轴对称全章练习
2022-2023学年北师大版数学七年级下册第五章生活中的轴对称 章节练习
试卷第1页，共6页 第五章生活中的轴对称 章节练习 北师大版数学七年级下册一、单选题1．图1是光的反射规律示意图．其中，PO 是入射光线，OQ 是反射光线，法线KO ⊥MN ，∠POK 是入射角，∠KOQ 是反射角，∠KOQ ＝∠POK ．图2中，光线自点P 射入，经镜面EF 反射后经过的点是( )A ．A 点B ．B 点C ．C 点D ．D 点 2．如图，若△ABC 与111A B C △关于直线MN 对称，1BB 交MN 于点O ，则下列说法不一定正确的是（ ）A ．11AC A C =B ．1BO B O =C ．1CC MN ⊥D ．11AB B C ∥3．下面由北京冬奥会比赛项目图标组成的四个图形中，可看作轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．下列图形中，是轴对称图形的是（ ）试卷第2页，共6页A ．B ．C ．D ．6．北京2022年冬奥会会徽如图所示，组成会徽的四个图案中是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．7．下列四幅照片中，主体建筑的构图不对称的是（ ）A ．B ．C ．D ．8．下列润滑油1ogo 标志图标中，不是．．轴对称图形的是（ ） A ． B ． C ． D ．9．如图是以正方形的边长为直径，在正方形内画半圆得到的图形，则此图形的对称轴有（ ）A ．2条B ．4条C ．6条D ．8条10．冬季奥林匹克运动会是世界上规模最大的冬季综合性运动会，下列四个图是历届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的为（ ）试卷第3页，共6页 A ． B ． C ．D ．11．如图，在由小正方形组成的网格图中再涂黑一个小正方形，使它与原来涂黑的小正方形组成的新图案为轴对称图形，则涂法有（ ）A ．1种B ．2种C ．3种D ．4种12．下列体现中国传统文化的图片中，是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．如图，将一张宽度相等的纸条折叠，折叠后的一边与原边的夹角是140°，则a 的度数是______．14．如图，在3×3的正方形网格中有两个小正方形被涂黑，再将图中其余小正方形任意一个涂黑，使得整个图形构成一个轴对称图形，那么涂法共有________种．试卷第4页，共6页15．小明将一张正方形纸片按如图所示顺序折叠成纸飞机，当机翼展开在同一平面时(机翼间无缝隙)，AOB ∠的度数是________.16．如图，图1是长方形纸带，将纸带沿EF 折叠成图2，再沿BF 折叠成图3，若图3中108CFE ∠=︒，则图1中的DEF ∠的度数是______．三、解答题17．请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹．（1）如图△，四边形ABCD 中，AB=AD ，∠B=∠D ，画出四边形ABCD 的对称轴m ；（2）如图△，四边形ABCD 中，AD△BC ，∠A=∠D ，画出边BC 的垂直平分线n ．18．如图，△ABC 中，△ABC 与△ACB 的外角的平分线相交于点E ，且△A =60°．试卷第5页，共6页(1)△若△ABC =40°，则△E =________；△若△ABC =100°，则△E =________．(2)嘉嘉说△E 的大小与△B 的度数无关，你认为他说得对吗？请说明理由．19．如图，△ABC 和△ADE 关于直线MN 对称，BC 与DE 的交点F 在直线MN 上．(1)图中点C 的对应点是点 ，△B 的对应角是 ；(2)若DE ＝5，BF ＝2，则CF 的长为 ；(3)若△BAC ＝108°，△BAE ＝30°，求△EAF 的度数．20．已知长方形纸片ABCD ， E 、F 分别是AD 、AB 上的一点，点I 在射线BC 上、连接EF 、FI ，将A ∠沿EF 所在的直线对折，点A 落在点H 处，B ∠沿FI 所在的直线对折，点B 落在点G 处．(1)如图1，当HF 与GF 重合时，则EFI ∠=_________°；(2)如图2，当重叠角30HFG ∠=︒时，求EFI ∠的度数；(3)如图3，当GFI EFH αβ∠=∠=，时，GFI ∠绕点F 进行逆时针旋转，且GFI ∠总有试卷第6页，共6页一条边在EFH ∠内，PF 是GFH ∠的角平分线，QF 是EFI ∠的角平分线，旋转过程中求PFQ ∠的度数（用含α，β的式子表示）．答案第1页，共1页参考答案：1．B2．D3．D4．C5．B6．D7．B8．C9．B10．A11．C12．B13．70°##70度14．515．45°16．24°##24度17．（1）见解析；（2）见解析；18．(1)△30°；△30°(2)嘉嘉说得对，理由见解析19．(1)E ，△D(2)3(3)△EAF ＝39°20．(1)90︒；(2)75EFI ∠=︒； (3)2αβ-．答案第2页，共1页。
人教版八年级数学上册第13章《轴对称》单元练习题(含答案)
人教版八年级数学上册第13章《轴对称》单元练习题（含答案）一、单选题1．下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 2．在平面直角坐标系中，点(3,2)关于x 轴对称的点的坐标为（ ）A ．(3,2)-B ．(2,3)-C ．(2,3)-D ．(3,2)-3．下列黑体字中，属于轴对称图形的是（ ）A ．善B ．勤C ．健D ．朴4．如图，在已知的ABC 中，按以下步骤作图：①分别以B ，C 为圆心，以大于12BC 的长为半径作弧，两弧相交于两点M ，N ； ②作直线MN 交AB 于点D ，连接CD ．若4AC =，10AB =，则ACD 的周长为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．145．图1是光的反射规律示意图．其中，PO 是入射光线，OQ 是反射光线，法线KO ⊥MN ，∠POK 是入射角，∠KOQ 是反射角，∠KOQ ＝∠POK ．图2中，光线自点P 射入，经镜面EF 反射后经过的点是( )A ．A 点B ．B 点C ．C 点D ．D 点6．如图，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D ，C 分别落在D ′，C ′的位置．若∠AED '＝50°，则∠EFC 等于( )A ．65°B ．110°C ．115°D ．130°7．如图，在ABC 中，分别以点B 和点C 为圆心，大于12BC 长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ．作直线MN ，交AC 于点D ，交BC 于点E ，连接BD ．若7AB =，12AC =，6BC =，则ABD △的周长为（ ）A ．25B ．22C ．19D ．188．如图，在ABC 中，AB AC =，40A ︒∠=，//CD AB ，则BCD ∠=（ ）A ．40︒B ．50︒C ．60︒D ．70︒9．如图是A ，B ，C 三岛的平面图，C 岛在A 岛的北偏东35度方向，B 岛在A 岛的北偏东80度方向，C 岛在B 岛的北偏西55度方向，则A ，B ，C 三岛组成一个（ ）A ．等腰直角三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等边三角形10．如图，在等边ABC 中，BC 边上的高6AD =，E 是高AD 上的一个动点，F 是边AB 的中点，在点E 运动的过程中，EB EF +存在最小值，则这个最小值是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．811．如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，∠BAF =∠CAG =90°，AB =AF ，AC =AG ，连接FG ，交DA 的延长线于点E ，连接BG ，CF ， 则下列结论：①BG =CF ；②BG ⊥CF ；③∠EAF =∠ABC ；④EF =EG ，其中正确的有（ ）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．①②③④ 12．如图，在ABC 中，45,ABC AD BE ∠=︒,分别为,BC AC 边上的高，,AD BE 相交于点F ，连接CF ，则下列结论：①BF AC =；②FCD DAC ∠=∠；③CF AB ⊥；④若2BF EC =，则FDC △周长等于AB 的长．其中正确的有（ ）A ．①②B ．①③④C ．①③D ．②③④二、填空题13．已知△ABC 是等腰三角形．若∠A =40°，则△ABC 的顶角度数是____．14．如图，,AC BD 在AB 的同侧，2,8,8AC BD AB ===，点M 为AB 的中点，若120CMD ∠=，则CD 的最大值是_____．15．如图，△ABC 的边CB 关于CA 的对称线段是CB '，边CA 关于CB 的对称线段是CA '，连结BB '，若点A '落在BB '所在的直线上，∠ABB '＝56°，则∠ACB ＝___度．16．如图，在ABC 中，BC 的垂直平分线分别交BC 、AB 于点E 、F ．若AFC △是等边三角形，则B ∠=_________°．17．如图，在等边△ABC 中，点E 是边AC 上一点，AD 为BC 边上的中线，AD 、BE 相交于点F ，若∠AEB ＝100°，则∠AFB 的度数为_____．18．如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，20B ∠=︒，PQ 垂直平分AB ，垂足为Q ，交BC 于点P ．按以下步骤作图：①以点A 为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边,AC AB 于点D ，E ；②分别以点D ，E 为圆心，以大于12DE 的长为半径作弧，两弧相交于点F ；⑤作射线AF ．若AF 与PQ 的夹角为α，则α=________°．三、解答题19．已知ABC 的三边长分别为a ，b ，c ．（1）若2a =，3b =，求c 的取值范围；（2）在（1）的条件下，若c 为奇数，试判断ABC 的形状，并说明理由．20．如图，在ABC 和ADE 中，AB AC =，AD AE =，90BAC DAE ∠=∠=︒．(1)当点D 在AC 上时，如图①，线段BD ，CE 有怎样的数量关系和位置关系？请证明你的猜想；(2)将图①中的ADE 绕点A 顺时针旋转()090αα︒<<︒，如图②，线段BD ，CE 有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．(3)拓展应用：已知等边ABC 和等边ADE 如图③所示，求线段BD 的延长线和线段CE 所夹锐角的度数．21．如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，E 为CD 的中点，连接AE 、BE ，BE AE ⊥，延长AE 交BC 的延长线于点F ．(1)请判断FC 与AD 的数量关系，并说明理由；(2)若AB ＝6，AD ＝2，求BC 的长度．22．已知△ABC 和△DEF 为等腰三角形，AB ＝AC ，DE ＝DF ，∠BAC ＝∠EDF ，点E 在AB 上，点F 在射线AC 上．(1)如图1，若∠BAC ＝60°，点F 与点C 重合，求证：AF ＝AE +AD ；(2)如图2，若AD ＝AB ，求证：AF ＝AE +BC ．23．（1）如图1，在等边三角形ABC 中，AD ⊥BC 于D ，CE ⊥AB 于E ，AD 与CE 相交于点O ．求证：OA =2DO ；（2）如图2，若点G 是线段AD 上一点，CG 平分∠BCE ，∠BGF =60°，GF 交CE 所在直线于点F ．求证：GB =GF ．（3）如图3，若点G 是线段OA 上一点（不与点O 重合），连接BG ，在BG 下方作∠BGF =60°边GF 交CE 所在直线于点F ．猜想：OG 、OF 、OA 三条线段之间的数量关系，并证明．24．如图，在ABC 中，AD BC ⊥,AD BD =；点F 在AD 上，DF DC =．连接BF 并延长交AC 于E ．（1）求证：BF AC =；（2）求证：BE AC ⊥；（3）若AB BC =，BF 与AE 有什么数量关系？请说明理由．25．如图，在Rt ABC 中，9030C A ∠=︒∠=︒，．点D 是AB 中点，点E 为边AC 上一点，连接CD DE ，，以DE 为边在DE 的左侧作等边三角形DEF ，连接BF ．△的形状为______；（1）BCD（2）随着点E位置的变化，DBF∠的度数是否变化？并结合图说明你的理由；AC=，请直接写出DE的长．（3）当点F落在边AC上时，若626．在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF．(1)求证：△ABE≌△CBF；(2)若∠CAE=30°，求∠ACF度数．27．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D，E.(1)求证:AE=2CE;(2)连接CD，请判断△BCD的形状，并说明理由.28．已知，如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD、BE相交于点P．(1)求证：△ABE≌△CAD；(2)求∠BPQ的度数；(3)若BQ⊥AD于Q，PQ＝6，PE＝2，求AD的长。
人教版初中八年级数学上册第十三章《轴对称》经典习题(含答案解析)
