高中数学圆锥曲线知识点总结及公式大全
高中数学圆锥曲线性质与公式总结
1 r22
1 a2
1 b2
(r1 | OP |, r2
| OQ |)
.
16．若椭圆
x2 a2
y2 b2
1（a＞b＞0）上中心张直角的弦
L
所在直线方程为
Ax By
1
( AB
0)
,则(1)
1 a2
1 b2
A2 B2 ;(2)
L
2 a4 A2 b4B2 a2 A2 b2B2
或(o, m)为其对称轴上除中心，顶点外的任一点，过 M 引一
条直线与椭圆相交于 P、Q 两点，则直线 A1P、A2Q(A1 ,A2 为对称轴上的两顶点)的交点 N 在直线 l ：x a2 (或 m
y b2 )上. m
40．设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结 AP 和 AQ 分别交相
1
则直线
BC
有定向且 kBC
b2 x0 a2 y0
（常数）.
x2 20．椭圆 a2
y2 b2
1
(a＞b＞0)的左右焦点分别为 F1，F 2，点 P 为椭圆上任意一点 F1PF2 ，则椭圆
的焦点三角形的面积为 SF1PF2
b2
tan 2
， P(
a c
c2 b2 tan 2 , b 2 tan ) 2c 2
应于焦点 F 的椭圆准线于 M、N 两点，则 MF⊥NF.
41．过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、Q, A1、A2 为椭圆长轴上的顶点，A1P 和 A2Q 交于点 M，
A2P 和 A1Q 交于点 N，则 MF⊥NF.
高中数学素材：圆锥曲线知识点与公式
第1节 椭圆【知识梳理】1．椭圆的定义平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数(12122PF PF a F F +=>)，这个动点P 的轨迹叫椭圆．这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距． 若1212PF PF F F +=，则动点P 的轨迹为线段12F F ；若1212PF PF F F +<，则动点P 的轨迹无图形．2．椭圆的标准方程与几何性质 3．椭圆的通径以及有关最值过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆的通径，其长为22b a ．①椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端点． ②椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点．距离的最大值为a c +，距离的最小值为a c −．[使用点到点的距离公式证明] 4．点与椭圆的位置关系对于椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，点00()P x y ，在椭圆内部，等价于2200221x y a b +<，点00()P x y ，在椭圆外部，等价于2200221x y a b+>．5．椭圆焦点三角形的面积为2tan2S b θ=⋅（θ为焦距对应的张角）1(0)F c −，，2(0F证明：设12,PF m PF n ==()()()()()()122222221222cos 2121cos 1sin 32F PF m n a b c m n mn mn S mn θθθ+==+−−= + = ，： 1222222sin cossin 22tan 1cos 22cos 2F PF S b b b θθθθθθ⇒=⋅=⋅=+ ．6．椭圆的切线（1）椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点00()P x y ，处的切线方程是00221x x y y a b+=； （2）过椭圆22221(0)x y a b a b +=>>外一点00()P x y ，，所引两条切线的切点弦方程是00221x x y ya b+=； （3）椭圆 22221(0)x y a b a b+=>>与直线0Ax By C ++= 相切的条件是22222A a B b c +=.第二讲 双曲线【知识梳理】1．双曲线定义在平面内，到两个定点1F 、2F 的距离之差的绝对值等于常数2a （a 大于0且122a F F <）的动点P 的轨迹叫作双曲线．这两个定点1F 、2F 叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲1(0)F c −，，2(0)F c ，1(0)F c −，，F 2|2(F c c a b ==+12||2(F F c c =={y y a y a 或≤−≥轴和原点对称2．