数列求和课件
合集下载
课件4：6.4 数列求和
若干项． ❖ (4)倒序相加法 ❖ 把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的
推导过程的推广． ❖ (5)错位相减法 ❖ 主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数
列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广．
❖ (6)并项求和法
❖ 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求 和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．
活学活用 2 (2015·黑龙江哈尔滨三模)已知数列{an}的各
项均为正数，前 n 项和为 Sn，且 Sn＝ana2n＋1，n∈N＋.
(1)求证：数列{an}是等差数列；
(2)设 bn＝21Sn，Tn＝b1＋b2＋…＋bn，求 Tn.
(1)证明：∵2Sn＝a2n＋an.
①
当 n＝1 时，2a1＝a21＋a1，∵a1＞0，∴a1＝1.
第六章 数 列
6.4 数列求和
考纲要求
❖ 1．熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式． ❖ 2．掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法． ❖ 3．能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并
能用相关知识解决相应的问题．
[要点梳理] 1．求数列的前 n 项和的方法 (1)公式法 ①等差数列的前 n 项和公式 Sn＝na12＋an＝na1＋nn2－1d.
即(an＋an－1)(an－an－1－3)＝0.
∵an＋an－1＞0，∴an－an－1＝3(n≥2)．
❖ 当a1＝2时，a2＝5，a6＝17，此时a1，a2，a6不成等比数列， ∴a1≠2；
❖ 当a1＝1时，a2＝4，a6＝16，此时a1，a2，a6成等比数列， ❖ ∴a1＝1. ❖ ∴an＝3n－2，bn＝4n－1. ❖ (2)由(1)得 ❖ Tn＝1×4n－1＋4×4n－2＋…＋(3n－5)×41＋(3n－2)×40，③ ❖ ∴4Tn＝1×4n＋4×4n－1＋7×4n－2＋…＋(3n－2)×41. ④ ❖ 由④－③，得
《数列求和》课件
《数列求和》PPT课件
数列求和 PPT课件大纲
介绍
数列是数学中的重要概念，我们将探讨数列的定义和性质，以及数列求和的意义与公式
了解等差数列的定义和公式，能够根据公式计算等差数列的求和。
2
推导与应用
探究等差数列求和公式的推导过程，并学会利用公式解决实际问题。
3
实例演练
通过实例演练，加深对等差数列求和的理解和应用能力。
深入推导斯特林公式，掌握其原 理和推到过程。
应用示例
探索斯特林公式在数学和科学中 的实际应用，并解决相关问题。
零阶贝塞尔函数
1
定义与性质
学习零阶贝塞尔函数的定义和性质，了解其在数学和物理领域的重要作用。
2
公式推导
深入推导零阶贝塞尔函数的公式，掌握其基本原理。
3
应用案例
研究零阶贝塞尔函数在实际问题中的应用，加深对其应用场景的理解。
总结
数列求和在数学中具有重要的地位，掌握各种数列求和公式的区别和应用， 能够进一步拓展数列求和的研究方向。
等比数列求和
定义与公式
了解等比数列的定义和公式， 能够根据公式计算等比数列 的求和。
推导与应用
探究等比数列求和公式的推 导过程，并学会利用公式解 决实际问题。
实例演练
通过实例演练，加深对等比 数列求和的理解和应用能力。
斯特林公式
定义与定理
学习斯特林公式的定义和定理， 了解其在数学中的重要性。
推导过程
数列求和 PPT课件大纲
介绍
数列是数学中的重要概念，我们将探讨数列的定义和性质，以及数列求和的意义与公式
了解等差数列的定义和公式，能够根据公式计算等差数列的求和。
2
推导与应用
探究等差数列求和公式的推导过程，并学会利用公式解决实际问题。
3
实例演练
通过实例演练，加深对等差数列求和的理解和应用能力。
深入推导斯特林公式，掌握其原 理和推到过程。
应用示例
探索斯特林公式在数学和科学中 的实际应用，并解决相关问题。
零阶贝塞尔函数
1
定义与性质
学习零阶贝塞尔函数的定义和性质，了解其在数学和物理领域的重要作用。
2
公式推导
深入推导零阶贝塞尔函数的公式，掌握其基本原理。
3
应用案例
研究零阶贝塞尔函数在实际问题中的应用，加深对其应用场景的理解。
总结
数列求和在数学中具有重要的地位，掌握各种数列求和公式的区别和应用， 能够进一步拓展数列求和的研究方向。
等比数列求和
定义与公式
了解等比数列的定义和公式， 能够根据公式计算等比数列 的求和。
推导与应用
探究等比数列求和公式的推 导过程，并学会利用公式解 决实际问题。
实例演练
通过实例演练，加深对等比 数列求和的理解和应用能力。
斯特林公式
定义与定理
学习斯特林公式的定义和定理， 了解其在数学中的重要性。
推导过程
课件3：6.4 数列求和
(2)由(1)知a2n－11a2n＋1＝3－2n11－2n ＝12(2n1－3－2n1－1)， 从而数列a2n－11a2n＋1的前 n 项和为12(－11－11＋11－13＋… ＋2n1－3－2n1－1)＝1－n2n.
