七年级数学规律探索问题
新初一规律探索题参考答案
前言：七年级上册数学期中考试，主要考察书本前2章，想要考试取得好的成绩，首先应一般能力：①基本知识、基本技能；②计算能力；其次要想获得高分必须具备高分能力：①观察、猜想、推理、验证的能力；②数形结合思想的建立；③分类讨论思想的建立；④方程思想的建立；对于重点中学学生，尤为重要。
高分能力是今后学习领先的有力保障，需要大量练习、总结、体会，七年级涉及的仅仅是一部分。
一、规律探索类题型规律探索型问题是指在一定条件下，探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的问题，它往往给出了一组变化了的数、式子、图形等条件，要求学生通过：①读题②观察③分析④猜想⑤验证，来探索对象的规律。
它体现了“特殊到一般”、“数形结合”等数学思想方法，考察学生的分析、解决问题能力。
题型可涉及填空、选择或解答。
【题型分类】【1、数字问题】最好具备数列的有关知识（小学奥数有涉及），实际考察的是：经历探索事物间的数量关系，用字母表示数和代数式表示的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维，进一步使学生体会到代数式是刻画现实世界的有效数学模型。
如：1、正整数规律1、2、3、4、5、、、、可以表示为n （其中n 为正整数）2、奇数规律1、3、5、7、9、、、、可以表示为21n -（其中n 为正整数）3、偶数规律2、4、6、8、10、、、、可以表示为2n （其中n 为正整数）4、正、负交替规律变化一组数，不看他们的绝对值，只看其性质，为正负交替（1）、-、+、-、+、-、+、-、+可以表示为(1)n -（2）、+、-、+、-、+、-、+、-可以表示为1(1)n +-5、平方数规律1、4、9、16、、、、可以表示为2n （其中n 为正整数），能看得出：上面的规律数+1、+2、-1、-26、等差数列常识按一定次序排列的一列数就叫数列。
例如：（1）1，2，3，4，5，6，…（2）1，2，4，8，16，32；A 、一个数列中从左至右的第n 个数，称为这个数列的第n 项。
七年级数学上册-难点探究：整式中的规律探究问题压轴题七种模型全攻略(解析版)
专题11难点探究专题：整式中的规律探究问题压轴题七种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【类型一数字类规律探索之单项式问题】 (1)【类型二数字类规律探索之排列问题】 (3)【类型三数字类规律探索之末尾数字问题】 (6)【类型四数字类规律探索之新运算问题】 (8)【类型五数字类规律探索之等式问题】 (12)【类型六图形类规律探索之数字问题】 (17)【类型七图形类规律探索之数量问题】 (19)【典型例题】【类型一数字类规律探索之单项式问题】【变式训练】(1)这组单项式的系数依次为多少？系数的绝对值的规律是什么？(2)这组单项式的次数的规律是什么？(3)根据上面的归纳，你可以猜想出第n 个单项式是什么吗？(4)请你根据猜想，写出第2022个、第2023个单项式．【答案】(1)1,3,5,7,,37,39,--- ，系数的绝对值的规律是21n -(2)这组单项式的次数的规律是从1开始的连续自然数(3)()(1)21n nn x--(4)第2022个单项式是20224043x ，第2023个单项式是20234045x -【分析】（1）根据单项式系数的含义进行求解，再观察其绝对值的规律即可；（2）观察次的变化，从而可求解；（3）结合（1）（2）进行分析即可；（4）根据（3）进行求解即可．【详解】（1）解：这组单项式的系数依次是1,3,5,7,,37,39,--- ，系数的绝对值为1,3,5,7,,37,39, ，是从1开始的奇数，∴系数的绝对值的规律是21n -．（2）解：这组单项式的次数的规律是从1开始的连续自然数．（3）解：由（1）问得：符合规律是(1)n -，∵这组单项式的次数的规律是从1开始的连续自然数，∴第n 个单项式是()(1)21n n n x --．（4）解：第2022个单项式是20224043x ，第2023个单项式是20234045x -．【点睛】本题主要考查找规律，能够通过观察题中的单项式找出规律是解题关键．【类型二数字类规律探索之排列问题】例题：（2022秋·浙江金华·七年级校考期中）从3开始的连续奇数按右图的规律排列，其余位置数字均为0．（1）第5行第10列的数字是（2）数字2023在图中的第【答案】04525n-行的第【分析】（1）根据第21n-行第（2）观察数据发现第21【详解】解：（1）观察数据发现根据第【变式训练】1．（2023秋·全国·七年级专题练习）填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据规律，m的值A．86B．52C．38【答案】A即故选：A．【点睛】本题稍复杂，不但要考虑相邻两个图形中数字的变化规律，还要找出每个图形中四个数之间的规【类型三数字类规律探索之末尾数字问题】例题：（2022秋·江苏连云港·七年级校考阶段练习）观察下列算式：031=，133=，239=，3327=，4381=，53243=，63729=，732187=…归纳各计算结果中个位数字的规律，可得20033的个位数字是（）A ．1B ．3C ．9D ．7【答案】D【分析】先由前面8个具体的计算归纳得到个位数每四次循环，再利用规律解题即可．【详解】解：031=，133=，239=，3327=，4381=，53243=，63729=，732187=…，归纳可得：个位数每四次循环，∵()200314501+÷=，∴20033与33的个位数相同，是7；故选D【点睛】本题考查的是数字变化规律的探究，乘方的含义，掌握探究的方法并灵活应用规律解决问题是解题关键．【变式训练】【类型四数字类规律探索之新运算问题】例题：（2022·湖南株洲·统考二模）定义一种关于整数n 的“F ”运算：（1）当n 是奇数时，结果为35n +；（2）【变式训练】【类型五数字类规律探索之等式问题】【变式训练】1．（2023春·山东济南·七年级统考期中）已知1x ≠，观察下列等式；()()2111x x x -+=-；()()23111x x x x -++=-；()()234111x x x x x -+++=-；…(1)猜想：()()23111n x x x x x --++++⋅⋅⋅+=________；(2)应用：根据你的猜想请你计算下列式子的值：①()()234512122222-+++++=________；②()()202220212020211x x x x x x -+++⋅⋅⋅+++=________．(3)求10099982222221+++⋅⋅⋅+++的值是多少？【答案】(1)1nx -(2)①63-；②20231x -(3)10121-【分析】（1）根据所列等式所呈现的规律得出答案；（2）①利用（1）中得到的结论得出结果为612-即可；②将原式变为()()220202*********x x x x x x ++-+⋅⋅++-⋅+，再利用（1）中的结论即可得出结果；（3）将原式化为()()210012122...2--⨯++++，再利用（1）中得到的结论得出结果即可．【详解】（1）解：由已知条件可得：()()231111n n x x x x x x --++++⋅⋅⋅+=-；故答案为：1n x -；（2）①()()23456121222221263-+++++=-=-，②()()202220212020211x x x x x x -+++⋅⋅⋅+++，()()220202*********x x x x x x =+++⋅⋅⋅++--+，()20231x =--，20231x =-，故答案为：20231x -；（3）10099982222221+++⋅⋅⋅+++，()()210012122...2=--⨯++++，()10112=--，【类型六图形类规律探索之数字问题】例题：（2022秋·湖北黄冈·七年级校考阶段练习）如图，根据图形中数的规律，可推断出a的值为（）A．128B．216C．226D．240【答案】C【分析】根据图形得出右下角三角形中的数字等于左下角与中间三角形中数字的积再加2，然后计算即可．=⨯+，【详解】解：由图可得：2022=⨯+，10242=⨯+，2646250682=⨯+，即右下角三角形中的数字等于左下角与中间三角形中数字的积再加2，a=⨯+=，所以14162226故选：C．【点睛】本题考查了规律型—数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找规律，总结规律，运用规律．【变式训练】A ．450B ．463C ．465D ．526【答案】B 【分析】结合表格找出其中的规律，求出28165x =+=，8658528=⨯+=y ，再计算y x -即可．【详解】解：由表可得：2521=+，12252=⨯+；21741=+，724174=⨯+；23761=+，2286376=⨯+；∴28165x =+=，8658528=⨯+=y ；∴52865463y x -=-=．故选：B ．【点睛】本题考查数字规律题，解题的关键是找出其中的规律：28165x =+=，8658528=⨯+=y ．2.（2023春·贵州毕节·七年级统考期末）根据图中数字的规律，若第n 个图中A B C D ++-的值为196，则n =（）A ．12B ．13C ．14D ．15【答案】C 【分析】通过观察可知，若第n 个图中A 位置上的数是1n +，B 位置上的数是2n ，C 位置上的数是n 1-，D 位置上的数是2n ，所以2A B C D n ++-=，带入数值求出即可．【详解】解：通过观察可知，若第n 个图中A 位置上的数是1n +，B 位置上的数是2n ，C 位置上的数是n 1-，D 位置上的数是2n ，所以()()22112A B C D n n n n n ++-=+++--=，当196A B C D ++-=时，2196n \=，n Q 是正整数，14n ∴=．故选：C ．【点睛】本题考查了图形中有关数字的变化规律，能准确观察到相关规律是解决问题关键．3.（2022秋·河南周口·七年级校考期中）如图所示，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，则第n （n 为正整数）个三角形中，用n 表示y 的式子为（）A ．21n +B ．2n n +C ．12n n ++D ．21n n ++【答案】B 【分析】由题意可得各三角形中下边第三个数是上边两个数字的和，而上边第一个数的数字规律为1，2，3，⋯，n ，第二个数的数字规律为：2，22，32，⋯，2n ，由此即可得到答案．【详解】解：由题意可得：三角形上边第一个数的数字规律为：1，2，3，⋯，n ，三角形上边第二个数的数字规律为：2，22，32，⋯，2n ，三角形下边的数的数字规律为：112123+=+=，224226+=+=，3383211+=+=，⋯，∴第n 个三角形中的数的规律为：2n y n =+，故选：B ．【点睛】本题考查了数字类规律探索，根据题意得出：第n 个三角形中的数的规律为：2n y n =+，是解题的关键．【类型七图形类规律探索之数量问题】(1)按图示规律完成下表：(3)搭第15个图形需要多少根火柴棒？【答案】(1)13，17，21(2)41n +(3)61【分析】（1）根据所给的图形进行分析即可得出结果；（2）由（1）进行总结即可；（3）根据（2）所得的式子进行解答即可．【详解】（1）解：第1个图形的火柴棒根数为：5，第2个图形的火柴棒根数为：954541=+=+⨯，第3个图形的火柴棒根数为：13544542=++=+⨯，第4个图形的火柴棒根数为：175444543=+++=+⨯，第5个图形的火柴棒根数为：2154444544=++++=+⨯，⋯⋯故答案为：13，17，21；（2）解：由（1）得：搭第n 个图形需要火柴棒根数为：54(1)41n n +-=+．答：第n 个图形需要火柴棒根数为：41n +；（3）解：当15n =时，41415161n +=⨯+=，所以搭第15个图形需要61根火柴棒．【点睛】本题主要考查规律型：图形的变化类，解答的关键是根据所给的图形分析出其规律．【变式训练】1．（2023秋·河北张家口·七年级统考期末）观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，则第2023个图案中的“”的个数是（）A ．6074B ．6072C ．6070D ．6068【答案】C【分析】根据题意可得第n 个图案中的“”的个数为((31)n +个，即可求解．【详解】解：∵第1个图案中的“”的个数1314=⨯+=（个），第2个图案中的“”的个数2317=⨯+=（个），第3个图案中的“”的个数33110=⨯+=（个），…，第2023个图案中的“”的个数3202316070==⨯+（个），故选：C ．【点睛】本题考查图形的变化规律，解题的关键是根据已知图形得出规律．2．（2023春·湖北武汉·七年级统考开学考试）如图，摆第一个图形需要4根火柴，摆第二个图形需要7根火柴，……，以此类推．那么摆第八个图形需要（）根火柴．A ．24B ．27C ．25D ．28【答案】C 【分析】根据给出的图形，得到第n 个图形需要()431n +-根火柴，进而求出第八个图形所需要的火柴数．【详解】解：由图可知，摆第一个图形需要4根火柴，摆第二个图形需要437+=根火柴，摆第三个图形需要43210+⨯=根火柴，L∴第n 个图形需要()431n +-根火柴，∴摆第八个图形需要()438125+⨯-=根火柴；故选C ．【点睛】本题考查图形类规律探究．解题的关键是得到第n 个图形需要()431n +-根火柴．3．（2023春·山东青岛·七年级统考期中）如图，某品牌自行车每节链条的长度为2.5cm ，交叉重叠部分的圆的直径为0.8cm ．（1）观察图形，填写如表；链条节数/x（节）2345…链条长度/y（cm） 4.2 5.97.6…（2）如果一辆自行车的链条（安装以后）共由60节链条组成，那么链条的总长度是(1)按此规律摆下去，第6个图案有多少个三角形即可求出第6个图案有多少个三角形；（2）由（1）中发现的规律，即可得出第n 个图案有多少个三角形；（3）将2022n =代入31n +即可求解．【详解】（1）第1个图案有4个三角形，即4311⨯＝＋第2个图案有7个三角形，即7321⨯＝＋第3个图案有10个三角形，即10331⨯＝＋第4个图案有13个三角形，即13341⨯＝＋第5个图案有16个三角形，即16351⨯＝＋第6个图案有19个三角形，即19361⨯＝＋（2）按此规律摆下去，第n 个图案有()31n +个三角形．（3）当2022n =时，316067n +=．答：第2022个图案有6067个三角形．【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类以及列代数式，根据各图案所需三角形个数的变化，找出变化规律是解题的关键．。
