2020高考数学刷题首秧单元质量测试一集合与常用逻辑用语理含解析

单元质量测试(一)时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．全集U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{2，3，4}，N＝{4，5}，则∁U(M∪N)＝( ) A．{1，3，5} B．{2，4，6} C．{1，5} D．{1，6}答案 D解析∵M＝{2，3，4}，N＝{4，5}，∴M∪N＝{2，3，4，5}，则∁U(M∪N)＝{1，6}．故选D．2．(2018·合肥质检二)命题p：∀a≥0，关于x的方程x2＋ax＋1＝0有实数解，则綈p为( )A．∃a<0，关于x的方程x2＋ax＋1＝0有实数解B．∃a<0，关于x的方程x2＋ax＋1＝0没有实数解C．∃a≥0，关于x的方程x2＋ax＋1＝0没有实数解D．∃a≥0，关于x的方程x2＋ax＋1＝0有实数解答案 C解析由全称命题的否定为特称命题知，綈p为∃a≥0，关于x的方程x2＋ax＋1＝0没有实数解，故选C．3．(2019·安徽百所重点高中模拟)已知集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2∈A}，则集合A∩B 的子集的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．4答案 D解析由题意知B＝{±1，±2，±2}，则A∩B＝{1，2}，故A∩B的子集的个数为4．故选D．4．(2018·湖南六校联考)下列有关命题的说法正确的是( )A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”B．命题“若xy＝0，则x＝0”的逆否命题为真C．命题“∃x0∈R，使得x20＋x0＋1<0”的否定是“∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0”D．“m＝1”是“直线x－my＝0和直线x＋my＝0互相垂直”的充要条件答案 C解析命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，故选项A不正确；命题“若xy＝0，则x＝0”为假命题，从而其逆否命题为假命题，故选项B不正确；由特称命题的否定为全称命题可知选项C正确；“直线x－my＝0和直线x＋my＝0互相垂直”等价于m＝±1，从而选项D不正确．综上，故选C．5．(2018·河南洛阳二模)设全集U＝R，集合A＝{x|log2x≤1}，B＝{x|x2＋x－2≥0}，则A∩∁U B＝( )A．(0，1] B．(－2，2)C．(0，1) D．[－2，2]答案 C解析不等式log2x≤1即log2x≤log22，由y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，得不等式的解集为(0，2]，即A＝(0，2]．由x2＋x－2≥0，得(x＋2)(x－1)≥0，得B＝{x|x≤－2或x≥1}，所以∁U B＝(－2，1)，从而A∩∁U B＝(0，1)．故选C．6．已知命题p：有的四边形是平行四边形，则( )A．綈p：有的四边形不是平行四边形B．綈p：有的四边形是非平行四边形C．綈p：所有的四边形都是平行四边形D．綈p：所有的四边形都不是平行四边形答案 D解析命题p：有的四边形是平行四边形，其中“有的”是存在量词，所以对它的否定，应该改存在量词为全称量词“所有”，然后对结论进行否定，故有綈p：所有的四边形都不是平行四边形．故选D．7．(2019·唐山模拟)设集合A＝{x∈Z|y＝log2(9－x2)}，B＝{x|x∈N}，则A∩B中元素的个数为( )A．5 B．4 C．3 D．2答案 C解析因为集合A＝{x∈Z|y＝log2(9－x2)}，所以A＝{x∈Z|9－x2>0}＝{－2，－1，0，1，2}．又B＝{x|x∈N}，所以A∩B＝{0，1，2}，所以A∩B中的元素的个数为3．故选C．8．给出以下四个命题：①若2≤x<3，则(x－2)(x－3)≤0；②已知x，y∈R，若x＝y ＝0，则x2＋y2＝0；③若x2－3x＋2＝0，则x＝1或x＝2；④若x，y都是偶数或x，y都是奇数，则x＋y是偶数．