三 错位相减法求和
【例 3】(2013·湖南)设 Sn 为数列{an}的前项和，已知 a1≠0,2an－a1＝S1·Sn，n∈N*
【跟踪训练 2】 已知等差数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 S3 ＝0，S5＝－5.
(1)求{an}的通项公式； (2)求数列{a2n－11a2n＋1}的前 n 项和．
解析：(1)设{an}的公差为 d， 则 Sn＝na1＋nn－2 1d. 由已知可得35aa11＋＋31d0＝d＝0－5 ，解得ad1＝＝－1 1 . 故{an}的通项公式为 an＝2－n.
(2)因为 an＝n，所以 a1＝1，Sn＝1＋2＋…＋n＝nn＋2 1， 所以S1n＝nn2＋1＝2(1n－n＋1 1)， 所以S11＋S12＋…＋S1n
＝2[(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n－n＋1 1)] ＝2(1－n＋1 1)＝n2＋n1.
【温馨提示】使用裂项相消法求和时，要注意正负项 相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消 去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正 负相消是此法的根源与目的．
(1)证明：数列ann是等差数列； (2)设 bn＝3n· an，求数列{bn}的前 n 项和 Sn.
解析：(1)证明：由已知可得na＋n＋11＝ann＋1， 即na＋n＋11－ann＝1， 所以ann是以a11＝1 为首项，1 为公差的等差数列．
(2)由(1)得ann＝1＋(n－1)·1＝n，所以 an＝n2. 从而 bn＝n·3n. Sn＝1×31＋2×32＋3×33＋…＋n·3n，① 3Sn＝1×32＋2×33＋…＋(n－1)·3n＋n·3n＋1.② ①－②得，－2Sn＝31＋32＋…＋3n－n·3n＋1
第讲数列的求和精选课件
若一个数列是由等比数列或是等差数列组成，以 考查公式为主，可先分别求和，再将各部分合并，这就是我们说 的分组求和．
【互动探究】 1．(2019 年陕西)已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，
且 a1，a3，a9 成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{2 a n}的前 n 项和 Sn.
4．数列 112，214，318，…，n＋21n，…的前 n 项和 Sn＝______ __12_n_(n_＋__1_)_＋__1_－__21_n___.
5．数列{an}的通项公式 an＝
1 n＋
n＋1，若前
n
项的和为
10，
则项数 n＝___1_2_0___.
考点1 利用公式或分组法求和
例1：(2011 年重庆)设{an}是公比为正数的等比数列，a1＝2， a3＝a2＋4.
数列求和常用的方法
1．公式法 (1)等差数列{an}的前
n
项和公式：Sn＝nnaa1＋ 12＋nann2－，1d.
(2)等比数列{an}的前n项和Sn：①当q＝1时，Sn＝__n_a_1_；
a11－qn
a1－anq
②当 q≠1 时，Sn＝____1_－__q___＝____1_－__q__.
2．分组求和法 把一个数列分成几个可以直接求和的数列． 3．错位相减法 适用于一个等差数列和等比数列对应项相乘构成的数列求 和． 4．裂项相消法 有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消 去中间项，只剩有限项再求和．
解析：(1)P1(－1,0)，an＝n－2，bn＝2n－2. (2)f(n)＝n2－ n－2， 2，n为 n为奇偶数数，. 假设存在符合条件． ①若 k 为偶数，则 k＋5 为奇数． 有 f(k＋5)＝k＋3，f(k)＝2k－2. 如果 f(k＋5)＝2f(k)－2，则 k＋3＝4k－6⇒k＝3 与 k 为偶数矛 盾．故不符(舍去)． ②若 k 为奇数，则 k＋5 为偶数， 有 f(k＋5)＝2k＋8，f(k)＝k－2. ∴2k＋8＝2(k－2)－2 这样的 k 也不存在． 综上所述：不存在符合条件的 k.
【互动探究】 1．(2019 年陕西)已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，
且 a1，a3，a9 成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{2 a n}的前 n 项和 Sn.
4．数列 112，214，318，…，n＋21n，…的前 n 项和 Sn＝______ __12_n_(n_＋__1_)_＋__1_－__21_n___.
5．数列{an}的通项公式 an＝
1 n＋
n＋1，若前
n
项的和为
10，
则项数 n＝___1_2_0___.
考点1 利用公式或分组法求和
例1：(2011 年重庆)设{an}是公比为正数的等比数列，a1＝2， a3＝a2＋4.
数列求和常用的方法
1．公式法 (1)等差数列{an}的前
n
项和公式：Sn＝nnaa1＋ 12＋nann2－，1d.
(2)等比数列{an}的前n项和Sn：①当q＝1时，Sn＝__n_a_1_；
a11－qn
a1－anq
②当 q≠1 时，Sn＝____1_－__q___＝____1_－__q__.