七年级数学探索规律——图形规律(人教版)(专题)(含答案)
试题难度：三颗星知识点：略
4.有一长条型链子，其外型由边长为1的正六边形排列而成．如图是此链子的任意一段示意图，其中每个黑色六边形与6个白色六边形相邻．若此链子上共有35个黑色六边形，则共有( )个白色六边形．
A.140 B.142
C.210 D.212
答案：B
解题思路：
分析：按照分类的思想来考虑，第1个黑色六边形周围的6个白色六边形可以分成两类，左边的2个白色六边形是一类，剩余的4个白色六边形是一类．黑色六边形每增加1个，白色六边形就增加4个．
第3个图中三角形个数为 ；
将上述规律标序号，如下：
① ；
② ；
③ ；
…
所以第 个图中三角形个数为 ；
当 时， ，
所以第20个图中三角形个数为77．
故选C．
试题难度：三颗星知识点：略
7.下列图形是由同样大小的五角星按一定的规律排列组成，其中第1个图形共有2个五角星，第2个图形共有8个五角星，第3个图形共有18个五角星，…，则第10个图形中五角星的个数为( )
当 时， ，
即此链子上共有35个黑色六边形时，共有142个白色六边形．
故选B．
试题难度：三颗星知识点：略
5.一块瓷砖的图案如图1所示，用这种瓷砖铺设地面，如果铺设成如图2的图案，其中完整的圆一共有5个，如果铺设成如图3的图案，其中完整的圆一共有13个，如果铺设成如图4的图案，其中完整的圆一共有25个，依此规律，第10个图中，完整的圆一共有( )
A.100个B.101个
C.181个D.221个
答案：C
解题思路：
分析：按照分类的思想来考虑，可以分为一块瓷砖自带的圆和多块瓷砖拼成的完整的圆；
第1个图案，自带的圆1个，拼成的圆0个，共 个；
七年级数学 第10讲 探索与表达规律(解析版)
第10讲探索与表达规律1.初步掌握规探索的方法，并能对简单的规律进行用数学语言描述；2.培养学生对数和字母应用的理解，从而拓展学生的视野；3.掌握从特殊到一般、从个体到整体地观察。
分析问题的方法，尝试从不同角度探究问题，培养应用意识和创新意识知识点1：规律类：数字变化型一、等差规律：前后两项差几写成几×n，令n=1，在通过加减来凑第一个数。
例如：上面的第（3）列数，相差3，则先得到3n，而第1项是4，当n=1时，3n=3，3+1=4，所有第n项表示为3n+1.拓展延申：知识点2：规律型：图形变化类1.基本思想：图形规律数字规律2.基本方法：（1）从具体的实际问题出发,观察各个数量的特点及相互之间的变化规律.（2）由此及彼,合理联想,大胆猜想（3）善于类比,从不同事物中发现相似或相同点；（4）总结规律,得出结论,并验证结论正确与否;考点1：数字变化类例1.（2023•红河州二模）按一定规律排列的单项式：3a2，﹣5a4，7a6，﹣9a8，…，第13个单项式为（）A．27a26B．﹣27a26C．25a26D．﹣25a25【答案】A【解答】解：观察这列单项式，可以发现系数的绝对值是从3开始的奇数，可表示为：（﹣1）n+1•（2n+1），字母a的指数为连续的偶数，可表示为：a2n，因此第n个单项式为：（﹣1）n+1•（2n+1）a2n，∴第13个单项式为：27a26，故选：A．【变式1】（2023•双柏县模拟）按一定规律排列的单项式：﹣x，5x2，﹣9x3，13x4，﹣17x5，…，第n个单项式是（）A．（5n﹣4）（﹣x）n B．（5n﹣4）x nC．（4n﹣3）x n D．（4n﹣3）（﹣x）n【答案】D【解答】解：第n个单项式为：（4n﹣3）（﹣x）n．故选：D．例2.（2023•安徽模拟）观察以下等式：第1个等式：1×（2+4）+4×2＝2×5+4，第2个等式：2×（6+4）+4×5＝3×8+16，第3个等式：3×（12+4）+4×10＝4×13+36，第4个等式：4×（20+4）+4×17＝5×20+64，…按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第5个等式：5×（30+4）+4×26＝6×29+100；（2）写出你猜想的第n个等式：n[n（n+1）+4]+4（n2+1]＝（n+1）（n2+4）+4n2（用含n的代数式表示），并证明．【答案】（1）5（30+4）+4×26＝629+100；（2）n[n（n+1）+4]+4（n2+1]＝（n+1）（n2+4）+4n2，证明见解答．【解答】解：（1）根据已给四个等式，可得第5个等式为：5（30+4）+4×26＝629+100；（2）等式左边由两部分组成，第一部分是序号与比序号大1的数的积再加上4的和的序号倍，第二部分为序号的平方加1的和的4倍，可表示为：n[n（n+1）+4]+4（n2+1]，等式右边也有两部分组成，第一部分为比序号大1的数乘以序号的平方与4的和，第二部分为序号平方的4倍，可表示为：（n+1）（n2+4）+4n2，因此猜想第n个等式为：n[n（n+1）+4]+4（n2+1]＝（n+1）（n2+4）+4n2，证明：左边＝n[n2+n+4]+4n2+4＝n3+n2+4n+4n2+4＝n3+5n2+4n+4，右边＝n3+4n+n2+4+4n2＝n3+5n2+4n+4，∵左边＝右边，∴n[n（n+1）+4]+4（n2+1]＝（n+1）（n2+4）+4n2．【变式2-1】（2023•霍邱县一模）观察以下等式：第1个等式：22﹣12＝2×1+1，第2个等式：32﹣22＝2×2+1，第3个等式：42﹣32＝2×3+1，第4个等式：52﹣42＝2×4+1，按照以上规律，解决下列问题：..．（1）写出第6个等式：72﹣62＝2×6+1．（2）写出你猜想的第n个等式：（n+1）2﹣n2＝2n+1（用含n的等式表示），并证明．【答案】（1）72﹣62＝2×6+1；（2）（n+1）2﹣n2＝2n+1．【解答】解：（1）第6个等式是72﹣62＝2×6+1，故答案为：72﹣62＝2×6+1；（2）猜想：第n个等式是（n+1）2﹣n2＝2n+1，证明：∵（n+1）2﹣n2＝n2+2n+1﹣n2＝2n+1，∴（n+1）2﹣n2＝2n+1成立．故答案为：（n+1）2﹣n2＝2n+1．【变式2-2】（2023•无为市三模）观察以下等式：第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，第4个等式：，……解决下列问题：（1）按照以上规律，写出第6个等式：；（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明；（3）利用上述规律，直接写出结果：＝4850．【答案】（1）；（2）；证明见解析；（3）4850．【解答】解：（1）第6个等式为，故答案为：；（2）第n个等式为，证明：左边＝，右边＝，∴左边＝右边，∴等式成立；故答案为：；（3）＝﹣×97＝2++3++4++…+98+﹣×97＝2+3+4+…+98＝4850；故答案为：4850．例3.（2023•涡阳县二模）观察下列等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；……按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第5个等式：；（2）写出你猜想的第n个等式（用含n 的等式表示），并证明．【答案】（1）；（2），证明见解析．【解答】解：（1）由题意可得，第5个等式为．故答案为：．（2）．证明：左边＝＝＝，右边＝，∵左边＝右边，∴等式成立．【变式3】（2023•明光市一模）观察下列等式：①；②；③；④；…（1）写出第n个等式，并证明你的结论；（2）运用（1）中的结论计算．【答案】（1），证明见解析过程；（2）．【解答】解：（1）∵①；②；③；④；…∴第n个等式为，理由：左边＝＝＝＝，右边＝，∴左边＝右边，∴；（2）＝＝＝＝．例4.（2023春•邳州市期中）给出下列算式：32﹣12＝8＝8×1；52﹣32＝16＝8×2；72﹣52＝24＝8×3；92﹣72＝32＝8×4；52﹣32＝16＝8×2，……（1）用含n的式子（n为正整数）表示上述规律并用所学的知识验证这个规律的正确性．（2）借助你发现的规律填空：1412﹣1392＝560．（3）利用（1）中发现的规律计算：8×1+8×2+8×3+⋯+8×49+8×50＝1012﹣1（或10200）．【答案】（1）（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n，验证见解析；（2）141；139；（3）1012﹣1（或10200）．【解答】解：（1）（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n，验证：∵左边＝（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝（4n2+4n+1）﹣（4n2﹣4n+1）＝8n，右边＝8n，∴左边＝右边，∴（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n；（2）由（1）可知，∵8n＝560，∴n＝70，2×70+1＝141，2×70﹣1＝139，故答案为：141；139；（3）由（1）可知：当n＝49时，2×49+1＝99，2×49﹣1＝97，n＝50，2×50+1＝101，2×50﹣1＝99，∴8×1+8×2+8×3+⋯+8×49+8×50＝（32﹣12）+（52﹣32）+（72﹣52）+⋯+（992﹣972）+（1012﹣992）＝32﹣12+52﹣32+72﹣52+⋯+992﹣972+1012﹣992＝1012﹣1．故答案为：1012﹣1（或10200）．【变式4】（2023•长丰县模拟）观察下列等式的规律，解答下列问题：第1个等式：12+22+32＝3×22+2．第2个等式：22+32+42＝3×32+2第3个等式：32+42+52＝3×42+2．第4个等式：42+52+62＝3×52+2．……（1）请你写出第5个等式：52+62+72＝3×62+2．（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．【答案】（1）52+62+72＝3×62+2；（2）第n个等式：n2+（n+1）2+（n+2）2＝3（n+1）2+2，见解答过程．【解答】解：（1）由题意得：第5个等式为：52+62+72＝3×62+2．故答案为：52+62+72＝3×62+2；（2）猜想的第n个等式：n2+（n+1）2+（n+2）2＝3（n+1）2+2，证明：左边＝n2+n2+2n+1+n2+4n+4＝3n2+6n+5，右边＝3（n2+2n+1）+2＝3n2+6n+5，∴左边＝右边，∴猜想成立．考点2：图形变化类例5.（2023•砀山县二模）某校教学楼前走廊用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖来铺设地面，图1表示地面的瓷砖排列方式．【观察思考】当黑色瓷砖有1块时，瓷砖的总数有9块（如图2）；当黑色瓷砖有2块时，瓷砖的总数有15块（如图3）；当黑色瓷砖有3块时，瓷砖的总数有21块（如图4）；…；以此类推．【规律总结】（1）若该走廊每增加1块黑色瓷砖，则瓷砖的总数增加6块；（2）若这样的走廊一共有n（n为正整数）块黑色瓷砖，则瓷砖的总数为（6n+3）块；（用含n的代数式表示）【问题解决】（3）现总共有2025块瓷砖，若按此规律再建一条走廊，则黑色瓷砖有多少块？【答案】（1）6；（2）（6n+3）；（3）黑色瓷砖有337块．【解答】解：（1）由题意知，每增加1块黑色瓷砖，则白色瓷砖增加5块，∴瓷砖的总数增加1+5＝6（块），故答案为：6；（2）由题意知，有1块黑色瓷砖时，瓷砖的总数为9块；有2块黑色瓷砖时，瓷砖的总数为9+6＝15块；有3块黑色瓷砖时，瓷砖的总数为9+6×2＝21块；有4块黑色瓷砖时，瓷砖的总数为9+6×3＝27块；∴一般性规律：有n块黑色瓷砖，瓷砖的总数为9+6×（n﹣1）＝（6n+3）块；故答案为：（6n+3）；（3）令6n+3＝2025，解得n＝337，∴黑色瓷砖有337块．