一、选择题1．已知一个等腰三角形两个内角度数之比为1：4，则这个等腰三角形顶角度数为（ ） A ．75°B ．90°C ．105°D ．120°或20°D 解析：D【分析】设两内角的度数为x 、4x ，分两种情况，列出方程，即可求解．【详解】解：设两内角的度数为x 、4x ，当等腰三角形的顶角为x 时，x ＋4x ＋4x ＝180°，x ＝20°；当等腰三角形的顶角为4x 时，4x ＋x ＋x ＝180°，x ＝30°，4x ＝120°；因此等腰三角形的顶角度数为20°或120°．故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，掌握分类讨论思想方法是解题的关键．2．如图所示，已知ABC 和DCE 均是等边三角形，点B 、C 、E 在同一条直线上，连接AE 、BD 、FG ，AE 与BD 交于点O ，AE 与CD 交于点G ，AC 与BD 交于点F ，则下列结论中：①AE BD =； ②AG BF =； ③FG//BE ； ④CF CG =，以上结论正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个D解析：D【分析】 首先根据等边三角形性质得出BC=AC ，CD=CE ，∠ACB=∠ECD=60°，即可证明△BCD 与△ACE 全等、△BCF 与△ACG 全等以及△DFC 与△EGC 全等，最后利用全等三角形性质以及等边三角形性质证明即可．【详解】∵△ABC 与△CDE 为等边三角形，∴BC=AC ，CD=CE ，∠ACB=∠ECD=60°，∴∠ACB+∠ACD=∠ACD+∠ECD ，∠ACD=60°，即：∠ACE=∠BCD ，在△BCD 与△ACE 中，∵BC=AC ，∠ACE=∠BCD ，CD=CE ，∴△BCD ≌△ACE(SAS)，∴AE=BD ，即①正确；在△BCF 与△ACG 中，由①可知∠CBF=∠CAG ，又∵AC=BC ，∠BCF=∠ACG=60°，∴△BCF ≌△ACG(ASA)，∴AG=BF ，即②正确；在△DFC 与△EGC 中，∵△BCF ≌△ACG ，∴CF=CG ．即④正确；∵∠GCF =60°，∴△CFG 为等边三角形，∴∠CFG=∠FCB=60°，∴FG ∥BE ，即③正确；综上，①②③④都正确．故选：D ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及平行线的判定，解题的关键是正确寻找全等三角形来解决问题，．3．已知点A 的坐标为()1,3，点B 的坐标为()2,1，将线段AB 沿坐标轴翻折180°后，若点A 的对应点A '的坐标为()1,3-，则点B 的对应点B '的坐标为（ ）A ．()2,2B ．(2,1)-C ．()2,1-D ．(2,1)-- C解析：C【分析】根据点A ，点A'坐标可得点A ，点A'关于y 轴对称，即可求点B'坐标．【详解】解：∵将线段AB 沿坐标轴翻折后，点A （1，3）的对应点A′的坐标为（-1，3）， ∴线段AB 沿y 轴翻折，∴点B 关于y 轴对称点B'坐标为（-2，1）故选：C ．【点睛】本题考查了翻折变换，坐标与图形变化，熟练掌握关于y 轴对称的两点纵坐标相等，横坐标互为相反数是关键．4．等腰三角形的一个内角是50度，它的一腰上的高与底边的夹角是（ ）度A ．25或60B ．40或60C ．25或40D ．40C解析：C【分析】当顶角为50°时和底角为50°两种情况进行求解．【详解】当顶角为50°时，底角为：（180°−50°）÷2＝65°．此时它的一条腰上的高与底边的夹角为：90°−65°＝25°．当底角为50°时，此时它的一条腰上的高与底边的夹角为：90°−50°＝40°．故选：C ．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，等腰三角形中两个底角相等．同时考查了分类讨论的思想． 5．如图所示，D 为 BC 上一点，且 AB ＝AC ＝BD ，则图中∠1 与∠2 的关系是（ ）A ．∠1＝2∠2B ．∠1+∠2＝180°C ．∠1+3∠2＝180°D ．3∠2﹣∠1＝180°D 解析：D【分析】根据三角形外角的性质得12C ∠+∠=∠，再根据等腰三角形的性质得B C ∠=∠，2BAD ∠=∠，由180BAC B C ∠+∠+∠=︒即可得出1∠与2∠的关系．【详解】解：∵2∠是ACD △的外角，∴12C ∠+∠=∠，∴∠C=∠2-∠1，∵AB AC =，∴B C ∠=∠，∵AB BD =，∴2BAD ∠=∠，∴112BAC BAD ∠=∠+∠=∠+∠，∵180BAC B C ∠+∠+∠=︒，∴122121180∠+∠+∠-∠+∠-∠=︒，即321180∠-∠=︒．故选：D ．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是利用等腰三角形的性质得到相等的角． 6．如图，C 是线段AB 上的一点，ACD △和BCE 都是等边三角形，AE 交CD 于M ，BD 交CE 于N ，交AE 于O ，则①DB AE =；②AMC DNC ∠=∠；③60AOB ∠=︒；④DN AM =；⑤CMN △是等边三角形．其中，正确的有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个C解析：C【分析】 易证△ACE ≌△DCB ，可得①正确；即可求得∠AOB ＝120°，可得③错误；再证明△ACM ≌△DCN ，可得②④正确和CM ＝CN ，即可证明⑤正确；即可解题．【详解】解：∵ACD △和BCE 都是等边三角形∵∠ACD ＝∠BCE ＝60°，∴∠DCE ＝60°，在△ACE 和△DCB 中，AC DC ACE DCB CB CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACE ≌△DCB （SAS ），∴∠BDC ＝∠EAC ，DB ＝AE ，①正确；∠CBD ＝∠AEC ，∵∠AOB ＝180°−∠OAB−∠DBC ，∴∠AOB ＝180°−∠AEC−∠OAB ＝120°，③错误；在△ACM 和△DCN 中，60BDC EAC DC ACACD DCN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ∴△ACM ≌△DCN （ASA ），∴AM ＝DN ，④正确；∠AMC ＝∠DNC ，②正确；CM ＝CN ，∵∠ACD ＝∠BCE ＝60°，∴∠MCN ＝180°-∠ACD-∠BCE =60°，∴△CMN 是等边三角形，⑤正确；故有①②④⑤正确．故选：C ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△ACE ≌△DCB 和△ACM ≌△DCN 是解题的关键．7．北京有许多高校，下面四所高校校徽主体图案是轴对称图形的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个B解析：B【分析】 根据轴对称图形的概念对各图案逐一进行判断即可得答案．【详解】第一个图案是轴对称图形，第二个图案不是轴对称图形，第三个图案是轴对称图形，第四个图案不是轴对称图形，综上所述：是轴对称图形的图案有2个，故选：B ．【点睛】本题考查轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形沿对称轴折叠，对称轴两边的图形能够完全重合；熟练掌握轴对称图形的定义是解题关键．8．如图，已知等腰三角形ABC 中，AB AC =，15DBC ∠=︒，分别以A 、B 两点为圆心，以大于12AB 的长为半径画圆弧，两弧分别交于点E 、F ，直线EF 与AC 相交于点D ，则A ∠的度数是（ ）A ．50°B ．60°C ．75°D ．45°A解析：A【分析】 根据中垂线的性质可得DA=DB ，设∠A=x ，则∠ABD=x ，结合等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，列出方程，即可求解．【详解】又作图可知：EF 是AB 的垂直平分线，∴DA=DB ，∴∠A=∠ABD ，设∠A=x ，则∠ABD=x ，∵15DBC ∠=︒，∴∠ABC=x+15°，∵AB=AC ，∴∠C=∠ABC=x+15°，∴2(x+15°)+x=180°，∴x=50°，故选A ．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，中垂线的性质以及三角形内角和定理，掌握中垂线的性质定理以及方程思想，是解题的关键．9．如图，在锐角ABC 中，AB AC =，D ，E 是ABC 内的两点，AD 平分BAC ∠，60EBC E ∠=∠=，若6BE cm =，2DE cm =，则BC 的长度是（ ）A ．6cmB ．6.5cmC ．7cmD ．8cm D解析：D【分析】延长ED 交BC 于点M ，延长AD 交BC 于点N ，过点D 作//DF BC 交BE 于点F ，根据等腰三角形的性质得出AN BC ⊥，BN CN =，根据60EBC E ∠=∠=，得出EBM △是等边三角形，进而得到6EB EM BM cm ===，通过//DF BC ，证明EFD △是等边三角形，进而得到2EF FD ED cm ===，所以求出4DM cm =，根据直角三角形的性质得到MN 的长度，从而得出BN 的长度，最后求出BC 的长度．【详解】延长ED 交BC 于点M ，延长AD 交BC 于点N ，过点D 作//DF BC 交BE 于点F ，如图，AB AC =，AD 平分BAC ∠，∴AN BC ⊥，BN CN =，∴90ANB ANC ∠=∠=，60EBC E ∠=∠=，∴EBM △是等边三角形，6BE cm =，∴6EB EM BM cm ===，//DF BC ，∴60EFD EBM ∠=∠=，∴EFD △是等边三角形，2DE cm =，∴2EF FD ED cm ===，∴4DM cm =，EBM △是等边三角形，∴60EMB ∠=，∴30NDM ∠=，∴2NM cm =，∴4BN BM NM cm =-=，∴28BC BN cm ==．故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和等边三角形的性质，直角三角形中30角所对的直角边是斜边长的一半，求出MN 的长度是解决问题的关键．10．等腰三角形腰上的高与另一腰的夹角为30，则底角度数是（ ）A ．30B ．60︒C ．40︒或50︒D ．30或60︒D解析：D【分析】由三角形的高可在三角形的内部，也可在三角形的外部，所以分锐角三角形和钝角三角形两种情况作出符合题意的图形，再结合等腰三角形的性质与三角形的内角和定理求解即可．【详解】解：如图，分两种情况：①如图，当三角形的高在三角形的内部时，AB=AC ，BD ⊥AC ，∠ABD=30°，∴∠A=60°，∴∠C=∠ABC=1802A ︒-∠ =60°； ②如图，当三角形的高在三角形的外部时，AB=AC ，BD ⊥AC ，∠ABD=30°， ∴∠DAB=60°，∠BAC=120°，∴∠C=∠ABC=180302BAC ︒-∠=︒． 故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和直角三角形的两锐角互余，三角形的内角和定理的应用，三角形的高的含义，分类讨论的数学思想，掌握分类讨论解决问题是解题的关键． 二、填空题11．如图，在平面直角坐标系中，直线l 与x 轴交于点1B ，与y 轴交点于D ，且111,60OB ODB =∠=︒，以1OB 为边长作等边三角形11AOB ，过点1A 作12A B 平行于x 轴，交直线l 于点2B ，以12A B 为边长作等边三角形212A A B ，过点2A 作23A B 平行于x 轴，交直线l 于点3B ，以23A B 为边长作等边三角形323A A B ，…，按此规律进行下去，则点6A 的横坐标是______．5【分析】过A1作A1A⊥OB1于A过A2作A2B⊥A1B2于B过A3作A3C⊥A2B3于C根据等边三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质分别求得A1的横坐标为A2的横坐标为A3的横坐标为进而解析：5【分析】过A1作A1A⊥OB1于A，过A2作A2B⊥A1B2于B，过A3作A3C⊥A2B3于C，根据等边三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质，分别求得A1的横坐标为1212-，，A2的横坐标为2212-，A3的横坐标为3212-，进而得到A n的横坐标为212n-，据此可得点A6的横坐标．【详解】解：如图所示,过A1作A1A⊥OB1于A,则OA=12OB1=12，即A1的横坐标为12=1212-，∵160ODB∠=°，∴∠OB1D=30°，∵A 1B 2//x 轴，∴∠A 1B 2B 1=∠OB 1D =30°，∠B 2A 1B 1=∠A 1B 1O =60°，∴∠A 1B 1B 2=90°，∴A 1B 2=2A 1B 1=2，过A 2作A 2B ⊥A 1B 2于B ,则A 1B =12A 1B 2=1， 即A 2的横坐标为12+1=2212-， 过A 3作A 3C ⊥A 2B 3于C ，同理可得,A 2B 3=2A 2B 2=4,A 2C =12A 2B 3=2， 即A 3的横坐标为12+1+2=3212-， 同理可得,A 4的横坐标为12+1+2+4=4212-， 由此可得,A n 的横坐标为212n -， ∴点A 6的横坐标是62163==31.522-， 故答案为31.5．【点睛】本题是一道找规律问题，涉及到等边三角形的性质、含30度角的直角三角形，解题的关键要利用等边三角形的性质总结出关于点A 的系列点的规律．12．如图，在ABC ∆中，CD 平分,ACB ∠点,E F 分别是,CD AC 上的动点．若6,12,ABC BC S ∆==则AE EF +的最小值是______________．【分析】作A 关于CD 的对称点H 由CD 是△ABC 的角平分线得到点H 一定在BC 上过H 作HF ⊥AC 于F 交CD 于E 连接AE 则此时AE ＋EF 的值最小AE ＋EF 的最小值＝HF 过A 作AG ⊥BC 于G 根据垂直平分线的解析：4【分析】作A 关于CD 的对称点H ，由CD 是△ABC 的角平分线，得到点H 一定在BC 上，过H 作HF ⊥AC 于F ，交CD 于E ，连接AE ，则此时，AE ＋EF 的值最小，AE ＋EF 的最小值＝HF ，过A 作AG ⊥BC 于G ，根据垂直平分线的性质和三角形的面积即可得到结论．【详解】作A 关于CD 的对称点H ，∵CD 是△ABC 的角平分线，∴点H 一定在BC 上，过H 作HF ⊥AC 于F ，交CD 于E ，连接AE ，则此时，AE ＋EF 的值最小，AE ＋EF 的最小值＝HF ，过A 作AG ⊥BC 于G ，∵△ABC 的面积为12，BC 长为6，∴AG ＝4，∵CD 垂直平分AH ，∴AC ＝CH ，∴S △ACH ＝12AC•HF ＝12CH•AG ， ∴HF ＝AG ＝4，∴AE ＋EF 的最小值是4，故答案是：4．【点睛】本题考查了轴对称−最短路线问题，解题的关键是正确的作出对称点和利用垂直平分线的性质证明AE ＋EF 的最小值为三角形某一边上的高线．13．如图，在ABC ∆中，31C ∠=︒，ABC ∠的平分线BD 交AC 于点D ，如果DE 垂直平分BC ，那么A ∠的度数为_______．【分析】根据垂直平分线和角平分线的性质求解即可；【详解】∵垂直平分∴∴∵∴∴∵BD 平分∴∴故答案是【点睛】本题主要考查了垂直平分线和角平分线的性质结合三角形外角性质和三角形内角和定理计算是关键解析：87︒【分析】根据垂直平分线和角平分线的性质求解即可；【详解】∵DE 垂直平分BC ，∴DB DC =，∴∠=∠DBC C ，∵31C ∠=︒，∴31DBC ∠=︒，∴62ADB C DBC ∠=∠+∠=︒，∵BD 平分ABC ∠，∴31ABD DBC ∠=∠=︒，∴180623187A ∠=︒-︒-︒=︒．故答案是87︒．【点睛】本题主要考查了垂直平分线和角平分线的性质，结合三角形外角性质和三角形内角和定理计算是关键．14．如图，在ABC 中，D 是BC 上一点，,105AC AD DB BAC ==∠=︒，则B ∠=________°．25【分析】设∠ADC ＝α然后根据AC ＝AD ＝DB ∠BAC ＝105°表示出∠B 和∠BAD 的度数最后根据三角形的内角和定理求出∠ADC 的度数进而求得∠B 的度数即可【详解】解：∵AC ＝AD ＝DB ∴∠B ＝ 解析：25【分析】设∠ADC ＝α，然后根据AC ＝AD ＝DB ，∠BAC ＝105°，表示出∠B 和∠BAD 的度数，最后根据三角形的内角和定理求出∠ADC 的度数，进而求得∠B 的度数即可．【详解】解：∵AC ＝AD ＝DB ，∴∠B ＝∠BAD ，∠ADC ＝∠C ，设∠ADC ＝α，∴∠B ＝∠BAD ＝2α ， ∵∠BAC ＝105°，∴∠DAC ＝105°﹣2α， 在△ADC 中， ∵∠ADC +∠C +∠DAC ＝180°，∴2α+105°﹣2α＝180°， 解得：α＝50°，∴∠B ＝∠BAD ＝2α＝25°， 故答案为：25．【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质：①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两个底角相等，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．15．若一条长为24cm 的细线能围成一边长等于6cm 的等腰三角形，则该等腰三角形的腰长为__________cm ．