神奇的圆锥曲线(动态图示)(62页)问题探究
2012高考-圆锥曲线解答题(探索性问题)
2012高考-圆锥曲线解答题(探索性问题)圆锥曲线探索性问题包含两类题型：一是无明确结论，探索结论问题(即只给出条件，要求解题者论证在此条件下，会不会出现某个结论.)二是给定明确结论，探索结论是否存在问题．(解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后由此肯定的假设出发，结合已知条件进行推理论证，若导致合理的结论，则存在性也随之解决；若导致矛盾，则否定了存在性．)存在性问题，其一般解法是先假设结论存在，用待定系数法设出所求的曲线方程或点的坐标，再根据合理的推理，若能推出题设中的结论，则假设存在的结论成立；否则，不成立．这类题型常以适合某种条件的结论“存在”、“不存在”、“是否存在”等语句表述．解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后由此肯定的假设出发，结合已知条件进行推理论证，若导致合理的结论，则存在性也随之解决；若导致矛盾，则否定了存在性．例3．(2012北京理19)（本小题共14分）已知曲线()()()22-+-=∈R．C m x m y m:528将①②代入易知等式成立，则A G N ，，三点共线得证．【变式训练31】(2012天津理19)设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为,A B ，点P 在椭圆上且异于,A B 两点，O 为坐标原点．（1）若直线AP 与BP 的斜率之积为12-，求椭圆的离心率；（2）若|AP |=|OA |，证明直线OP 的斜率k 满足||3k >．解：(1)设点P 的坐标为(x 0，y 0)．由题意，有x 20a 2＋y 20b2＝1. ①由A (－a,0)，B (a,0)，得k AP ＝y 0x 0＋a ，k BP ＝y 0x 0－a.由k AP ·k BP ＝－12，可得x 20＝a 2－2y 20， 代入①并整理得(a 2－2b 2)y 20＝0.由于y 0≠0， 故a 2＝2b 2.于是e 2＝a 2－b 2a 2＝12， 所以椭圆的离心率e ＝22.(2)证明：(方法一)依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ， 设点P 的坐标为(x 0，y 0)．由条件得⎩⎨⎧y 0＝kx 0，x 20a 2＋y 20b2＝1，消去y 0并整理得x 20＝a 2b 2k 2a 2＋b2.② 由|AP |＝|OA |，A (－a,0)及y 0＝kx 0，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2.整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0. 而x 0≠0，于是x 0＝－2a 1＋k 2，代入②，整理得(1＋k 2)2＝4k 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b a 2＋4.由a ＞b ＞0， 故(1＋k 2)2＞4k 2＋4， 即k 2＋1＞4，因此k 2＞3，所以|k |> 3.(方法二)依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，可设点P 的坐标为(x 0，kx 0)．由点P 在椭圆上，有x 20a 2＋k 2x 20b2＝1.因为a ＞b ＞0，kx 0≠0，所以x 20a 2＋k 2x 20a2＜1，即(1＋k 2)x 20＜a 2. ③由|AP |＝|OA |，A (－a,0)，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2，整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0，于是x 0＝－2a 1＋k2，代入③，得(1＋k 2)4a 2(1＋k 2)2＜a 2， 解得k 2＞3，所以|k |＞ 3.【变式训练32】(2012 安徽理20)如图，点12(,0),(,0)F c F c -分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，过点1F 作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于点P ，过点2F 作直线2PF 的垂线交直线2a x c =于点Q ；（1）如果点Q 的坐标是(4,4)；求此时椭圆C 的方程；（2）证明：直线PQ 与椭圆C 只有一个交点． 解：（I ）点11(,)(0)P c y y->代入22221x y a b +=得：21b y a=21204014b a PF QF c c c--⊥⇔⨯=---- ①又24a c= ②222(,,0)c a b a b c =-> ③由①②③得：2,1,3a c b ===，即椭圆C 的方程为22143x y +=．（II ）设22(,)a Q y c；则221222012b y a PF QF y ac c a cc--⊥⇔⨯=-⇔=---得：222PQba a c ka a c c-==+．222222222222221b xx y b a y b x y a b a b b xa-'+=⇒=-⇒=-过点P 与椭圆C 相切的直线斜率x cPQc k y k a=-'===．得：直线PQ 与椭圆C 只有一个交点．解：(1)(方法一)由条件知，P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－c ，b 2a ， 故直线PF 2的斜率为2PF k =b 2a －0－c －c＝－b 22ac .因为PF 2⊥F 2Q ，所以直线F 2Q 的方程为y ＝2acb2x －2ac 2b 2，故Q ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 2c ，2a . 