九年级数学下册 专题：二次函数中的符号问题精品课件 人教新课标版
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数学：26.1《二次函数》(第2课时)课件(人教新课标九年级下)课件教学人教版
我想到了我不是块做风筝的料，做风筝的人，一定细心讲究，要做之前，先用尺度量一下，让风筝头部的绑线部位，其中放十字架的树条支撑，以好绑住了线条；而我这个人粗心大意，做出来的风 筝也有模有样，就是飞不出来，飞的高高的，那才是算做成的风筝。我哀声叹气，认为自己不是做风筝的那块料，天生注定的，如同别人没我学习好的那样。命运是公平的，三百六十行，行行出状元。 我发誓，我不做风筝了。不用本金日赚50到100
一天在田间边站着那里，拉一条长长的风筝线。风筝起风飞了，越飞越高，升入蔚蓝的天空。
我又忍不住了，这一次，我把纸张换成了白色的那种塑料纸，这种塑料轻，平常人们在屋外丢弃的塑料纸片，微风一吹，纷纷扬扬，甚至飞上了蓝蓝的天空。我又小心翼翼认真做了起来，不像前些 天做的粗心大意，量了量风筝头部均匀划开，再也不用那些饭团粒，拇指一压扁黏住的纸片，而是学会了别人用浆糊黏住塑料纸。费了九牛二虎之力的那一会儿功夫，终于完成了风筝。
我走了出来，一个人拼命全力气狂前冲，风嗖嗖在耳根响起，风筝在我身后转了一两圈，便高高地飞上了天空。我高兴地不得了，又跑又跳，兴奋劲盖过了使劲力气的奔跑。伙伴们看见了，一个个 投来异样的目光。
一天在田间边站着那里，拉一条长长的风筝线。风筝起风飞了，越飞越高，升入蔚蓝的天空。
我又忍不住了，这一次，我把纸张换成了白色的那种塑料纸，这种塑料轻，平常人们在屋外丢弃的塑料纸片，微风一吹，纷纷扬扬，甚至飞上了蓝蓝的天空。我又小心翼翼认真做了起来，不像前些 天做的粗心大意，量了量风筝头部均匀划开，再也不用那些饭团粒，拇指一压扁黏住的纸片，而是学会了别人用浆糊黏住塑料纸。费了九牛二虎之力的那一会儿功夫，终于完成了风筝。
我走了出来，一个人拼命全力气狂前冲，风嗖嗖在耳根响起，风筝在我身后转了一两圈，便高高地飞上了天空。我高兴地不得了，又跑又跳，兴奋劲盖过了使劲力气的奔跑。伙伴们看见了，一个个 投来异样的目光。
二次函数中的符号问题PPT教学课件
∴解为
n=2
形正 的八 平边 面形 镶与 嵌正
方
正十二边形与正三角形 的平面镶嵌
正十边形与正五边 形的平面镶嵌
（05山东）9．用两种正多边形镶嵌，不能与正三 角形匹配的正多边形是
（A）正方形
（B）正六边形
（C）正十二边形 （D）正十八边形
1、镶嵌的要求：
无缝隙，不重叠
2、多边形能否镶嵌的条件：
90° 108° 120°
4 3+1/3
3
8
1080°
135°
2+2/3
…
…
…
…
n
(n-2)180°(n-2)180°/n 2+4/n-2
2.由表可知,周角与正n边形每个内角的商为( 2+4/n-2 ),
3,4,6 当n=(
) 时,商为整数,即(正三角形,正方形,正六边形 )
等正多边形能单独作平面镶嵌.
.
3、抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是
.
归纳知识点：
抛物线y=ax2+bx+c的符号问题：
（1）a的符号： 由抛物线的开口方向确定
开口向上
a>0
开口向下
a<0
（2）C的符号：由抛物线与y轴的交点位置确定:
交点在x轴上方
c>0
交点在x轴下方
c<0
经过坐标原点
c=0
归纳知识点：
（3）b的符号：由对称轴的位置确定：
①
②
（2）正三角形与正六边形的平面镶嵌 图n个正六边形的角。
60m
120n
360
m 4 n 1
,
m 2 n 2
n=2
形正 的八 平边 面形 镶与 嵌正
方
正十二边形与正三角形 的平面镶嵌
正十边形与正五边 形的平面镶嵌
（05山东）9．用两种正多边形镶嵌，不能与正三 角形匹配的正多边形是
（A）正方形
（B）正六边形
（C）正十二边形 （D）正十八边形
1、镶嵌的要求：
无缝隙，不重叠
2、多边形能否镶嵌的条件：
90° 108° 120°
4 3+1/3
3
8
1080°
135°
2+2/3
…
…
…
…
n
(n-2)180°(n-2)180°/n 2+4/n-2
2.由表可知,周角与正n边形每个内角的商为( 2+4/n-2 ),
3,4,6 当n=(
) 时,商为整数,即(正三角形,正方形,正六边形 )
等正多边形能单独作平面镶嵌.