【分析】分两种情况根据等腰三角形的性质及三角形的三边关系解答【详解】分两种情况：当6cm 的边为腰时底边长=24-6-6=12（cm ）∵6+6=12故不能构成三角形；当6cm 的边为底边时腰长=（cm ）解析：9【分析】分两种情况，根据等腰三角形的性质及三角形的三边关系解答．【详解】分两种情况：当6cm 的边为腰时，底边长=24-6-6=12（cm ），∵6+6=12，故不能构成三角形； 当6cm 的边为底边时，腰长=1(246)92⨯-=（cm ），由于6+9>9，故能构成三角形， 故答案为：9．【点睛】此题考查等腰三角形的性质：两腰相等，依据三角形三边关系，解题中运用分类思想解答．16．若点P(x-y ，y)与点Q(-1，-5)关于x 轴对称，则x+y=______．9【分析】根据关于x 轴对称的点横坐标相同纵坐标互为相反数可得答案【详解】由点P （x-yy ）与点Q （-1-5）关于x 轴对称得x-y ＝-1y ＝5解得x ＝4y ＝5x+y=4+5=9故答案为：9【点睛】本题解析：9【分析】根据关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得答案．【详解】由点P （x-y ，y ）与点Q （-1，-5）关于x 轴对称，得x-y ＝-1，y ＝5．解得x ＝4，y ＝5，x+y=4+5=9，故答案为：9【点睛】本题考查了关于x 轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．17．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D，O是网格线交点，那么∠___________CODAOB∠（填“＞”，“＜”或“＝”）．>【分析】如图过点B作BE⊥AC于E证明△BOE是等腰直角三角形得到∠BOE=过点C作CF⊥OC使FC=OC证明△OCF是等腰直角三角形得到∠FOC=由图知∠FOC>∠COD即可得到∠AOB>∠CO解析：>【分析】如图，过点B作BE⊥AC于E，证明△BOE是等腰直角三角形，得到∠BOE=45︒，过点C 作CF⊥OC，使FC=OC，证明△OCF是等腰直角三角形，得到∠FOC=45︒，由图知∠FOC>∠COD，即可得到∠AOB>∠COD．【详解】如图，过点B作BE⊥AC于E，∵OB=OE=2，∠BEO=90︒，∴△BOE是等腰直角三角形，∴∠BOE=45︒，过点C作CF⊥OC，使FC=OC，∴∠FCO=90︒，∴△OCF是等腰直角三角形，∴∠FOC=45︒，由图知∠FOC>∠COD，∴∠AOB>∠COD，故答案为：>．．【点睛】此题考查等腰直角三角形的判定及性质,角的大小比较，根据图形确定角的位置关系是解题的关键．18．如图，∠AOB＝45°，OC平分∠AOB，点M为OB上一定点，P为OC上的一动点，N 为OB上一动点，当PM＋PN最小时，则∠PMO的度数为___________．45°【分析】找到点M 关于OC 对称点M′过点M′作M′N ⊥OB 于点N 交OC 于点P 则此时PM+PN 的值最小再根据角平分线的性质及三角形内角和即可得出答案【详解】解：如图找到点M 关于OC 对称点M′过点M解析：45°【分析】找到点M 关于OC 对称点M′，过点M′作M′N ⊥OB 于点N ，交OC 于点P ，则此时PM+PN 的值最小，再根据角平分线的性质及三角形内角和即可得出答案．【详解】解：如图，找到点M 关于OC 对称点M′，过点M′作M′N ⊥OB 于点N ，交OC 于点P ，则此时PM+PN 的值最小．∵PM=PM′，∴此时PM+PN=PM′+PN′=M′N′，∵点M 与点M′关于OC 对称，OC 平分∠AOB ，∴OM=OM′，∵∠AOB=45°，∴∠PM'O=∠AOB=45°，∴∠PMO=∠PM'O=45°，故答案为：45°．【点睛】本题考查了利用轴对称的知识寻找最短路径的知识，涉及到两点之间线段最短、垂线段最短的知识，有一定难度，正确确定点P 及点N 的位置是关键．19．如图，25AOB ∠=︒，点M ，N 分别是边OA ，OB 上的定点，点P ，Q 分别是边OB ，OA 上的动点，记MPQ α∠=，PQN β∠=，当MP PQ QN ++的值最小时，βα-的大小=__________（度）．50【分析】作M 关于OB 的对称点N 关于OA 的对称点连接交OB 于点P 交OA 于点Q 连接MPQN 可知此时最小此时再根据三角形外角的性质和平角的定义即可得出结论【详解】作M 关于OB 的对称点N 关于OA 的对称点解析：50【分析】作M 关于OB 的对称点M '，N 关于OA 的对称点N '，连接M N ''，交OB 于点P ，交OA 于点Q ，连接MP ，QN ，可知此时MP PQ QN ++最小，此时OPM OPM NPQ OQP AQN AQN ''∠=∠=∠∠=∠=∠，，再根据三角形外角的性质和平角的定义即可得出结论．【详解】作M 关于OB 的对称点M '，N 关于OA 的对称点N '，连接M N ''，交OB 于点P ，交OA 于点Q ，连接MP ，QN ，如图所示．根据两点之间，线段最短，可知此时MP PQ QN++最小，即MP PQ QN M N ''++=， ∴OPM OPM NPQ OQP AQN AQN ''∠=∠=∠∠=∠=∠，，∵MPQ PQN αβ∠=∠=，， ∴11(180)(180)22QPN OQP αβ∠=︒-∠=︒-，， ∵QPN AOB OQP ∠=∠+∠，25AOB ∠=︒， ∴11(180)25(180)22αβ︒-=︒+︒- ， ∴50βα-=︒ ． 故答案为：50．【点睛】本题考查轴对称-最短问题、三角形内角和，三角形外角的性质等知识，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键，综合性较强．20．如图，ABC ∆中，ABC ∠与ACB ∠的平分线交于点F ，过点F 作//DE BC 交AB 于点D ，交AC 于点E ，那么下列结论：①BDF ∆和CEF ∆都是等腰三角形；②DE BD CE =+；③ADE ∆的周长等于AB 与AC 的和；④BF CF =；⑤若80A ∠=︒，则130BFC ∠=︒．其中正确的有_______．（填正确的序号）．①②③⑤【分析】①根据平行线性质和角平分线定义可以得到DB=DFEF=EC 从而得到△BDF 和△CEF 都是等腰三角形；②同①有DB=DFEF=EC 所以DE=DF+EF=BD+CE ；③由②得：△ADE 的解析：①②③⑤【分析】①根据平行线性质和角平分线定义可以得到DB=DF ，EF=EC ，从而得到△BDF 和△CEF 都是等腰三角形；②同①有DB=DF ，EF=EC ，所以DE=DF+EF=BD+CE ；③由②得：△ADE 的周长为：AD+DE+AE=AB+BD+CE+AE=AB+AC ；④因为∠ABC 不一定等于∠ACB ，所以∠FBC 不一定等于∠FCB ，所以BF 与CF 不一定相等；⑤由角平分线定义和三角形内角和定理可以得解．【详解】解：∵DE ∥BC ，∴∠DFB=∠FBC ，∠EFC=∠FCB ，∵△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点F ，∴∠DBF=∠FBC ，∠ECF=∠FCB ，∴∠DBF=∠DFB ，∠ECF=∠EFC ，∴DB=DF ，EF=EC ，即△BDF 和△CEF 都是等腰三角形；故①正确；∴DE=DF+EF=BD+CE ，故②正确；∴△ADE 的周长为：AD+DE+AE=AB+BD+CE+AE=AB+AC ；故③正确；∵∠ABC 不一定等于∠ACB ，∴∠FBC 不一定等于∠FCB ，∴BF 与CF 不一定相等，故④错误； 由题意知，1122FBC ABC FCB ACB ∠=∠∠=∠，， ∴()()11801802BFC FBC FCB ABC ACB ∠=︒-∠+∠=︒-∠+∠ =()()111801801801808022A ︒-︒-∠=︒-︒-︒ =130°,故⑤正确，故答案为①②③⑤．【点睛】 本题考查了等腰三角形的判定和性质、角平分线的性质、平行线的性质及三角形的内角和定理；题目利用了两直线平行，内错角相等及等角对等边来判定等腰三角形；等量代换的利用是解答本题的关键．三、解答题21．如图，点E 在ABC 的边AB 上，90ABC EAD ∠=∠=︒，30BAC ADE ∠=∠=︒，DE 的延长线交AC 于点G ，交BC 延长线于点F ．AB=AD ，BH ⊥DF ，垂足为H ．（1）求HAE ∠的度数；（2）求证：DH FB FH =+．解析：（1）=15∠HAE ；（2）见解析【分析】（1）连接BG ，先根据等腰三角形的判定得出AG=AD ，再根据SSS 得出△AGH ≌△ABH ，从而得出=∠∠HAE HAG ，继而得出HAE ∠的度数；（2）在DH 上取HM=HF ，连接BM ，根据垂直平分线的性质得出BF=BM ，再根据等腰三角形的判定得出DM=BM ，从而得出结论【详解】解：（1）连接BG∵90EAD ∠=︒，30BAC ∠=︒，∴∠DAG=120°，∵30ADE ∠=︒，∴30∠=∠=︒ADE AGD ，∴AG=AD ，∵AB=AD ，∴AG=AB ，∵30BAC ∠=︒，∴75∠=∠=︒AGB ABG ，∵BH ⊥DF ，90EAD ∠=︒，∴=90∠∠=︒BHE EAD ，∵=∠∠BEH AED ，∴30∠=∠=︒ADE EBH ，∴45∠=∠-∠=︒HBG ABG EBH ，∵90FHB ∠=︒，∴∠=∠HBG HGB ，∴GH=BH ，∵AG=AB ，AH=AH ，∴△AGH ≌△ABH ，∴=∠∠HAE HAG ，∵30BAC ∠=︒，∴=15∠HAE ；（2）在DH 上取HM=HF ，连接BM ；∵90ABC EAD ∠=∠=︒，∴AD//BF ，∴30∠=∠=︒F ADE ，∵BH ⊥DF ，HM=HF ，∴BF=BM∴30∠=∠=︒F BMF∵AB=AD ，90EAD ∠=︒∴45ADB ∠=︒，∵30ADE ∠=︒∴15∠=︒MDB ，∵30∠=︒=∠+∠BMF MBD MDB ，∴==15∠∠MBD MDB ，∴BM=DM=BF ，∵DH=DM+HM ，∴DH=FH+BF【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定、垂直平分线的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 22．如图，ABC 是边长为10的等边三角形，现有两点P 、Q 沿如图所示的方向分别从点A 、点B 同时出发，沿ABC 的边运动，已知点P 的速度为每秒1个单位长度，点Q 的运度为每秒2个单位长度，当点P 第一次到达B 点时，P 、Q 同时停止运动． （1）点P 、Q 运动几秒后，可得到等边三角形APQ ？（2）点P 、Q 运动几秒后，P 、Q 两点重合？（3）当点P 、Q 在BC 边上运动时，能否得到以PQ 为底边的等腰APQ ？如存在，请求出此时P 、Q 运动的时间．解析：（1）点P 、Q 运动103秒后，可得到等边三角形APQ ；（2）点P 、Q 运动10秒后，P 、Q 两点重合；（3）当点P 、Q 在BC 边上运动时，能得到以PQ 为底边的等腰三角形，此时P 、Q 运动的时间为403秒． 【分析】（1）设点P 、Q 运动t 秒后，可得到等边三角形APQ ，利用,AP AQ = 列方程，解方程可得答案；（2）设点P 、Q 运动x 秒后，P 、Q 两点重合，由追及问题中的相等关系：Q 的运动路程等于P 的运动路程加上相距的路程，列方程，解方程即可得到答案；（3）当点P 、Q 在BC 边上运动时，可以得到以PQ 为底边的等腰三角形．先证明：ACP △≌ABQ △，可得CP BQ =，再列方程，解方程并检验即可得到答案．【详解】解：（1）设点P 、Q 运动t 秒后，可得到等边三角形APQ ，如图①，AP t =，102AQ AB BQ t =-=-，∵三角形APQ 是等边三角形，,AP AQ ∴=∴102t t =-，解得103t =， ∴点P 、Q 运动103秒后，可得到等边三角形APQ ．（2）设点P 、Q 运动x 秒后，P 、Q 两点重合，102x x +=，解得：10x =．∴点P 、Q 运动10秒后，P 、Q 两点重合．（3）当点P 、Q 在BC 边上运动时，可以得到以PQ 为底边的等腰三角形．理由如下： 由（2）知10秒时P 、Q 两点重合，恰好在C 处，如图②，假设APQ 是等腰三角形，∴AP AQ =，∴APQ AQP ∠=∠，∴APC AQB ∠=∠，∵ACB △是等边三角形，∴C B ∠=∠，在ACP △和ABQ △中，,,,AC AB C B APC AQB =⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩， ∴ACP △≌ABQ △，∴CP BQ =，设当点P 、Q 在BC 边上运动时，P 、Q 运动的时间y 秒时，APQ 是等腰三角形， 由题意得：10CP y =-，302QB y =-，∴ 10302y y -=-， 解得：403y =， P 的最长运动时间为2020,1s = Q 从B A C B →→→的最长时间为30=152s ， 由403＜15， ∴ 403y =符合题意， ∴当点P 、Q 在BC 边上运动时，能得到以PQ 为底边的等腰三角形，此时P 、Q 运动的时间为403秒． 【点睛】 本题考查的是三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，动点问题，掌握以上知识是解题的关键．23．已知AOB ∠及一点P ，利用直尺和圆规，根据下列要求作图（保留作图痕迹，不要求写作法）（1）过点P 作OA 、OB 的垂线，垂足分别为点M 、N ；（2）猜想MPN ∠与AOB ∠之间的数量关系，并说明理由．解析：（1）见解析；（2）∠MPN+∠AOB=180°或∠MPN=∠AOB，理由见解析【分析】（1）根据垂线的定义画出图形即可解决问题；（2）根据四边形内角和为360°或“8字型”的性质即可解决问题；【详解】（1）过点P作OA、OB的垂线PM、PN如图所示；（2）猜想：∠MPN+∠AOB=180°或∠MPN=∠AOB．理由：左图中，在四边形PMON中，∵∠PMO=∠PNO=90°，∴∠MPN+∠AOB=180°．右图中，∵∠PJM=∠OJN，∠PMJ=∠JNO=90°，∴∠MPN=∠AOB．【点睛】本题考查了作图-基本作图，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．24．在等边三角形ABC中，点E为线段AB上一动点，点E与A，B不重合，点D在CB的延长线上，且ED＝EC．（1）当E为边AB的中点时，如图1所示，确定线段AE与BD的大小关系，并证明你的结论；（2）如图2，当E不是边AB的中点时，（1）中的结论是否成立？若不成立，请直接写出EF BC交AC于点F）BD与AE的数量关系；若成立，请给予证明；（提示：过E作//（3）在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED＝EC，ABC 的边长为1，AE＝2，请直接写出CD的长．解析：（1）AE＝BD；见解析；（2）成立；AE＝BD；见解析；（3）CD的长为3或1.【分析】（1）根据等边三角形三线合一的性质证得∠ECB＝30°，由DE＝CE，求出∠D＝∠ECB＝30°得到∠DEB＝30°，推出BD＝BE，根据AE＝BE证得结论；（2）过E作EF∥BC交AC于点F，得到△AEF是等边三角形，推出BE=CF，利用∠DBE＝∠EFC＝120°，∠BED＝∠ECF，证得△DEB≌△ECF（AAS），得到BD＝EF=AE；（3）作EF∥BC交CA的延长线于点F，则△AEF为等边三角形，利用∠CEF＝∠EDB，EB＝CF＝3，∠F＝∠B＝60°，证得△CEF≌△EDB（AAS），得到BD＝EF＝2，求出CD＝BD－BC ＝1，同理可得CD＝3【详解】解：（1）AE＝BD；证明：∵△ABC为等边三角形，AE＝BE，∴CE平分∠ACB，∴∠ECB＝30°．