【变式5-1】（2023•全椒县二模）如图，某链条每节长为2.8cm，每两节链条相连接部分重叠的圆的直径为1cm，按这种连接方式，完成下面各题．（1）2节链条的总长度为 4.6cm；3节链条的总长度为 6.4cm；4节链条的总长度为8.2cm；（2）根据上述规律，n节链条的总长度为多少cm；（用含n的式子表示，不用说理）（3）一根链条的总长度能否为73cm？若能，请求出该链条由几节组成；若不能，请说明理由．【答案】（1）4.6；6.4；8.2；（2）（1.8n+1）cm；（3）能，由40节组成．【解答】解：（1）由题意得：1节链条的长度＝2.8cm，2节链条的总长度＝[2.8+（2.8﹣1）]＝4.6cm，3节链条的总长度＝[2.8+（2.8﹣1）×2]＝6.4cm，4节链条的总长度＝[2.8+（2.8﹣1）×3]＝8.2cm，故答案为：4.6；6.4；8.2；（2）根据（1）可得，n节链条的总长度为2.8+（2.8﹣1）（n﹣1）＝（1.8n+1）cm；（3）一根链条的总长度可以为73cm，设该链条由x节组成，根据题意得1.8x+1＝73，解得x＝40，∴总长度为73cm的链条由40节组成．【变式5-2】（2023•包河区二模）某旅游景区走廊的中间部分是用边长为1米的白色正方形地砖和彩色正方形（图中阴影部分）地砖铺成的，图案如图所示，根据图示排列规律，解答以下问题．（1）第4个图案L（4）有白色地砖15块地砖；第n个图案L（n）有白色地砖块（3n+3）地砖（用含n的代数式表示）；（2）已知L（1）的长度为3米，L（2）的长度为5米，…，L（n）的长度为2023米，求图案L（n）中白色正方形地砖有多少块．【答案】（1）15，（3n+3）；（2）3036．【解答】解：（1）∵第1个图案L（1）的白色地砖块数为：6，第2个图案L（2）的白色地砖块数为：6+3＝6+3×1，第3个图案L（3）的白色地砖块数为：6+3+3＝6+3×2，第4个图案L（4）的白色地砖块数为：6+3×3＝15，…，第n个图案L（n）的白色地砖块数为：6+3（n﹣1）＝3n+3，故答案为：15，（3n+3）；（2）∵L（1）的长度为3米，L（2）的长度为5米，…，∴L（n）的长度为：（2n+1）米，∴当2n+1＝2023时，解得：n＝1011，∴L（1011）中白色地砖的块数为：3n+3＝3×1011+3＝3036．【变式5-3】（2023•安徽模拟）如图，下列图案都是由同样大小的基本图形⊙按一定规律所组成的，其中：第1个图案中基本图形的个数：1+2×2＝5，第2个图案中基本图形的个数：2+2×3＝8，第3个图案中基本图形的个数：3+2×4＝11，第4个图案中基本图形的个数：4+2×5＝14，…．按此规律排列，解决下列问题：（1）写出第5个图案中基本图形的个数：17；（2）如果第n个图案中有2024个基本图形，求n的值．【答案】（1）17；（2）n＝674．【解答】解：（1）由题意得：第5个图案中基本图形的个数：5+2×6＝17，故答案为：17；（2）由题意得：第n个图形中基本图形的个数为：n+2（n+1）＝3n+2，∵第n个图案中有2024个基本图形，∴3n+2＝2024，解得：n＝674．【变式5-4】（2023•金寨县一模）为了渲染新年喜庆氛围，某人民广场用鲜花摆出不同的造型，小明同学把每盆花用点在纸上表示出来，如图所示．[观察思考]第1个图形有4盆花，第2个图形有6盆花，第3个图形有8盆花，第4个图形有10盆花，以此类推．[规律总结]（1）第5个图形有12盆花；（2）第n个图形中有（2n+2）盆花（用含n的代数式表示）；[问题解决]（3）现有2023盆花，若按此规律摆出一个图形，要求剩余花盆数最少，则可摆出第几个图形？【答案】（1）12；（2）（2n+2）；（3）1010．【解答】解：第1个图形有（1+1）×2＝4盆花，第2个图形有（2+1）×2＝6盆花，第3个图形有（3+1）×2＝8盆花，第4个图形有（4+1）×2＝10盆花，第5个图形有（5+1）×2＝12盆花，……第n个图形有（n+1）×2＝（2n+2）盆花，（1）第5个图形有12盆花，故答案为：12；（2）第n个图形有（2n+2）盆花，故答案：（2n+2）；（3）2n+2≤2023，解得：n≤1010.5，当n＝1010时，2n+2＝2022，2023﹣2022＝1，所以2023盆花，要求剩余花盆数最少，则可摆出第1010个图形．例6.（2022秋•黔江区期末）（1）为了计算1+2+3+⋯+8的值，我们构造图形（图1），共8行，每行依次比上一行多一个点．此图形共有（1+2+3+⋯+8）个点．如图2，添出图形的另一半，此时共8行9列，有8×9＝72个点，由此可得1+2+3+⋯+8＝×（1+8）×9＝36．用此方法，可求得1+2+3+⋯+20＝210（直接写结果）．（2）观察下面的点阵图（如图3），解答问题：填空：①1+3+5+⋯+49＝625；②1+3+5+⋯+（2n+1）＝（n+1）2．（3）请构造一图形，求（画出示意图，写出计算结果）．【答案】（1）210；（2）625；（n+1）2；（3）1﹣．【解答】解：（1）1+2+3+…+20＝（1+20）×20＝21×10＝210；故答案为：210；（2）由点阵图可知：一个数时和为1＝12，2个数时和为4＝22，3个数时和为9＝32，…，n个数时和为n2．①∵1+3+5+…+49中有25个数，∴1+3+5+…+49＝252＝625．②∵1+3+5…+（2n+1）中有（n+1）个数，∴1+3+5…+（2n+1）＝（n+1）2．故答案为：625，（n+1）2；（3）由题意画出图形如下：假定正方形的面积为1，由图可知＝1﹣．【变式6-1】（2023•五华县校级开学）如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的长方形，接着把其中一个面积为的长方形等分成两个面积为的正方形，再把其中一个面积为的正方形等分成两个面积为的长方形，如此进行下去，…．（1）试利用图形揭示规律，计算：＝，并使用代数方法说明你的结论正确；（2）请你再设计一个能求出的值的几何图形．【答案】（1）；（2）见解答．【解答】解：（1）由图可知，+…＝1﹣＝；证明如下：+…＝+++...+＝＝＝＝＝；（2）如下图：【变式6-2】（2022秋•双牌县期末）【阅读】求值1+2+22+23+24+…+210解：设S＝1+2+22+23+24+ (210)将等式①的两边同时乘以2得：2S＝2+22+23+24+25+ (211)由②﹣①得：2S﹣S＝211﹣1即：S＝1+2＝22+23+24+…+210＝211﹣1【运用】仿照此法计算：（1）1+3+32+33+34+ (350)（2）1++++…+．（3）【延伸】如图，将边长为1的正方形分成4个完全一样的小正方形，得到左上角一个小正方形为S1，选取右下角的小正方形进行第二次操作，又得到左上角更小的正方形S2，依次操作2022次，依次得到小正方形S1、S2、S3、…、S2022．完成下列问题：①小正方形S2022的面积等于；②求正方形S1、S2、S3、…、S2022的面积和．【答案】（1）；（2）2﹣；（3）①；②．【解答】解：（1）设S＝1+3+32+33+34+…+350①，①×3，得：3S＝3+32+33+34+35+…+351②，②﹣①，得：2S＝351﹣1，则S＝，即1+3+32+33+34+…+350＝；（2）设S＝1++++…+①，①×，得：S＝++++…+②，②﹣①，得：﹣S＝﹣1，∴S＝2（1﹣）＝2﹣，即1++++…+＝2﹣；（3）∵S1＝（）2＝，S2＝S1＝，S3＝S2＝，…，∴S2022＝，故答案为：；②设S＝S1+S2+S3+…+S2022＝+++…+①，①×，得：S＝+++…+②，①﹣②，得：S＝﹣，∴S＝（﹣）＝，即S1+S2+S3+…+S2022＝．例7.（2022秋•达川区期末）五一期间，某人民广场的一个公共区域用盆栽进行了美化，盆栽按如图的方式摆放，图中的盆栽被折线隔开分成若干层，第一层有1个盆栽，第二层有3个盆栽，第三层有5个盆栽，第四层有7个盆栽，…，以此类推，请观察图形规律，解答下列问题：（1）计算：1+3+5+…+99＝2500；（2）拓展应用：求101+103+105+…+999的值．【答案】（1）2500；（2）247500．【解答】解：（1）根据题意可得，1+3+5+…+99＝502＝2500，故答案为：2500；（2）1+3+5+…+101+103+105+…+999＝5002＝250000，1+3+5+…+99＝502＝2500，101+103+105+…+999＝1+3+5+…+101+103+105+…+999﹣（1+3+5+…+99）＝250000﹣2500＝247500，∴101+103+105+…+999的值为247500．【变式7-1】（2023•定远县一模）图1是由若干个小圆圈推成的一个形如等边三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共推了n层．将图1倒置后与原图1排成图2的形状，这样图2中每一行的圆圈数都是n+1．我们可以利用“倒序相加法”算出图1中所有圆圈的个数为：．（1）按照图1的规则摆放到第12层时，求共用了多少个圆圈；（2）按照图1的规则摆放到第19层，每个圆圈都按图3的方式填上一串连续的正整数：1，2，3，4，……，则第19层从左边数第二个圆圈中的数字是173．【答案】（1）78个；（2）173．【解答】解：（1）图1中所有圆圈的个数为：（个），当n＝12时，（个），答：摆放到第12层时，求共用了78个圆圈；（2）图3中，第18层最右边的数字是：＝171（个），则图3中第19层从左边数第二个圆圈中的数字是是：171+2＝173（个），故答案为：173．【变式7-2】（2023•萧县一模）观察如图中用小黑点摆成的三角形，并根据图中规律回答相关问题．（1）第4个图形对应的等式为1+2+3+4+5＝；（2）若第n个图形对应的黑点总数为66个，求n的值．【答案】（1）1+2+3+4+5＝；（2）10．【解答】解：（1）由题意得：第4个图形对应的等式为：1+2+3+4+5＝，故答案为：1+2+3+4+5＝；（2）由题意得：第n个图形对应的等式为：1+2+3+…+（n+1）＝，∴，解得：n＝10．1．（2023•安徽）【观察思考】【规律发现】请用含n的式子填空：（1）第n个图案中“◎”的个数为3n；（2）第1个图案中“★”的个数可表示为，第2个图案中“★”的个数可表示为，第3个图案中“★”的个数可表示为，第4个图案中“★”的个数可表示为，……，第n个图案中“★”的个数可表示为．【规律应用】（3）结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数n，使得连续的正整数之和1+2+3+……+n等于第n个图案中“◎”的个数的2倍．【答案】（1）3n；（2）；（3）11．【解答】解：（1）∵第1个图案中“◎”的个数为：3＝1+2，第2个图案中“◎”的个数为：6＝1+2+2+1，第2个图案中“◎”的个数为：6＝1+2+2+3+1，…，∴第n个图案中“◎”的个数：1+2（n﹣1）+n+1＝3n，故答案为：3n；（2）由题意得：第n个图案中“★”的个数可表示为：；故答案为：；（3）由题意得：＝2×3n，解得：n＝11或n＝0（不符合题意）．2．（2023•浙江）观察下面的等式：32﹣12＝8×1，52﹣32＝8×2，72﹣52＝8×3，92﹣72＝8×4，…（1）写出192﹣172的结果；（2）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）；（3）请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的．【答案】（1）72；（2）（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n；（3）见解答．【解答】解：（1）∵17＝2×9﹣1，∴192﹣172＝8×9＝72；（2）由题意可得，（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n；（3）∵（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝[（2n+1）+（2n﹣1）][（2n+1）﹣（2n﹣1）]＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）＝4n×2＝8n，∴（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n正确．3．（2022•嘉兴）设是一个两位数，其中a是十位上的数字（1≤a≤9）．例如，当a＝4时，表示的两位数是45．（1）尝试：①当a＝1时，152＝225＝1×2×100+25；②当a＝2时，252＝625＝2×3×100+25；③当a＝3时，352＝1225＝3×4×100+25；……（2）归纳：与100a（a+1）+25有怎样的大小关系？试说明理由．（3）运用：若与100a的差为2525，求a的值．【答案】（1）3×4×100+25；（2）＝100a（a+1）+25，理由见解答过程；（3）5．【解答】解：（1）∵①当a＝1时，152＝225＝1×2×100+25；②当a＝2时，252＝625＝2×3×100+25；∴③当a＝3时，352＝1225＝3×4×100+25，故答案为：3×4×100+25；（2）＝100a（a+1）+25，理由如下：＝（10a+5）（10a+5）＝100a2+100a+25＝100a（a+1）+25；（3）由题知，﹣100a＝2525，即100a2+100a+25﹣100a＝2525，解得a＝5或﹣5（舍去），∴a的值为5．