学生活动）让、个同学上台总结规律．老师点评：（）被开方数都是正数；（）两个二次根式的乘除等于一个二次根式，•并且把这两个二次根式中的数相乘，作为等号另一边二次根式中的被开方数．一般地，对二次根式的乘法规定为反过来:例．计算（）（≥，≥）计算即可．分析：（）（）=（）例化简（）（）（≥，≥）直接化简即可．解：三、巩固练习（）计算（学生练习，老师点评）①·() 化简: ; ;教材练习全部四、应用拓展例．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：解：（）不正确．（）不正确．五、归纳小结（≥，≥）（≥，本节课应掌握：≥）与其运用．六、布置作业．课本，，，．（）（）．．选用课时作业设计．.课后作业:《同步训练》第一课时作业设计一、选择题•那么此直角三角形斜边长是（）．． c ． c ．9cm ．27cm．化简的结果是（）．11x-=）．≥．≥．≤≤．≥或≤．下列各等式成立的是（）．二、填空题．自由落体的公式为1（为重力加速度，它的值为10m），若物体下2落的高度为720m，则下落的时间是．三、综合提高题．一个底面为30cm×30cm长方体玻璃容器中装满水，•现将一部分水例入一个底面为正方形、高为10cm铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20cm，铁桶的底面边长是多少厘米？．探究过程：观察下列各式与其验证过程．==同理可得：，……通过上述探究你能猜测出：（>）,并验证你的结论．答案:一、．．．二、三、．设：底面正方形铁桶的底面边长为，则×××，××，．．验证：=.．二次根式的乘除第二课时教学内容>），反过来（≥，>）与利用它们进行计算和化简．教学目标>（≥，>）与利用它们进行运算．教学重难点关键>），（≥，>）与利用它们进行．重点：理解计算和化简．．难点关键：发现规律，归纳出二次根式的除法规定．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们完成下列各题：．写出二次根式的乘法规定与逆向等式．．填空．利用计算器计算填空:，，，．。
全新华师大版九年级数学上册教案(全册 共86页)
全新华师大版九年级数学上册教案（全册共86页）目录21.1二次根式1.二次根式的乘法2.积的算术平方根3.二次根式的除法21.3 二次根式的加减22.1 一元二次方程22.2 一元二次方程的解法1.直接开平方法和因式分解法第1课时直接开平方法第2课时因式分解法2.配方法3.公式法4.一元二次方程根的判别式5.一元二次方程的根与系数的关系22.3 实践与探索第1课时利用一元二次方程解决几何问题第2课时利用一元二次方程解决平均变化率、利润问题23.1 成比例线段1.成比例线段2.平分线分线段成比例23.2 相似图形23.3 相似三角形1.相似三角形2.相似三角形的判定第1课时利用两角判定两个三角形相似第2课时利用两边及夹角和三边判定两个三角形相似3.相似三角形的性质4.相似三角形的应用23.4 中位线23.5 位似图形23.6 图形与坐标1.用坐标确定位置2.图形的变换与坐标解直角三角形24.1 测量24.2 直角三角形的性质24.3 锐角三角函数1.锐角三角函数21.1 二次根式1．能用二次根式表示实际问题中的数量及数量关系，体会研究二次根式的必要性；(难点)2．能根据算术平方根的意义了解二次根式的概念及性质，会求二次根式中被开方数中字母的取值范围．(重点)一、情境导入问题1：你能用带有根号的式子填空吗？(1)面积为3的正方形的边长为________，面积为S 的正方形的边长为________． (2)一个长方形围栏，长是宽的2倍，面积为130m 2，则它的宽为________m.(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t (单位：s)与落下的高度h (单位：m)满足关系h ＝5t 2，如果用含有h 的式子表示t ，则t ＝______．问题2：上面得到的式子3，S ，65，h5分别表示什么意义？它们有什么共同特征？ 二、合作探究探究点一：二次根式的定义下列各式中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？ (1)11；(2)－5；(3)（－7）2； (4)313；(5)15－16；(6)3－x (x ≤3)； (7)－x (x ≥0)；(8)（a －1）2；(9)－x 2－5； (10)（a －b ）2(ab ≥0)．解析：要判断一个根式是不是二次根式，一是看根指数是不是2，二是看被开方数是不是非负数．