高中数学二项分布
【高中数学选修第三册】第七章二项分布1
7.4 二项分布与超几何分布7.4.1 二项分布新版课程标准学业水平要求1.结合生活中的实例,了解二项分布;2.了解二项分布的均值和方差及其意义. 1.结合教材实例,了解二项分布的概念.(数学抽象)2.会利用公式求服从二项分布的随机变量的概率、均值以及方差.(数学运算)3.能利用二项分布概率模型解决实际问题.(数学建模)必备知识·素养奠基1.n重伯努利试验(1)伯努利试验:我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.(2)定义:我们将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n 重伯努利试验.(3)特征:①同一个伯努利试验重复做n次;②各次试验的结果相互独立.定义中“重复”的含义是什么?提示:“重复”意味着各次试验成功的概率相同.2.二项分布(1)定义:一般地,在n重伯努利试验中,设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1),用X表示事件A发生的次数,则X的分布列为P=p k,k=0,1,2,…,n.如果随机变量X的分布列具有上式的形式,则称随机变量X服从二项分布.(2)记法:X～B.(3)结论:P=1.(4)确定一个二项分布模型的步骤:①明确伯努利试验及事件A的意义,确定事件A发生的概率p;②确定重复试验的次数n,并判断各次试验的独立性;③设X为n次独立重复试验中事件A发生的次数,则X～B.3.二项分布的均值与方差如果,X～B,那么E=np,D=np.1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)依次投掷四枚质地不同的骰子,点数1出现2次的试验是4重伯努利试验.( )(2)若随机变量X～B,则X=1,2,…,n.()(3)若随机变量X～B,则P=·p k.( )提示:(1)×.因为骰子的质地不同,点数1出现的概率不同,因此不是4重伯努利试验.(2)×.X=0,1,2,…,n.(3)×.P=p k,k=0,1,2,…,n.2.(2020·钦州高二检测)某次抽奖活动中,参与者每次抽中奖的概率均为,现甲参加3次抽奖,则甲恰好有一次中奖的概率为( )A. B. C. D.【解析】选C.某次抽奖活动中,参与者每次抽中奖的概率均为,现甲参加3次抽奖,则甲恰好有一次中奖的概率为P=×=.3.某一批植物种子,如果每1粒发芽的概率为,那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是( )A. B. C. D.【解析】选C.由n重伯努利试验恰有k次发生的概率公式得:P==.关键能力·素养形成类型一求n重伯努利试验的概率【典例】1.(2020·临汾高二检测)随着二胎政策的开放,越来越多中年女性选择放下手中的工作,为二胎做准备.某公司为了使广大中年女性安心备孕,且不影响公司的正常效益,对公司所有中年女性进行生育倾向调查.已知该公司共有6名中年女性,若每名中年女性倾向于生二胎的概率为,且各名中年女性之间不相互影响,则恰有4位中年女性倾向生二胎的概率为( )A. B. C. D.2.(2020·丰台高二检测)某篮球运动员在训练过程中,每次从罚球线罚球的命中率是,且每次罚球的结果相互独立.已知该名篮球运动员连续4次从罚球线罚球.(1)求他第1次罚球不中,后3次罚球都中的概率;(2)求他4次罚球恰好命中3次的概率.【思维·引】1.转化为6重伯努利试验,一次试验发生的概率为;2.(1)利用概率的乘法公式计算;(2)利用4重伯努利试验的概率公式计算.【解析】1.选C.依题意,所求概率为··=15××=.2.(1)设该篮球运动员第1次罚球不中,后3次罚球都中为事件A,则第i(i=1,2,3,4)次罚球命中为事件B i,则A=B2B3B4;因为每次罚球的结果相互独立,所以所求的概率为P(A)=P()P(B2)P(B3)P(B4)=×××=.(2)因为该名篮球运动员4次罚球恰好命中次数X是一个随机变量,则X～B,所以所求的概率为P(X=3)=··=.【内化·悟】你能列举出几个常见的n重伯努利试验的例子吗?提示:(1)反复抛掷一枚质地均匀的硬币.