八年级下册(2013年11月第1版)_第四章 因式分解_1. 因式分解
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北师大版八年级下册 第四章 因式分解 第一节 因式分解 课件 (共18张PPT)
把一个多项式化成几个整式的积的形式， 这种变形叫做因式分解（ factorization), 例 如 ： a3-a=a(a+1)(a-1) 、 am+bm+cm=m(a+b+c), 从 左 到 右 的 变 形 都 是 因式分解。因式分解也可称为分解因式。
一辨: 下列从左到右的变形，哪些是因式分解？为什么？ （1）24x2y=4x· 6xy (2)(a+3)(a-3)=a2-9 （3）a2-b2+1=(a+b)(a-b)+1 (4)2mR+2mr=2m(R+r) 1 （5）x+1=x(1+ ) (6)m2-4=(m+2)(m-2)
式 分 解
拓展提升： 若关于x二次三项式x2+mx+n可分解为(x+1)2 ，则 m=___,n=___ 因式分解与整式乘法密切联系, 逆用整式乘法及乘法公式等可以帮助 我们解决有关因式分解的问题 三用： a=3.14, b=2.386, c=2.386,求ab-ac的值。 特殊问题背景下,因式分解 可以使运算更简便
193-19 = 19×192－19×1 = 19（192－1） = 19×360 = 19×18×20
类比、猜测
式
你能尝试把多项式a3-a化成几个整式的乘积的形式吗？
a3-a = a× a2 － a × 1 = a（ a2 － 1 ） 形 = a(a+1)(a-1)
我校第十届校园文化艺术节即将拉开帷幕，为作好宣传， 我班同学分工合作，设计一幅宣传海报，海报由三部分 组成，他们分别将三部分拼成如图所示的一个大的长方 形，通过计算拼图前后的面积，写出相应的关系式。
整 式 乘 法
北师大版八年级数学下册第四章 因式分解1 因式分解
求 mn 的值. 解：∵ x4 + mx3 + nx - 16 的最高次数是 4， ∴可设 x4 + mx3 + nx -16 = (x - 1)(x - 2)(x2 + ax + b)， 则 x4+mx3+nx-16 = x4 +(a-3)x3+(b-3a+2)x2+(2a-3b)x+2b 比较系数得 2b= -16，b- 3a+2 = 0，a - 3=m，2a-3b=n，
其分解结果为 x2 + ax + b = (x + 2)(x + 4) = x2 + 6x + 8， ∴ a = 6. 同理，乙看错了 a，但 b 是正确的， 分解结果为 x2 + ax + b = (x + 1)(x + 9) = x2 + 10x + 9， ∴b = 9. ∴a + b = 15．
(4)(y-3)2 = y2-_6_y_+_9_
(4) y2-6y+9 = ( y-3 )( y-3 )
或 (y-3)2
2 因式分解与整式乘法的关系
想一想：由 a(a + 1)(a - 1) 得到 a3 - a 的变形是什么运算? 由 a3 - a 得到 a(a + 1)(a - 1) 的变形与它有什么不同?
项式化成了几个整式的积，他们的运算是相反的. 问题2：右边一栏表示的正是多项式的“因式分解”， 你能根据我们的分析说出什么是因式分解吗？
归纳总结 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种
变形叫做因式分解，也可称为分解因式.
其中，每个整式都叫做这个多项式的因式.
其分解结果为 x2 + ax + b = (x + 2)(x + 4) = x2 + 6x + 8， ∴ a = 6. 同理，乙看错了 a，但 b 是正确的， 分解结果为 x2 + ax + b = (x + 1)(x + 9) = x2 + 10x + 9， ∴b = 9. ∴a + b = 15．
(4)(y-3)2 = y2-_6_y_+_9_
(4) y2-6y+9 = ( y-3 )( y-3 )
或 (y-3)2
2 因式分解与整式乘法的关系
想一想：由 a(a + 1)(a - 1) 得到 a3 - a 的变形是什么运算? 由 a3 - a 得到 a(a + 1)(a - 1) 的变形与它有什么不同?
