必修4--三角函数所有知识点归纳总结
《三角函数》
【知识网络】
应用
弧长公式同角三角函数诱导应用计算与化简
的基本关系式公式证明恒等式
应用
任意角的概念角度制与任意角的三角函数的应用已知三角函
图像和性质数值求角
弧度制三角函数
和角公式应用
倍角公式
应用
差角公式
应用
一、任意角的概念与弧度制
1、将沿x轴正向的射线，围绕原点旋转所形成的图形称作角.
逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角
2、同终边的角可表示为k 360 k Z
x 轴上角：k 180 k Z
y 轴上角：90k 180k Z
3、第一象限角：0 k 36090k 360 k Z
第二象限角：90k 360180k 360k Z
第三象限角：180k 360270k 360k Z
第四象限角：270k 360360k 360k Z
4、区分第一象限角、锐角以及小于90 的角
第一象限角：0 k 36090 k 360 k Z
锐角：090小于90的角：90
5、若
为第二象限角，那么
为第几象限角？
2
2k 2k
k
2
k
2
4
2
k 0,
4 , k 1,
5
3 ,
2
4
2
所以
在第一、三象限
2
6、弧度制：弧长等于半径时，所对的圆心角为 1弧度的圆心角，记作 1rad .
7、角度与弧度的转化：
1
0.01745 1
180
57.30
57 18
180
8、角度与弧度对应表：
角度 0 30
45
60
90
120 135 150 180 360
弧度
2 3 5
2
6 4
3
2
3
4
6
9、弧长与面积计算公式
弧长： l
R ；面积： S
1
l R
1 R
2 ，注意：这里的
均为弧度制 .
2
2
二、任意角的三角函数
P (x, y)
1、正弦： sin
y x
y
；余弦 cos
；正切 tan
x
r
r
r
其中 x, y 为角
终边上任意点坐标，
r
x 2
y 2 .
2、三角函数值对应表：
度
30
45
60
90 120 135 150 180 270 360
弧度
2
3 5
3 2
6 4 3 2 3 4 6
2
sin
1 2 3 1
3 2 1 0
1
2
2
2
2
2 2
cos
3 2 1 0
1 2 3 0
1
2
1
1
2
2
2
2
2
tan
3 1
3
无
3
1
3 0
无
3
3
3、三角函数在各象限中的符号
口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦. （简记为“全s t c”）
sin tan cos
第一象限： .x0, y0 sin0,cos0,tan0,
第二象限： .x0, y0sin0,cos0,tan0,
第三象限： .x0, y0sin0,cos0,tan0,
第四象限： .x0, y0sin0,cos0,tan0,
4、三角函数线
设任意角的顶点在原点 O ，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与P ( x, y) ，过 P 作 x 轴的垂线，垂足为M ；过点A(1,0)作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延长线交于点 T.
y y T
P P
M o
A
A x
o M x
T
（Ⅰ）（Ⅱ）
y
T y
M
o A M A x o x
P
（Ⅲ）
P T （Ⅳ）
由四个图看出：
当角的终边不在坐标轴上时，有向线段OM x, MP y ，于是有
sin y y
MP ， c o s
x x
x OM
r
y
r1
1，
tan y MP AT
x
AT ．OM OA
我们就分别称有向线段MP , OM , AT 为正弦线、余弦线、正切线。
5、同角三角函数基本关系式
sin 2 cos 2 1
tan
sin
tan
cot
1
cos
(sin cos )2 1 2 sin cos
(sin
cos ) 2 1 2 sin cos
( sin cos
， sin
cos ， sin cos ，三式之间可以互相表示 )
6、诱导公式
n
口诀：奇变偶不变 , 符号看象限 ( 所谓奇偶指的是
2
中整数 n 的奇偶性，把 看作锐角 )
n
n
sin(
n
)( 1) 2 sin , n 为偶数
( 1) 2 co s , n 为偶数
n 1
； co s(n
)
n
1
.
2
2
(
1) 2
co s , n
为奇数
( 1) 2 sin , n 为奇数
①. 公式（一）：
与
2k , k Z
sin(2k
) sin
； cos( 2k ) cos
； tan( 2k ) tan
②. 公式（二）：
与
sin
sin ； cos
cos ； tan tan
③. 公式（三）：
与
sin
sin ； cos
cos ； tan tan
④. 公式（四）：
与
sin sin ； cos
cos ； tan tan
⑤. 公式（五）：
与
2
sin
cos ； cos
sin ；
2
2
⑥. 公式（六）：
与
2
sin
cos ； cos
sin
；
2
2
⑦. 公式（七）：
与
3
2
3
cos ；
cos
3
；
sin sin 22
⑧. 公式（八）：与
3
2
3
cos ；
cos
3
；
sin sin
22
三、三角函数的图像与性质
1 、将函数y sin x 的图象上所有的点，向左（右）平移个单位长度，得到函数y sin x的图象；再将函数y sin x的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到
原来的1
倍（纵坐标不变），得到函数 y sin x的图象；再将函数y sin x
的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的 A倍（横坐标不变），得到函数y A sin x的图象。
2、函数y Asin x A0,0 的性质：
①振幅： A ；②周期：
21
；④相位： x；⑤初相：。T；③频率： f
T2
3、周期函数：一般地，对于函数f x ，如果存在一个非零常数T ，使得定义域内的每一个 x 值，都满足 f x Tf x ，那么函数 f x就叫做周期函数， T 叫做该函数的周期.
