必修四三角函数和三角恒等变换知识点及题型分类汇总
必修4复习-三角恒等变换与三角函数的性质
答案：2
2．(2012· 唐山模拟)已知tan 2θ＝－2 2，π＜2θ＜2π，化简 θ 2cos22－sin θ－1 2sin
π θ＋ 4
＝________.
1i s )2 xn 2 x2soc
求函数递 增区间.
略解:
1 cos2x 3 sin2x 2 2
(ni s π x2 ) 6 1
17
»感受三角变换的魅力
1n t 例4、 知t a 已n a , 7 角 ， 求 2 . 1 , 并 且， 均 为 锐 3
－lg(1＋sin 2x) sin x＋cos x2 1＋sin 2x ＝lg ＝lg ＝0. 1＋sin 2x 1＋sin 2x
[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！)
α 1 －tan2 1－cos 2α 1．(2012· 洛阳模拟)化简： α · sin 2α ＝________. tan2
4 答案：－3
cos α－sin α 5．已知α、β均为锐角，且tan β＝ ， cos α＋sin α 则tan(α＋β)＝__________. π 1－tan α 解析：tan β＝ ＝tan 4－α， 1＋tan α
π ∵α、β为锐角，∴β＝4－α， π ∴α＋β＝4，∴tan(α＋β)＝1.
答案：1
»感受三角变换的魅力
例3、函 求 数 值小 和值 最 解：y ni s yx i s n 3 c x的， so 周最 期大 . 1i s x 3oc x 3oc x 2(n s s 2 2
00三角函数、三角恒等变换、解三角形知识点归纳
T
P
A
Mo
x
P A
oM x
（Ⅱ） T
（Ⅰ）
y
T
y
M
A
o
x
P （Ⅲ）
MA
o
x
（Ⅳ） P T
由四个图看出：
当角 的终边不在坐标轴上时，有向线段 OM x, MP y ，于是有
sin y y y MP ， cos x x x OM ， tan y MP AT AT
r1
r1
x OM OA
B.方法与要点 一个口诀 1、诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．
2、四种方法
在求值与化简时，常用方法有：
(1)弦切互化法：主要利用公式 tan α＝sin α化成正、余弦． cos α
(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化．
（ sin cos 、 sin cos 、 sin cos 三个式子知一可求二）
第一象限角的集合为 k 360 k 360 90, k 第二象限角的集合为 k 360 90 k 360 180, k 第三象限角的集合为 k 360 180 k 360 270, k 第四象限角的集合为 k 360 270 k 360 360, k 终边在 x 轴上的角的集合为 k 180, k 终边在 y 轴上的角的集合为 k 180 90, k 终边在坐标轴上的角的集合为 k 90, k
三角函数知识点总结
一、任意角、弧度制及任意角的三角函数
1．任意角 (1)角的概念的推广 ①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．
正角:按逆时针方向旋转形成的角 任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角
零角:不作任何旋转形成的角
必修四(三角函数,平面向量,三角恒等变换)
必修四第一章三角函数★湖北高考要求的图象和性质函数★课本内容解读一、任意角和弧度制：<一）任意角：1. 任意角的定义<旋转定义法）：正角零角负角2. 象限角与轴线角：3. 终边相同角的集合：终边落在射线上<过原点）的角的集合：终边落在直线上<过原点）的角的集合：终边落在坐标轴上的角的集合：4. 基本题型：判断给定角的终边的位置：如角的终边位置。
在给定范围内找与已知角终边相同的角: 如在内找出终边与角相同的所有角。
<二）弧度制：1. 弧度制定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角。
2.弧度数公式：3. 弧度与角度之间的互化：4. 之间特殊角的弧度数与角度数：5. 扇形的面积公式：,与结合后有三种形式6. 基本题型：角度数与弧度数的互化弧度数公式及扇形面积公式的应用二、任意角的三角函数：(一> 任意角的三角函数：1. 任意角的三角函数的定义：坐标定义法：2. 三个三角函数的符号<从定义出发）：一全<正），二正弦<正），三正切<正），四余弦<正）3. 公式一：4．三个三角函数线：正弦线、余弦线、正切线5. 同角三角函数的基本关系：<变形）6．基本题型：利用定义求一些特殊角的三个三角函数值：如：求的正弦、余弦与正切值给出角终边上的点或其他信息求三个三角函数值：三角函数符号的应用：作出已知角的三角函数线：利用三角函数线比较三角函数值的大小与解简单的三角不等式：利用同角三角函数的基本关系进行简单的计算、化简与证明：<二）三角函数的诱导公式：1. 基本公式：公式一：与的三个三角函数值的关系：公式二：与的三个三角函数值的关系：公式三：与的三个三角函数值的关系：公式四：与的三个三角函数值的关系：以上公式特点：函数名不变，符号看象限公式五：与的正余弦的关系：公式六：与的正余弦的关系：以上公式特点：函数名改变，符号看象限对上述公式要求理解证明方法，牢记公式2. 基本题型：利用基本公式进行计算与化简三、三角函数的图像与性质1.正弦曲线、余弦曲线，五点作图法及换元五点法2.正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：当时，当；当时，．在在上在上是增函数．对称轴3. 函数的图象与性质：<1）图象：可用换元五点法或图像变换作图；<2）性质：用整体代换思想结合相应基本三角函数求解，主要包括以下几个方面：周期，最值<相应自变量的值），单调区间，对称轴方程及对称轴点坐标等。
必修四三角恒等变换题型归纳梳理
三角恒等变换题型归纳梳理一、知识点总结：1、同角三角函数的基本关系式 ：①22sin cos 1θθ+=，②tan θ=θθcos sin ， 2、正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限） 3、和角与差角公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=± cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=. ααααcos sin 21)cos (sin 2±=±ϕ由点(,)a b 的象限决定,tan baϕ=). 4、二倍角公式及降幂公式sin 2sin cos ααα=. 2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-22tan tan 21tan ααα=-. 221cos 21cos 2sin ,cos 22αααα-+== 5、三角函数的周期公式函数sin()y x ωϕ=+， (A,ω,ϕ为常数，且A ≠0)的周期2||T πω=； 函数tan()y x ωϕ=+，,2x k k Z ππ≠+∈(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0)的周期||T πω=. 二、重难点题型突破：1、两角和与差的余弦公式的应用cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=例1．（1）（2019·山东高一期末）（ ）A B ． C ．D ． 10208020cos cos cos sin ︒-︒︒=1212-【解析】由诱导公式，所以选择A （2）．已知为锐角，为第三象限角，且，，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．【解析】为锐角，且，.为第三象限角，且，，.故选A. 【变式训练】（1）（2020·四川成都市·棠湖中学高一月考）cos80cos 200sin100sin340+=（ ）A ．12B ．2C ．12-D【详解】()()()cos80cos 200sin100sin340cos80cos 18020sin 18080sin 36020+=++--()cos80cos 20sin80sin 20cos80cos 20sin80sin 20=--=-+()1cos 8020cos602=--=-=-.故选：C.（2）（2018·徐汇区·上海中学高三月考）1cos(2)9αβ-=-，2sin(2)3αβ-=，且α、02πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，则()cos αβ+=________102080201020sin1020cos cos cos sin cos cos sin︒-︒︒=︒-︒︒1020sin1020cos(1020)cos302cos cos sin ︒-︒︒=︒+︒=︒=αβ12cos 13α=3sin 5β=-()cos αβ-6365-3365-63653365α12cos 13α=5sin 13α∴==β3sin 5β=-4cos 5β∴==-()12453cos cos cos sin sin 135135αβαβαβ⎛⎫⎛⎫∴-=+=⨯-+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6365=-【详解】由,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得：2,2παβπ⎛⎫-∈-⎪⎝⎭，2,2παβπ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，又1cos(2)09αβ-=-<，2sin(2)03αβ-=>，所以2,2παβπ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，20,2παβ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，sin(2)αβ-=，cos(2)αβ-=，又因为(2)(2)αβαβαβ+=---，所以 ()[]cos cos (2)(2)αβαβαβ+=---cos(2)cos(2)sin(2)sin(2)αβαβαβαβ=--+--1293=-+=. 二、两角和与差的正弦公式的应用sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±例2．（1）（2021·江苏高一）sin11cos19cos11cos71︒︒+︒︒的值为（ ）A B ．12C D 【详解】sin11cos19cos11cos71︒︒+︒︒sin11cos19cos11sin19=︒︒+︒︒()1sin 1119sin 302=︒+︒=︒=.故选：B. （2）（2020·湖南省平江县第一中学高三月考）若,αβ为锐角，且满足4cos 5α=，5cos()13αβ+=，则sin β的值为（ ）A ．1665-B ．3365C ．5665D ．6365【详解】因为,αβ为锐角，且4cos 5α=，5cos()13αβ+=， 所以312sin ,sin()513ααβ=+=，所以故sin sin[()]βαβα=+-124533313513565=⨯-⨯=，故选：B.【变式训练】．（1）（2020·全国高一课时练习）sin152sin 30cos15+=__．【详解】sin152sin 30sin152sin(4515)cos15cos15++-=sin15cos15sin151cos15+-==．