高一数学下册点拨复习测试题30
人教版数学高一A版必修3教材习题点拨 3.3几何概型
教材习题点拨练习1.解:因为黄豆随机撒在图形上，它落在图形中各点的机会是均等的，符合几何概型的条件.在左图中(见题图)，阴影为圆内接等腰三角形，底边为圆的直径，设圆半径为R ，则2221R R R S =⨯⨯=阴影，而S 圆＝πR 2， 所以这粒黄豆落到阴影部分的概率为ππ122===R R S S P 圆阴暗.在下图中(见题图)，整个圆被平均分成8份，而阴影部分占3份，由几何概型知83=P ，即此粒黄豆落在阴影部分的概率为83. 2.解:由于红色区域占整个靶面的21，由几何概型知200镖中有100镖左右能落在红色区域. 习题3.3A 组1.解:(1)红色区域占了整个区域9份中的4份，所以P （“豆子落在红色区域”）94==桌面红色区域S S ；(2)黄色区域占了整个区域9份中的3份，所以P （“豆子落在黄色区域”）3193===桌面黄色区域S S ；(3)绿色区域占了整个区域9份中的2份，所以P （“豆子落在绿色区域”）92==桌面绿色区域S S ；(4)一粒豆子不会同时落在红色区域和绿色区域，所以“豆子落在红色区域”和“豆子落在绿色区域”是互斥事件，所以P （“豆子落在红色区域或绿色区域”）＝P （“豆子落在红色区域”）＋ P （“豆子落在绿色区域”）32969294==+=； (5)一粒豆子不会同时落在黄色区域和绿色区域，所以“豆子落在黄色区域”和“豆子落在绿色区域”是互斥事件，所以P （“豆子落在黄色区域或绿色区域”）＝ P （“豆子落在黄色区域”）＋ P （“豆子落在绿色区域”）959293=+=. 2.解:(1)因为整个区域为26份，编号为25的区域只占了26份中的一份，所以P （“飞镖落在编号为25的区域”）26125==靶子面积的区域编号为S S ； (2)从图中可以看出，绿色(浅色)区域与红色(深色)区域是间隔涂色的，所以它俩各自占了13份，即P （“飞镖落在绿色区域”）212613===靶子面积绿色区域S S ；(3)编号不小于24的区域有24号、25号、26号总共3个区域，所以P （“飞镖落在编号不小于24的区域”）263262524=++=靶子面积的区域编号为的区域编号为的区域编号为S S S S ； (4)编号在6号到9号之间，包括6号、23号、9号总共3个区域，所以P （“飞镖落在编号为6号到9号之间的区域”）2639236=++=靶子面积的区域编号为的区域编号为的区域编号为S S S S ； (5)因为靶子上区域是从1号到26号对称排布的，所以编号为奇数的区域有13个，故P （“飞镖落在编号为奇数的区域”）212613===靶子面积编号为奇数的区域S S ；（6）红色的编号为奇数的区域有17号、19号、21号、23号、25号、15号总共6个区域，所以P （“飞镖落在红色的编号为奇数的区域”）靶子面积的区域编号为的区域编号为的区域编号为的区域编号为的区域编号为的区域编号为S S S S S S S 152523211917+++++=133266==.3.解:(1)P （“某人到达路口时看见红灯”）527530==； (2)P （“某人到达路口时看见黄灯”）151755==；(3)P （“某人到达路口时看见的不是红灯”）＝1－P （“某人到达路口时看见红灯”）53521=-=. B 组1.解:设甲轮船到达的时刻为x ，乙轮船到达的时刻为y ，则0≤x ≤24，0≤y ≤24，基本事件区域为由直线x ＝24、y ＝24以及x 轴,y 轴围成的正方形区域，下面分类讨论：①甲轮船先到，则乙轮船需要等待，所以x ＋6≥y ；②乙轮船先到，则甲轮船需要等待，所以y ＋6≥x .如图所示，两轮船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的区域为在正方形区域内由直线y ＝x ＋6与直线y ＝x －6围成的阴影部分，故P （“两轮船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待”）167169124241824242=-=⨯-⨯==正方形阴影S S .点拨:因为甲、乙两艘轮船在一昼夜的时间中随机到达,所以它们到达的时刻有无限多个且各时刻都是等可能的,可以利用几何概型求解.2.C 点拨:如果A 和B 互为对立事件,则A 和B 中必有一个发生,由此得到对立事件的加法公式:P (A )＋P (B )＝1.又对立事件必为互斥事件,故选C.。
2020年高一数学下册点拨复习测试题5
由果导因妙解题“假设结论已知”是笛卡尔的一个解题思想，即从结论入手，用分析的方法，通过等价推理，寻找最终解题所需要的条件，以下举例说明其在立体几何中的应用．例１如图1，在四面体A-VBC中，VA=VB=VC，∠AVB=∠AVC=60°，∠BVC=90°，求证：平面VBC⊥平面ABC．分析：要证面面垂直需通过线面垂直来实现，可是哪一条直线是我们所需要的与平面垂直的直线呢？我们假设两平面垂直已经知道，则根据两平面垂直的性质定理，在平面VBC内作VD⊥BC，则VD⊥平面ABC，所以VD即为我们所要寻找的直线．要证明VD⊥平面ABC，除了已知的VD⊥BC之外，还需要在平面ABC内找一条直线与VD垂直，哪一条呢？假设已经知道VD⊥平面ABC，则VD与平面ABC内的任意直线均垂直，即必有VD⊥AB，VD⊥AC，但这两个垂直的证明较难入手．还有其他的直线吗？连结AD呢？假设已经知道VD⊥平面ABC，则必有VD⊥AD．通过计算可得到∠VDA=90°，原题得证．证明：设BC的中点为D，连结VD，AD，因为VB=VC ，所以VD ⊥BC ；设VA =VB =VC =1，因为∠AVB =∠AVC =60°，∠BVC =90°，所以AB =AC =1，BC =2，VD =AD =22，所以∠VDA =90°，即VD ⊥AD ，又已知AD ∩BC =D ，所以VD ⊥平面ABC ，又VD ⊂平面VBC ，所以平面VBC ⊥平面ABC ．例2 如图2，在长方体1111ABCD A B C D -中，证明：平面1A BD ∥平面11CB D ．分析：要证明两平面平行，需在一平面内寻找两条相交直线与另一平面平行．假设两平面平行已知 ，则一个平面内的任意直线均与另一个平面平行，所以有1A B ，1A D ，BD 均与平面11CB D 平行，选择任意两条均可，不妨选择1A B ，1A D ． 要想证明11A B A D ，与平面11CB D 平行，需在平面11CB D 内寻找两条直线分别与11A B A D ，平行．假设11A B A D ，与平面11CB D 平行已知，则根据线面平行的性质定理，过1A B 的平面11A BCD 与平面11CB D 相交所得的交线1CD 与1A B 平行；过1A D 的平面11A DCB 与平面11CB D 相交所得的交线1B C 与1A D 平行．11CD B C ，即为所要寻找的直线．而易知1CD ，1B C 分别与1A B ，1A D 平行，原题得证．证明：因为1111ABCD A B C D -为长方体，所以有11A D BC ∥，即四边形11A BCD 为平行四边形，从而有11A B CD ∥，又已知1A B ⊄平面11CB D ，1CD ⊂平面11CB D ，进而有1A B ∥平面11CB D ；同理有11A D B C ∥，从而有1A B ∥平面11CB D ；又已知11A B A D A I ，所以有平面1A BD ∥平面11CB D ．。
高一数学下册点拨复习测试题
异面直线定义释疑与判定山东 李志勤一、 定义不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
二、 对定义的理解异面直线定义中“不同在任何一个平面内”是指这两条直线“不能确定一个平面”，其中的“任何”是异面直线不可缺少的前提条件。
不能把“不同在任何一个平面内”误解为“不同在某一个平面内”，如图1，直线n m n m //,,βα∈⊂，不能由m ，n 不同在平面α上就误认为m ，n 异面，实际上，因n m //可知，m 与n 共面，它们不是异面直线。
