集合与常用逻辑用语测试题-+答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集U和集合A，B如图所示，则(∁)∩B( )
A．{5,6} B．{3,5,6}
C．{3} D．{0,4,5,6,7,8}
解析：选 A.由题意知：A＝{1,2,3}，B＝{3,5,6}，∁＝{0,4,7,8,5,6}，∴(∁)∩B＝{5,6}，故选A.
2．设集合A＝{(x，y)＋＝1}，B＝{(x，y)＝3x}，则A∩B的子集的个数是( )
A．4 B．3
C．2 D．1
解析：选A.集合A中的元素是椭圆＋＝1上的点，集合B中的元素是函数y＝3x的图象上的点．由数形结合，可知A∩B中有2个元素，因此A∩B的子集的个数为4.
3．已知M＝{－a＝0}，N＝{－1＝0}，若M∩N＝N，则实数a的值为( )
A．1 B．－1
C．1或－1 D．0或1或－1
解析：选D.由M∩N＝N得N⊆M.当a＝0时，N＝∅，满足N ⊆M；当a≠0时，M＝{a}，N＝{}，由N⊆M得＝a，解得a＝±1，故选D.
4.设集合A＝{－<1，x∈R}，B＝{1<x<5，x∈R}．若A∩B＝∅，则实数a的取值范围是( )
A．{0≤a≤6} B．{≤2，或a≥4}
C．{≤0，或a≥6} D．{2≤a≤4}
解析：选C.由集合A得：－1<x－a<1，即a－1<x<a＋1，显然集合A≠∅，若A∩B＝∅，由图可知a＋1≤1或a－1≥5，故a≤0或a≥6
5．定义集合运算：A⊙B＝{＝(x＋y)，x∈A，y∈B}，设集合A
＝{0,1}，B＝{2,3}，则集合A⊙B的所有元素之和为( ) A．0 B．6
C．12 D．18
解析：选D.当x＝0时，z＝0；当x＝1，y＝2时，z＝6；当x＝1，y＝3时，z＝12.
故集合A⊙B中的元素有如下3个：0,6,12.
所有元素之和为18.
6．下列命题中为真命题的是( )
A．命题“若x>y，则x>”的逆命题
B．命题“若x>1，则x2>1”的否命题
C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题
D．命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题
解析：选A.命题“若x>y，则x>”的逆命题是“若x>，则x>y”，无论y是正数、负数、0都成立，所以选A.
7．设全集U＝{x∈N*≤a}，集合P＝{1,2,3}，Q＝{4,5,6}，则“a∈[6,7)”是“∁＝Q”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选C.若a∈[6,7)，则U＝{1,2,3,4,5,6}，则∁＝Q；若∁＝Q，则U＝{1,2,3,4,5,6}，结合数轴可得6≤a<7，故选C
8．下列命题中，真命题是( )
A．∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋(x∈R)是偶函数
B．∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋(x∈R)是奇函数
C．∀m∈R，函数f(x)＝x2＋(x∈R)都是偶函数
D．∀m∈R，函数f(x)＝x2＋(x∈R)都是奇函数
解析：选A.对于选项A，∃m∈R，即当m＝0时，f(x)＝x2＋＝x2是偶函数．故A正确．
9．已知命题p：∀x∈R，x>，则p的否定形式为( ) A．∃x0∈R，x0<0B．∀x∈R，x≤
C．∃x0∈R，x0≤0D．∀x∈R，x<
解析：选C.命题中“∀”与“∃”相对，则¬p：∃x0∈R，x0≤0，故选C.
10．命题p：x＝π是函数y＝图象的一条对称轴；q：2π是y ＝的最小正周期，下列复合命题：①p∨q；②p∧q；③¬p；④¬q，其中真命题有( )
A．0个B．1个
C．2个D．3个
解析：选C.由于命题p是假命题，命题q是真命题，所以p ∧q为假命题，p∨q为真命题，¬p是真命题，¬q是假命题，因此①②③④中只有①③为真，故选C.
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分
11．设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈2＋＝0}，若∁＝{1,2}，则实数m ＝.
解析：∵∁＝{1,2}，
∴A＝{0,3}，
∴0,3是方程x2＋＝0的两根，
∴m＝－3.
答案：－3
12．设全集I＝{2,3，a2＋2a－3}，A＝{2，＋1|}，∁＝{5}，M ＝{＝2}，则集合M的所有子集是．
解析：∵A∪(∁)＝I，
∴{2,3，a2＋2a－3}＝{2,5，＋1|}，
∴＋1|＝3，且a2＋2a－3＝5，
解得a＝－4或a＝2.