4．（2022•安徽）观察以下等式：第1个等式：（2×1+1）2＝（2×2+1）2﹣（2×2）2，第2个等式：（2×2+1）2＝（3×4+1）2﹣（3×4）2，第3个等式：（2×3+1）2＝（4×6+1）2﹣（4×6）2，第4个等式：（2×4+1）2＝（5×8+1）2﹣（5×8）2，……按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第5个等式：（2×5+1）2＝（6×10+1）2﹣（6×10）2；（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．【答案】（1）（2×5+1）2＝（6×10+1）2﹣（6×10）2，（2）（2n+1）2＝[（n+1）×2n+1]2﹣[（n+1）×2n]2，证明过程见解答．【解答】解：（1）因为第1个等式：（2×1+1）2＝（2×2+1）2﹣（2×2）2，第2个等式：（2×2+1）2＝（3×4+1）2﹣（3×4）2，第3个等式：（2×3+1）2＝（4×6+1）2﹣（4×6）2，第4个等式：（2×4+1）2＝（5×8+1）2﹣（5×8）2，第5个等式：（2×5+1）2＝（6×10+1）2﹣（6×10）2，故答案为：（2×5+1）2＝（6×10+1）2﹣（6×10）2；（2）第n个等式：（2n+1）2＝[（n+1）×2n+1]2﹣[（n+1）×2n]2，证明：左边＝4n2+4n+1，右边＝[（n+1）×2n]2+2×（n+1）×2n+12﹣[（n+1）×2n]2＝4n2+4n+1，∴左边＝右边．∴等式成立．5．（2020•安徽）观察以下等式：第1个等式：×（1+）＝2﹣，第2个等式：×（1+）＝2﹣，第3个等式：×（1+）＝2﹣，第4个等式：×（1+）＝2﹣．第5个等式：×（1+）＝2﹣．…按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第6个等式：×（1+）＝2﹣；（2）写出你猜想的第n个等式：×（1+）＝2﹣（用含n的等式表示），并证明．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）第6个等式：×（1+）＝2﹣；（2）猜想的第n个等式：×（1+）＝2﹣．证明：∵左边＝×＝＝2﹣＝右边，∴等式成立．故答案为：×（1+）＝2﹣；×（1+）＝2﹣．1．（2023•安徽二模）观察下列等式：第1个等式：1×2+1＝3；第2个等式：2×3+2＝8；第3个等式：3×4+3＝15；第4个等式：4×5+4＝24；…按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第5个等式：5×6+5＝35；（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示，n≥1，且为整数），并证明．【答案】（1）5×6+5＝35；（2）n（n+1）+n＝n（n+2）．证明见解析．【解答】解：（1）∵第1个等式：1×2+1＝3；第2个等式：2×3+2＝8；第3个等式：3×4+3＝15；第4个等式：4×5+4＝24；∴第5个等式：5×6+5＝35；故答案为：5×6+5＝35；（2）根据（1）猜想第n个等式：n（n+1）+n＝n（n+2）．证明：∵等式左边＝n2+n+n＝n2+2n，等式右边＝n2+2n，∴左边＝右边，∴n（n+1）+n＝n（n+2）．2．（2022秋•南票区期中）观察下列等式．第一个等式：1﹣＝×；第二个等式：1﹣＝×；第三个等式：1﹣＝×；……按上述规律，回答下列问题：（1）请写出第四个等式：1﹣＝×；（2）计算：（1﹣）×（1﹣）×…×（1﹣）×（1﹣）．【答案】（1）1﹣＝×；（2）．【解答】解：（1）1﹣＝×，故答案为：1﹣＝×；（2）（1﹣）×（1﹣）×…×（1﹣）×（1﹣）＝××××…××××＝．3．（2022秋•大连月考）观察下列三行数：第一行：2，﹣4，8，﹣16，32，﹣64，…第二行：4，﹣2，10，﹣14，34，﹣62，…第三行：1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…（1）第一行数的第9个数为512，第二行数的第9个数为514，第三行数的第9个数为256；（2）第二、三行数与第一行相对应的数分别有什么关系；（3）第一行是否存在连续的三个数使得三个数的和是﹣384？若存在，求出这三个数，若不存在，请说明理由．【答案】（1）512，514，256；（2）第二行的每一个数是第一行的对应数加2，第三行的每一个数是第二行的对应数的；（3）不存在．【解答】解：（1）∵2，﹣4，8，﹣16，32，﹣64，…，∴第一行的第n个数是（﹣1）n+1•2n，∴第9个数是29＝512，第二行的每一个数是第一行的对应数加2，∴第二行的第n个数是（﹣1）n+1•2n+2，∴第二行的第9个数是514，第三行的每一个数是第二行的对应数的，∴第三行的第n个数是（﹣1）n+1•2n﹣1，∴第三行的第9个数是256，故答案为：512，514，256；（2）由（1）可得第二行的每一个数是第一行的对应数加2，第三行的每一个数是第二行的对应数的；（3）不存在连续的三个数使得三个数的和是﹣384，理由如下：设三个连续的数是（﹣1）n•2n﹣1，（﹣1）n+1•2n，（﹣1）n+2•2n+1，∴（﹣1）n•2n﹣1+（﹣1）n+1•2n+（﹣1）n+2•2n+1＝﹣384，∴3×（﹣1）n•2n﹣1＝﹣384，∴n﹣1＝7，∴n＝8，∵n是奇数，∴不存在连续的三个数使得三个数的和是﹣384．4．（2023•合肥模拟）将从1开始的连续自然数按以下规律排列：请根据上述规律解答下面的问题：（1）第6行有11个数；第n行有（2n﹣1）个数（用含n的式子表示）；（2）若有序数对（n，m）表示第n行，从左到右第m个数，如（3，2）表示6．①求（11，20）表示的数；②求表示2023的有序数对．【答案】（1）11，2n﹣1；（2）①120；②（45，87）．【解答】解：（1）第6行有：2×6﹣1＝11个数；第n行有（2n﹣1）个数，故答案为：11，2n﹣1；（2）①∵第11行有2×11﹣1＝21个数，且最末尾的数是112＝121，而（11，20）表示第11行的第20个数，∴（11，20）表示的数是121﹣1＝120；②∵442＝1936，452＝2025，∴442＜2023＜452，∴2023位于第45行，∵第45行有45×2﹣1＝89个数，而2023与2025相差2个数，∴2023位于第45行的第87个数，∴表示2023的有序数对是（45，87）．5．（2023•蜀山区校级模拟）从2开始，连续的偶数相加，观察下列各式：2＝12+1．2+4＝22+2．2+4+6＝32+3．2+4+6+8＝42+4．…根据规律，解答下列问题：（1）写出第5个等式：2+4+6+8+10＝52+5；（2）①写出第n个等式：2+4+6+…+2n﹣2+2n＝n2+n；（用n表示）②计算：102+104+106+…+198+200．【答案】（1）2+4+6+8+10＝52+5；（2）①2+4+6+…+2n﹣2+2n＝n2+n；②7550．【解答】解：（1）由题意得：第5个等式为：2+4+6+8+10＝52+5，故答案为：2+4+6+8+10＝52+5；（2）①由题意得：第n个等式为：2+4+6+…+2n﹣2+2n＝n2+n，故答案为：2+4+6+…+2n﹣2+2n＝n2+n；②102+104+106+…+198+200＝2+4+6+...+198+200﹣（2+4+6+ (100)＝1002+100﹣（502+50）＝10000+100﹣2500﹣50＝7550．6．（2023春•邗江区月考）阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22019的值．解：设S＝1+2+22+23+24+…+22018+22019…①则2S＝2+22+23+24+25+…+22019+22020…②②﹣①，得2S﹣S＝22020﹣1即S＝22020﹣1∴1+2+22+23+24+…+22019＝22020﹣1仿照此法计算：（1）计算：1+3+32+33+34+ (32023)（2）计算：1++++…++＝2﹣（直接写答案）．【答案】（1）＝；（2）2﹣．【解答】解：（1）设S＝1+3+32+33+34+…+32023①，则3S＝3+32+33+34+…+32023+32024②，②﹣①，得：3S﹣S＝32024﹣1，即S＝，∴1+3+32+33+34+…+32023＝；（2）设S＝1++++…++①，则S＝+++…+++②，①﹣②，得：S﹣S＝1﹣，即S＝2﹣，∴+++…++＝2﹣．故答案为：2﹣．7．（2023•安徽模拟）【数学阅读】计算：1+2+3+ (100)解：设S＝1+2+3+6+…+100，①则S＝100+99+98+…+1，②①+②（即左右两边分别相加），得：2S＝（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（100+1）＝100×101．所以，所以1+2+3+…+100＝5050．【问题解决】利用上面的方法解答下面的问题：（1）猜想：1+2+3+…+n＝（用含n的式子表示）；（2）利用（1）中的结论，计算：1001+1002+ (2000)【答案】（1）；（2）1500500．【解答】解；（1）设S＝1+2+3+⋯+n，①则S＝n+⋯+3+2+1，②①+②得2S＝n+1+⋯+n+1+n+1，所以，故答案为：；（2）由（1）可知．8．（2023•瑶海区校级模拟）观察下列等式的规律，并解决问题：第1个等式：1+．第2个等式：2+．第3个等式：3+．……（1）请写出第4个等式：4+＝52×；（2）请用含n的式子表示你发现的规律，并证明．【答案】（1）4+＝52×；（2）规律：n+，见解答过程．【解答】解：（1）第4个等式为：4+＝52×．故答案为：4+＝52×；（2）规律：n+，证明：左边＝＝＝＝（n+1）2×＝右边，故规律成立．9．（2022秋•西山区期末）观察下列等式：a1＝+＝；a2＝+＝；a3＝+＝；…（1）猜想并写出第6个等式a6＝．；（2）猜想并写出第n个等式a n＝；（3）证明（2）中你猜想的正确性．【答案】（1）；（2）；（3）见解答过程．【解答】解：（1）由题意得：第6个等式a6＝．故答案为：；（2）由题意得：第n个等式a n＝．故答案为：；（3）（2）中的等式左边＝＝＝＝＝右边．故猜想成立．10．（2023•来安县二模）如图，某医院广场上的图案由红、白两色正方形地砖铺成，这些地砖除颜色外，形状、大小均相同．当中间的红色地砖只有1块时，四周的白色地砖有4块（如图1），当中间的红色地砖有4块时，四周的白色地砖有8块（如图2），以此类推．（1）当红色正方形地砖为16块时，白色地砖为16块；（2）当白色正方形地砖为n（n为4的整数倍）时，红色地砖为块；（3）已知该医院的另一个广场上也按此规律建图案，且红色地砖比白色地砖多用了140块，求这个广场上的图案分别用红、白两色地砖的块数．【答案】（1）16；（2）；（3）这个广场上的图案分别用红、白两色地砖的块数分别为196和56块．【解答】解：（1）图1，红色正方形地砖为1＝12块，白色地砖为4＝（1×4）块；图2，红色正方形地砖为4＝22块，白色地砖为8＝（2×4）块；图3，红色正方形地砖为9＝32块，白色地砖为12＝（3×4）块；…图n，红色正方形地砖为n2块，白色地砖为4n块；∵n2＝16，∴n＝4（负值不符合题意，已舍去），∴白色地砖为4×4＝16；（2）第x个图中白色正方形地砖为n，根据（1）的规律，得，∴红色地砖为；（3）设用红色地砖的块数为x2，则用白色地砖的块数为4x，根据的规律得：x2﹣4x＝140，解得x＝14，x＝﹣10（不合题意，舍去），∴x2＝142＝196，4x＝4×14＝56，答：这个广场上的图案分别用红、白两色地砖的块数分别为196和56块．11．（2023•合肥模拟）丰艳花卉市场将深色和浅色两种花齐摆成如图所示的排列图案，第1个图案需要5盆花卉，第2个图案需要13盆花卉，第3个图案需要25盆花卉，以此类推．按照以上规律，解决下列问题：（1）第4个图案需要花卉41盆；（2）第n个图案需要花卉[n2+（n+1）2]盆（用含n的代数式表示）；（3）已知丰艳花卉市场春节期间所摆的花卉图案中深色花卉比浅色花卉多101盆，求该花卉图案中深色花卉的盆数．【答案】（1）41；（2）[n2+（n+1）2]；（3）2601．【解答】解：（1）第1个图案需要花卉的盆数为：5＝1+4＝12+22，第2个图案需要花卉的盆数为：13＝2×2+3×3＝22+32，第3个图案需要花卉的盆数为：25＝3×3+4×4＝32+42，第4个图案需要花卉的盆数为：4×4+5×5＝42+52＝16+25＝41，故答案为：41；（2）由（1）可得：第n个图案需要花卉的盆数为：n2+（n+1）2；故答案为：[n2+（n+1）2]；（3）设第m个花卉图案中深色花卉比浅色花卉多101盆，由题意得：（m+1）2﹣m2＝101，解得：m＝50，512＝2601，答：该花卉图案中深色花卉的盆数为2601．12．（2023•庐阳区校级三模）将若干枚黑白棋子按照一定规律摆放成三角形阵，前5次摆放的情况如图所示．如果按照此规律继续摆放三角形阵，请解决下列问题：（1）第6个图案中，黑棋子的个数为15，白棋子的个数为21；（2）第n个图案中，黑棋子的个数为，白棋子的个数为3n+3；（用含n 的式子表示）（3）当摆放到第8个三角形阵时，该三角形阵中的黑棋子数第一次比白棋子多．