双曲线的通径过双曲线的焦点且与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段，称为双曲线的通径．通径长为22ba ．3．点与双曲线的位置关系对于双曲线22221(0)x y a b a b −=>>，点00()P x y ，在双曲线内部，等价于2200221x y a b−>．点00()P x y ，在双曲线外部，等价于2200221x y a b −<结合线性规划的知识点来分析．4．双曲线常考性质性质一 双曲线的焦点到两条渐近线的距离为常数b ；顶点到两条渐近线的距离为常数ab c; [使用点到直线的距离公式即可证明]性质二 双曲线上的任意点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数222a b c；证明 设11()P x y ，是双曲线22221(0)x y a b a b−=>>上任意一点，该双曲线的两条渐近线方程分别是0ay bx −=和0ay bx +=，点11()P x y ，和222a b c =． 5. 双曲线焦点三角形面积为2tan 2b θ（可以这样理解，顶点越高，张角越小，分母越小，面积越大）6. 双曲线的切线点00()M x y ，在双曲线22221x y a b−=(00)a b ，>>上，过点M 作双曲线的切线方程为00221x x y y a b−=．若点00()M x y ，在双曲线22221x y a b −=(00)a b ，>>外，则点M 对应切点弦方程为00221x x y ya b −=第3节 抛物线【知识梳理】1．抛物线定义平面内与一个定点F 和一条定直线l （l 不经过点F ）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线． 22(0)y px p =>22(0)y px p =−>22(0)x py p =>22(0)x py p =−>0)，0y ≥，x R ∈0y ≤，x R ∈ 所以p 的值永远大于0．另外，焦半径使用定义即可证明．3．抛物线的通径过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦叫做抛物线的通径．对于抛物线22(0)y px p =>，由()2pA p ，，()2p B p −，，可得||2AB p =，故抛物线的通径长为2p ．4．弦的中点坐标与弦所在直线的斜率的关系：0p y k =证明（点差法）：设11()A x y ，，22()B x y ，为抛物线22(0)y px p =>上两点，则2112y px =，2222y px =作差得21211202y y p px x y y y −==−+,其中00()M x y ，是AB 中点．或者说，若设AB 的斜率为k ，则AB 中点纵坐标0py k=．[焦点在y 轴上的抛物线，同理]111||[||||][||||]||222MN AC BD AF BF AB =+=+=，90ANB ∠=°，故以AB 为直径的圆与准线l 相切．设E 是AF 的中点，则E 的坐标为11222p x y +（，），则点E 到y 轴的距离为12221AF p x d ＝+= 故以AF 为直径的圆与y 轴相切，同理以BF 为直径的圆与y 轴相切.（2）在ACN △与AFN △中，||||||||AN AN AC AF ==，；在Rt ABN △中，NAM ANM ∠=∠90CAN ANM ACN AFN AFN ACN FN AB ∠=∠∠=∠=°⊥，△≌△，因为2()D p y F −＝，，1()C p y F −＝，，所以212+=0DF CF p y y =，所以FC FD ⊥．（3）设直线AB 的方程为2p x ty =+与抛物线22y px =联立得：22()2py p ty =+，即2220y pty p −−=，故212y y p =−，2221212224y y p x x p p ==． （4）11211122OA y y p k y x y p===，2222212122222OD y y py py pk p p p y y y ==−=−==−，则A 、O 、C 三点共线，同理B 、O 、C 三点共线．上述证明方式并非唯一，多种方法均可证明，不再赘述．6．抛物线的切线问题点00()M x y ，在抛物线22y px =(0)p >上，过点M 作抛物线的切线方程为00()y yp x x =+．