(2)正(次)品率的抽样.(3)有放回抽样.(4)射手射击目标命中率已知的若干次射击.【类题·通】关于n重伯努利试验概率的计算首先要判断是否符合n重伯努利试验的特征,其次求出一次试验的概率,最后用n 重伯努利试验的概率公式计算.【习练·破】某人射击一次击中目标的概率为0.6,经过3次射击,设X表示击中目标的次数,则P(X≥2)等于________.【解析】击中目标的次数X≥2,则击中次数为3次或2次.P(x=3)=0.63=,P(x=2)=0.62×0.4=,所以P(x≥2)=P(x=3)+P(x=2)=.答案:类型二求服从二项分布的随机变量的分布列【典例】某商场为了了解顾客的购物信息,随机在商场收集了100位顾客购物的相关数据如表:一次购物款[0,50) [50,100) [100,150) [150,200) [200,+∞) (单位:元)顾客人数20 a 30 20 b统计结果显示100位顾客中购物款不低于150元的顾客占30%,该商场每日大约有4 000名顾客,为了增加商场销售额度,对一次购物不低于100元的顾客发放纪念品.(1)试确定a,b的值,并估计每日应准备纪念品的数量;(2)现有4人前去该商场购物,求获得纪念品的数量ξ的分布列.【思维·引】(1)先计算购物款不低于150元的人数,再求b,a.(2)先计算1人获得纪念品的概率,再利用4重伯努利试验求概率、分布列.【解析】(1)由已知,100位顾客中购物款不低于150元的顾客有b+20=100×30%,b=10;a=100-(20+30+20+10)=20.该商场每日应准备纪念品的数量大约为4 000×=2 400.(2)由(1)可知1人购物获得纪念品的频率即为概率P==,故4人购物获得纪念品的数量ξ服从二项分布ξ～B,P(ξ=0)==,P(ξ=1)==,P(ξ=2)==,P(ξ=3)==,P(ξ=4)==,所以ξ的分布列为:ξ0 1 2 3 4P【内化·悟】利用二项分布求分布列的步骤是什么?提示:根据题意设出随机变量→分析出随机变量服从二项分布→找到参数n,p→写出二项分布的分布列→将k值代入求解概率.【类题·通】关于利用二项分布求分布列(1)关键是确定随机变量服从二项分布,以及二项分布中的相关参数;(2)利用二项分布求解“至少”“至多”问题的概率,其实质是求在某一取值范围内的概率,一般转化为几个互斥事件发生的概率的和,或者利用对立事件求概率.【习练·破】高二(1)班的一个研究性学习小组在网上查知,某珍稀植物种子在一定条件下发芽成功的概率为,该研究性学习小组又分成两个小组进行验证性试验.(1)第一小组做了5次这种植物种子的发芽试验(每次均种下一粒种子),求他们的试验中至少有3次发芽成功的概率;(2)第二小组做了若干次发芽试验(每次均种下一粒种子),如果在一次试验中种子发芽成功就停止试验,否则将继续进行下次试验,直到种子发芽成功为止,但试验的次数最多不超过5次.求第二小组所做种子发芽试验的次数ξ的概率分布列.【解析】(1)至少有3次发芽成功,即有3次、4次、5次发芽成功.设5次试验中种子发芽成功的次数为随机变量X,则P(X=3)=××=,P(X=4)=××=,P(X=5)=××=.所以至少有3次发芽成功的概率P=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=++==.(2)随机变量ξ的可能取值为1,2,3,4,5.P(ξ=1)=,P(ξ=2)=×=,P(ξ=3)=×=,P(ξ=4)=×=,P(ξ=5)=×1=.所以ξ的分布列为:ξ 1 2 3 4 5P【加练·固】在一次抗洪抢险中,准备用射击的办法引爆从上游漂流而下的一个巨大汽油罐,已知只有5发子弹,第一次命中只能使汽油流出,第二次命中才能引爆,每次射击是相互独立的,且命中的概率都是.(1)求油罐被引爆的概率;(2)如果引爆或子弹打光则停止射击,设射击次数为X,求X不小于4的概率. 【解析】(1)油罐引爆的对立事件为油罐没有引爆,没有引爆的可能情况是:射击5次只击中一次或一次也没有击中,故该事件的概率为··+,所以所求的概率为1-=.(2)当X=4时记为事件A,则P(A)=···=.当X=5时,意味着前4次射击只击中一次或一次也未击中,记为事件B则P(B)=··+=,所以射击次数不小于4的概率为+=.