项式化成了几个整式的积，他们的运算是相反的. 问题2：右边一栏表示的正是多项式的“因式分解”， 你能根据我们的分析说出什么是因式分解吗？
归纳总结 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种
变形叫做因式分解，也可称为分解因式.
其中，每个整式都叫做这个多项式的因式.
八年级数学下册第四章因式分解1因式分解讲义新版北师大版
因式分解因式分解在整个初中学习中占有很重要的地位，它是解方程与不等式的基础，更是许多综合题目的重点，因此，今日和大家共享如何啃下因式分解这个骨头。
【基础学问查漏补缺】首先我们关于因式分解的基础学问肯定要了然于胸，否则一切都是空谈。
基础学问有：1. 因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式积的形式。
因式分解与整式乘法是互逆的恒等变形；因式分解的结果必需是几个整式乘积的形式。
2. 整式乘法的特点：单项式乘以多项式：m（a+b+c）=ma+mb+mc；多项式乘以多项式：（m+n）(a+b)=ma+mb+na+na，特别状况（x+a）(x+b)=x2+(a+b)x+ab 【因式分解的基础方法】1.提取公因式法顾名思义，就是将多项式中各项相同的因式（公因式）提取出来，例如（x+1）a+（x+1）b-（x+1）c=（x+1）（a+b-c）；判据（多项式具备什么特征选取这个方法）：多项式的每一项有相同的因式；2.公式法说白了，就是套公式；平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)，完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2,主要就是这两个公判据：多项式的项数为2或3项3.十字相乘法就是类似形式x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b);判据：a）多项式的项数为3项；b）看常数项分解成两个数乘积后，这两个数相加是否等于x项前面的系数；举例如下图：4.分组分解法简而言之，就是将多项式分成二或三组，分别分解，在提取公因式，如xy-x-y+1=(xy-x)-(y-1)=x(y-1)-(y-1)=(y-1)(x-1);判据：多项式项数在4项或以上留意：肯定要理解并记住每一种方法的判据，它是我们确定解题方法的关键！【解题思路】当我们拿到一道因式分解题目的时候，有这么多方法，我们究竟选哪一种呢?留意，这里我们千万不能碰运气式的随机尝试方法，我们选取方法是有先后依次的，如下图：切记，解题时肯定要根据这个依次选取方法，尤其是对初学者而言，形成这样的解题思路特别重要，平常家长或老师可以赐予适当引导。
北师大版八年级数学下册第四章因式分解1.1因式分解概念(教案)
其次，提公因式法是因式分解中的一个重点，也是同学们容易出错的地方。在课堂上，我尽量用简单明了的语言和具体的例子来解释，但仍有同学在操作过程中出现问题。我考虑在下一节课中，增加一些针对性的练习，帮助同学们更好地掌握这个方法。
此外，平方差公式的运用也是一个难点。部分同学在识别和应用平方差公式时感ห้องสมุดไป่ตู้困难，这说明我在教学过程中需要更加强调这个公式的特征和适用条件。或许可以通过一些具体的数学问题和实际案例，让同学们更好地理解平方差公式的运用。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解因式分解的概念：因式分解是将一个多项式分解成几个整式的积的形式。这是本节课的核心内容，需要学生掌握。
-掌握提公因式法：学生需要学会从多项式中提取公因式，并进行因式分解，如：ax + bx = x(a + b)。
-运用平方差公式：学生应掌握平方差公式a² - b² = (a + b)(a - b)，并能应用于因式分解。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“因式分解在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
北师大版八年级数学下册第四章因式分解1.1因式分解概念（教案）
一、教学内容