解：因为11，（－7）2，15－16＝130，3－x (x ≤3)，（a －1）2，（a －b ）2(ab ≥0)中的根指数都是2，且被开方数为非负数，所以都是二次根式.313的根指数不是2，－5，－x (x ≥0)，－x 2－5的被开方数小于0，所以不是二次根式．方法总结：判断一个式子是不是二次根式，要看所给的式子是否具备以下条件：(1)带二次根号“ ”；(2)被开方数是非负数．探究点二：二次根式有意义的条件【类型一】 根据二次根式有意义求字母的取值范围求使下列式子有意义的x 的取值范围．(1)14－3x；(2)3－x x －2；(3)x ＋5x .解析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0且分母不等于0，列不等式(组)求解．解：(1)由题意得4－3x ＞0，解得x ＜43.当x ＜43时，14－3x有意义；(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3－x ≥0，x －2≠0，解得x ≤3且x ≠2.当x ≤3且x ≠2时，3－xx －2有意义；(3)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋5≥0，x ≠0，解得x ≥－5且x ≠0.当x ≥－5且x ≠0时，x ＋5x 有意义．方法总结：含二次根式的式子有意义的条件：(1)如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是各个二次根式中的被开方数都必须是非负数；(2)如果所给式子中含有分母，则除了保证二次根式中的被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．【类型二】 利用二次根式的非负性求解 (1)已知a 、b 满足2a ＋8＋|b －3|＝0，解关于x 的方程(a ＋2)x ＋b 2＝a －1； (2)已知x 、4，求y x 的平方根．解析：(1)根据二次根式的非负性和绝对值的非负性求解即可；(2)根据二次根式的非负性即可求得x 的值，进而求得y 的值，进而可求出y x 的平方根．解：(1)根据题意得⎩⎨⎧2a ＋8＝0，b －3＝0，解得⎩⎨⎧a ＝－4，b ＝ 3.则(a ＋2)x ＋b 2＝a －1，即－2x ＋3＝－5，解得x ＝4；(2)根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧x －3≥0，3－x ≥0，解得x ＝3.则y ＝4，故y x ＝43＝64，±64＝±8，∴y x 的平方根为±8.方法总结：二次根式和绝对值都具有非负性，几个非负数的和为0，这几个非负数都为0.探究点三：和二次根式有关的规律探究性问题先观察下列等式，再回答下列问题．①1＋112＋122＝1＋11－11＋1＝112； ②1＋122＋132＝1＋12－12＋1＝116； ③1＋132＋142＝1＋13－13＋1＝1112. (1)请你根据上面三个等式提供的信息，写出1＋142＋152的结果； (2)请你按照上面各等式反映的规律，试写出用 含n 的式子表示的等式(n 为正整数)．解析：(1)从三个等式中可以发现，等号右边第一个加数都是1，第二个加数是个分数，设分母为n ，第三个分数的分母就是n ＋1，结果是一个带分数，整数部分是1，分数部分的分子也是1，分母是前项分数的分母的积；(2)根据(1)找的规律写出表示这个规律的式子．解：(1)1＋142＋152＝1＋14－14＋1＝1120； (2)1＋1n 2＋1（n ＋1）2＝1＋1n －1n ＋1＝11n （n ＋1）(n 为正整数)． 方法总结：解答规律探究性问题，都要通过仔细观察找出字母和数之间的关系，通过阅读找出题目隐含条件并用关系式表示出来．三、板书设计1．二次根式的定义一般地，我们把形如a (a ≥0)的式子叫做二次根式． 2．二次根式有意义的条件被开方数(式)为非负数；a 有意义⇔a ≥0.通过将新知识与旧知识进行联系与对比，随后由学生熟悉的实际问题出发，用已有的知识进行探究，由此引入二次根式．在教学过程中让学生感受到研究二次根式是实际的需要，体会到数学与实际生活间的紧密联系，以此充分激发学生学习的兴趣．21.2 二次根式的乘除 1.二次根式的乘法1．掌握二次根式乘法法则；(重点)2．会进行二次根式的乘法运算．(重点、难点)一、情境导入小颖家有一块长方形菜地，长6m ，宽3m ，那么这个长方形菜地的面积是多少？二、合作探究探究点：二次根式的乘法【类型一】二次根式的乘法法则成立的条件式子x ＋1·2－x ＝（x ＋1）（2－x ）成立的条件是( ) A ．x ≤2 B ．x ≥－1C ．－1≤x ≤2D ．