4、⑴y Asin(x)
k
2对称轴：令x k，得 x
2
对称中心：x k
k
， (
k
,0)(k Z) ；，得 x
⑵ y A cos(x)对称轴：令x k，得 x k
；
k
2k
2
对称中心： x k，得 x， (,0)( k Z ) ；
2
⑶周期公式 :
①函数 y A sin( x) 及 y Acos( x
2
)的周期T(A 、ω、为常数，且A
≠0).
②函数 y A tan x的周期T(A 、ω、为常数，且A≠0).
5、三角函数的图像与性质表格
函
性
数
y sin x
质
图 像
定
义 R
域
值 1,1
域
当 x
2k
k Z 时，
2
最 y
max
1；
值
2k
k Z 时，
当 x
2
y min
1．
周
期 2
性
奇
偶 奇函数
性
在
2k , 2k
2
2
单 k Z 上是增函数；
调 性
2k , 3
2k
在
2
2
k Z 上是减函数．
对
对称中心 k ,0 k Z
称
性
对称轴 x k
k Z
2
y cos x
R 1,1
当 x 2k k Z 时，
y max 1 ；当 x 2k k Z 时， y min
1．
2
偶函数
在
2k ,2 k
k Z
上是增函数；
在 2k ,2k
k Z
上是减函数．
对称中心
k ,0 k Z 2
y tan x
x x
k ,k Z 2
R
既无最大值也无最小值
奇函数
在 k , k
2 2
k Z 上是增函数．
对称中心
k ,0 k Z
2
无对称轴
对称轴 x k k Z
6. 五点法作y Asin( x) 的简图，设 t x，取0、、、3
、 2来求相
22
应 x 的值以及对应的y 值再描点作图。
7.y Asin( x) 的的图像
8.函数的变换：
（1）函数的平移变换
① y f (x)y f ( x a)(a 0) 将y f (x) 图像沿x轴向左（右）平移 a 个单位
（左加右减）
② y f (x)y f ( x) b(b 0) 将y f (x) 图像沿y轴向上（下）平移 b 个单位
（上加下减）
（2）函数的伸缩变换：
1
① y f (x)y f (wx)( w 0) 将 y f ( x) 图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的倍（ w 1缩短，0 w 1伸长）
w
② y f (x)y Af ( x)( A 0) 将 y f ( x) 图像横坐标不变，纵坐标伸长到原来
的A 倍（A 1伸长，0 A 1缩短）（3）
函数的对称变换：
①y f ( x)y f ( x) )将y f (x) 图像绕y轴翻折180°（整体翻折）
（对三角函数来说：图像关于x 轴对称）
②y f ( x)y f (x) 将y f ( x) 图像绕x 轴翻折180°（整体翻折）
（对三角函数来说：图像关于y 轴对称）
③ y f (x)y f ( x)将 y f ( x)图像在y 轴右侧保留，并把右侧图像绕y 轴翻折到左侧（偶函数局部翻折）
④ y f (x)y f ( x) 保留y f (x) 在x轴上方图像，x轴下方图像绕x 轴翻折上去（局部翻动）
四、三角恒等变换
1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式：
(1 ）sin()sin cos sin cos
(2 ）sin()sin cos sin cos
(3 ）cos()cos cos sin sin
(4 ）cos()cos cos sin sin
(5 ）tan()
tan tan
t an t a n t a n1t a n t a n 1tan tan
(6 ）tan()
tan tan
t an t a n t a n1t an t an 1tan tan
(7) a sin b cos=a2b2 sin()(其中,辅助角所在象限由点(a, b) 所在的象限决定 , sin b,cos a, tan b，该法也叫合一变形).
a2b2a2b2a
(8)1tan tan(
4)1tan tan()
1tan1tan4
2.二倍角公式
（1）sin 2a2sin a cosa
（2） cos 2a cos2 a sin 2 a 1 2sin 2 a 2cos2 a 1
（3） tan 2a
2 tan a 1 tan2 a
3.降幂公式：
cos2 a 1 cos2a（ 2）sin2a 1 cos2a （ 1）22 4.升幂公式
（1）1cos 2 cos2（2）1cos 2 sin 2
22（3）1sin(sin cos) 2（ 4）1sin 2cos2
22
（5）sin 2 sin cos
22
5.半角公式（符号的选择由所在的象限确定）
2
（1）（3）sin
a
1cosa ，cos
a 1 cosa
2
，22（ 2）2
tan
a
1cosa sin a 1 cosa
21cosa 1cosa sin a
6. 万能公式 :
2 tan1tan2
（1）sin 2 ,（ 2）cos2,
1tan21tan2
22
2 tan
（3）tan 2 .
1tan 2
2
7.三角变换：
三角变换是运算化简过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算、化简的方法技能。
（1）角的变换：角之间的和差、倍半、互补、互余等关系对角变换，还可作添加、删除角的恒等变形
（2）函数名称变换：三角变形中常常需要变函数名称为同名函数。采用公式：
a sin
b cos a2b2sin() 其中cos a,sin b
a 2b2a2b2，比
y sin x 3 cos x12( 3)2(1sin x3cos x)如：12( 3)212( 3)2
13
2(sin xcos cos x sin) 2 sin( x) 2( sin x cos x)
22333（ 3）注意“凑角”运用：，，1
2例如：已知、( 3 ,) , sin()3，sin()12，则 cos() ?