类型三二项分布模型的应用角度1 求均值、方差【典例】(2020·广州高二检测)已知随机变量X～B,那么随机变量X的均值E(X)=( )A. B. C.2 D.【思维·引】利用二项分布的均值公式计算.【解析】选B.因为随机变量X～B,所以E(X)=4×=.答案:【素养·探】★本例考查二项分布的均值、方差的公差计算,同时考查了数学运算的核心素养.本例若随机变量X～B(n,p),若E(ξ)=3,D(ξ)=2,求n的值.【解析】因为随机变量X～B(n,p),所以E(ξ)=np,D(ξ)=np(1-p),因为E(ξ)=3,D(ξ)=2,所以np=3①;np(1-p)=2②.把①代入②得到1-p=,所以p=,把p的值代入①,得到n=9.答案:9角度2 解决实际问题【典例】(2020·海口高二检测)假定人们对某种特别的花粉过敏的概率为0.25,现在检验20名大学生志愿者是否对这种花粉过敏.(1)求样本中恰好有两人过敏的概率及至少有2人过敏的概率;(2)要使样本中至少检测到1人过敏的概率大于99.9%,则抽取的样本容量至少要多大?(3)若检验后发现20名大学生中过敏的不到2人,这说明了什么?试分析原因. 附:0.7518=0.005 6,0.7519=0.004 2,0.7520=0.003,lg 0.75=-0.124 9.【思维·引】(1)利用对立事件简化概率计算;(2)利用概率公式列出不等式,通过对数运算求样本容量的范围;(3)从假设、抽样检验的科学性分析.【解析】(1)设样本中对花粉过敏的人数为X,则X～B(20,0.25),所以P(X=2)=×0.252×0.7518=0.067,P(X≥2)=1-P(X=0)-P(X=1)=1-0.7520-×0.25×0.7519=1-0.003-0.021=0.976.所以样本中恰好有两人过敏的概率为0.067,至少有2人过敏的概率为0.976.(2)设样本容量为n,该样本中检测到对花粉过敏的人数为Y,则Y～B(n,0.25), 所以P(Y≥1)=1-P(Y=0)=1-0.75n>99.9%,解得0.75n<0.001,取对数得nlg0.75<-3,解得n>=24.02,所以抽取的样本容量至少为25人.(3)由(1)知检验的20人中不到2人过敏的概率为1-0.976=0.024,此概率非常小,在正常情况下一次试验中几乎不会发生,出现这种情况的原因可能有:①原假设不成立,即每个人对这种花粉过敏的概率不到0.25.②检验的样本只针对大学生,没有随机性.③检验的环节出现了问题.【类题·通】关于二项分布的应用(1)若随机变量符合二项分布,则可直接利用公式求均值和方差;(2)在一些综合性的问题中,二项分布模型要与其他的概率知识,如独立事件同时发生,抽样等知识相结合应用.解题过程中要分清随机变量取值的实际意义,利用相关的概率知识解题.【习练·破】甲、乙两人进行投篮比赛,两人各投3球,谁投进的球多谁获胜,已知每次投篮甲投进的概率为,乙投进的概率为,求:(1)甲投进2球且乙投进1球的概率;(2)在甲第一次投篮未进条件下,甲最终获胜的概率.【解析】(1)甲投进2球的概率是×=,乙投进1球的概率是×=.所以甲投进2球且乙投进1球的概率为×=.(2)甲第一次未进最终获胜的情况有:①甲后2球都投进,乙投进1球或都不进: P1=×·=×=.②甲后2球进1球,乙都不进.P2=×××=×=,所以甲第一次投篮未进,最终获胜的概率为P1+P2=.课堂检测·素养达标1.下列随机变量X不服从二项分布的是( )A.投掷一枚均匀的骰子5次,X表示点数为6出现的次数B.某射手射中目标的概率为p,设每次射击是相互独立的,X为从开始射击到击中目标所需要的射击次数C.实力相等的甲、乙两选手进行了5局乒乓球比赛,X表示甲获胜的次数D.某星期内,每次下载某网站数据被病毒感染的概率为0.3,X表示下载n次数据电脑被病毒感染的次数【解析】选B.选项A,试验出现的结果只有两种:点数为6和点数不为6,且点数为6的概率在每一次试验中都为,每一次试验都是独立的,故随机变量X服从二项分布;选项B,虽然随机变量在每一次试验中的结果只有两种,每一次试验事件相互独立且概率不发生变化,但随机变量的取值不确定,故随机变量X不服从二项分布;选项C,甲、乙的获胜率相等,进行5局比赛,相当于进行了5次独立重复试验,故X服从二项分布;选项D,由二项分布的定义,可知被感染次数X～B(n,0.3).2.