也不能误解为“分别在某两个平面内的两条直线”，前者是说不可能找到一个同时包含这两条直线的平面，而后者的直线只是画在某两个平面内，并不能确定这两条直线异面，它们可以是平行直线，也可以是相交直线，如图2所示。
三、 判定方法1、由定义判定两直线不可能在同一平面内；2、过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不过该点的直线是异面直线。
3、反证法：反证法是立体几何中证明的一种重要方法，反证法证题的步骤是：（1）提出与结论相反的假设；（2）由此假设推出与已知条件或某一公理、定理或某一已被证明是正确的命题相矛盾的结果；（3）推翻假设，从而肯定与假设相反的结论，即命题的结论。
四、 典例分析例1、如图，已知A b a b a =⊂= ,,ββα，且a c c //,α⊂，求证：b ，c 为异面直线。
证明：（1）因为A b a b a =⊂⊂ ,,βα，所以b 与α只有一个公共点，而a c c //,α⊂，c A ∉，所以c 与b 无公共点。
（2）因为A b a = ，b 上只有一个点在平面α内，又a c //，c A ∉，所以c ，b 不在同一平面内。
结合（1）、（2）知，b ，c 是异面直线。
点评：“异面直线”与“分别在某两个平面内的两条直线”含义不同，前者是指不可能找到一个平面同时包含这两条直线，后者的两条直线只是位于两个平面内，他们有可能同时在第三个平面内，利用定义重在证明无公共点又不在同一平面内。
2017-2018学年江苏高一下学期数学必修2复习备考提高小题30题Word版含解析
2017-2018学年江苏高一下学期数学必修2复习备考提高小题30题Word版含解析1．如图所示，在空间四边形ABCD中，AB＝CD且AB与CD所成的角为30°，E，F分别是BC，AD的中点，则EF与AB所成角的大小为_______．【答案】或点睛：本题主要考查了异面直线所成的求解，解答中认真审题，通常通过平移把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角，从而求解异面直线所成的角，着重考查了空间想象能力和推理、运算能力．2．正方体中，与面的对角线异面的棱有________条.【答案】6【解析】分析：在正方体中，根据异面直线的定义列举出与面的对角线异面的所有的棱，由此能求出结果．详解：如图，在正方体中，与面的对角线异面的棱有：，，，，，，共条，故答案为6．点睛：本题考查正方体中与面对角线异面的棱的条数的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意正方体的性质的合理运用3．正方体1AC 中，与面ABCD 的对角线AC 异面的棱有________条. 【答案】6【解析】分析：在正方体1AC 中，根据异面直线的定义列举出与面ABCD 的对角线AC 异面的所有的棱，由此能求出结果． 详解：如图，在正方体1AC 中，与面ABCD 的对角线AC 异面的棱有： 1BB ， 1DD ， 11A B ， 11A D ， 11D C ， 11B C ，共6条，故答案为6．点睛：本题考查正方体中与面对角线异面的棱的条数的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意正方体的性质的合理运用4．如图所示,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,M ,N 分别为棱C 1D 1,C 1C 的中点,有以下四个结论:①直线AM 与CC 1是相交直线;②直线AM 与BN 是平行直线; ③直线BN 与MB 1是异面直线; ④直线MN 与AC 所成的角为60°.其中正确的结论为___ (注:把你认为正确的结论序号都填上).【答案】③④；【解析】分析：利用两条直线是异面直线的判断方法来验证①②③的正误，利用平移法，判断④，得到结论．点睛：本题考查异面直线的判定方法，考查两条直线的位置关系，两条直线有三种位置关系，异面，相交或平行．5．a、b、c是空间中互不重合的三条直线，下面给出五个命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a∥c；③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；④若a平面α，b平面β，则a，b一定是异面直线；⑤若a，b与c成等角，则a∥b.上述命题中正确的是________．(填序号)【答案】①；【解析】分析：①利用平行公理去判断，②利用直线垂直的性质判断，③利用直线的位置关系判断，④利用异面直线的定义判断，⑤利用直线的位置关系判断．详解：由公理4知①正确；当a⊥b，b⊥c时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故②不正确；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故③不正确；a⊂α，b⊂β，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故④不正确；当a，b与c成等角时，a与b可以相交、平行，也可以异面，故⑤不正确．故答案为：①点睛：本题主要考查空间直线与直线的位置关系，异面直线位置关系的判定，考查空间想象能力，属于基础题. 6．如图，直三棱柱中，，，，，为线段上的一动点，则当最小时，△的面积为________.【答案】由图形及棱柱的性质，可得BF=2，FC1=，BC1=2 ，cos∠==．∴sin∠=△的面积为××2 ×=，故答案为：点睛：在空间处理折线段长度和最小的问题的手段为“空间问题平面化”“化曲为直”的策略，通过折叠把问题纳入一个平面，再根据两点之间线段最短，即可解决问题.7．已知是两条不重合的直线是三个两两不重合的平面给出下列四个命题:(1)若,则(2)若,则(3)若,则(4)若，，则其中正确的命题是________．(填上所有正确命题的序号)【答案】（1）故答案为：①．点睛：本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．8．如图,正方体中, ,点为的中点,点在上,若平面,则________．【答案】2【解析】分析：由平面结合线面平行的性质定理与面面平行的性质定理可得EF∥AC，再利用三角形中位线定理即可得到结果.点睛：本题重点考查了平行关系的转化，熟练掌握平行的判定定理及性质定理是解题的关键. 9．下列命题中正确的是__________．（填上所有正确命题的序号） ①若//m α， n α⊂，则//m n ； ②若//l α， //l β，则//αβ；③若m α⊥， n α⊥，则//m n ； ④若//m β， //n β， m α⊂， n α⊂，则//αβ． 【答案】③【解析】对于①，若//m α， n α⊂，则m 与n 可能异面、平行，故①错误；对于②，若//l α， //l β，则α与β可能平行、相交，故②错误；对于③，若m α⊥， n α⊥，则根据线面垂直的性质，可知//m n ，故③正确；对于④，根据面面平行的判定定理可知，还需添加,m n 相交，故④错误，故答案为③.【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定与性质、面面平行的性质及线面垂直的性质，属于难题.空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.10．两条平行直线4330x y ++=与890x my +-=的距离是__________．11．已知函数有且只有一个零点，则实数b的取值范围是______.【答案】【解析】分析：函数有零点是函数图象的交点，利用函数和的图象，即可求出参数的取值范围．详解：由题意，函数有一个零点，即函数和的图象只有一个交点，如图所示，直线与半圆相切的直线方程为，又过点的直线为，所以满足条件的的取值范围是或，即．点睛：本题主要考查了函数零点的应用问题，其中解答中把函数有零点转化为函数图象得交点是解答的关键，着重考查了转化与化归思想和数形结合思想，以及分析问题和解答问题的能力．12．已知两圆相交于两点，且两圆的圆心都在直线上，则的值是_______．