则下列判断正确的是( )A．①的否命题为真 B．②的逆命题为假C．③的否命题为真 D．④的逆否命题为假答案 C解析因为①的否命题“若x<2或x≥3，则(x－2)(x－3)>0”不成立，所以选项A错误；因为②的逆命题“已知x，y∈R，若x2＋y2＝0，则x＝y＝0”成立，所以选项B错误；因为③的否命题“若x2－3x＋2≠0，则x≠1且x≠2”成立，所以选项C正确；因为④的原命题为真，所以它的逆否命题“若x＋y不是偶数，则x，y不都是偶数且x，y不都是奇数”必为真，故选项D 错误．综上，应选C ．9．(2018·湖南八市联考)已知数列{a n }是等差数列，m ，p ，q 为正整数，则“p ＋q ＝2m ”是“a p ＋a q ＝2a m ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 在等差数列中，对于正整数m ，p ，q ，若p ＋q ＝2m ，则a p ＋a q ＝2a m ；但对于公差为0的等差数列，由a p ＋a q ＝2a m ，不一定能推出p ＋q ＝2m ，所以“p ＋q ＝2m ”是“a p ＋a q ＝2a m ”的充分不必要条件，故选A ．10．(2018·湖南衡阳联考二)下列说法错误的是( )A ．“若x ≠2，则x 2－5x ＋6≠0”的逆否命题是“若x 2－5x ＋6＝0，则x ＝2” B ．“x >3”是“x 2－5x ＋6>0”的充分不必要条件C ．“∀x ∈R ，x 2－5x ＋6≠0”的否定是“∃x 0∈R ，x 20－5x 0＋6＝0” D ．命题“在锐角△ABC 中，sin A <cos B ”为真命题 答案 D解析 由逆否命题的定义知A 正确；由x 2－5x ＋6>0得x >3或x <2，所以“x >3”是“x2－5x ＋6>0”的充分不必要条件，故B 正确；因为全称命题的否定是特称命题，所以C 正确；锐角△ABC 中，由A ＋B >π2，得sin A >sin π2－B ＝cos B ，所以D 错误，故选D ．11．(2018·湖北武汉4月调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ，条件p ：a ≤b ＋c2，条件q ：A ≤B ＋C2，那么条件p 是条件q 成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 一方面由条件p ：a ≤b ＋c2得cos A ＝b 2＋c 2－a22bc≥b 2＋c 2－b ＋c 222bc＝3(b 2＋c 2)－2bc 8bc≥6bc －2bc 8bc ＝12(当且仅当b ＝c ＝a 时取等号)，又0<A <π，所以0<A ≤π3(当且仅当b ＝c ＝a时取等号)．另一方面由q ：A ≤B ＋C 2＝π－A2可知0<A ≤π3，从而“p ⇒q ”成立．令A ＝π3，B ＝π6，C ＝π2，b ＝t ，可得a ＝3t ，c ＝2t ，显然a ＝3t >t ＋2t 2＝b ＋c2，所以“q ⇒p ”不成立．综上，故选A ．12．(2018·广东汕头一模)已知命题p ：关于x 的方程x 2＋ax ＋1＝0没有实根；命题q ：∀x >0，2x－a >0．若“綈p ”和“p ∧q ”都是假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪(1，＋∞) B．(－2，1] C ．(1，2) D ．(1，＋∞) 答案 C解析 方程x 2＋ax ＋1＝0无实根等价于Δ＝a 2－4<0，即－2<a <2；∀x >0，2x－a >0等价于a <2x在(0，＋∞)上恒成立，即a ≤1．因“綈p ”是假命题，则p 是真命题，又因“p ∧q ”是假命题，则q 是假命题，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2<a <2，a >1，得1<a <2，所以实数a 的取值范围是(1，2)，故选C ．第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知集合A ＝{1，2，3}，B ∩A ＝{3}，B ∪A ＝{1，2，3，4，5}，则集合B ＝________． 