∵DE＝CE，∴∠D＝∠ECB＝30°．∵∠ABC＝∠D＋∠DEB＝60°，∴∠DEB＝30°，∴∠D＝∠DEB，∴BD＝BE．∵AE＝BE，∴AE＝BD；（2）当E为边AB上任意一点时，AE＝BD仍成立；证明：如图1，过E作EF∥BC交AC于点F．∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，AB＝AC＝BC，∴∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFE＝∠ACB＝60°，即∠AEF＝∠AFE＝∠A＝60°,∴△AEF是等边三角形，∴AE＝EF＝AF．∵∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠DBE＝∠EFC＝120°，∠D＋∠BED＝∠FCE＋∠ECD＝60°．∵DE ＝EC ，∴∠D ＝∠ECD ，∴∠BED ＝∠ECF ，∴△DEB ≌△ECF （AAS ），∴BD ＝EF ，∴AE ＝BD ；（3）CD 的长为3或1如图2，作EF ∥BC 交CA 的延长线于点F ，则△AEF 为等边三角形，∴AF ＝AE ＝EF ＝2，∠BEF ＝60°，∴∠CEF ＝60°＋∠BEC ．∵∠EDC ＝∠ECD ＝∠B ＋∠BEC ＝60°＋∠BEC ，∴∠CEF ＝∠EDB ．又∵EB ＝CF ＝3，∠F ＝∠B ＝60°，∴△CEF ≌△EDB （AAS ），∴BD ＝EF ＝2，∴CD ＝BD －BC ＝1，如图3，同理可得CD ＝3，综上所述，CD 的长为3或1【点睛】此题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，平行线的性质，等腰三角形等边对等角的性质，熟练掌握三角形的知识并熟练应用是解题的关键．25．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，CA CB =，M 是AB 的中点，点D 在BM 上，AE CD ⊥，BF CD ⊥，垂足分别为E ，F ，连接EM ．（1）求证：CE BF =；（2）求证：AEM DEM ∠=∠．解析：（1）证明见解析；（2）证明见解析【分析】（1）先证明CAE BCF ∠=∠，再证明CAE BCF ≌△△，从而可得结论；（2）连接CM ，FM ，先证明ECM FBM ∠=∠，再证明CME BMF ≌△△，可得EM FM =，EMC FMB ∠=∠，再证明FME 是等腰直角三角形，可得45MED ∠=︒，从而可得结论．【详解】证明：（1）AE CD ⊥，BF CD ⊥，90AEC CFB ∴∠=∠=︒．90ACB ∠=︒，90BCF ACE ACE EAC ∴∠+∠=︒=∠+∠CAE BCF ∴∠=∠．CA BC =． ()CAE BCF AAS ∴≌△△．CE BF ∴=．（2）连接CM ，FM在Rt ABC △中，CA CB =，点M 是AB 的中点，90,ACB ∠=︒BM AM ∴=，CM AB ⊥，CM 平分ACB ∠，45ACM BCM CBM CAM ∴∠=∠=∠=∠=︒，CM BM AM ==，由CAE BCF ≌△△可得：ACE CBF ∠=∠．,ACM ECM CBM MBF ∴∠+∠=∠+∠ECM FBM ∴∠=∠．又CE BF =，()CME BMF SAS ∴≌△△．EM FM ∴=，EMC FMB ∠=∠．90EMF FMB DME CME DME ∠=∠+∠=∠+∠=︒．FME ∴△是等腰直角三角形．45MED ∴∠=︒，90AED ∠=︒，45AEM DEM ∴∠=∠=︒．【点睛】本题考查的的三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．26．如图，在所给平面直角坐标系（每小格均为边长是1个单位长度的正方形）中完成下列各题．（1）已知()6,0A -，()2,0B -，()4,2C -，画出ABC 关于y 轴对称的图形△111A B C △，并写出1B 的坐标；（2）在y 轴上画出点P ，使PA PC +最小；（3）在（1）的条件下，在y 轴上画出点M ，使11MB MC -最大．解析：（1）见解析；B 1（2，0）；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）先作出点A 、B 、C 关于y 轴的对称点A 1、B 1、C 1，顺次连结，则△111A B C △为所求，点()2,0B -，关于y 轴对称，横坐标符号改变B 1（2，0）； （2）连结AC 1，交y 轴于点P ，两用两点之交线段最短知AC 1最短即可；（3）延长C 1B 1交y 轴于M ，利用两边之差小于第三边即可．【详解】解：（1）先作出点A 、B 、C 关于y 轴的对称点A 1、B 1、C 1，顺次连结，则△111A B C △为所求，点()2,0B -，关于y 轴对称，横坐标符号改变B 1（2，0），如图；B 1（2，0）；（2）连结AC 1，交y 轴于点P ，两用两点之交线段最短知AC 1最短，则PA+PC=PA+PC 1=AC 1，则点P 为所求，如图；（3）延长C 1B 1交y 轴于M ，利用两边之差小于第三边，11MB MC -最大=C 1B 1，如图．【点睛】 本题考查轴对称作图，线段公里，三角形三边关系，掌握轴对称作图，线段公里，三角形三边关系是解题关键．27．如图，点A ，C ，D ，B 四点共线，且AC BD =，A B ∠=∠，ADE BCF ∠=∠．（1）求证：ADE BCF ≌；（2）若9DE =，CG 4=，求线段EG 的长．解析：（1）证明见解析；（2）5EG =．【分析】（1）根据AC=BD 可得AD=BC ，然后利用已知条件根据ASA 即可证明全等；（2）根据（1）中的全等可得∠ADE=∠BCF ，再结合等角对等边可得4DG CG ==，最后利用线段的和差即可求得EG 的长度．【详解】解：（1）证明：∵AC=BD ，∴AC+CD=BD+CD ，∴AD=BC ，在△ADE 和△BCF 中，A B AD BCADE BCF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADE ≌△BCF （ASA ）；（2）∵△ADE ≌△BCF ，∴∠ADE=∠BCF ，∴4DG CG ==，∵9DE =，∴5EG DE DG =-=．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，等腰三角形等角对等边．熟练掌握全等三角形的几种判定定理，并能结合题中所给条件灵活运用是解题关键．28．已知ABC 是等边三角形，点D 是AC 的中点，点P 在射线BC 上，点Q 在线段AB 上，120PDQ ∠=︒．（1）如图1，若点Q 与点B 重合，求证：DB DP =；（2）如图2，若点P 在线段BC 上，8AC =，求AQ PC +的值．解析：（1）证明见解析；（2）4．【分析】（1）由等边三角形的性质证明30DBC ∠=︒，再利用三角形的内角和定理求解30DPB ∠=︒，从而可得结论； （2）过点D 作//DE BC 交AB 于点E ，先证明ADE 为等边三角形，再证明QDE PDC ≌，可得QE PC =， 从而可得答案．【详解】证明：（1）∵ABC 为等边三角形，∴,60BA BC ABC =∠=︒∵D 为AC 的中点，∴DB 平分ABC ∠，∴30DBC ∠=︒． ∵120PDB ∠=︒，∴1801203030DPB ∠=︒-︒-︒=︒，∴DBC DPB ∠=∠，∴DB DP =．（2）过点D 作//DE BC 交AB 于点E ．∵ABC 为等边三角形，8AC =，点D 是AC 的中点，∴4,60AD CD ABC ACB A ==∠=∠=∠=︒．∵//DE BC ，∴60AED B ∠=∠=︒．60ADE C ∠=∠=︒，∴ADE 为等边三角形，120EDC ∠=︒，∴4AD ED AE ===，。
人教版八年级上册数学第13章 轴对称 全章热门考点整合专训
5．(2020·凉山州)如图，点P，Q分别是等边三角形ABC的边AB，BC上的动点(端 点除外)，点P，Q以相同的速度，同时从点A，B出发．
1 ∴∠ABC＝90°－∠BAD＝30°.
∵OP＝OC，∴OB＝OP. ∴∠APO＝∠ABO.
1
2 2 ∴∠APO＋∠DCO＝∠ABO＋∠DBO＝∠ABD＝30°.
(2)判断△OPC的形状，并说明理由．
解：△OPC是等边三角形． 理由：∵∠APC＋∠DCP＋∠PBC＝180°，∠PBC＝30°， ∴∠APC＋∠DCP＝150°. ∵∠APO＋∠DCO＝30°， ∴∠OPC＋∠OCP＝120°. ∴∠POC＝180°－(∠OPC＋∠OCP)＝60°. 又∵OP＝OC，∴△OPC是等边三角形．
14．两个城镇A，B与两条公路l1，l2的位置如图所示，电信部门需在C处修建一座 信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条公路l1， l2的距离也必须相等，那么点C应选在何处？请在图中用尺规作图找出所有符 合条件的点C(不写作法，保留作图痕迹)．
解：如图，点C1，C2即为所求．
人教版八年级上
第十三章 轴对称
全章热门考点整合专训
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17 57.5°或56°或50°
苏科版八年级上册数学第2章《轴对称图形》同步练习(7份)(全章含答案)初二数学试题.doc
2.5等腰三角形的轴对称性（3）【基础训练】在AABC 中，ZA=100° , ZB=40° ,则ZXABC 是 如图，求证：AE=AF. 6. 如图，在厶ABC 中，ZABC 和ZACB 的平分线相交于 点F,过点F 作DE 〃BC,交AB 于点D,交AC 于点E.若BD + CE=2013,则线段DE 的长为（ ）.A. 2014B. 2011C. 2012D. 20131.2. 三角形. CD 是 RtAABC 斜边 AB±的中线，CD=1006,贝ij AB= _______3・ 4. 长.如图, 如图, ZC=36° ZB = 72° 在ZXABC 中, 点D 、（第3题）找出图中所有的等腰三角形 ______ .cm,求Z\ADE 的周 E 在 BC 上，且Z1 = ZB, Z2=ZC, BC=10 5.如图，在AABC 中,AD 平分ZBAC, E 是CA 延长线上的一点，EG 〃AD, ,ZBAD=36° , DB交AB 于点F.7.如图，ZDAC是厶ABC的一个外角，AE平分ZDAC,且AE〃B（么？8.如图，在四边形ABCD中，ZABC=ZADC=90° , M. N分别是AC、BD的中点，试说明:(1)MD = MB：(2)M N 丄BD・【提优拔尖】9.已知：在RtAABC中，AB = BC；在RtAADE中，AD = DE；连接EC,取EC的中点M,连接DM 和BM.(1)若点D在边AC上，点E在边AB±且与点B不重合，如图(1),求证：BM = DM,且BM丄DM；(2)如果将图⑴中的AADE绕点A逆时针旋转小于45°的角，如图(2),那么⑴中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给出证明.(第9题)10.如图，在AABC屮，作ZABC的平分线BD,交AC于点D,作线段BD的垂直平分线EF, 分别交AB 于点E,交BC于点F,垂足为O,连接DF.在所作图中，寻找一对全等三角形，并加以证明.(不写作法，保留作图痕迹)11.⑴如图⑴，O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD,连接AC和BD,相交于点E,连接BC.求ZAEB的大小；(2)如图(2), AOAB固定不动，保持AOCD的形状和大小不变，将AOCD绕着点O旋转(△ OAB 和AOCD不能重叠).求ZAEB的大小.12・如图，在AABC 中，AB = AC=10, BC = 8, AD 平分ZBAC交 BC 于点 D,点，连接DE,则ACDE 的周长为().4. 10cm5. 略6. D7. AB = AC8. 略9. ⑴略(2)当AADE 绕点A 逆时针旋转小于45°的角时，⑴中的结论仍成立. 10.13. A. 20 B. 12C ・14 如图，己知AC 丄BC, BD 丄AD, D. 13AC 与BD 交于点O, AC=BD ・求证:(1) B C = AD ：(2) A OAB 是等腰三角形.参考答案1.等腰2. 20123. AABD, AABC, AADC 点E 为AC 的中△BOFMABOF、ABOF^ADOF 等，证明略.11.(l)ZAEB=60°(2)2AEB = 60° .12. C13.略我的写字心得体会从小开始练习写字，几年来我认认真真地按老师的要求去练习写字。
轴对称(精选精练)(全章常考知识点分类专题)(教师版) 2024-2025学年八年级数学上册专项突破
专题13.13轴对称（精选精练）（全章常考知识点分类专题）【考点目录】【考点1】识别轴对称图形；【考点2】利用轴对称图形性质求解；【考点3】利用轴对称性质解决折叠问题；【考点4】利用线段垂直平分线性质与判定证明与求值；【考点5】利用轴对称性质求最值；【考点6】等腰三角形（等边对等角与等角对等边）；【考点7】等腰三角形（三线合一）；【考点8】利用等腰三角形求角或边长（分类讨论）；【考点9】等腰三角形性质与判定求值证明；【考点10】等边三角形的性质与判定求；【考点11】含30度的直角三角形；【考点12】课题学习（最短路径问题）.一、单选题【考点1】识别轴对称图形；1．（23-24八年级下·贵州黔西·期末）银行是现代金融业的主体，是国民经济运转的枢纽，下列银行标志图案是轴对称图形的是()A ．B ．C ．D ．2．（23-24七年级下·河南平顶山·期末）下列图形中，是轴对称图形，并且只有3条对称轴的是（）A ．圆B ．正方形C ．梯形D ．等边三角形【考点2】利用轴对称图形性质求解；3．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，ABC V 和AB C ''△关于直线l 对称，l 交CC '于点D ，若4,2,1AB B C CD ''===，则五边形ABCC B ''的周长为（）A ．14B ．13C ．12D ．114．（23-24九年级上·浙江温州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，点()5,6A -关于点()0,P m 对称的点A '在x 轴上，则m 的值为（）A ．3-B ．52-C ．52D ．3【考点3】利用轴对称性质解决折叠问题；5．（2024·浙江·模拟预测）如图，将一张长方形纸条折叠，如果2∠比1∠大90︒，则2∠的度数为（）A ．50︒B ．100︒C ．130︒D ．150︒6．（23-24八年级下·山东德州·开学考试）如图，把ABC V 纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCED 的外面时，此时测得1112∠=︒，40A ∠=︒，则2∠的度数为（）A ．32︒B ．33︒C ．34︒D ．36︒【考点4】利用线段垂直平分线性质与判定证明与求值；7．（24-25九年级上·吉林长春·开学考试）如图，用直尺和圆规作MAN ∠的角平分线，根据作图痕迹，下列结论不一定正确的是（）．A ．MAF NAF ∠=∠B ．EF DF =C ．DAF DFA ∠=∠D ．AF D E⊥8．