知识讲解_数列的求和问题_提高

数列的求和问题编稿：李霞 审稿：张林娟【学习目标】1．熟练掌握等差数列和等比数列的求和公式； 2．掌握数列的通项a n 与前n 项和S n 之间的关系式；3．熟练掌握求数列的前n 项和的几种常用方法；注意观察数列的特点和规律，在分析通项的基础上分解为基本数列求和或转化为基本数列求和.【要点梳理】要点一：数列的前n 项和S n 的相关公式任意数列的第n 项n a 与前n 项和n S 之间的关系式：11(1)(2)n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩等差数列的前n 项和n S 公式：211()(1)22n n n a a n n S na d An Bn +-==+=+（A B 、为常数） 当d≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0； 当d=0时（a 1≠0），S n =na 1是关于n 的正比例式. 等比数列的前n 项和n S 公式：当1q =时，1n a a =，1231n n S a a a a na =++++=L ，当1≠q 时，q q a S n n --=1)1(1或qqa a S n n --=11要点诠释：等比数列的求和中若q 的范围不确定，要特别注意1q =的情况. 要点二：求数列的前n 项和的几种常用方法 公式法：如果一个数列是等差或者等比数列，求其前n 项和可直接利用等差数列或等比数列的前n 项和公式求和；倒序相加法：等差数列前n 项和的推导方法，即将n S 倒写 后再与n S 相加，从而达到（化多为少）求和的目的，常用于组合数列求和.裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，然后把数列的每一项都按照这种方法拆成两项的差，以达到在求和的时候隔项正负相抵消的目的，使前n 项的和变成只剩下若干少数项的和的方法.例如对通项公式为1(1)n a n n =+的数列求和.常见的拆项公式： ①)11(1)(1kn n k k n n +-=+•；②若{}n a 为等差数列，且公差d 不为0，首项也不为0，则111111()n n n n a a d a a •++=-；③若{}n a 的通项的分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式时，则)11(1))((1CAn B An B C C An B An a n +-+-=++=.④n n nn -+=++111；)(11n k n knk n -+=++. 分解求和与并项求和法：把数列的每一项拆分成两项或者多项，或者把数列的项重新组合，或者把整个数列分成两部分等等，使其转化成等差数列或者等比数列等可求和的数列分别进行求和.例如对通项公式为a n =2n+3n 的数列求和.错位相减法：如果一个数列{}n a 的通项是由一个非常数列的等差数列{}n b 与等比数列{}n c 的对应项乘积组成的，求和的时候可以采用错位相减法.即错位相减法适用于通项为n n n c b a ⋅=（其中{}n b 是公差d≠0的等差数列，{}n c 是公比q≠1的等比数列）（也称为“差比数列”）的数列求前n 项和n S .例如对通项公式为(21)2nn a n =-⋅的数列求和.一般步骤：n n n n n c b c b c b c b S ++⋯++=--112211，则 1211n n n n n qS b c b c b c -+=+⋯⋯++所以有13211)()1(+-⋯⋯+++=-n n n n c b d c c c c b S q 要点诠释：①错位相减法是基于方程思想和数列规律的一种方法.一般都是把前n 项和的两边都乘以等比数列的公比q 后，再错位相减求出其前n 项和；②在使用错位相减法求和时一定要注意讨论等比数列中其公比q 是否有可能等于1，若q=1，错位相减法会不成立.要点三：掌握一些常见数列的前n 项和公式 1. 2)1(321+=++++n n n ΛΛ； 2. 2135(21)n n ++++-=L L 3. 6)12)(1(3212222++=++++n n n n ΛΛ；要点诠释：前两个公式结论最好能熟记，这样解题时会更加方便. 【典型例题】 类型一：公式法例1．已知等差数列{}n a 前三项的和为3-,前三项的积为8. （1）求等差数列{}n a 的通项公式;（2）若2a ,3a ,1a 成等比数列,求数列{||}n a 的前n 项和.【思路点拨】考察等差等比数列的通项公式、前n 项和公式及基本运算. 【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ,则21a a d =+,312a a d =+,由题意得1111333,()(2)8.a d a a d a d +=-⎧⎨++=⎩ 解得12,3,a d =⎧⎨=-⎩或14,3.a d =-⎧⎨=⎩所以由等差数列通项公式可得23(1)35n a n n =--=-+,或43(1)37n a n n =-+-=-.