【答案】（1）15，21；（2），3n+3；（3）8．【解答】解：（1）第6个图案中，黑棋子的个数为15，白棋子的个数为21；故答案为：15，21；（2）由图可知，白棋子的变化规律为每次增加3个，则第n个图案中白棋子的个数为3n+3，黑棋子的变化为：n＝1时，0个；n＝2时，0+1＝1个；n＝3时，0+1+2＝3个；n＝4时，0+1+2+3＝6个；故第n个图案中黑棋子个数为0+1+2+3+...+（n﹣1）＝•（n﹣1）＝；故答案为：，3n+3；（3）＝3n+3，n2﹣7n﹣6＝0，解得：n＝，n＝（不符题意，舍去），∴＞3n+3，n＞，∵n取正整数，且黑棋子第一次比白棋子多，∴n＝8．当摆放到第8个三角形阵时，该三角形阵中的黑棋子数第一次比白棋子多．故答案为：8．13．（2023•蜀山区一模）如图中，图（1）是一个菱形ABCD，将其作如下划分：第一次划分：如图（2）所示，连接菱形ABCD对边中点，共得到5个菱形；第二次划分：如图（3）所示，对菱形CEFG按上述划分方式继续划分，共得到9个菱形；第三次划分：如图（4）所示，…依次划分下去．（1）根据题意，第四次划分共得到17个菱形，第n次划分共得到（1+4n）个菱形；（2）根据（1）的规律，请你按上述划分方式，判断能否得到2023个菱形？为什么？【答案】（1）17；（1+4n）；（2）不能，见解答过程．【解答】解：（1）∵第一次划分所得到的菱形的个数为：5＝1+4，第二次划分所得到的菱形的个数为：9＝1+4+4＝1+4×2，第三次划分所得到的菱形的个数为：13＝1+4+4+4＝1+4×3，∴第四次划分所得到的菱形的个数为：1+4×4＝17（个），第n次划分所得到的菱形的个数为：（1+4n）个，故答案为：17；（1+4n）；（2）不能，理由如下：1+4n＝2023，解得：n＝505.5，故不能得到2023个菱形．14．（2023•蜀山区校级模拟）同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：（1）图5有多少颗黑色棋子？（2）若第（n+2）个图形比第n个图形中多2021颗棋子，试求n的值．【答案】（1）19；（2）1008．【解答】解：（1）图1中有1个黑色棋子；图2中有（1+2）+1＝4个黑色棋子，比图1多3个；图3中有（1+2+3）+2＝8个黑色棋子，比图2多4个；图4中有（1+2+3+4）+3＝13个黑色棋子，比图3多5；图5中有（1+2+3+4+5）+4＝19个黑色棋子，比图4多6个；∴图5有多少颗黑色棋子19个；（2）由（1）得：第（n+2）个图形比第n个图形中多（n+3）+（n+2）＝（2n+5）颗棋子，∴2n+5＝2021，解得：n＝1008，所以n是值为：1008．15．（2023春•莱芜区月考）用同样规格的黑，白两种颜色的正方形瓷砖按如图所示的方式铺宽为1.5米的小路．（1）铺第6个图形用黑色正方形瓷砖25块，用白色正方形瓷砖14块；（2）按照此方式铺下去，铺第n个图形用黑色正方形瓷砖（4n+1）块，用白色正方形瓷砖（2n+2）块（用含n的代数式表示）；（3）在（2）的基础上，若黑，白两种颜色的瓷砖规格都为（长为0.5米×宽0.5米），若按照此方式铺满一段总面积为24.75平方米的小路时，n是多少？【答案】（1）25，14（2）2n+2块．（3）16．【解答】解：（1）第1个图形中有1+4＝5个黑色正方形瓷砖，有2+2＝4个白色瓷砖；第2个图形中有1+4×2＝9个黑色正方形瓷砖，有2+2×2＝6个白色瓷砖；第3个图形中有1+4×3＝13个黑色正方形瓷砖，有2+2×3＝8个白色瓷砖；……，第n个图形中有（1+4n）个黑色正方形瓷砖，有（2+2n）个白色瓷砖；4n∴第6个图形中有25个黑色正方形瓷砖，有14个白色瓷砖；故答案为：19，14；（2）由（1）知：第n个图形中有（1+4n）个黑色正方形瓷砖，有（2+2n）个白色瓷砖，故答案为：（1+4n），（2+2n）；（3）第n个图形中有（1+4n）个黑色正方形瓷砖，有（2+2n）个白色瓷砖，故第n个图形中有（1+4n）+（2n+2）＝（6n+3）个正方形瓷砖；∴（6n+3）×0.25＝24.75，解得：n＝16．16．（2022秋•绥德县期末）如图，第1个图中有1颗棋子，第2个图中有5颗棋子，第3个图中有9颗棋子，第4个图中有13颗棋子，…，以此类推．（1）第6个图中有21棋子；（2）用含a的代数式表示第a个图中棋子的颗数；（3）第多少个图中有505颗棋子？【答案】（1）21个；（2）4a﹣3；（3）第127个图中有505棋子．【解答】解：（1）第6个图中有1+4×（6﹣1）＝21（个），故答案为：21；（2）用含a的代数式表示第a个图中棋子的颗数为1+4（a﹣1）＝4a﹣3；（3）由（2）可知，4a﹣3＝505，解得a＝127，答：第127个图中有505棋子．17．（2022秋•长春期末）【方法指引】利用图形来表示数量或数量关系，也可以利用数量或数量关系来描述图形或图形之间的关系，这种思想方法称为数形结合．【方法生成】将一个边长为1的正方形纸片分割成若干个部分，请利用数形结合的思想解决下列问题：（1）；（2）；（3）；【方法迁移】（4）＝1﹣；【灵活运用】（5）＝1﹣．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）1﹣；（5）1﹣．【解答】解：（1）；（2）；（3）；【方法迁移】（4）＝1﹣；【灵活运用】（5）＝1﹣．故答案为：（1）；（2）；（3）；（4）1﹣；（5）1﹣．18．（2023•定远县校级二模）为美化市容，某广场要在人行雨道上用10×20的灰、白两色的广场砖铺设图案，设计人员画出的一些备选图案如图所示．。
七年级下数学规律探索类试题.docx
规律探索类试题，往往有”数字类“ “计算类““图形类“ “设计类”与"动态类”等题型,考查目的是培养学生的创新意识与实践能力。
解答时,要根据已知条件或所提供的若干个特例,通过观察、类比、归纳、猜想等思维活动,揭示和发现题目所蕴含的本质规律与特征.-.数字规律问题1.填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律,根据此规律,m的值是()A . 38B . 52C . 66D . 742.某种细胞开始有2个，］小时后分裂成4个并死去1个，2小时分裂成6 个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个,按此规律,5小时后细胞存活的个数是()A. 31B. 33C. 35D. 373.将正整数按如图所示的规律排列下去,若有序实数对(n, m)表示第n 排，从左到右第m个数，如(4,2)表示实数9，则表示实数17的有序实数对是.表示实数100的有序实数对是.1 ............... 第一排3 2 ........ 第二排4 5 6 •••••第三排10 9 8 7 -•第四排4.将自然数按以下规律排列，则2012所在的位置是第行第列.第一列第二列第三列第四列第一行12910第二行43811第三行56712第四行16151413第五行17・・・二.计算规律问题5.观察下列算式:1=1=12 ; 1+3=4=22 ; 1+3 + 5=9=32 ;1+3+5+7=16=42 ;…按规律填空:(1) 1+3+5+7+9+...+2011=; (2 ) l+3 +5+...+2n-l=.6.计算:31 + 1 = 4 ,32 + 1 = 10 ,33 +1 = 28 ,34 + 1 = 82 ,35 + 1 = 244 , 归纳计算结果中的个位数字的规律,猜测32012 + 1的个位数字是()A. 0B. 2C.4D. 87.按下图规律，在第四个方框内填入的数应为8.观察一列数2,4,8 , 16 , 32 ,,发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是"艮据此规律，如果an（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么al8= _ , an= ；⑵如果欲求1+3+32+33 + ...+320 的值可令S=l+3+32+33 + ...+320将①式两边同乘以3 ,...②由②减去①式，得S=.⑶用由特殊到一般的方法知：若数列al,a2,a3,an,从第二项开始每一项与前一项之比的常数为q ,则an=（用含al, q , n的代数式表示）, 如果这个常数q/0 ,那么al+a2+a3 + ...+an=（用含al , q , n的代数式表示）•三.几何计数问题9.—平面内,三条直线两两相交,最多有3个交点;4条直线两两相交,最多有6个交点;5条直线两两相交,最多有10个交点;8条直线两两相交,最多有—个交点.10.已知1条直线将平面分割为2个区域,2条直线两两相交最多可将平面分割成4个区域，则10条直线两两相交最多可将平面分割成—个区域..两条直线相交,共有对对顶角;三条直线相交,共有—对对顶角；四条直线相交,共有—对对顶角...... ；n条直线相交,共有对对顶角；12.下面的5x5图中共有—个正方形.四.图形规律问题13.如图所示,第1个图中有1个三角形,第2个图中共有5个三角形,第3个图中共有9个三角形,依次类推，则第6个图中共有三角形个.14.观察图形：根据①②③的规律，图④中三角形个数为①②③15.十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V ）、面数（F ）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题:多面顶点数面(V) 数（F）数（E）四面长方12正八12面体正十20 12 30二面体⑴根据上面多面体的模型，完成表格中的空格:你发现顶点数（V ）、面数（F ）、棱数（E ）之间存在的关系式是.⑵一个多面体的面数比顶点数大8 ,且有30条棱，则这个多面体的面数⑶某个玻璃饰品的外形是简单的多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱.设该多面体外表面三角形的个数为x个，八边形的个数为y ,求x + y的值.长方体16.规律：如图1,直线mlln,A、B为直线n上的点，C、P为直线m上的点.如果A、B、C为三个定点，点P在m上移动，那么无论点P移动到何位置,MBP与A ABC的面积总相等,其理由是.应用：(1)如图2 , A ABC和A DCE都是等边三角形,若MBC的面积为1, 则A BAE的面积是(2 )如图3 ,四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形，若正方形ABCD 的边长为4 ,求MCF的面积.(3)如图4 ,五边形ABCDE和五边形BFGHP都是正五边形，若^ABC的面积为1 ,求小如的面积.五•设计规律问题L+±+J_+L+... + L17.在数学活动中，小明为了求2 2: 2； 2* 2的值(结果用n表示), 设计如图1所示的图形。
部编数学七年级上册专题05整式中的两种规律探索问题(解析版)(人教版)含答案
专题05 整式中的两种规律探索问题类型一、数字类规律探索例.观察：（x ﹣1）（x +1）＝x 2﹣1，（x ﹣1）（x 2+x +1）＝x 3﹣1，（x ﹣1）（x 3+x 2+x +1）＝x 4﹣1，据此规律，当（x ﹣1）（x 5+x 4+x 3+x 2+x +1）＝0时，代数式x 2019﹣1的值为 _____．【答案】0或﹣2【详解】解：根据题意得∶ （x ﹣1）（x +1）＝x 2﹣1，（x ﹣1）（x 2+x +1）＝x 3﹣1，（x ﹣1）（x 3+x 2+x +1）＝x 4﹣1，……∴（x ﹣1）（x 5+x 4+x 3+x 2+x +1）＝x 6﹣1∵（x ﹣1）（x 5+x 4+x 3+x 2+x +1）＝0，∴x 6﹣1＝0，解得：x ＝1或x ＝﹣1，则x 2019﹣1＝0或﹣2，故答案为：0或﹣2．【变式训练1】a 是不为1的有理数，我们把11-a 称为a 的差倒数，如2的差倒数为1-11-2=，－1的差倒数为111(1)2=--，已知15a =，2a 是1a 差倒数，3a 是2a 差倒数，4a 是3a 差倒数，以此类推……，2021a 的值是（）A ．5B ．14-C ．43D ．45【答案】B【解析】∵15a = ， 2a 是1a 的差倒数，∴211154a ==--，∵3a 是2a 的差倒数，4a 是3a 的差倒数，∴314151-4a ==æö-ç÷èø，∴415415a ==-，根据规律可得n a 以5，1-4，45为周期进行循环，因为2021＝673×3…2，所以202114a =-．故选B ．【变式训练2】有2021个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间数等于前后两数的和，如果第一个数是0，第二个数是1， 那么前6个数的和是______， 这2021个数的和是______．【答案】0 1【解析】由题意得：第3个数是101-=，第4个数是110-=，第5个数是011-=-，第6个数是101--=-，则前6个数的和是()()0110110++++-+-=，第7个数是1(1)0---=，第8个数是0(1)1--=，归纳类推得：这2021个数是按0,1,1,0,1,1--循环往复的，202163365=´+Q ，且前6个数的和是0，\这2021个数的和与前5个数的和相等，即为()011011++++-=，故答案为：0，1．