2．分组求和法 把一个数列分成几个可以直接求和的数列． 3．错位相减法 适用于一个等差数列和等比数列对应项相乘构成的数列求 和． 4．裂项相消法 有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消 去中间项，只剩有限项再求和．
解析：(1)P1(－1,0)，an＝n－2，bn＝2n－2. (2)f(n)＝n2－ n－2， 2，n为 n为奇偶数数，. 假设存在符合条件． ①若 k 为偶数，则 k＋5 为奇数． 有 f(k＋5)＝k＋3，f(k)＝2k－2. 如果 f(k＋5)＝2f(k)－2，则 k＋3＝4k－6⇒k＝3 与 k 为偶数矛 盾．故不符(舍去)． ②若 k 为奇数，则 k＋5 为偶数， 有 f(k＋5)＝2k＋8，f(k)＝k－2. ∴2k＋8＝2(k－2)－2 这样的 k 也不存在． 综上所述：不存在符合条件的 k.
数列的求和优秀课件
aS a 2 a 3 a ( n 1 ) a n n
2 3 4
n
n 1
( 1 a ) S a a 1
a ( 1 a) na 若 a 1 , 则 S n 2 ( 1 a ) 1 a
1 1 1 a n n ( n 1 ) n n 1 1 1 1 1 a ( ) n ( 2 n 1 )( 2 n 1 ) 2 2 n 12 n 1
1 1 1 1 a [( )] n n ( n 1 )( n 2 )2 n ( n 1 )( n 1 )( n 2 )
常数)，
且
的值； 的前n项的和 S
n
的
10.设数列 a n 满足
2 n 1
（Ⅰ）求数列 n a n 的通项； b b n （Ⅱ）设 求数列 n an
的前 n 项和 S
n
n a 3 a 3 a … 3a 1 2 3 n 3
aN
*
.
19、一个人的理想越崇高，生活越纯洁。 20、非淡泊无以明志，非宁静无以致远。 21、理想是反映美的心灵的眼睛。 22、人生最高之理想，在求达于真理。 便有了文明。 24、生当做人杰，死亦为鬼雄。 25、有理想的、充满社会利益的、具有明确目的生活是世界上最美好的和最有意义的生活。 26、人需要理想，但是需要人的符合自然的理想，而不是超自然的理想。 27、生活中没有理想的人，是可怜的。 28、在理想的最美好的世界中，一切都是为美好的目的而设的。 29、理想的人物不仅要在物质需要的满足上，还要在精神旨趣的满足上得到表现。 30、生活不能没有理想。应当有健康的理想，发自内心的理想，来自本国人民的理想。 31、理想是美好的，但没有意志，理想不过是瞬间即逝的彩
2025高考数学一轮复习-6.4-数列求和【课件】
【解析】 ∵an＝nn1＋1＝1n－n＋1 1 ∴数列{an}的前 n 项和 Sn＝1－n＋1 1＝n＋n 1 又 Sn＝22001290，∴n＝2019，故选 B.
易错易混 4．在数列{an}中，已知 an＝n＋11n＋3(n∈N*)，则{an}的前 n 项和 Sn＝
_____12__56_－__n_＋1__2_－__n_＋1__3_ ______. 【解析】 ∵an＝n＋11n＋3＝12n＋1 1－n＋1 3， ∴Sn＝1212－14＋13－15＋14－16＋15－17＋…＋n＋1 1－n＋1 3 ＝1212＋13－n＋1 2－n＋1 3 ＝1256－n＋1 2－n＋1 3.
第六章 数列
第四节 数列求和
课前双基巩固
——整合知识 夯实基础
『知识聚焦』 1．公式法 (1)等差数列{an}的前 n 项和 Sn＝na12＋an＝na1＋nn－2 1d. 推导方法：倒序相加法．
na1，q＝1， (2)等比数列{an}的前 n 项和 Sn＝a111－－qqn，q≠1. 推导方法：乘公比， 错位相减法 ．
6．若{log2an}是首项为 1，公差为 2 的等差数列，则数列{nan}的前 n 项和为 _S_n_＝__2_＋__6_n_9－__2__·4_n_．
【解析】 由题意可得 log2an＝1＋2(n－1)＝2n－1， ∴an＝22n－1＝2·4n－1，∴nan＝2n·4n－1， ∴数列{nan}的前 n 项和 Sn＝2(1×40＋2×41＋3×42＋…＋n×4n－1)， ∴12Sn＝1×40＋2×41＋3×42＋…＋n×4n－1， ∴2Sn＝1×41＋2×42＋3×43＋…＋n×4n，
课堂考点突破
——精析考题 提升能力
考点一 分组转化求和 【例 1】 已知数列{an}满足 a1＝1，an＋an－1＝2n(n≥2，n∈N*)． (1)记 bn＝a2n，求数列{bn}的通项公式； (2)求数列{an}的前 n 项和 Sn.
易错易混 4．在数列{an}中，已知 an＝n＋11n＋3(n∈N*)，则{an}的前 n 项和 Sn＝
_____12__56_－__n_＋1__2_－__n_＋1__3_ ______. 【解析】 ∵an＝n＋11n＋3＝12n＋1 1－n＋1 3， ∴Sn＝1212－14＋13－15＋14－16＋15－17＋…＋n＋1 1－n＋1 3 ＝1212＋13－n＋1 2－n＋1 3 ＝1256－n＋1 2－n＋1 3.