本节课选自北师大版八年级数学下册第四章《因式分解》的第一节“因式分解概念”。教学内容主要包括以下方面：
1.理解因式分解的概念，能将多项式分解成几个整式的积的形式。
2.掌握因式分解的基本步骤，能够运用提公因式法进行因式分解。
此外，平方差公式的运用也是一个难点。部分同学在识别和应用平方差公式时感ห้องสมุดไป่ตู้困难，这说明我在教学过程中需要更加强调这个公式的特征和适用条件。或许可以通过一些具体的数学问题和实际案例，让同学们更好地理解平方差公式的运用。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解因式分解的概念：因式分解是将一个多项式分解成几个整式的积的形式。这是本节课的核心内容，需要学生掌握。
-掌握提公因式法：学生需要学会从多项式中提取公因式，并进行因式分解，如：ax + bx = x(a + b)。
-运用平方差公式：学生应掌握平方差公式a² - b² = (a + b)(a - b)，并能应用于因式分解。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“因式分解在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
北师大版八年级数学下册第四章因式分解1.1因式分解概念（教案）
一、教学内容
本节课选自北师大版八年级数学下册第四章《因式分解》的第一节“因式分解概念”。教学内容主要包括以下方面：
1.理解因式分解的概念，能将多项式分解成几个整式的积的形式。
2.掌握因式分解的基本步骤，能够运用提公因式法进行因式分解。
北师大版八年级数学下册 4.1 因式分解 课件
合作探究
例1 下列各式从左到右的变形属于因式分解的是( D ) A．a2＋1＝a(a＋ 1 ) a B．(x＋1)(x－1)＝x2－1 C．a2＋a－5＝(a－2)(a＋3)＋1 D．x2y＋xy2＝xy(x＋y)
导引：紧扣因式分解的定义进行判断．
因为 1 不是整式，所以a2＋1＝a(a＋ 1 )不是因式分解，
北师大版数学八年级下册
第四章 因式分解
4.1 因式分解
学习目标
1．了解因式分解的意义，理解因式分解的 概念。
2．认识因式分解与整式乘法的相互关系— —互逆关系（即相反变形）。
复习导入
口答： x x 1 __x_2___x__ x 1 x 1 __x_2___1__ 2x 3x 7 _6__x_2 ___1_4_x__
6．分解因式 x2＋ax＋b 时，甲看错了 a 的值，分解的结果是 (x＋6)(x－1)，乙看错了 b 的值，分解的结果为(x－2)(x＋1)， 求 a，b 的值．
解：由已知得，甲没有看错 b 的值，乙没有看错 a 的值． ∵(x＋6)(x－1)＝x2＋5x－6，∴b＝－6， ∵(x－2)(x＋1)＝x2－x－2，∴a＝－1.
解：(2)(4)是因式分解．理由：只有(2)(4)是把一个多项 式化成几个整式的积的形式．
2 (中考·海南)下列式子从左到右的变形是因式分解 的是( B ) A．a2＋4a－21＝a(a＋4)－21 B．a2＋4a－21＝(a－3)(a＋7) C．(a－3)(a＋7)＝a2＋4a－21 D．a2＋4a－21＝(a＋2)2－25
反过来 x2 x __x__x___1___ x2 1 __x___1___x___1__
合作探究
知识点 1 因式分解的定义
八年级数学下册 4.1 因式分解课件 (新版)北师大版
能力提升 拓展应用
１当 a 3.14,b 2.386,c 1.386时， 求ab ac的值 .
解: ab-ac=a(b-c) 当a=3.14, b=2.386, c=1.386时, 原式=3.14×(2.386-1.386)
=3.14
2. 20082+2009能被2008整除吗? 解: ∵20082+2009=2008(2008+1)
用a表示任意一个大于1的整数，则：
a3 a a a2 a a (a 2 1) a (a 1)(a 1) (a 1) a (a 1)
上面式子化成了几个整式积的形式
思考：因式分解与整式乘法有什么关系？
因式分解定义
• 把一个多项式化成几__个__整__式__的__积__的 形式,这种变形叫做把这个多项式 分解因式，也叫因式分解。
探究993-99能被100整除吗?