454134（ 4）常数代换：在三角函数运算、求值、证明中有时候需将常数转化为三角函数，特
别是常数“ 1”可转化为“sin2cos2”
（5）幂的变换：对次数较高的三角函数式一般采用降幂处理，有时需要升幂例如：
1cosa 常用升幂化为有理式。
（6）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用、逆用及变形。
（7）结构变化：在三角变换中常常对条件、结论的结构进行调整，或重新分组，或移
项，或变乘为除，或求差等等。在形式上有时需要和差与积的互化、分解因式、配方等。
（8）消元法：如果所要证明的式子中不含已知条件中的某些变量，可用此法
（9）思路变换：如果一种思路无法再走下去，试着改变自己的思路，通过分析比较
去选择更合适、简捷的方法去解题目。
（ 10）利用方程思想解三角函数。如对于以下三个式子：sin a cosa ， sin acosa sin a cosa ，已知其中一个式子的值，其余二式均可求出，且必要时可以换元。
8.函数的最值（几种常见的函数及其最值的求法）：
① y a sin x b （或 a cosx b) 型：利用三角函数的值域，须注意对字母的讨论
② y a sin x b cos x 型：引进辅助角化成y a2b2 sin( x) 再利用有界性
③ y asin2 x bsin x c 型：配方后求二次函数的最值，应注意sin x1的约束
④ y a sin x b
型：反解出 sin x ，化归为sin x1解决
c sin x d
⑥ y a(sin x cos x) b sin x cos x c型：常用到换元法： t sin x cos x ，但须注意 t 的取值范围：t 2 。
9.三角形中常用的关系：
sin A sin( B C ) ，cos A cos(B C ) ，sin A
cos
B C
，22
sin 2A sin 2( B C ) ，cos2 A cos2( B C )
10.常见数据： sin15cos756
2
,sin 75cos1562 ，
44 tan15 2 3 , tan75 2 3 ,
高中数学必修4三角函数教案
任意角的三角函数 一、教学目标 1、知识目标：借助单位圆理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切) 的定义，根据定义探讨出三角函数值在各个象限的符号，掌握同一个角的不同三角函数之间的关系。 2、能力目标：能应用任意角的三角函数定义求任意角的三角函数值。 3、情感目标：培养数形结合的思想。 二、教材分析 1、教学重点：理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。 2、教学难点：从函数角度理解三角函数。 3、教学关键：利用数形结合的思想。 三、教学形式：讲练结合法 四、课时计划：2节课 五、教具：圆规、尺子 六、教学过程 (一)引入 我们已经学过锐角三角函数，知道他们都是以锐角为自变量，以比值 为函数值的函数，你能用直角坐标系中的终边上点的坐标来表示锐角 三角函数吗？ 设锐角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，那么它 的终边在第一象限，在α的终边上任取一点P （a,b ）,它与原点的距离 r=22b a +>0.根据初中学过的三角函数定义，我们有αsin =r b , r a αcos =
a b αtan =,取r=1,则a b tan αa,cos αb,αsin ===，引入单位圆概念。 （二）新课 1、设α是以任意角，它的终边与单位圆交于P （x,y ）,那么： （1） y 叫做α的正弦，记作αsin , 即y αsin =； （2） x 叫做α的余弦，记作αcos ，即x αcos =； （3） x y 叫做α的正切，记作αtan ，即x y αtan =)0(≠x . 注：用单位圆定义的好处就在于r=1,点的横坐标表示余弦值，纵坐标 表示正弦值。 2、根据任意角的三角函数定义，得到三种函数值在各象限的符号。 通过观察发现：第一象限全为正，第二象限只有正弦为正，第三象限只有正切为正，第四象限只有余弦为正。总结出一条法则：一全正，二正弦，三正切，四余弦。 注：这有利于培养学生观察和思考的能力，以方便记忆。 3、利用勾股定理可以推出：1cos sin 22=+αα，根据三角函数定义，当)(2z k k ∈+≠π πα时，有αα αtan cos sin =。这就是说同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切。 4、例题 例1求 3 5π的正弦、余弦和正切值。 解:在直角坐标系中，作3π5=∠AOB ,易知AOB ∠的终边与单位圆的交点 坐标为)2 3,21 (-，所以
高数三角函数公式大全
三角函数公式大全 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) = tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A = A tan 12tanA 2 - Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3 π +a)·tan( 3 π -a) 半角公式 sin( 2A )= 2cos 1A - cos(2A )=2cos 1A + tan(2A )=A A cos 1cos 1+- cot(2A )=A A cos 1cos 1-+ tan(2 A )= A A sin cos 1-=A A cos 1sin +
sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2 b a +sin 2 b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2 b a +sin 2 b a - tana+tanb= b a b a cos cos ) sin(+ 积化和差 sinasinb = -21[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 21[cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 21[sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 2 1[sin(a+b)-sin(a-b)] 诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin(2 π -a) = cosa cos(2 π -a) = sina sin(2 π +a) = cosa cos( 2 π +a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina c os(π+a) = -cosa tgA=tanA =a a cos sin
高一数学必修一和必修四的三角函数公式
三角函数公式 （一）同角三角函数的基本关系式 （1）平方形式：sin 2α＋cos 2α＝1 （2）倒数形式：sinα/cosα＝tanα （二）诱导公式 （1）sin （2k π＋α）＝sin α cos （2k π＋α）＝cos α tan （2k π＋α）＝tan α (其中k ∈Z) （2）sin （2k π－α）＝－sin α cos （2k π－α）＝cos α tan （2k π－α）＝－tan α (其中k ∈Z) （3）sin （－α）＝－sin α cos （－α）＝cosα tan （－α）＝－tan α （4）sin （π－α）＝sin α cos （π－α）＝－cosα tan （π－α）＝－tan α （5）sin （π＋α）＝－sin α cos （π＋α）＝－cos α tan （π＋α）＝tan α （6）sin （π/2－α）＝cos α cos （π/2－α）＝sin α （7）sin （π/2＋α）＝cos α cos （π/2＋α）＝－sin α （8）sin （3π/2＋α）＝－cos α cos （3π/2＋α）＝sin α （9）sin （3π/2－α）＝－cos α cos （3π/2－α）＝－sin α (三) 两角和与差的三角函数公式 （1）sin （α＋β）＝sin αcosβ＋cos αsinβ （2）sin （α－β）＝sin αcosβ－cos αsinβ （3）cos （α＋β）＝cos αcosβ－sin αsinβ （4）cos （α－β）＝cos αcosβ＋sin αsinβ （5）tan （α＋β）＝ tanα+tanβ1－tanαtanβ （6） tan （α－β）=tanα－tanβ1+tanαtanβ （四）二倍角的正弦、余弦和正切公式 （1）sin2α＝2sin αcos α （2）cos2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α （3）tan2α= 2tan α/（1－tan 2α） （五）三角函数的降幂公式 （六）半角的正弦、余弦和正切公式 (七)（辅助角的三角函数的公式） (八)正、余弦定理公式及其变形 ● a sinA =b sinB =c sinC =2R （R 为△ABC 的外接圆的半径） ● a 2=b 2+c 2-2bccosA ● b 2= a 2+ c 2-2accosB ● c 2= b 2+ a 2-2abcosC （ⅰ) sinA=a 2R ，sinB=b 2R ，sinC=c 2R （ⅱ）a=2RsinA b=2RsinB c=2RsinC （ⅲ）a:b:c=sinA: sinB: sinC （ⅳ）asinB=bsinA bsinC=csinB asinC=csinA （九）常用的三角形面积公式 （ⅰ) S=12 absinC=12 acsinB=12 bcsinA （ⅱ）S =12 (a+b+c)r (r 为△ABC 的内切圆的半径) （ⅲ）S=abc 4R （R 为△ABC 的外接圆的半径） （十）利用余弦定理判断三角形的形状 （ⅰ)在△ABC 中，若a 2﹤b 2+c 2，则0°﹤A ﹤90°；反之，若0°﹤A ﹤90°，则a 2﹤b 2+c 2。 （ⅱ）在△ABC 中，若a 2=b 2+c 2，则A=90°；反之，若A=90°，则a 2=b 2+c 2。 （ⅲ）在△ABC 中，若a 2﹥b 2+c 2，则90°﹤A ﹤180°；反之，若90°﹤A ﹤180°，则a 2﹥b 2+c 2。
三角函数公式大全(很详细)
高中三角函数公式大全[图] 1 三角函数的定义1.1 三角形中的定义 图1 在直角三角形中定义三角函数的示意图在直角三角形ABC，如下定义六个三角函数： ?正弦函数 ?余弦函数 ?正切函数 ?余切函数 ?正割函数 ?余割函数 1.2 直角坐标系中的定义
图2 在直角坐标系中定义三角函数示意图在直角坐标系中，如下定义六个三角函数： ?正弦函数 ?余弦函数 r ?正切函数 ?余切函数 ?正割函数 ?余割函数 2 转化关系2.1 倒数关系 2.2 平方关系 2 和角公式 3.1 倍角公式
3.3 万能公式 4 积化和差、和差化积 4.1 积化和差公式 证明过程 首先，sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα（已证。证明过程见《和角公式与差角公式的证明》）因为sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα（正弦和角公式） 则 sin(α-β) =sin[α+(-β)] =sinαcos(-β)+sin(-β)cosα =sinαcosβ-sinβcosα 于是 sin(α-β)=sinαcosβ-sinβcosα（正弦差角公式） 将正弦的和角、差角公式相加，得到 sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ 则 sinαcosβ=sin(α+β)/2+sin(α-β)/2（“积化和差公式”之一） 同样地，运用诱导公式cosα=sin(π/2-α)，有 cos(α+β)= sin[π/2-(α+β)] =sin(π/2-α-β) =sin[(π/2-α)+(-β)] =sin(π/2-α)cos(-β)+sin(-β)cos(π/2-α) =cosαcosβ-sinαsinβ 于是
必修4三角函数所有知识点归纳归纳
《三角函数》【知识网络】 一、任意角的概念与弧度制 1、将沿x轴正向的射线，围绕原点旋转所形成的图形称作角.
逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角 2、同终边的角可表示为 {}()360k k Z ααβ? =+∈ x 轴上角：{}()180k k Z αα=∈ y 轴上角：{}()90180k k Z αα=+∈ 3、第一象限角：{}()0360 90360k k k Z αα? ?+<<+∈ 第二象限角：{}()90360180360k k k Z αα??+<<+∈ 第三象限角：{}()180360270360k k k Z αα? ?+<<+∈ 第四象限角： {}()270 360360360k k k Z αα??+<<+∈ 4、区分第一象限角、锐角以及小于90的角 第一象限角：{}()0360 90360k k k Z αα? ?+<<+∈ 锐角： {}090αα<< 小于90的角：{}90αα< 5、若α为第二象限角，那么 2 α 为第几象限角？ ππαππ k k 222 +≤≤+ ππ α ππ k k +≤ ≤ +2 2 4 ,24,0παπ≤≤=k ,2345,1παπ≤≤=k 所以2 α 在第一、三象限 6、弧度制：弧长等于半径时，所对的圆心角为1弧度的圆心角，记作1rad . 7、角度与弧度的转化：01745.0180 1≈=?π 815730.571801'?=?≈? = π 8、角度与弧度对应表： 9、弧长与面积计算公式
弧长：l R α=?；面积：211 22 S l R R α=?=?，注意：这里的α均为弧度制. 二、任意角的三角函数 1、正弦：sin y r α=；余弦cos x r α=；正切tan y x α= 其中(),x y 为角α 终边上任意点坐标，r = 2、三角函数值对应表： 3、三角函数在各象限中的符号 口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦.（简记为“全s t c ”）
必修4三角函数公式大全(经典)
三角函数 公式大全 姓名： 1、两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) = tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1 -cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1 cotAcotB -+ 2、倍角公式 tan2A = A tan 12tanA 2 - Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 3、三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan( 3π+a)·tan(3 π-a) 4、半角公式 sin( 2A )=2cos 1A - cos( 2A )=2 cos 1A + tan( 2A )=A A cos 1cos 1+- cot(2A )=A A cos 1cos 1-+ tan( 2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 5、和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2b a - cosa+cos b = 2cos 2b a +cos 2 b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - tana+tanb=b a b a cos cos ) sin(+ 6、积化和差 sinasinb = -21 [cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 21 [cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 2 1 [sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 2 1 [sin(a+b)-sin(a-b)]
高一数学必修4三角函数知识点及典型练习
第一、任意角的三角函数 一：角的概念：角的定义，角的三要素，角的分类（正角、负角、零角和象限角），正确理解角， 与角 终边相同的角的集合}{ |2,k k z ββπα=+∈ ， 弧度制，弧度与角度的换算， 弧长l r α=、扇形面积2 1122 s lr r α==， 二：任意角的三角函数定义：任意角α的终边上任意取一点p 的坐标是（x ，y ），它与原点的距 离是22r x y =+(r>0)，那么角α的正弦r y a =sin 、余弦r x a =cos 、正切x y a =tan ，它们都是以角 为自变量，以比值为函数值的函数。 三角函数值在各象限的符号： 三：同角三角函数的关系式与诱导公式： 1. 平方关系：2 2 sin cos 1αα+= 2. 商数关系： sin tan cos α αα = 3．诱导公式——口诀：奇变偶不变，符号看象限。 * 正弦 : 余弦 & 正切 》 4. 两角和与差公式 ：()()()sin sin cos cos sin cos cos cos sin sin tan tan tan 1tan tan αβαβαβαβαβαβαβ αβαβ? ?±=±?? ±=?? ±?±=??
5.二倍角公式：22222sin 22sin cos cos 2cos sin 2cos 112sin 2tan tan 21tan ααααααααααα? ?=?=-=-=-???= -? 余弦二倍角公式变形： 222cos 1cos2,2sin 1cos2αααα=+=- 第二、三角函数图象和性质 基础知识:1、三角函数图像和性质
三角函数公式全集合
三角函数 1.诱导公式 sin(-a) = - sin(a) cos(-a) = cos(a) sin(π/2 - a) = cos(a) cos(π/2 - a) = sin(a) sin(π/2 + a) = cos(a) cos(π/2 + a) = - sin(a) sin(π - a) = sin(a) cos(π - a) = - cos(a) sin(π + a) = - sin(a) cos(π + a) = - cos(a) 2.两角和与差的三角函数 sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(α)sin(b) cos(a + b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b) sin(a - b) = sin(a)cos(b) - cos(a)sin(b) cos(a - b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b) tan(a + b) = [tan(a) + tan(b)] / [1 - tan(a)tan(b)] tan(a - b) = [tan(a) - tan(b)] / [1 + tan(a)tan(b)]
3.和差化积公式 sin(a) + sin(b) = 2sin[(a + b)/2]cos[(a - b)/2] sin(a) - sin(b) = 2sin[(a - b)/2]cos[(a + b)/2] cos(a) + cos(b) = 2cos[(a + b)/2]cos[(a - b)/2] cos(a) - cos(b) = - 2sin[(a + b)/2]sin[(a - b)/2] 4.积化和差公式 sin(a)sin(b) = - 1/2[cos(a + b) - cos(a - b)] cos(a)cos(b) = 1/2[cos(a + b) + cos(a -b)] sin(a)cos(b) = 1/2[sin(a + b) + sin(a - b)] 5.二倍角公式 sin(2a) = 2sin(a)cos(a) cos 2a = cos2a - sin2a = 2cos2a - 1= 1 - 2sin2a 6.半角公式 sin2a = （1 – cos 2a）/ 2 cos2a = （1 + cos 2a）/ 2 tan a = [1 – cos 2a] /sin 2a = sin 2a / [1 + cos 2a ] 7.万能公式 sin(a) = 2tan(a/2) / [1+tan2(a/2)] cos(a) = [1-tan2(a/2)] / [1+tan2(a/2)] tan(a) = 2tan(a/2) / [1-tan2(a/2)] 三角函数公式 三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任何角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直
高中数学必修四三角函数重要公式