由题设知，a 2c ＝4, 2a ＝4，解得a ＝2，c ＝1.故椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(方法二)设直线x ＝a 2c 与x 轴交于点M ，由条件知，P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－c ，b 2a .因为△PF 1F 2∽△F 2MQ ，所以⎪⎪⎪⎪PF 1⎪⎪⎪⎪F 2M ＝⎪⎪⎪⎪F 1F 2⎪⎪⎪⎪MQ . 即b 2a a 2c －c ＝2c ⎪⎪⎪⎪MQ ，解得⎪⎪⎪⎪MQ ＝2a . 所以⎩⎨⎧a 2c ＝4，2a ＝4，a ＝2，c ＝1．故椭圆方程为x2 4＋y23＝1．(2)证明：直线PQ的方程为2222,2axy a cb aa ca c--=---即y＝ca x＋a.将上式代入椭圆方程得，x2＋2cx＋c2＝0.解得2,,bx c ya=-=所以直线PQ与椭圆C只有一个交点．例4．(2012福建理19)如图，椭圆E：22221(0)x ya ba b+=>>的左焦点为1F，右焦点为2F，离心率12e=，过1F的直线交椭圆于,A B两点，且2ABF△的周长为8．（Ⅰ）求椭圆E的方程．（Ⅱ）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线4x=相交于点Q．试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．解：解法一：(1)因为|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝8，即|AF 1|＋|F 1B |＋|AF 2|＋|BF 2|＝8，又|AF 1|＋|AF 2|＝|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，所以4a ＝8，a ＝2.又因为e ＝12，即c a ＝12，所以c ＝1，所以b ＝a 2－c 2＝ 3.故椭圆E 的方程是x 24＋y 23＝1.(2)由⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1，得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0.因为动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点P (x 0，y 0)，所以m ≠0且Δ＝0，即64k 2m 2－4(4k 2＋3)(4m 2－12)＝0，化简得4k 2－m 2＋3＝0.(*)此时x 0＝－4km 4k 2＋3＝－4k m ，y 0＝kx 0＋m ＝3m ，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－4k m ，3m .由⎩⎨⎧x ＝4，y ＝kx ＋m得Q (4,4k ＋m )． 假设平面内存在定点M 满足条件，由图形对称性知，点M 必在x 轴上．设M (x 1,0)，则MP →·MQ →＝0对满足(*)式的m 、k 恒成立．因为MP →＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫－4k m －x 1，3m ，MQ→＝(4－x 1,4k ＋m )，由MP →·MQ→＝0， 得－16k m ＋4kx 1m －4x 1＋x 21＋12k m ＋3＝0，整理，得(4x 1－4)km ＋x 21－4x 1＋3＝0.(**)由于(**)式对满足(*)式的m ，k 恒成立，所以⎩⎨⎧4x 1－4＝0，x 21－4x 1＋3＝0，解得x 1＝1. 故存在定点M (1,0)，使得以PQ 为直径的圆恒过点M .解法二：(1)同解法一．(2)由⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1，得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0.因为动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点P (x 0，y 0)，所以m ≠0且Δ＝0，即64k 2m 2－4(4k 2＋3)(4m 2－12)＝0，化简得4k 2－m 2＋3＝0.(*)此时x 0＝－4km 4k 2＋3＝－4k m ，y 0＝kx 0＋m ＝3m ，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－4k m ，3m .由⎩⎨⎧x ＝4，y ＝kx ＋m ，得Q (4,4k ＋m )． 假设平面内存在定点M 满足条件，由图形对称性知，点M 必在x 轴上．取k ＝0，m ＝3，此时P (0，3)，Q (4，3)，以PQ 为直径的圆为(x －2)2＋(y －3)2＝4，交x 轴于点M 1(1,0)，M 2(3,0)；取k ＝－12，m ＝2，此时P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，32，Q (4,0)，以PQ 为直径的圆为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －522＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y －342＝4516，交x 轴于点M 3(1,0)，M 4(4,0)．所以若符合条件的点M 存在，则M 的坐标必为(1,0)．以下证明M (1,0)就是满足条件的点：因为M 的坐标为(1,0)，所以MP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－4k m －1，3m ，MQ→＝(3,4k ＋m )， 从而MP →·MQ →＝－12k m －3＋12k m ＋3＝0， 故恒有MP→⊥MQ →，即存在定点M (1,0)，使得以PQ 为直径的圆恒过点M .