.
3、抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是
.
归纳知识点：
抛物线y=ax2+bx+c的符号问题：
（1）a的符号： 由抛物线的开口方向确定
开口向上
a>0
开口向下
a<0
（2）C的符号：由抛物线与y轴的交点位置确定:
交点在x轴上方
c>0
交点在x轴下方
c<0
经过坐标原点
c=0
归纳知识点：
（3）b的符号：由对称轴的位置确定：
①
②
（2）正三角形与正六边形的平面镶嵌 图n个正六边形的角。
60m
120n
360
m 4 n 1
,
m 2 n 2
新课标人教版初中数学九年级下册第二十六章二次函数-精品课件
2020/4/15
小结
在解二次函数问题时，要善于用表格、图象、 函数表达式表示变量之间的二次函数关系，能 根据具体情况选取适当的方法，表示变量之间 的二次函数关系；要充分利用二次函数图象去 把握其性质；在解决实际问题时，二次函数也 是一个有效的数学模型，它能对变量的变化趋 势进行预测.
2020/4/15
。
-1
2020/4/15
• （3）写出一个图象经过原点的二次函数解析
式： 如： y=x²-2x
。
2020/4/15
（ 4 ） 抛 物 线 y=-x²-2x+3 与 x 轴 交 于 点 A（
）、B1（，0
）-，3，与0y 轴 交 于 点 C（
），0且，△3ABC的面积为
。6
2020/4/15
2.求抛物线y=2x²-4x+1的对称轴和顶点坐标。 解： y=2x²-4x+1 = 2(x²-2x+1-1)+1 =2(x-1)²-2+1 =2(x-1)²-1 ∴ 对称轴是x=1,顶点坐标为（1，-1）
2020/4/15
（二）、解决问题：
3.在墙边（足够长）的空地上，准备用36m长的篱笆围一块矩形花圃 ，问长是多少时，才能使围成的面积最大，最大面积是多少？
解： 设长为xm时 ，面积为y m2 由已知条件得 ： y=½(36-x)x
y=- ½(x-18)2+162 ∴ 当x=18m时 y 的最大面积是162m2
• （4）利用（3）的结论直接写出y= -x2+4x+2的伴随抛物线和伴随 直线。
2020/4/15
解: （3）∵伴随抛物线的顶点是（0，c）， ∴设它的解析式为y=m（x-0）2+c（m≠0）. ∵此抛物线过点P（-b/2a，4ac-b2/4a）， ∴4ac-b2/4a=m（-b/2a）2+c.解得m=-a. ∴伴随抛物线的解析式为y=-ax2+c. 设伴随直线的解析式为y=kx+c. ∵点P在此直线上, ∴k=-b/2. 伴随直线的解析式为y=bx/2+c (4)y=x2 +2 , y=2x+2 .
小结
在解二次函数问题时，要善于用表格、图象、 函数表达式表示变量之间的二次函数关系，能 根据具体情况选取适当的方法，表示变量之间 的二次函数关系；要充分利用二次函数图象去 把握其性质；在解决实际问题时，二次函数也 是一个有效的数学模型，它能对变量的变化趋 势进行预测.