第六章 数列
第四节 数列求和
课前双基巩固
——整合知识 夯实基础
『知识聚焦』 1．公式法 (1)等差数列{an}的前 n 项和 Sn＝na12＋an＝na1＋nn－2 1d. 推导方法：倒序相加法．
na1，q＝1， (2)等比数列{an}的前 n 项和 Sn＝a111－－qqn，q≠1. 推导方法：乘公比， 错位相减法 ．
6．若{log2an}是首项为 1，公差为 2 的等差数列，则数列{nan}的前 n 项和为 _S_n_＝__2_＋__6_n_9－__2__·4_n_．
【解析】 由题意可得 log2an＝1＋2(n－1)＝2n－1， ∴an＝22n－1＝2·4n－1，∴nan＝2n·4n－1， ∴数列{nan}的前 n 项和 Sn＝2(1×40＋2×41＋3×42＋…＋n×4n－1)， ∴12Sn＝1×40＋2×41＋3×42＋…＋n×4n－1， ∴2Sn＝1×41＋2×42＋3×43＋…＋n×4n，
课堂考点突破
——精析考题 提升能力
考点一 分组转化求和 【例 1】 已知数列{an}满足 a1＝1，an＋an－1＝2n(n≥2，n∈N*)． (1)记 bn＝a2n，求数列{bn}的通项公式； (2)求数列{an}的前 n 项和 Sn.
第四节 数列求和 课件(共48张PPT)
－
1 n＋3
）＝
1 2
56－n＋1 2－n＋1 3. 答案：1256－n＋1 2－n＋1 3
考点1 分组转化法求和 [例1] （2020·焦作模拟）已知{an}为等差数列，且 a2＝3，{an}前4项的和为16，数列{bn}满足b1＝4，b4＝ 88，且数列{bn－an}为等比数列. （1）求数列{an}和{bn－an}的通项公式； （2
an＝n（n1＋k）型
[例2] （2020·中山七校联考）已知数列{an}为公差 不为0的等差数列，满足a1＝5，且a2，a9，a30成等比数列.
（1）求{an}的通项公式； （2）若数列{bn}满足bn＋1－bn＝an（n∈N*），且b1＝
3，求数列b1n的前n项和Tn.
1.裂项时常用的三种变形.
（1）n（n1＋1）＝n1－n＋1 1.
（2）n（n1＋2）＝12n1－n＋1 2.
（3）（2n－1）1（2n＋1）＝122n1－1－2n1＋1.
（4）
1 n＋
n＋1＝
n＋1－
n.
2.应用裂项相消法时，应注意消项的规律具有对称 性，即前面剩第几项则后面剩倒数第几项.
3.在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为 参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.
） B. 2 020－1
C. 2 021－1 D. 2 021＋1
解析：由f（4）＝2，可得4α＝2，解得α＝12，
则f（x）＝ x.
所以an＝
1 f（n＋1）＋f（n）
＝
1 n＋1＋
＝ n
n＋1 －
n，
所以S2 020＝a1＋a2＋a3＋…＋a2 020＝（ 2 － 1 ）＋ （ 3－ 2）＋（ 4－ 3）＋…＋（ 2 021－ 2 020）＝
数列求和的几种方法课件ppt
２、设法消去中间项:
（2）乘公比,错位相减(对“A·G”型);
（3）裂通项,交替相消
1、转化成等差、等比数列求和
（公式法、分组求和法、错位相减法、 裂（并）项法求和）
练习： 指出下列求和的方法：
合并项求和
特殊的数列，在求数列的和时，可将一些项放在一起先求和，然后再求Sn.
[例] 在各项均为正数的等比数列中，若
的值.
求和： (1)Sn=1+(3+4)+(5+6+7)+…+(2n-1+2n+ …+3n-2); (2)Sn=12-22+32-42+…+(-1)n-1·n2.
(1)一般应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为适用特点的形式，从而求和．
数列求和的方法
(2)解决非等差、等比和，两种思路： ①转化的思想，即化为等差或等比数列． ②裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等求和．
数列求和的常用方法:
(1) 拆项（对A±G型 如果拆项不明显，写出通项，如例2 ）
na1+ d
n(n+1)(2n+1)
n2(n+1)2
倒序相加
令
例题1. 求和
(1)
[解Байду номын сангаас原式=
n(n+3)/2
(x≠1)
(x=1)
分析:原式=(1+2+3+…+n)+
我们把这种类型的数列称为“A+G”型。而求此类数列的和，一般是把数列的每一项分成两项，再分别利用等差和等比数列的求和公式求解。此方法称为分组求和法。
（2）乘公比,错位相减(对“A·G”型);
（3）裂通项,交替相消
1、转化成等差、等比数列求和
（公式法、分组求和法、错位相减法、 裂（并）项法求和）
练习： 指出下列求和的方法：
合并项求和
特殊的数列，在求数列的和时，可将一些项放在一起先求和，然后再求Sn.