点00()M x y ，在抛物线22y px =(0)p >外，过点M 对应切点弦方程为00()y yp x x =+． 点00()M x y ，在抛物线22x py =(0)p >内，过点M 作抛物线的弦AB ，分别过A B 、作抛物线的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线00()x xp y y =+．第4节 焦长与焦半径体系【知识梳理—椭圆篇】1．焦半径公式设椭圆22221(00)x y a b a b +=>>，的右焦点为2(0)F c ，，11()A x y ，是椭圆上任意一点，则21212222121222221221212121222)1(2)(a cx x ac c b cx x a b a ax b c cx x y c x AF +−=++−−=−++−=+−=11cax a ex a=−=−．其中e 为椭圆的离心率，焦半径公式也可由第二定义快速得到2211()a AF e x a ex c=−=−,同理可以推出其他焦半径公式．焦点在y 轴上的椭圆和双曲线的时候，同理也可推出焦半径公式．总结：在椭圆和双曲线中，11()A x y ，到焦点的距离为1AF a ex =±（焦点在x 轴上） 1AF a ey =±（焦点在y 轴上）[长短记忆法：画图看长短来判断谁加谁减．] [口诀记忆法: 左加右减，上加下减，长正短负]焦半径范围：根据公式21AF a ex =−里面坐标x 1的范围，可得2AF 的范围为2a c AF a c −≤≤+． 2．焦点弦长公式椭圆焦点弦长公式．在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>中，结合椭圆的焦点弦公式，过右焦点F的弦长为221212 ||()()2()a aMN e x e x a e x x c c =−+−=−+．3．椭圆焦长以及焦比问题焦长公式：A 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点，1F 、2F 是左、右焦点，12AF F ∠为α，AB过1F ，c 是椭圆半焦距，则：（1）21||cos b AF a c α=−；（2）21||cos b BF a c α=+；（3）2222222222||cos sin ab ab AB a c b c αα==−+．图1-1-1证明 （1）如图1-1-1所示，12||||2AF AF a +=；12||||2BF BF a +=，故22||||||4AB AF BF a ++=； （2）设1||AF m =，1||BF n =，2||2AF a m =-，2||2BF a n =-，由余弦定理得 222(2)(2)2(2)cos m c a m m c α+--=⋅；整理得21||cos b AF a c α=-① 同理：222(2)(2)2(2)cos(180)n c a n n c α︒+--=⋅-；整理得21||cos b BF a c α=+②①+②得，则过焦点的弦长：2222222222||cos sin ab ab AB m n a c b c αα=+==-+③焦比定理 过椭圆22221x y a b +=的左焦点1F 的弦21||cos b AF a c α=−，21||cos b BF a c α=+，令11||||AF F B λ=，即221cos cos cos 1b b e ac a c λλαααλ-=⇒=-++④，代入焦长公式①可得21(1)||2b AF aλ+=⑤．推论 根据公式1cos 1e λαλ-=+，利用tan k α=把角度替换掉可以得到e =注意：1．整个焦长体系只需要记住上面~①⑤的公式，其他要熟悉推导，涉及到的面积问题记住是焦长当底即可；当直线过右焦点，或者上焦点、下焦点时，要熟悉此时的公式会如何变化，详见后面记忆方法处．2．学习焦长焦比体系要非常熟悉推导过程[定义+余弦定理+abc 的平方关系]，在处理解答题的时候，若用本模块公式到必须给出必要证明．3．公式1cos 1e λαλ-=+和21(1)||2b AF a λ+=这两个公式属于结论公式，一般用上能很快解题，所以在解小题的时候要优先考虑这两个公式．和角度相关优先想第一个，只和长度相关优先想第二个．4．焦长公式利用极坐标或第二定义都能更快证明，这个问题大家可以自己去掌握，解答题中的证明建议以余弦定理的方式为主；其他证法本文不在阐述，读者可以自己去掌握．[长短记忆法: 画图，看长短来记忆．当焦点在x 轴上的时候，焦长为2cos b a c α±，其中α为焦长所在直线的倾斜角或者其补角，为方便判断，一般选用锐角记为α．