小明是这样想的: 993-99=99×992-99 ×1
=99 ×(992-1) =99 (99+1)(99-1)
= 99×100×98 所以, 993-99能被100整除.
你知道每一步的根据吗?
想一想: 993-99还能被哪些整数整除? 答： 98， 99
将99换成其他任意一个大于1 的整数,上述结论仍然成立吗?
第四1） 736×95+736×5 解 ：736×95+736×5=736×（95+5） =736×100=73600
-2.67× 132+25×2.67+7×2.67=
（2）-2.67× 132+25×2.67+7×2.67 解：-2.67× 132+25×2.67+7×2.67 =2.67×（-132+25+7）=2.67×（-100）=-267
4-1 因式分解(课件)八年级数学下册(北师大版)
B．a2－b2－c2＝(a－b)(a＋b)－c2
C．10x2－5x＝5x(2x－1)
D．x2－16＋6x＝(x＋4)(x－4)＋6x
随堂练习
3.把x2－3xy2分解因式，结果正确的是( D )
A．(x＋3xy)(x－3xy)
பைடு நூலகம்
B．x(x－3xy)
C．x2(1－3xy2)
D．x(x－3y2)
4. 20162－2016不能被下列哪个数整除？( B )
A．a2＋1＝a(a＋
1
)
a
B．(x＋1)(x－1)＝x2－1
C．a2＋a－5＝(a－2)(a＋3)＋1
D．x2y＋xy2＝xy(x＋y)
探究新知
分解因式的要求：
1.分解的结果最后是积的形式；
2.每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低
于多项式的次数；
3.必须分解到每个因式不能再分解为止
随堂练习
A．6
B．2017
C．2016
D．2015
随堂练习
5.若x2＋3x＋m＝(x＋1)(x＋2)，则m的值为( B )
A．1
B．2
C．3
D．4
6. 一个多项式分解因式的结果是(b3＋2)(2－b3)，那么
这个多项式是( B )
A．b6－4
B．4－b6
C．b6＋4
D．－b6－4
随堂练习
7. (3a－y)(3a＋y)是下列哪一个多项式因式分解的结果( C )
(2)2a3b2c+4ab3c-abc
=abc·2a2b+abc·4b2-abc·1
=abc (2a2b+4b2-1)
随堂练习
9.将下列各式分解因式
C．10x2－5x＝5x(2x－1)
D．x2－16＋6x＝(x＋4)(x－4)＋6x
随堂练习
3.把x2－3xy2分解因式，结果正确的是( D )
A．(x＋3xy)(x－3xy)
பைடு நூலகம்
B．x(x－3xy)
C．x2(1－3xy2)
D．x(x－3y2)
4. 20162－2016不能被下列哪个数整除？( B )
A．a2＋1＝a(a＋
1
)
a
B．(x＋1)(x－1)＝x2－1
C．a2＋a－5＝(a－2)(a＋3)＋1
D．x2y＋xy2＝xy(x＋y)
探究新知
分解因式的要求：
1.分解的结果最后是积的形式；
2.每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低
于多项式的次数；
3.必须分解到每个因式不能再分解为止
随堂练习
A．6
B．2017
C．2016
D．2015
随堂练习
5.若x2＋3x＋m＝(x＋1)(x＋2)，则m的值为( B )
A．1
B．2
C．3
D．4
6. 一个多项式分解因式的结果是(b3＋2)(2－b3)，那么
这个多项式是( B )
A．b6－4
B．4－b6
C．b6＋4
D．－b6－4
随堂练习
7. (3a－y)(3a＋y)是下列哪一个多项式因式分解的结果( C )
(2)2a3b2c+4ab3c-abc
=abc·2a2b+abc·4b2-abc·1
=abc (2a2b+4b2-1)
随堂练习
9.将下列各式分解因式
初二下册因式分解公式法、十字相乘法
因式分解的常用方法第一部分：方法介绍提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法． 一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.【知识要点】1．运用公式法：如果把科法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。