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，在ABC V 中，AB 的垂直平分线DM 交BC 于点D ，边AC 的垂直平分线EN 交BC 于点E ．已知ADE V 的周长为8cm ，则BC 的长为（）A ．4cmB ．5cmC ．6cmD ．8cm【考点5】几何变换（利用轴对称性质求最值）；9．（15-16八年级上·重庆荣昌·期末）如图，四边形ABCD 中，130BAD ∠︒＝，90B D ∠∠︒＝＝，在BC ，CD 上分别找一点M ，N ，使AMN 的周长最小时，则ANM AMN ∠+∠的度数为（）A ．80︒B ．90︒C ．100︒D ．130︒10．（19-20九年级·安徽·阶段练习）如图，在Rt ABC △中，90,6,8ACB AC BC ∠=︒==，10,AB AD =是BAC ∠的平分线．若,P Q 分别是AD 和AC 上的动点，则PC PQ +的最小值是（）A ．2.4B ．4.8C ．4D ．5【考点6】等腰三角形（等边对等角与等角对等边）；11．（24-25八年级上·浙江宁波·开学考试）如图，在PAB 中，,,,PA PB M N K =分别是,,PA PB AB 上的点，且,AM AK BN BK ==，若44MKN ∠=︒，则P ∠=（）°A ．66B ．92C ．96D ．9812．（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，在ABC V 中，BE ，CE 分别是ABC ∠和ACB ∠的平分线，ED AC ∥，交BC 于点D ，EF AB ⊥于点F ．若35BC =，5EF =，13DE =，则EBD △的面积为（）A ．50B ．55C ．60D ．65【考点7】等腰三角形（三线合一）；13．（2024·广西·模拟预测）如图，在ABC V 中，AB AC =，分别以点A 、B 为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E ，F ，作直线EF ，D 为BC 的中点，M 为直线EF 上任意一点．若ABC V 面积为40，且BM MD +长度的最小值为10，则BC 长为（）A ．5B ．6C ．8D ．1014．（23-24七年级下·福建福州·期末）如图，ABC V 中，90BAC ∠=︒，AD BC ⊥，ABC ∠的平分线BE 交AD 于点F ，AG 平分DAC ∠．下列结论：①AEF AFE ∠=∠；②EBC C ∠=∠；③AG EF ⊥；④FG AC ．其中正确的结论是（）A ．①②③④B ．①②③C ．①③④D ．①②【考点8】利用等腰三角形求角或边长（分类讨论）；15．（23-24八年级下·贵州毕节·阶段练习）已知a ，b 是等腰三角形的两腰，c 为底边，若22m a ac bc b =-+-，则下列说法正确的是（）A ． 0m >B ．0m =C ．0m <D ． 0m >或0m <16．（2024八年级上·江苏·专题练习）在ABC V 中，AB AC =，AB 的垂直平分线与AC 所在直线的夹角为50︒，则这个等腰三角形的顶角为（）A ．40︒B ．50︒C ．40︒或140︒D ．50︒或130︒【考点9】利用等腰三角形的性质与判定求值证明；17．（23-24八年级下·山东德州·开学考试）如图，B C ∠∠、的平分线相交于F ，过点F 作DE BC ∥，交AB于D ，交AC 于E ，那么下列结论正确的是①BDF CEF 、都是等腰三角形；②DE BD CE =+；③ADE V 的周长为+AB AC ；④BD CE =．（）A ．③④B ．①②C ．①②③D ．②③④18．（2024·四川泸州·二模）如图，在ABC V 中，AB AC =，按以下步骤作图：①以点A 为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB AC ，于点D 和点E ；②以点B 为圆心，AD 长为半径作弧，交AB 于点F ；③以F 为圆心，DE 长为半径作弧，在ABC ∠内部交前面的弧于点G ；④过点G 作射线BG 交AC 于点H ．若62BC C A =∠=∠，，则AH 的长为（）A ．3B ．4C ．5D ．6【考点10】利用等边三角形的性质与判定求值证明;19．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在ABC V 中，60ABC ∠=︒，以AC 为边在ABC V 外作等边ACD ，过点D 作DE BC ⊥，垂足为E ，若5AB =，3CE =，则BC 的长为（）A ．4B ．92C ．5D ．20．（22-23八年级上·辽宁阜新·期末）如图，在ABC V 中，30A ACB ∠=∠=︒，分别以点B ，A 为圆心，BC ，AC 长为半径作弧，两弧交于点D ，连接CD ，交AB 的延长线于点E ．有下列结论：①60CBE ∠=︒；②ABC S BE CE =⋅△；③AC CD =；④AE 垂直平分线段CD ．其中，正确结论是（）A ．①④B ．①②④C ．①③④D ．①②③④【考点11】含30度的直角三角形；21．（2024·山东聊城·模拟预测）如图，在ABC V 中，90ABC ∠=︒，60BAC ∠=︒，以点A 为圆心，以AB 的长为半径画弧交AC 于点D ，连接BD ，再分别以点B ，D 为圆心，大于12BD 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交BD 于点M ，交BC 于点E ，连接DE ，则:CDE ABC S S △△的值是（）A ．1:2B 3C ．2:5D ．1:322．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在ABC V 中，90,30C B ∠=︒∠=︒，以点A 为圆心，适当长为半径画弧分别交,AB AC 于点M 和点N ，再分别以点,M N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连接AP 并延长交BC 于点D ．若ACD 的面积为8，则ABD △的面积是（）A ．8B ．16C ．12D ．24【考点12】课题学习（最短路径问题）.23．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，Rt ABC △中，90,345C AC BC AB D E F ∠︒===＝，，，、、分别是AB BC AC 、、边上的动点，则DEF 的周长的最小值是（）A ．2.5B ．3.5C ．4.8D ．624．（23-24八年级上·重庆合川·期末）如图，在五边形ABCDE 中，230AB BC AE DE AB BC AE DE BCD CDE ⊥⊥==∠+∠=︒，，，，，点P ，Q 分别在边BC ，D 上，连接AP ，AQ ，PQ ，当APQ △的周长最小时，PAQ ∠的度数为（）A ．50︒B ．80︒C ．100︒D ．130︒二、填空题【考点1】识别轴对称图形；25．（23-24七年级下·全国·假期作业）在线段、角、圆、等腰三角形、直角梯形和正方形中，不是轴对称图形的是．26．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，小张和小亮下棋，小张执圆形棋子，小亮执方形棋子，若棋盘中心的圆形棋子位置用()11-，表示，两人都将第4枚棋子放入棋盘后，所有棋子构成轴对称图形，则小亮放第4枚方形棋子的位置可能是．【考点2】利用轴对称图形性质求解；27．（22-23八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，APT △与CPT △关于直线PT 对称，A APT ∠=∠，延长AT 交PC 于点F ，当A ∠=︒时，FTC C ∠=∠．28．（23-24八年级下·四川成都·期中）如图，在锐角ABC V 中，点O 为CAB ∠和ABC ∠的角平分线交点，过点O 作一条直线l ，交线段AB ，BC 分别于点N ，点M ．点B 关于直线l 的对称点为B '，连接B M '，B N '，分别交线段AC 于点E ，点F ．连接EO ，FO ．若ABC m ∠=︒，那么EOF ∠的度数为（用含有m 的代数式表示）．【考点3】利用轴对称性质解决折叠问题；29．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图所示，数学拓展课上，小聪将直角三角形纸片ABC ()2565A B ∠=︒∠=︒，沿DE 向下折叠，点A 落在点A '处，当EA BC '∥时，1∠=度．30．（23-24七年级下·江苏苏州·开学考试）将一张长方形纸片ABCD 按如图所示方式折叠，AE 、AF 为折痕，点B 、D 折叠后的对应点分别为B '、D ¢，若8B AD ''∠=︒，则EAF ∠的度数为．【考点4】利用线段垂直平分线性质与判定证明与求值；31．（23-24九年级下·吉林·开学考试）如图，在ABC V 中，35A ∠=︒，ABC ∠的平分线BD 交AC 于点D ，分别以A 、B 为圆心，以大于12AB 的长为半径作弧，两弧交于点M 和N ，直线MN 刚好经过点D ，则C ∠的度数是．32．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，直线m n ∥，点A 是直线m 上一点，点B 是直线n 上一点，AB 与直线m ，n 均不垂直，点P 为线段AB 的中点，直线l 分别与m ，n 相交于点C ，D ，若90,CPD CD ∠=︒=，m ，n 之间的距离为2，则PC PD ⋅的值为．【考点5】几何变换（利用轴对称性质求最值）；33．（23-24七年级下·四川成都·期末）如图，在ABC V 中，AC 的垂直平分线FE 分别交AC ，AB 于点E ，F ，若点G 是直线EF 上一动点，H 是直线BC 上的一动点，7AB =，3CD =，5BC =，CD AB ⊥，则HG CG +的最小值为．34．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，20AOB ∠=︒，点M 、N 分别是边OA 、OB 上的定点，点P 、Q 分别是边OB 、OA 上的动点，记MPQ α∠=，PQN β∠=，当MP PQ QN ++最小时，则βα-的值为.【考点6】等腰三角形（等边对等角与等角对等边）；35．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，在ABC V 中，45BAC ∠=︒，以BC 为边向外作等腰直角三角形BCD △，连接AD ，若4AC =，则ACD S = ．36．（2024八年级上·全国·专题练习）（23-24七年级下·山东烟台·期末）如图，A EGF ∠=∠，F 为BE ，CG 的中点，4DB =，8DE =，则AD 的长为．【考点7】等腰三角形（三线合一）；37．（24-25八年级上·上海·单元测试）如图，D 为ABC V 内一点，CD 平分ACB ∠，BE CD ⊥，垂足为D ，交AC 与点E ，A ABE ∠=∠．若7AC =，4BC =，则BD 的长为．38．（23-24八年级上·四川绵阳·期末）如图，在等腰ABC V 中，点D 是底边BC 的中点，过点D 分别作,DE AB DF AC ⊥⊥，垂足分别为点,E F ，若93,,22DF BE AF ===，则ABD △的面积为．【考点8】利用等腰三角形求角或边长（分类讨论）；39．（23-24八年级下·浙江金华·开学考试）等腰三角形一个外角是150︒，则该等腰三角形的顶角度数是．40．（23-24八年级上·河南郑州·期末）如图，120,AOC C ∠=︒是BO 延长线上的一点，10cm OC =，动点P 从点C 出发，沿CB 以2cm /s 的速度移动，动点Q 从点O 出发，沿OA 以1cm /s 的速度移动．如果点,P Q 同时出发，用s t 表示移动的时间，那么当t =时，POQ △是等腰三角形．【考点9】利用等腰三角形的性质与判定求值证明；41．（23-24九年级下·浙江台州·开学考试）如图，AB AC =，D 为AC 的垂直平分线上一点，且CD BC =，BD AB =，则A ∠=．42．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，已知在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，8AC =，16BC =，D 是AC 上的一点，3CD =，点P 从B 点出发沿射线BC 方向以每秒2个单位的速度向右运动，设点P 的运动时间为t ．过点D 作DE AP ⊥于点E ．在点P 的运动过程中，当t 为时，能使DE CD =？【考点10】利用等边三角形的性质与判定求值证明.43．（22-23八年级上·广东湛江·期中）如图，ABC V 中，30,5A BC ∠=︒=，AB 的垂直平分线DE 交AB 于点D ，交边AC 于点E ，若CE CB =，则BCE 的周长为．44．（23-24七年级下·河南洛阳·期末）如图，将长方形纸片ABCD 对折，使AD 与BC 重合，展平纸片，得到折痕EF ；折叠纸片，使点B 落在EF 上，并使折痕经过点A ，得到折痕AM ，点B ，E 的对应点分别为G ，H ，展平纸片，连结BG ，BH ，则ABH ∠与GAM ∠的关系是．【考点11】含30度的直角三角形；45．（23-24九年级下·青海西宁·开学考试）如图，OP 平分AOB ∠，15AOP ∠=︒，PC OA ，PD OA ⊥于点D ，4PC =，则PD =．46．（23-24九年级下·广西南宁·开学考试）如图，ABC V 是等边三角形，4AB =．过点A 作AD BC ⊥于点D ，点P 是直线AD 上一点，以CP 为边，在CP 的下方作等边CPQ ，连接DQ ，则DQ 的最小值为．【考点12】课题学习（最短路径问题）.47．（23-24七年级下·四川宜宾·期末）在ABC V 中，80CAB ∠=︒，2AB =，3AC =，点E 是边AB 的中点，CAB ∠的角平分线交BC 于点D ．作直线AD ，在直线AD 上有一点P ，连结PC 、PE ，则PC PE -的最大值是．48．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在矩形ABCD 中，6,30AB DBC =∠=︒，点E 、F 分别是边AD 、BC 上的动点，且EF BD ⊥，当BE DF +取得最小值时，AE 的长为．参考答案：题号12345678910答案D D A A D A C D C B 题号11121314151617181920答案C B C C BCCDAD题号21222324答案DBCB1．D【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念逐一判断即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键．【详解】A 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；B 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；C 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；D 、是轴对称图形，故本选项符合题意；故选：D ．2．D【分析】此题考查了轴对称图形，根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此判断即可．【详解】解：A ．圆有无数条对称轴，故此选项不符合题意；B ．正方形有4条对称轴，故此选项不符合题意；C ．梯形中的等腰梯形是轴对称图形，只有1条对称轴，故此选项不符合题意；D ．等边三角形有3条对称轴，故此选项符合题意．