实变函数试题库(4)及参考答案

1. 零测集上的函数是可测函数. 2. 可列个闭集的并集仍为闭集 3. 任何无限集均含有一个可列子集
（
）
（）
（）
4. 设 E 为可测集，则一定存在 G 集 G ，使 E G ，且 m G \ E 0 .
（
）
五、定义题 1. 为什么说有界变差函数几乎处处可微？
2. 简述无穷多个开集的交集是否必为开集？
a.e
存在fn (x)的子列 fnk (x) ,使得 fnk (x) f (x) (x E) .
7.设 f (x) 为可测集 E ( Rn )上的可测函数,则 f (x) 在 E 上的 L 积分值
| f (x) | 在 E 上
L 可积.（填“一定”“不一定”）
存在且
8.若 f (x) 是[a,b] 上的绝对连续函数,则 f (x) 是[a,b] 上的有
二、选择题
1．设 E x, 0 0 x 1，则（ ）
A mE 1
B mE 0
C E 是 R 2 中闭集
D E 是 R 2 中完备集
2．设 f x， g x是 E 上的可测函数，则（ ）
A 、 E x f x g x 不一定是可测集
B 、 E x f x g x 是可测集
C 、 E x f x g x 是不可测集
lim
n
0,
fn
x dx 0
故 lim ln x nex cos xdx 0 .
n 0,n
n
七、证明题
2.答：不一定，如
I
n1
1
1 n
,
1
1 n
1,1
3.答：简单函数必是可测函数但可测函数不一定是简单函数，可测函数一定可表示成简单 函数列的极限形式.
4.答：单调函数必为有界变差函数但有界变差函数不一定为单调函数，有界变差函数可表 示成单调函数之差.
六、解答题
1.解：因为 mP 0 ，所以 f x x, a.e 于0,1
fn
xdx
因为
fn x
ln x nex cos x
n
ln
x
n
,
x
0,
,
n
1,
2,L
n
不难验证
gn
x
ln
x
n
n
，当
n
足够大时，是单调递减非负函数，且
lim
n
g
n
x
0
，所以
ln x n
lim
n 0,
n
dx
lim
n
0,
gn
x
dx
lim
0, n
gn
x
0dx 0
0,
由勒贝格控制收敛定理
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实变函数试题库及参考答案（4） 本科
一、填空题
1.等于 2.闭集. 3.(a,b) G 4. 5. 6.黎斯 7.不一定 不一定 8.界变差函数.
2、单选题 1.B 2.B 3.A 4.B 3、多选题 1.BD 2.CD 3.BD 4.ABC 四、判断题
√×√√ 五、定义题 1.答：由若当分解定理，有界变差函数可表示成两个单调增函数的差，而单调函数几乎处 处可微，所以有界变差函数几乎处处可微.
4.设 A 为无限集.则 A 的基数 A __ a (其中 a 表示自然数集 N 的基数)
5.设 E1, E2 为可测集, mE2 ,则 m(E1 \ E2 ) __ mE1 mE2 .
6.设fn (x)为可测集 E 上的可测函数列,且 fn (x) f (x), x E ,则由______定理可知得,
2．设 f (x), g(x) 是 E 上 L 可积函数，则 f 2 (x) g 2 (x) 在 E 上也是 L 可积的
3．设 f (x) 是可测集 E 上的非负可测函数，如果 f (x)dx 0 ，则 f (x) 0 a.e 于 E E
4．证明等式： A \ (B UC) ( A \ B) I ( A \ C)
集 3．下列集合关系成立的是（ ）
A、 ( A \ B) U B A U B
D 、 E x f x g x 不一定是可测
B、 ( A \ B) U B A
C、 (B \ A) U A A
4. 若 E Rn 是开集，则 （
）
D、 B \ A A
A、 E 的导集 E E
3. 可测集 E 上的可测函数与简单函数有什么关系？
4. a, b 上的有界变差函数与单调函数有什么关系？
六、计算题
7.
设
f
x
sin x
x
3
x
xP
0,1\
P
，
P
为康托集，求
0,1
f
xdx
.
8. 求 lim ln x nex cos xdx .
n 0,n
n
七、证明题
1．设 fn (x), gn (x), f (x), g(x) 是 E 上几乎处处有限的可测函数，且 fn (x) f (x) ， gn (x) g(x) ，则 fn (x) gn (x) f (x) g(x)
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一、填空题
1.设 A, B 为两个集合,则 A B __ A I Bc . 2.设 E Rn ,如果 E 满足 E E (其中 E 表示 E 的导集),则 E 是 3.若开区间 ( , ) 为直线上开集 G 的一个构成区间,则 ( , ) 满(i（) a, b） G (ii) a G,b G
A、 m*E 可以等于０ B、 m*E 0 C、 E 可能是可数集 D、 E 不可能是可数集
4．设 E [a, b]是可测集，则 E 的特征函数 E (x) 是（
）
A、[a, b] 上的符号函数
C、 E 上的连续函数
B、[a, b] 上的可测函数
D、[a, b] 上的连续函数
四、判断题
B、 E 的开核 E
三、多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案）
C、 E E
1．设 f x是a,b上有界函数，且 L 可积，则（
）
D、 E 的导集
A f x在a,b上黎曼可积
B f x在a,b上可测
C f x在a,b上几乎处处连续
D f x在a,b上不一定连续
2. 设 E {[0,1]中的无理点} ,则( ) A、 E 是可数集 B、 E 是闭集 C、 E 中的每个点均是聚点 D、 mE 0 3. 若 E ( R )至少有一个内点，则（ ）
于是 f xdx xdx 而 x 在0,1上连续，所以
0,1
0,1
xdx R
0,1
1 x2dx
0
x2 2
|10
1 2
因此 f xdx 1 .
0,1
2
2.解：令
fn
x
0,n
x ln
x
n
nex
cos
x
显然 fn x在 0, 上可测，且
0,n
ln
x
n
n
e
x
cos
xdx
0,