－1＜x ＜2解析：根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2－x ≥0，解得－1≤x ≤2.故选C.方法总结：运用二次根式的乘法法则：a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)，必须注意被开方数均是非负数这一条件．【类型二】 二次根式的乘法运算计算：(1)3×5；(2)14×64； (3)627×(－33)； (4)3418ab ·⎝⎛⎭⎫－2a6b 2a . 解析：有理式的乘法运算律及乘法公式对二次根式同样适用，计算时注意最后结果要化为最简形式．解：(1)3×5＝3×5＝15； (2)14×64＝14×64＝16＝4； (3)627×(－33)＝－1827×3＝ －1881＝－18×9＝－162； (4) 3418ab ·⎝⎛⎭⎫－2a6b 2a ＝ －34·2a ·18ab ·6b 2a ＝－32a ·36×3b 3＝ －32a ·6b 3b ＝－9b a3b . 方法总结：在运算过程中要注意根号前的因数是带分数时，必须化成假分数，如果被开方数有能开得尽方的因数或因式，可先将二次根式化简后再相乘．三、板书设计在教学安排上，体现由具体到抽象的认识过程．对于二次根式的乘法法则的推导，先利用几个二次根式的具体计算，归纳出二次根式的乘法运算法则．在具体计算时，可以通过小组合作交流，放手让学生去思考、讨论，这样安排有助于学生缜密思考和严谨表达，更有助于学生合作精神的培养．2.积的算术平方根1．掌握积的算术平方根的性质；(重点)2．会用积的算术平方根的性质对二次根式进行化简．(难点)一、情境导入计算：(1)4×25与4×25；(2)16×9与16×9.思考：对于2×3与2×3呢？从计算的结果我们发现2×3＝2×3，这是什么道理呢？二、合作探究探究点一：积的算术平方根的性质化简：(1)（－36）×16×（－9）；(2)362＋482；(3)x3＋6x2y＋9xy2.解析：主要运用公式ab＝a·b(a≥0，b≥0)和a2＝a(a≥0)对二次根式进行化简．解：(1)（－36）×16×（－9）＝36×16×9＝62×42×32＝62×42×32＝6×4×3＝72；(2)362＋482＝（12×3）2＋（12×4）2＝122×（32＋42）＝122×52＝12×5＝60；(3)x3＋6x2y＋9xy2＝x（x＋3y）2＝（x＋3y）2·x＝|x＋3y|x.方法总结：利用积的算术平方根的性质可以对二次根式进行化简．探究点二：二次根式乘法的综合应用小明的爸爸做了一个长为588πcm，宽为48πcm的矩形木相框，还想做一个与它面积相等的圆形木相框，请你帮他计算一下这个圆的半径(结果保留根号)．解析：根据矩形的面积公式、圆的面积公式，构造等式进行计算．解：设圆的半径为r cm.因为矩形木相框的面积为588π×48π＝168π(cm2)，所以πr2＝168π，r＝242cm(r＝－242舍去)．答：这个圆的半径是242cm.方法总结：把实际问题转化为数学问题，列出相应的式子进行计算，体现了转化思想． 三、板书设计1．二次根式的乘法法则： a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0) 2．积的算术平方根： ab ＝a ·b (a ≥0，b ≥0)在教学安排上，体现由具体到抽象的认识过程．对于二次根式的乘法法则的推导，先利用几个二次根式的具体计算，归纳出二次根式的乘法运算法则．在具体计算时，可以通过小组合作交流，放手让学生去思考、讨论，这样安排有助于学生缜密思考和严谨表达，更有助于学生合作精神的培养．3.二次根式的除法1．掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质，会运用其进行相关运算；(重点) 2．能综合运用已学性质进行二次根式的化简与运算．(难点)一、情境导入计算下列各题，观察有什么规律？ (1)3649＝________；3649＝________． (2)916＝________；916＝________． 3649________3649；916________916. 二、合作探究探究点一：二次根式的除法【类型一】 二次根式的除法运算计算： (1)0.760.19；(2)－123÷554； (3)6a 2b 2ab；(4)5÷⎝⎛⎭⎫－5145. 解析：本题主要运用二次根式的除法法则来进行计算，若被开方数是分数，则被开方数相除时，可先用除以一个数等于乘这个数的倒数的方法进行计算，再进行约分．