[例] 在各项均为正数的等比数列中，若
的值.
求和： (1)Sn=1+(3+4)+(5+6+7)+…+(2n-1+2n+ …+3n-2); (2)Sn=12-22+32-42+…+(-1)n-1·n2.
(1)一般应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为适用特点的形式，从而求和．
数列求和的方法
(2)解决非等差、等比和，两种思路： ①转化的思想，即化为等差或等比数列． ②裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等求和．
数列求和的常用方法:
(1) 拆项（对A±G型 如果拆项不明显，写出通项，如例2 ）
na1+ d
n(n+1)(2n+1)
n2(n+1)2
倒序相加
令
例题1. 求和
(1)
[解Байду номын сангаас原式=
n(n+3)/2
(x≠1)
(x=1)
分析:原式=(1+2+3+…+n)+
我们把这种类型的数列称为“A+G”型。而求此类数列的和，一般是把数列的每一项分成两项，再分别利用等差和等比数列的求和公式求解。此方法称为分组求和法。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2n－1＋22n－3＋„＋2)＋2＝22(n＋1)－1.4分
1)＋„＋(a2－a1)]＋a1＝3(2
而a1＝2，符合上式，所以数列{an}的通项公式为an＝22n－1.6分
工具
第五章
数列
栏目导引
(2)由 bn＝nan＝n·2n－1 知 2 Sn＝1· 2＋2·3＋3·5＋„＋n·2n 1， ①8 分 2 2 2 从而 22·n＝1·3＋2·5＋3·7＋„＋n·2n 1.② 9 分 S 2 2 2 2 ①－②得(1－22)Sn＝2＋23＋25＋„＋22n 1－n·2n 1，10 分 2 1 ＋ 即 Sn＝ [(3n－1)22n 1＋2].12 分 9
工具
第五章
数列
栏目导引
数列{an}中a1＝3，已知点(an，an＋1)在直线y＝x＋2上，
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝an·n，求数列{bn}的前n项和Tn. 3 解析： (1)∵点(an，an＋1)在直线y＝x＋2上， ∴an＋1＝an＋2，即an＋1－an＝2. ∴数列{an}是以3为首项，2为公差的等差数列， ∴an＝3＋2(n－1)＝2n＋1.
数列
栏目导引
(本小题满分12分)(2010· 全国新课标卷)设数列{an}满足a1＝2，an
22n－1. ＋1－an＝3· (1)求数列{an}的通项公式； (2)令bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn. 【规范解答】 (1)由已知，当n≥1时，an＋1＝[(an＋1－an)＋(an－an－
1 ＝2n－2＋ n－1. 2
工具
第五章
数列
栏目导引
1．一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列
{an·n}的前n项和时，可采用错位相减法． b 2．用乘公比错位相减法求和时，应注意 (1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形； (2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错位项对 齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．
答案： B
工具
第五章
数列
栏目导引
4．已知数列{an}的通项an＝－5n＋2，则其前n项和Sn＝______.
解析： Sn＝a1＋a2＋a3＋„＋an ＝－5(1＋2＋3＋„＋n)＋2n －5nn＋1 ＝ ＋2n 2 －5n2－n ＝ . 2
－5n2－n 答案： 2
工具
第五章
数列
栏目导引
1 1 1 5．数列 1,42，74，108，„前 10 项的和为________．
成立．
1 1 1 1 ， 解析： (1)∵an＝ ＝ ＝2 － 1＋2＋3＋„＋n nn＋1 n n＋1 2 1 1 1 1 1 1－ ＋2 － ＋„＋2 － ∴Sn＝2 n n＋1 2 2 3 1 2n Sn 2 ＝ ＝21－ ，∴bn＝ ＝ (n∈N＋)． n＋1 n＋1 n n＋1
工具
第五章
数列
栏目导引
1 1 2 2 4 － (2)证明：Cn＝bn·n＋1＝ b · ＝ ＝4n＋1 n＋2 ， n＋1 n＋2 n＋1n＋2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 － ＝4 － ＜4× ＝2， ∴Tn＝42－3＋43－4＋„＋4 2 n＋1 n＋2 2 n＋2
当n＝4时，24－12－1＝3＞0，
∴2n－3n－1＜0中n的最大值为3.
工具
第五章
数列
栏目导引
(2)Sn＝a1＋a2＋„＋an ＝(2＋22＋„＋2n)－3(1＋2＋3＋„＋n)－n 21－2n nn＋1 ＝ －3· 2 －n 1－2 ＝2
n＋1
n3n＋5 － －2. 2
工具
第五章
数列
＋1
工具
第五章
数列
栏目导引
1 1 数列通项形如 an＝ ，bn＝ 等可用此法．使 nn－1 2n－1＋ 2n＋1 用裂项法，要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项；你是 否注意到由于数列{an}中每一项 an 均裂成一正一负两项，所以互为相反 数的项合并为零后，所剩正数项与负数项的项数必是一样多的，切不可 漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点．实质上，正负项 相消是此法的根源和目的．
对通项变形，转化为等差或等比或可求数列前n项和的数列来求之．
工具
第五章
数列
栏目导引
已知函数f(x)＝2x－3x－1，点(n，an)在f(x)的图象上，an的前n项
和为Sn. (1)求使an＜0的n的最大值． (2)求Sn. 解析： (1)依题意an＝2n－3n－1， ∴an＜0即2n－3n－1＜0. 当n＝3时，23－9－1＝－2＜0.