故35n a n =-+,或37n a n =-. （2）当35n a n =-+时,2a ,3a ,1a 分别为1-,4-,2,不成等比数列;当37n a n =-时,2a ,3a ,1a 分别为1-,2,4-,成等比数列,满足条件.故37,1,2,|||37|37, 3.n n n a n n n -+=⎧=-=⎨-≥⎩记数列{||}n a 的前n 项和为n S .当1n =时,11||4S a ==;当2n =时,212||||5S a a =+=; 当3n ≥时,234||||||n n S S a a a =++++L 5(337)(347)(37)n =+⨯-+⨯-++-L2(2)[2(37)]311510222n n n n -+-=+=-+. 当2n =时,满足此式.综上,24,1,31110, 1.22n n S n n n =⎧⎪=⎨-+>⎪⎩【总结升华】要求几个含有绝对值的式子的和，关键是要去掉绝对值符号，去绝对值符号的方法一般是用分类讨论的思想方法，所以此题的关键是要看n a 的符号，同时要注意对数列前n 项求和中的n 值的讨论. 举一反三：【变式1】设数列{}n a 的通项为*27(),n a n n N =-∈则1215||||+||a a a ++……= 【答案】由0,n a >得7,2n >则1215||||+||a a a ++……1234515=()(+)(135)(135+23a a a a a a -+++++=++++++…………）1=9+1+232⨯（）12=153.【变式2】数列{}n a 的通项为*425()n a n n N =-∈，求数列{}n a 的前n 项和. 【答案】由425n a n =-可知数列{}n a 是首项为-21，公差为4的等差数列. 由0,n a >得25,4n >当*6,n n N ≤∈时，1212(1)()[214]2n n n n a a a a a a n -+++=-+++=--+⨯L L 2223n n =-+当*7,n n N ≥∈时，1212678()()n n a a a a a a a a a +++=-+++++++L L L27(6)()(6)(3425)666622313222n n a a n n n n -+-+-=+=+=-+类型二：倒序相加法求和例2．求证：01235(21)(1)2n nn n n n C C C n C n +++++=+L【思路点拨】由m n mn n C C -=，可用倒序相加法求和.【解析】令01235(21)nn n n n n S C C C n C =+++++L ① 则1210(21)(21)53n n n n n n n n S n C n C C C C -=++-++++L ②m n m n n C C -=Q ，∴ ①+ ②得：0122(22)(22)(22)(22)n n n n n n S n C n C n C n C =++++++++L 012(1)()(1)2n n n n n n n S n C C C C n ∴=+++++=+L ，故等式成立.【总结升华】倒序相加是等差数列前n 项和公式推导的方法，在一些特殊数列中也有一些应用.举一反三：【变式】求和222sin 1sin 2sin 89S =︒+︒++︒L . 【答案】222sin 1sin 2sin 89S =︒+︒++︒L ∴222sin 89sin 88sin 1S =︒+︒++︒L 222cos 1cos 2cos 89=︒+︒++︒L∴2222222(sin 1cos 1)(sin 2cos 2)(sin 89cos 89)S =︒+︒+︒+︒++︒+︒L 89=∴892S =类型三：错位相减法例3.求和2311234...n n S x x x nx -=+++++（x R ∈）.【思路点拨】原数列不是等差等比数列，但字母部分：x,x 2,x 3,…,x n ,…是等比数列，系数部分1，2，3，…，n ，…是等差数列，对数列中任一项若除以x ，则与前项同类项，系数大1，若乘以x ，它与它的后项是关于x 的同类项，且系数小1，联系等比数列求和方法，错项相减法（注意当等比数列公比不为1的时候）【解析】（1）当1x =时，2)1(321+=++++=n n n S n Λ （2）当1x ≠时，2311234...n n S x x x nx -=+++++ ① 234234...n n xS x x x x nx =+++++ ②，①-②得1211(1)1(1)(1)1...11n n n n nnn x nx n x x S x x xnx nx x x+--+-+-=++++-=-=--，∴21)1()1(1x x n nx S nn n -+-+=+. 【总结升华】1.一般地，如果等差数列}a {n 与等比数列}b {n 的对应项相乘形成的数列}b a {n n （也称为“差比数列”）都用错项相减的办法来求前n 项之和n S .2. 错项相减法是基于方程思想和数列规律的一种方法，一般都选择乘以q ；3. 在使用错项相减法求和时一定要注意讨论等比数列中其公比q 是否有可能等于1，若q=1，错项相减法会不成立.举一反三： 【变式1】求数列1234,,,,,,248162n n⋅⋅⋅⋅⋅⋅的前n 项和n S . 