【答案】-3【解析】分析：求出两点的中点坐标，代入直线方程，在根据垂直关系得到斜率互为负导数，联立方程组，求解即可．详解：两圆相交于两点A（2，3）和B（m，2），且两圆圆心都在直线上，可得K AB=，即1=，…①AB的中点（，）在直线上，可得++n=0…②，由①②可得m=1，n=﹣4，∴m+n=﹣3．故答案为：﹣3．点睛：本题考查了两圆间的位置关系问题，解题关键两圆的圆心连线垂直平分两点的连线.13．过点引圆的切线，则切线长为________．【答案】4根据勾股定理得：|PB|===．则切线长为．故答案为：4．点睛：本题主要考查了直线与圆相切属于基础题；当直线与圆相切时，其性质圆心到直线的距离等于半径是解题的关键.14．若直线被圆所截得的弦长为，则实数的值为_______．【答案】0或4【解析】分析：利用垂径定理布列a的方程，从而得到实数的值.详解：∵圆∴圆心为：（0，），半径为：2圆心到直线的距离为：∵，即，∴a=4，或a=0．故答案为：0或4．点睛：当直线与圆相交时，弦长问题属常见的问题，最常用的手法是弦心距，弦长一半，圆的半径构成直角三角形，运用勾股定理解题.15．已知点为圆外一点，若圆上存在一点，使得，则正数的取值范围是______．【答案】【解析】分析：易得圆的圆心为C （a，a），半径r= r=|a|，由题意可得1≥≥sin由距离公式可得a的不等式，解不等式可得．∴=≥sin=sin=，整理可得a2+6a﹣6≥0，解得a≥或a≤﹣，又=≤1，解得a≤1，又点为圆外一点，∴02+22﹣4a＞0，解得a＜1∵a＞0，∴综上可得．故答案为：．点睛：处理圆的问题，要充分利用圆的几何性质，把问题转化为更加简单的代数问题来处理即可.16．若方程组222281050,{2220x y x yx y x y t++-+=++-+-=有解，则实数t的取值范围是__________．【答案】[]1,121【解析】222281050,{ 2220x y x y x y x y t ++-+=++-+-=，化为()()()()22224536{ 11x y x y t++-=++-=，要使方程组有解，则两圆相交或相切，，即或36121t ⇒<≤， 1121t ∴≤≤，故答案为[]1,121.17．过圆上一点作圆的切线，则切线方程为__________．【答案】【解析】因为,所以切线斜率为方程为,即18．已知圆的方程为22680x y x y +--=，设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC 和BD，则四边形ABCD 的面积为__________． 【答案】【解析】圆的方程为22680x y x y +--=化为(x −3)2+(y −4)2=25. 圆心坐标(3,4)，半径是5.最长弦AC是直径，最短弦BD 的中点是E.111022ABCD S AC BD =⨯=⨯⨯. 19．半径为6的圆与x 轴相切，且与圆x 2＋(y －3)2＝1内切，则此圆的方程为__________________． 【答案】(x ＋4)2＋(y －6)2＝36或(x －4)2＋(y －6)2＝36点睛：求圆的方程，主要有两种方法：(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式． 20．已知圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0和圆x 2＋y 2－6x ＝0交于A ，B 两点，则线段AB 的垂直平分线的方程是________________． 【答案】3x －y －9＝0【解析】AB 的垂直平分线经过两圆的圆心(2，－3)，(3，0)，所以AB 的垂直平分线的方程是y ＝3(x －3)，即3x －y －9＝0.21．已知直线5x ＋12y ＋a ＝0与圆x 2－2x ＋y 2＝0相切，则a 的值为________． 【答案】【解析】由题意得 ，所以22．已知圆C 经过点()0,6A -， ()1,5B -，且圆心在直线:10l x y -+=上，则圆C 的标准方程为 __________．【答案】()()223225x y +++=点睛：本题主要考查了圆的方程的求法，解答有关圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，关键是确定圆心的坐标，常见的确定圆心的方法有：1、圆心在过切点且与切线垂直的直线上；2、圆心在圆的任意弦的垂直平分线上；3、两圆相切时，切点与两圆圆心共线. 23．已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列四个结论中正确的序号．．为__________． ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则．【答案】③ 【解析】①若，则可平行，也可相交，还可在平面内；②若，则可平行，也可相交，还可在平面内；；③若，则；④若，则可平行，也可相交，还可在平面内；； 所以选③24．在正方体1111ABCD A BC D -中，与1AC 垂直的面对角线的条数是___________．【答案】625．如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，并且总是保持AP⊥BD 1，则动点P 的轨迹是_________【答案】线段CB 1【解析】正方体1111ABCD A BC D - 中，点P 在侧面11BCC B 及其边界上运动，在运动过程中，保持1AP BD ⊥，因为1BD 是定线段，要求保持1AP BD ⊥ ，在侧面11BCC B 连接1CB ，因为1BD 在侧面11BCC B 的射影是1BC ，因为几何体是正方体，所以1111,BC B C B C BD ⊥⊥ ，同理11,AC BD BD ⊥⊥ 平面1AB C ，点P 在1B C 上，所以1AP BD ⊥ ，则动点P 的轨迹是线段1B C ，故答案为线段1B C .26．如图，在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，则下列命题中，正确的为________ (填序号)． ①AC ⊥BD ；②AC ∥截面PQMN ；③AC ＝BD ；④异面直线PM 与BD 所成的角为45°.【答案】①②④【方法点晴】本题主要考查异面直线所成的角以及线面平行的判断，属于难题.求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.27．已知直线,l m 平面,αβ且l ⊥a ， m β⊂，给出下列四个命题： ①若α∥β，则l ⊥m ；②若l ⊥m ，则α∥β； ③若α⊥β，则l ∥m ；④若l ∥m ，则α⊥β 其中正确的命题有_________ 【答案】①④【解析】,l m αβ⊥⊂，所以①若αβ，则,l l m β⊥∴⊥ ，故①正确；②若l m ⊥ ，则α 与β 平行或相交，故②不正确；③若αβ⊥ ，则l 与m 相交、平行或异面，故③不正确；④若l m ，则,m ααβ⊥∴⊥ ，故④正确，故答案为①④.【名师点睛】空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.28．在四棱锥P-ABCD 中,PA⊥底面ABCD,底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，当M 满足________时,平面MBD⊥平面ABCD ．【答案】M 是PC 中点时【解析】因为底面各边都相等，所以底面ABCD 是菱形，连接,AC BD 交于点O,则点O 是AC 的中点，当M 是PC 中点时， ,PA OM PA ⊥底面ABCD,所以OM ⊥底面ABCD ，而OM ⊂ 平面ABCD ，所以平面MBD ⊥ 平面ABCD ，故答案为当M 是PC 中点.29．已知，，是三个平面，，是两条直线，有下列四个命题：①如果，，那么；②如果，，那么；③如果，，那么；④如果，，，那么．其中正确的命题有______________（写出所有正确命题的序号）【答案】①④30．设a，b是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列四个命题中正确的是________．(填序号)① 若a⊥b，a⊥α，则b∥α；② 若a∥α，α⊥β，则a⊥β；③ 若a⊥β，α⊥β，则a∥α；④ 若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β.【答案】④【解析】对于①，根据，则或，不一定得出，由此可得①不正确；对于②，若a∥α，α⊥β，则可能，因此②不正确；；对于③，，则或，不一定得出，由此可得③不正确；对于④，由且，可得直线所成角或其补角等于平面所成角，又因为，可得直线所成角对于，由此可得，所以④是真命题，综上所述，可得正确命题的序号为④，故答案为④.【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定与性质、面面垂直的性质及线面垂直的判定，属于难题.空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.。