2．乘法公式逆变形（1）平方差公式：))((22b a b a b a -+=-（2）完全平方公式：222222)(2,)(2b a b ab a b a b ab a -=+-+=++ 3．把一个多项式分解因式，一般可按下列步骤进行： （1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；（2）如果多项式没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解； （3）如果上述方法不能分解，那么可以尝试用。
思维导航：运用公式法是分解因式的常用方法，运用公式法分解因式的思路主要有以下几种情况： 一、直接用公式:当所给的多项式是平方差或完全平方式时，可以直接利用公式法分解因式。
例1、 分解因式：（1）x 2-9 （2）9x 2-6x+1二、提公因式后用公式:当所给的多项式中有公因式时，一般要先提公因式，然后再看是否能利用公式法。
例2、 分解因式：（1）x 5y 3-x 3y 5 （2）4x 3y+4x 2y 2+xy 3三、系数变换后用公式:当所给的多项式不能直接利用公式法分解因式,往往需要调整系数,转换为符合公式的形式,然后再利用公式法分解.例3、 分解因式：(1)4x 2-25y 2 (2)4x 2-12xy 2+9y 4四、指数变换后用公式:通过指数的变换将多项式转换为平方差或完全平方式的形式,然后利公式法分解因式,应注意分解到每个因式都不能再分解为止.例4、 分解因式:(1)x 4-81y 4 (2)16x 4-72x 2y 2+81y 4五、重新排列后用公式:当所给的多项式不能直接看出是否可用公式法分解时，可以将所给多项式交换位置，重新排列，然后再利用公式。
八年级数学下册 第四章 因式分解 4.1 因式分解课件
A．xy²－x²y＝x（y²－xy）；
B．9xyz－6 x²y²＝3xyz（3－2xy）
C．3 a²x－6bx＋3x＝3x（a²－2b）； D． x y²＋ x²y＝ xy（x＋y）
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第十三页，共十七页。
随堂检测
3．（－2）²ºº¹＋（－2）²ºº²等于（ ） C
A．－2²ºº¹ B．－2²ºº²
解：99³-99
=99 ²×99 －99
=99 ×980 =98 ×99 ×100
所以， 99³-99能被100整除.
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第四页，共十七页。
合作探究
问题1：99³-99能被100整除吗？你是怎么想的？还能被哪些正整数整除？
解：99³-99 =98 ×99 ×100
=2×7×7×3×3×11×2×2×5×5
本节课学习了因式分解的意义， 即把一个(yī ɡè)多项式化成几个整式的积的形式；还知道 了整式乘法与分解因式的关系是互为逆（相反方向）的变形.
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第十五页，共十七页。
再见 (zàijiàn)
2021/12/11
第十六页，共十七页。
内容(nèiróng)总结
No 八年级下册。经历从分解因数到分解因式的类比过程.。问题1：99³-99能被100整除吗。所以(suǒyǐ)， 99³-
C．2x²－6x
D．－2x²－6x
3．若多项式x²＋mx＋n因式分解为(x－3)(x＋1)，则m，n的值分别为( )
A．2，3 B．－2，3 C．2，－3 D．－2，－3
D
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第三页，共十七页。
合作探究
探究点一
问题1：99³-99能被100整除吗？你是怎么(zěn me)想的？还能被哪些正整数整除？
八年级数学下册 第四章 因式分解 4.1 因式分解课件 北师大下册数学课件
(P93做一做拓展)。因式分解与整式乘法的联系(liánxì)与区别。★★3.(2019·梁子湖区期中)仔细阅读下面例题,解答
问题:
世纪金榜导学号。【素养培优】
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12/12/2021
第三十四页，共三十四页。
( C)
A.1
B.-1
C.-6
D.6
第二十一页，共三十四页。
★2.已知2x2+4x-b的一个因式(yīnshì)为x-1,求b值. 解:设另一个因式为2x+m,根据题意得:2x2+4x-b=
(x-1)(2x+m)=2x2+(m-2)x-m,
∴m-2=4,-m=-b,解得:m=b=6,则b值为6.
