天津市2020年高考数学二轮复习专题四数列4.1等差数列与等比数列课件文2020121439-

的最小值为
.
答案：-49
-22-
解析： 设数列{an}的首项为 a1,公差为 d,则
S10=10a1+102×9d=10a1+45d=0,
①
S15=15a1+15×2 14d=15a1+105d=25.
②
联立①②,得 a1=-3,d=23,
所以
Sn=-3n+������(���2���-1)
×
2 3
-15-
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题后反思等差数列与等比数列的性质多与其下标有关,解题需多
注意观察,发现其联系,加以应用.
(1)等差数列的性质:①an=am+(n-m)d(n,m∈N*); ②若 m+n=p+q,则 am+an=ap+aq(m,n,p,q∈N*); ③设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也成等差
-13-
(2)证明 ∵3bn-bn-1=n(n≥2), ∴bn=13bn-1+13n(n≥2), ∴bn-an=13bn-1+13n-12n+14 =13bn-1-16n+14
=13
������������-1-
1 2
������
+
3 4
(n≥2),
bn-1-an-1=bn-1-12(n-1)+14=bn-1-12n+34(n≥2).
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-20-
题后反思等差数列和等比数列的综合问题,涉及的知识面很宽,题
目的变化也很多,但是只要抓住基本量 a1,d(q),充分运用方程、函数、 转化等数学思想方法,合理运用相关知识,就能解决这类问题.
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对点训练 4 等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S10=0,S15=25,则 nSn
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等差数列、等比数列的综合问题
【思考】 解决等差数列、等比数列的综合问题的基本思路是怎样
的?
例 4 已知等差数列{an}满足:a1=2,且 a1,a2,a5 成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式. (2)记 Sn 为数列{an}的前 n 项和,是否存在正整数 n,使得 Sn>60n+800? 若存在,求 n 的最小值;若不存在,说明理由.
∈N*,n≥2).数列{bn}满足:b1=-1419,且 3bn-bn-1=n(n≥2,且 n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式; (2)求证:数列{bn-an}为等比数列.
-12-
(1)解 由 Sn=Sn-1+an-1+12,得 Sn-Sn-1=an-1+12,即 an-an-1=12(n∈N*,n≥2), 则数列{an}是以12为公差的等差数列, 故 an=a1+(n-1)×12 = 12n-14(n∈N*).
专题四 数列
4.1 等差数列与等比数列
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等差数列与等比数列的基本量的求解
【思考】 如何求解等差数列与等比数列的基本量?
例 1 已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1+a3=52,a2+a4=54,则
������������������������=(
-25-
1.已知在等差数列{an}中,前 n 项和为 Sn,若 a3+a9=6,则 S11=( )
A.12
B.33
C.66
D.99
答案：B
解析： ∵{an}为等差数列,且 a3+a9=6, ∴a1+a11=a3+a9=6.
∴S11=������1+2������11×11=62×11=33.
-26-
∴bn-an=13(bn-1-an-1)(n≥2). ∵b1-a1=-30≠0,∴������������������-���1���--������������������������-1 = 13(n≥2), ∴数列{bn-an}是以-30 为首项,13为公比的等比数列.
-14-
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=
13n2-130n.
令 f(n)=nSn,则 f(n)=13n3-130n2,f'(n)=n2-230n.
令 f'(n)=0,得 n=0 或 n=230. 当 n>230时,f'(n)>0,当 0<n<230时,f'(n)<0,
所以当 n=230时,f(n)取最小值.而 n∈N*, 所以 f(6)=-48,f(7)=-49, 所以当 n=7 时,f(n)取最小值-49.
=
9,解得
������1 = 8,
������
=
1 2
或
������1 = 1, ������ = 2,
因为{an}是递增的等比数列,所以
������1 = 1, ������ = 2.
所以{an}是以 1 为首项,2 为公比的等比数列, 故 Sn=2n-1.
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-8-
等差数列与等比数列的判定与证明
-19-
(2)当 an=2 时,Sn=2n.显然 2n<60n+800, 此时不存在正整数 n,使得 Sn>60n+800 成立. 当 an=4n-2 时,Sn=������[2+(24������-2)]=2n2. 令 2n2>60n+800,即 n2-30n-400>0, 解得 n>40 或 n<-10(舍去), 此时存在正整数 n,使得 Sn>60n+800 成立,n 的最小值为 41. 综上,当 an=2 时,不存在满足题意的正整数 n; 当 an=4n-2 时,存在满足题意的正整数 n,其最小值为 41.
������1(1 ������1(1
+ +
������) = 2, ������ + ������2)
=
解得 -6.
q=-2,a1=-2.
故{an}的通项公式为 an=(-2)n.
(2)由(1)可得 Sn=������1(11--������������������)=-23+(-1)n2���3���+1.由于
【思考】 证明数列{an}是等差数列或等比数列的基本方法有哪
些?
例 2(2017 全国Ⅰ,文 17)设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,已知
S2=2,S3=-6. (1)求{an}的通项公式; (2)求 Sn,并判断 Sn+1,Sn,Sn+2 是否成等差数列.
-9-
解
(1)设{an}的公比为 q.由题设可得
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3.等差数列和等比数列的中项、前n项和都有一些类似的性质,充 分利用性质可简化解题过程. 4.证明数列是等差数列或等比数列的基本方法是定义法和中项法. 5.等差数列、等比数列的通项公式、求和公式有多种形式的变形. 在求解相关问题时,要根据条件灵活选择相关公式,同时两种数列 可以相互转化,如等差数列取指数函数之后即为等比数列,正项等 比数列取对数函数之后即为等差数列.
a1,n,d(q),an 与 Sn 这五个量.如果已知其中的三个,就可以求其余的两 个.因为 a1,d(q)是两个基本量,所以等差数列与等比数列的基本运算 问题一般先设出这两个基本量,再根据通项公式、求和公式构建这两 者的方程(组),通过解方程(组)求其值,这也是方程思想在数列问题 中的体现.
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等差数列与等比数列性质的应用
【思考】 常用的等差、等比数列的性质有哪些?
例 3 设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 a1+a3+a5=3,则 S5=( )
A.5
B.7
C.9
D.11
答案： A 解析： 由 a1+a3+a5=3,得 3a3=3,解得 a3=1.故 S5=5(������12+������5)=5a3=5.
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解 (1)设数列{an}的公差为 d, 依题意,得 2,2+d,2+4d 成等比数列, 则(2+d)2=2(2+4d). 化简,得 d2-4d=0,解得 d=0 或 d=4. 当 d=0 时,an=2; 当 d=4 时,an=2+(n-1)·4=4n-2. 故数列{an}的通项公式为 an=2 或 an=4n-2.
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1.等差数列、等比数列的基本运算,一般通过其通项公式与前 n 项和 公式构造关于 a1 与 d、a1 与 q 的方程(组)解决.在求解过程中灵活运 用等差数列、等比数列的性质,不仅可以快速获解,而且有助于加深 对等差数列、等比数列问题的认识. 2.解决等差数列{an}前 n 项和问题常用的三个公式 是:Sn=������(������12+������������);Sn=na1+������(���2���-1)d;Sn=An2+Bn(A,B 为常数),灵活地选用 公式,解决问题更便捷.
1 2
������ -1
=
24������,
2×
∴Sn=
1-
1 2
1-12
������
=4
1-
1 2������
,
∴������������
������������
=
4
1-21������
4 2������
=2n-1.故选 D.
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题后反思等差数列、等比数列的通项公式、求和公式中一共包含