云南省大理州体育中学2024届高一数学第二学期期末复习检测试题含解析
云南省大理州体育中学2024届高一数学第二学期期末复习检测试题考生须知： 1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知α、β是不重合的平面，a 、b 、c 是两两互不重合的直线，则下列命题：①a a ααββ⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭； ②//ab ac c b ⊥⎫⇒⎬⊥⎭； ③//a b b a αα⎫⇒⊥⎬⊥⎭.其中正确命题的个数是（ ） A ．3B ．2C ．1D ．02．已知两条直线m ，n ，两个平面α，β，下面说法正确的是( )A ．m m n n αβαβ⊥⎫⎪⊂⇒⊥⎬⎪⊂⎭B ．m m nn αβαβ⎫⎪⊂⇒⎬⎪⊂⎭C ．m m αββα⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭D ．m m αββα⎫⇒⎬⊂⎭3．以点()1,1和()2,2-为直径两端点的圆的方程是（ ）A ．22315222x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．22315224x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()()225322x y +++=D ．()()223225x y +++=4．从装有2个白球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是 A ．至少有一个黑球与都是黑球 B ．至少有一个黑球与至少有一个白球 C ．恰好有一个黑球与恰好有两个黑球D ．至少有一个黑球与都是白球5．设的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ,且6C π=，12a b +=，面积的最大值为（） A ．6B ．8C ．7D ．96．数列815241579--，，，，…的一个通项公式是（ ） A ．()()211121nnn a n +-=--B ．()2121nn n na n +=-+C ．()()3121nn n n a n +=-+D ．()()2121nn n n a n +=-+7．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知5a =，2c =，2cos 3A =，则b= A ．2B ．3C ．2D ．38．已知不同的两条直线m ，n 与不重合的两平面α，β，下列说法正确的是（ ） A ．若m n ，m α，则n α B ．若m α，αβ∥，则m β C ．若m n ，m α⊥，则n α⊥ D ．若m n ⊥，m α⊥，则n α⊥ 9．圆被轴所截得的弦长为（ ） A ．1B ．C ．2D ．310．与圆22:(2)(2)1C x y ++-=关于直线10x y -+=对称的圆的方程为（ ） A ．22(1)(1)1x y -++= B ．22(1)(1)1x y +++= C ．22(1)(1)1x y -+-=D ．22(1)(1)1x y ++-=二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
高一数学下册知识点练习题
高一数学下册知识点练习题1. 某种面料的价格是每米10元，现有一块该面料，长为12米，宽为2米。
求该面料的面积、价格和重量。
2. 解方程：3x + 4 = 2(x + 5) - 7x3. 已知一个圆的半径为5cm，求其直径、周长和面积。
4. 在一个边长为8cm的正方形中，画一条对角线，求此对角线的长度。
5. 某公司在去年投资了200万元，年利润为80万元。
今年投资增长了20%，求今年的投资额及预计的年利润。
6. 解方程组：2x + y = 73x - 2y = 17. 某地的降雨量年平均为1200毫米，已知今年上半年的降雨量为700毫米，求下半年的降雨量。
8. 某车的速度是60km/h，已经行驶了3小时，求行驶的距离。
9. 某种商品原价100元，现经过打折处理，打8折出售，求现价。
10. 正方形的边长是a，求其周长和面积。
11. 解方程组：x + y = 102x - 3y = 712. 一辆汽车以每小时80km的速度行驶，行驶了4小时后，汽车的行驶距离是多少公里？13. 已知两个角互为补角，其中一个角的度数是54°，求另一个角的度数。
14. 某商品原价800元，现经过打折处理，打6折出售，求现价。
15. 解方程：7x - 3 = 5(x + 2) - 3x16. 一块地形呈长方形，长是12米，宽比长要小4米，求宽。
17. 已知一个圆的半径为8cm，求其直径、周长和面积。
18. 一个边长为10cm的正方形和一个边长为5cm的正方形相贴，求这个图形的周长和面积。
19. 一根长为18cm的金属丝，要围成一个边长为3cm的等边三角形，求剩下的金属丝长度。
20. 解方程组：3x + 2y = 82x - y = 3以上是高一数学下册的知识点练习题，希望能够帮助你复习和巩固数学知识。
每道题目都涵盖了不同的知识点和解题方法，通过积极练习，你将能更好地掌握这些知识，并在数学学习中取得好成绩。
祝你学业进步！。
高一数学下册知识点学业水平综合测试题30
正余弦函数的性质1．函数f (x )＝sin(－x )的奇偶性是( ) A ．奇函数 B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数C.[]π＋2k π，3π＋2k π(k ∈Z )D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z ) B由2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π2，k ∈Z 得 k π＋π4≤x ≤k π＋34π∴y ＝sin2x 的单调减区间是(k ∈Z )．3．函数y ＝2cos x －1的最大值、最小值分别是( ) A ．2、－2 B ．1、－3 C ．1、－1 D ．2、－1B4．(2018·银川模拟)下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x ＝π3对称的函数是( )A ．y ＝2sin(2x ＋π3) B ．y ＝2sin(2x －π6) C ．y ＝2sin(x 2＋π3) D ．y ＝2sin(2x －π3)B根据函数的最小正周期为π，排除C ，又图象关于x ＝π3对称，则f (π3)＝2或f (π3)＝－2，代入检验得选B.5．使cos x ＝1－m 有意义的m 的取值范围为( ) A ．m ≥0 B ．0≤m ≤2 C ．－1<m <1 D ．m <－1或m >1B∵－1≤cos x ≤－1，∴－1≤1－m ≤1. ∴0≤m ≤2.6．函数y ＝cos2x 在下列哪个区间上是减函数( ) A ． B ．[π4，3π4] C ． D ．