例如上图，如果记12AF F ∠为α,那么根据草图1||AF 为长边，则分母小即可得到21||cos b AF a c α=-,不管交于左右都是如此，交于y 轴的话需要把cos α换成sin α．焦比公式，如果1cos 1e λαλ-=+,λ为两个焦长之比，可以选=λ长短也可以=λ短长,但是公式里面要正负对齐，如果α选的是锐角，那么左侧是正的，右侧也要为正的，此时=λ长短;反之α选钝角，右侧=λ短长最后一个公式一样的，2(1)2b a λ+，代入的=λ长短算出来的就是长边，如果代入的=λ短长,算出来就是短边]1．双曲线焦长以及焦比问题周长问题：双曲线22221x y a b-=(00)a b ，>>，的两个焦点为1F 、2F ，弦AB 过左焦点1F （A 、B 都在左支上），||AB l =，则2ABF △的周长为42a l +（如图）图1-2-1 图1-2-2 图1-2-3 设A 是双曲线22221x y a b-=(00)a b ，>>上一点，设12AF F ∠为α，直线AB 过点1F ．(1)直线和渐近线平行时，此时1cos e α=． (2)当AB 交双曲线于一支时，则21cos b AF a c α=+；21cos b BF a c α=−．2222222222||cos sin ab ab AB a c b c αα==−+，22222||cos ab AB a c α=-，2221cos 01cos a c e αα->⇒<< 令11||||BF F A λ=，即221cos cos cos 1b b e a c a c λλαααλ-=⇒=-++，代入弦长公式可得21(1)||2b AF aλ+=． 当AB 交双曲线于两支时，21cos b AF a c α=+；21cos b BF a c α=−；22222||cos ab AB c a α=-，2221cos 0cos a c e αα-<⇒>（图1-2-3），令11||||BF F A λ=，221cos (1)cos cos 1b b e c a a c λλαλααλ+=⇒=>-+-，代入弦长公式可得21(1)||2b BF aλ-=．=λ长（其中）短 [总结：焦点在x 轴上的时候，直线和双曲线交于单支的时候，公式形式和椭圆完全一样； 直线和双曲线交于双支的时候，公式形式有所变化，具体参考上面书写] 因为双曲线的部分考题会涉及渐近线，不过焦点的时候要注意，注意鉴别．1．||||1cos 1cos p pAF BF αα==−+；． 2．1222||sin p AB x x p α=++=． 3．22sin AOBp S △α=． 4．设||||AF BF λ=，则11cos ;||12AF p λλαλ−+==+． 5．设AB 交准线于点P ，则||cos ||AF PA α=；||cos ||BF PB α=． 证明1．||||||||||||cos 1cos AC AF p AF p FD AC AF θθ= ⇒===−−，同理||1cos pBF α=+． 2．22||||||1cos 1cos sin p p pAB AF BF ααα=+=+=-+． 3．设O 到AB 的距离为d ，则 sin 2pd α=，故22112||sin 22sin 22sin AOB p p p S AB d ααα===△． 4．||1cos 1cos ||1cos 1AF BF αλλλααλ+−=⇒=⇒=−+，1||1cos 2p AF p λα+==−． 5．||2A p AF x =+，||2B p BF x =+，||cos ||AF PA α=，||cos ||BF PB α=． 关于抛物线22x py =的焦长公式及定理（A 为直线与抛物线右交点，B 为左交点，90 α<为AB 倾斜角）1．||1sin p AF α=−；||1sin pBF α=+．2．1222||cos pAB y y p α=++=． 3．22cos AOBp S α=△．4．设||||AF BF λ=，则1sin 1λαλ−=+；1||2AF p λ+=．5．设AB 交准线于点P ，||||sin ;sin ||||AF BF PA PB αα==． [总结：抛物线焦点在x 轴的时候的，焦长为1cos p α±，1cos 1λαλ−=+，焦长为12p λ+，记忆方法参考椭圆模块；当焦点在y 轴上的时候cos 换成sin]。
高中圆锥曲线公式总结大全
高中圆锥曲线公式总结大全
高中数学中，圆锥曲线是一个重要的内容，包括椭圆、双曲线和抛物线。
这些曲线的公式是
几何、物理、工程等领域中常用的，下面是圆锥曲线公式总结：