答案为：1． （2）（2021·浙江宁波市·高一期末）已知35sin ,cos ,0,,,51322ππαβαβπ⎛⎫⎛⎫==-∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()sin αβ+=________.【详解】30,,sin 25παα⎛⎫∈= ⎪⎝⎭，则4cos 5α=，5,,cos 213πβπβ⎛⎫∈=- ⎪⎝⎭，则12sin 13β= ()3541233sin sin cos cos sin 51351365αβαβαβ⎛⎫+=+=⨯-+⨯= ⎪⎝⎭，故答案为：3365三、 两角和与差的正切公式的应用tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=例3．（1）（2020·全国高一单元测试）已知角α的顶点与坐标原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点(3,4)P --，则tan 4πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值为（ ） A ．247-B ．7-C ．247D ．1731【详解】由题意，利用任意角的三角函数的定义可得44tan 33α-==-， 所以41tan 13tan 7441tan 13πααα++⎛⎫+===- ⎪-⎝⎭-.故选：B . （2）．已知，，那么（ ）()2tan 5αβ+=1tan 44πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．【解析】因为，所以，故选:C【变式训练】（1）（2019·山东菏泽市·高一期中）已知α，β为锐角，3sin 5α=，12cos 13β=，则()tan αβ+的值为（ ）A ．5633B ．1663C ．3356D ．6316【详解】因为α，β为锐角，3sin 5α=，12cos 13β=，所以4cos 5α=，5sin 13β=.所以3tan 4α=，5tan 12β=. 所以()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++==-⋅5633.故选：A.（2）（2020·上海）()()()()1tan11tan 21tan31tan 44︒︒︒︒++++的值为（ ）． A ．222B ．232C ．112D ．122【详解】因为()tan1tan 44tan 45tan 14411tan1tan 44+=+==-，所以tan1tan 441tan1tan 44+=-，所以()()1tan11tan 441tan1tan 44tan1tan 44︒︒︒︒++=+++11tan1tan 44tan1tan 442︒=+-+=.同理：()()()()1tan 21tan 431tan31tan 42︒︒︒︒++=++()()1tan 221tan 232︒︒==++=所以，()()()()1tan11tan 21tan31tan 44︒︒︒︒++++13181322322518()44ππααββ⎛⎫+=+-- ⎪⎝⎭()()()tan tan 34tan tan 44221tan tan 4παββππααββπαββ⎛⎫+-- ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎝⎭+=+--== ⎪ ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎣⎦++- ⎪⎝⎭()()()()()()1tan11tan 441tan 21tan 431tan 221tan 23︒︒︒︒︒︒⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++⋅++++⎣⎦⎣⎦⎣⎦222=.故选：A.四、二倍角公式的应用sin 2sin cos ααα=；2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-22tan tan 21tan ααα=-；221cos 21cos 2sin ,cos 22αααα-+== 例4．（1）（2020·昆明市官渡区第一中学高一开学考试）已知cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 2α=（ ） A ．45B ．25C ．45±D ．25±【详解】cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,24cos 2=2cos 1245ππαα⎛⎫⎛⎫∴++-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即4sin 25α-=-, 所以4sin 25α=.故选:A . （2）.（2020·黑龙江双鸭山市·双鸭山一中高一期末（文））已知tan 34πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，则tan2α=（ ） A ．34-B ．43-C ．34D ．43【详解】tantan 1tan 4tan 341tan 1tan tan 4παπααπαα++⎛⎫+=== ⎪-⎝⎭-，解得1tan 2α=， 因此，22122tan 42tan 21tan 3112ααα⨯===-⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：D 【变式训练】（1）（2020·新疆生产建设兵团第五师高级中学高一开学考试）已知α是锐角，1sin 233πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 12πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值是（ ）A ．3B ．3-C ．3D ．3-【详解】设12x πα=-，则12x πα=-，则1sin 2sin 2sin 2cos 2312323x x x ππππα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-== ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 02πα<<，5121212πππα∴-<-<，即51212x ππ-<<，所以，cos 0x >，21cos 22cos 13x x ∴=-=，22cos 3x ∴=，因此，cos 3x =.故选：A. （2）（2020·江西高三月考（文））已知3tan 65πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则sin 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．817B ．817-C ．1517D ．1517-【详解】设6παθ+=，则223παθ+=，3tan tan 65παθ⎛⎫+==- ⎪⎝⎭，2222sin cos 2tan 15sin 22sin cos cos sin 1tan 17θθθθθθθθθ∴====-++．故选：D. 五、辅助公式的应用例5.（1）（2020·恩施清江外国语学校高二期末）函数())cos()2f x x x ππ=-+-的单调增区间为（ ） A ．5[2,2],66k k k Z ππππ-++∈ B ．2[2,2],33k k k Z ππππ-++∈ C ．5[2,2],66k k k Z ππππ-++∈ D ．2[2,2],33k k k Z ππππ-++∈【详解】())cos()2f x x x ππ=-+-cos x x =-2sin()6x π=-令22262k x k πππππ-+≤-≤+，解得：22233k x k ππππ-+≤≤+ 所以函数()f x 的单调递增区间为：2[2,2],33k k k Z ππππ-++∈，故选：D（2）（2020·全国高三专题练习（理））已知向量()sin cos a x x x =-，()sin ,cos b x x =，函数()f x a b =⋅．（1）求()f x 的单调递增区间；（2）当50,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域．【详解】（1）向量()sin cos a x x x =-，()sin ,cos b x x =，()()222sin cos cos cos sin cos f x a b x x x x x x x x∴=⋅=+-=+-2cos 22sin 26x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，解不等式()222262k x k k Z πππππ-≤-≤+∈，得()63k x k k Z ππππ-≤≤+∈.因此，函数()y f x =的单调递增区间为(),63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦； （2）当50,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，22,663x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，则1sin 2126x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，()12f x ∴-≤≤. 因此，函数()y f x =在区间50,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[]1,2-.【变式训练】（1）（2020·忻州实验中学校月考）函数21()sin cos )2f x x x x =+-最小正周期为（ ） A ．2B ．1C ．2πD ．π【详解】21sin 21cos 21()sin cos )2222x x f x x x x +⎫=+-=+-⎪⎭1sin 22sin 2223x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，22T ππ∴==.故选：D（2）（2020·邵阳市第二中学高三其他模拟（文））已知函数()sin (0)f x x x ωωω=>的图象关于直线8x π=对称，则ω的最小值为（ ）A ．13B ．23C ．43D ．83【详解】()sin 2sin 3f x x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，由于该函数的图象关于直线8x π=对称，则()832k k Z πππωπ+=+∈，得()483k k Z ω=+∈，0ω>，当0k =时，ω取得最小值43.故选：C. 三、课后训练1．（2020·莆田第七中学高二期中）sin 45cos15cos 45sin15⋅+⋅的值为（ ）A ．B ．12-C ．12D ．2【详解】3sin 45cos15cos 45sin15sin(4515)sin 60⋅+⋅=+==，故选：D.2.（2020·蚌埠第一中学高三期中）已知sin α=，()sin 10αβ-=-，,αβ均为锐角，角β等于（ ）A ．5π12B ．π3C ．π4D ．π6【详解】因为,αβ均为锐角，所以22ππαβ-<-<.又()sin αβ-=，所以()cos αβ-=.又sin α=，所以cos α=. 所以()()()sin sin sin cos cos sin βααβααβααβ⎡⎤=--=---⎣⎦=5105102⎛⎫=--= ⎪ ⎪⎝⎭.所以π4β=.故选：C . 3．