【答案】1234248162n n nS =++++⋅⋅⋅+ 11123424816322n n n S +=++++⋅⋅⋅+ ∴11111111(1)122482222n n n n n n nS ++⎛⎫-=+++⋅⋅⋅+-=-- ⎪⎝⎭ 11222n n nnS -∴=--【变式2】求48476ΛΛ99999.0999.099.09.0个n ++++【答案】方法一：48476ΛΛ99999.0999.099.09.0个n ++++)1.01(911.01)1.01(1.00100.01()001.01()01.01()1.01(1n nn n n --=---=-++-+-+-=-4484476ΛΛ个方法二：设90.90.990.9990.99n n S =++++678L L 个 ① 则1990.10.090.0990.0990.099n n n S -=++++6474864748L L L 个个 ②由①-②可得：)101(1.09.0909.09.09.09.09.09.09nn n n n S ---=-++++=43421Λ44443444421Λ个项，∴)101(91n n n S ---=. 例4.已知数列{a n }的前n 项和21()2n S n kn k N *=-+∈,且S n 的最大值为8. (1)确定常数k,求a n ;(2)求数列92{}2nna -的前n 项和T n . 【解析】(1)当n k N *=∈时,212n S n kn =-+取最大值,即22211822k k k =-+=,故4k =,从而19(2)2n n n a S S n n -=-=-≥,又1172a S ==,所以92n a n =- .(2)因为19222n n n n a nb --==, 122211111123(1)2222n n n n T b b b n n --=+++=+⨯+⨯++-⋅+⋅L L23111111123(1)222222n n n T n n -∴=+⨯+⨯++-⋅+⋅L 2311111111222222n n n T n -∴=+++++-⋅L 所以21111()1222[]441222212nn n n n n n n n T ----+=-=--=-- 【点评】本题考查数列的通项,递推、错位相减法求和以及二次函数的最值的综合应用.利用11(1),n n n S n a S S -=⎧=⎨-⎩来实现n a 与n S 的相互转化是数列问题比较常见的技巧之一,要注意1n n n a S S -=-不能用来求解首项1a ,首项1a 一般通过11a S =来求解.运用错位相减法求数列的前n 项和适用的情况:当数列通项由两项的乘积组成,其中一项是等差数列、另一项是等比数列. 类型四：裂项相消法【高清课堂：数列的求和问题381055 典型例题2】{}(){}()212231.11112(2)n n n n n na n S S n a n a a a a a a -+++≥L 例5.已知数列的前项和为，＝求证：数列为等差数列；求和：．【解析】（1）11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩∴221(1)(1)(2)n n a n n n =⎧=⎨--≥⎩ ∴21n a n =-∴121(21)2n n a a n n +-=+--=，即数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列. (2)∵21n a n =- ∴111111()(23)(21)22321n n a a n n n n -==-⋅----122311*********()213352321n n a a a a a a n n -+++=-+-++---L …… =111(1)22121n n n --=-- 【总结升华】1. 本题所用的方法叫做裂项相消法，就是将数列的每一项“一拆为二”，即每一项拆成两项之差，以达到隔项相消之目的.一般地，对于裂项后有明显相消项的一类数列，在求和时常用此法，分式的求和多利用此法.可用待定系数法对通项公式进行拆项，相消时应注意消去项的规律，即消去哪些项，保留哪些项.2. 在学习中也应积累一些常见的拆项公式，如： ①)11(1)(1kn n k k n n +-=+•；②若{}n a 为等差数列，公差为d ，则111111()n n n n a a d a a •++=-；③n n nn -+=++111，)(11n k n knk n -+=++. 举一反三： 【变式1】，…的前n 项和n S .【答案】∵11++=n n a n n n -+=1∴11231321211+++++++++=n n S n Λn n -+++-+-+-=1322312Λ11-+=n【变式2】求和:)(21132112111+∈++++++++++N n n ΛΛ 【答案】∵)111(2)1(22)1(1211+-=+=+=+++=k k k k k k k a k Λ,∴ )1(2432322212+++⨯+⨯+⨯=n n S n Λ 111111112[()()()()]1223341122(1)11n n nn n =-+-+-++-+=-=++L【变式3】求数列121222-+，131322-+，141422-+，…，1)1n (1)1n (22-+++的前n 项的和n S .