故选：D ．3．A【分析】本题主要考查了轴对称图形的性质．根据轴对称图形的性质，得到每边的长度即可求出周长．【详解】解：∵ABC V 和AB C ''△关于直线l 对称，l 交CC '于点D ，∴,,AB AB BC B C DC DC ''''===，∵4,2,1AB B C CD ''===，∴4,2,1AB BC DC ''===，∴五边形ABCC B ''的周长为：42112414+++++=．故选：A ．4．A【分析】本题主要考查了坐标与图形，全等三角形的性质与判定，轴对称的性质，过A 作AH y ⊥轴于H ，则5AH =，6OH =，由轴对称的性质得到AP A P '=，证明()AAS APH A OP ' ≌，得到132OP PH OH ===，据此可得答案．【详解】解：过A 作AH y ⊥轴于H ，∵点()5,6A -，∴5AH =，6OH =，∵点A 与点A '关于点()0,P m 对称，∴AP A P '=，在APH V 与A PO '△中，90AHP A OP APH A POAP A P ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠'='⎨'⎪⎩，∴()AAS APH A OP ' ≌，∴132OP PH OH ===，∴3m =-，故选：A．5．D【分析】本题考查了平行线性质及折叠的性质．根据平行线的性质、折叠的性质得到122BAD ADC ∠=∠=∠，进而求出1218012∠=︒-，结合“2∠比1∠大90︒”求解即可．【详解】解：如图，∵AB CD ∥，∴1,BAM BAD ADC ∠=∠∠=∠，∵长方形纸条折叠，∴BAD MAD ADC ∠=∠=∠，∴122BAD ADC ∠=∠=∠，∴112ADC ∠=∠，∴1218018012ADC ∠=︒-∠=︒-∠，∵2∠比1∠大90︒，∴2190∠=∠+︒，∴119018012∠+︒=︒-∠，∴160∠=︒，∴2150∠=︒，故选：D ．6．A【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形外角的性质等知识点，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键．根据折叠的性质得出40A A '∠=∠=︒，根据三角形外角的性质得出172DOA A ∠=∠-∠=︒，再次利用三角形外角的性质即可求出2∠的度数．【详解】解：如图，设A D '与AC 交于点O ，40A ∠=︒ ，∴根据折叠的性质，40A A '∠=∠=︒，1DOA A ∠=∠+∠ ，1112∠=︒，11124072DOA A ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，2DOA A '∠=∠+∠ ，2724032DOA A '∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，故选：A ．7．C【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的判定，由作图方法可知AD AE DF EF ==，，则可证明DAF EAF △≌△得到DAF EAF DF EF ==∠∠，，进一步可证明AF 垂直平分DE ，据此可得答案．【详解】解：由作图方法可知AD AE DF EF ==，，又∵AF AF =，∴DAF EAF △≌△，∴DAF EAF DF EF ==∠∠，，∴AF 垂直平分DE ，∴MAF NAF ∠=∠，AF D E ⊥，根据现有条件无法得到DAF DFA ∠=∠，故选：C ．8．D【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质可得DA DB =，EA EC =，结合ADE V 的周长8cm ，得出8cm BD DE EC ++=，即可得解，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键．【详解】解：∵DM 是AB 的垂直平分线，∴DA DB =，∵EN 是AC 的垂直平分线，∴EA EC =，∵ADE V 的周长8cm ，∴8cm AD DE AE ++=，∴8cm BD DE EC ++=，∴8cm BC =，∴BC 的长为8cm ；故选：D ．9．C【分析】作A 点关于CD 的对称点F ，作A 点关于BC 的对称点E ，连接EF 交CD 于N ，交BC 于M ，连接AM 、AN 、此时AMN 的周长有最小值，由对称性求出50BAM DAN ∠+∠=︒，则有80MAN ∠=︒，即可求180100ANM AMN MAN ∠+∠=︒-∠=︒．【详解】解：如图，作A 点关于CD 的对称点F ，作A 点关于BC 的对称点E ，连接EF 交CD 于N ，交BC 于M ，连接AM 、AN ，∵==90B D ∠∠︒，∴=AN NF ，=AM EM ，∴AM N ∆的周长===AM AN MN NF MN EM EF ++++，此时AMN 的周长有最小值，∵=FAN F ∠∠，=E EAM ∠∠，∴=180E F BAD ∠+∠︒-∠，∵130BAD ∠=︒，∴=50E F ∠+∠︒，∴=50BAM FAN ∠+∠︒，∴()=13050=80MAN BAD BAM FAN ∠∠-∠+∠=︒-︒︒，∴=180=100ANM AMN MAN ∠+∠︒-∠︒，故选：C ．【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，三角形内角和定理是解题的关键．10．B【分析】由题意可以把Q 关于B 对称到AB 的O 点，如此PC PQ +的最小值问题即变为C 与线段AB 上某一点O 的最短距离问题，最后根据“垂线段最短”的原理得解．【详解】解：如图，作Q 关于B 的对称点O ，则PQ PO =，连接PO ，过点C 作CM AB ⊥于点M ，所以O 、P 、C 三点共线时，CO PC PO PC PQ =+=+，此时PC PQ +有可能取得最小值，当CO 垂直于AB 即CO 移到CM 位置时，CO 的长度最小，∴PC PQ +的最小值即为CM 的长度， 1122ABC S AB CM AC CB =⨯=⨯V ，∴684.810CM ⨯==，即PC PQ +的最小值为4.8．故选：B ．【点睛】本题考查了轴对称最短路径问题，垂线段最短，通过轴对称把线段和最小的问题转化为线段外一点到线段某点连线段最短问题是解题关键．11．C【分析】根据等腰三角形的性质得出两个底角相等，即A B ∠=∠，同理得出12∠=∠，因为44MKN ∠=︒，运用平角性质算出()11218044682∠=∠=⨯︒-︒=︒，结合三角形内角和，列式计算，即可作答．本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理及平角，熟练掌握相关判定定理及性质是解题关键．【详解】解：PA PB = ，A B ∴∠=∠，如图：∵,AM AK BN BK ==∴()()111180218022A B ∠=︒-∠∠=︒-∠，，∵A B ∠=∠∴12∠=∠∵44MKN ∠=︒∴()11218044682∠=∠=⨯︒-︒=︒∴44B A ∠=∠=︒在PAB 中，18092P A B ∠=︒-∠-∠=︒故选：B ．12．B【分析】本题考查了角平分线的性质、平行线的性质的综合应用以及等角对等边的应用；解题的关键是熟练掌握相关性质．过E 作EM BC ⊥于M ，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可求得EM ，根据平行线和角平分线的性质易证DCE DEC ∠=∠，根据等角对等边求得CD ，从而求得BD ，最后根据三角形面积公式求解即可．【详解】解：过E 作EM BC ⊥于M ，BE 平分ABC ∠，EM BC ⊥，EF AB ⊥，5EF =，5EM EF ∴==，CE 平分ACB ∠，ACE DCE ∴∠=∠，ED AC ∥，ACE DEC ∴∠=∠，DCE DEC ∴∠=∠，13CD DE ∴==，35BC =Q ，351322BD BC CD ∴=-=-=，11·2255522EBD S BD EM ∴==⨯⨯=V ，故选：B ．13．C【分析】本题考查线段的垂直平分线的作图，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的三线合一的性质，垂线段最短等知识．如图，连接AM ，过点A 作AH BC ⊥于点H ．根据等腰三角形的三线合一的性质得出点H 与点D 重合，再根据垂线段最短，线段的垂直平分线的性质判断出10BM MD AM MD AH ∴+=+≥=最后利用三角形的面积公式求出BC 即可．【详解】解：如图，连接AM ，过点A 作AH BC ⊥于点H ．∵D 为BC 中点，AB AC =，∴点H 与点D 重合，EF 垂直平分线段AB ，MA MB =∴，10BM MD AM MD AH ∴+=+≥=，12ABC S BC AH ∆=⋅⋅ ，402810BC ⨯∴==，故选：C ．14．C【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、平行线的判定、线段垂直平分线的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题关键．根据直角三角形的性质可得90ABE AEF ∠+∠=︒，90CBE BFD ∠+∠=︒，再根据角平分线的定义可得ABE CBE ∠=∠，由此即可判断①正确；假设EBC C ∠=∠成立，可求出30C ∠=︒，根据已知条件即可判断②错误；先证出AB GB =，ABG 是等腰三角形，再根据等腰三角形的三线合一即可判断③正确；先根据等腰三角形的性质可得DAG AGF ∠=∠，从而可得CAG AGF ∠=∠，再根据平行线的判定即可判断④正确．【详解】解：∵90BAC ∠=︒，∴90ABE AEF ∠+∠=︒，∵AD BC ⊥，∴90CBE BFD ∠+∠=︒，∵BE 平分ABC ∠，∴ABE CBE ∠=∠，∴AEF BFD ∠=∠，又∵AFE BFD ∠=∠，∴AEF AFE ∠=∠，结论①正确；假设EBC C ∠=∠成立，∵90ABE CBE C ∠+∠+∠=︒，ABE CBE ∠=∠，∴30C ∠=︒，但已知条件不能得出这个结论，则假设不成立，结论②错误；∵90BAC ∠=︒，AD BC ⊥，∴90BAD ABC C ABC ∠+∠=︒=∠+∠，∴BAD C ∠=∠，∵AG 平分DAC ∠，∴DAG CAG ∠=∠，∴BAG BAD DAG C CAG BGA ∠=∠+∠=∠+∠=∠，∴AB GB =，ABG 是等腰三角形，∴AG EF ⊥，BE 垂直平分AG （等腰三角形的三线合一），结论③正确；∴AF FG =，∴DAG AGF ∠=∠，∴CAG AGF ∠=∠，∴FG AC ，结论④正确；综上，正确的结论是①③④，故选：C ．15．B【分析】该题主要考查了等腰三角形的定义以及整式加减运算，解题的关键是得出a b =．根据题意得出a b =，代入即可求解；【详解】解：∵a ，b 是等腰三角形的两腰，∴a b =，∴22220m a ac bc b a ac ac a ==-+-+-=-，故选：B ．16．C【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，分类讨论是正确解答本题的关键．根据题意分两种情况，当ABC V 是锐角三角形时，当ABC V 是钝角三角形时，讨论求解即可；【详解】解：分两种情况：当ABC V 是锐角三角形时，如图：DE 是AB 的垂直平分线，90ADE ∴∠=︒，50AED ∠=︒ ，9040A AED ∴∠=︒-∠=︒；当ABC V 是钝角三角形时，如图：DE 是AB 的垂直平分线，90ADE ∴∠=︒，50AED ∠=︒ ，9040DAE AED ∴∠=︒-∠=︒，180140DAC DAE ∴∠=︒-∠=︒；综上所述：这个等腰三角形的顶角为40︒或140︒，故选：C ．17．C【分析】本题考查了等腰三角形的性质及角平分线的定义及平行线的性质；题目利用了两直线平行，内错角相等，及等角对等边来判定等腰三角形的；等量代换的利用是解答本题的关键．由平行线得到角相等，由角平分线得角相等，根据平行线的性质及等腰三角形的判定和性质，逐一进行判断即可．【详解】解：∵DE BC ∥，DFB FBC ∴∠=∠，EFC FCB ∠=∠，BF 是ABC ∠的平分线，CF 是ACB ∠的平分线，FBC DFB ∴∠=∠，FCE FCB ∠=∠，DBF DFB ∠=∠ ，EFC ECF ∠=∠，DFB ∴ ，FEC 都是等腰三角形．故①正确，DF DB ∴=，FE EC =，即有DE DF FE BD CE =+=+，故②正确，ADE ∴V 的周长AD AE DE AD AE DB EC AB AC ++=+++=+．故③正确，BD CE ，不一定相等，故④错误，故选：C ．18．D【分析】本题考查复杂作图，等腰三角形的判定和性质等知识，证明36A ABH ∠=∠=︒，72C BHC ∠=∠=︒，推出BC BH AH ==即可．【详解】解：∵AB AC =，∴ABC C ∠=∠，∵2C A ∠=∠，∴2ABC C A ∠=∠=∠，∵180A ABC C ∠+∠+∠=︒，∴22180A A A ∠+∠+∠=︒，∴36A ∠=︒，由作图可知，36ABH A ∠=∠=︒∴,AH BH =72ABC C ∠=∠=︒∴723636CBH ∠=︒-︒=︒，∴180367272CHB ∠=︒-︒-︒=︒∴C CHB ∠=∠，∴6BC BH AH ===．故选：D ．19．A【分析】根据等边ACD 可得AC CD =，再根据60ABC ∠=︒可以得出CAB DCE ∠=∠，过点C 作CP AB ⊥于点P ，进而证明全等三角形，将线段AB 一分为二，分别求出两段的长度，进而求出BC 的长度．【详解】解： 等边ACD ，AC CD ∴=，60ACD ∠=︒．120ACB DCE ∴∠+∠=︒．60ABC ∠=︒ ，120CAB ACB ∴∠+∠=︒．CAB DCE ∴∠=∠．过点C 作CP AB ⊥于点P，90APC ∴∠=︒．DE BC ⊥ ，90DEC ∴∠=︒．在DCE △和CAP 中，DEC CPA CAP DCE DC CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(AAS)DCE CAP ∴△≌△．3CE AP ∴==．5AB = ，2BP ∴=．在Rt BPC △中，=60B ∠︒，∴9030BCP B ∠=︒-∠=︒，24BC BP ∴==．故选：A ．【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，含30°的直角三角形的性质，利用已知条件构造全等三角形，灵活运用含有30°的直角三角形的性质求解，是解决本题的关键．20．D【分析】连接AD ，BD ，根据等角对等边可得BA BC =，再利用三角形的外角性质可得60CBE ∠=︒，然后根据题意可得：BC BD =，AD AC =，从而可得AE 是CD 的垂直平分线，进而可得90AEC ∠=︒，再利用直角三角形的两个锐角互余可得60ACE ∠=︒，30BCE ∠=︒，从而在Rt BCE 中，利用含30度角的直角三角形的性质可得2BC BE =，进而利用三角形的面积公式，进行计算可得ABC S BE CE =⋅△，最后再根据等边三角形的判定可得ACD 是等边三角形，从而可得AC CD =，即可解答．