工具
第五章
数列
栏目导引
3 3 由①②得 a1＝5，d＝5， 3 3 3 ∴an＝5＋(n－1)×5＝5n(n∈N＋)． n2＋n＋1 25 n2＋n＋1 (2)bn＝3 3 ＝9· nn＋1 n·n＋1 5 5 1 25 1 ， ＝ 1＋n－ 9 n＋1 ∴b1＋b2＋b3＋„＋b99 1 1 1 1 1 1 1 25 ＝ 9 1＋1－2＋1＋2－3＋1＋3－4＋„＋1＋99－100 1 25 ＝ 99＋1－100 9 ＝275＋2.75＝277.75.
工具
第五章
数列
栏目导引
等差数列{an}是递增数列，前 n 项和为 Sn，且 a1，a3，a9 成等比 数列，S5＝a52. (1)求数列{an}的通项公式； n2＋n＋1 (2)若数列{bn}满足 bn＝ ，求数列{bn}的前 99 项的和． an·n＋1 a
解析： (1)设数列{an}的公差为 d(d＞0)， ∵a1，a3，a9 成等比数列，∴a32＝a1a9， ∴(a1＋2d)2＝a1(a1＋8d)，∴d2＝a1d， ∵d＞0，∴a1＝d，① 5×4 ∵S5＝a52，∴5a1＋ · d＝(a1＋4d)2② 2
第4课时
数列求和
工具
第五章
数列
栏目导引
工具
第五章
数列
栏目导引
求数列的前 n 项和的方法 1．公式法 (1)等差数列的前 n 项和公式 na1＋an nn－1 na1＋ d S n＝ ＝ 2 2 (2)等比数列前 n 项和公式 ①当 q＝1 时，Sn＝na1； a11－qn a1－anq ②当 q≠1 时，Sn＝ ＝ . 1－q 1－q
工具
第五章
数列
栏目导引
1．数列{(－1)n· n}的前2 010项的和S2 010为(
A．－2 010 C．2 010 B．－1 005 D．1 005
)
解析： S2 010＝－1＋2－3＋4－5＋„－2 009＋2 010＝(－1＋2)＋ (－3＋4)＋„＋(－2 009＋2 010)＝1 005. 答案： D
工具
第五章
数列
栏目导引
(2)∵bn＝an·n，∴bn＝(2n＋1)·n， 3 3 ∴Tn＝3×3＋5×32＋7×33＋„＋(2n－1)·n－1＋(2n＋1)·n，① 3 3 ∴3Tn＝3×32＋5×33＋„＋(2n－1)·n＋(2n＋1)·n＋1，② 3 3 由①－②得 －2Tn＝3×3＋2(32＋33＋„＋3n)－(2n＋1)·n 3 91－3n 1 ＋ ＝9＋2× －(2n＋1)·n 1 3 1－3
即 Tn＜2 对任意 n∈N＋成立．
工具
第五章
数列
栏目导引
数列求和的方法
(1)一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后
通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形 式，从而选择合适的方法求和． (2)数列求和的常见类型及方法 ①an＝kn＋b，利用等差数列前n项和公式直接求解； ②an＝a·n－1，利用等比数列前n项和公式直接求解，但要注意对q q 分q＝1与q≠1两种情况进行讨论；
栏目导引
【变式训练】
1 1 1 1＋ ＋ ＋„＋ n－1 2 4 2
1 1 1 1. 求 和 Sn ＝ 1 ＋ 1＋2 ＋ 1＋2＋4 ＋ „ ＋
解析： 和式中的第 k 项为： 1 1 1 ak＝1＋2＋4＋„＋ k－1＝ 2
1k 1－2 1 ＝21－2k. 1 1－ 2
第五章
数列
栏目导引
1 3．数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 an＝ ，则 S5 等于( nn＋1 A．1 5 B. 6 1 C. 6 1 D. 30
)
n＋1－n 1 1 1 解析： an＝ ＝ ＝ － nn＋1 nn＋1 n n＋1 ∴S5＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5 1 1 1 1 1 5 ＝1－2＋2－3＋„＋5－6＝6.
工具
第五章
数列
栏目导引
③an＝bn＋cn，数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，采用分组转 化法求{an}前n项和； ④an ＝bn·n ，{bn}是等差数列，{cn}是等比数列，采用错位相减法 c 求{an}前n项和；
⑤an＝f(n)－f(n－1)，采用裂项相消法求{an}前n项和；
⑥an－k＋ak＝cbn，可考虑倒序相加法求和；
.