1. 椭圆公式
椭圆的标准方程为：((x-h)^2)/a^2 + ((y-k)^2)/b^2 = 1。
其中，(h,k)表示椭圆的中心坐标，a和b分别表示椭圆在x和y方向上的半轴长度。
2. 双曲线公式
双曲线的标准方程为：((x-h)^2)/a^2 - ((y-k)^2)/b^2 = 1。
其中，(h,k)表示双曲线的中心坐标，a和b分别表示双曲线在x和y方向上的半轴长度。
3. 抛物线公式
抛物线的标准方程为：y = ax^2 + bx + c。
其中，a、b和c分别为常数，a表示抛物线的开口方向、大小，b表示抛物线水平方向位置，c表示抛物线的最低点（也就是y轴截距）。
4. 曲率半径公式
曲线在某一点的曲率半径R可以使用以下公式计算：R = [(1+(y')^2)^(3/2)]/|y''|。
其中，y'和y''分别表示曲线在该点处的一阶和二阶导数。
5. 弧长公式
曲线在两点之间的弧长可以使用以下公式计算：L = ∫(a to b)[((1+(y')^2)^(1/2)]dx。
其中，a和b分别代表起点和终点，在这个区间内，x的取值范围满足 a≤x≤b。
总之，圆锥曲线的公式是高中数学中的重要内容，不仅在理论研究方面有着广泛的应用，也
在实际问题的建模和解决中具有重要意义。
圆锥曲线知识点总结_高三数学知识点总结
圆锥曲线知识点总结_高三数学知识点总结圆锥曲线是由平面上直线与一个定点及一定曲线相交而形成的曲线，分为圆、椭圆、双曲线和抛物线四种类型。
在高三数学中，学习圆锥曲线是必不可少的。
以下为圆锥曲线的相关知识点总结。
一、坐标系下的圆锥曲线方程式1.圆的方程所谓圆，是指平面上到定点距离等于定长的所有点的集合。
设圆心为$O({{x_0},{y_0}})$，半径为 $r$，则圆的方程为$${(x - {x_0})^2} + {(y - {y_0})^2} = {r^2}$$3.双曲线的方程二、圆锥曲线的性质（1）对圆上任意一点，作圆的切线，它垂直于切点与圆心的连线。
（2）两个数轴上投影相等的两点与圆心之间的距离相等（称为圆的两点定理）。
（3）圆心为原点的圆，其半径为 $r$，横轴方程为 $x^2 + y^2 = r^2$，纵轴方程为$x^2 + y^2 = r^2$。
2.椭圆（1）椭圆的两个焦点与中心 $O$ 在一条直线上。
（2）椭圆的上下两支称为上半部和下半部，椭圆与 $x$ 轴的交点称为顶点。
（4）椭圆的到两个焦点分别距离和为定值，等于两倍的圆长轴长。
（2）双曲线的两支曲线称为左半支和右半支，曲线的两个交点称为顶点，与左右两支连接的两条直线称为渐近线。
4.抛物线（1）抛物线是关于顶点对称的曲线。
（2）抛物线与横轴交于顶点 $O$。
（3）抛物线与纵轴垂直。
三、曲线的参数方程如果把圆的中心移到原点，半径为 $r$，则圆的参数方程为$$\begin{cases}x=r\cos\theta\\y=r\sin\theta\end{cases}$$如果双曲线的中心移到原点，且 $a>b$，则双曲线的参数方程为$$\begin{cases}x=c\cosh \theta \\y=b\sinh \theta\end{cases}$$其中，$c=\sqrt{{a^2} + {b^2}}$，$\cosh \theta = \frac{{{e^\theta } + {e^{ - \theta }}}{2}}$，$\sinh \theta = \frac{{{e^\theta } - {e^{ - \theta }}}{2}}$。
圆锥曲线公式大全（高中珍藏版）
圆锥曲线公式大全1、椭圆的定义、椭圆的标准方程、椭圆的性质椭圆定义焦点位置椭圆的图象和性质若M 为椭圆上任意一点，则有|MF 1|+|MF 2|=2ax 轴y图形o xy 轴y o x标准方程焦点坐标焦距顶点坐标a ,b ,c 的关系式长、短轴对称轴离心率范围x 2y 2+2=12a b F 1(-c, 0 ), F 2( c, 0 )|F 1F 2| = 2c(±a , 0 ), ( 0,±b )a 2 =b 2 +c 2y 2x 2+2=12a b F 1(0,-c, ), F 2( 0, c )(0,±a ), (±b , 0 )长轴长=2a ,短轴长=2b ，长半轴长=a ,短半轴长=b 无论椭圆是x 型还是y 型，椭圆的焦点总是落在长轴上关于x 轴、y 轴和原点对称e =c ( 0 <e < 1)，离心率越大，椭圆越扁，反之，越圆a-a ≤x ≤a ,-b ≤y ≤b 2-b ≤x ≤b ，-a ≤y ≤a22、判断椭圆是x 型还是y 型只要看x 对应的分母大还是y 对应的分母大，若x 对应的分母大则x 型，若y 