[π2，π] C∵y ＝cos2x ，∴2k π≤2x ≤2k π＋π(k ∈Z )， 即k π≤x ≤k π＋π2(k ∈Z )，亦即(k ∈Z )为y ＝cos2x 的单调递减区间． 而显然满足上述区间，故选C.7．y ＝sin x 的定义域为____________，单调递增区间为________．(k ∈Z ) ，k ∈Z∵sin x ≥0，∴2k π≤x ≤π＋2k π，k ∈Z ；当x ∈时，y ＝sin x 在上单调递增．∴其递增区间为：，k ∈Z .8．函数＝2cos(2x －π3)的单调增区间是____________． ，(k ∈Z ) 令t ＝2x －π3，∴2k π＋π≤t ≤2k π＋2π时，y ＝cos t 单调递增． 即：2k π＋π≤2x －π3≤2k π＋2π，k ∈Z . ∴单调递增区间为：，k ∈Z .9．求y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 的单调递增区间．∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3， ∴要求原函数的单调递增区间，只需求y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的单调递减区间．令2k π＋π2≤x －π3≤2k π＋3π2(k ∈Z )， ∴2k π＋5π6≤x ≤2k π＋116π(k ∈Z )．∴y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 的单调递增区间是 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋5π6，2k π＋116π(k ∈Z )．11．y ＝2sin x 2的值域是( ) A ． B ． C ．D ．RA∵x 2≥0，∴sin x 2∈， ∴y ＝2sin x 2∈．12．函数y ＝sin x2＋cos x 是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数也不是偶函数 A定义域为R ，f (－x )＝sin (－x )2＋cos (－x )＝－sin x2＋cos x ＝－f (x )，则f (x )是奇函数．13．已知a ∈R ，函数f (x )＝sin x －|a |，x ∈R 为奇函数，则a 等于( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．±1 A解法一：易知y ＝sin x 在R 上为奇函数， ∴f (0)＝0，∴a ＝0.解法二：∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即sin(－x )－|a |＝－sin x ＋|a |，－sin x －|a |＝－sin x ＋|a |.∴|a |＝0，即a ＝0.14．下列函数中，周期为π，且在[π4，π2]上为减函数的是( ) A ．y ＝sin(2x ＋π2) B ．y ＝cos(2x ＋π2) C ．y ＝sin(x ＋π2) D ．y ＝cos(x ＋π2)AC 、D 两项中函数的周期都为2π，不合题意，排除C 、D ；B 项中y ＝cos(2x ＋π2)＝－sin2x ，该函数在[π4，π2]上为增函数，不合题意； A 项中y ＝sin(2x ＋π2)＝cos2x ，该函数符合题意，选A.15．(陕西高考)对于函数f (x )＝sin2x ，下列选项中正确的是( ) A ．f (x )在(π4，π2)上是递增的 B ．f (x )的图象关于原点对称 C ．f (x )的最小正周期为2π D ．f (x )的最大值为2 B由于函数y ＝sin x 在(π2，π)上是递减的，所以f (x )＝sin2x 在(π4，π2)上是递减的，故A 选项错误．因为f (－x )＝sin2(－x )＝sin(－2x )＝－sin2x ＝－f (x )，所以f (x )为奇函数，图象关于原点对称，故B 选项正确．16．(2018-2019·无锡高一检测)函数y ＝sin(x －π6)，x ∈的值域为________．17．求函数y ＝13cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋1的最大值，及此时自变量x 的取值集合． ∵x ∈R ，∴－1≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4≤1. ∴23≤13cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋1≤43. ∴函数y ＝13cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋1的最大值是43. 此时2x －π4＝2k π(k ∈Z )，∴x ＝k π＋π8. 即此时自变量x 的取值集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π＋π8，k ∈Z .B 级1．函数y (x )＝－cos x ln x 2的部分图象大致是图中的( )A函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)， f (－x )＝－cos(－x )ln(－x )2＝－cos x ln x 2＝f (x )，则函数f (x )是偶函数，其图象关于y 轴对称，排除选项C 和D ；当x ∈(0,1)时，cos x >0,0<x 2<1，则ln x 2<0，此时f (x )>0，此时函数f (x )的图象位于x 轴的上方，排除选项B.2．(2018·长沙调研)已知函数f (x )＝3sin(ωx －π6)(ω>0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同，若x ∈，则f (x )的取值范围是____________．∵f (x )与g (x )的图象的对称轴完全相同， ∴f (x )与g (x )的最小正周期相等， ∵ω>0，∴ω＝2，∴f (x )＝3sin(2x －π6)， ∵0≤x ≤π2，∴－π6≤2x －π6≤5π6， ∴－12≤sin(2x －π6)≤1， ∴－32≤3sin(2x －π6)≤3， 即f (x )的取值范围是．3．已知函数f (x )＝log 12|sin x |.(1)求其定义域和值域； (2)判断其奇偶性； (3)求其周期； (4)写出单调区间．(1)由|sin x |>0得sin x ≠0，∴x ≠k π(k ∈Z )． 即函数定义域为{x ∈R |x ≠k π，k ∈Z }． 又0<|sin x |≤1，∴log 12|sin x |≥0.∴函数的值域为的最大值是1，试确定a 的值．f (x )＝sin 2x ＋a cos x ＋58a －32＝1－cos 2x ＋a cos x ＋58a －32＝－(cos x －a 2)2＋18(2a 2＋5a －4)．(1)若0≤a 2≤1，即0≤a ≤2，当cos x ＝a2时，f (x )最大，此时18(2a 2＋5a －4)＝1，解得a ＝32； (2)若a2>1，即a >2，当x ＝0时，即cos x ＝1时，f (x )最大，此时－(1－a 2)2＋18(2a 2＋5a －4)＝1， 解得a ＝2013(不符合条件，舍去)；(3)若a 2<0，即a <0，当x ＝π2时，即cos x ＝0时， f (x )最大，此时－(0－a 2)2＋18(2a 2＋5a －4)＝1， 解得a ＝125(不符合条件，舍去)．综上可得a ＝32.。
专题01 小题好拿分【基础版】(30题)-下学期期末复习备考高一数学黄金30题(浙江版)