答案 {3，4，5}解析 由题意知，3∈B ，1∉B ，2∉B ，4∈B ，5∈B ，故B ＝{3，4，5}．14．(2018·衡水金卷A 信息卷五)命题p ：若x >0，则x >a ；命题q ：若m ≤a －2，则m <sin x (x ∈R )恒成立．若p 的逆命题，q 的逆否命题都是真命题，则实数a 的取值范围是________．答案 [0，1)解析 命题p 的逆命题是若x >a ，则x >0，故a ≥0．因为命题q 的逆否命题为真命题，所以命题q 为真命题，则a －2<－1，解得a <1．则实数a 的取值范围是[0，1)．15．设函数f (x )＝a x＋b x－c x，其中c >a >0，c >b >0．记集合M ＝{(a ，b ，c )|a ，b ，c 不能构成一个三角形的三条边长，且a ＝b }，则(a ，b ，c )∈M 所对应的f (x )的零点的取值集合为________．答案 {x |0<x ≤1}解析 由题设知f (x )＝0，a ＝b ，则2a x ＝c x，即a c x ＝12．又a ＋b ≤c ，a ＝b ，∴a c ≤12，从而a c x ≤12x ，x >0，∴12≤12x，解得0<x ≤1．故所求取值集合为{x |0<x ≤1}． 16．某校高三(1)班50个学生选择选修模块课程，他们在A ，B ，C 三个模块中进行选择，且至少需要选择1个模块，具体模块选择的情况如下表：则三个模块都选择的学生人数是________．答案 6解析设三个模块都选择的学生人数为x，则各部分的人数如图所示，则有(1＋x)＋(5＋x)＋(2＋x)＋(12－x)＋(13－x)＋(11－x)＋x＝50，解得x＝6．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知集合A＝{x|2－a≤x≤2＋a}，B＝{x|x2－5x＋4≥0}．(1)当a＝3时，求A∩B，A∪(∁U B)；(2)若A∩B＝∅，求实数a的取值范围．解(1)当a＝3时，A＝{x|－1≤x≤5}，B＝{x|x2－5x＋4≥0}＝{x|x≤1或x≥4}，∁U B＝{x|1<x<4}，∴A∩B＝{x|－1≤x≤1或4≤x≤5}，A∪(∁U B)＝{x|－1≤x≤5}．(2)当a<0时，A＝∅，显然A∩B＝∅．当a≥0时，A≠∅，A＝{x|2－a≤x≤2＋a}，B＝{x|x2－5x＋4≥0}＝{x|x≤1或x≥4}．由A∩B＝∅，得{2－a>1，2＋a<4，解得0≤a<1．故实数a的取值范围是(－∞，1)．18．(2018·广东茂名五大联盟9月联考)(本小题满分12分)已知非空集合A＝{x|2a－3<x<3a＋1}，集合B＝{x|－5<x<4}．(1)若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数a的取值范围；(2)是否存在实数a，使“x∈A”是“x∈B”的充要条件？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．解(1)因为“x∈A”是“x∈B”的充分条件，所以A⊆B，又A≠∅，则{2a－3≥－5，3a＋1≤4，2a－3<3a＋1，解得－1≤a≤1．所以a∈[－1，1]．(2)若存在实数a，使“x∈A”是“x∈B”的充要条件，即A＝B，则必有{2a－3＝－5，3a＋1＝4.即{ a ＝－1，a ＝1，则方程组无解．故不存在实数a ，使“x ∈A ”是“x ∈B ”的充要条件．19．(本小题满分12分)已知全集U ＝{1，3，4，8，9}，集合A ＝{x |x 2＋2mx ＋9＝0}，求∁U A ．解 由题意，当A ＝∅时，方程x 2＋2mx ＋9＝0无实数根，此时Δ＝(2m )2－36<0，－3<m <3， 此时∁U A ＝∁U ∅＝U ＝{1，3，4，8，9}．当A ≠∅时，方程x 2＋2mx ＋9＝0的实数根x 1，x 2必须在U 内，由于x 1x 2＝9，所以只可能是以下几种情形：①当x 1＝x 2＝3时，2m ＝－6，m ＝－3， 此时A ＝{3}，∁U A ＝{1，4，8，9}；②当x 1＝1，x 2＝9或x 1＝9，x 2＝1时，2m ＝－10，m ＝－5， 此时A ＝{1，9}，∁U A ＝{3，4，8}．