对应的分母大则y 型.22x 2y 23、求椭圆方程一般先判定椭圆是x 型还是y 型，若为x 型则可设为2+2=1，若为y a b y 2x 222型则可设为2+2=1，若不知什么型且椭圆过两点，则设为稀里糊涂型：mx +ny =1a b 4、双曲线的定义、双曲线的标准方程、椭圆的性质双曲线的图象和性质若M为双曲线上任意一点，则有MF1-MF2=2a(2a<2c)双曲线定义若MF1-MF2=2a=2c,则点M的轨迹为两条射线若MF1-MF2=2a>2c,则点M无轨迹焦点位置x轴y轴图形标准方程焦点坐标焦距顶点坐标(±a, 0 )x2y2-2=12a bF1(-c, 0 ), F2( c, 0 )|F1F2| = 2cy2x2-2=12a bF1(0,-c, ), F2( 0, c )(0,±a )a,b,c的关系式椭圆形状长的像a,所以a是老大，a2 = b2 + c2；双曲线形状长的像c,所以c是老大，c2 = a2 + b2实轴、虚轴对称轴离心率范围渐近线实轴长=2a,虚轴长=2b，实半轴长=a,虚半轴长=b无论双曲线是x型还是y型，双曲线的焦点总是落在实轴上关于x轴、y轴和原点对称e=c(e >1)aa≤x或x≤-a,y∈R a≤y或y≤-a,x∈Ry=±bxay=±axb2、判断双曲线是x 型还是y 型只要看x 前的符号是正还是y 前的符号是正，若x 前的符号为正则x 型，若y 前的符号为正则y 型，同样的，哪个分母前的符号为正，则哪个分母就为a 22222x 2y 23、求双曲线方程一般先判定双曲线是x 型还是y 型，若为x 型则可设为2-2=1，若a b y 2x 2为y 型则可设为2-2=1，若不知什么型且双曲线过两点，则设为稀里糊涂型：a b mx 2-ny 2=1(mn <0)6、若已知双曲线一点坐标和渐近线方程y =mx ，则可设双曲线方程为y 2-m 2x 2=λ(λ≠0)，而后把点坐标代入求解7、椭圆、双曲线、抛物线与直线l :y =kx +b 的弦长公式：AB =(k 2+1)(x 1-x 2)2=(12+1)(y -y )122k 8、椭圆、双曲线、抛物线与直线问题出现弦的中点往往考虑用点差法9、椭圆、双曲线、抛物线与直线问题的解题步骤：（1）假化成整(把分式型的椭圆方程化为整式型的椭圆方程)，联立消y 或x (2)求出判别式，并设点使用伟大定理（3）使用弦长公式1、抛物线的定义：平面内有一定点F 及一定直线l (F 不在l 上)P 点是该平面内一动点，当且仅当点P 到F 的距离与点P 到直线l 距离相等时，那么P 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的一条抛物线.————见距离想定义！！！2、（1）抛物线标准方程左边一定是x 或y 的平方（系数为1），右边一定是关于x 和y 的一次项，如果抛物线方程不标准，立即化为标准方程！（2）抛物线的一次项为x 即为x 型，一次项为y 即为y 型!(3)抛物线的焦点坐标为一次项系数的四分之一，准线与焦点坐标互为相反数！一次项为x ，则准线为”x=多少”，一次项为y ，则准线为”y=多少”!(4)抛物线的开口看一次项的符号，一次项为正，则开口朝着正半轴，一次项为负，则开口朝着负半轴！（5）抛物线的题目强烈建议画图，有图有真相，无图无真相！3、求抛物线方程，如果只知x 型，则设它为y =ax (a ≠0),a>o,开口朝右；a<0,开口朝左；如果只知y 型，则设它为x =ay (a ≠0),a>o,开口朝上；a<0,开口朝下。
(完整版)高中数学圆锥曲线知识点总结
高中数学知识点大全—圆锥曲线一、考点（限考）概要：1、椭圆：（1）轨迹定义：①定义一：在平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹是椭圆，两定点是焦点，两定点间距离是焦距，且定长2a大于焦距2c。
用集合表示为：；②定义二：在平面内到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做椭圆。
其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数是离心率用集合表示为：；（2）标准方程和性质：注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。
（3）参数方程：（θ为参数）；3、双曲线：（1）轨迹定义：①定义一：在平面内到两定点的距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹是双曲线，两定点是焦点，两定点间距离是焦距。