小题好拿分【基础版】1．【2018年浙江卷】已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，则A. B. {1，3} C. {2，4，5} D. {1，2，3，4，5}【★★答案★★】C【解析】分析:根据补集的定义可得结果.详解：因为全集，，所以根据补集的定义得,故选C.点睛：若集合的元素已知，则求集合的交集、并集、补集时，可根据交集、并集、补集的定义求解．2．【2018年天津卷理】设全集为R，集合，，则A. B. C. D.【★★答案★★】B点睛：本题主要考查交集的运算法则，补集的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 3．在直角坐标系中，直线的倾斜角是（）A. B. C. D.【★★答案★★】A【解析】直线的斜率是，所以倾斜角为30°故选：A点睛：每条直线都存在倾斜角，但每条直线不一定有斜率，当倾斜角为时，斜率不存在.4．【2018年新课标I卷理】在△中，为边上的中线，为的中点，则A. B.C. D.【★★答案★★】A【解析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.详解：根据向量的运算法则，可得，所以，故选A.点睛：该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算. 5．已知上的奇函数满足：当时，，则（）A. 1B. -1C. 2D. -2【★★答案★★】C点睛：本题考查函数的奇偶性，可直接利用奇函数的性质求值.，，∴.6．【2018年新课标I卷文】设函数，则满足的x的取值范围是A. B. C. D.【★★答案★★】D【解析】分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有成立，一定会有，从而求得结果.详解：将函数的图像画出来，观察图像可知会有，解得，所以满足的x的取值范围是，故选D.点睛：该题考查的是有关通过函数值的大小来推断自变量的大小关系，从而求得相关的参数的值的问题，在求解的过程中，需要利用函数解析式画出函数图像，从而得到要出现函数值的大小，绝对不是常函数，从而确定出自变量的所处的位置，结合函数值的大小，确定出自变量的大小，从而得到其等价的不等式组，从而求得结果.7．已知偶函数在单调递增，若,则满足的的取值范围是（）A. B.C. D.【★★答案★★】B【解析】分析：由题意结合函数的性质脱去符号，求解绝对值不等式即可求得最终结果．详解：由题偶函数在单调递增，若,则，即解得或.故选B.点睛：本题考查函数的奇偶性，函数的单调性等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中档题．8．已知，则的值是（）A. B. C. D.【★★答案★★】A【解析】分析：由诱导公式求得，再由同角关系式求得，最后由二倍角公式得.详解：，∵，∴，∴，故选A.点睛：本题考查的恒等变换，三角函数的诱导公式、同角间的三角函数关系、两角和与差的正弦（余弦、正切）公式、二倍角公式是解这类题常要用到的公式，需要熟练掌握．另外需要观察“已知角”和“未知角”之间的关系，寻找它们之间的联系，从而确定选用什么公式进行变形、化简．9．【2018年天津卷文】将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数A. 在区间上单调递增B. 在区间上单调递减C. 在区间上单调递增D. 在区间上单调递减【★★答案★★】A【解析】分析：首先确定平移之后的对应函数的解析式，然后逐一考查所给的选项是否符合题意即可. 详解：由函数图象平移变换的性质可知：将的图象向右平移个单位长度之后的解析式为：.则函数的单调递增区间满足：，即，令可得函数的一个单调递增区间为，选项A正确，B错误；函数的单调递减区间满足：，即，令可得函数的一个单调递减区间为，选项C，D错误；本题选择A选项.点睛：本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调区间等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10．【2018年全国卷Ⅲ理】的内角的对边分别为，，，若的面积为，则A. B. C. D.【★★答案★★】C【解析】分析：利用面积公式和余弦定理进行计算可得。
高一数学下学期知识点复习 经典例题(解析)
知识点复习知识点梳理（一）正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin ===（其中R 表示三角形的外接圆半径） 适用情况：（1）已知两角和一边，求其他边或其他角； （2）已知两边和对角，求其他边或其他角。
变形：① 2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c RC =②sin 2a A R =，sin 2b B R =，sin 2cC R =③ sin sin sin a b cA B C++++=2R④::sin :sin :sin a b c A B C =（二）余弦定理：2b =B ac c a cos 222-+（求边），cosB=acb c a 2222-+（求角）适用情况：（1）已知三边，求角；（2）已知两边和一角，求其他边或其他角。
（三）三角形的面积：① =⋅=a h a S 21；② ==A bc S sin 21； ③C B A R S sin sin sin 22=； ④RabcS 4=； ⑤))()((c p b p a p p S ---=；⑥pr S =（其中2a b cp ++=，r 为内切圆半径） （四）三角形内切圆的半径：2S r a b c∆=++，特别地，2a b c r +-=斜直（五）△ABC 射影定理：A c C a b cos cos ⋅+⋅=，… （六）三角边角关系：（1）在ABC ∆中，A B C ++=π；sin()A B +=sin C ；cos()A B +=cos C -cos 2A B +=sin 2C ； 2cos 2sin CB A =+（2）边关系：a + b > c ，b + c > a ，c + a > b ，a －b < c ，b －c < a ，c －a > b ；（3）大边对大角：B A b a >⇔> 考点剖析（一）考查正弦定理与余弦定理的混合使用例1、在△ABC 中，已知Ａ＞Ｂ＞Ｃ,且Ａ=2Ｃ, 8,4=+=c a b ,求c a 、的长.例1、解：由正弦定理，得C c A a sin sin = ∵Ａ＝２Ｃ ∴CcC a sin 2sin =∴C c a cos 2= 又8=+c a ∴ c ccocC 28-= ①由余弦定理，得CC c Cab b a c 222222cos 1616cos 4cos 2-+=-+= ②入②，得 )舍(44或524516⎩⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==a c a c ∴516524==c a ， 例2、如图所示，在等边三角形中，,AB a =O 为三角形的中心，过O 的直线交AB于M ，交AC 于N ，求2211OM ON+的最大值和最小值． 例2、【解】由于O 为正三角形ABC的中心，∴AO =， 6MAO NAO π∠=∠=，设MOA α∠=，则233ππα≤≤， 在AOM ∆中，由正弦定理得：sin sin[()]6OM OAMAO ππα=∠-+，∴6sin()6OM πα=+，在AON ∆中，由正弦定理得：6sin()6ON πα=-，∴2211OM ON +22212[sin ()sin ()]66a ππαα=++-22121(sin )2a α=+， ∵233ππα≤≤，∴3sin 14α≤≤，故当2πα=时2211OM ON +取得最大值218a ， 所以，当α=2,33or ππ时23sin 4α=，此时2211OM ON +取得最小值215a ． 变式1、在△ABC 中，角A 、B 、C 对边分别为c b a ,,，已知bc ac c a ac b -=-=222,且， （１）求∠Ａ的大小；（２）求cBb sin 的值变式1、解（１）∵bc ac c a ac b -=-=222,∴bc a c b =-+222 在△ABC 中，由余弦定理得2122cos 222==-+=bc bc bc a c b A ∴∠Ａ＝060（２）在△ABC 中，由正弦定理得ab B 060sin sin =∵0260,=∠=A ac b ∴2360sin 60sin sin 002===ca b c B b变式2、在中，为锐角，角所对的边分别为，且（I ）求的值； （II ）若，求的值。