2020/4/15
。
-1
2020/4/15
• （3）写出一个图象经过原点的二次函数解析
式： 如： y=x²-2x
。
2020/4/15
（ 4 ） 抛 物 线 y=-x²-2x+3 与 x 轴 交 于 点 A（
）、B1（，0
）-，3，与0y 轴 交 于 点 C（
），0且，△3ABC的面积为
。6
2020/4/15
2.求抛物线y=2x²-4x+1的对称轴和顶点坐标。 解： y=2x²-4x+1 = 2(x²-2x+1-1)+1 =2(x-1)²-2+1 =2(x-1)²-1 ∴ 对称轴是x=1,顶点坐标为（1，-1）
2020/4/15
（二）、解决问题：
3.在墙边（足够长）的空地上，准备用36m长的篱笆围一块矩形花圃 ，问长是多少时，才能使围成的面积最大，最大面积是多少？
解： 设长为xm时 ，面积为y m2 由已知条件得 ： y=½(36-x)x
y=- ½(x-18)2+162 ∴ 当x=18m时 y 的最大面积是162m2
• （4）利用（3）的结论直接写出y= -x2+4x+2的伴随抛物线和伴随 直线。
2020/4/15
解: （3）∵伴随抛物线的顶点是（0，c）， ∴设它的解析式为y=m（x-0）2+c（m≠0）. ∵此抛物线过点P（-b/2a，4ac-b2/4a）， ∴4ac-b2/4a=m（-b/2a）2+c.解得m=-a. ∴伴随抛物线的解析式为y=-ax2+c. 设伴随直线的解析式为y=kx+c. ∵点P在此直线上, ∴k=-b/2. 伴随直线的解析式为y=bx/2+c (4)y=x2 +2 , y=2x+2 .
新人教版九级下册二次函数总复习精品PPT课件
y
y
y
y
O
x
A
x
O
x
O
O
x
B
C
D
答案: B 前进
(三)根据函数性质求函数解析式
例4、已知二次函数y=ax2+bx+c的最
大值是2，图象顶点在直线y=x+1上，并
且图象经过点（3，-6）。求二次函数
解析式解：∵二次函数的最大值是2
∴抛物线的顶点纵坐标为2
又∵抛物线的顶点在直线y=x+1上
∴当y=2时，x=1 ∴顶点坐标为（ 1 ， 2）
⑤Δ=b-4ac ___ 0
二次函数y=ax2+x+a2-1的图
象如图所示，则a=_______
y
x
题型分析:
(一)抛物线与x轴、y轴的交点及所构成 的面积
例1:填空：
(1)抛物线y＝x2－3x＋2与y轴的交点坐 标是_____(0_,2_) _____，与x轴的交点
坐标是___(1,_0_)和_(2_,_0)____；
（6）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？
解: (2)由x=0，得y= - -32—
抛物线与y轴的交点C（0，- -32—）
由x1y==-30，得—12x2x=21+x- —32 =0 与x轴交点A（-3，0）B（1，0）
前进
例（5：1）求已抛知物二线次开函口数方y=向—12，x2对+x称-—32轴和顶点M的坐标。
精诚教育 降春雨
复习目标：
1.知识目标：掌握二次函数的定义，最值及性质，抛物 线的开口方向、对称轴和顶点坐标。
2.技能目标：会熟练求二次函数的解析式、对称轴及顶 点坐标。
二次函数中的符号问题PPT精品课件
鹰
飞 机
动物与仿生
仿生
概念：科学家通过对生物的认真观察和 研究，模仿生物的某些结构和功能来发 明创造各种仪器设备，这就是仿生。
潜水艇
飞鱼导弹
仿生学的应用
除了上述应用外，仿生还广泛地应用于以下 几个方面：
（1）生物体与人造器官，如模仿蛙眼的结构原理 制造的电子蛙眼应用于雷达系统、机场和交通 要道上，起监视、防止事故发生的作用。
y
o
x
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号：
y
o
x
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号：
y
o
x
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号：
y
o
x
练一练：
1.已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点
M（ b ，a）在（ D ） c
A、第一象限 B、第二象限
y
C、第三象限
D、第四象限
o
x
练一练：
2、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示， 下列结论中：①b＞0；②c<0；③4a+2b+c ＞ 0；
④（a+c)2＜b2，其中正确的个数是 （ B ）
A、4个 B、3个
y
C、2个 D、1个
2、含有人的转铁蛋白的牛奶（具
有良好的营养保健功能，它能抑制大部分有害的肠胃细菌，但对有益细 菌的生长起促进作用）。
3、人牛混合奶（分离出人奶蛋白基因并
九年级数学下册 二次函数的符号问题课件 人教新课标版
o
x
△>0.
练习
2、抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、 b、c、△的符号：
y
a>0,
b>0,
c=0,
o
x
△>0.