第二十二页，共三十四页。
是分解因式的是 ( B )
A.m(a+b+c)=ma+mb+mc B.x2+5x=x(x+5)
第十四页，共三十四页。
C.x2+5x+5=x(x+5)+5
D.a2+1=a （ a 1 ）
a
第十五页，共三十四页。
★2.983-98能被100整除(zhěngchú)吗?能被99整除吗?能被98整 除吗? 解:983-98=98(982-1)
第十二页，共三十四页。
【学霸提醒】 因式分解要注意以下几点 (1)分解的对象必须是多项式.
(2)分解的结果一定是几个整式(zhěnɡ shì)的乘积的形式. (3)要分解到不能分解为止019·济宁嘉祥(jiā xiánɡ)一模)下列各式从左到右的变形中,
别:
第四页，共三十四页。
a(a+1)=___a_2_+_a___ (a+1)2=___a_2_+_2_a_+_1___
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( x 1)
2
xy y
2
谈谈你有什么收获？
1.下列由左到右的变形哪些是因式分解？
(1)a( x y ) ax ay (2)10 x 5 x 5 x(2 x 1)
2
(3) y 4 y 4 ( y 2)
2 2
2
(4)t 16 3t (t 4)(t 4) 3t
2
2
根据上面的算式进行因式分解：
2
3x( x 1) （1）3x -3x=________ m(a b 1) （2）ma+mb-m=________
2 2
2
(m 4)(m 4) （3）m -16=________
( y 3) （4）y -6y&#式乘法有什么关系？
2 2
2
变形叫做因 式分解
计算下列各式：
3x 3x (1)3x(x-1)=______ ma mb m (2)m(a b 1) _________
2
(3)(m 4)(m 4) ______ m 16
2
y 6y 9 (4)( y 3) ________
2
3.2m n (2m n)(2m n) ×
2 2
4. 2a 4a 2a(a 2) ×
2
5.x x x x( x x) ×
3 2 2
x y
2
2
2
y( x y)
9 25 x
2
(3 5x)(3 5x)
x 2x 1
( x y)( x y)
2.连一连
x 4x 4
2
( x 2)( x 2)
x 2x 1
2
( x 1)( x 1)
4x 1
2
( x 1)
2
2
x 1
2
( x 2)
x 4
2
(2 x 1)(2 x 1)
3. 1999
1999 能被 1999 整除吗？ 能被 2000 整除吗？
2
计算：
2.3 12 1.9 12 1.8 12 12 (2.3 1.9 1.8) 12 6 72
想一想
93-9能被10整除吗? 你是怎样想的?与同伴交流.
想一想: 解决此类 问题的关 键是什么?
