复数复习课

＝(a，b) 平面向量OZ __________ ．
→
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2．复数的模 → → 复数 z＝a＋bi(a，b∈R)对应的向量为OZ，则OZ的模 2 2 a ＋ b 叫做复数 z 的模，记作|z|，且|z|＝_________. 3．共轭复数 当两个复数实部 相等 ，虚部互为相反数时，这两个 复数叫做互为共轭复数， 复数 z 的共轭复数用 z 表示， 即 z＝a＋bi，那么 z ＝ a－bi ，当复数 z＝a＋bi 的
z＝ z ，也就是说，任一实数的共 虚部 b＝0 时，有______ 轭复数仍是 它本身 .
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1． 以 1＋2i 的虚部为实部，以 3i－2 的实部
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试求|z|的最小值和最大值．
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题型二
复数的几何意义
16．已知点集 D＝{z||z＋1＋ 3i|＝1，z∈C}，试求|z|的最小值 和最大值．
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解 点集 D 的图象为以点 C(－1，－ 3)为 圆心，1 为半径的圆，圆上任一点 P 对应 → 的复数为 z，则|OP|＝|z|.
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(
B
)
A．－1 C．2
B．1 D．3
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9．复数 z＝1＋i， z 为 z 的共轭复数， 则 z z －z－1 等于(
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B
)
A．－2i C．i
B．－i D．2i
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z 10 已知 ＝2＋i，则复数 z 等于 ( 1＋ i
(1)当 k2－5k－6＝0，即 k＝6 或 k＝－1 时，该复数为实数．
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(2)当 k2－5k－6≠0，即 k≠6 且 k≠－1 时，该复数为虚数．
2 k －5k－6≠0， (3)当 2 k －3k－4＝0，
即 k＝4 时，该复数为纯虚数．
小结
当复数的实部与虚部含有字母时，利用复数的有关概念
为虚部的新复数是 A．2－2i C．3＋i B．2＋i
( D．2＋3i
A
)
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2．若 x－2＋yi 和 3x－i 互为共轭复数， 则实数 x 与 y 的值是
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(
D
)
A．x＝3，y＝3 C．x＝－1，y＝－1
B．x＝5，y＝1 D．x＝－1，y＝1
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17．已知复数 z1＝i(1－i) . (1)求|z1|；
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3
(2)若|z|＝1，求|z－z1|的最大值．
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17．已知复数 z1＝i(1－i)3. (1)求|z1|； (2)若|z|＝1，求|z－z1|的最大值．
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题型一
分类讨论思想的应用
2
12． 实数 k 为何值时，
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复数(1＋i)k －(3＋5i)k－2(2＋3i) 满足下列条件？ (1)是实数； (2)是虚数； (3)是纯虚数．
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解
(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i.
－2 3＋ii 1 1 ＝ －i1 003＝i－ ＝i－i＝0. －i i－2 3
小结 复数的运算可以看作多项式的化简，加减看作
多项式加减，合并同类项，乘法和除法可看作多项式 的乘法．
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2＋i1－i2 1－i－1＋i2 1－i2 011 19．计算： ＋ － . 5 i 1－2i 1－i
例6
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计算：(1)(2＋i)(2－i)；
2
(2)(1＋2i) ； 1＋i 6 2＋ 3i (3)( )＋ . 1－i 3－ 2i
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例6
计算：(1)(2＋i)(2－i)；
(2)(1＋2i)2； 1＋i 6 2＋ 3i (3)( )＋ . 1－i 3－ 2i
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解
(1)方法一
1 3 (1－i)(－2＋ 2 i)(1＋i)
1 3 1 32 ＝(－2＋ 2 i＋2i－ 2 i )(1＋i)
3－1 3＋1 ＝( 2 ＋ 2 i)(1＋i) 3－1 3＋1 3－1 3＋1 2 ＝ 2 ＋ 2 i ＋ 2 i＋ 2 i
＝－1＋ 3i.