解：(1)0.760.19＝0.760.19＝4＝2； (2)－123÷554＝－123÷554＝－53×545＝－18＝－32； (3)6a 2b 2ab＝6a 2b2ab＝3a ； (4)5÷⎝⎛⎭⎫－5145＝－5÷595＝－5×15×59＝－15×53＝－13. 方法总结：利用二次根式的除法法则进行计算时，可以用“除以一个不为零的数等于乘这个数的倒数”进行约分化简．【类型二】 二次根式的乘除混合运算计算：(1)945÷3212×32223； (2)a 2·ab ·bb a÷9b 2a. 解析：先把系数进行乘除运算，再根据二次根式的乘除法则运算． 解：(1)原式＝9×13×32×45×25×83＝183；(2)原式＝a 2·b ·ab ·b a ·a 9b 2＝a 2b3a .方法总结：二次根式乘除混合运算的方法与整式乘除混合运算的方法相同，在运算时要注意运算符号和运算顺序，若被开方数是带分数，要先将其化为假分数．探究点二：商的算术平方根的性质【类型一】 利用商的算术平方根的性质确定字母的取值范围若a 2－a ＝a2－a，则a 的取值范围是( )A ．a ＜2B ．a ≤2C ．0≤a ＜2D ．a ≥0解析：根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，2－a ＞0，解得0≤a ＜2.故选C.方法总结：运用商的算术平方根的性质：b a ＝ba(a ＞0，b ≥0)，必须注意被开方数是非负数且分母不等于零这一条件．【类型二】 利用商的算术平方根的性质化简二次根式化简：(1)179； (2)3c 34a 4b 2(a ＞0，b ＞0，c ＞0)． 解析：运用商的算术平方根的性质，用分子的算术平方根除以分母的算术平方根． 解：(1)179＝169＝169＝43；(2)3c34a4b2＝3c34a4b2＝c2a2b3c.方法总结：被开方数中的带分数要化为假分数，被开方数中的分母要化去，即被开方数不含分母，从而化为最简二次根式．探究点三：最简二次根式在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？并说明理由．(1)45；(2)13；(3)52；(4)0.5；(5)145.解析：根据满足最简二次根式的两个条件判断即可．解：(1)45＝35，被开方数含有开得尽方的因数，因此不是最简二次根式；(2)13＝33，被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式；(3)52，被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，因此它是最简二次根式；(4)0.5＝12＝22，被开方数含有小数，因此不是最简二次根式；(5)145＝95＝355，被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式．方法总结：解决此题的关键是掌握最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式．探究点四：二次根式除法的综合运用座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其周期计算公式为T＝2πlg，其中T表示周期(单位：秒)，l表示摆长(单位：米)，g＝9.8米/秒2，假若一台座钟摆长为0.5米，它每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在1分钟内，该座钟大约发出了多少次滴答声(π≈3.14)?解析：由给出的公式代入数据计算即可．要先求出这个钟摆的周期，然后利用时间除周期得到次数．解：∵T＝2π0.59.8≈1.42，60T＝601.42≈42(次)，∴在1分钟内，该座钟大约发出了42次滴答声．方法总结：解决本题的关键是正确运用公式．用二次根式的除法进行运算，解这类问题时要注意代入数据的单位是否统一．三、板书设计1．二次根式的除法运算2．商的算术平方根3．最简二次根式被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．在教学中应注重积和商的互相转换，让学生通过具体实例再结合积的算术平方根的性质，对比、归纳得到商的算术平方根的性质．在此过程中应给予适当的指导，可提出问题让学生有一定的探索方向．在设计课堂教学内容时，以提问的方式引出本节课要解决的问题，让学生自主探究，在探究过程中观察知识产生发展的全过程，从而让学生的学习情感和学习品质得到升华，学生的创新精神得到发展．21.3 二次根式的加减1．会将二次根式化为最简二次根式，掌握二次根式加减法的运算；(重点) 2．熟练进行二次根式的加减运算，并运用其解决问题．(难点)3．正确地运用二次根式加减乘除法则及运算律进行运算，并把结果化简．