（2020·全国高二）已知α、β为锐角，3cos 5α=，()1tan 3βα-=，则tan β=（ ） A ．139B ．913C ．3D ．13【详解】α为锐角，则24sin 1cos 5αα，所以，sin 4tan cos 3ααα==， ()()()14tan tan 33tan tan 3141tan tan 133βααββααβαα+-+∴=-+===⎡⎤⎣⎦---⨯.故选：C. 4.（2020·广西桂林十八中高三月考（文））已知α22sin αα=，则cos2α等于（ ）A ．23B ．29C ．13-D ．49-【详解】因为cos 2sin ααα=，sin 0α≠，所以cos α=， 所以221cos22cos1133αα=-=-=-.故选：C. 5．（2020·林芝市第二高级中学高一期末）计算sin15sin30sin75的值等于（）AB C ．18D ．14【详解】原式111sin15cos15sin30248===．故选C 6．（2021·全国高三专题练习）要得到函数2sin 2y x x =+-2sin 2y x =的图象（ ）A ．向左平移3π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向左平移6π个单位 D ．向右平移6π个单位【详解】依题意2ππsin 22sin 22sin 236y x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故只需将函数2sin 2y x =的图象向左平移6π个单位.所以选C.7．（2020·邵阳市第二中学高三其他模拟（文））已知函数()sin (0)f x x x ωωω=+>的图象关于直线8x π=对称，则ω的最小值为（ ）A ．13B ．23C ．43D ．83【详解】()sin 2sin 3f x x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， 由于该函数的图象关于直线8x π=对称，则()832k k Z πππωπ+=+∈，得()483k k Z ω=+∈， 0ω>，当0k =时，ω取得最小值43.故选：C.8.（2020·杭州市西湖高级中学高一月考）在ABC ∆中，若()sin sin sin 2A B C C +-=，则ABC ∆的形状为（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形 【详解】()sin sin sin 2A B C C +-=，()()sin sin sin 2B C B C C ∴++-=，化简得sin cos sin cos B C C C =，即()cos sin sin 0C B C -=.cos 0C ∴=或sin sin 0B C -=，即2C π=或b c =.因此，ABC ∆为等腰三角形或直角三角形.故选：D.9．（2019·河北邢台市·邢台一中高一期末）已知()tan αβ1+=，()tan αβ7-=，则tan2β=______．【详解】()()()()()()tan tan 173tan2tan 1tan tan 1174αβαββαβαβαβαβ+---⎡⎤=+--===-⎣⎦++-+⨯,故答案为34- 10.（2020·浙江高一单元测试）已知15sin 17α=，5cos 13β=-，且 ,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求cos()αβ+，sin()αβ-.【详解】∵15sin 17α=，∴ 8cos 17α==±，∵ ,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴ 8cos 17α=-，∵ 5cos 13β=-，∴ 12sin 13β==±，∵ ,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴ 12sin 13β=， ∴ 851512cos()cos cos sin sin ()140()17131713221αβαβαβ+=-=-⨯---⨯=； 155812sin()sin cos cos sin ()()1713121227113αβαβαβ-=-=⨯---⨯=. 11．（2020·长沙市·湖南师大附中高二月考）设函数()ππsin sin 62f x x x ωω⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中03ω<<，已知π06f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）求()f x 的最小正周期；（2）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将整个图象向左平移π4个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在区间π3π,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值.【详解】（1）因为()ππ1sin sin sin cos cos 6222f x x x x x x ωωωωω⎛⎫⎛⎫=-+-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()3cos 223f x x x x πωωω⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，因为π06f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以0663f πππω⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以,63k k Z ππωπ-=∈， 所以62,k k Z ω=+∈，又03ω<<，所以2ω=，所以22T ππ==；（2）因为()23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）可得3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象向左平移π4个单位可得()4312g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为π3π,44x ⎡∈⎤-⎢⎥⎣⎦，所以π2π,1233x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以()min 332g x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，此时4πx =-， 所以()g x 的最小值为32-.12．（2020·天津南开区·南开中学高三月考）已知函数2()sin cos cos 22f x x x x x ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，x ∈R ．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）若α为锐角且7129f πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，β满足()3cos 5αβ-=，求sin β．【详解】（Ⅰ）()22sin cos 22f x x x x x =-+1sin 2cos 222x x =+sin 23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 所以()f x 的最小正周期T π=，令222232k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈，解得51212x k k ππππ-+≤≤，k Z ∈，所以函数()f x 的单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈． （Ⅱ）由（Ⅰ）得7sin 2cos 21229f ππααα⎛⎫⎛⎫+=+==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 227cos 22cos 112sin 9ααα=-=-=-因为α为锐角，所以1cos 3α=，sin 3α=， 又因为()3cos 5αβ-=，所以()4sin 5αβ-=±，所以()()()sin sin sin cos cos sin βααβααβααβ=--=⋅--⋅-=⎡⎤⎣⎦。
必修4-第三章三角恒等变换-知识点详解
必修4 第三章三角恒等变换知识点详解3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式1. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式：()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβαβαβαβααα=±=±−−−→=βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-2. 倍角公式：()()2222222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 21cos2sin 22tan tan 21tan 令 ＝ ＝ αβαβαβαβααααααβααβααβααααα=±=−−−→=-↓=-=-±±=⇒-↓=-3. 正切变形公式tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ)tanα-tanβ=tan(α-β)(1+tanαtanβ)3.2 简单的三角恒等变换三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。
即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。
基本的技巧有:（1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--，22αβαβ++=⋅，()()222αββααβ+=---等）， （2）公式变形使用（tan tan αβ±()()tan 1tan tan αβαβ=±。
三角恒等变换和三角函数性质专题
知识梳理 1.正弦、余弦、正切函数图像与性质
函数
y＝sinx
y＝cosx
y＝tanx
图像
定义域 值域 奇偶性 最小正周期
单调性
R
[－1,1] 奇函数 2π
在[－������＋2kπ，������＋2kπ](k∈Z)上递增．
2
2
在[������＋2kπ，3������＋2kπ](k∈Z)上递减
2
x＝－������＋2kπ，k∈Z时，y取得最小值－1
2
x＝2kπ，k∈Z时，y取得最大值1. 无最值
x＝π＋2kπ，k∈Z时，y取得最小值－1
对称中心：(kπ，0)(k∈Z)． 对称轴：x＝������+kπ(k∈Z)
2
对称中心：(������+kπ，0)(k∈Z)．
2
对称轴：x＝kπ(k∈Z)
2
2
R [－1,1] 偶函数 2π
在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上递增． 在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上递减
{x|x≠������＋kπ，k∈Z}
2
R 奇函数 π
在 ( － ������ ＋ kπ ， ������ ＋ kπ)(k ∈ Z)
2
2
上递增
最值 对称性
x＝������＋2kπ，k∈Z时，y取得最大值1.