人教A版高一数学必修第二册全册复习测试题卷含答案解析(55)
高一数学必修第二册全册复习测试题卷（共22题）一、选择题（共10题）1. 如图所示的图形中有 ( )A ．圆柱、圆锥、圆台和球B ．圆柱、球和圆锥C ．球、圆柱和圆台D ．棱柱、棱锥、圆锥和球2. 下列关于零向量的说法，正确的是 ( ) A ．零向量没有方向 B ．零向量没有长度 C ．零向量等同于实数中的零D ．零向量和任意向量共线3. 复数 −2i 的实部与虚部分别是 ( ) A ． 0，2B ． 0，0C ． 0，−2D ． −2，04. 若 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1)，则 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于 ( ) A ． (−2,3)B ． (0,1)C ． (−1,2)D ． (2,−3)5. 如图所示，在矩形 ABCD 中，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =5e 1⃗⃗⃗ ，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3e 2⃗⃗⃗ ，则 OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于 ( )A ． 12(5e 1⃗⃗⃗ +3e 2⃗⃗⃗ ) B ． 12(5e 1⃗⃗⃗ −3e 2⃗⃗⃗ ) C ． 12(3e 2⃗⃗⃗ −5e 1⃗⃗⃗ )D ． 12(5e 2⃗⃗⃗ −3e 1⃗⃗⃗ )6. 已知向量 a ，b ⃗ ，那么 12(2a −4b⃗ )+2b ⃗ 等于 ( )A ． a −2b ⃗B ． a −4b⃗ C ． aD ． b⃗7. 已知过球面上 A ，B ，C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且 AB =BC =CA =2，则球面面积是 ( ) A ．169π B ． 83πC ． 4πD ．649π8. 如图，在 △ABC 中，AD ⊥AB ，BC =√3BD ，AD =1，则 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗ = ( )A ． √3B ． 3C ． −√3D ． −39. 在 △ABC 中，点 D 满足 BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =34BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，当点 E 在线段 AD 上移动时，若 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ∈R )，则 t =(λ−1)2+μ2 的最小值是 ( ) A ．3√1010B ．√824C ．910D ．41810. 给出下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤路程；⑥功；⑦加速度． 其中是向量的有 ( ) A ． 4 个 B ． 5 个 C ． 6 个 D ． 7 个二、填空题（共6题） 11. 复数集：（1）定义： 所构成的集合叫做复数集． （2）表示：通常用大写字母 C 表示．12. 已知向量 a =(1,1)，b ⃗ =(m,2)，且 a ⋅b ⃗ =1，则 m 的值为 ，a 与 b⃗ 夹角的余弦值等于 ．13. 空间不共面的四个点可以确定 个平面．14. 思考辨析 判断正误复数与复数相加减后结果只能是实数．( )15. 已知复数 z =i 2019⋅(1−i )，则 ∣z ∣= ．16. 平均数：如果 n 个数 x 1，x 2，⋯，x n ，那么 x = 叫做这 n 个数的平均数．三、解答题（共6题）17. 根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：(1) A ∈α，B ∉α；(2) l ⊂α，m ∩α=A ，A ∉l ； (3) P ∈l ，P ∉α，Q ∈l ，Q ∈α．18. 如图，正方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 的棱长为 2．(1) 求证：AC ⊥B 1D ；(2) 求三棱锥 C −BDB 1 的体积．19. 一辆消防车从 A 地去 B 地执行任务，先从 A 地向北偏东 30∘ 方向行驶 2 千米到 D 地，然后从 D 地沿北偏东 60∘ 方向行驶 6 千米到达 C 地，从 C 地又向南偏西 30∘ 方向行驶 2 千米才到达 B 地．(1) 画出 AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ； (2) 求 B 地相对于 A 地的位移．20. 按图示的建系方法，画出水平放置的正五边形 ABCDE 的直观图．21.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=2√2，b=5，c=√13．(1) 求角C的大小；(2) 求sinA的值；)的值．(3) 求sin(2A+π422.分层随机抽样的总体具有什么特点？答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】B【解析】根据题中图形可知，（1）是球，（2）是圆柱，（3）是圆锥，（4）不是圆台． 【知识点】棱柱的结构特征2. 【答案】D【解析】零向量既有大小，又有方向；实数零只是数量，没有方向；规定零向量与任一向量共线，所以选D ．【知识点】平面向量的概念与表示3. 【答案】C【解析】 −2i 的实部为 0，虚部为 −2． 【知识点】复数的概念4. 【答案】D【知识点】平面向量和与差的坐标运算5. 【答案】A【知识点】平面向量的分解6. 【答案】C【知识点】平面向量的数乘及其几何意义7. 【答案】D【解析】因为球的半径 R 不小于的外接圆半径 r =2√33， 则 S 球=4πR 2≥4πr 2=163π>5π．【知识点】球的表面积与体积8. 【答案】A【知识点】平面向量的数量积与垂直9. 【答案】C【解析】如图，设存在实数 m 使得 AE⃗⃗⃗⃗⃗ =mAD ⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤m ≤1)， 因为AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =m (14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=m 4AB⃗⃗⃗⃗⃗ +3m 4AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以 {λ=m4,μ=3m 4,所以t =(λ−1)2+μ2=(m4−1)2+(3m 4)2=58m 2−m2+1=58(m −25)2+910,当 m =25时，t 取得最小值，为910．【知识点】平面向量的分解10. 【答案】A【解析】速度、位移、力、加速度，这 4 个物理量是向量，它们都有大小和方向． 【知识点】平面向量的概念与表示二、填空题（共6题） 11. 【答案】全体复数【知识点】复数的代数形式12. 【答案】−1；√1010【知识点】平面向量数量积的坐标运算13. 【答案】 4【解析】不共面的四个点中任意三个点可构成一个平面，则共可确定 4 个平面． 故答案为 4．【知识点】平面的概念与基本性质14. 【答案】×【知识点】复数的加减运算15. 【答案】√2【解析】z=i2019⋅(1−i)=i2×1009+1⋅(1−i)=−i⋅(1−i)=−i−1，则∣z∣=√(−1)2+(−1)2=√2．