【详解】解：连接AD ，BD ，30CAB ACB ∠=∠=︒ ，BA BC ∴=，CBE ∠ 是ABC V 的一个外角，60CBE CAB ACB ∴∠=∠+∠=︒，由题意得：BC BD =，AD AC =，AE ∴是CD 的垂直平分线，90AEC ∴∠=︒，9060ACE CAB ∴∠=︒-∠=︒，9030BCE CBE ∠=︒-∠=︒，2BC BE ∴=，12ABC S AB CE ∴=⋅ 12BC CE =⋅122BE CE =⨯⋅BE CE =⋅，AC AD = ，60ACE ∠=︒，ACD ∴是等边三角形，AC CD ∴=，所以，上列结论，其中正确的是①②③④，故选：D ．【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．21．D【分析】先根据30︒角的直角三角形的性质得到12AB AC =，证明()SAS ABE ADE △≌△，再根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．【详解】解：∵90ABC ∠=︒，60BAC ∠=︒，∴90906030C BAC Ð=°-Ð=°-°=°，∴12AB AC =，由题意得：AB AD =，AP 平分BAC ∠，∴BAE DAE ∠=∠，在ABE 与ADE V 中，AB AD BAE DAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS ABE ADE △≌△，∴ABE ADE S S =△△，∵12AD AB AC ==，∴AD CD =，∴ADE CDE S S = ，∴3ABC CDE S S =△△，∴:1:3CDE ABC S S =△△．故选：D ．【点睛】本题考查作图—基本作图，直角三角形两锐角互余，30︒角的直角三角形，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，等底同高的三角形面积相等．掌握基本作图及全等三角形的判定和性质是解题的关键．22．B【分析】本题考查了尺规作图，含30︒的直角三角形的性质，等腰三角形的判定等知识，由作图知AD 平分BAD ∠，则可求30CAD DAB ∠=∠=︒，利用含30︒的直角三角形的性质得出12CD AD =，利用等角对等边得出AD BD =，进而得出12CD BD =，然后利用面积公式即可求解．【详解】解：∵90,30C B ∠=︒∠=︒，∴60CAB ∠=︒，由作图知：AD 平分BAD ∠，∴30CAD DAB ∠=∠=︒，∴12CD AD =，B BAD ∠=∠，∴AD BD =，∴12CD BD =，∴112122ACD ABD CD AC S CD S BD BD AC ⋅===⋅ ，又ACD 的面积为8，∴ABD △的面积是2816⨯=，故选B ．23．C【分析】如图作D 关于直线AC 的对称点M ，作D 关于直线BC 的对称点N ，连接CM ，CN ，B ，EN ，FM ，DN ，DM ．由MCA DCA ∠∠=，BCN BCD ∠∠=，90ACD BCD ∠∠+=︒，推出180MCD NCD ∠∠+=︒，可得M 、B 、N 共线，由DF DE EF FM EN EF ++=++，FM EN EF MN ++≥，可知当M 、F 、E 、N 共线时，且CD AB ⊥时，DE EF FD ++的值最小，最小值2CD =，求出B 的值即可解决问题．【详解】解：如图，作D 关于直线AC 的对称点M ，作D 关于直线BC 的对称点N ，连接CM ，CN ，B ，EN ，FM ，DN ，DM．∴DF FM =，DE EN =，CD CM =，CD CN =，∴CD CM CN ==，∵MCA DCA ∠∠=，BCN BCD ∠∠=，90ACD BCD ∠∠+=︒，∴180MCD NCD ∠∠+=︒，∴M 、C 、N 共线，∵DF DE EF FM EN EF ++=++，∵FM EN EF MN ++≥，∴当M 、F 、E 、N 共线时，且CD AB ⊥时，DE EF FD ++的值最小，最小值为2MN CD =，∵CD AB ⊥，∴1··2AB CD =1··2BC AC ，∴CD =·BC AC AB =1252.4=，∴DE EF FD ++的最小值为4.8．故选：C ．【点睛】本题考查了轴对称-最短问题、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用轴对称以及垂线段最短解决最短问题，属于中考选择题中的压轴题．24．B【分析】本题考查轴对称图形的性质．延长A 到点G 使得BG AB =，延长AE 到点F 使得EF AE =，连接GF 交BC 、D 于点1P 、1Q ，则这时APQ △的周长最小，根据无变形的内角和求出BAE ∠的度数，根据轴对称的性质得到1P AG G ∠=∠，1Q AF F ∠=∠，然后计算解题即可．【详解】解：延长A 到点G 使得BG AB =，延长AE 到点F 使得EF AE =，∵AB BC AE DE ⊥⊥，，∴BC 、D 垂直平分AG 、AF ，连接GF 交BC 、D 于点1P 、1Q ，则11PG P A =，11Q F Q A =，∴11111111FG PG PQ Q F P A PQ Q A=++=++，这时APQ △的周长最小，∵AB BC AE DE ⊥⊥，，∴90ABC AED ∠=∠=︒，又∵230BCD CDE ∠+∠=︒，∴()5405409090230130BAE ABC AED BCD CDE ∠=︒-∠-∠-∠+∠=︒-︒-︒-︒=︒，∴180********G F BAE ∠+∠=︒-∠=︒-︒=︒，又∵11PG P A =，11Q F Q A =，∴1P AG G ∠=∠，1Q AF F ∠=∠，∴11111305080P AQ BAE P AG Q AF BAE G F ∠∠∠=∠--=∠-∠-∠=︒-︒=︒，故选：B ．25．直角梯形【分析】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；根据轴对称图形概念进行分析即可；【详解】解：线段、角、圆、等腰三角形和正方形都能找到一条(或多条)直线，使图形沿一条直线折叠直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；直角梯形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；所以不是轴对称图形的是直角梯形，故答案为：直角梯形．26．(1,2)-【分析】根据题意建立平面直角坐标系，再根据轴对称图形的定义确定第4枚方形的位置，即可解答．此题主要考查了轴对称图形的性质以及点的坐标，正确得出原点位置是解题关键．【详解】解：如图：符合题意的点为(1,2)-．故答案为：(1,2)-．27．36【分析】本题考查轴对称的性质，三角形内角和定理，三角形的外角的性质等知识，证明2APF AFP A ∠∠∠==，利用三角形内角和定理构建方程求解即可．【详解】解：APT 与CPT △关于直线PT 对称，A C TA TC APT CPT ∠∠∠∠∴===，，，A APT ∠∠= ，A C APT CPT ∠∠∠∠∴===，FTC C ∠∠= ，22AFP C FTC C A ∠∠∠∠∠∴=+==，180A APF AFP ∠∠∠++=︒ ，5180A ∴∠=︒，36A ∴∠=︒，故答案为：36．28．1902m ︒-︒【分析】此题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的性质和判定，轴对称性质等知识，过点O 作OH BC ⊥，OI AB ⊥，OJ B N '⊥，OK AC ⊥，OG B M '⊥，根据角平分线的性质定理得到OG OK =，然后证明出()Rt Rt HL GOF KOF ≌，得到GOF KOF ∠=∠，KOE JOE ∠=∠，然后求出12EOF GOJ ∠=∠，然后根据对称的性质得到A m B BC ∠=︒'∠=，进而求解即可．【详解】如图所示，过点O 作OH BC ⊥，OI AB ⊥，OJ B N '⊥，OK AC ⊥，OG B M '⊥∵点O 为CAB ∠和ABC ∠的角平分线交点，∴OH OI OK==∵点B 关于直线l 的对称点为B '，∴OM 平分B MB '∠，ON 平分B NB'∠∴OH OG =，OI OJ=∴OG OK=∵90OGF OKF ∠=∠=︒，OF OF=∴()Rt Rt HL GOF KOF ≌∴GOF KOF∠=∠同理可得，KOE JOE∠=∠∴111222EOF KOF KOE GOK JOK GOJ ∠=∠+∠=∠+∠=∠∵点B 关于直线l 的对称点为B '，∴A m B BC ∠=︒'∠=∵9090180B GO B JO ''∠+∠=︒+︒=︒∴180180GOJ B m '∠=︒-∠=︒-︒∴()11118090222EOF GOJ m m ∠=∠=︒-︒=︒-︒．故答案为：1902m ︒-︒．29．70【分析】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质以及三角形内角和定理．先根据已知条件求出ACB ∠的度数，然后根据折叠可知：∠AED ＝∠A ′ED ＝45°，再利用平行线的性质求出EFD ∠，最后利用三角形内角和求出1∠即可．【详解】解：由折叠可知：AED A ED ∠=∠'，∵2565A B ∠=︒∠=︒，，∴A B ∠∠=︒+90，∴90ACB ∠=︒，∵EA BC '∥，∴90AEA ACB ∠'=∠=︒，∴45AED A ED ∠=∠'=︒，∵'EA BC ∥，65B ∠=︒，∴65EFD B ∠=∠=︒，∵1180EFD A ED ∠+∠+∠'=︒，∴1180654570∠=︒-︒-︒=︒．故答案为：70．30．41︒/41度【分析】本题考查了折叠的性质，由长方形和折叠的性质结合题意可求出49EAB FAD ''∠+∠=︒．再根据EAF EAB FAD B AD ''''∠=∠+∠-∠，即可求出答案．掌握折叠的性质是解题的关键．【详解】解：由长方形的性质可知：90BAE EAD B AD B AF DAF ''''∠+∠+∠+∠+∠=︒，。
部编人教版数学八年级上册第13章轴对称全章同步精练过关含答案
部编人教版数学八年级上册第13章轴对称全章同步精练过关含答案课后训练基础巩固1．在以下四个标志中，是轴对称图形的是()．2．下列说法中错误的是()．A．成轴对称的两个图形的对应点连线的垂直平分线是它们的对称轴B．关于某条直线对称的两个图形全等C．全等的三角形一定关于某条直线对称D．若两个图形沿某条直线对折后能够完全重合，我们称两个图形成轴对称3．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，且∠A＝78°，∠C′＝48°，则∠B的度数为()．A．48° B．54°C．74° D．78°4．从商场试衣镜中看到某件名牌服装标签上的后5位编码是，则该编码实际上是__________．5．如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E.若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为__________．能力提升6．我国的文字非常讲究对称美，分析如图四个图案，图案________有别于其余三个图案()．7．如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打3个洞，则纸片展开后的图是()．8．(创新应用题)如图，把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移，我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换．．．．．．．．在自然界和日常生活中，大量的存在这种图形变换(如图甲)．结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称．．．．变换．．过程中，两个对应三角形(如图乙)的对应点所具有的性质是()．A．对应点连线与对称轴垂直B．对应点连线被对称轴平分C．对应点连线被对称轴垂直平分D．对应点连线互相平行9.如图，点P为∠AOB内一点，分别作出点P关于OA，OB的对称点F，E，连接EF 交OA于N，交OB于M，EF＝15，求△PMN的周长．10．如图，将一张正六边形纸沿虚线对折3次，得到一个多层的60°角的三角形纸．用剪刀在折叠好的纸上随意剪出一条线．(1)猜一猜，将纸打开后，你会得到怎样的图形？(2)这个图形有几条对称轴？(3)如果想得到一个含有五条对称轴的图形，你应该取什么形状的纸？应该如何折叠？11．如图，△ABC中，BC＝7，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G.求△AEG的周长．参考答案1．A点拨：只有A图沿中间竖直的一条直线折叠，左右两边能够重合，故选A.2．C点拨：虽然关于某条直线对称的两三角形全等，但全等的两三角形不一定关于某条直线对称，因而选C.3．B点拨：因为关于某直线对称的两图形全等，所以∠A＝∠A′＝78°，∠C′＝∠C＝48°，所以∠B＝54°，故选B.4．BA629点拨：假定最左侧或右侧有一条直线为对称轴，沿此直线折叠都会得到BA629，或将此图案从反面观察，也可得到BA629.5．6点拨：由△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，可知BE＋BD－DE＝12①，由△EDC的周长为24可知CE＋CD＋DE＝24，由DE是BC边上的垂直平分线可知BE＝CE，BD＝CD，所以BE＋BD＋DE＝24②，②－①，得2DE＝12，所以DE＝6.6．D点拨：都是轴对称图形，但图案D有两条对称轴，其余三个图案都只有一条对称轴．7．D点拨：解决此类问题的基本方法是，根据“折叠后的图形再展开，则所得的整个图形应该是轴对称图形”，从所给的最后图形作轴对称，题目折叠几次，就作几次轴对称，沿两条对角线所在直线画对称轴，只有D适合，故选D.8．B点拨：因为对称且平移，所以原有的性质已有变化，A、C、D都已不成立，只有B选项正确，故选B.9．解：∵点P与点E关于OB轴对称，∴CE＝CP，MC⊥PE.∴∠MCE＝∠MCP＝90°.在△MCE和△MCP中，∵,,,CE CPMCE MCP CM CM=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△MCE≌△MCP.∴MP＝ME，同理NP＝NF.∴MP＋MN＋NP＝ME＋MN＋NF＝EF＝15，即△PMN的周长是15.10．解：(1)轴对称图形．(2)至少有3条对称轴．(3)取一张正十边形的纸，沿它的通过中心的五条对角线折叠5次，得到一个多层的36°角的图形，用剪刀在叠好的纸上任意剪出一条线，打开就可以得到一个至少含五条对称轴的图形．11．解：DE、GF分别是AB、AC的垂直平分线，∴BE＝AE，CG＝AG.∴△AEG的周长＝AE＋EG＋AG＝BE＋EG＋CG＝BC＝7.答：△AEG的周长为7.课后训练基础巩固1．下列说法正确的是()．A．全等的两个图形可以由其中一个经过轴对称变换得到B．轴对称变换得到的图形与原图形全等C．轴对称变换得到的图形可以由原图形经过一次平移得到D．轴对称变换中的两个图形，每一对对应点所连线段都被这两个图形之间的直线垂直平分2．下面是一位美术爱好者利用网格图设计的几个英文字母的图形，你认为其中是轴对称图形的有()．A．1个B．2个C．3个D．4个3．点M(1,2)关于x轴对称的点的坐标为()．A．(－1，－2) B．(－1,2)C．(1，－2) D．(2，－1)4．如图，将正方形纸片对折两次，并剪出一个菱形小洞后铺平，得到的图形是()．5．已知点P(a＋1,3)、Q(－2,2a＋b)关于y轴对称，则a＝__________，b＝__________；若关于x对称，则a＝__________，b＝__________.6．