练习
3、抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、 b、c、△的符号：
y
a<0,
b<0,
c>0,
o
x
△>0.
练习
4、抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、 b、c、△的符号：
(1)y= -x2+4x-3
(2) y= x-3
(3) 3
2、已知;二次函数y=2x2-(m+1)x+(m-1).
(1)求证:不论m为何值时,函数的图像与x轴总
有交点,并指出m为何值时,只有一个交点；
(2)当m为何值时,函数图像过原点,并指出此时
函数图像与x轴的另一个交点；
(3)若函数图像的顶点在第四象限,求m的取值
范围. (1)
(m
1)2
4
2(m
1)
(m
3)2
,
无论m为何值时， 0.
抛物线与x轴总有交点，且当＝0时，即m＝3时，
抛物线与x轴只有一个交点. (2)另一个交点坐标为(1，0) (3)当m＞-1且m≠3时,抛物线的顶点在第四象限
小结 抛物线y=ax2+bx+c的符号问题： （1）a的符号：由抛物线的开口方向确定 （2）C的符号：由抛物线与y轴的交点位置确定 （3）b的符号： 由对称轴的位置确定 （4）b2-4ac的符号：由抛物线与x轴的交点个数确定 （5）a+b+c的符号：由x=1时抛物线上的点的位置确定
九年级数学下册 二次函数的图象和性质复习课件 人教新课标版
二次函数的图象和性质
二次函数的图象和性质 (复习)
【☆中考动向前瞻】
二次函数历年来是中考重点考查的内容.
【本节课复习目标】
复习运用数形结合思想、转化思想、待定系数法等。 完成二次函数的以下三者之间的转化：
图象
性质
解析式
☆考点聚焦
★二次函数图象的形状： 抛物线 ★二次函数图象与性质：
函数 式
ya(xd)2h yax2bxc
B
当x=3时，与x=1的函数
值相同，故可将三点放 O 1 1.5 3 x
置于对称轴的同侧来比
较函数值的大小。
一题多变
☆触摸中考
例3、已知某二次函数的图象与ｘ轴交于Ａ、
Ｂ两点，且OA的长为3 ，AOBB的的长长为为21，，若函数
最大值为２，求此抛物线的解析式。
若将例3中的一条件改动,而其
它条件不变,你能求出抛物线的解
3、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于 (1、0）、（3、0）两点，与y轴交于点(0、2），则 （1）当 X＜10或X＞34 时，y> 02 ； （2）当 X＝10或34 时，y= 02 ； （3）当 10＜X＜34 时，y< 02 。
y
2B
A
O1
☆尝试中考：
34 x
复 习 小 结为“AB的长为2”
共有四种情形。
变式二:若再将变式二中“OA的长为3”删去,
情形又会如何呢？
有无数种情形。
☆尝试中考：
1、若把抛物线A ： y=2(x-1)2+3 绕着其 顶点旋转180°，求所得抛物线的解析式。
解:所得抛物线为：y=-2(x-1)2+3
c 式为
y=(x-5)2+1。
二次函数的图象和性质 (复习)
【☆中考动向前瞻】
二次函数历年来是中考重点考查的内容.
【本节课复习目标】
复习运用数形结合思想、转化思想、待定系数法等。 完成二次函数的以下三者之间的转化：
图象
性质
解析式
☆考点聚焦
★二次函数图象的形状： 抛物线 ★二次函数图象与性质：
函数 式
ya(xd)2h yax2bxc
B
当x=3时，与x=1的函数
值相同，故可将三点放 O 1 1.5 3 x
置于对称轴的同侧来比
较函数值的大小。
一题多变
☆触摸中考
例3、已知某二次函数的图象与ｘ轴交于Ａ、
Ｂ两点，且OA的长为3 ，AOBB的的长长为为21，，若函数
最大值为２，求此抛物线的解析式。
若将例3中的一条件改动,而其
它条件不变,你能求出抛物线的解
3、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于 (1、0）、（3、0）两点，与y轴交于点(0、2），则 （1）当 X＜10或X＞34 时，y> 02 ； （2）当 X＝10或34 时，y= 02 ； （3）当 10＜X＜34 时，y< 02 。
y
2B
A
O1
☆尝试中考：
34 x
复 习 小 结为“AB的长为2”
共有四种情形。
变式二:若再将变式二中“OA的长为3”删去,
情形又会如何呢？
有无数种情形。
☆尝试中考：
1、若把抛物线A ： y=2(x-1)2+3 绕着其 顶点旋转180°，求所得抛物线的解析式。
解:所得抛物线为：y=-2(x-1)2+3
c 式为
y=(x-5)2+1。
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.
