高一数学必修4三角函数知识点及典型练习

第一、任意角的三角函数

一：角的概念：角的定义，角的三要素，角的分类（正角、负角、零角和象限角），正确理解角，

与角

终边相同的角的集合}{

|2,k k z

ββπα=+∈

，

弧度制，弧度与角度的换算，

弧长l

r α=、扇形面积2

1122

s lr r α==，

二：任意角的三角函数定义：任意角α的终边上任意取一点p 的坐标是（x ，y ），它与原点的距

离是22r x y =+(r>0)，那么角α的正弦r y a =sin 、余弦r x a =cos 、正切x

y

a =tan ，它们都是以角

为自变量，以比值为函数值的函数。

三角函数值在各象限的符号：

三：同角三角函数的关系式与诱导公式： 1. 平方关系：2

2

sin

cos 1αα+= 2. 商数关系：

sin tan cos α

αα

=

3．诱导公式——口诀：奇变偶不变，符号看象限。

*

正弦

:

余弦

&

正切

》

4. 两角和与差公式 ：()()()sin sin cos cos sin cos cos cos sin sin tan tan tan 1tan tan αβαβαβαβαβαβαβ

αβαβ?

?±=±??

±=??

±?±=??

5.二倍角公式：22222sin 22sin cos cos 2cos sin 2cos 112sin 2tan tan 21tan ααααααααααα?

?=?=-=-=-???=

-?

余弦二倍角公式变形：

222cos 1cos2,2sin 1cos2αααα=+=-

第二、三角函数图象和性质

基础知识:1、三角函数图像和性质

2、熟练求函数sin()y A x ω?=+的值域，最值，周期，单调区间，对称轴、对称中心等 ，会用五

点法作sin()y A x ω?=+简图：五点分别为：

、 、 、 、

。 3、图象的基本变换：相位变换：sin sin()y x y x ?=?=+ 周期变换：sin()sin()y x y x ?ω?=+?=+ 振幅变换：sin()sin()y x y A x ω?ω?=+?=+ 4、求函数sin()y A x ω?=+的解析式：即求A 由最值确定，ω有周期确定，φ有特殊点确定。 5、三角函数最值类型：（1）y =a sin x +b cos x 型函数最值的求法：常转化为y =

（x +?）

；

（2）y =a sin 2x +b sin x +c 型：常通过换元法（令sinx=t ，[]1,1t ∈-）转化为y =at 2+bt +c 型：

（3）同一问题中出现sin cos ,sin cos ,sin cos x x x x x x +-?，求它们的范围时，一般是令sin cos x x t

+=或21sin cos sin cos 2t x x t x x --=??=或21

sin cos 2

t x x -?=-，转化为关于t 的二次函数来解决

三、三角形知识：

（1）AB C ?中，c b a ,,分别为C B A ,,的对边，C B A c b a C B A sin sin sin >>?>>?>>。 （2）在AB C ?中，A+B+C=180°。

基础练习：

1、tan(600)-= . sin 225?= 。

2、α

的终边与6

π的终边关于直线x y =对称，则α＝_____。

3、已知扇形AOB 的周长是6cm ，该圆心角是1弧度，则扇形的面积= cm 2. ~

4、设a <0,角α的终边经过点P （－3a ,4a ),那么sin α+2cos α的值等于

5

、函数y =的定义域是_____ __

6、

的结果是 。 7、已知)2,23(,1312cos ππαα∈=

，则=+)4

(cos π

α 。 8、若均βα,为锐角，==+=ββααcos ,5

3

)(sin ,552sin 则 。 9、化简=+-)12

sin 12(cos )12sin

12(cos

π

πππ

10、 根据sin sin 2sin cos 22αβαβαβ+-+=及cos cos 2sin sin

22

αβαβ

αβ+--=-，若

sin sin cos ),(0,),(0,)3

θ??θθπ?π+=

-∈∈且，计算 ____.θ?-=

11、集合{2

π

π4ππ|+≤≤+

k k αα，∈k Z}中的角所表示的范围（阴影部分）是（ ）

）

（A ）

（

B ）

（C ） （D ）

12、函数x y 2sin 3=的图象可以看成是将函数)3

x 2sin(3y π

-=的图象-------------（ ）

（A ）向左平移个6π单位 （B ）向右平移个6π单位（C ）向左平移个3π单位 （D ）向右平移个3

π

单位

13、已知0tan ,0sin ><θθ，那么θ是 。

14.已知点P （tan α，cos α）在第三象限，则角α的终边在

15.若cos 0,tan 0αα<>= 。

。

16.已知α是第二象限角，那么

2

α

是 （ ） A ．第一象限角 B. 第二象限角 C. 第二或第四象限角 D ．第一或第三象限角

17.已知5

4

2cos ,532sin

-=θ=θ，则角θ终边所在象限是--------------------------------（ ） （A ） 第三象限 （B ）第四象限 （C ）第三或第四象限 （D ）以上都不对