类比是一种 你能尝试把 a a 化成几个整式的乘积 很重要的思 的形式吗？与同伴交流 想方法
2 2
3.x 4 x 4 ( x 2)
2 2 2
2
4.(a 3)(a 3) a 9 5.m 4 (m 2)(m 2) 6.2mR 2mr 2m( R r )
检验下列因式分解是否正确
1.x xy x( x y ) √
2
2.a 5a 6 (a 2)(a 3) √
因 式 因式分解（一） 分 解
因 式 分 解
3x( x 1)
整式乘法 因式分解
3x 3x
2
多项式的因式分解与整式乘法互为逆 变形过程
下列由左到右的变形哪些是因式分解？ 哪些是整式乘法？
1.x 4 y ( x 2 y )( x 2 y )
2 2
因式分解 整式乘法 因式分解 整式乘法 因式分解 因式分解
2.(5a 1) 25a 10a 1
(1)15 x y 3 x 5 xy
2
(2)a b 1 (a b)(a b) 1 3 把一个多项 2 (3)a 2a 3 a (a 2 ) a 式化成几个 整式的积的 2 (4)a 4 (a 2)(a 2) 形式，这种
2 2
(5)( x y ) x 2 xy y
3
3 a -a
=a(a2-1) =a(a+1)(a-1)
am bm cm
m(a b c)
x x x 1
2
( x 1)( x 1)
把一个多项式化成几个整式的积的形 式，这种变形叫做因式分解，因式分 解也可称为分解因式。
（4） 下列从左到右的变形中，是因式分解的是_______
2
xy y
2
谈谈你有什么收获？
1.下列由左到右的变形哪些是因式分解？
(1)a( x y ) ax ay (2)10 x 5 x 5 x(2 x 1)
2
(3) y 4 y 4 ( y 2)
2 2
2
(4)t 16 3t (t 4)(t 4) 3t
2
2
根据上面的算式进行因式分解：
2
3x( x 1) （1）3x -3x=________ m(a b 1) （2）ma+mb-m=________
2 2
2
(m 4)(m 4) （3）m -16=________
( y 3) （4）y -6y&#式乘法有什么关系？
2 2
2
变形叫做因 式分解
计算下列各式：
3x 3x (1)3x(x-1)=______ ma mb m (2)m(a b 1) _________
2
(3)(m 4)(m 4) ______ m 16
2
y 6y 9 (4)( y 3) ________
2
3.2m n (2m n)(2m n) ×
2 2
4. 2a 4a 2a(a 2) ×
2
5.x x x x( x x) ×
3 2 2
x y
2
2
2
y( x y)
9 25 x
2
(3 5x)(3 5x)
x 2x 1
( x y)( x y)
2.连一连
x 4x 4
2
( x 2)( x 2)
x 2x 1
2
( x 1)( x 1)
4x 1
2
( x 1)
2
2
x 1
2
( x 2)
x 4
2
(2 x 1)(2 x 1)
3. 1999
1999 能被 1999 整除吗？ 能被 2000 整除吗？
2
计算：
2.3 12 1.9 12 1.8 12 12 (2.3 1.9 1.8) 12 6 72
想一想
93-9能被10整除吗? 你是怎样想的?与同伴交流.
想一想: 解决此类 问题的关 键是什么?
类比是一种 你能尝试把 a a 化成几个整式的乘积 很重要的思 的形式吗？与同伴交流 想方法
2 2
3.x 4 x 4 ( x 2)
2 2 2
2
4.(a 3)(a 3) a 9 5.m 4 (m 2)(m 2) 6.2mR 2mr 2m( R r )
检验下列因式分解是否正确
1.x xy x( x y ) √
2
2.a 5a 6 (a 2)(a 3) √
因 式 因式分解（一） 分 解
因 式 分 解
3x( x 1)
整式乘法 因式分解
3x 3x
2
多项式的因式分解与整式乘法互为逆 变形过程
下列由左到右的变形哪些是因式分解？ 哪些是整式乘法？
1.x 4 y ( x 2 y )( x 2 y )
2 2
因式分解 整式乘法 因式分解 整式乘法 因式分解 因式分解
2.(5a 1) 25a 10a 1
(1)15 x y 3 x 5 xy
2
(2)a b 1 (a b)(a b) 1 3 把一个多项 2 (3)a 2a 3 a (a 2 ) a 式化成几个 整式的积的 2 (4)a 4 (a 2)(a 2) 形式，这种
2 2
(5)( x y ) x 2 xy y
3
3 a -a
=a(a2-1) =a(a+1)(a-1)
am bm cm
m(a b c)
x x x 1
2
( x 1)( x 1)
把一个多项式化成几个整式的积的形 式，这种变形叫做因式分解，因式分 解也可称为分解因式。
（4） 下列从左到右的变形中，是因式分解的是_______