最新人教版高中数学选修1-1《抛物线的简单几何性质》教材梳理

庖丁巧解牛
知识·巧学
1.范围：抛物线y 2=2px(p ＞0)上的点M 的坐标(x ，y)满足不等式x≥0，所以这条抛物线在y 轴的右侧；当x 的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸. 方法点拨 通过图形的分析找出双曲线与抛物线上的点的性质差异，当抛物线上的点趋向于无穷远时，抛物线在这一点的切线斜率接近于对称轴所在直线的斜率，也就是说接近于和对称轴所在直线平行，而双曲线上的点趋向于无穷远时，它的切线斜率接近于其渐近线的斜率.
2.对称性：抛物线y 2=2px(p ＞0)关于x 轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴.
3.顶点：抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点.抛物线y 2=2px(p ＞0)的顶点是坐标原点.
4.离心率：抛物线上的点M 与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e 表示.由抛物线的定义可知，e=1.
误区警示 抛物线不是双曲线的一支，抛物线不存在渐近线.
5.抛物线的焦半径：抛物线上任意一点M 与抛物线焦点F 的连线段，叫做抛物线的焦半径.
抛物线y 2=2px(p ＞0)的焦半径公式为|PF|=|x 0+
2p |=2
p +x 0； 抛物线y 2=-2px(p ＞0)的焦半径公式为|PF|=|x 0-2p |=2
p -x 0； 抛物线x 2=2py(p ＞0)的焦半径公式为|PF|=|y 0+2p |=2
p +y 0； 抛物线x 2=-2py(p ＞0)的焦半径公式为|PF|=|y 0-2p |=2p -y 0. 6.直线与抛物线的相关关系
（1）位置关系：直线与抛物线可以相交，这时直线与抛物线有两个公共点；直线与抛物线也可以相离，这时直线与抛物线没有公共点；直线与抛物线还可以相切，这时直线与抛物线只有一个公共点.
知识拓展 下面分别就公共点的个数进行讨论：对于y 2=2px(p ＞0)，
当直线为y=y 0，即k=0，直线平行于对称轴时，与抛物线只有唯一的交点；
当k≠0，设l:y=kx+b ，将l:y=kx+b 代入y 2=2px(p ＞0)，消去y ，得到关于x 的二次方程ax 2+bx+c=0.
若Δ＞0，直线与抛物线相交；Δ=0，直线与抛物线相切；Δ＜0，直线与抛物线相离.
（2）相交弦长：弦长公式为d=21|
|k a +∆，其中a 和Δ分别是ax 2+bx+c=0（*）中二次项系数和判别式，k 为直线l:y=kx+b 的斜率.当代入消元消掉的是y 时，得到ay 2+by+c=0，此时弦长公式相应的变为：d=211||k
a +∆. （3）焦点弦：过焦点的直线割抛物线所成的相交弦为焦点弦.
设两交点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，当抛物线焦点在x 轴上时，焦点弦只和两焦点的横坐标有关： 抛物线y 2=2px(p ＞0)，|AB|=p+(x 1+x 2)；
抛物线y 2=-2px(p ＞0)，|AB|=p-(x 1+x 2).
当抛物线焦点在y 轴上时，焦点弦只和两焦点的纵坐标有关：
抛物线x 2=2py(p ＞0)，|AB|=p+(y 1+y 2)；
抛物线x 2=-2py(p ＞0)，|AB|=p-(y 1+y 2).
（4）通径：过焦点且垂直于对称轴的相交弦为通径.显然通径d=2p.
7.抛物线的法线：过抛物线上一点可以作一条切线，过切点所作垂直于切线的直线叫做抛物线在这点的法线.
经过抛物线上一点作一直线平行于抛物线的轴，那么经过这一点的法线平分这条直线和这点与焦点连线的夹角.
知识拓展 抛物线的这一性质在技术上有着广泛的应用.例如，在光学上，如果把光源放在抛物镜的焦点F 处，射出的光线经过抛物镜的反射，变成了平行光线，汽车前灯、探照灯、手电筒就是利用这个光学性质设计的.反过来，也可以把射来的平行光线集中于焦点处，太阳灶就是利用这个原理设计的.
问题·探究
问题 类比椭圆、双曲线的几何性质，你认为应讨论抛物线的哪些几何性质？结合图象请你思考y 2=2px 与x 2=2py(p>0)的范围一样吗？
探究：在前面我们学习椭圆和双曲线时都讨论了他们的范围、对称性、顶点、离心率等性质，此外双曲线还有渐进线.因此对于抛物线的性质我们也可以从这几个角度入手考虑.经过研究可以发现抛物线没有渐进线，因此我们只需要考虑它的范围、对称性、顶点、离心率等性质即可.画出y 2=2px 与x 2=2py(p>0)的图象后，我们从图象上可以看出这两个函数的范围是不一样的.