【知识点】复数的乘除运算16. 【答案】1n(x1+x2+⋯+x n)【知识点】样本数据的数字特征三、解答题（共6题）17. 【答案】(1) 点A在平面α内，点B不在平面α内．图形如图（1）所示．(2) 直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上．图形如图（2）所示．(3) 直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q．图形如图（3）所示．【知识点】直线与直线的位置关系、点与平面的位置关系18. 【答案】(1) 因为四棱柱ABCD−A1B1C1D1为正方体，所以BB1⊥平面ABCD．因为AC⊂平面ABCD，所以BB1⊥AC．因为底面ABCD为正方形，所以AC⊥BD．因为BB1∩BD=B，BB1,BD⊂平面BB1D，所以AC⊥平面BB1D．因为B1D⊂平面BB1D，所以AC⊥B1D．(2) 易知V C−BDB1=V B1−BDC．因为B1B⊥平面ABCD，所以B1B是三棱锥B1−BDC的高．因为V B1−BDC =13S△BDC⋅BB1=13×12×2×2×2=43，所以三棱锥 C −BDB 1 的体积为 43．【知识点】直线与平面垂直关系的判定、棱锥的表面积与体积19. 【答案】(1) 向量 AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DC⃗⃗⃗⃗⃗ ，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 如图所示． (2) 由题意知 AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以 AD ∥BC ，AD =BC ， 则四边形 ABCD 为平行四边形，所以 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC⃗⃗⃗⃗⃗ ， 则 B 地相对于 A 地的位移为“北偏东 60∘，长度为 6 千米”． 【知识点】平面向量的概念与表示20. 【答案】画法：（1）在图①中作 AG ⊥x 轴于 G ，作 DH ⊥x 轴于 H ．（2）在图②中画相应的 xʹ 轴与 yʹ 轴，两轴相交于点 Oʹ，使 ∠xʹOʹyʹ=45∘．（3）在图②中的 xʹ 轴上取 OʹBʹ=OB ，OʹGʹ=OG ，OʹCʹ=OC ，OʹHʹ=OH ，yʹ 轴上取 OʹEʹ=12OE ，分别过 Gʹ 和 Hʹ 作 yʹ 轴的平行线，并在相应的平行线上取 GʹAʹ=12GA ，HʹDʹ=12HD ． （4）连接 AʹBʹ，AʹEʹ，EʹDʹ，DʹCʹ，并擦去辅助线 GʹAʹ，HʹDʹ，xʹ 轴与 yʹ 轴，便得到水平放置的正五边形 ABCDE 的直观图五边形 AʹBʹCʹDʹEʹ（如图③）． 【知识点】直观图21. 【答案】(1) 在 △ABC 中，由余弦定理及 a =2√2，b =5，c =√13， 得 cosC =a 2+b 2−c 22ab=√22． 又因为 C ∈(0,π)， 所以 C =π4．(2) 在 △ABC 中，由正弦定理及 C =π4，a =2√2，c =√13，可得 sinA =asinC c=2√1313． (3) 由 a <c 及 sinA =2√1313， 可得 cosA =√1−sin 2A =3√1313， 进而 sin2A =2sinAcosA =1213，cos2A=2cos2A−1=513．所以sin(2A+π4)=sin2Acosπ4+cos2Asinπ4=1213×√22+513×√22=17√226.【知识点】正弦定理、余弦定理、二倍角公式22. 【答案】个体之间差异较大．【知识点】分层抽样。
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运用数学思想求解函数问题
河南陈长松
函数中蕴含着丰富的数学思想方法，解题时若能充分运用这些数学思想方法，常可使许多问题获得简洁巧妙的解决．
１．对应的思想
在本章中，映射是一种对应，函数是一种对应，并且函数是按照某种对应关系建立的从定义域到值域的映射，因此函数的定义域、对应关系确定以后，值域就确定了，在解题中，一定注意函数定义域．例１已知集合Ｍ＝｛１，２，３｝，Ｎ＝｛４，５｝，函数)
(x
f
y
以Ｍ为定义域，以Ｎ为值域，则这样的函数共有——————解：
图１
)4(2-x x 由图可知，这样的函数共有６个． ２．数形结合的思想方法
函数的图像直观地显示函数的性质，借助于图像来研究、解决有关函数的问题是数形结合应用的一个重要方面．在解不等式、判断方程是否有解、解的个数及二次方程根的分布问题时，我们往往构造函数，利用函数的图像解题．
例2 方程x x 3)4(log 2=+的解的个数是（ ）
Ａ．０个 Ｂ．１个 Ｃ．２个 Ｄ．３个
解：在同一坐标系画出函数
)4(log 2-=x y
及x y 3=的图像，
如图２，他们的图像有两个交点．故选
３．分类讨论的思想
在函数这一部分经常涉及到分类讨论的情形，特别是含参数的二次函数在部分区间上的最值问题，含参数的函数单调性的研究及应用等问题中，一般需用分类讨论的思想方法．
例３ 已知函数3)12()(2--+=x a ax x f 在区间［－2
3，２］上的最大值为１，求实数a 的值．
解：a ＝０时，)(x f ＝－x －３，)(x f 在［－2
3
，２］上不能取得１，故a ≠０．
3)12()(2--+=x a ax x f （a ≠０）的对称轴方程为a
a
x 2210-=
（１）令1)2
3
(=-f ，解得a ＝－310，此时∈-=20230x ［－23，
２］
∵ a ＜０，)(0x f 最大，所以1)2
3(=-f 不合适． （２）令1)2(=f ，解得a ＝4
3，此时∈-=3
10x ［－2
3，２］
∵ a ＝4
3＞０， ∴)2(f 最大，合适．
（３）令)(0x f ＝１，解得a ＝)223(2
1±-，验证后知只有a ＝
)223(2
1
--才合适． 综上所述，a ＝43，或a ＝)223(2
1
--．
４．转化与化归的思想
在解决恒成立及复合函数等问题时，往往可以把问题转化为指数函数、对数函数、二次函数、幂函数等我们熟悉的函数去研究，将复杂的问题分解、归结为简单问题．
例４ 已知函数x a
x x x f ++=2)(2 ，),1[+∞∈x ，若对任意),1[+∞∈x ，
)(x f ＞０恒成立，试求实数a 的取值范围．
解：在区间［１，＋∞）上，x a
x x x f ++=2)(2＞０恒成立
022>++⇔a x x 恒成立．
设a x x y ++=22，),1[+∞∈x
∵ a x x y ++=22＝1)1(2-++a x 递增，
∴当x ＝１时，a y +=3min ，当且仅当a y +=3min ＞０时，函数)(x f ＞０恒成立． 故a ＞－３
５．函数与方程的思想
本章中学习了指数函数、对数函数，研究了分段函数，函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性．因此，用函数和方程的观点指导解题，是一种重要思想方法．
例５ 设R c b a ∈,,，且它们的绝对值都不大于１，求证：
01≥+++ca bc ab ．
分析：构造函数1)(+++=ca bc ab a f ，)(a f 是关于a 的一次函数，由于a ∈［－1，1］,只要证明0)1(≥-f 且0)1(≥f ，就能证明0)(≥a f ．
证明：设1)()(+++=bc a c b a f ，)(a f 是关于a 的一次函数 ∵ ]1,1[,,-∈c b a
∴0)1)(1()1()1(1)1(≥++=+++=+++=c b c c b bc c b f 0)1)(1()1()1(1)1(≥--=-+-=++--=-c b c c b bc c b f ∴)(a f 在［－1，1］上恒为负， ∴01≥+++ca bc ab ． 评注：本题解法的关键在于要具有函数意识，能结合式子的特征构造出一次函数)(a f ，从而由一次函数的图像性质，使问题得以解决．。