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解
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2＋i1－i2 1－i－1＋i2 1－i2 011 ＋ － 5 i 1－2i 1－i
2＋i· －2i 1－i－2i 1＋i ＝ ＋ － i 1－2i 1－i 2－4i 1－3i 1＋i2 ＝ ＋ i － 2 1－2i ＝2－(i＋3)－i ＝－1－2i.
B．a≠－1 且 a≠2
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14．实数 x 取什么值时，复数 z＝(x ＋x－6)＋(x －2x－15)i 是：
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2
2
①实数；
②虚数；
③纯虚数； ④零．
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14．实数 x 取什么值时，复数 z＝(x2＋x－6)＋(x2－2x－15)i 是：①实数；②虚数；③纯虚数；④零．
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B
)
A．－1＋3i C．3＋i
B．1－3i D．3－i
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11．i
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1＋i 2 011 为虚数单位，则 1 － i
B．－1 D．1
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方法二
2
1 3 原式＝(1－i)(1＋i)(－ ＋ i) 2 2
1 3 1 3 ＝(1－i )(－2＋ 2 i)＝2(－2＋ 2 i)＝－1＋ 3i.
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－2 3＋i 2 2 006 －2 3＋ii 21 003 (2) ＋( ) ＝ ＋ 1－i 1＋2 3i 1＋2 3ii －2i1 003
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解 (1)(2＋i)(2－i)＝4－i2＝4－(－1)＝5；
(2)(1＋2i)2＝1＋4i＋(2i)2＝1＋4i＋4i2＝－3＋4i；
(3)方法一
6
1＋i2 6 2＋ 3i 3＋ 2i 原式＝[ 2 ] ＋ 32＋ 22
6＋2i＋3i－ 6 ＝i ＋ ＝－1＋i. 5
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题型四
类比思想的应用
复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加减乘除，加 减法是对应实、虚部相加减，而乘法类比多项式乘法，
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除法类比根式的分子分母有理化，只要注意 i2＝－1. 在运算的过程中常用来降幂的公式有 (1)i 的乘方： i4k＝1， i4k 1＝i， i4k 2＝－1， i4k 3＝－i(k∈Z)；
进行分类讨论．分别确定什么情况下是实数、虚数、纯虚数．当 x＋yi 没有说明 x，y∈R 时，也要分情况讨论．
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13．若复数(a －a－2)＋(|a－1|－1)i(a∈R) 不是纯虚数，则
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2
( D．a≠2
C
)
A．a＝－1 C．a≠－1
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7．设复数 z 满足(1＋i)z＝2，其中 i 为 虚数单位，则 z 等于
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( B．1－i
B
)
A．1＋i C．2＋2i
D．2－2i
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a＋2i 8．已知 ＝b＋i(a，b∈R)，其中 i 为 i 虚数单位，则 a ＋ b 等于 本
解 (1)|z1|＝|i(1－i)3|＝|i|· |1－i|3＝2 2.
(2)如图所示，由|z|＝1 可知，z 在复平面 内对应的点的轨迹是半径为 1，圆心为 O(0,0)的圆，而 z1 对应着坐标系中的点 Z1(2，－2)．所以|z－z1 |的最大值可以看 成是点 Z1(2，－2)到圆上的点的距离的最大值．由图知 |z－z1 |max＝ |z1|＋r(r 为圆半径)＝2 2＋1.
A
)
A．1＋i C．－5－5i
B．5＋5i D．－1－i
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2－i 5．复数 z＝ (i 为虚数单位)在复平面内 2＋ i 对应的点所在象限为
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(
D
)
A．第一象限 C．第三象限
B．第二象限 D．第四象限
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1．复数的几何意义
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(1)复平面的定义 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做 复平面，x 轴叫 做 实轴 ，y 轴叫做 虚轴 ．实轴上的点都表示实数；除 了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． (2)复数与点、向量间的对应 ①复数 z＝a＋bi(a，b∈R) ②复数 z＝a＋bi(a，b∈R) 复平面内的点 Z(a，b)；