高中数学必修四三角函数重要公式 公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin（2kπ＋α）＝sinα cos（2kπ＋α）＝cosα tan（2kπ＋α）＝tanα cot（2kπ＋α）＝cotα 公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin（π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosα tan（π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα 公式三： 任意角α与-α的三角函数值之间的关系： sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosα tan（－α）＝－tanα cot（－α）＝－cotα 公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosα tan（π－α）＝－tanα cot（π－α）＝－cotα 公式五： 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin（2π－α）＝－sinα cos（2π－α）＝cosα tan（2π－α）＝－tanα cot（2π－α）＝－cotα 公式六：
π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： sin（π/2＋α）＝cosα cos（π/2＋α）＝－sinα tan（π/2＋α）＝－cotα cot（π/2＋α）＝－tanα sin（π/2－α）＝cosα cos（π/2－α）＝sinα tan（π/2－α）＝cotα cot（π/2－α）＝tanα sin（3π/2＋α）＝－cosα cos（3π/2＋α）＝sinα tan（3π/2＋α）＝－cotα cot（3π/2＋α）＝－tanα sin（3π/2－α）＝－cosα cos（3π/2－α）＝－sinα tan（3π/2－α）＝cotα cot（3π/2－α）＝tanα (以上k∈Z) 诱导公式记忆口诀 ※规律总结※ 上面这些诱导公式可以概括为： 对于k·π/2±α(k∈Z)的个三角函数值， ①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变； ②当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan. （奇变偶不变） 然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。 （符号看象限） 例如： sin(2π－α)＝sin(4·π/2－α)，k＝4为偶数，所以取sinα。 当α是锐角时，2π－α∈(270°，360°)，sin(2π－α)＜0，符号为“－”。 所以sin(2π－α)＝－sinα
人教版 高中数学必修4 三角函数知识点
高中数学必修4知识点总结 第一章 三角函数（初等函数二） ?? ?? ?正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<， 则sin y r α= ，cos x r α= ，()tan 0y x x α= ≠． 10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正． 11、三角函数线：sin α=M P ，cos α=O M ，tan α=AT ． 12、同角三角函数的基本关系：()2 2 1sin cos 1αα+=
微积分及三角函数公式合集
第一部分：常用积分公式 基本积分公式： 1 kdx kx c =+? 2 1 1 x x dx c μμ μ+= ++? 3 ln dx x c x =+? 4 ln x x a a dx c a =+? 5 x x e dx e c =+? 6 cos sin xdx x c =+? 7 sin cos xdx x c =-+? 8 2 21sec tan cos dx xdx x c x ==+?? 9 22 1 csc cot sin xdx x c x ==-+?? 10 2 1arctan 1dx x c x =++? 11 arcsin x c =+ 12 tan ln cos xdx x c =-+? 13 cot ln sin xdx x c =+? 14 sec ln sec tan xdx x x c =++? 15 csc ln csc cot xdx x x c =-+? 16 22 11arctan x dx c a x a a =++? 17 22 11ln 2x a dx c x a a x a -=+-+? 18 arcsin x c a =+
19 ln x c =+ 分部积分法公式 1 形如n ax x e dx ? ，令n u x =，ax dv e dx = 2 形如sin n x xdx ?令n u x =，sin dv xdx = 3 形如cos n x xdx ? 令n u x =，cos dv xdx = 4 形如arctan n x xdx ?，令arctan u x =，n dv x dx = 5 形如ln n x xdx ?，令ln u x =，n dv x dx = 6 形如sin ax e xdx ? ，cos ax e xdx ? 令,sin ,cos ax u e x x =均可。 常用凑微分公式 1. ()()()1 f ax b dx f ax b d ax b a += ++? ? 2. ()()()11 f x x dx f x d x μμμμμ-= ? ? 3. ()()()1 ln ln ln f x dx f x d x x ?=? ? 4. ()()()x x x x f e e dx f e d e ?=?? 5. ()()()1 ln x x x x f a a dx f a d a a ?= ? ? 6. ()()()sin cos sin sin f x xdx f x d x ?=?? 7. ()()()cos sin cos cos f x xdx f x d x ?=-?? 8. ()()()2 tan sec tan tan f x xdx f x d x ?=?? 9. 2dx f d =? 10.21111()()()f dx f d x x x x =-?? 11.()()()2 cot csc cot cot f x xdx f x d x ?=??
必修四第一章三角函数测试题(含答案)
必修四第一章三角函数测试题 班别 姓名 分数 一、选择题 1．已知cos α＝1 2 ，α∈(370°，520°)，则α等于 ( ) A ．390° B ．420° C ．450° D ．480° 2．若sin x ·tan x <0，则角x 的终边位于 ( ) A ．第一、二象限 B ．第二、三象限 C ．第二、四象限 D ．第三、四象限 3．函数y ＝tan x 2 是 ( ) A ．周期为2π的奇函数 B ．周期为π 2的奇函数C ．周期为π的偶函数D ．周期为2π的偶函数 4．已知函数y ＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)在区间[0,2π]的图象如图，那么ω等于 ( ) A ．1 B ．2 C.12 D.13 5．函数f (x )＝cos(3x ＋φ)的图象关于原点成中心对称，则φ等于 ( ) A ．－π2 B ．2k π－π 2 (k ∈Z ) C ．k π(k ∈Z ) D ．k π＋π 2(k ∈Z ) 6．若sin θ＋cos θsin θ－cos θ ＝2，则sin θcos θ的值是 ( ) A ．－310 B.310 C ．±310 D.34 7．将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平行移动π 10 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸 长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是 ( ) A ．y ＝sin ? ???2x －π10 B ．y ＝sin ????2x －π5 C ．y ＝sin ????12x －π10 D ．y ＝sin ??? ?12x －π 20 8．在同一平面直角坐标系中，函数y ＝cos ????x 2＋3π2(x ∈[0,2π])的图象和直线y ＝1 2的交点个数是 ( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4 9．已知集合M ＝???? ??x |x ＝k π2＋π4，k ∈Z ，N ＝{x |x ＝k π4＋π 2，k ∈Z }．则 ( ) A ．M ＝N B ．M N C ．N M D ．M ∩N ＝?