用集合表示为：②定义二：到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做双曲线。
其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数e是离心率。
用集合表示为：（2）标准方程和性质：注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。
4、抛物线：（1）轨迹定义：在平面内到定点和定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线，定点是焦点，定直线是准线，定点与定直线间的距离叫焦参数p。
用集合表示为：（2）标准方程和性质：①焦点坐标的符号与方程符号一致，与准线方程的符号相反；②标准方程中一次项的字母与对称轴和准线方程的字母一致;③标准方程的顶点在原点，对称轴是坐标轴，有别于一元二次函数的图像；二、复习点睛：1、平面解析几何的知识结构：2、椭圆各参数间的关系请记熟“六点六线，一个三角形”，即六点：四个顶点，两个焦点；六线：两条准线，长轴短轴，焦点线和垂线PQ；三角形：焦点三角形。
则椭圆的各性质（除切线外）均可在这个图中找到。
3、椭圆形状与e的关系：当e→0，c→0，椭圆→圆，直至成为极限位置的圆，则认为圆是椭圆在e=0时的特例。
当e→1，c→a椭圆变扁，直至成为极限位置的线段，此时也可认为是椭圆在e=1时的特例。
圆锥曲线知识点整理
圆锥曲线知识点整理圆锥曲线是高中数学中的重要内容，包括椭圆、双曲线和抛物线。
下面我们来详细整理一下圆锥曲线的相关知识点。
一、椭圆1、定义平面内与两个定点 F₁、F₂的距离之和等于常数（大于|F₁F₂|）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。
2、标准方程焦点在 x 轴上：＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\）），其中\（a\）为长半轴长，＼（b\）为短半轴长，＼（c\）为半焦距，满足\（c^2 ＝ a^2 b^2\）。
焦点在y 轴上：＼（＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2} ＝1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\））3、椭圆的性质（1）范围：对于焦点在 x 轴上的椭圆，＼（a ＼leq x ＼leq a\），＼（b ＼leq y ＼leq b\）；对于焦点在 y 轴上的椭圆，＼（b ＼leq x ＼leq b\），＼（a ＼leq y ＼leq a\）。
（2）对称性：椭圆关于 x 轴、y 轴和原点对称。
（3）顶点：椭圆有四个顶点，焦点在 x 轴上时，顶点坐标为\（（＼pm a, 0)＼），＼（（0, ＼pm b)＼）；焦点在 y 轴上时，顶点坐标为\（（0, ＼pm a)＼），＼（（＼pm b, 0)＼）。
（4）离心率：椭圆的离心率\（e ＝＼frac{c}｛a}＼），＼（0 ＜ e ＜ 1\），＼（e\）越接近 0，椭圆越接近于圆；＼（e\）越接近 1，椭圆越扁。
二、双曲线1、定义平面内与两个定点 F₁、F₂的距离之差的绝对值等于常数（小于|F₁F₂|）的点的轨迹叫做双曲线。
这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。
2、标准方程焦点在 x 轴上：＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\），其中\（a ＞ 0\），＼（b ＞ 0\），＼（c^2 ＝ a^2 ＋ b^2\）。
圆锥曲线公式及知识点总结
圆锥曲线公式及知识点总结圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的商是常数e的点的轨迹。
数学里有很多公式，为了帮助大家更好的学习数学，小编特地为大家整理了圆锥曲线公式及知识点总结，希望对大家的数学学习有帮助。