例4.已知f ������
= sin
������
+
������ 6
+ sin
������
−
������ 6
+������������������������ + ������的最大值为1
必修4 数学 三角函数2——三角恒等变换
高中数学 必修4———三角恒等变换一、知识归纳1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+； ⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-； ⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）； ⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）． 2、二倍角的正弦、余弦和正切公式：(1)sin 22sin cos ααα=． （2）21sin 2(sin cos )ααα±=± (3)2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-（2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=）．（4）万能公式：a 、()sin cos αααϕA +B =+，其中tan ϕB =A ． b 、22tan sin 21tan ααα=+；221tan cos 21tan ααα-=+；22tan tan 21tan ααα=- 【类型题】2．若ABC △的内角A 满足322sin =A ，则=+A A cos sin （ ） A ．315 B ．315- C ．35 D ．35- 3．函数1)12(sin )12(cos )(22-++-=ππx x x f 是（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．奇函数且偶函数D ．既不是奇函数也不是偶函数4．若412sin =α，且)24(ππα，∈，则ααsin cos -的值是（ ） A ．23 B ．43 C ．23- D ．43- 5．已知31tan =α，21tan =β，则)2tan(βα+等于（ ） A ．34 B ．3 C ．31 D ．2- 9．函数x x x f cos 3sin )(-=（[]π，0∈x ）的单调递增区间是 。
必修四三角函数和三角恒等变换知识点与题型分类总结
三角函数知识点总结1、任意角：正角： ；负角： ；零角： ；2、角α的顶点与 重合，角的始边与 重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为 第二象限角的集合为 第三象限角的集合为 第四象限角的集合为 终边在x 轴上的角的集合为 终边在y 轴上的角的集合为 终边在坐标轴上的角的集合为 3、与角α终边相同的角的集合为 4、已知α是第几象限角，确定()*n nα∈N 所在象限的方法：先把各象限均分n 等份，再从x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象限对应的标号即为nα终边所落在的区域．5、 叫做1弧度．6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是 ．7、弧度制与角度制的换算公式：8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l= ．S=9、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距离是()220r r x y =+>，则sin y r α=，cos x r α=，()tan 0yx xα=≠． 10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正． 11、三角函数线：．12、同角三角函数的基本关系：(1) ;(2) ;(3) 13、三角函数的诱导公式：()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-．()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．()5sin cos 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭． ()6sin cos 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭．口诀：奇变偶不变，符号看象限． 重要公式⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）；⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）．二倍角的正弦、余弦和正切公式： ⑴sin 22sin cos ααα=．(2)2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-（2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=）．⑶22tan tan 21tan ααα=-．公式的变形：()βαβαβαtan tan 1)tan(tan tan μ•±=±，辅助角公式()22sin cos sin αααϕA +B =A +B +，其中tan ϕB =A． 14、函数sin y x =的图象平移变换变成函数()sin y x ωϕ=A +的图象． 15.函数()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>的性质：①振幅：A ；②周期：2πωT =；③频率：12f ωπ==T ；④相位：x ωϕ+；⑤初相：ϕ．16．图像正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：三角函数题型分类总结一．求值1、sin330︒= tan690° = o585sin =2、（1）(07全国Ⅰ) α是第四象限角，12cos 13α=，则sin α= （2）（09北京文）若4sin ,tan 05θθ=->，则cos θ= . （3）（09全国卷Ⅱ文）已知△ABC 中，12cot 5A =-，则cos A = . (4) α是第三象限角，21)sin(=-πα，则αcos = )25cos(απ+= 3、(1) (07陕西) 已知5sin ,5α=则44sin cos αα-= . (2)（04全国文）设(0,)2πα∈，若3sin 5α=，则2cos()4πα+= .（3）（06福建）已知3(,),sin ,25παπα∈=则tan()4πα+= 4（07重庆）下列各式中，值为23的是( ) （A ）2sin15cos15︒︒ （B ）︒-︒15sin 15cos 22（C ）115sin 22-︒（D ）︒+︒15cos 15sin 22 5. (1)(07福建) sin15cos75cos15sin105+oooo= (2)（06陕西）cos 43cos77sin 43cos167o o o o+= 。
人教版高中数学【必修四】[知识点整理及重点题型梳理]_三角恒等变换综合_基础
人教版高中数学必修四知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习三角恒等变换综合【学习目标】1、会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2、能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.3、能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.4、能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）.【知识网络】【要点梳理】要点一：两角和、差的正、余弦、正切公式sin()±αβ= ①；cos()±=αβ ②； tan()±=αβ ③；要点诠释：1．公式的适用条件(定义域) ：公式①、②对任意实数α，β都成立，这表明①、②是R 上的恒等式；公式③中,∈，且R αβk (k Z)2±≠+∈、、παβαβπ2．正向用公式①、②，能把和差角()±αβ的弦函数表示成单角α，β的弦函数；反向用，能把右边结构复杂的展开式化简为和差角()±αβ 的弦函数．公式③正向用是用单角的正切值表示和差角()±αβ的正切值化简．要点二：二倍角公式1. 在两角和的三角函数公式βαβαβαβα=+++中，当T C S ,,时，就可得到二倍角的三角函数公式222,,S C T ααα：sin 2α= 2()S α；cos2α= 2()C α； tan 2α= 2()T α．要点诠释：1．在公式22,S C αα中，角α没有限制，但公式2T αα中，只有当)(224Z k k k ∈+≠+≠ππαππα和时才成立；2. 余弦的二倍角公式有三种：ααα22sin cos 2cos -=＝1cos 22-α＝α2sin 21-；解题对应根据不同函数名的需要，函数不同的形式，公式的双向应用分别起缩角升幂和扩角降幂的作用．3. 二倍角公式不仅限于2α和α的二倍的形式，其它如4α是2α的二倍，24αα是的二倍，332αα是的二倍等等，要熟悉这多种形式的两个角相对二倍关系，才能熟练地应用二倍角公式，这是灵活运用这些公式的关键．要点三：二倍角公式的推论升幂公式：21cos 22cos αα+=， 21c o s 22s i n αα-=降幂公式：ααα2sin 21cos sin =； 22cos 1sin 2αα-=；22cos 1cos 2αα+=.要点四：三角恒等变换的基本题型三角式的化简、求值、证明是三角恒等变换的基本题型： 1．