数学必修四三角函数公式总结与归纳
数学必修四三角函数公式盘点与归纳 1、诱导公式： sin(2kπ+α)=sinα, cos(2kπ+α)=cosα sin(-α)=-sinα, cos(-α)=cosα sin(2π-α)=-sinα, cos(2π-α)=cosα sin(π-α)=sinα, cos(π-α)=-cosα sin(π+α)=-sinα, cos(π+α)=-cosα sin(+α)=cosα, cos(+α)=-sinα sin(-α)=cosα, cos(-α)=sinα 2、同角三角函数基本关系： sin2α+cos2α=1, =tanα, tanα×cotα=1, 1+tan2α=， 1+cot2α= cosα=， sinα= 3、两角和与差的三角函数： cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ， cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ， sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ，
sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ tan（α+β）=， tan（α-β）=， 4、二倍角的三角函数： sin2α=2sinαcosα， cos2α=cos2α-sin2α =1-2sin2α =2cos2α-1， tan2α=， sin=， cos=， tan= = = 5、万能公式： sin2α=， cos2α= 6、合一变式： asinα+bcosα =sin（α+γ）（tanγ=）7、其他公式： sinαcosβ=[sin（α+β）+sin（α-β）]， cosαsinβ=[sin（α+β）-sin（α-β）]，
cosαcosβ=[cos（α+β）+cos（α-β）]，sinαsinβ=[cos（α+β）-cos（α-β）]，sinα+sinβ=2sin cos， sinα-sinβ=2cos sin， cosα+cosβ=2cos cos， cosα-cosβ=2sin cos
高中数学必修4重点公式与解题技巧
高中数学必修4重点公式与解题技巧公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin（2kπ＋α）＝sinα cos（2kπ＋α）＝cosα tan（2kπ＋α）＝tanα cot（2kπ＋α）＝cotα 公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin（π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosα tan（π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα 公式三： 任意角α与-α的三角函数值之间的关系： sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosα tan（－α）＝－tanα cot（－α）＝－cotα 公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosα tan（π－α）＝－tanα cot（π－α）＝－cotα 公式五： 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）＝－sinα cos（2π－α）＝cosα
上述的记忆口诀是： 奇变偶不变，符号看象限。 公式右边的符号为把α视为锐角时，角k·360°+α（k∈Z），-α、180°±α，360°-α 所在象限的原三角函数值的符号可记忆 水平诱导名不变；符号看象限。 各种三角函数在四个象限的符号如何判断，也可以记住口诀“一全正；二正弦；三为切； 四余弦”。 这十二字口诀的意思就是说： 第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“＋”； 第二象限内只有正弦是“＋”，其余全部是“－”； 第三象限内切函数是“＋”，弦函数是“－”； 第四象限内只有余弦是“＋”，其余全部是“－”。 其他三角函数关系： ⒈同角三角函数的基本关系式 倒数关系: tanα·cotα＝1 sinα·cscα＝1 cosα·secα＝1 商的关系： sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα 平方关系： sin^2(α)＋cos^2(α)＝1 1＋tan^2(α)＝sec^2(α) 1＋cot^2(α)＝csc^2(α) 同角三角函数关系六角形记忆法 六角形记忆法：（参看图片或参考资料链接） 构造以"上弦、中切、下割；左正、右余、中间1"的正六边形为模型。 （1）倒数关系：对角线上两个函数互为倒数； （2）商数关系：六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。 （主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积）。由此，可得商数关系式。 （3）平方关系：在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。
高中必修四三角函数知识点总结
§04． 三角函数 知识要点 １. ①与α（0°≤α<360°)终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）： {} Z k k ∈+?=,360 |αββ ②终边在x 轴上的角的集合： {} Z k k ∈?=,180| ββ ③终边在y 轴上的角的集合：{ } Z k k ∈+?=,90180| ββ ④终边在坐标轴上的角的集合:{} Z k k ∈?=,90| ββ ⑤终边在y =ｘ轴上的角的集合:{} Z k k ∈+?=,45180| ββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合：{} Z k k ∈-?=,45180| ββ ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称,则角α与角β的关系:βα-=k 360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+= 180360k ⑨若角α与角β的终边在一条直线上,则角α与角β的关系：βα+=k 180 ⑩角α与角β的终边互相垂直,则角α与角β的关系: 90360±+=βαk 2. 角度与弧度的互换关系:３60°=２π 18０°=π 1°=0.０１745 1=57.３０°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 、弧度与角度互换公式： 1r ａd=π 180°≈57.３０°=５7°18ˊ． １°＝180 π≈０.01 ７４5(ｒad ） 3、弧长公式：r l ?=||α. 扇形面积公式:211 ||22 s lr r α= =?扇形 ４、三角函数：设α是一个任意角,在α的终边上任取(异于原点的)一点Ｐ(x,ｙ）P 与原点的距离为ｒ,则 =αsin r x =αcos ； x y =αtan ; y x =αcot ； x r =αsec ；. =αcsc 5、三角函数在各象限的符号：(一全二正弦,三切四余弦) 正切、余切 余弦、正割 正弦、余割 6、三角函数线 SIN \COS 三角函数值大小关系图 1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域