工具
第五章
数列
栏目导引
2．分组转化法
把数列的每一项分成两项，使其转化为几个等差、等比数列，再求
解．
3．裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项． 4．倒序相加法 把数列正着写和倒着写再相加(即等差数列求和公式的推导过程的 推广)．
5．错位相减法
主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求 和，即等比数列求和公式的推导过程的推广．
－ ＋1
∴Tn＝n·n 1. 3
＋
工具
第五章
数列
栏目导引
【变式训练】 2.已知数列{an}满足：Sn＝1－an(n∈N＋)，其中 Sn 为 数列{an}的前 n 项和． (1)试求{an}的通项公式； n (2)若数列{bn}满足：bn＝a (n∈N＋)，试求{bn}的前 n 项和公式 Tn. n
1)＋„＋(a2－a1)]＋a1＝3(2
而a1＝2，符合上式，所以数列{an}的通项公式为an＝22n－1.6分
工具
第五章
数列
栏目导引
(2)由 bn＝nan＝n·2n－1 知 2 Sn＝1· 2＋2·3＋3·5＋„＋n·2n 1， ①8 分 2 2 2 从而 22·n＝1·3＋2·5＋3·7＋„＋n·2n 1.② 9 分 S 2 2 2 2 ①－②得(1－22)Sn＝2＋23＋25＋„＋22n 1－n·2n 1，10 分 2 1 ＋ 即 Sn＝ [(3n－1)22n 1＋2].12 分 9
工具
第五章
数列
栏目导引
数列{an}中a1＝3，已知点(an，an＋1)在直线y＝x＋2上，
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝an·n，求数列{bn}的前n项和Tn. 3 解析： (1)∵点(an，an＋1)在直线y＝x＋2上， ∴an＋1＝an＋2，即an＋1－an＝2. ∴数列{an}是以3为首项，2为公差的等差数列， ∴an＝3＋2(n－1)＝2n＋1.
数列
栏目导引
(本小题满分12分)(2010· 全国新课标卷)设数列{an}满足a1＝2，an
22n－1. ＋1－an＝3· (1)求数列{an}的通项公式； (2)令bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn. 【规范解答】 (1)由已知，当n≥1时，an＋1＝[(an＋1－an)＋(an－an－
1 ＝2n－2＋ n－1. 2
工具
第五章
数列
栏目导引
1．一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列
{an·n}的前n项和时，可采用错位相减法． b 2．用乘公比错位相减法求和时，应注意 (1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形； (2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错位项对 齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．
答案： B
工具
第五章
数列
栏目导引
4．已知数列{an}的通项an＝－5n＋2，则其前n项和Sn＝______.
解析： Sn＝a1＋a2＋a3＋„＋an ＝－5(1＋2＋3＋„＋n)＋2n －5nn＋1 ＝ ＋2n 2 －5n2－n ＝ . 2
－5n2－n 答案： 2
工具
第五章
数列
栏目导引
1 1 1 5．数列 1,42，74，108，„前 10 项的和为________．
成立．
1 1 1 1 ， 解析： (1)∵an＝ ＝ ＝2 － 1＋2＋3＋„＋n nn＋1 n n＋1 2 1 1 1 1 1 1－ ＋2 － ＋„＋2 － ∴Sn＝2 n n＋1 2 2 3 1 2n Sn 2 ＝ ＝21－ ，∴bn＝ ＝ (n∈N＋)． n＋1 n＋1 n n＋1
工具
第五章
数列
栏目导引
1 1 2 2 4 － (2)证明：Cn＝bn·n＋1＝ b · ＝ ＝4n＋1 n＋2 ， n＋1 n＋2 n＋1n＋2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 － ＝4 － ＜4× ＝2， ∴Tn＝42－3＋43－4＋„＋4 2 n＋1 n＋2 2 n＋2
当n＝4时，24－12－1＝3＞0，
∴2n－3n－1＜0中n的最大值为3.
工具
第五章
数列
栏目导引
(2)Sn＝a1＋a2＋„＋an ＝(2＋22＋„＋2n)－3(1＋2＋3＋„＋n)－n 21－2n nn＋1 ＝ －3· 2 －n 1－2 ＝2
n＋1
n3n＋5 － －2. 2
工具
第五章
数列
＋1
工具
第五章
数列
栏目导引
1 1 数列通项形如 an＝ ，bn＝ 等可用此法．使 nn－1 2n－1＋ 2n＋1 用裂项法，要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项；你是 否注意到由于数列{an}中每一项 an 均裂成一正一负两项，所以互为相反 数的项合并为零后，所剩正数项与负数项的项数必是一样多的，切不可 漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点．实质上，正负项 相消是此法的根源和目的．
对通项变形，转化为等差或等比或可求数列前n项和的数列来求之．
工具
第五章
数列
栏目导引
已知函数f(x)＝2x－3x－1，点(n，an)在f(x)的图象上，an的前n项
和为Sn. (1)求使an＜0的n的最大值． (2)求Sn. 解析： (1)依题意an＝2n－3n－1， ∴an＜0即2n－3n－1＜0. 当n＝3时，23－9－1＝－2＜0.