三角函数式的化简（1）常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等．（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数．2．三角函数的求值类型有三类（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如2(),()()ααββααβαβ=+-=++-等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角．3．三角等式的证明（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端化“异”为“同”；（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明．【典型例题】类型一：正用公式 例1．已知2313sin ,,,cos ,,23232πααππββπ⎛⎫⎛⎫=-∈=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （1）求sin2α的值；（2）求()cos αβ-的值．【思路点拨】（1）由题意知，cos α=，然后利用二倍角公式求得sin 2α的值．（2）求得sin β=【答案】（12【解析】（1）23sin ,,,32πααπ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭得cos 3α=-，2sin 22sin cos 23ααα⎛⎛⎫==⨯-⨯= ⎪ ⎝⎭⎝⎭（2）13cos ,,2,32πββπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭得sin 3β=-()cos cos cos sin sin αβαβαβ∴-=+=1233⎛⎛⎫+-⨯ ⎪ ⎝⎭⎝⎭=9举一反三：【变式1】求值： sin15︒= ；sin 75︒= ；cos75︒=【答案】4 4 4【解析】sin15sin(6045)sin 60cos 45cos 60sin 454︒=︒-︒=︒︒-︒︒=，sin 75sin(3045)sin 30cos 45cos30sin 454︒=︒+︒=︒︒+︒︒=，cos 75cos(3045)cos30cos 45sin 30sin 45︒=︒+︒=︒︒-︒︒=. 【变式2】已知tan α和tan β是方程2260x x +-=的两个根，求tan()αβ+的值. 【答案】18-【解析】由韦达定理，得21tan tan -=β+α， 3tan tan -=β⋅α， ∴ 81tan tan 1tan tan )tan(-=β⋅α-β+α=β+α. 例2．已知2π＜β＜α＜4π3，cos （α－β）=1312，sin （α+β）=－53，求sin2α的值． 【思路点拨】因为2()()ααβαβ=++-，分别求出αβ+和αβ-的正弦值和余弦值，利用两角和的正弦公式可求解． 【答案】5665－ 【解析】∵432π＜β＜α＜π，∴π＜α＋β＜23π，0＜α－β＜4π ∵sin(α＋β)＝－53，cos(α－β)＝1312，∴cos(α＋β)＝－54，sin(α－β)＝135∴sin2α＝sin[(α＋β)＋(α－β)]＝6556－．【总结升华】（1）解题中应用了2()()ααβαβ=++-式子的变换，体现了灵活解决问题的能力，应着重体会，常见的变换技巧还有(),βαβα=+-2()()βαβαβ=+--, 2()αβαβα+=++等.（2）已知某一个（或两个）角的三角函数值，求另一个相关角的三角函数值，基本的解题策略是从“角的关系式”入手切入或突破.角的关系主要有互余（或互补）关系，和差（为特殊角）关系，倍半关系等.对于比较复杂的问题，则需要两种关系的混合运用.举一反三：【变式1】（2017 江苏海陵区月考）已知13sin )14αβα=-=，且02πβα<<<． （1）求tan2α的值；（2）求cosβ的值． 【思路点拨】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosα，tanα，进而利用二倍角的正切函数公式可求tna2α的值．（2）由已知可求范围02πβα-<-<，利用同角三角函数基本关系式可求sin （β－α）的值，由β=（β－α）+α，利用两角和的余弦函数公式即可计算得解．【答案】（1）47-；（2）12【解析】（1）∵sin 7α=，且02πβα<<<．∴1sin cos ,tan 7cos αααα====∴22tan tan 21tan 47ααα==--． （2）∵13cos()14βα-=，且02πβα<<<．∴02πβα-<-<，可得：sin()14βα-==-∴1311cos cos()]cos()cos sin()sin (1471472ββααβααβαα=-+=---=⨯--⨯= 【变式2】已知4cos()cos 2.125212πππθ-=-<θ<πθ，且，求（＋）的值【答案】50【解析】角的关系式：4)12(2122ππθπθ+-=+（和差与倍半的综合关系）∵4cos()1252ππθ-=-<θ<π，且，∴53)12sin(=-πθ∴2524)12cos()12sin(2)12(2sin -=--=-πθπθπθ2571)12(cos 2)12(2cos 2=--=-πθπθ ∴]4)12(2cos[.122cos ππθπθ+-=）＋（＝)]12(2sin )12(2[cos 22πθπθ---724()2252550=+=类型二：逆用公式 例3.求值：（1）sin 24cos36cos24cos54︒︒+︒︒；（2）1cos 212212ππ+； （3）01tan 751tan 75+-； 【思路点拨】 题目中涉及到的角并非特殊角，而从式子的结构出发应逆用和角公式等先化简再计算． （1）若将式中的cos54︒改写为sin36︒则恰为两角和的正弦； （2）中将其转化为特殊角的三角函数值，然后可以逆用公式； （3）利用tan 451︒=将1tan15+︒视为tan 45tan15︒+︒,将1tan15-︒视为1tan 45tan15-︒︒，则式子恰为两角和的正切.【答案】（1）2（2）2（3【解析】（1）原式=sin 24cos36cos 24sin 36sin(2436)︒︒+︒︒=︒+︒=；（2）原式=sin 30cos15cos30sin15sin(3015)2=︒︒+︒︒=︒+︒=；（3）原式0000000tan 45tan 75tan(4575)tan1201tan 45tan 75+==+==- 【总结升华】①把式中某函数作适当的转换之后，再逆用两角和（差）正（余）弦公式，二倍角公式等，即所谓“逆用公式”．②辅助角公式：sin cos )a b αααϕ+=+，其中角ϕ在公式变形过程中自然确定. 举一反三： 【变式1】求值：（1）sin164sin 224sin 254sin314⋅+⋅； （2）0000sin 20cos110cos160sin 70+； （3）sin347cos148sin 77cos58⋅+⋅ 【答案】（1）1/2（2）－1（3）1/2 【解析】（1）原式1sin16sin 44cos16cos 44cos(1644)2=-⋅+⋅=+=； （2）原式=0sin 20cos 70cos 20sin 70sin(2070)1--=-+=-；（3）原式＝()2cos 77sin 58sin 77cos58sin 7758sin135+=+==【变式2】下列各式中，值为12的是（ ）A.cos15sin15︒︒B.22cos 112π-C.D. 2tan 22.51tan 22.5︒-︒【答案】D ；【解析】11cos15sin15sin 3024︒︒=︒=；22cos 1cos1262ππ-==；cos15=︒； 22tan 22.512tan 22.511tan 451tan 22.521tan 22.522︒︒=⋅=︒=-︒-︒. 例4. 求值：（1）cos36cos72︒︒；（2）πππ73cos 72cos 7cos【思路点拨】问题的特征是角存在倍角关系，且都是余弦的乘积．方法是分子分母（分母视为1）同乘以最小角的正弦．【答案】（1）1/4（2）1/8 【解析】（1）原式=000000000sin 36cos36cos 721sin 72cos 721sin1441sin 362sin 364sin 364=⨯=⨯=； （2）原式=πππππππ74cos 72cos 7cos )74cos(72cos 7cos-=-24sin cos cos cos 7777sin7224sin cos cos 7772sin78sin 7...8sin718πππππππππππ=-=-==-=-【总结升华】此种类型题比较特殊，特殊在：①余弦相乘；②后一个角是前一个角的2倍；③最大角的2倍与最小角的和与差是π．三个条件缺一不可．另外需要注意2的个数．应看到掌握了这些方法后可解决一类问题，若通过恰当的转化，转化成具有这种特征的结构，则可考虑采用这个方法．举一反三：【变式】求值：cos20cos40cos80︒︒︒【答案】18【解析】原式=2sin 20cos 20cos 40cos802sin 20︒︒︒︒︒=00000020sin 880cos 80sin 220sin 2280cos 40cos 40sin 2=⨯ =8120sin 8160sin 00=． 类型三：变用公式 例5．求值：（1）0tan 20tan 4020tan 40++；（2）00(1tan 2)(1tan 43)++【思路点拨】表示两个正切的和，可以“凑”公式的变形：tan tan tan tan (1tan tan )1tan tan αβαβαβαβ++=--tan()(1tan tan )αβαβ=+-.