圆锥曲线公式：椭圆1、中心在原点，焦点在x轴上的椭圆标准方程：其中x²/a²+y²/b²=1,其中a>b>0,c²=a²-b²2、中心在原点，焦点在y轴上的椭圆标准方程：y²/a²+x²/b²=1,其中a>b>0,c²=a²-b²参数方程：x=acosθ;y=bsinθ(θ为参数，0≤θ≤2π)圆锥曲线公式：双曲线1、中心在原点，焦点在x轴上的双曲线标准方程：x²/a-y²/b²=1,其中a>0，b>0，c²=a²+b².2、中心在原点，焦点在y轴上的双曲线标准方程：y²/a²-x²/b²=1,其中a>0，b>0，c²=a²+b².参数方程：x=asecθ;y=btanθ(θ为参数)圆锥曲线公式：抛物线参数方程:x=2pt²；y=2pt(t为参数)t=1/tanθ(tanθ为曲线上点与坐标原点确定直线的斜率)特别地，t可等于0直角坐标:y=ax²+bx+c(开口方向为y轴，a≠0)x=ay²+by+c(开口方向为x轴，a≠0)离心率椭圆，双曲线，抛物线这些圆锥曲线有统一的定义：平面上，到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。
且当01时为双曲线。
圆锥曲线公式知识点总结圆锥曲线椭圆双曲线抛物线标准方程x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)x²/a²-y²/b²=1(a>0,b>0)y²=2px(p>0)范围x∈[-a,a]x∈(-∞，-a]∪[a,+∞)x∈[0,+∞)y∈[-b,b]y∈Ry∈R对称性关于x轴，y轴，原点对称关于x轴，y轴，原点对称关于x轴对称顶点(a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b)(a,0),(-a,0)(0,0)焦点(c,0),(-c,0)(c,0),(-c,0) (p/2,0)【其中c²=a²-b²】【其中c²=a²+b²】准线x=±a²/cx=±a²/cx=-p/2渐近线——————y=±(b/a)x—————离心率。
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高中数学圆锥曲线知识点总结及公式大全
一、圆锥曲线的基本概念
圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线，它们是高中数学中重要的知识点之一。
圆锥曲线是由平面与圆锥的交线所形成的曲线，其基本概念包括焦点、准线和离心率等。
1. 焦点：圆锥曲线的焦点是到曲线的两个顶点距离相等的点，焦点到曲线的顶点的距离称为焦距。
椭圆和双曲线的焦点位于其对称轴上，而抛物线的焦点则位于其准轴上。
2. 准线：圆锥曲线的准线是与焦点垂直的直线，准线与曲线有两个交点。
在椭圆和双曲线中，准线是与主轴垂直的直线，而在抛物线中，准线是与主轴平行的直线。
3. 离心率：圆锥曲线的离心率是焦点到顶点的距离与准线到顶点的距离之比，离心率的大小可以反映曲线的形状。
椭圆的离心率在0和1之间，双曲线的离心率大于1，抛物线的离心率等于1。
二、圆锥曲线的公式
1. 椭圆的标准方程及性质
标准方程：$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ (a>b>0)
性质：椭圆的范围、对称性、顶点、焦点、离心率等性质可以参照教材或辅导书。
2. 双曲线的标准方程及性质
标准方程：$\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} =
1$ (a>0, b>0)
性质：双曲线的范围、对称性、顶点、焦点、离心率等性质可以参照教材或辅导书。
3. 抛物线的标准方程及性质
标准方程：$y^{2} = 2px$ ($p > 0$)或$x^{2} = 2py$ ($p > 0$) 性质：抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、离心率等性质可以参照教材或辅导书。
三、圆锥曲线的应用
1. 椭圆的应用：椭圆在光学、机械、工程等领域有着广泛的应用。
例如，椭圆镜片可以纠正近视和远视，椭圆形状的机械零件可以减少振动和提高稳定性。
2. 双曲线应用：双曲线在热学、光学、工程等领域有着广泛的应用。
例如，双曲线冷却塔可以优化散热效果，双曲线形状的桥梁可以增强承受能力。
3. 抛物线应用：抛物线在物理、工程等领域有着广泛的应用。
例如，抛物线形的拱门可以增强承受能力，抛物线形状的反射面可以用来聚焦或反射光线。
四、解题思路与方法
1. 解决圆锥曲线问题的一般思路是先分析曲线的性质和参数，再结合题目要求进行解答。
对于较复杂的问题，需要灵活运用圆锥曲线的性质和参数进行求解。
2. 在求解圆锥曲线问题时，常用方法包括直接法、定义法、代
入法、参数法等。
对于不同的问题，需要选择合适的方法进行求解。
3. 在解决圆锥曲线问题时，需要注意以下几点：首先，要认真审题，明确题目要求；其次，要善于挖掘题目的隐含条件；再次，要注意数形结合思想的应用；最后，要仔细计算，避免计算错误。