高等数学基础作业1、2、3、4

高等数学基础作业1

第1章 函数 第2章 极限与连续

（一） 单项选择题

⒈下列各函数对中，（C ）中的两个函数相等．

A. 2

)()(x x f =，x x g =)( B. 2)(x x f =

，x x g =)(

C. 3

ln )(x x f =，x x g ln 3)(= D. 1)(+=x x f ，1

1

)(2--=x x x g

分析：判断函数相等的两个条件（1）对应法则相同（2）定义域相同

A 、2

()f x x ==，定义域{}|0x x ≥；x x g =)(，定义域为R

定义域不同，所以函数不相等；

B 、()f x x =

=，x x g =)(对应法则不同，所以函数不相等；

C 、3

()ln 3ln f x x x ==，定义域为{}|0x x >，x x g ln 3)(=，定义域为{}|0x x > 所以两个函数相等

D 、1)(+=x x f ，定义域为R ；21

()11

x g x x x -=

=+-，定义域为{}|,1x x R x ∈≠ 定义域不同，所以两函数不等。 故选C

⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f -+的图形关于（C ）对称． A. 坐标原点 B. x 轴 C. y 轴 D. x y =

分析：奇函数，()()f x f x -=-，关于原点对称

偶函数，()()f x f x -=，关于y 轴对称

()y f x =与它的反函数()1y f x -=关于y x =对称，

奇函数与偶函数的前提是定义域关于原点对称

设()()()g x f x f x =+-，则()()()()g x f x f x g x -=-+= 所以()()()g x f x f x =+-为偶函数，即图形关于y 轴对称 故选C

⒊下列函数中为奇函数是（B ）． A. )1ln(2

x y += B. x x y cos =

C. 2

x

x a a y -+= D. )1ln(x y +=

分析：A 、()()(

)()2

2

ln(1)ln 1y x x x

y x -=+-=+=，为偶函数

B 、()()()cos cos y x x x x x y x -=--=-=-，为奇函数 或者x 为奇函数，cosx 为偶函数，奇偶函数乘积仍为奇函数

C 、()()2

x x

a a y x y x -+-=

=，所以为偶函数 D 、()ln(1)y x x -=-，非奇非偶函数 故选B

⒋下列函数中为基本初等函数是（C ）． A. 1+=x y B. x y -= C. 2

x

y = D. ⎩⎨

⎧≥<-=0,

10

,1x x y 分析：六种基本初等函数

（1） y c =（常值）———常值函数 （2） ,y x α

α=为常数——幂函数 （3） ()0,1x

y a

a a =>≠———指数函数

（4） ()log 0,1a y x a a =>≠———对数函数

（5） sin ,cos ,tan ,cot y x y x y x y x ====——三角函数

（6） [][]sin ,1,1,

cos ,1,1,

tan ,cot y arc x y arc x y arc x y arc x

=-=-==——反三角函数

分段函数不是基本初等函数，故D 选项不对 对照比较选C

⒌下列极限存计算不正确的是（D ）．

A. 12lim 2

2

=+∞→x x x B. 0)1ln(lim 0

=+→x x C. 0sin lim

=∞→x x x D. 01

sin lim =∞→x

x x

分析：A 、已知()1

lim

00n

x n x →∞=>

2

22

22

2

22

11

lim lim lim 1222101x x x x x x x x x x x →∞→∞→∞====++++ B 、0

limln(1)ln(10)0x x →+=+=

初等函数在期定义域内是连续的 C 、sin 1

lim

lim sin 0x x x x x

x →∞→∞==

x →∞时，

1

x

是无穷小量，sin x 是有界函数， 无穷小量×有界函数仍是无穷小量

D 、1

sin

1lim sin lim

1

x x x x x x

→∞→∞=，令10,t x x =→→∞，则原式0sin lim 1t t t →== 故选D

⒍当0→x 时，变量（C ）是无穷小量． A.

x

x

sin B. x 1

C. x

x 1

sin

D. 2)ln(+x 分析；()lim 0x a

f x →=，则称()f x 为x a →时的无穷小量

A 、0sin lim 1x x

x

→=，重要极限

B 、01

lim

x x

→=∞，无穷大量 C 、0

1lim sin

0x x x →=，无穷小量x ×有界函数1

sin x

仍为无穷小量 D 、()0

limln(2)=ln 0+2ln 2x x →+=

故选C

⒎若函数)(x f 在点0x 满足（A ），则)(x f 在点0x 连续。 A. )()(lim 00

x f x f x x =→ B. )(x f 在点0x 的某个邻域内有定义

C. )()(lim 00

x f x f x x =+→ D. )(lim )(lim 0

x f x f x x x x -+→→=