在比赛中运动员甲获胜的概率是,假设每次比赛互不影响,那么在五次比赛中运动员甲恰有三次获胜的概率是( )A. B. C. D.【解析】选B.由n次独立重复试验的概率计算公式,得·=.3.现有5个人独立地破译某个密码,已知每人单独译出密码的概率均为p,且<p<1,则恰有三个人译出密码的概率是( )A.p3B.p2(1-p)3C.p3(1-p)2D.1-(1-p)2【解析】选C.由题意可知,恰有三个人译出密码的概率P=p3(1-p)2.4.为响应国家“足球进校园”的号召,某校成立了足球队,假设在一次训练中,队员甲有10次的射门机会,且他每次射门踢进球的概率均为0.6,每次射门的结果相互独立,则他最有可能踢进球的个数是( )A.5B.6C.7D.8【解析】选B.某校成立了足球队,假设在一次训练中,队员甲有10次的射门机会,且他每次射门踢进球的概率均为0.6,每次射门的结果相互独立,他踢进球的个数X～B(10,0.6),E(X)=10×0.6=6,则他最有可能踢进球的个数是6.5.设X～B(4,p),且P(X=2)=,那么一次试验成功的概率p是________.【解析】P(X=2)=p2(1-p)2=,即p2(1-p)2=,解得p=或p=.答案:或【新情境·新思维】设随机变量Y满足Y～B,则函数f(x)=x2-4x+4Y无零点的概率是( ) A. B. C. D.【解析】选A.因为函数f(x)=x2-4x+4Y无零点,所以Δ=(-4)2-4×1×4Y<0,所以Y>1,所以P(Y>1)=P(Y=2)+P(Y=3)+P(Y=4)=++=.。
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P { X k } C 4 k p k ( 1 p ) 4 k , k 0 , 1 , 2 , 3 ,4
例2 将一枚均匀骰子抛掷3次， 令X 表示3次中出现“4”点的次数 不难求得， X的概率函数是：
P{Xk}C3 k(6 1)k(6 5)3k, k0,1,2,3
一般地，设在一次试验中我们只考虑两个
贝努里概型对试验结果没有等可能的 要求，但有下述要求： （1）每次试验条件相同；
（2）每次试验只考虑两个互逆结果A或 A ，
且P(A)=p ，P(A)1p；
（3）各次试验相互独立. 可以简单地说，
二项分布描述的是n重贝努里试验中出现 “成功”次数X的概率分布.
例4 某类灯泡使用时数在1000小时以上 的概率是0.2，求三个灯泡在使用1000 小时以后最多只有一个坏了的概率.
对于固定n及p，当k增 Pk
加时 ,概率P(X=k) 先是随
之增加直至 达到最大值,
随后单调减少.
..
0 n=13,p=0.5
..n
当(n+1)p为整数时，二项概率P(X=k) 在k=(n +1)p和k =(n+1)p-1处达到最大 值.
课下请自行证明上述结论.
想观看二项分布的图形随参数n,p的 具体变化，请看演示
以后也许三里清风，三里路，步步清风再无你。可也无悔你来过！人生的路你陪我一程，我念你一生……… 谢谢你来过！往后余生愿安好！感恩相遇，感恩来过……“当花瓣离开花朵，暗香残留，香消在风起雨后，无人来嗅”忽然听到沙宝亮的这首《暗香》，似乎这香味把整间屋子浸染。我是如此迷恋香味，吸进的是花儿的味道，吐出来的是无尽的芬芳。轻轻一流转，无限风情，飘散，是香，是香，它永远不会在我的时光中走丢。
高中数学优质课二项分布优秀教学设计
《二项分布》教学设计【教学内容】本节内容是人教A版选择性必修三第七章《随机变量及其分布》的第四节《二项分布与超几何分布》的第一节课。
在自然现象和社会现象中，大量的随机变量都服从或近似的服从二项分布，实际应用广泛，理论上也非常重要。
本节课是从生活实际入手，了解伯努利试验和n重伯努利试验的特点，通过由特殊到一般的方法推导出二项分布的概率模型及其数字特征。
发展学生数学抽象、逻辑推理及数学运算的素养。
本节内容是对前边所学知识的综合应用，是对已有知识的“再创造”与“整合”的过程；是从实际入手，通过抽象思维，建立数学模型，进而认知数学理论，应用于实际的过程。
要鼓励学生在学习过程中，养成独立思考、积极探索的习惯，从而体会数学的科学价值和应用价值。