【变式训练3】有一列数11315,,,,228432---，…，那么第n 个数为______．【答案】()12n nn-【详解】解：()11122-=-´，()221221242==-´，()3333182-=-´，()4414414162==-´，()55551322-=-´，……由此发现：第n 个数为()12n n n -．故答案为：()12n nn-【变式训练4】杨辉三角又称贾宪三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，如图，观察下面的杨辉三角：按照前面的规律，则()7a b +的展开式中从左起第三项为______．()1a b a b +=+()2222a b a ab b +=++()3322333a b a a b ab b +=+++()4432234464a b a a b a b ab b +=++++LL【答案】5221a b 【详解】解：根据题意，()7a b +=7652433425677213535217a a b a b a b a b a b ab b +++++++，∴()7a b +的展开式中从左起第三项为5221a b ，故答案为：5221a b ．类型二、图形类规律探索例.如图，两条直线相交，有1个交点，三条直线相交最多有3个交点，四条直线相交最多有______个交点，n 条直线相交最多有______个交点．【答案】 6 (1)2n n -【详解】解： 如图，两条直线相交最多有1个交点，即()22112´-=；三条直线相交最多有3个交点，即()33132´-=；四条直线相交最多有6个交点，即()44162´-=，五条直线相交最多有10个交点，即()551102´-=，……∴n 条直线两两相交，最多有(1)2n n -个交点（n 为正整数，且n ≥2）．故答案为6；(1)2n n -．【变式训练1】如图都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下去，第_____个图形共有45个小球．【答案】9【详解】解：第1个图中有1个小球，第2个图中有3个小球，3=1+2，第3个图中有6个小球，6=1+2+3，第4个图中有10个小球，10=1+2+3+4，……n（1+n）个小球，照此规律，第n个图形有1+2+3+4+…+n=12n（1+n）=45，∴12解得n=9或-10（舍去），故答案为：9．【变式训练2】为庆祝“六·一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛．如图所示：按照上面的规律，摆第n个“金鱼”和第(n＋1)个“金鱼”需用火柴棒的根数为130根，则n的值为______．【答案】10【详解】解：由题可知：第n个图形有(6n+2)根火柴棒，第(n+1)个图形有(6n+8)根火柴棒，∵摆第n个“金鱼”和第(n＋1)个“金鱼”需用火柴棒的根数为130根，∴6n+2+6n+8=130，解得n=10．故答案为：10．【变式训练3】如图是某广场用地板铺设的部分图案，中央是一块正六边形的地板砖，周围是正三角形和正方形的地板砖．从里向外的第1层包括6个正方形和6个正三角形，第2层包括6个正方形和18个正三角形，依此递推，第10层中含有正三角形个数为___个，第n层含有正三角形个数为___个．n-【答案】114 126【解析】根据题意分析可得：从里向外的第1层包括6个正三角形，第2层包括18个正三角形，此后，每层都比前一层多12个，依此递推，第10层中含有正三角形个数是6+12×9=114个，则第n层中含有正三角形个数是6+12×（n-1）=126n-个，故答案为：114，126n-．【变式训练4】观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，用6064个五角星摆出的图案应该是第_______个图形．【答案】2021【解析】观察发现，第1个图形五角星的个数是：1+3＝4，第2个图形五角星的个数是：1+3×2＝7，第3个图形五角星的个数是：1+3×3＝10，第4个图形五角星的个数是：1+3×4＝13，⋯第n个图形五角星的个数是：1+3•n＝1+3n，∵6064120213-=，∴用6064个五角星摆出的图案应该是第2021个图形，故答案为：2021．课后训练1．下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中第1个图有3张黑色正方形纸片，第2个图有5张黑色正方形纸片，第3个图有7张黑色正方形纸片，…，按此规律排列下去，若第n个图中有201张黑色正方形纸片，则n的值为（ ）A．99B．100C．101D．102【答案】B【详解】解：观察图形知：第一个图中有3=1+2×1个正方形，第二个图中有5＝1＋2×2个正方形，第三个图中有7＝1＋2×2个正方形，…故第n 个图中有1＋2×n ＝2n +1=201（个）正方形，解得n =100故选B ．2．如图，将若干颗棋子按箭头方向依次摆放，记第一颗棋子摆放的位置为第1列第1排，第二颗棋子摆放的位置为第2列第1排，第三颗棋子摆放的位置为第2列第2排……，按此规律摆放在第16列第8排的是第（ ）颗棋子．A ．85B ．86C ．87D ．88【答案】B 【详解】偶数列数与排数表：偶数列数排数22436485……n 12n +∴当n =16时，排数为：192n +=，∴前16列共有棋子：()9102123+-3=2-3=872´+++´…9（颗），∴第16列第8排的棋子位次是：87-1=86．故选B ．3．将一正方形按如图方式分成n 个完全相同的长方形，上、下各横排三个，中间两行各竖排若干个，则n 的值为（ ）A ．12B ．16C ．18D ．20【答案】C 【详解】解：设长方形的长为a ，宽为b ，根据题意得，2a +2b =3a ， 整理得，a =2b ，∴竖排的一行的长方形的个数为3a ÷b =（3×2b ）÷b =6，∴n =3×2+6×2=6+12=18．故选：C ．4．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则x 与y 的和是（ ）A ．9B ．10C ．11D ．12【详解】解：设如图表所示：根据题意可得：x +6+20=22+z +y ，整理得：x -y =-4+z ，x +22+n =20+z +n ，20+y +m =x +z +m ，整理得：x =-2+z ，y =2z -22，∴x -y =-2+z -(2z -22)=-4+z ，解得：z =12，∴x +y =3z -24=12故选：D ．5．如图，按此规律，第6行最后一个数字是_____，第_____行最后一个数是2020．【答案】16 674【详解】Q 每一行的最后一个数字分别是1,4,7,10 ,……，\第n 行的最后一个数字为：1+3(1)32n n -=-，\第6行最后一个数字为：36216´-=；322020n -=，解得：674n =，故答案为：16,674．6．如图，每个图形中的三个数之间均具有相同的规律．根据此规律，若图形中11m =，12n =，则M 的值为________．【详解】解：∵1×（2+1）=3，3×（4+1）=15，5×（6+1）=35，∴右下圆圈内的数=上方圆圈内的数×（左下圆圈内的数+1），∴M =m （n +1），∴M =11×(12+1)=143．故答案为：143．7．为了求220211222+++¼+的值，可令220211222S =+++¼+，则220222222S =++¼+，因此2022221S S -=-，所以220212022122221+++¼+=-．按照以上推理计算出1220211333---+++¼+的值是______．【答案】2021332--【详解】解：令1220211333S ---=+++¼+，则1220212022133333S ----=++¼++，因此20221313S S --=-，则20222313S --=-，得：2021332S --=，所以20211220213313332-----+++¼+=．故答案为：2021332--．8．今年“10.1”黄金周，适逢祖国70大庆，广西柳州赛长桌宴，民族风情浓郁，吸引了大量游客如果长桌宴按下图方式就坐（其中□代表桌子，〇代表座位），则拼接n （n 为正整数）张桌子时，最多可就坐_____人．【答案】（6n +2）【详解】解：根据图示知，拼1张桌子，可以坐（2+6）人．拼2张桌子，可以坐[2+（6×2）]人．拼3张桌子，可以坐[2+（6×3）]人．…拼接n （n 为正整数）张桌子，可以坐（6n +2）人．故答案是：（6n +2）．9．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2012年8月份的日历．我们任意选择其中所示的方框部分，将每个方框部分中4个位置上的数交又相乘，再相减，例如：7136147´-´=，172316247´-´=，不难发现，结果都是7．2012年8月日一二三四五六12345678910111213141516171819202122232425262728293031（1）请你再选择两个类似的部分试一试，看看是否符合这个规律；（2）换一个月的月历试一下，是否有同样的规律？（3）请你利用整式的运算对以上的规律加以证明．【答案】（1）111710187´-´=，符合；（2）392107´-´=；（3）见解析【详解】解：（1）由题意得：111710187´-´=，符合；（2）392107´-´=；答：换一个月的月历试一下还是同样的规律；（3）设上边第一个数为x ，则其后的数为（x +1），第二行的两个数分别为（x +7），（x +8），根据题意，得22(1)(7)(8)8787x x x x x x x x ++-+=++--=．10．（1）你知道下面每一个图形中各有多少个小圆圈吗？第5个图形中应该有多少个小圆圈？为什么？（2）完成下表：边上的小圆圈数12345每个图中小圆圈的总数（3）如果用n 表示六边形边上的小圆圈数，m 表示这个六边形中小圆圈的总数，那么m 和n 的关系是什么？【答案】（1）第1个图形：1个；第2个图形：7个；第3个图形：19个；第4个图形：37个；第5个图形：61个，理由见解析；（2）1，7，19，37，61；（3）2331m n n =-+【详解】（1）观察每个图形的特点，就可以算出第1个图形的小圆圈有1个，第2个图形的小圆圈有2+3+2=7个，第3个图形的小圆圈有3+4+5+4+3=19个，第4个图形的小圆圈有4+5+6+7+6+5+4=37个，由此可推知第5个图形的小圆圈有5+6+7+8+9+8+7+6+5=61个；（2）将（1）算出的结果填入下列表格，如下表所示，边上的小圆圈数12345每个图中小圆圈的总数17193761（3）结合（1）（2）可知，m 与n 之间的函数关系为：()()()()()1...212...1m n n n n n n n n n n=+++++-++-++-++++首尾相加得()()21...(2)1m n n n n n n =+++++-++-éùëû()()21322213312n n n n n --=+-=-+2331m n n =-+．11．对任意一个四位正整数m ，如果m 的百位数字等于个位数字与十位数字之和，m 的千位数字等于十位数字的2倍与个位数字之和，那么称这个数m 为“筋斗数”．例如：m ＝5321，满足1＋2＝3，2×2＋1＝5，所以5321是“筋斗数”．例如：m ＝8523，满足2＋3＝5，但2×2＋3＝7≠8，所以8523不是“筋斗数”．(1)判断9633和2642是不是“筋斗数”，并说明理由；(2)若m 是“筋斗数”，且m 与13的和能被11整除，求满足条件的所有“筋斗数”m ．【答案】(1)9633是“筋斗数”；2642不是“筋斗数”； 理由见解析(2)m 的值为9909或2110或6422【解析】(1)解：9633是“筋斗数”，2642不是“筋斗数”，理由如下：∵6=3+3，9=2×3+3，∴9633是“筋斗数”；∵6=4+2，28+2¹，∴2642不是“筋斗数”；(2)设m 的个位数为a ，0≤a ≤9，十位数为0＜b ≤9，且a 、b 为整数∵m 是“筋斗数”，∴m 的百位数为a +b ，千位数为2b +a ；∴m =1000（2b +a ）+100（a +b ）+10b +a =1100a +110b +2000b +a∵m 与13的和能被11整除，∴1100a +110b +2000b +a +13能被11整除，∵2b +a ≤9且a 、b 为整数，∴b ≤4.5∵1100a +110b 能被11整除，∴2000b +a +13能被11整除，∴b =0，a =9或b =1，a =0或b =2，a =2或b =3，a =4，或b =4，a =6，∴a +b =9，2b +a =9或a +b =1，2b +a =2或a +b =4，2b +a =6或a +b =7，2b +a =10（舍去）或a +b =10，2b +a =14（舍去），∴m 的值为9909或2110或642212．看图填空：如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为12的长方形，接着把面积为12的长方形等分成两个面积为14的长方形，再把面积为14的长方形等分成面积为18的长方形，如此进行下去……(1)试利用图形揭示的规律计算：1111111112481632641282562n ++++++++L ＝_______．并使用代数方法证明你的结论．(2)请给利用图（2），再设计一个能求：2341111122222n +++++L 的值的几何图形．【答案】(1)112n - ，证明见解析；(2)见解析【解析】(1)解：①由题意可知当最后一个小长方形的面积为12n时 ，1111111112481632641282562n ++++++++L 的值为正方形面积减去最后一个小长方形面积，即：112n - ，1111111111124816326412825622n n \++++++++=-L ；②设1111111112481632641282562n s =++++++++L ，111111111212481632641282n s -=++++++++L ，1212n s s \-=-，即112ns =-，1111111111124816326412825622n n \++++++++=-L ；(2)如图所示，将面积为1的正方形等分成两个面积为12的三角形，接着把面积为12的三角形等分成两个面积为14的三角形，再把面积为14的三角形等分成面积为18的三角形，如此进行下去，则2341111122222n +++++L 的值即为正方形面积减去最后一个小三角形面积：112n -。