18.已知α是锐角，则下列各式成立的是------------------------------------------------------（ ）

（A ）21cos sin =α+α（B ）1cos sin =α+α（C ）34cos sin =α+α（D ）3

5cos sin =α+α 19.右图是函数)2|)(|x sin(2y π

<φφ+ω=的图象，那么-------------------（ ）

（A ）6,1110π=φ=ω （B ）6,1110π-=φ=ω

（C ）6,2π=φ=ω （D ）6,2π-=φ=ω

20、已知)(x f 是奇函数，且0x 时，)(x f 的表达式是------------------------------------------------------------------------------------------------------（ ）

（A ）x 2sin x cos +（B ）x 2sin x cos +-（C ）x 2sin x cos -（D ）x 2sin x cos -- 21、已知x 2sin )x (tan f =，则)1(-f 的值是 。

22.已知x x f 3cos )(cos =，则)(sin x f 等于（ ）

]

（A ）x 3sin （B ）x 3cos （C ）x 3sin - （D ）x 3cos -

23、已知3

1)4tan(,21)tan(-=-=+παβα，则4tan(π

β+的值为

24、下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线3

π

=x 对称的是（ ）

A ．sin(23π=-y x B.sin(26π=-y x C.sin(26π=+y x D.sin()23

π

=+x y

25、函数sin cos y x x =-的最大值为 26、函数x x y cos sin 3+=

，2

,2[π

π-

∈x 的最大值为

27、下列函数中,周期为π的偶函数是（ ）

A.cos y x =

B.sin 2y x =

C. tan y x =

D. sin(22

y x π

=+

28、 已知函数x x x f sin )(=，则)(x f ( )

A ．是奇函数但不是偶函数

B ．是偶函数但不是奇函数 。

C ．是奇函数也是偶函数

D ．既不是奇函数也不是偶函数 29、函数2

12sin ()4

y x π

=--

是（ ）

A ．最小正周期为π的偶函数 B. 最小正周期为π的奇函数

C. 最小正周期为

2

π的偶函数 D. 最小正周期为2π

的奇函数

30、函数y=cos 2x –3cosx+2的最小值是 。

31、、若方程1cos sin 322cos +=-k x x x 有解，则k 的取值范围是 解答题解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

第一类型：1、已知角α终边上一点P （－4，3），求)

2

9sin()211cos()

sin()2cos(απαπαπαπ

+---+的值

《

2、求证：

α

β

βααβαsin sin )cos(2sin )2sin(=

+-+

3、已知1

sin ,cos 3

θθθθ=?是第二象限角，求tan 的值。

4、已知04

4513<<

-?? ???=x x π

π,sin ,求

cos cos 24x

x π+?? ??

?的值.

5、已知2,βββ=-tan 求sin +cos 的值。

(

6、已知tan(

)24

π

α+=.22

sin cos 1

sin cos ββββββ

+-求

和的值。sin -cos

7、已知βαtan tan 、

是方程04332

=++x x 的两根，且)2

,2(π

πβα-∈、，求βα+的值

8、已知βα,为锐角，且cos α=10

1,cos β=

5

1，求βα+的值.

￥

9、△ABC 中，已知的值求sinC ,13

5

sinB ,53cosA ==

第二类型： 1． 已知函数()2cos sin(

)2

f x x x π

=-.

（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间2[,]63

ππ

上的最大值和最小值.

…

2. 已知函数2

()2cos 2sin cos 1f x x x x =+-．

（Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期；（Ⅱ）求函数)(x f 在]2

,0[π

上的最大值与最小值．

3、设函数2

()cos cos f x x x x =-．

（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）当[0,]2

x π

∈时，求函数()f x 的最大值和最小值．

%

4. 已知函数22

()cos sin 2sin cos f x x x x x =-+．

（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；

（Ⅱ）当,44x ππ??

∈-???

?时，求函数()f x 的最大值，并写出x 相应的取值.

-

5、已知函数).(2

cos 2sin 2cos 2sin

2)(22R ∈-+=a x

x x x a x f （I ）当a=1时，求函数)(x f 的最小正周期及图象的对称轴方程式； （II ）当a=2时，在0)(=x f 的条件下，求x

x

2sin 12cos +的值.

第三类型：1、如下图为函数)0,0,0()sin(>>>++=?ω?ωA c x A y 图像的一部分 （1）求此函数的周期及最大值和最小值

《

（2）求与这个函数图像关于直线2=x 对称的函数解析式

2、已知函数

()()sin ,f x A x x R ω?=+∈(其中

0,0,2

2

A π

π

ω?>>-

<<

),其部分图象如图所示.

(I)求()f x 的解析式;(II)求函数)4()4()(ππ

-?+=x f x f x g 在区间0,2π??

????

上的最大值及相应的x 值.

第四类型：1. 已知向量(cos ,1)α=a ，(2,sin )α=-b ，3(,)2

π

απ∈，且⊥a b ． （Ⅰ）求sin α的值；（Ⅱ）求tan()4

π

α+的值．

2 已知向量(sin , cos )x x =a ，(cos ,sin 2cos )x x x =-b ，02

x π

<<

.

（Ⅰ）若a b ∥，求x ； （Ⅱ）设()f x =?a b ，（1）求()f x 的单调增区间；（2）函数()f x 经过怎样的平移才能使所得的图象对应的函数成为奇函数