典题·热题
例1已知抛物线关于坐标轴对称，顶点为坐标原点，并且经过点M(32,3-)，请问这样的抛物线有几条？并求出其方程.
思路分析：本题考查抛物线性质及标准方程的求法.根据题目意思：抛物线关于坐标轴对称，顶点为坐标原点，此时符合条件的抛物线有4条，再由条件这条抛物线经过定点，因此其范围被缩小到2条.
解：因为抛物线关于坐标轴对称，顶点为坐标原点，所以应分两种情况：
焦点在x 轴上，可设其方程为y 2=2px(p≠0)；
焦点在y 轴上，可设其方程为x 2=2my(m≠0).
又抛物线经过点M(32,3-)，∴(32-)2=2p(3)或(3)2=2m(32-)；
∴p=32，m=43-.即所求方程为y 2=34x 或x 2=2
3-y. 故这样的抛物线共两条，一条开口向右，一条开口向下.其方程分别为y 2=34x 或x 2=2
3-y. 方法点拨 在求解抛物线方程时，若不知抛物线开口方向时，可设参数p≠0；而不知对称轴为何轴时，研究方程应分两种情形.
例2已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线22
22b
y a x -=1的一个焦点，且这条准线与
双曲线的两个焦点连线互相垂直，又抛物线与双曲线交于点(
x 6,2
3)，求抛物线和双曲线的方程. 思路分析：本题主要考查利用抛物线的性质求抛物线的标准方程以及抛物线与双曲线的综合应用.本题中抛物线的准线过双曲线的焦点即是两者之间的一个重要联系点.
解：设抛物线的方程为y 2=2px(p>0)，根据点(x 6,23)在抛物线上可得(6)2=2p·23，解之得p=2；故所求抛物线方程为y 2=4x ，抛物线准线方程为x=-1.
又双曲线的左焦点在抛物线的准线上，∴c=1，即a 2+b 2=1. 故双曲线方程为2
2
221a y a x --=1. 又点(
6,2
3)在双曲线上，∴221649a a --=1, 解得a 2=41，同时b 2=43. 因此所求双曲线的方程为4
3
412
2y x -=1. 方法归纳 用待定系数法解决问题是常用的求轨迹方程的方法；当已知双曲线的c 或e 时，设方程时，建议用一个字母(如a)表示.
例3给定抛物线y 2=2x ，设A(a ，0)(a>0)，P 是抛物线上的一点，且|PA|=d ，试求d 的最小值. 思路分析：本题考查抛物线几何性质的综合应用.抛物线上某点到定点的距离我们可以根据距离公式设出来，然后根据题给条件求最值.
解：设P(x 0，y 0)(x 0≥0)，则y 02=2x 0，
∴d=|PA|=12)]1([2)()(20202020-+-+=+-=
+-a a x x a x y a x
∵a>0，x 0≥0，
∴当0＜a ＜1时，1-a>0，此时当x 0=0时，d min =12)1(2-+-a a =a. 当a≥1时，1-a≤0，此时当x 0=a-1时，d min =12-a
. 误区警示 虽然d 的目标函数f(x 0)是根号下关于x 0的二次函数，但由于x 0和a 都有限制条件，必须分类讨论求最小值，否则会出错.
例4过抛物线y 2=2px(p>0)的焦点作倾斜角为θ的直线l ，设l 交抛物线于A 、B 两点，(1)求|AB|；(2)求|AB|的最小值.
思路分析：本题考查抛物线的焦点弦及通径问题.经过抛物线的焦点的直线方程我们可以设出来，然后联立该方程与抛物线的方程得到一个方程组，即可解得其关系.
解：(1)当θ=90°时，直线AB 的方程为x=2p .由⎪⎩
⎪⎨⎧==,2,22p x px y
得A(2p ，-p)、B(2
p ，p).∴|AB|=2p. 当θ≠90°时，直线AB 的方程为y=(x-2p )tanθ.由⎪⎩
⎪⎨⎧=-=,2,tan )2(2px y p x y θ 得tan 2θ·x 2-(2p+ptan 2θ)x+42
p ·tan 2θ=0. 设A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，则x 1+x 2=θ
θ22tan tan 2p p +， ∴|AB|=x 1+2p +x 2+2p =p+θ
θ22tan tan 2p p +=θ2sin 2p . (2)由(1)知，当θ=90°时，|AB|最小值为2p.
深化升华 求过抛物线焦点的弦长问题，一般是把弦分成两条焦半径，利用焦半径公式结合韦达定理来求，过焦点的最短弦(与对称轴垂直)是抛物线的通径.。