（1）中204060︒+︒=︒，又340tan 20tan 140tan 20tan )4020tan(00000=-+=+，变形：0000tan 20tan 40tan 20tan 40)+=-.【答案】（1（2）2 【解析】（1）原式000000tan(2040)(1tan 20tan 40)20tan 40=+-+000020tan 4020tan 40=+=（2）原式=01tan 2tan 43tan 2tan 43+++0000001tan(243)(1tan 2tan 43)tan 2tan 43=++-+000011tan 2tan 43tan 2tan 432=+-+=【总结升华】本题是利用了两角和正切公式的变形，找出tan tan ,tan tan αβαβ+与tan()αβ+三者间的关系，进行转化，即所谓“变用公式”解决问题；变用公式在一些解三角问题中起着重要作用，需灵活掌握.但它是以公式原型为基础，根据题目需要而采取的办法，如：tan 451︒=，22sin cos 1αα+=.举一反三：【变式1】（2015春 甘肃高台县期末）化简tan 70cos10201)︒︒︒-． 【答案】－1【解析】sin 70cos10tan 70cos10201)cos 70︒︒︒︒︒-=︒sin 70cos102sin(2030)cos70cos 20︒︒︒-︒=⋅︒︒2sin10cos10sin 70sin 20sin 701sin 20cos 20sin 20cos 20-︒︒︒-︒︒===-︒︒︒︒．例6. 化简：（1）sin 50(1)︒+︒；(2）222cos 12tan()sin ()44αππαα--+【思路点拨】（1）题中首先“化切为弦”，同时用好“50︒”和“40︒”的互余关系，注意逆用和角公式化简； （2）题初看有“化切为弦”，“降幂”等诸多想法，但首先应注意到2)4()4(παπαπ=++-这个关系． 【答案】（1）1（2）1 【解析】（1）原式0sin50(1=0sin50= =000000sin 30cos10cos30sin102sin50cos10+⋅000000000sin 402cos40sin 402sin50cos10cos10sin80cos101cos10cos10=⋅====（2）原式=2cos 22tan()sin [()]424απππαα---2cos 22sin()4cos ()4cos()4cos 22sin()cos()44cos 2cos 2cos 2sin(2)21απαπαπααππααααπαα=-⋅--=--==-=【总结升华】（1）三角变换所涉及的公式实际上正是研究了各种组合的角（如和差角，倍半角等）的三角函数与每一单角的三角函数关系．因而具体运用时，注意对问题所涉及的角度及角度关系进行观察．（2）三角变换中一般采用“降次”、“化弦”、“通分”的方法；在三角变换中经常用到降幂公式：21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=.举一反三： 【变式1】化简：（1）1sin10sin 80-； （2）01tan10cos50+【答案】（1）4（3【解析】（1）原式=1cos103sin104sin(3010)4sin10cos10sin10cos10sin 20---===；（2）原式=0001sin10cos50cos10+0001sin10sin 40sin80=+02cos40cos80sin80︒+︒= =380sin 10cos 30cos 280sin 20cos 60cos 240cos 00=︒︒︒=︒+︒. 类型四：三角函数知识的综合应用例7．（2015 广东江门一模）已知函数()sin f x x x ωω=的最小正周期为π，x ∈R ，ω＞0是常数．（1）求ω的值；（2）若6()2125f θπ+=，(0,)2πθ∈，求sin2θ． 【思路点拨】（1）由两角和的正弦公式化简解析式可得()2sin()3f x x πω=+，由已知及周期公式即可求ω的值．（2）由已知及三角函数中的恒等变换应用可得6()2cos 2125f θπθ+==，可得cos θ，由(0,)2πθ∈，可得sin θ，sin2θ的值．【答案】（1）ω=2；（2）2425【解析】（1）∵()sin 2sin()3f x x x x πωωω=+=+，∵函数()sin f x x x ωω=+的最小正周期为π， ∴2T ππω==，解得：ω=2．（2）∵6()2sin[2()]2sin()2cos 212212325f θπθπππθθ+=++=+==， ∴3cos 5θ=，∵(0,)2πθ∈，∴4sin 5θ==， ∴3424sin 22sin cos 25525θθθ==⨯⨯=． 举一反三：精品文档 用心整理资料来源于网络 仅供免费交流使用 【变式1】已知向量a (cos sin ,sin )x x x ωωω=-a ,b(cos sin ,)x x x ωωω=--b ,设函数()f x a b λ=⋅+()x ∈R 的图象关于直线πx =对称,其中ω,λ为常数,且1(,1)2ω∈. (Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期; (Ⅱ)若()y f x =的图象经过点π(,0)4,求函数()f x 在区间3π[0,]5上的取值范围. 【答案】(Ⅰ) 6π5(Ⅱ)[12- 【解析】(Ⅰ)因为22()sin cos cos f x x x x x ωωωωλ=-+⋅+cos 22x x ωωλ=-++π2sin(2)6x ωλ=-+. 由直线πx =是()y f x =图象的一条对称轴,可得πsin(2π)16ω-=±, 所以ππ2ππ()62k k ω-=+∈Z ,即1()23k k ω=+∈Z . 又1(,1)2ω∈,k ∈Z ,所以1k =,故56ω=. 所以()f x 的最小正周期是6π5. (Ⅱ)由()y f x =的图象过点π(,0)4,得π()04f =,即5πππ2sin()2sin 6264λ=-⨯-=-=,即λ=故5π()2sin()36f x x =-由3π05x ≤≤,有π5π5π6366x -≤-≤, 所以15πsin()1236x -≤-≤,得5π12sin()236x -- 故函数()f x 在3π[0,]5上的取值范围为[12-.。
数学必修四复习提纲——三角函数与三角恒等变换
yACB第一章 三角函数1、任意角：正角、零角、负角；与α终边相同的角表示为{}|2,k k Z ββαπ=+∈2、轴线角： 终边在x 轴上的角的集合：{}|,k k Z ββπ=∈； 终边在y 轴上的角的集合：|,2k k Z πββπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭； 终边在坐标轴上的角的集合：|,2k k Z πββ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭等；（见笔记）(提醒：终边相同的角不一定相等,相等的角终边一定相同) 3、象限角： 如第一象限角：|22,2k k k Z παπαπ⎧⎫<<+∈⎨⎬⎩⎭； 4、弧度制：弧长等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角； (提醒：一个式子中不能角度,弧度混用)换算：180°＝π弧度； 1弧度＝ 0'18057.305718π⎛⎫≈≈ ⎪⎝⎭； 1°＝ 180π弧度 计算：角的大小α＝l r ；弧长l ＝ r α⋅，面积S ＝ 12l r ⋅＝212r α⋅＝212l α。
5、任意角的三角函数：1）定义：角α终边上任意一点P(x ，y)，则r )0r >，sin y rα=、cos x r α= 、tan y xα=。
提醒：如果点P 在单位圆上，即r=1，则sin ,cos ,tan yy x xααα===）特殊角的三角函数值（任意角均可由诱导公式化成特殊角）2）三角函数线： sin MP α= cos OM α= tan AT α=3）三角函数值符号:一全正、二正弦、三正切，四余弦sin αcos α tan α4）同角三角函数的基本关系： ①1cos sin 22=+αα ②sin tan +,cos 2k k Z απααπα⎛⎫=≠∈ ⎪⎝⎭5）三角函数的诱导公式：sin(2)sin cos(2)cos tan(2)tan k k k πααπααπαα+=+=+= x x x x xx t a n )t a n (c o s )c o s (s i n )s i n (-=--=-=-πππ x x x x xx t a n )t a n (c o s )c o s(s i n )s i n (-=-=--=- x x x x xx t a n )t a n (c o s )c o s (s i n )s i n (=+-=+-=+πππ提醒：求任意角的三角函数值一般步骤如下6、三角函数的图象和性质：cos()sin 2παα+=-sin()cos 2παα+=cos()sin 2παα-=sin()cos 2παα-=7、()sin y A x ωϕ=+的图像和性质：1）作图：①五点法：依次令x ωϕ+= 0 、2π、π、32π、2π ②变换作图法： (A>0，ω>0) （横向伸缩和左右平移变的都是系数为1的x ）● 方法1：将y ＝sinx 的图像0,x ||0,x ||ϕϕϕϕ><−−−−−−−−→沿轴向左平移个单位沿轴向右平移个单位()sin y x ϕ=+ 1ω−−−−−−−−−→横坐标伸长或缩短为原来的倍()sin y x ωϕ=+ A −−−−−−−−−→纵坐标伸长或缩短为原来的倍()sin y A x ωϕ=+● 方法2：将y ＝sinx 的图像1ω−−−−−−−−−→横坐标伸长或缩短为原来的倍()sin y x ω=||0,x ||0,x ϕϕωϕϕω><−−−−−−−−−→沿轴向左平移个单位沿轴向右平移个单位()sin y x ωϕ=+A −−−−−−−−−→纵坐标伸长或缩短为原来的倍()sin y A x ωϕ=+2）振幅|A|；周期T ＝ 2||πω ；频率f ＝ 1T ；初相x ωϕ+；相位ϕ（A ＞0，ω＞0）3）定义域 【练习19】函数的定义域是（ ）（答：B ） A 、B 、C 、D 、解析：由题意可得sinx ﹣≥0⇒sinx ≥，由单位圆可知， 又x∈（0，2π）∴函数的定义域是． 故选B ．4）最值（先把ω化成正的） 【练习21】函数，当f （x ）取得最小值时，x 的取值集合为（ ）（答：A ） A 、 B 、 C 、D 、解析：∵函数当 sin （﹣）=﹣1时函数取到最小值， ∴﹣=﹣+2k π，k∈Z 函数， ∴x=﹣+4k π，k∈Z，5）()sin y A x ωϕ=+的对称轴、对称中心①对称轴0x x =满足:0(Z)2x k k πωϕπ+=+∈；②对称轴中心0(,0)x 满足:0(Z)x k k ωϕπ+=∈6）单调区间（先把ω化成正的） 若A ＞0，增区间：令 22k ππ-+≤x ωϕ+≤22k ππ+ ，再解不等式减区间：令22k ππ+≤x ωϕ+≤322k ππ+，再解不等式 若A ＜0，反过来。