解法三：(1)同解法一． （２）由对称性可知设0(,)(0)P x y y>与(,0)M x222020331343443434x x y y x y k y x '+=⇒=-⇒=⇒=--直线00000033(1):()(4,)4x x l y y x x Q y y --=--⇒000003(1)0()(4)0(1)(1)(3)x MP MQ x x x y x x x x y -=⇔--+⨯=⇔-=--（*）（*）对0(2,2)x ∈-恒成立1x ⇔=， 得(1,0)M【变式训练4】 (2012 江西理20)已知三点(0,0)O ，(2,1)A -，(2,1)B ，曲线C 上任意一点(,)M x y 满足||()2MA MB OM OA OB +=⋅++．（1）求曲线C 的方程； （2）动点0(,)(22)Q x y x-<<在曲线C 上，曲线C 在点Q 处的切线为l ．问：是否存在定点(0,)(0)P t t <，使得l 与,PA PB 都相交，交点分别为,D E ，且QAB △与PDE △的面积之比是常数？若存在，求t 的值；若不存在，说明理由．解：(1)由MA→＝(－2－x,1－y )，MB →＝(2－x,1－y )，得|MA→＋MB →|＝(－2x )2＋(2－2y )2， OM →·(OA →＋OB →)＝(x ，y )·(0,2)＝2y ，由已知得(－2x )2＋(2－2y )2＝2y ＋2， 化简得曲线C 的方程：x 2＝4y .(2)假设存在点P (0，t )(t <0)满足条件，则直线PA 的方程是y ＝t －12x ＋t ，PB 的方程是y ＝1－t 2x ＋t .曲线C 在Q 处的切线l 的方程是y ＝x 02x －x 24，它与y 轴交点为F ⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，－x 204.由于－2<x 0<2，因此－1<x 02<1.①当－1<t <0时，－1<t －12<－12，存在x 0∈(－2,2)使得x 02＝t －12，即l 与直线PA 平行，故当－1<t <0时不符合题意．②当t ≤－1时，t －12≤－1<x 02，1－t 2≥1>x 02，所以l 与直线PA ，PB 一定相交．分别联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝t －12x ＋t ，y ＝x 02x －x 204，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1－t 2x ＋t ，y ＝x 02x －x 204，解得D ，E 的横坐标分别是x D ＝x 20＋4t 2(x 0＋1－t )，x E ＝x 20＋4t2(x 0＋t －1)，则x E －x D ＝(1－t )x 20＋4tx 20－(t －1)2. 又|FP |＝－x 204－t ，有S △PDE ＝12·|FP |·|x E －x D |＝1－t 8·(x 20＋4t )2(t －1)2－x 20. 又S △QAB ＝12·4·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－x 204＝4－x 202， 于是S △QAB S △PDE ＝41－t ·(x 20－4)[x 20－(t －1)2](x 20＋4t )2＝41－t ·x 40－[4＋(t －1)2]x 20＋4(t －1)2x 40＋8tx 20＋16t2. 对任意x 0∈(－2,2)，要使S △QABS △PDE为常数，则t 要满足⎩⎨⎧－4－(t －1)2＝8t ，4(t －1)2＝16t 2，解得t ＝－1，此时S △QABS △PDE＝2，故存在t ＝－1，使△QAB 与△PDE 的面积之比是常数2.【点评】本题以平面向量为载体，考查抛物线的方程，直线与抛物线的位置关系以及分类讨论的数学思想. 高考中，解析几何解答题一般有三大方向的考查.一、考查椭圆的标准方程，离心率等基本性质，直线与椭圆的位置关系引申出的相关弦长问题，定点，定值，探讨性问题等；二、考查抛物线的标准方程，准线等基本性质，直线与抛物线的位置关系引申出的相关弦长问题，中点坐标公式，定点，定值，探讨性问题等；三、椭圆，双曲线，抛物线综合起来考查.一般椭圆与抛物线结合考查的可能性较大，因为它们都是考纲要求理解的内容.。
圆锥曲线中的典型问题与方法：圆锥曲线中的探究性(存在性)问题
圆锥曲线中的典型问题与处理方法——数学之家出品圆锥曲线中的探究性（存在性）问题（一）存在性问题是一种具有开放性和发散性的问题， 此类题目的条件和结论不完备， 要求学生结合已有的条件进行观察、分析、 比较和概括，它对数学思想、数学意识及综合运用数学 方法的能力有较高的要求， 特别是在解析几何第二问中经常考到 “是否存在这样的点” 的问题，也就是是否存在定值定点定直线的问题。
一、是否存在这样的常数例 1．在平面直角坐标系 xOy 中，经过点 (0， 2) 且斜率为 k 的直线 l 与椭圆x2y 21有2两个不同的交点 P 和Q ． （I ）求 k 的取值范围；（ II ）设椭圆与 x 轴正半轴、 y 轴正半轴的交点分别为A ，B ，是否存在常数 k ，使得向量 OPOQ与 AB 共线？如果存在，求 k 值；如果不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）由已知条件，直线 l 的方程为 y kx 2 ，代入椭圆方程得 x 2( kx2) 21．整理得 1 k 2x 22 2kx 1 0①22直线 l 与椭圆有两个不同的交点 P 和 Q 等价于8k 2 4 1 k 2 4k 22 0 ， 2 解得 k 2或 k2 ．即 k 的取值范围为 ∞ ， 2 2，∞ ．22 22（Ⅱ）设 P(x 1，y 1 )，Q(x 2，y 2 ) ，则 OP OQ ( x 1x 2，y 1 y 2 ) ，由方程①， x 1 x 2 4 2k ．