人教版必修四三角函数知识点汇总
必修四《三角函数》所有知识点、公式（必须会背） 1．终边相同的角： 与角α有相同终边的角的集合为：_______________________________． 2．象限角的集合 （1）第一象限角的集合：_______________________________________ （2）第二象限角的集合：_______________________________________ （3）第三象限角的集合：_______________________________________ （4）第四象限角的集合：_______________________________________ 3．轴线角的集合 （1）终边在x 轴上的角的集合：__________________________ （2）终边在y 轴上的角的集合：__________________________ （3）终边在坐标轴上的角的集合：________________________ 4．角度制与弧度制相互换算 360°＝_________rad 180°＝_________rad 1°＝_________rad 1 rad ＝_________°≈ _________° 5．弧度制下的弧长公式和扇形面积公式： 角α的弧度数的绝对值||α=______________ （l 为弧长，r 为半径） 弧长公式：l =_______ 扇形面积公式：S =________=________．扇形的周长：c = 6．任意角三角函数的的定义：1．定义：以角α顶点为原点O ， 始边为x 轴的非负半轴建立直角坐标系．在角α的终边上任取不同于原点O 的一点(),P x y ，设P 点与原点O 的距 离为r ()0r >，则||PO r ==则角α的三个三角函 数依次为： sin α=________，cos α=________，tan α=________ 8．三角函数值符号的判断： 当α为第________象限角时，sin 0α>；当α为第_________象限角时，sin 0α<； 当α为第________象限角时，cos 0α>；当α为第_________象限角时，cos 0α<； 当α为第________象限角时，tan 0α>；当α为第_________象限角时，tan 0α<．
高中数学必修公式大全
必修4常用公式手册 公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin （2kπ＋α）＝sinα cos （2kπ＋α）＝cosα tan （2kπ＋α）＝tanα 公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin （π＋α）＝－sinα cos （π＋α）＝－cosα tan （π＋α）＝tanα 公式三： 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： sin （－α）＝－sinα cos （－α）＝cosα tan （－α）＝－tanα 公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin （π－α）＝sinα cos （π－α）＝－cosα tan （π－α）＝－tanα 公式五： 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin （2π－α）＝－sinα cos （2π－α）＝cosα tan （2π－α）＝－tanα 公式六：2π±α及32π±α与α的三角函数值之间的关系： sin(2 π+α)＝cosα sin(2π-α)＝cosα sin(32π＋α)＝－cosα sin(32π－α)＝－cosα cos(2π +α)＝－sinα cos(2π-α)＝sinα cos(32π＋α)＝sinα cos(32π－α)＝－sinα 1.同角三角函数的基本关系式 商的关系： sin tan cos ααα ＝ 平方关系：221sin cos αα＋＝ 2211tan cos αα =+ ⒉两角和与差的三角函数公式 sin sin cos cos sin αβαβαβ（＋）＝＋ s in sin cos cos sin αβαβαβ（－）＝－ ⒊二倍角的正弦、余弦和正切公式 ⒋半角的正弦、余弦和正切公式 21cos sin ()22αα-= 21cos cos ()22αα+= 21cos tan ()21cos ααα-=+
高一必修4三角函数测试试卷(1)
高一数学三角函数测试试卷（1） 一．选择题（每小题4分，共计48分） 1．6α=，则α的终边在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．把角18π7 - 化成2πk α+的形式，其中02πk α<∈Z ≤，，正确的是（ ） A ．11ππ7-- B ．4π2π7-- C ．3π3π7 -+ D ．10π4π7 -+ 3．角α的终边过()43P a a -，()0a <，则下列结论正确的是（ ） A ．3sin 5 α= B ．4cos 5 α= C ．4tan 3 α=- D ．3tan 4 α= 4．若5sin 13 θ= ，12tan 5 θ=-，则θ的终边在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 5．()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()5f x f x +=，()175f =，则()2f -=（ ） A ．5 B ．5- C ．0 D ．1 5 6．函数sin y x =π2π3 3x ?? ??? ≤≤ 的值域为（ ） A ．[]11-， B ．1 12?????? ， C ．122???? D ．12? ??? 7．函数π3sin 24y x ? ? =+ ??? 的对称轴方程为（ ） A ． π4 x =- B ．π4 x = C ．π8 x =- D ．π8 x = 8．若αβ，的终边关于y 轴对称，则必有（ ） A ．(21)πk k αβ+=+∈Z ， B ．π2 αβ+= C ．2πk k αβ+=∈Z ， D π2π2k k αβ+=+∈Z ， 9．下列关系式中，不正确．．．的是（ ） A ．4π2πsin sin 55 < B ．cos πcos 3< C ．tan 1sin 1> D ．sin 1cos1< 10．函数()π 2sin 2[0π]6y x x ?? =-∈ ??? ，为增函数的区间是（ ） A ．π03? ? ??? ?， B ．π 7π1212?? ? ??? ， C ．π 5π3 6?????? ， D ．5ππ6?? ? ??? ， 11．若π02αβ??∈ ?? ? ，，，且sin cos 0αβ-<，则（ ） A ．αβ< B ．αβ> C ．π2 αβ+< D ．π2 αβ+> 12．若2sin 1log x θ=-，则x 的取值范围是（ ） A ．[]14， B ．114?? ? ??? ， C ．[]24， D ．1 44?? ? ??? ， 二．填空题（每小题6分，共计30分） 13．与1680?角终边相同的最大负角是 ． 14．已知扇形的周长为10cm ，圆心角为3rad ，则该扇形的面积为 ． 15．若函数()πsin 5f x kx ? ?=+ ???的最小正周期为2π3 ，则正数k = ． 16．已知α的终边经过点()392a a -+，，且s i n 0c o s 0αα>，≤，则α的取值范围是 __________．