七年级数学(上)探索规律类-问题及答案
七年级数学（上）探索规律类 问题班级 学号 姓名 成绩一、数字规律类：1、一组按规律排列的数：41，93，167，2513，3621，…… 请你推断第9个数是 ．2、（2005年山东日照）已知下列等式： ① 13＝12； ② 13＋23＝32； ③ 13＋23＋33＝62；④ 13＋23＋33＋43＝102 ；…………由此规律知，第⑤个等式是 ．3、（2005年内蒙古乌兰察布）观察下列各式；①、12+1=1×2 ；②、22+2=2×3； ③、32+3=3×4 ；………请把你猜想到的规律用自然数n 表示出来 。
4、（2005年辽宁锦州）观察下面的几个算式：①、1+2+1=4； ②、1+2+3+2+1=9； ③、1+2+3+4+3+2+1=16；④、1+2+3+4+5+4+3+2+1=25，……根据你所发现的规律，请你直接写出第n 个式子 5、（2005年江苏宿迁）观察下列一组数的排列：1、2、3、4、3、2、1、2、3、4、3、2、1、…，那么第2005个数是（ ） A ．1 B ． 2 C ．3 D ．4 6、（2005年山东济南市）把数字按如图所示排列起来，从上开始，依次为第一行、第二行、第三行、……，中间用虚线围的一列，从上至下依次为1、5、13、25、……，则第10个数为________。
第1行 1第2行 －2 3第3行 －4 5 －6第4行 7 －8 9 －10（第6题图） 第5行 11 －12 13 －14 15 ……………… （第7题图） 7、（05年江苏省金湖实验区）已知一列数：1，―2，3，―4，5，―6，7，… 将这列数排成如上所示的形式：按照上述规律排下去，那么第10行从左边数第5个数等于 ． 二、图形规律类： 8、（2005年云南玉溪）一质点P 从距原点1个单位的A 点处向原点方向跳动，第一次跳动到OA 的中点1A 处，第二次从1A 点跳动到O 1A 的中点2A 处，第三次从2A 点跳动到1条 2条 3条 图1 图2 图 3 O 2A 的中点3A 处，如此不断跳动下去，则第n 次跳动后，该质点到原点O 的距离为 。
七年级规律探索题答案解析
前言：七年级上册数学期中考试，主要考察书本前2章，想要考试取得好的成绩，首先应一般能力：①基本知识、基本技能；②计算能力；其次要想获得高分必须具备高分能力：①观察、猜想、推理、验证的能力；②数形结合思想的建立；③分类讨论思想的建立；④方程思想的建立；对于重点中学学生，尤为重要。
高分能力是今后学习领先的有力保障，需要大量练习、总结、体会，七年级涉及的仅仅是一部分。
一、规律探索类题型规律探索型问题是指在一定条件下，探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的问题，它往往给出了一组变化了的数、式子、图形等条件，要求学生通过：①读题 ②观察 ③分析 ④猜想 ⑤验证，来探索对象的规律。
它体现了“特殊到一般”、“数形结合”等数学思想方法，考察学生的分析、解决问题能力。
题型可涉及填空、选择或解答。
【题型分类】 【1、数字问题】最好具备数列的有关知识（小学奥数有涉及），实际考察的是：经历探索事物间的数量关系，用字母表示数和代数式表示的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维，进一步使学生体会到代数式是刻画现实世界的有效数学模型。
如： 1、正整数规律1、2、3、4、5、、、、可以表示为n （其中n 为正整数） 2、奇数规律1、3、5、7、9、、、、可以表示为21n -（其中n 为正整数） 3、偶数规律2、4、6、8、10、、、、可以表示为2n （其中n 为正整数） 4、正、负交替规律变化一组数，不看他们的绝对值，只看其性质，为正负交替 （1）、-、+、-、+、-、+、-、+可以表示为(1)n- （2）、+、-、+、-、+、-、+、-可以表示为1(1)n +-5、平方数规律1、4、9、16、、、、可以表示为2n （其中n 为正整数），能看得出：上面的规律数+1、+2、-1、-26、等差数列常识按一定次序排列的一列数就叫数列。
例如：（1） 1，2，3，4，5，6，… （2） 1，2，4，8，16，32；A 、一个数列中从左至右的第n 个数，称为这个数列的第n 项。
2.1 整式-探索规律问题 人教版数学七年级上册专项练习(含答案)
2023年人教版数学七年级上册《探索规律问题》专项练习一、选择题1.小王利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如表：输入…12345…输出……那么，当输入数据为8时，输出的数据为( )A. B. C. D.2.找出以如图形变化的规律，则第20个图形中黑色正方形的数量是( )A.28B.29C.30D.313.下列图形都是由同样大小的⊙按一定规律所组成的，其中第1个图形中一共有5个⊙，第2个图形中一共有8个⊙，第3个图形中一共有11个⊙，第4个图形中一共有14个⊙，…，按此规律排列，第1001个图形中基本图形的个数为( )A.2998B.3001C.3002D.30054.观察图并寻找规律，x处填上的数字是( )A.﹣136B.﹣150C.﹣158D.﹣1625.将一个边长为1的正方形按如图所示的方法进行分割：部分①是整个正方形面积通过计算此图形中部分①、部分②、部分③…的面积之和，可得到式子12＋14＋18＋…的近似值为()A.0.5B.1C.2D.46.观察下列算式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，…根据上述算式中的规律，你认为22024的末位数字是( )A.2B.4C.6D.87.如图所示，图①中的多边形(边数为12)是由等边三角形“扩展”而来的，图②中的多边形是由正方形“扩展”而来的，…，依此类推，则由正n 边形“扩展”而来的多边形的边数为( )A.n(n ﹣1)B.n(n ＋1)C.(n ＋1)(n ﹣1)D.n 2＋28.观察等式：2＋22＝23－2；2＋22＋23＝24－2；2＋22＋23＋24＝25－2…已知按一定规律排列的一组数：250，251，252，…，299，2100.若250＝a ，用含a 的式子表示这组数的和是( )A.2a 2－2aB.2a 2－2a －2C.2a 2－aD.2a 2＋a9.已知一组数a 1，a 2，a 3，…，a n ，…，其中a 1＝1，对于任意的正整数n ，满足a n ＋1a n ＋a n ＋1﹣a n ＝0，通过计算a 2，a 3，a 4的值，猜想a n 可能是( )A.1n B.nC.n 2D.110.把三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个三角形，第②个图案中有6个三角形，第③个图案中有8个三角形，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中三角形的个数为( )A.12B.14C.16D.18二、填空题11.用●表示实心圆，用○表示空心圆，现有若干个实心圆与空心圆，按一定的规律排列如下：●○●●○●●●○●○●●○●●●○●○●●○●●●○…，在前2029个圆中，有 个实心圆.12.下图是某同学一次旅游时在沙滩上用石子摆成的小房子．观察图形的变化规律，写出第n个小房子用了块石子．13.下面是按照一定规律画出的一列“树型”图：经观察可以发现：图(2)比图(1)多出2个“树枝”，图(3)比图(2)多出5个“树枝”，图(4)比图(3)多出10个“树枝”，照此规律，图(7)比图(6)多出 个“树枝”．14.有一串式子：﹣x，2x2，﹣3x3，4x4，…，﹣19x19，20x20，… ,写出第n个 .15.按下列图示的程序计算，若开始输入的值为x=﹣6，则最后输出的结果是 ．16.观察下列各正方形图案，每条边上有n(n≥2)个圆点，每个图案中圆点的总数是s，按此规律推断出s与n的关系为 .17.如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，然后将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，再将其中的一个正方形剪裁成四个小正方形，如此继续下去，…，根据以上操作方法，请你填写表：操作次数N 12345…n 正方形的个数47101316…a n则a n ＝ (用含n 的代数式表示).18.如图是用小棒按一定规律摆成的一组图案，第1个图案中有5根小棒，第2个图案中有9个小棒，…，若第n 个图案中有65根小棒，则n 的值为 .三、解答题19.寻找公式，求代数式的值：从2开始，连续的偶数相加，它们的和的情况如下表：(1)当n 个最小的连续偶数相加时，它们的和S 与n 之间有什么样的关系，用公式表示出来；(2)按此规律计算：①2＋4＋6＋…＋200值；②162＋164＋166＋…＋400值．20.下面的图形是由边长为l 的正方形按照某种规律排列而组成的.(1)观察图形，填写下表：图形①②③正方形的个数8 图形的周长18 (2)推测第n个图形中，正方形的个数为 ，周长为 (都用含n的代数式表示).(3)这些图形中，任意一个图形的周长y与它所含正方形个数x之间的关系可表示为y ＝ .21.用火柴棒摆出下列一组图形：(1)填写下表：图形编号123图形中的火柴棒数 (2)照这样的方式摆下去，写出摆第n个图形中的火柴棒数；(用含n的代数式表示)(3)如果某一图形共有2027根火柴棒，你知道它是第几个图形吗？22.观察下列等式：13＋23＝3213＋23＋33＝6213＋23＋33＋43＝102…(1)根据观察得到规律写出：13＋23＋33＋43＋53＝ .(2)根据观察得到规律写出13＋23＋33＋43＋…＋1003＝ .(3)13＋23＋33＋43＋53＋…＋n3＝ .23.阅读材料：求1＋2＋22＋23＋24＋…＋22023的值.解：设S＝1＋2＋22＋23＋24＋…＋22022＋22023，将等式两边同时乘以2得：2S＝2＋22＋23＋24＋25＋…＋22023＋22024将下式减去上式得2S﹣S＝22024﹣1即S＝22024﹣1即1＋2＋22＋23＋24＋…＋22023＝22024﹣1请你仿照此法计算：(1)1＋2＋22＋23＋24＋…＋210(2)1＋3＋32＋33＋34＋…＋3n(其中n为正整数).答案1.C2.C.4.D．5.B．6.C.7.B.8.C9.A10.C11.答案为：1353.12.答案为：(n2＋4n).13.答案为：80.14.答案为：(﹣1)n nx n .15.答案为：120．16.答案为：S＝4(n﹣1).17.答案为：1＋3n.18.答案为：16.19.解：(1))∵1个最小的连续偶数相加时，S＝1×(1＋1)，2个最小的连续偶数相加时，S＝2×(2＋1)，3个最小的连续偶数相加时，S＝3×(3＋1)，…∴n个最小的连续偶数相加时，S＝n(n＋1)；(2)①根据(1)得：2＋4＋6＋…＋200＝100×(100＋1)＝10100；②162＋164＋166＋ (400)＝(2＋4＋6＋…＋400)﹣(2＋4＋6＋…＋160)，＝200×201﹣80×81，＝40200﹣6480，＝33720．20.解：(1)∵n＝1时，正方形有8个，即8＝5×1＋3，周长是18，即18＝10×1＋8；n＝2时，正方形有13个，即13＝5×2＋3，周长是28，即28＝10×2＋8；n＝3时，正方形有18个，即18＝5×3＋3，周长是38，即38＝10×3＋8；(2)由(1)可知，n＝n时，正方形有5n＋3个，周长是10n＋8.(3)∵y＝10n＋8，x＝5n＋3，∴y＝2x＋2.21.解：(1)第一个图形中火柴棒数＝2＋5＝7，第二个图形中火柴棒数＝2＋5＋5＝12，第三个图形中火柴棒数＝2＋5＋5＋5＝17；故答案为：7；12；17；(2)由(1)的规律可知第n个图形的火柴棒根数＝2＋5n；(3)由题意可知2027＝2＋5n，解得n＝407，∴是第402个图形.22.解：(1)依题意，得13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2＝152＝225；(2)依题意，得13＋23＋33＋…＋1003＝(1＋2＋3＋…＋100)2＝50502；(3)一般规律为：13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2＝[]2.故答案为225；50502；[]2.23.解：(1)设S＝1＋2＋22＋23＋24＋ (210)将等式两边同时乘以2得：2S＝2＋22＋23＋24＋…＋210＋211，将下式减去上式得：2S﹣S＝211﹣1，即S＝211﹣1，则1＋2＋22＋23＋24＋…＋210＝211﹣1；(2)设S＝1＋3＋32＋33＋34＋…＋3n①，两边同时乘以3得：3S＝3＋32＋33＋34＋…＋3n＋3n＋1②，②﹣①得：3S﹣S＝3n＋1﹣1，即S＝12(3n＋1﹣1)，则1＋3＋32＋33＋34＋…＋3n＝12(3n＋1﹣1).。