②1 2k 2又y 1y 2 k ( x 1 x 2 ) 2 2 ．③而 A( 2，0)， B(01，)，AB ( 21)， ．所以 OPOQ 与 AB 共线等价于 x 1 x 22( y 1 y 2 ) ，将②③代入上式，解得k2．2圆锥曲线中的典型问题与处理方法——数学之家出品22，故没有符合题意的常数 k ．由（Ⅰ）知 k 或 k2 2练习 1：（ 08 陕西卷 20）．（本小题满分12 分） 已知抛物线 C ： y 2x 2，直线 ykx2交C 于 A ，B 两点， M 是线段 AB 的中点，过 M 作 x 轴的垂线交 C 于点N ．（Ⅰ）证明：抛物线 C 在点 N 处的切线与 AB 平行；（Ⅱ）是否存在实数 k 使 NA NB 0，若存在，求 k 的值；若不存在，说明理由．解 法 一 ：（ Ⅰ ） 如 图 ， 设 A( x 1，2x 1 2 ) ， B(x 2，2x 2 2) ， 把y k x 2 代 入 y 2x 2得2x 2kx 2 0 ， 由韦达定理得 x 1 x 2 k ， x x 1 ， 2 1 2 x N x M x 1 x 2 k ， k k 2N 点的坐标为 ， ． yM2B1A2 4 4 8设抛物线在点 N 处的切线 l 的方程为 yk 2 m x k， 8 4 将 y 2x 2 代入上式得 2x 2 mx mk k 2 0 ， 4 8 直线 l 与抛物线 C 相切， m 2 8 mk k 2 m 2 2mk k 2 (m k) 20 ， 4 8 即 l ∥ AB ．（Ⅱ）假设存在实数 k ，使 NA NB 0，则 NA NB ，又 |MN | 1|AB|． 2 1 ( y 1 y 2 )1(kx 1 1[ k( x 1 由（Ⅰ）知 y M 2 kx 2 2) 2 2 2N x O 1m k ．M 是 AB 的中点，x 2 ) 4]1 k2 k 2． 2 4 2 2 4MN x 轴， | MN | |y My N | k 2 2 k 2 k 216 ．4 8 81 k2 |x1x2 | 1 k 2( x1x2 )24x1x2又|AB|圆锥曲线中的典型问题与处理方法——数学之家出品k 211 k 24(1) k2 1 k 2 16 ．22k216 1k2 1 k 216 ，解得k 2 ．8 4即存在 k 2，使 NA NB 0 ．解法二：（Ⅰ）如图，设A( x1，2x12 )， B( x2，2x22 ) ，把 y kx 2 代入 y 2x2得2x2kx 2 0 ．由韦达定理得x1x2k， x1 x2 1 ．2x N x M x1x2kN 点的坐标为k k 2．y 2x2y4x ，2，4，，4 8kk ，l ∥ AB ．抛物线在点 N 处的切线 l 的斜率为 44 （Ⅱ）假设存在实数k ，使 NA NB 0 ．由（Ⅰ）知NA x1k ，2k2，x2k ， 2 k2，则2x18NB42x284NA NB x1kx2k 2 k2 2 k2 4 42x182x28x1kx2k42 k2 2 k 2 4 4x116x216x1kx2k1 4 x1kx2k 4 4 4 4x x k x x k 2 1 4x x k( x x ) k 2 1 2 4 1 216 1 2 1 2 41 k k k2 1 4 ( 1) k k k24 2 16 2 41 k233k2 16 40，1 k 20 ， 3 3 k2 0 ，解得 k2 ．16 4圆锥曲线中的典型问题与处理方法——数学之家出品即存在 k2，使 NANB0 ． 练习 2.直线 ax-y = 1 与曲线 x 2 - 2y 2= 1相交于 P 、 Q 两点。
圆锥曲线的欣赏与探索
圆锥曲线的欣赏与探索[课件名称]圆锥曲线的欣赏与探索[课件设计]这是用几何画板4.06实行数学教学的一个探索式数学实验课的教学设计。
课件主要分为两局部：第一局部欣赏优美的几何画板图形，以激发学生强烈的学习兴趣；第二局部为利用几何画板实行数学问题的探索以培养学生的创新水平。
[课件操作]1.课件制作简洁,采用了分页显示，页与页之间跳转非常方便。
2.在每个子页里只要单击红色按纽即可. 按纽分为两种：(1)一种是双控按纽,此按纽单击一次为显示(动画)功能,再单击为隐藏(停止)功能;(2)一种是系列按纽即后面连着按纽"NEXT"的按纽,此种按纽的操作是：先单击前面的按纽,然后一步一步地单击"NEXT".直到这两个按纽都弹起为止.3.课件中设计了由学生参与制作局部[显示模式]1024*768[设计制作]赣州一中刘利剑（heishu800101@163)[制作脚本]第一局部：课题封面课件第一页：课题封面使用几何画板的可变参数控制运动线段的颜色制作出色彩鲜明的画面。
第二局部：课件说明课件第二页：课件说明纯文本，包括课件设计；课件操作；显示模式；设计制作人。
第三局部：曲线欣赏使用几何画板的可变参数控制追踪运动轨迹的颜色制作出色彩鲜明层次清晰的画面。
在这里主要是可变参数的“可变”是利用圆锥曲线的第一定义、二次函数、三角函数来控制的。
课件第三页：椭圆花纹欣赏课件第四页：双曲线花纹欣赏课件第五页：二次曲线花纹欣赏课件第六页：三角函数型花纹欣赏第四局部：探索性数学实验本局部通过一个学生十分熟悉的数学题构建一个探索模型，利用几何画板最强大的轨迹追踪功能实行有效有趣的数学探索实验。
课件第七页：[探索模型]圆A内有一定点B，圆上有一动点C，线段BC的垂直平分线交AC于点P.求点P的轨迹.此题是一道人人皆知的传统题,很容易找到解题的关键是“动点P到定点A,B 的距离之和等于定值”.但此题设计的四个“探索”把《几何画板》的优势表现得淋漓尽致,让学生真正有了全新的感觉，充分享受了数学美.略解：(1)作出精确且为动态的图形.详见课件中“作图指导(2)通过动态的图形得到结果.详见课件中“解答提示”(3)四个探索（分别链接到对应的子页）课件第八页：探索一:涉及到椭圆的焦点弦、椭圆的切线、椭圆的准线、椭圆的一个几何性质.课件第九页：探索二:把要求的点P换成了另外一个由点P确定的点K,使问题深入下去.课件第十页：探索三:一组非常有趣的探究(这也是传统教法无法做到的).把“鸭蛋线、导弹线、心脏线、眼球线”与椭圆联系.给我们带来了神奇数学美的享受.课件第十一页：探索四:揭示了椭圆和双曲线的一个内在联系,从而引出圆锥曲线的第二定义.第五局部：课堂小结课件第十二页：纯文本，本节课的小结。