(难点)一、情境导入小明家的客厅是长7.5m ，宽5m 的长方形，他要在客厅中截出两个面积分别为8m 2和18m 2的正方形铺不同颜色的地砖，问能否截出？二、合作探究探究点一：同类二次根式已知最简二次根式2a ＋b 与a ＋b3a －4能够合并同类项，求a ＋b 的值．解析：利用最简二次根式的概念求出a ，b 的值，再代入a ＋b 求解即可． 解：∵最简二次根式2a ＋b 与a ＋b3a －4能够合并同类项，∴a ＋b ＝2，2a ＋b ＝3a －4，解得a ＝3，b ＝－1，∴a ＋b ＝3＋(－1)＝2. 方法总结：根据同类二次根式的概念求待定字母的值时，应该根据同类二次根式的概念建立方程或方程组求解．探究点二：二次根式的运算【类型一】 二次根式的加减运算计算：12－13－(2)2＋|2－3|.解析：二次根式的加减运算应先化简，再合并同类二次根式． 解：原式＝23－33－2＋2－3＝⎝⎛⎭⎫2－13－13＝233. 方法总结：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并时系数相加减，根式不变．【类型二】 二次根式的四则运算计算：(1)12223×9145÷35； (2)⎝⎛⎭⎫312－213＋48÷23＋⎝⎛⎭⎫132； (3)2－(3＋2)÷3.解析：先把各二次根式化为最简二次根式，再把括号内合并后进行二次根式的乘法运算，然后进行加法运算．解：(1)原式＝12×9×83×145×53＝12×9×229＝2； (2)原式＝⎝⎛⎭⎫63－233＋43÷23＋13＝2833×123＋13＝143＋13＝5； (3)原式＝2－(3＋2)÷13＝2－3＋23＝2－1－233.方法总结：二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．【类型三】 二次根式的化简求值先化简，再求值：a －b a ÷⎝⎛⎭⎫a －2ab －b 2a ，其中a ＝2＋3，b ＝2－ 3.解析：先将原式化为最简形式，再将a 与b 的值代入计算即可求出．解：原式＝（a ＋b ）（a －b ）a ÷a 2－2ab ＋b 2a ＝（a ＋b ）（a －b ）a ·a（a －b ）2＝a ＋b a －b .当a ＝2＋3，b ＝2－3时，原式＝2＋3＋2－32＋3－2＋3＝423＝233.方法总结：化简求值时一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，缺少必要的步骤易造成错解．【类型四】 二次根式运算在实际生活中的应用母亲节快到了，为了表示对妈妈的感恩，小号同学特地做了两张大小不同的正方形的壁画送给妈妈，其中一张面积为800cm 2，另一张面积为450cm 2，他想如果再用金色细彩带把壁画的边镶上会更漂亮，他手上现有1.2m 长的金色细彩带，请你帮他算一算，他的金色细彩带够用吗？如果不够，还需买多长的金色细彩带(2≈1.414，结果保留整数)?解析：先求出每张正方形壁画的边长，再根据正方形的周长公式求所需金色细彩带的长． 解：镶壁画所用的金色细彩带的长为：4×(800＋450)＝4×(202＋152)＝1402≈197.96(cm)．因为 1.2m ＝120cm ＜197.96cm ，所以小号的金色细彩带不够用.197.96－120＝77.96≈78(cm)，即还需买78cm 的金色细彩带．方法总结：利用二次根式来解决生活中的问题，应认真分析题意，注意计算的正确性与结果的要求．三、板书设计 1．同类二次根式 2．二次根式的加减一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化简成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．3．二次根式的四则运算先算乘方(开方)，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的．在授课过程中，要以学生为主体，进行探究性学习，让学生自己发现规律，得出结论．在例题的选择上可由简到难，符合学生的认知规律，便于学生掌握知识．在得到定义、法则的过程中，让学生经历发现、思考、探究的过程，体会学习知识的成功与快乐．22.1 一元二次方程1．理解一元二次方程及其相关概念，能够熟练地把一元二次方程化为一般形式． 2．会应用一元二次方程的解的定义解决有关问题．3．在分析、揭示实际问题中的数量关系，并把实际问题转化为数学模型的过程中，感受方程是刻画现实世界中的数量关系的工具，增强对一元二次方程的感性认识．一、情境导入参加一次集会，如果有x 个人，每两人之间都握一次手，共握了21次手，请你列出符合上述条件的方程，并判断方程是什么类型？