七年级数学上册专题12 图形类规律探索(原卷版)
专题12 图形类规律探索1．用长方形和三角形按图示排列规律组成一连串平面图形．(1)当某个图形中长方形个数为5时，三角形个数为 ；(2)设某个图形中长方形个数为x ，三角形个数为y ．请你写出用x 表示y 的关系式．2．如图，是一幅平面镶嵌图案，它由相同的黑色正方形和白色等边三角形排列而成，观察图案，当正方形只有一个时，等边三角形有4个（如图1）；当正方形有2个时，等边三角形有7个（如图2）；以此类推⋯(1)若图案中每增加1个正方形，则等边三角形增加______个； (2)若图案中有n 个正方形，则等边三角形有______个．(3)现有2022个等边三角形，如按此规律镶嵌图案，要求等边三角形剩余最少，则需要正方形多少个？3．如图，用若干个点摆成一组等边三角形点列，其中第(2)n n ≥个三角形的每一边上都有n 个点，该图形中点的总数记为n S ，我们把n S 称为“三角形数”，并规定当1n =时，“三角形数”11S =．(1)“三角形数”5S =______________，n S =______________； (2)①某数学兴趣小组发现相邻两个“三角形数”的和有一定的规律：如1223344,9,16+=+=+=S S S S S S ．请猜想：1++=n n S S ______________； ②请用所学的知识说明①中猜想的正确性．4．观察如图图形，把一个三角形分别连接其三边中点，构成4个小三角形，挖去中间的一个小三角形（如图1），对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法…，据此解答下面的问题．(1)填写下表：(2)根据这个规律，求图n 中挖去三角形的个数n W （用含n 的代数式表示）； (3)若图1n +中挖去三角形的个数为1n W +，求1n n W W +-． 5．【观察思考】画一个大的正五边形，接着画出内嵌的5个黑色小的正五边形，（图1中有1个白色正五边形，有5个黑色正五边形，总共6个正五边形）；接下来每个黑色小五边形内再内嵌的5个更小的正五边形，（图2中有5个白色正五边形，有25个黑色正五边形，总共30个正五边形）继续下去，不断重复此过程……，据此解答下面的问题．(1)【规律总结】图3中黑色五边形个数 ；白色五边形的个数 ；(2)根据这个规律，求图n中黑色五边形个数；白色五边形的个数（用含n的代数式表示）(3)【问题解决】当黑色和白色五边形共3750个时，求图n?6．用正方形的白色水泥砖和灰色水泥砖按如图所示的方式铺人行道(1)第①个图中有灰色水泥砖块，第②个图中有灰色水泥砖块，第③个图中有灰色水泥砖块；(2)依次铺下去，第n个图中有灰色水泥砖块．7．一种特殊的三角形幻方，是由4个较小的三角形和3个较大的三角形构成，且满足每个三角形三个顶点处的数之和相等．如图1，是这种特殊三角形幻方，阴影部分的三角形三个顶点处的数之和为7+3+5＝15，该图中每个三角形三个顶点处的数字之和都为15．(1)根据图1，计算图中9个数的和与每个三角形三个顶点处数的和之间的倍数关系，并写出你的结论；(2)图2是这种特殊的三角形幻方，请把数字﹣4，﹣2，0，2，3这5个数字填在图2的各个圈内；(3)图3是这种特殊的三角形幻方，请求x的值．8．下面是用棋子摆成的“小屋子”．摆第10个这样的“小屋子”需要多少枚棋子？摆第n个这样的“小屋子”呢？你是如何得到的？9．【问题呈现】用一些长短相同的小木棍按图所示的方式，连续摆正方形或六边形，要求相邻的图形只有一条公共边.已知摆放的正方形比六边形多4个，并且一共用了110根小木棍，问连续摆放的正方形和六边形各多少个.【自主思考】慧慧用表格的形式对本问题的一些信息进行了梳理，请把表格内容补充完整.【建模解答】（请完整解答本题）10．如图是由一些火柴棒搭成的图案．(1)摆第4个图案用根火柴棒．(2)按照这种方式摆下去，摆第n 个图案用 根火柴棒． (3)计算一下摆481根火柴棒时，是第几个图案？11．实验探究：如图，在四边形ABCD 内部，有n 个点Pi （i =1，2，3，…，n ），连接这4n +个点构造不重叠的小三角形，请把在不同点数情况下最多可构造的三角形个数填入表中．(1)将上表中数据补充完整；(2)当四边形中有2022个小三角形时，求点数n 的值．12．如图，学校准备新建一个长度为L 的读书长廊，并准备用若干块带有花纹和没有花纹的两种规格大小相同的正方形地面砖搭配在一起，按图中所示的规律拼成图案铺满长廊，已知每个小正方形地面砖的边长均为0.3m ．(1)按图示规律，第一图案的长度1L =______；第二个图案的长度2L =______； (2)请用代数式表示带有花纹的地面砖块数n 与走廊的长度n L （m ）之间的关系；(3)当走廊的长度L为60.3m时，请计算出所需带有花纹图案的瓷砖的块数．13．如图图案是用长度相同的火柴棒按一定规律拼搭而成，图案需8根火柴棒，图案②需15根火柴棒，图案②需15根火柴棒，…(1)按此规律，图案⑦需____________根火柴棒；(2)用含n的代数式表示第n个图案需根火柴棒根数．14．2022年北京冬奥会开幕式主火炬台由96块小雪花形态和6块橄榄枝构成的巨型“雪花”形态，在数学上，我们可以通过“分形”近似地得到雪花的形状．操作：将一个边长为1的等边三角形（如图①）的每一边三等分，以居中那条线段为底边向外作等边三角形，并去掉所作的等边三角形的一条边，得到一个六角星（如图②，称为第一次分形．接着对每个等边三角形凸出的部分继续上述过程，即在每条边三等分后的中段向外画等边三角形，得到一个新的图形（如图③），称为第二次分形．不断重复这样的过程，就得到了“科赫雪花曲线”．(1)【规律总结】每一次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是前一个“雪花曲线”边数的倍；每一次分形后，三角形的边长都变为原来的倍；(2)【问题解决】试猜想第n次分形后所得图形的边数是；周长为（用含n的代数式表示）15．用棋子摆出下一组图形：(1)摆第1个图形用______枚棋子，摆第2个图形用______枚棋子，摆第3个图形用______枚棋子．(2)按照这种方式摆下去，摆第n个图形用多少枚棋子？(3)计算一下摆第100个图形用多少枚棋子？(4)小鱼同学手上刚好有50枚棋子，是否可以摆出符合这种规律的图形，50枚棋子一枚不剩？如果可以，求出是第几个图形；如果不可以，请说明理由．16．把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，第③个图案中有6个黑色三角形…按此规律排列下去，解答下列问题：(1)第④个图案中有______个黑色三角形．(2)求第ⓝ个图案中有多少个黑色三角形？（用含n的代数式表示）(3)求第100个图案中黑色三角形的个数．17．（1）如图1，图中共有三角形个；如图2，若增加一条线，则图中共有三角形个；（2）如图3，若增加到10条线，请你求出图中的三角形的个数．18．[提出问题]一个n边形，内部有m个点，用这些点以及n边形的n个顶点，可把原三角形分割成多少个互不重叠的小三角形？[探究问题]为了解决上面的问题，我们先从简单和具体的情形入手：探究一：以ABC的三个顶点和它内部的1个点，共4个点为顶点，可把ABC分割成3个互不重叠的小三角形．（如图①）探究二：以ABC的三个顶点和它内部的2个点，共5个点为顶点，可把ABC分割成5个互不重叠的小三角形．探究三：以ABC的三个顶点和它内部的3个点，共6个点为顶点，可把ABC分割成7个互不重叠的小三角形．[解决问题]以ABC的三个顶点和它内部的n个点，共()3+n个点为顶点，可把ABC分割成______个互不重叠的小三角形．[拓展探究]一个正方形内部有若干个点，用这些点以及正方形的四个顶点A、B、C、D，可把原正方形分割成多少个互不重叠的小三角形？完成下列表格．（1）填写下表：（2）原正方形能否被分割成2016个三角形？若能，此时正方形ABCD内有多少个点？若不能，请说明理由？[实际应用]以五边形的5个点和它内部的2022个点，共2027个顶点，可把原五边形分割成______个互不重叠的小三角形．[归纳总结]：n边形的内部的m个点，共m n个点作为顶点，可把原n边形分割成______个互不重叠的小三角形。
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七年级数学规律探索问题
一、数与式规律:
1. 观察下列等式：
12=1－12， 221111222+=-， 2331111
12222
++=-，…… 请根据上面的规律计算：23101111
2222
+++⋅⋅⋅+=____________.
2.根据规律填代数式， 1+2=
()221;2⨯+()331123;2⨯+++=()
44112342
⨯++++=
;…… 1+2+3+…+n=______________. 3.根据规律填代数式， 13
+23
=(1+2)2
13+23+33=(1+2+3)2 13
+23
+33
+43
=(1+2+3+4)2
……
13+23+33+…+n 3= . 4、（2007内蒙古赤峰）观察下列各式：
22151(11)1005225=⨯+⨯+= 22252(21)1005625=⨯+⨯+= 22353(31)10051225=⨯+⨯+=
……
依此规律，第n 个等式（n 为正整数）为
二、图形的规律:
1、（2007浙江温州）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…，
其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两上数的和。
现以这组数中的各个数作
1
12
35
为正方形的长度构造如下正方形：
再分别依次从左到右取2个、3个、4个、5个,正方形拼成如下矩形并记为①、②、③、④.相应矩形的周长如下表所示：
2、（2007湖北武汉）下列图案是由边长为单位长度的小正方形按一定的规律拼接而成。
依
此规律，第5个图案中小正方形的个数为_______________。
3、（2007哈尔滨）柜台上放着一堆罐头，它们摆放的形状见右图：
第一层有23⨯听罐头， 第二层有34⨯听罐头， 第三层有45⨯听罐头，……
根据这堆罐头排列的规律，第n （n 为正整数）层有 听罐头（用含n 的式子表示）． 4、（2007湖南湘潭）为庆祝“六一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛．如图所示：
按照上面的规律，摆n 个“金鱼”需用火柴棒的根数为（ ） A ．26n + B ．86n + C ．44n + D ．8n
三.整式的应用:
1.销售问题：某商场将进价a 元的货物提价40%后销售，后因积压又按售价的60%出售，用代数式表示实际的售价，问这次是亏了还是赚了？
2.放射性物质的原子数从开始存在到衰变成一半所需的时间叫做半衰期.如某元素的半衰期为2000年，就是说，现在该元素的原子个数为a ，经过2000年后原子个数变为
1
2
a .经测定一个动物化石中该元素的原子个数为c ，而同等条件下正常的活动物体内该元素的原子个数为16c ，请你估计以下这个化石的年龄大约是多少？
3.(1)正方形的周长为m ，正方形的面积是_______，圆的周长为m ，圆的面积是_______. (2)同样长的两段铁丝，一个做成正方形框架，另一个做成圆形框架，请你判断，哪个框架的面积更大一些？
4.一张长为a 宽为b 的铁板(a ＞b)，从四个角截去四个边长为x 的小正方形 2b x ⎛⎫
< ⎪⎝⎭
，做成一
个无盖的盒子，用代数式表示： (1)无盖盒子的外表面积；（用两种方法）
(2)无盖盒子的容积.
5.m 为何值时，代数式4
4
m -的值是自然数.
6.比较1+n n 和n n )1(+的大小（n 是自然数），我们从分析1=n ，2=n ，...3=n 这些简单情况入手，从中发现规律，经过归纳，再猜出结论．
（1）通过计算，比较下列各组中两个数的大小（在空格内填写">""="或"<"） ①122____1 ②233____2 ③344____3 ④455____4 ⑤....6____556 （2）从第（1）题结果归纳，可猜出1+n n 与n n )1(+的大小关系是 .
7、（2007浙江杭州）如图，1P 是一块半径为1的半圆形纸板，在1P 的左下端剪去一个半径为
1
2
的半圆后得到图形2P ，然后依次剪去一个更小的半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得图形34,,
,,
n P P P ，记纸板n P 的面积为n S ，试计算求出2S = ；
3S = ；并猜想得到1n n S S --= ()2n ≥。