神奇的圆锥曲线(动态图示)(62页)问题探究
神奇的圆锥曲线动态结构168杭州学军中学闻杰神奇的圆锥曲线动态结构目录一、神奇曲线，定义统一01．距离和差，轨迹椭双02．距离定比，三线统一二、过焦半径，相关问题03．切线焦径，准线作法04．焦点切线，射影是圆05．焦半径圆，切于大圆06．焦点弦圆，准线定位07．焦三角形，内心轨迹三、焦点之弦，相关问题08．焦点半径，倒和定值09．正交焦弦，倒和定值10．焦弦中垂，焦交定长11．焦弦投影，连线截中12．焦弦长轴，三点共线13．对焦连线，互相垂直14．相交焦弦，轨迹准线15．相交焦弦，角分垂直16．定点交弦，轨迹直线17．焦弦直线，中轴分比四、相交之弦，蝴蝶特征19．横点交弦，竖之蝴蝶20．纵点交弦，横之蝴蝶21．蝴蝶定理，一般情形五、切点之弦，相关问题22．主轴分割，等比中项23．定点割线，倒和两倍24．定点割线，内外定积25．主轴交点，切线平行六、定点之弦，张角问题26．焦点之弦，张角相等27．定点之弦，张角仍等28．对称之点，三点共线29．焦点切点，张角相等30．倾角互补，连线定角七、动弦中点，相关问题31．动弦中点，斜积定值32．切线半径，斜积仍定33．动弦中垂，范围特定34．定向中点，轨迹直径35．定点中点，轨迹同型八、向量内积，定值问题37．存在定点，内积仍定九、其它重要性质38．光线反射，路径过焦39．切线中割，切弦平行40．直周之角，斜过定点41．正交半径，斜切定圆42．直径端点，斜积定值43．垂弦端点，交轨对偶44．准线动点，斜率等差45．焦点切线，距离等比46．共轭点对，距离等积47．正交中点，连线定点48．顶点切圆，切线交准49．平行焦径，交点轨迹50．内接内圆，切线永保51．切线正交，顶点轨迹52．斜率定值，弦过定点53．直线动点，切弦定点54．与圆四交，叉连互补55．交弦积比，平行方等56．补弦外圆，切于同点57、焦点切长，张角相等58．斜率积定，连线过定59．切点连线，恒过定点60.焦点准线，斜率等差161.焦点准线，斜率等差21．距离和差，轨迹椭双问题探究1已知动点Q 在圆A ：22()4x y λ++=上运动，定点(,0)B λ，则 （1）线段QB 的垂直平分线与直线QA 的交点P 的轨迹是什么？实验成果动态课件定圆上一动点与圆内一定点的垂直平分线与其半径的交点的轨迹是椭圆 。
圆锥曲线的动态结构(1-44)
【分析】椭圆与双曲线的两焦点到切线的距离乘积为 .
【解析】记椭圆上一点 处切线 ，
则焦点到切线距离的乘积
圆锥曲线的动态结构（6）焦半径圆
【题目】已知动点 在 上， ，探究 是否为定值；
【分析】椭圆中以焦半径为直径的圆与以长轴为直径的圆内切
双曲线中以焦半径为直径的圆与以实轴为直径的圆相切
， ，
求点 轨迹.
【分析】圆锥曲线上一点处的切线与该点焦半径在对应焦点处的垂线的交点
的轨迹为准线.
【解析】由 可知 在椭圆点 处切线上，
（其中 表示 平分线方向）
记 ，则椭圆点 处切线
记 ，则
由 可得
联立 ， 即点 的轨迹方程 .
圆锥曲线的动态结构（4）焦点在切线上射影的轨迹
【题目】已知动点 在双曲线上 ，
【题目】过椭圆 左焦点
的直线 交椭圆于 两点，
分别为椭圆左右顶点，
点 ： , ，
点 ： , ，
证明： 为定值.
【分析】圆锥曲线焦点弦两端点分别与焦点所在直线上的两顶点的
连线交准线于点 ，则 .
【解析】记 ， ， ， ，
由 得 ，则 ，
由 ， 得到 ，
由 ， 得到 ，
从而 ，即 .
圆锥曲线的动态结构（20）相交焦点弦与准线的关系：三点共线
下证 为 平分线：
点
到 的距离 ，
到 的距离 ，
因此只需验证： ，
即 ，得证.
圆锥曲线的动态结构（22）相交定点弦与准线关系：三点共线
【题目】过椭圆 点 的
直线 分别交椭圆于
和 ，记 交 于点 ，
证明：点 的轨迹 .
【分析】由（20）中的焦点弦推广到定点弦
圆锥曲线定点问题ppt(共24张PPT)
xN＝84tt22－＋21，
yM＝4t12＋2t 9.
yN＝4t24＋t 1.
(10 分)
由椭圆的对称性可知这样的定点在 x 轴上，不妨设这个定
点为 Q(m，0)，
12t
4t
又 kMQ＝148t－24＋t28＋9t2－9 m，kNQ＝84tt224－ ＋t2＋21－1 m，
kMQ＝kNQ，所以化简得(8m－32)t2－6m＋24＝0，
第二步：探究一般情况．探究一般情形下的目标结论． 构建模板 解答圆锥曲线中的定点、定值问题的一般步骤 圆锥曲线中的定点问题 定点问题的常见解法：
与参数无关，故得到一个关于定点坐标的 (1)假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这
∴k＝－b，此时 Δ>0， ∴直线 l 的方程为 y＝k(x－1)， 即直线 l 过定点(1,0)．
【例 1】 (13 分)(2015·石家庄模拟)椭圆 C：xa22＋by22＝1(a＞b＞0) 的离心率为 23，过其右焦点 F 与长轴垂直的弦长为 1. (1)求椭圆C的方程；
(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A，B，点P是直线x＝1上的动 点，直线PA与椭圆的另一交点为M，直线PB与椭圆的另一交点为
(1)解 因为抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点坐标为(1，0)，
所以p2＝1，所以 p＝2.所以抛物线 C 的方程为 y2＝4x. (2)证明 ①当直线 AB 的斜率不存在时，设 At42，t， Bt42，－t.因为直线 OA，OB 的斜率之积为－12， 所以tt2·－t2t＝－12，化简得 t2＝32.