.
归纳知识点：
抛物线y=ax2+bx+c的符号问题： （1）a的符号： 由抛物线的开口方向确定 开口向上 开口向下 （2）C的符号：由抛物线与y轴的交点位置确定: 交点在x轴上方 c>0 c<0 a>0 a<0
交点在x轴下方
经过坐标原点
c=0
归纳知识点：
（3）b的符号：由对称轴的位置确定： 对称轴在y轴左侧 对称轴在y轴右侧 对称轴是y轴 （4）b2-4ac的符号： 由抛物线与x轴的交点个数确定: 与x轴有两个交点 与x轴有一个交点 与x轴无交点 a、b同号 a、b异号 b=0 简记为：左同右异
y
2
x -1 O 1
这节课你有哪些体会？
1.a,b,c等符号与二次函数y=ax2+bx+c有密切的 联系； 2.解决这类问题的关键是运用数形结合思想， 即会观察图象；如遇到2a+b,2a-b要与对称轴联 系等； 3.要注意灵活运用数学知识，具体问题具体分 析
课外作业：
1.如图是二次函数y1=ax2+bx+c和 一次函数y2=mx+n的图象，观察 图象写出y2 ≥y1时，x的取值范围 是________;
y
C、4个
D、5个
；
-1 o
1
x
练一练：
3、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示， 下列结论中：①b＞0；②c<0；③4a+2b+c ＞ 0； ④（a+c)2＜b2，其中正确的个数是 （ B ） A、4个 C、2个 B、3个 D、1个 y
o x=1
x
练一练：
4.如图，在同一坐标系中，函数y=ax+b与 y=ax2+bx(ab≠0)的图象只可能是（ ）
仔细想一想：
7. 如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，图象经过点 （-1，2）和（1，0），且与y轴相交于负半轴． ①a>0；② b>0；③c>0；④ a+b+c=0． ；⑦a+c=1；⑧a>1．其中正确结论的序号是 分，少选、错选均不得分）． 必须有过程
⑤
abc<0；⑥2a+b>0 （答对得5
练一练：
1.已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点 b M（ ，a）在（ D ） c y A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限
o x
练一练：
2、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示， 下列结论中：①abc＞0；② a+b+c＜0 ③ a-b+c＞0 ； ④a+b-c＞0; ⑤ b=2a正确的个数是 （ ） C A、2个 B、3个
y y y y
o
x
o
x
o
x
o
x
A
B
C
D
想一想：
5. 二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分如图，已知它的 顶点M在第二象限，且经过A(1,0),B(0,1),请判断实数a的 范围,并说明理由.
y M 1 B A x O 1
再想一想：
6.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+c（a<0） 的图象过正方形ABOC的三个顶点A、B、C，则ac的值 是 -2 .
二次函数中的符号问题
(a、b、c、△等符号)
教学目标
• 由a,b,c, △的符号确定抛物线在坐
标系中的大致位置
• 由抛物线在坐标系中的位置确定
a,b,c, △等符号及有关a,b,c的代 数式的符号
回味知识点：
1、抛物线y=ax2+bx+c的开口方向与什么有关？
2、抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点是 3、抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是
b2-4ac>0
b2-4ac=0 b2-4ac<0
归纳知识点：
（5）a+b+c的符号： 由x=1时抛物线上的点的位置确定 （6）a-b+c的符号： 由x=-1时抛物线上的点的位置确定
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号： y
o
x
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号： y
o
x
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号： y
o
x
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号： y
o
x
例题
2 y ( m 1) x 2mx m 3 若抛物线 位于x轴上方,求m的取值范围.
2.若关于x的函数y=(a-2)x2-(2a-1)x+a的图象与坐标轴有两个 交点，则a可取的值为 ； 3.已知抛物线y=ax2+bx+c （a＜0)经过点（－1，0）， 且满足4a＋2b＋c＞0．以下结论：①a＋b＞0；②a＋c＞0；③ －a＋b＋c＞0；④b2-2ac>5a2．其中正确的个数有（ （A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个 ）