∴M＝{22，2|－4|}＝{1,2}．
答案：∅、{1}、{2}、{1,2}
13．设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈2＋＝0}，若∁＝{1,2}，则实数m ＝.
解析：∵∁＝{1,2}，∴A＝{0,3}，
∴0,3是方程x2＋＝0的两根，
∴m＝－3.
答案：－3
14．已知集合A＝{－3＜x＜a＋3}，B＝{＜－1或x＞2}，若A ∪B＝R，则a的取值范围为．
解析：由a－3＜－1且a＋3＞2，解得－1＜a＜2.也可借助数轴来解．
答案：(－1,2)
15．已知p：x≤1，条件q：＜1，则p是¬q成立的条件．解析：¬q：0≤x≤1.
答案：必要不充分
16．若命题“2－2－3＞0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是．
解析：2－2－3≤0恒成立，当a＝0时，－3≤0成立；当a≠0时，得错误!，解得－3≤a＜0，故－3≤a≤0.
答案：[－3,0]
17．给定下列几个命题：
①“x＝”是“＝”的充分不必要条件；
②若“p∨q”为真，则“p∧q”为真；
③等底等高的三角形是全等三角形的逆命题．
其中为真命题的是．(填上所有正确命题的序号)
解析：①中，若x＝，则＝，
但＝时，x＝＋2kπ或＋2kπ(k∈Z)．
故“x＝”是“＝”的充分不必要条件，
故①为真命题；
②中，令p为假命题，q为真命题，
有“p∨q”为真命题，
而“p∧q”为假命题，
故②为假命题；
③为真命题．
答案：①③
三、解答题：本大题共5小题，共65分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答
18．设全集U＝R，A＝{2x－10≥0}，B＝{2－5x≤0，且x≠5}．求
(1)∁U(A∪B)；
(2)(∁)∩(∁)．
解：A＝{≥5}，B＝{0≤x＜5}．
(1)A∪B＝{≥0}，于是∁U(A∪B)＝{＜0}．
(2)∁＝{＜5}，∁＝{＜0或x≥5}，
于是(∁)∩(∁)＝{＜0}．
19．已知集合A＝{2－2x－3≤0，x∈R}，B＝{2－2＋m2－4≤0，x ∈R}．
(1)若A∩B＝[1,3]，求实数m的值；
(2)若A⊆∁，求实数m的取值范围．
解：A＝{－1≤x≤3}，
B＝{－2≤x≤m＋2}．
(1)∵A∩B＝[1,3]，
∴错误!，得m＝3.
(2)∁＝{<m－2或x>m＋2}．
∵A⊆∁，∴m－2>3或m＋2<－1.
∴m>5或m<－3.
20．已知集合A＝{2－2x－3≤0，x∈R}，B＝{2－2＋m2－4≤0，x ∈R}．
(1)若A∩B＝[1,3]，求实数m的值；
(2)若A⊆∁，求实数m的取值范围．
解：A＝{－1≤x≤3}，B＝{－2≤x≤m＋2}．
(1)∵A∩B＝[1,3]，
∴错误!，得m＝3.
(2)∁＝{<m－2或x>m＋2}．
∵A⊆∁，
∴m－2>3或m＋2<－1.
∴m>5或m<－3.
21．已知集合A＝，B＝{＋m2≥1}．命题p：x∈A，命题q：x∈B，并且命题p是命题q的充分条件，求实数m的取值范围．解：化简集合A，
由y＝x2－x＋1，
配方，得y＝2＋.
∵x∈，
∴＝，＝2.
∴y∈.
∴A＝.
化简集合B，由x＋m2≥1，
得x≥1－m2，B＝{≥1－m2}．
∵命题p是命题q的充分条件，
∴A⊆B.
∴1－m2≤，解得m≥，或m≤－.
∴实数m的取值范围是∪.
22．已知a＞0，设命题p：函数y＝在R上单调递减，q：设函数y＝错误!，函数y＞1恒成立，若p∧q为假，p∨q为真，求a的取值范围．
解：若p是真命题，则0＜a＜1，
若q是真命题，则函数y＞1恒成立，
即函数y的最小值大于1，而函数y的最小值大于1，最小值为2a，只需2a＞1，
∴a＞，
∴q为真命题时，a＞.
又∵p∨q为真，p∧q为假，
∴p与q一真一假，
若p真q假，则0＜a≤；
若p假q真，则a≥1，
故a的取值范围为0＜a≤或a≥1。