二、合作探究探究点一：一元二次方程的概念 【类型一】一元二次方程的识别下列选项中，是关于x 的一元二次方程的是( )A ．x 2＋1x2＝1 B ．3x 2－2xy －5y 2＝0C ．(x －1)(x －2)＝3D ．ax 2＋bx ＋c ＝0解析：选项A 中的方程分母含有未知数，所以它不是一元二次方程；选项B 中的方程含有2个未知数，所以它不是一元二次方程；当a ＝0时，选项D 中的方程不含二次项，所以它不是一元二次方程，排除A 、B 、D ，故选C.方法总结：判断一个方程是不是一元二次方程，必须将方程化简后再进行判断．一元二次方程的三个条件：一是方程两边都是整式；二是只含有一个未知数；三是未知数的最高次数是2.上述三个条件必须同时满足，缺一不可．【类型二】利用一元二次方程的概念确定字母系数关于x 的方程(k ＋1)x ＋kx ＋1＝0是一元二次方程，则k 的值为________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧|k －1|＝2，k ＋1≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝3或k ＝－1，k ≠－1.∴k ＝3.方法总结：由一元二次方程的概念满足的条件：未知数最高次数为2，构造方程，解出字母取值，并利用二次项系数不为0排除使二次项系数为0的字母取值，从而确定字母取值．探究点二：一元二次方程的一般形式将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它们的二次项系数、一次项系数及常数项．(1)3x 2－2＝5x ；(2)9x 2＝16；(3)2x (3x ＋1)＝17；(4)(3x －5)(x ＋1)＝7x －2.解析：先分别将各方程化为一般形式，再指出它们的各部分的名称．解：(1)方程化为一般形式为3x 2－5x －2＝0，二次项系数是3，一次项系数是－5，常数项是－2.(2)方程化为一般形式为9x 2－16＝0，二次项系数是9，一次项系数是0，常数项是－16.(3)方程化为一般形式为6x 2＋2x －17＝0，二次项系数是6，一次项系数是2，常数项是－17.(4)方程化为一般形式为3x 2－9x －3＝0，二次项系数是3，一次项系数是－9，常数项是－3.方法总结：求一元二次方程的各项系数和常数项，必须先把方程化为一般形式，特别要注意确认各项系数和常数项一定要包括前面的符号．探究点三：列一元二次方程(2015·深圳一模)在一张矩形的床单四周绣上宽度相等的花边，剩下部分面积为1.6m 2.已知床单的长是2m ，宽是1.4m ，求花边的宽度．请根据题意列出方程．解析：设花边的宽度为x m ，则由图可知剩下部分的长为(2－2x )m ，剩下部分的宽为(1.4－2x )m.∵剩下部分面积为1.6m 2，∴可列方程(2－2x )(1.4－2x )＝1.6.方法总结：列方程最重要的是审题，只有理解题意，才能恰当的设出未知数，准确地找出已知量和未知量之间的等量关系，正确的列出方程．探究点四：一元二次方程的解 【类型一】判断一元二次方程的解方程x －2x ＝0的解为( ) A ．x 1＝1，x 2＝2 B ．x 1＝0，x 2＝1C ．x 1＝0，x 2＝2D ．x 1＝12，x 2＝2解析：把各选项中未知数的值分别代入方程的左右两边，只有选项C 中的x 1＝0，x 2＝2都能使方程x 2－2x ＝0的左右两边相等，所以选C.方法总结：判断一个未知数的值是否是一元二次方程的解，可以把未知数的值代入方程左右两边，能使方程左右两边相等的未知数的值就是一元二次方程的解．【类型二】利用一元二次方程的解的意义求字母或代数式的值已知1是关于x的一元二次方程(m－1)x＋x＋1＝0的一个根，则m的值是( ) A．1 B．－1C．0 D．无法确定解析：根据方程的根的概念，直接代入方程，左右两边相等，但考虑到是一元二次方程，所以二次项系数不能等于0.由此得，(m－1)＋1＋1＝0，解得m＝－1，此时m－1＝－2≠0，∴m＝－1.故选B.方法总结：方程的根是能使方程左右两边相等的未知数的值，在涉及方程根的题目中，我们一般是把这个根代入方程左右两边转化为求待定系数的方程来解决问题．三、板书设计教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为数学问题，体会数学建模的思想方法.22.2 一元二次方程的解法1.直接开平方法和因式分解法第1课时直接开平方法1．学会根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．2．