【答案】∵22222(1)12221111()(1)1222n n n n a n n n n n n n ++++===+=+-+-+++， ∴1111111111(1)(1)(1)(1)(1)132435112n S n n n n =+-++-++-+++-++--++L1111212113122n n n n n n =++--++=--+++.类型五：分组转化法求和例6.在等差数列{}n a 中,345984,73a a a a ++==. (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)对任意*m N ∈,将数列{}n a 中落入区间2(9,9)mm内的项的个数记为m b ,求数列{}m b 的前m 项和m S .【思路点拨】（1）由已知条件易求得首项和公差；（2）因*m N ∈，由29989m mn a n <=-<，解得n 的范围，从而确定了m b 的关系式，最后求{}m b 的前m 项和m S . 【解析】（1）由345984,73a a a a ++==可得,28,84344==a a 而973a =,则9,45549==-=d a a d ,12728341=-=-=d a a , 于是899)1(1-=⨯-+=n n a n ,即89-=n a n . （2）对任意m∈N﹡,mmn 29899<-<,则899892+<<+mm n ,即989989121+<<+--m m n ,而*N n ∈,由题意可知11299---=m m m b , 于是)999(999110123121--+++-+++=+++=m m m m b b b S ΛΛΛ 8980198019109819809991919199121212212mm m m m m m m -+=+⋅-=---=-----=++++, 即89801912mm m S -+=+. 【总结升华】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列前m 项和的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用. 举一反三： 【变式1】求和11111232482n n ⎛⎫+++⋅⋅⋅++ ⎪⎝⎭.【答案】11111232482n n S n ⎛⎫=+++⋅⋅⋅++= ⎪⎝⎭(1+2+3+…+n)+111242n ⎛⎫++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭ =(1)1122n n n ++- 【变式2】求和22222111(0)n n x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++⋅⋅⋅++≠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【答案】当x=±1时，S n =4n ； 当x ≠±1时， 242242111222nn n S x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++⋅⋅⋅+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ =242242111()2nn x x x n x x x ⎛⎫++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅⋅+⎪⎝⎭=222222111(1)2111n n x x x x n x x⎛⎫- ⎪-⎝⎭++-- 2222211(1)211nn x x x n x x --=++-- 22221(1)121n nx x x n x --+=+-【高清课堂：数列的求和问题381055典型例题1】【变式3】已知数列{}n x 的首项13x =，通项2nn x p n q =⋅+⋅（*n N ∈，,p q 是常数），且145,,x x x 成等差数列.（1）求,p q 的值；（2）求数列{}n x 的前n 项和n S . 【答案】（1）232(164)2325p q p q p q p p +=⎧⎨+=+++⎩ 解得11q p =⎧⎨=⎩（2）12212(21)(22)+(2)n n S x x x n =+++=+++++…………=12(22+2)(123+n)n ++++++………… =1(1)222n n n ++-+例7．已知数列{}n a 的前n 项和1159131721...(1)(43)n n S n -=-+-+-++--，求15S ，22S 的值.【思路点拨】该数列{}n a 的特征：1(1)(43)n n a n -=--，既非等差亦非等比，但也有规律：所有奇数项构成以1为首项8为公差的等差数列，偶数项构成以-5为首项-8为公差的等差数列，因而可以对奇数项和偶数项分组求和；还有规律：1234561...4n n a a a a a a a a ++=+=+==+=-（n 为奇数），可以将相邻两项组合在一起。