如图，四边形ABCD的顶点坐标为A(－5,1)，B(－1,1)，C(－1,6)，D(－5,4)，请作出四边形ABCD关于x轴及y轴的对称图形，并写出各对称图形的顶点坐标．能力提升7．李芳同学球衣上的号码是253，当她把镜子放在号码的正左边时，镜子中的号码是()．8．若|3a－2|＋|b－3|＝0，则P(－a，b)关于y轴的对称点P′的坐标是__________．9．点A(－2a，a－1)在x轴上，则A点的坐标是__________，A点关于y轴的对称点的坐标是__________．10．桌面上有A、B两球，若要将B球射向桌面任意一边，使一次反弹后击中A球，则如图所示8个点中，可以瞄准的点有()．A．1个B．2个C．4个D．6个11．小明上午在理发店理发时，从镜子内看到背后墙上普通时钟的时针与分针的位置如图所示，此时时间是________．12．(探索规律题)数的运算中含有一些有趣的对称形式，如第(1)个式子，依照等式的形式填空，并检验等式是否成立．(1)12×231＝132×21；(2)12×462＝__________×__________；(3)18×891＝__________×__________；(4)24×231＝__________×__________.13．(湖南郴州)作图题：在方格纸中，画出△ABC关于直线MN对称的△A1B1C1.14．将一张长方形的纸对折(如图所示)，可以得到一条折痕(图中虚线)，继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到7条折痕，那么对折四次可以得到几条折痕？如果对折n次可以得到几条折痕？15．(实际应用题)如图所示，某人每天先将羊群从驻地A赶到河边饮水(直线a表示河流)，然后再赶到草地放牧(直线b表示草地边界)，傍晚回到驻地A.请你设计出最短的放牧路线．16．用四个任意大小的半圆面设计四个轴对称图案(如图所示)，并且为所设计的每个图案命名，名称贴切生动．莲花盛开参考答案1．B 点拨：由轴对称概念及性质进行判断，知B 正确，D 错误，这两个图形之间的直线不一定是对称轴，又因为成轴对称的两个图形不仅全等还与位置有关故A 、C 错误．2．B 点拨：由图形的特征，结合轴对称的概念，可以判断只有第一个和第三个中的图形都是轴对称图形，故有2个，应选B.3．C 点拨：关于x 轴对称的点的坐标变化特点是：横坐标不变，纵坐标互为相反数，故选C.4．C 点拨：本题是将正方形两次翻折后剪裁，且剪裁位置在折叠后图形的正中间，因而将所给最后图形作两次轴对称展开，得到图形C.5．1 1 －3 3 点拨：若点P (a ＋1,3)、Q (－2,2a ＋b )关于y 轴对称，则a ＋1＝2,2a ＋b ＝3，解得a ＝1，b ＝1；同样若点P (a ＋1,3)、Q (－2，2a ＋b )关于x 轴对称，则a ＋1＝－2,2a ＋b ＝－3，解得a ＝－3，b ＝3.6．解：(1)如图所示，四边形A ′B ′C ′D ′和四边形A ″B ″C ″D ″即为所求．(2)关于y 轴对称的四边形A ′B ′C ′D ′各顶点的坐标分别是A ′(5,1)，B ′(1,1)，C ′(1,6)，D ′(5,4)；关于x 轴对称的四边形A ″B ″C ″D ″各顶点的坐标分别是A ″(－5，－1)，B ″(－1，－1)，C ″(－1，－6)，D ″(－5，－4)．7．A 点拨：把球衣上253的号码向左翻折180°，得到的图案即是镜子中的号码． 8．2(,3)39．(－2,0) (2,0) 点拨：因为点A 在x 轴上，所以a －1＝0，所以a ＝1，A 点的坐标就是(－2,0)，关于y 轴的对称点的坐标是(2,0)．10．B 点拨：如题图，以D 点为例，若能击中A 球，则∠BDQ ＝∠ADQ ，很显然不等，所以一次反弹后不能击中A 球，8个点中只有射向F 、Q 时，才能击中A 球，故选B.11．10时45分点拨：镜子里的时针与分针关于镜面对称，左右相反．12．(2)264 21(3)198 81(4)132 42点拨：仔细的观察不难发现等号左、右两边是对称的，根据这一规律，即可得出结论．13．解：分别作出点A ，B ，C 关于直线MN 的对称点A ′，B ′，C ′，再依次连接即得到图形。
第十三章 轴对称 章节达标检测(原卷版)
第十三章轴对称一、单选题：1．下列银行标志中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．如图，∠A ＝30°，∠C ′＝60°，△ABC 与△A ′B ′C ′关于直线l 对称，则∠B 度数为（）A ．30︒B ．60︒C ．90︒D ．120︒3．如图，将△ABC 的三个顶点坐标的横坐标都乘以-1，并保持纵坐标不交，则所得图形与原图形的关系是()A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．将原图形沿x 轴的负方向平移了1个单位D ．将原图形沿y 轴的负方向平移了1个单位4．已知点P (a ，2b -)与点Q 关于x 轴对称，则点Q 的坐标是（）A ．Q (a ，2b -+)B ．Q (a -，2b -)C ．Q (a ，2b +)D ．Q (a -，2b -+)5．有下列命题：①等腰三角形的角平分线、中线和高重合；②等腰三角形两腰上的高相等；③有个外角等于120°的等腰三角形是等边三角形；④等边三角形的高线、中线、角平分线都相等；其中正确的有()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．如图，在44⨯正方形网格中，已将图中的四个小正方形涂上阴影，若再从图中选一个涂上阴影，使得整个阴影部分组成的图形是轴对称图形，那么不符合条件的小正方形是（）A ．①B ．②C ．③D ．④7．如图，在△AB C 中，AB =AC ，∠BAC =120°，AB 的垂直平分线交AB 于点E ，交BC 于点F ，连接AF ，则∠AFC 的度数（）A ．80B ．70C ．60D ．50 8．如图，△AB C 中，AB =AC ，过点A 作DA ⊥AC 交BC 于点D ．若∠B =2∠BAD ，则∠BAD 的度数为（）A ．18°B ．20°C ．30°D ．36°9．如图，等边ABC ∆的边长为8,AD 是BC 边上的中线，E 是AD 边上的动点，F 是AB 边上一点，若4BF =，当BE EF +取得最小值时，则EBC ∠的度数为（）A．15 B．25 C．30 D．45 中，AB=AC，AD是BC边的中线，以AC为边作等边△ACE，BE 10．如图，在ABC与AD相交于点P，点F在BE上，且PF=PA，连接AF下列四个结论：①AD⊥BC；②∠ABE=∠AEB；③∠APE=60°；④△AEF≌△ABP，其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4二、填空题：11．给出下列4种图形：①线段，②等腰三角形，③平行四边形，④圆.其中，不一定是轴对称图形的是（填写序号）.12．一个汽车牌照在水中的倒影为，则该汽车牌照号码为. 13．如图，在△AB C中，AB=AC，D为BC上一点，且CD=AD，AB=BD，则∠B的度数为．14．若点A（m+2，3）与点B（﹣4，n+5）关于y轴对称，则m+n=15．如图，在△AB C中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB 于M，交AC于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为．16．如图，△AB C中，AB=AC，AB的垂直平分线交边AB于D点，交边AC于E点，若△ABC与△EBC的周长分别是40cm，24cm，则AB=cm．17．如图，等腰三角形ABC底边BC的长为4cm，面积是12cm2，腰AB的垂直平分线EF交AG于点F，若D为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM的周长最短为cm.18．如图，△ABC中，AB=11，AC=5，∠BAC的平分线AD与边BC的垂直平分线CD相交于点D，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，则BE的长为．三、作图题：19．作图：已知∠AOB，试在∠AOB内确定一点P，使P到OA、OB的距离相等，并且到M、N两点的距离也相等。
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轴对称练习姓名
1.下列四个图形中，不是轴对称图形的为（）
A．B．C．D．
2. 下列说法错误的是（）
A．关于某条直线对称的两个三角形一定全等
B．轴对称图形至少有一条对称轴
C．全等三角形一定能关于某条直线对称
D．角是轴对称的图形
3.如图，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OB、OA的对称点P1，P2，连
接P1P2交OB于M，交OA于N，若∠AOB＝40°，则∠MPN的度数是
4.如图，△ABC中，∠B＝60°，∠C＝55°，点D为BC边上一动点．分别
作点D关于AB，AC的对称点E，F，连接AE，AF．则∠EAF的度数等
于°．
5.如图，桌面上有M、N两球，若要将M球射向桌面的任意一边，使一次反
弹后击中N球，则4个点中，可以瞄准的是
6.如图，在3×3的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，再将图中的一个小正方形涂黑，所得
图案是一个轴对称图形，则涂黑的小正方形可以是（填出所有符合要求的小正方形的标号）
7.已知：点A（m﹣1，3）与点B（2，n﹣1）关于x轴对称，则（m+n）2019的值为
8.已知点M（1﹣2m，m﹣1）关于x轴的对称点在第二象限，则m的取值范围
是．
9.如图，在11×11的正方形网格中，网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶
点都在格点上）．
（1）在图中作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1（要求A与A1，B与B1，
C与C1相对应）；
（2）在直线l上找一点P，使得P A＝PB．
10.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的7×12的网格中，A、
B、C、D均为格点（网格线的交点）．
（1）作线段AB和线段CD的对称轴l，并在图中画出直线l；
（2）用无刻度的直尺在l上找一点O，使得OB＝OC，保留作图痕迹．
11.将一个正方形纸片依次按图1－4a，b的方式对折，然后沿图c中的虚线裁剪，成图d样式，将纸展开铺平，所
得到的图形是图1－5中的（）
图1－4
12.已知，如图，在直角坐标系中，点A在y轴上，BC⊥x轴于点C，点A关于直线
OB的对称点D恰好在BC上，点E与点O关于直线BC对称，∠OBC＝35°，
求∠OED的度数．
13.如图，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，那么点E、F是否
关于AD对称？若对称，请说明理由．
14.如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线l交BC于点D．若∠BAD
＝78°，则∠B的度数是
15.如图，△ABC中，AB＝AC，作△BCE，点A在△BCE内，点D在BE上，AD垂直平分BE，
且∠BAC＝m°，则∠BEC＝
16.等腰三角形的两边长分别为25cm和13cm，则它的周长是
17.如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠A＝∠B＝30°，点D在线段AB上
运动（D不与A、B重合），连接CD，作∠CDE＝30°，DE交BC于点
E，在点D的运动过程中，△CDE的形状可以是等腰三角形吗？若可
以，求出∠ADC的度数；若不可以，说明理由．
18.如图，在6×6的网格中，请你找出与线段AB能组成等腰三角形的格点C，如果有多个，
请你以C1，C2…区分．
19.如图，ΔABC中，AB＝AC，AD＝BD，AC＝CD，则∠BAC＝______．
20.如图，已知△ABC中，∠B＝50°，P为△ABC内一点，过点P的直线MN分别交AB，BC于
点M、N．若M在P A的中垂线上，N在PC的中垂线上，则∠APC的度数为
21.小马和小虎在解这样一道题：“如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E在边AB上，AE
＝AC，BD＝BC，求∠DCE的度数．”他们经过商量后，结论不一致，小马说：“∠DCE的值与∠B的度数有关，只有知道∠B的度数才能求出∠DCE的度数．”小虎说：“∠DCE的度数是一个定值，与∠B的度数无关．”他们谁说的正确？请说明理由．
22.如图，△ABC是等边三角形，BD是高，延长BC到E，使CE＝CD，过D作DF⊥BE于F
求证：BF＝BE．
23.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，E是AB的中点，连接ED
并延长，交BC的延长线于点F，连接AF，求证：
（1）EF⊥AB；
（2）△ACF为等腰三角形．
24.如图，已知在△ABC中，△ABC的外角∠ABD的平分线与∠ACB的平分线交于点O，MN过点O，且MN∥BC，
分别交AB、AC于点M、N．求证：MN＝CN﹣BM．
25.如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC．
（1）求证：△ODE是等边三角形．
（2）线段BD、DE、EC三者有什么数量关系？写出你的判断过程．
26.如图，△ABD和△BCD均是边长为2的等边三角形，E、F分别是AD、CD上的两个动点，且满足AE+CF＝2．
（1）求证：△BDE≌△BCF；
（2）判断△BEF的形状，并说明理由．
27.已知△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D，DE∥BC，
（1）如果点E是边AC的中点，AC＝5cm，求DE的长；
（2）如图2，若DE平分∠ADC，在BC边上取点F，使∠DFC＝60°，若BC＝7，BF＝2，求DF的长．
28.如图（1），等边△ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连接AE．
（1）△DBC和△EAC会全等吗？请说说你的理由；
（2）试说明AE∥BC的理由；
（3）如图（2），将（1）动点D运动到边BA的延长线上，所作仍为等边三角形，请问是否仍有AE∥BC？证明你的猜想．
29. 如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝10，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM
＝．
30．如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，AB的垂直平分线EF交AB于E，交BC于F．求证：CF＝2BF．
31.已知：如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CD∥AB，BC＝6cm，∠BAD＝30°，∠B＝90°．求CD的长
______．
32.如图，等边三角形ABC的边长为6，A、B、A1三点在一条直线上，且△ABC≌△A1BC1.若D为线段BC1上一动
点，则AD+CD的最小值是
33.如图，等腰△ABC的底边BC长为4cm，面积为16cm2，腰AC的垂直平分线EF交AC于点E，交AB于点F，
D为BC的中点，M为直线EF上的动点．则△CDM周长的最小值为。