运用开平方法解形如(x＋m)2＝n的方程．3．体验类比、转化、降次的数学思想方法，增强学习数学的兴趣．一、情境导入一个正方形花坛的面积为10，若设其边长为x ，根据正方形的面积可列出怎样的方程？用怎样的方法可以求出所列方程的解呢？二、合作探究探究点：直接开平方法【类型一】用直接开平方法解一元二次方程运用开平方法解下列方程： (1)4x 2＝9；(2)(x ＋3)2－2＝0.解析：(1)先把方程化为x 2＝a (a ≥0)的形式；(2)原方程可变形为(x ＋3)2＝2，则x ＋3是2的平方根，从而可以运用开平方法求解．解：(1)由4x 2＝9，得x 2＝94，两边直接开平方，得x ＝±32，∴原方程的解是x 1＝32，x 2＝－32.(2) 移项，得(x ＋3)2＝2.两边直接开平方，得x ＋3＝± 2.∴x ＋3＝2或x ＋3＝－ 2.∴原方程的解是x 1＝2－3，x 2＝ －2－3.方法总结：由上面的解法可以看出，一元二次方程是通过降次，把一元二次方程转化为一元一次方程求解的，这是解一元二次方程的基本思想；一般地，对于形如x 2＝a (a ≥0)的方程，根据平方根的定义，可解得x 1＝a ，x 2＝－a .【类型二】直接开平方法的应用(2014·山东济宁中考)若一元二次方程ax 2＝b (ab >0)的两个根分别是m ＋1与2m －4，则b a＝________.解析：∵ax 2＝b ，∴x ＝±ba，∴方程的两个根互为相反数，∴m ＋1＋2m －4＝0，解得m ＝1，∴一元二次方程ax 2＝b (ab ＞0)的两个根分别是2与－2，∴b a ＝2，∴ba＝4，故答案为4.【类型三】直接开平方法与方程的解的综合应用若一元二次方程(a ＋2)x －ax ＋a －4＝0的一个根为0，则a ＝________．解析：∵一元二次方程(a ＋2)x 2－ax ＋a 2－4＝0的一个根为0，∴a ＋2≠0且a 2－4＝0，∴a ＝2.故答案为2.【类型四】直接开平方法的实际应用有一个边长为11cm 的正方形和一个长为13cm ，宽为8cm 的矩形，要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，边长应为多少厘米？分析：要求新正方形的边长，可先求出原正方形和矩形的面积之和，然后再用开平方计算．解：设新正方形的边长为x cm ，根据题意得x 2＝112＋13×8，即x 2＝225，解得x ＝±15.因为边长为正，所以x ＝－15不合题意，舍去，所以只取x ＝15.答：新正方形的边长应为15cm.方法总结：在解决与平方根有关的实际问题时，除了根据题意解题外，有时还要结合实。
人教版九年级数学上册全册全套课件200页
最新人教版九年级数学上册全册全套课件200页一、教学内容1. 第十三章：一元二次方程详细内容：一元二次方程的定义、解法（直接开平方法、配方法、公式法）、根的判别式、根与系数的关系、实际应用等。
2. 第十四章：不等式与不等式组详细内容：不等式的性质、一元一次不等式及不等式组的解法、不等式的应用等。
3. 第十五章：图形的相似详细内容：相似图形的定义、性质、判定方法、相似图形的应用等。
4. 第十六章：锐角三角函数详细内容：锐角三角函数的定义、互化公式、解直角三角形等。
二、教学目标1. 理解并掌握一元二次方程、不等式与不等式组、图形的相似、锐角三角函数等基础知识。
2. 能够运用所学知识解决实际问题，提高解决问题的能力。
3. 培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
三、教学难点与重点1. 教学难点：一元二次方程的解法、不等式组的解法、相似图形的判定与性质、锐角三角函数的应用。
2. 教学重点：一元二次方程的解法、不等式的性质与解法、相似图形的判定与性质、锐角三角函数的定义与互化公式。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔、直尺、圆规等。
2. 学具：课本、练习本、铅笔、圆规、三角板等。
五、教学过程1. 导入：通过实际情景引入新课，激发学生兴趣。
2. 新课讲解：详细讲解各章节知识点，结合例题进行讲解。
3. 随堂练习：针对新课内容，设计有针对性的练习题，巩固所学知识。
5. 课后作业：布置适量的课后作业，巩固所学知识。
六、板书设计1. 一元二次方程的解法2. 不等式与不等式组的解法3. 相似图形的判定与性质4. 锐角三角函数的定义与互化公式七、作业设计1. 作业题目：（1）解一元二次方程：x^2 5x + 6 = 0。
（2）解不等式组：2x 3 > 4，x + 5 < 3。
（3）证明：若两个三角形相似，则它们的对应角相等。