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必修四三角函数和三角恒等变换知识点及题型分类汇总————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：23三角函数知识点总结1、任意角：正角： ；负角： ；零角： ；2、角α的顶点与 重合，角的始边与 重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为 第二象限角的集合为 第三象限角的集合为 第四象限角的集合为 终边在x 轴上的角的集合为 终边在y 轴上的角的集合为 终边在坐标轴上的角的集合为 3、与角α终边相同的角的集合为 4、已知α是第几象限角，确定()*n nα∈N 所在象限的方法：先把各象限均分n 等份，再从x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象限对应的标号即为nα终边所落在的区域．5、 叫做1弧度．6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是 ．7、弧度制与角度制的换算公式：8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l= ．S=9、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距离是()220r r x y =+>，则sin y r α=，cos x r α=，()tan 0yx xα=≠． 10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正． 11、三角函数线：．12、同角三角函数的基本关系：(1) ;(2) ;(3) 13、三角函数的诱导公式：()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=．4()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．()5sin cos 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭． ()6sin cos 2παα⎛⎫+=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭． 口诀：奇变偶不变，符号看象限． 重要公式⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）；⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）．二倍角的正弦、余弦和正切公式： ⑴sin 22sin cos ααα=．(2)2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-（2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=）．⑶22tan tan 21tan ααα=-．公式的变形：()βαβαβαtan tan 1)tan(tan tan ∙±=±，辅助角公式()22sin cos sin αααϕA +B =A +B +，其中tan ϕB =A． 14、函数sin y x =的图象平移变换变成函数()sin y x ωϕ=A +的图象． 15.函数()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>的性质：①振幅：A；②周期：2πωT=；③频率：12fωπ==T；④相位：xωϕ+；⑤初相：ϕ．16．图像正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：56三角函数题型分类总结一．求值1、sin330︒= tan690° = o585sin =2、（1）(07全国Ⅰ) α是第四象限角，12cos 13α=，则sin α= （2）（09北京文）若4sin ,tan 05θθ=->，则cos θ= . （3）（09全国卷Ⅱ文）已知△ABC 中，12cot 5A =-，则cos A = . (4) α是第三象限角，21)sin(=-πα，则αcos = )25cos(απ+= 3、(1) (07陕西) 已知5sin ,5α=则44sin cos αα-= . (2)（04全国文）设(0,)2πα∈，若3sin 5α=，则2cos()4πα+= .（3）（06福建）已知3(,),sin ,25παπα∈=则tan()4πα+= 4（07重庆）下列各式中，值为23的是( ) （A ）2sin15cos15︒︒ （B ）︒-︒15sin 15cos 22（C ）115sin 22-︒（D ）︒+︒15cos 15sin 22 5. (1)(07福建) sin15cos75cos15sin105+= (2)（06陕西）cos 43cos77sin 43cos167oooo+= 。
（3）sin163sin 223sin 253sin313+= 。
6.(1) 若sin θ＋cos θ＝15，则sin 2θ= （2）已知3sin()45x π-=，则sin 2x 的值为(3) 若2tan =α ,则ααααcos sin cos sin -+=7. （08北京）若角α的终边经过点(12)P -，，则αcos = tan 2α=78．（07浙江）已知3cos()22πϕ+=，且||2πϕ<，则tan ϕ＝ 9.若cos 22π2sin 4αα=-⎛⎫- ⎪⎝⎭，则cos sin αα+= 10.（09重庆文）下列关系式中正确的是 （ ）A ．0sin11cos10sin168<< B ．0sin168sin11cos10<< C ．0sin11sin168cos10<< D ．0sin168cos10sin11<< 11．已知53)2cos(=-πα，则αα22cos sin -的值为 （ ）A ．257B ．2516-C ．259D ．257-12．已知sin θ=－1312，θ∈（－2π，0），则cos （θ－4π）的值为 （ ）A ．－2627B ．2627C ．－26217D ．2621713．已知f （cosx ）=cos3x ，则f （sin30（ ）A ．1B ．23C ．0D ．－1 14．已知sin x －sin y = －32，cos x －cos y = 32，且x ，y 为锐角，则tan(x －y )的值是 ( ) A ．5142 B ． －5142 C ．±5142 D ．28145± 15．已知tan160o ＝a ，则sin2000o 的值是 ( ) A.a 1＋a 2 B.－a 1＋a 2 C.11＋a 2 D.－11＋a 216.()2tan cot cos x x x += ( )（Ａ）tan x （Ｂ）sin x （Ｃ）cos x （Ｄ）cot x 17.若02,sin 3cos απαα≤≤>，则α的取值范围是： ( )（Ａ）,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭ （Ｂ）,3ππ⎛⎫⎪⎝⎭ （Ｃ）4,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ （Ｄ）3,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭18.已知cos （α-6π）+sin α=的值是则)67sin(,354πα- ( )8（A ）-532 （B ）532 (C)-54 (D) 5419.若,5sin 2cos -=+a a 则a tan = （ ） （A ）21 （B ）2 （C ）21- （D ）2- 20.0203sin 702cos 10--= A. 12B.22C. 2D.32二.最值1.（09福建）函数()sin cos f x x x =最小值是= 。
2.①（08全国二）．函数x x x f cos sin )(-=的最大值为 。
②（08上海）函数f (x )＝3sin x +sin(π2+x )的最大值是③（09江西）若函数()(13tan )cos f x x x =+，02x π≤<，则()f x 的最大值为3.（08海南）函数()cos 22sin f x x x =+的最小值为 最大值为 。