综上所述，当－3<m <3时，∁U A ＝{1，3，4，8，9}； 当m ＝－3时，∁U A ＝{1，4，8，9}； 当m ＝－5时，∁U A ＝{3，4，8}．20．(本小题满分12分)已知m ∈R ，设p ：∀x ∈[－1，1]，x 2－2x －4m 2＋8m －2≥0；q ：∃x 0∈[1，2]，log 12(x 20－mx 0＋1)<－1．如果“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，求实数m 的取值范围．解 若p 为真，则∀x ∈[－1，1]，4m 2－8m ≤x 2－2x －2恒成立． 设f (x )＝x 2－2x －2＝(x －1)2－3， 则f (x )在[－1，1]上的最小值为－3， 所以4m 2－8m ≤－3，解得12≤m ≤32，所以p 为真时，12≤m ≤32．若q 为真，则∃x 0∈[1，2]，x 20－mx 0＋1>2，所以m <x 20－1x 0．设g (x )＝x 2－1x ＝x －1x，易知g (x )在[1，2]上是增函数，所以g (x )的最大值为g (2)＝32，所以m <32，所以q 为真时，m <32．因为“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，所以p 与q 一真一假．当p 真q 假时，⎩⎨⎧ 12≤m ≤32，m ≥32，所以m ＝32；当p 假q 真时，⎩⎨⎧m <12或m >32，m <32，所以m <12．综上所述，实数m 的取值范围是mm <12或m ＝32．21．(2018·安徽滁州联合质量检测)(本小题满分12分)已知p ：∃x ∈(0，＋∞)，x 2－2eln x ≤m ，q ：函数y ＝x 2－2mx ＋1有两个零点．(1)若p ∨q 为假命题，求实数m 的取值范围；(2)若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数m 的取值范围． 解 若p 为真，设f (x )＝x 2－2eln x ，则f ′(x )＝2x －2e x ＝2x 2－2e x，令f ′(x )＝0，解得x ＝e ，则函数f (x )＝x 2－2eln x 在(0，e)上单调递减，在(e ，＋∞)上单调递增，故f (x )min ＝f (e)＝0，故m ≥0．若q 为真，则Δ＝4m 2－4>0，即m >1或m <－1．(1)若p ∨q 为假命题，则p ，q 均为假命题，实数m 的取值范围为[－1，0)． (2)若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则p ，q 一真一假．若p 真q 假，则实数m 满足即0≤m ≤1；若p 假q 真，则实数m 满足即m <－1．所以实数m 的取值范围为(－∞，－1)∪[0，1]．22．(本小题满分12分)已知集合M 是满足下列性质的函数f (x )的全体：在定义域D 内存在x 0，使得f (x 0＋1)＝f (x 0)＋f (1)成立．(1)函数f (x )＝1x是否属于集合M ？说明理由；(2)若函数f (x )＝kx ＋b 属于集合M ，求实数k 和b 的取值范围； (3)设函数f (x )＝lgax 2＋1属于集合M ，求实数a 的取值范围．解 (1)假设f (x )＝1x属于集合M ．若f (x )＝1x，根据题意得D ＝(－∞，0)∪(0，＋∞)，则存在非零实数x 0，使得1x 0＋1＝1x 0＋1， 即x 20＋x 0＋1＝0，因为Δ<0，此方程无实数解，所以函数f (x )＝1x∉M ．(2)D ＝R ，存在实数x 0，使得k (x 0＋1)＋b ＝kx 0＋b ＋k ＋b ， 解得b ＝0，所以实数k 和b 的取值范围是k ∈R ，b ＝0． (3)由题意，a >0，D ＝R ．存在实数x 0，使得lg a(x 0＋1)2＋1＝lg ax 20＋1＋lg a2，所以a(x 0＋1)2＋1＝a 22(x 20＋1)， 化简得(a －2)x 20＋2ax 0＋2a －2＝0． 当a ＝2时，x 0＝－12，符合题意．当a >0且a ≠2时，由Δ≥0得4a 2－8(a －2)(a －1)≥0， 化简得a 2－6a ＋4≤0，解得a ∈[3－5，2)∪(2，3＋5]．综上，实数a 的取值范围是[3－5，3＋5]．。