（4）计算：sin30°、cos45°、tan60°。
九年级数学上册全册教案共151页
义务教育课程标准人教版数学教案九年级上册2021—2021学年度第一学期2021—2021学年度第一学期九年级数学教学进度表教学过程设计教学过程设计教学过程设计教学过程设计教学过程设计教学过程设计教学过程设计教学过程设计第二十二章?一元二次方程?小结一、本章知识构造框图8m 2•的长方形花台，要使花坛四周的宽地宽度一样，那么这个宽度为多少? 四小结归纳谈一节课的收获和体会. 五、作业设计 必做：P18：4-8 选做：P19：10 补充作业：某林场方案修一条长750m ，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6m 2，•上口宽比渠深多2m ，渠底比渠深多0.4m ． 〔1〕渠道的上口宽与渠底宽各是多少？〔2〕如果方案每天挖土48m 3，需要多少天才能把这条渠道挖完？师生归纳总结，学生作笔记.纳入知识系统，总结本节课内容，让学生体会方程刻画现实世界的模型作用.教 学 反 思二、本章知识点概括1、相关概念〔1〕一元二次方程：等号两边都是整式，只含有一个未知数〔一元〕，并且未知数的最高次数是2〔二次〕的方程，叫做一元二次方程。
〔2〕一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。
〔3〕一元二次方程的根：一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。
用“夹逼〞法估算出一元二次方程的根的取值X围．一次方程：一元一次方程，二元一次方程，三元方程整式方程二次方程：一元二次方程，二元二次方程*〔4〕有理方程高次方程：分式方程2、降次——解一元二次方程〔1〕配方法：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法．配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．其步骤是:①方程化为一般形式；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；③化二次项系数为1；④配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，使方程左边是完全平方式，从而原方程化为〔mx+n〕2=p的形式；⑤如果p≥0就可以用开平方降次来求出方程的解了，如果p<0，那么原方程无实数根。
九年级数学上册全套教案(新版苏科版)
九年级数学上册全套教案一元二次方程教学目标【知识与能力】通过观察，归纳一元二次方程的概念，能熟练的把一元二次方程转化成一般形式.【过程与方法】通过探索实际问题中的数量关系及其变化规律，经历由具体问题抽象出一元二次方程的过程，进一步使学生感受方是刻画现实世界的有效的数学模型.【情感态度价值观】培养学生观察、猜想、探究、归纳的习惯和能力，体验数学发现的乐趣.教学重难点【教学重点】一元二次方程的概念和一般形式.【教学难点】正确理解和掌握一般形式中的a ≠0 ，“项”和“系数”.教学过程一、复习旧知1、你还记得什么叫方程？什么叫方程的解吗？2、什么是一元一次方程？它的一般形式是怎样的？3、我们知道了利用一元一次方程可以解决生活中的一些实际问题，你还记得利用一元一次方程解决实际问题的步骤吗？二、问题情境（1）正方形桌面的面积是2m ，求它的边长？(2）矩形花圃一面靠墙，另外三面所围的栅栏的总长度是19米。
如果花圃的面积是24m2，求花圃的长和宽？2（3）我校图书馆的藏书在两年内从5万册增加到7.2万册，平均每年增长的百分率是多少？（4）长5米的梯子斜靠在墙上，梯子的底端与墙的距离是3米。
如果梯子底端向右滑动的距离与梯子顶端向下滑动的距离相等，求梯子滑动的距离。
总结：一元二次方程的概念:像这样的等号两边都是整式， 只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程叫做一元二次方程一元二次方程必须同时满足的三个条件:(1) (2) (3)练习，下列方程中那些是一元二次方程：7、一元二次方程的一般形式:一般地，任何一个关于x 的一元二次方程都可以化为的形式， 我们把)2)(1(3).5(023).4(1).3(1).2(1).1(2222+-=-=+-===+x x x y x x x x x x x 22(7)320yy m x m -+=2 ｘ （是系数) (8)（a +1)＋(2a-1)y+5-a=0（是未知数）20ax bx c ++=20ax bx c ++=(a ，b ，c 为常数，a ≠0）称为一元二次方程的一般形式。