4.（09上海）函数22cos sin 2y x x =+的最小值是 . 5．（06年福建）已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值是2-，则ω的最小值等于6.（08辽宁）设02x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，则函数22sin 1sin 2x y x +=的最小值为 ．7.函数f (x )＝3sin x +sin(π2+x )的最大值是8．将函数x x y cos 3sin -=的图像向右平移了n 个单位，所得图像关于y 轴对称，则n 的最小正值是 A ．6π7 B ．3π C ．6π D ．2π 9.若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则MN 的最大值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3D ．210．函数y=sin （2πx+θ）cos （2πx+θ）在x=2时有最大值，则θ的一个值是9（ ） A ．4π B ．2πC ．32π D ．43π11.函数2()s i n3s i n c o s f x x x x =+在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是( )A.1B.132+ C.32D.1+312.求函数2474sin cos 4cos 4cos y x x x x =-+-的最大值与最小值。
三.单调性1.（04天津）函数]),0[()26sin(2ππ∈-=x x y 为增函数的区间是 （ ）.A. ]3,0[πB. ]127,12[ππC. ]65,3[ππ D. ],65[ππ 2.函数sin y x =的一个单调增区间是 （ ）A ．ππ⎛⎫- ⎪44⎝⎭，B ．3ππ⎛⎫ ⎪44⎝⎭，C ．3π⎛⎫π ⎪2⎝⎭，D ．32π⎛⎫π⎪2⎝⎭， 3.函数()sin 3cos ([,0])f x x x x π=-∈-的单调递增区间是 （ ） A ．5[,]6ππ--B ．5[,]66ππ--C ．[,0]3π-D ．[,0]6π- 4．（07天津卷） 设函数()sin ()3f x x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，则()f x （ ） A ．在区间2736ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是增函数B ．在区间2π⎡⎤-π-⎢⎥⎣⎦，上是减函数 C ．在区间34ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是增函数D ．在区间536ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数5.函数22cos y x =的一个单调增区间是 ( ) A ．(,)44ππ-B ．(0,)2πC ．3(,)44ππD ．(,)2ππ6．若函数f (x)同时具有以下两个性质：①f (x)是偶函数，②对任意实数x ，都有f (x +4π)= f (x -4π)，则f (x)的解析式可以是（ ）A ．f (x)=cosxB ．f (x)=cos(2x 2π+) C ．f (x)=sin(4x 2π+) D ．f (x) =cos6x10四.周期性1．（07江苏卷）下列函数中，周期为2π的是 （ ） A ．sin 2x y = B ．sin 2y x = C ．cos 4xy = D ．cos 4y x =2.（08江苏）()cos 6f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为5π，其中0ω>，则ω= 3.（04全国）函数|2sin |xy =的最小正周期是（ ）.4.（1）（04北京）函数x x x f cos sin )(=的最小正周期是 .（2）（04江苏）函数)(1cos 22R x x y ∈+=的最小正周期为（ ）. 5.（1）函数()sin 2cos2f x x x =-的最小正周期是(2)（09江西文）函数()(13tan )cos f x x x =+的最小正周期为 (3). （08广东）函数()(sin cos )sin f x x x x =-的最小正周期是 ． (4)（04年北京卷.理9）函数x x x x f cos sin 322cos )(-=的最小正周期是 . 6.(09年广东文)函数1)4(cos 22--=πx y 是 ( )A ．最小正周期为π的奇函数 B. 最小正周期为π的偶函数 C. 最小正周期为2π的奇函数 D. 最小正周期为2π的偶函数7.（浙江卷2）函数2(sin cos )1y x x =++的最小正周期是 .8．函数21()cos (0)3f x x w w =->的周期与函数()tan 2xg x =的周期相等，则w 等于（ ）(A )2 (B )1 (C )12 ( D )14五.对称性1.（08安徽）函数sin(2)3y x π=+图像的对称轴方程可能是 （ ）A ．6x π=-B ．12x π=-C ．6x π=D ．12x π=2．下列函数中，图象关于直线3π=x 对称的是 （ ）A )32sin(π-=x y B )62sin(π-=x y C )62sin(π+=x y D )62sin(π+=x y3．（07福建）函数πsin 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象 （ ） Ａ．关于点π03⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称Ｂ．关于直线π4x =对称 Ｃ．关于点π04⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称 Ｄ．关于直线π3x =对称 4.（09全国）如果函数3cos(2)y x φ=+的图像关于点4(,0)3π中心对称，那么φ的最小值为 （ ） (A)6π (B) 4π (C) 3π (D) 2π5．已知函数y=2sinwx 的图象与直线y+2=0的相邻两个公共点之间的距离为32π，则w 的值为（ ）A ．3 B ．23 C ．32D ．31六.图象平移与变换1.（08福建）函数y =cos x (x ∈R)的图象向左平移2π个单位后，得到函数y=g(x )的图象，则g(x )的解析式为2.（08天津）把函数sin y x =（x R ∈）的图象上所有点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是 3.(09山东)将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是4.(09湖南)将函数y=sinx 的图象向左平移ϕ(0 ≤ϕ＜2π)的单位后，得到函数y=sin ()6x π-的图象，则ϕ等于 5．要得到函数)42sin(π-=x y 的图象，需将函数x y 2sin =的图象向 平移 个单位6 （2）（全国一8）为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 2y x =的图像 向 平移 个单位 （3）为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象向 平移个单位长度7.（2009天津卷文）已知函数)0,)(4sin()(>∈+=w R x wx x f π的最小正周期为π，将)(x f y =的图像向左平移||ϕ个单位长度，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的一个值是A2π B 83π C 4π D 8π8.将函数 y = 3 cos x －sin x 的图象向左平移 m （m > 0）个单位，所得到的图象关于 y 轴对称，则 m 的最小正值是 （ ）A. π6B. π3 C. 2π3 D. 5π611．将函数y=f （x ）sinx 的图象向右平移4π个单位，再作关于x 轴的对称曲线，得到函数y=1－2sin 2x 的图象，则f （x）是（ ）A ．cosx B ．2cosx C ．Sinx D ．2sinx 七.图象1．（07宁夏、海南卷）函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间ππ2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，的简图是 （ ）2（浙江卷7）在同一平面直角坐标系中，函数])20[)(232cos(ππ，∈+=x x y 的图象和直线21=y 的交点个数是（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）43.已知函数y=2sin(ωx+φ)(ω>0)在区间[0，2π]的图像如下：那么ω=（ ）A. 1B. 2C. 1/2D. 1/3 4．（2006年四川卷）下列函数中，图象的一部分如右图所示的是 （ ）（A ）sin 6y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭（B ）sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭yx 11- 2π-3π-O 6ππ yx11- 2π-3π-O 6ππ y x1 1-2π-3πO 6π-πy xπ 2π-6π-1 O 1- 3πＡＢＣＤ（C ）cos 43y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ （D ）cos 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭5.（2009江苏卷）函数sin()y A x ωϕ=+（,,A ωϕ为常数，0,0A ω>>）在闭区间[,0]π-上的图象如图所示，则ω= .6.（2009宁夏海南卷文）已知函数()2sin()f x x ωφ=+的图像如图所示，则712f π⎛⎫=⎪⎝⎭。