工具
第五章
数列
栏目导引
3 3 由①②得 a1＝5，d＝5， 3 3 3 ∴an＝5＋(n－1)×5＝5n(n∈N＋)． n2＋n＋1 25 n2＋n＋1 (2)bn＝3 3 ＝9· nn＋1 n·n＋1 5 5 1 25 1 ， ＝ 1＋n－ 9 n＋1 ∴b1＋b2＋b3＋„＋b99 1 1 1 1 1 1 1 25 ＝ 9 1＋1－2＋1＋2－3＋1＋3－4＋„＋1＋99－100 1 25 ＝ 99＋1－100 9 ＝275＋2.75＝277.75.
工具
第五章
数列
栏目导引
等差数列{an}是递增数列，前 n 项和为 Sn，且 a1，a3，a9 成等比 数列，S5＝a52. (1)求数列{an}的通项公式； n2＋n＋1 (2)若数列{bn}满足 bn＝ ，求数列{bn}的前 99 项的和． an·n＋1 a
解析： (1)设数列{an}的公差为 d(d＞0)， ∵a1，a3，a9 成等比数列，∴a32＝a1a9， ∴(a1＋2d)2＝a1(a1＋8d)，∴d2＝a1d， ∵d＞0，∴a1＝d，① 5×4 ∵S5＝a52，∴5a1＋ · d＝(a1＋4d)2② 2
第4课时
数列求和
工具
第五章
数列
栏目导引
工具
第五章
数列
栏目导引
求数列的前 n 项和的方法 1．公式法 (1)等差数列的前 n 项和公式 na1＋an nn－1 na1＋ d S n＝ ＝ 2 2 (2)等比数列前 n 项和公式 ①当 q＝1 时，Sn＝na1； a11－qn a1－anq ②当 q≠1 时，Sn＝ ＝ . 1－q 1－q
工具
第五章
数列
栏目导引
1．数列{(－1)n· n}的前2 010项的和S2 010为(
A．－2 010 C．2 010 B．－1 005 D．1 005
)
解析： S2 010＝－1＋2－3＋4－5＋„－2 009＋2 010＝(－1＋2)＋ (－3＋4)＋„＋(－2 009＋2 010)＝1 005. 答案： D
工具
第五章
数列
栏目导引
(2)∵bn＝an·n，∴bn＝(2n＋1)·n， 3 3 ∴Tn＝3×3＋5×32＋7×33＋„＋(2n－1)·n－1＋(2n＋1)·n，① 3 3 ∴3Tn＝3×32＋5×33＋„＋(2n－1)·n＋(2n＋1)·n＋1，② 3 3 由①－②得 －2Tn＝3×3＋2(32＋33＋„＋3n)－(2n＋1)·n 3 91－3n 1 ＋ ＝9＋2× －(2n＋1)·n 1 3 1－3
即 Tn＜2 对任意 n∈N＋成立．
工具
第五章
数列
栏目导引
数列求和的方法
(1)一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后
通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形 式，从而选择合适的方法求和． (2)数列求和的常见类型及方法 ①an＝kn＋b，利用等差数列前n项和公式直接求解； ②an＝a·n－1，利用等比数列前n项和公式直接求解，但要注意对q q 分q＝1与q≠1两种情况进行讨论；
栏目导引
【变式训练】
1 1 1 1＋ ＋ ＋„＋ n－1 2 4 2
1 1 1 1. 求 和 Sn ＝ 1 ＋ 1＋2 ＋ 1＋2＋4 ＋ „ ＋
解析： 和式中的第 k 项为： 1 1 1 ak＝1＋2＋4＋„＋ k－1＝ 2
1k 1－2 1 ＝21－2k. 1 1－ 2
第五章
数列
栏目导引
1 3．数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 an＝ ，则 S5 等于( nn＋1 A．1 5 B. 6 1 C. 6 1 D. 30
)
n＋1－n 1 1 1 解析： an＝ ＝ ＝ － nn＋1 nn＋1 n n＋1 ∴S5＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5 1 1 1 1 1 5 ＝1－2＋2－3＋„＋5－6＝6.
工具
第五章
数列
栏目导引
③an＝bn＋cn，数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，采用分组转 化法求{an}前n项和； ④an ＝bn·n ，{bn}是等差数列，{cn}是等比数列，采用错位相减法 c 求{an}前n项和；
⑤an＝f(n)－f(n－1)，采用裂项相消法求{an}前n项和；
⑥an－k＋ak＝cbn，可考虑倒序相加法求和；
.
工具
第五章
数列
栏目导引
2．分组转化法
把数列的每一项分成两项，使其转化为几个等差、等比数列，再求
解．
3．裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项． 4．倒序相加法 把数列正着写和倒着写再相加(即等差数列求和公式的推导过程的 推广)．
5．错位相减法
主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求 和，即等比数列求和公式的推导过程的推广．
－ ＋1
∴Tn＝n·n 1. 3
＋
工具
第五章
数列
栏目导引
【变式训练】 2.已知数列{an}满足：Sn＝1－an(n∈N＋)，其中 Sn 为 数列{an}的前 n 项和． (1)试求{an}的通项公式； n (2)若数列{bn}满足：bn＝a (n∈N＋)，试求{bn}的前 n 项和公式 Tn. n