将 y＝kx＋b 代入 y2＝8x 中， 得 k2x2＋(2bk－8)x＋b2＝0， 其中 Δ＝－32kb＋64>0.
GeoGebra(2)圆锥曲线详解全文
GeoGebra 数学绘图教室(2) 圆锥曲线台北县立锦和高中陈禾凯在教到圆锥曲线这一章时，课本通常会介绍两种方法来画拋物线、椭圆、及双曲线，第一种是以同心圆作图纸来描点，第二种是根据定义来画。
本文简介利用数学绘图软件GeoGebra的个人教学经验，提供中学数学教师教学之参考。
一．同心圆作图纸(1)抛物线的作图纸：画出一组同心圆及一组并行线。
先在原点画出一点Ａ输入x= -1 (注意GeoGebra左边的代数字段会显示a:x=-1)输入指令sequence[Line[(i，0)，a]，i，1，10] 可以画出和a 平行的直线输入指令sequence[circle[A，i]，i，1，10]，可以画出以Ａ为圆心的同心圆(2)椭圆及双曲线的作图纸：画出两组同心圆先画出Ａ，Ｂ两点输入指令sequence[circle[A，i]，i，1，20]，可以画出以A为圆心的同心圆输入指令sequence[circle[B，i]，i，1，20]，可以画出以B为圆心的同心圆画出以上图形之后，滚动鼠标上的滚轮来调整图形的大小，再用把图摆到适当的位置，点选【档案-输出-绘图区到剪贴簿】，然后打开Ｗord，按Ctrl+V即可将所画好的图贴上去。
在课堂上发给同学们，在同心圆纸上描点钩勒出圆锥曲线轨迹点。
二．根据定义来画甲．拋物线定义: d(P，L)=d(P，F) 依据拋物线的定义作图，点P到焦点F与到准线Ｌ等距，i.e. d(P，L)=d(P，F)──以y2=4x为例，准线为L:x+1=0，焦点F为(1，0）──绘图步骤1.先画出准线L及焦点F2.在准线L上任选一点A，和焦点F连起来，画出一条线段AF3.画出线段AF的中垂线M4.画出和过A点且和准线L垂直的直线N5.标出M，N两条线的交点P6.要看P点的轨迹可以(1)在P上按鼠标右键，点选显示移动痕迹(2)或是用，在Ｐ点及Ａ点各点选一下7.(-动画教学-)乙．椭圆定义 :a PF PF 221=+ 椭圆上的点到两焦点的距离和为定值──以1162522=+y x 为例⎪⎩⎪⎨⎧===345c b a 即画 1021=+PF PF 的图形──绘图步骤1. 画出名称为F 1，F 2的两焦点(-3，0)， (3，0)2. 以F 1为圆心，半径为2a=10画一圆3. 圆周上任选一点，标示为A4. 连接21,5. 作2的中垂线 L6. 作1，L 两线的交点，标示为P7. 要看P 点的轨迹可以(1)在P 上按鼠标右键， 点选 显示移动痕迹 (2)或是用，在Ｐ点及Ａ点各点选一下8.(-动画教学-)丙．双曲线定义 : a PF PF 2||21=- 双曲线上的点到两焦点的距离差为定值以116922=-y x 为例⎪⎩⎪⎨⎧===543c b a 即画 6||21=-PF PF 绘图步骤1. 画出名称为F 1，F 2的两焦点(-5，0)，(5，0)2. 以F 1为圆心， 半径为2a=6画一圆3. 圆周上任选一点， 标示为A4. 画出直线1AF 及线段2AF5. 作2的中垂线 L (线段才有中垂线)6. 作1及L 两线的交点，标示为P7. 要看P 点的轨迹可以(1)在P 上按鼠标右键， 点选 显示移动痕迹 (2)或是用，在Ｐ点及Ａ点各点选一下8.(-动画教学-)(-动画教学-)四、数学题目中的图形甲、拋物线(-动画教学-) 依据大考中心的研究结果显示，当年的考生对此题的应答情形是惨不忍睹，究其原因是目前的高中数学教学偏重于代数计算，对于圆锥曲线的作图法，课本虽有提及，但实际教学时也是匆匆带过。
神奇的圆锥曲线(62页)问题探究_PDF压缩
。
问题探究 2 已知定点 A(1, 0) ，定直线 l1 ： x 3 ，动点 N 在直线 l1 上，过点 N 且与 l1 垂直的直 线 l2 上有一动点 P，满足
PA PN ，请讨论点 P 的轨迹类型。
10
神奇的圆锥曲线动态结构 168
3．切线焦径，准线作法
- 11-
实验成果
动态课件
- 5-
5
神奇的圆锥曲线动态结构 168
35．定点中点，轨迹同型 八、向量内积，定值问题 36．焦弦张角，内积定值 37．存在定点，内积仍定 九、其它重要性质 38．光线反射，路径过焦 39．切线中割，切弦平行 40．直周之角，斜过定点 41．正交半径，斜切定圆 42．直径端点，斜积定值 43．垂弦端点，交轨对偶 44．准线动点，斜率等差 45．焦点切线，距离等比 46．共轭点对，距离等积 47．正交中点，连线定点 48．顶点切圆，切线交准 49．平行焦径，交点轨迹 50．内接内圆，切线永保 51．切线正交，顶点轨迹 52．斜率定值，弦过定点 53．直线动点，切弦定点 54．与圆四交，叉连互补
PA QB PB 0, QP ( PA PB ) 0 ，求动点 Q 的轨迹方程。 PB
11
神奇的圆锥曲线动态结构 168
4．焦点切线，射影是圆
- 12-
实验成果
动态课件
焦点在椭圆切线上的射影 轨迹是以长轴为直径的圆
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神奇的圆锥曲线动态结构 168
5．焦半径圆，切于大圆 实验成果
- 13-
动态课件
以焦半径为直径的圆必与 长轴为直径的圆（此圆（简 称“大圆” ）与椭圆内切， ） 相切 以焦半径为直径的圆必与 实轴为直径的圆（此圆（此 圆（简称“小圆” ）与双曲 线外切）相切 。 以焦半径为直径的圆必与 切于抛物线顶点处的直线 （此圆无穷大（实为顶点处 的切线）与曲线外切）相切 问题探究 5
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闻杰科研成果
神奇的圆锥曲线动态结构 168
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操作说明
本部分可以让你快速浏览本书所有动态课件的概貌，每页下面附 有一个问题探究，它可以让你发挥自己的聪明才智，大胆想象动态过 程中可能出现的漂亮结果，当你遇到困难时你随时可以启动随带的光 盘（只要选中相应图示，按住 CTRL 单击图片，即可打开动画，动 画中的点 A 均为可拖动），验证自己的设想，同时，也可以通过动态 运行，启发你的思路，观察发现一些新的结论，达到以美启真的功效， 让你更加聪明。
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闻杰科研成果
神奇的圆锥曲线动态结构 168
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问题探究 11
已知椭圆
x2 4
y2 3
1， F1 为椭圆之左焦点，过点 F1 的直线 l1 交椭圆于
A，B
两点，
直线 l2 x 4 交 x 轴于点 G，点 A, B 在直线 l2 上的射影分别是 N, M ，设直线 AM , BN
PA PN
，请讨论点 P 的轨迹类型。
3．切线焦径，准线作法
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闻杰科研成果
神奇的圆锥曲线动态结构 168
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实验成果 动态课件
椭圆上的一点处的切线与该
点的焦半径的过相应焦点的
垂线的交点的轨迹为椭圆相
应之准线
双曲线上的一点处的切线与 该点的焦半径的过相应焦点 的垂线的交点的轨迹为双曲 线相应之准线
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闻杰科研成果
神奇的圆锥曲线动态结构 168
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求出 的值，若不存在，请说明理由.
7．焦三角形，内心轨迹
实验成果
动态课件
椭圆焦点三角形的内切圆圆心
轨迹是以原焦点为顶点的椭圆
双曲线焦点三角形的内切圆圆 心轨迹是以过双曲线实顶点的 两条平行且垂直于实轴的开线 段(长为 2b)
抛物线焦点三角形(另一焦点在
神奇的圆锥曲线动态结构 168
- 16-
的内切圆，探究圆G 是否过定点，并证明之。
8．焦点半径，倒和定值
实验成果
动态课件
椭圆的焦点弦的两个焦半径
倒数之和为常数
1 12 BF1 + AF1 = ep
双曲线的焦点弦的两个焦半 径倒数之和为常数
AB在同支 | 1 1 | 2 | AF1 | | BF1 | ep
4
闻杰科研成果
神奇的圆锥曲线动态结构 168
- 5-
15．相交焦弦，角分垂直
16．定点交弦，轨迹直线
17．焦弦直线，中轴分比
18．对偶焦弦，比和定值
四、相交之弦，蝴蝶特征
19．横点交弦，竖之蝴蝶
20．纵点交弦，横之蝴蝶
21．蝴蝶定理，一般情形
五、切点之弦，相关问题
22．主轴分割，等比中项
23．定点割线，倒和两倍
- 4-
神奇的圆锥曲线 动态结构 目录
一、神奇曲线，定义统一 01．距离和差，轨迹椭双 02．距离定比，三线统一 二、过焦半径，相关问题 03．切线焦径，准线作法 04．焦点切线，射影是圆 05．焦半径圆，切于大圆 06．焦点弦圆，准线定位 07．焦三角形，内心轨迹 三、焦点之弦，相关问题 08．焦点半径，倒和定值 09．正交焦弦，倒和定值 10．焦弦中垂，焦交定长 11．焦弦投影，连线截中 12．焦弦长轴，三点共线 13．对焦连线，互相垂直 14．相交焦弦，轨迹准线
椭圆中以焦点弦为直径的 圆必与准线相离
双曲线中以焦点弦为直径 的圆必与准线相交 。
抛物线中以焦点弦为直径 的圆必与准线相切
。 问题探究 6 过抛物线 x2 4y 上不同两点 A、B 分别作抛物线的切线相交于 P 点，PA PB 0.
（1）求点 P 的轨迹方程； （2）已知点 F（0，1），是否存在实数 使得 FA FB (FP)2 0 ？若存在，
AB在异支 | 1 1 | 2 | AF1 | | BF1 | ep
。 抛物线的焦点弦的两个焦半 径倒数之和为常数
1 12 BF + AF = ep
问题探究 8
已知椭圆
x2 4
y2 3
1，F1 为椭圆之左焦点，过点
F1 的直线交椭圆于
A，B
两点，是
16
闻杰科研成果
神奇的圆锥曲线动态结构 168
无穷远处)的内切圆圆心轨迹是
以原抛物线焦点为顶．已知动点
P
在椭圆
x2 4
y2 3
1上， F1, F2
为椭圆之左右焦点，点 G
为 F1PF2
的内
心，试求点G 的轨迹方程。
2．已知动点
P
在双曲线
x2 4
y2 3
1上， F1, F2
为双曲线之左右焦点，圆 G
是 F1PF2
15
闻杰科研成果
QB(
PA
PB
)
0 ， QP (
PA
PB
)
0 ，求动点
Q
的轨迹方程。
PA PB
PA PB
12
闻杰科研成果
神奇的圆锥曲线动态结构 168
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5．焦半径圆，切于大圆
实验成果 动态课件 以焦半径为直径的圆必与 长轴为直径的圆（此圆（简 称“大圆”）与椭圆内切，） 相切 以焦半径为直径的圆必与 实轴为直径的圆（此圆（此 圆（简称“小圆”）与双曲 线外切）相切 。 以焦半径为直径的圆必与 切于抛物线顶点处的直线 （此圆无穷大（实为顶点处 的切线）与曲线外切）相切
24．定点割线，内外定积
25．主轴交点，切线平行
六、定点之弦，张角问题
26．焦点之弦，张角相等
27．定点之弦，张角仍等
28．对称之点，三点共线
29．焦点切点，张角相等
30．倾角互补，连线定角
七、动弦中点，相关问题
31．动弦中点，斜积定值
32．切线半径，斜积仍定
5
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神奇的圆锥曲线动态结构 168
几何画板 5.01 中文破解版.exe 下载地址
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闻杰科研成果
神奇的圆锥曲线动态结构 168
问题探究 5
1．已知动点
P
在椭圆
x2
y2
1上，F
为椭圆之焦点，PM
FM
0
，探究 2
OM
PF
43
是否为定值
2．已知点
P
在双曲线
x2
y2
1 上，F
为双曲线之焦点，
PM
FM
0
，探究
43
2 OM PF 是否为定值
13
闻杰科研成果
神奇的圆锥曲线动态结构 168
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6．焦点弦圆，准线定位 实验成果 动态课件
- 17-
否存在实常数 ，使 AB FAFB 恒成立。并由此求 AB 的最小值。（借用柯西不
等式）
9．正交焦弦，倒和定值
实验成果
动态课件
椭圆互相垂直的焦点弦倒数之
和为常数
1 1 2 e2 | AB | | CD | 2ep
。
双曲线互相垂直的焦点弦倒数
之和为常数
1 1 | 2 e2 | | AB | | CD | 2ep
抛物线互相垂直的焦点弦倒数 之和为常数
1 1 2 e2 | AB | | CD | 2ep
问题探究 9
已知椭圆
x2 4
y2 3
1，
F1 为椭圆之左焦点，过点
F1 的直线 l1,l2 分别交椭圆于
A，B
17
闻杰科研成果
神奇的圆锥曲线动态结构 168
- 18-
两点，和 C，D 两点，且 l1 l2 ，是否存在实常数 ，使 AB CD AB CD 恒成
- 6-
33．动弦中垂，范围特定
34．定向中点，轨迹直径
35．定点中点，轨迹同型
八、向量内积，定值问题
36．焦弦张角，内积定值
37．存在定点，内积仍定
九、其它重要性质
38．光线反射，路径过焦
39．切线中割，切弦平行
40．直周之角，斜过定点
41．正交半径，斜切定圆
42．直径端点，斜积定值
43．垂弦端点，交轨对偶
（1）线段 QB 的垂直平分线与直线 QA 的交点 P 的轨迹是什么？
（2）若 BM tMQ ，直线 l 过点 M 与直线 QA 的交于点 P ，且 BM MP 0 ，则点 Q 的
轨迹又是什么？
2．距离定比，三线统一
9
闻杰科研成果
神奇的圆锥曲线动态结构 168
- 10-
实验成果 动态课件 动点到一定点与到一定直线 的距离之比为小于 1 的常数， 则动点的轨迹是椭圆━━━
。 动点到一定点与到一定直线 的距离之比为大于 1 的常数， 则动点的轨迹是双曲线
。
动点到一定点与到一定直线 的距离之比为等于 1 的常数， 则动点的轨迹是抛物线
。
问题探究 2
已知定点 A(1, 0) ，定直线 l1 ： x 3 ，动点 N 在直线 l1 上，过点 N 且与 l1 垂直的直
线l2 上有一动点 P，满足
闻杰科研成果
神奇的圆锥曲线动态结构 168
神- 1-
奇
的
圆
锥
曲
线
动
态
结
构
杭 州 学 军 中 学 闻 杰
168
1
闻杰科研成果
神奇的圆锥曲线动态结构 168
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说明：本系列第一部分（1-20）课件于 2006 年获教育部中央教科所全 国课件大赛一等奖，2007 年由教育部主管清华大学主办中国多媒体教学学报 电子版连载 6 期发表．现已完善至(21-61)共 168 个案例。