【教学目标】1.学生通过具体实例，理解n次伯努利试验的特点，并会判断一个具体问题是否服从二项分布;2.学生通过独立思考、相互交流，并借助由特殊到一般的方法，能归纳出二项分布的概率模型，从中体会数学的理性与严谨，提升数学抽象、逻辑推理与数学运算的素养。
3.学生经历实际问题的对比分析，归纳提炼，树立普遍联系的概念；在问题的解决过程中感悟数学与生活的和谐之美，体会数学的文化价值和应用价值。
【重点难点】教学重点：n重伯努利试验，二项分布的概率模型及简单应用。
教学难点：在实际问题中抽象出模型的特征，并应用二项分布的概率模型解决实际问题。
【学情分析】通过前面的学习，学生已经学习掌握了有关概率和统计的知识：等可能事件概率、互斥事件概率、条件概率、相互独立事件概率的求法及分布列有关内容。
但是对于从实际问题中抽象出数学模型还是有些困难的，需要老师启发引导，在老师的启发引导下，学生能从抛硬币的试验中抽象出n重伯努利试验的概念，从掷图钉的试验中归纳出二项分布的概率模型。
【教学策略】本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示。
为了让学生归纳探究出二项分布的概率模型，课堂应为学生创造积极探究的平台。
新人教版高中数学选择性必修第三册7.4.1 二项分布
X
0
1
P
27
27
64
64
2
3
9
1
64
64
第七章 随机变量及其散布
所以E(X)=0×
27 +1× 27 +2×
9
+3×
1
3
=.
64 64 64 64 4
②由题意知,甲型号节排器的平均利润率
E1= 3 a+ 2 ×5a2=2a2+ 3 a,
55
5
乙型号节排器的平均利润率
E2= 7 a+ 1 ×5a2+ 1 a2=13 a2+ 7 a,
5
据分层随机抽样,计算抽取的10件节排器中一级品的件数,再求出从中随机抽取3 件,至少有2件一级品的概率. (2)①由已知及频率散布直方图中的信息知,乙型号节排器中的一级品的概率为 7 ,
10
第七章 随机变量及其散布
二级品的概率为 1 ,三级品的概率为 1 ,若从乙型号节排器中随机抽取3件,则二级
5
故从这10件中随机抽取3件,至少有2件一级品的概率P= C62C14 C36 = 2 .
C130
3
(2)①由已知及频率散布直方图中的信息知,乙型号节排器中的一级品的概率为 7 ,
10
第七章 随机变量及其散布
二级品的概率为 1 ,三级品的概率为 1 ,若从乙型号节排器中随机抽取3件,则其中
4
20
第一阶梯 (0,10]
第二阶梯 (10,15]
第三阶梯 (15,+∞)
从本市随机抽取了10户家庭(编号为1~10),统计了他们某月的用水量,得到如 下表格:
家庭编号 1
2
高中数学二项分布知识点
高中数学二项分布知识点
高中数学中，二项分布是离散概率分布的一种重要形式，它描述了在
一系列独立的随机试验中，成功的次数的概率分布。
下面是关于高中数学
二项分布的知识点：
1.二项分布的定义：
二项分布指的是在进行了n次独立的、相同的试验中，成功的次数X
服从二项分布的概率分布，记作X~B(n,p)，其中n表示试验次数，p表示
每次试验成功的概率。
2.二项系数：
在二项分布中，成功的次数为k的概率为P(X=k)=C(n,k)*p^k*(1-
p)^(n-k)，其中C(n,k)表示组合数，计算公式为C(n,k)=n!/(k!(n-k)!)。
3.二项分布的期望和方差：
二项分布的期望为E(X) = np，方差为Var(X) = np(1-p)。
4.二项分布的性质：
(1) 二项系数的和为1，即Σ[P(X=k), k=0 to n] = 1
(2)二项分布是离散分布，且概率密度函数的图形呈现出左偏的形态。
(3)当n很大时，二项分布可以近似地用正态分布来表示。
5.二项分布的应用：
(1)在质量检验中，二项分布可以用来计算生产批次中合格品的数量。
(2)在医学研究中，二项分布可以用来计算罹患其中一种疾病的患者数量。
(3)在市场调查中，二项分布可以用来计算顾客购买其中一种产品的概率。
(4)在投资分析中，二项分布可以用来计算只股票在未来一段时间内上涨或下跌的概率。
【高中数学】二项分布及其应用
【高中数学】二项分布及其应用一、条件概率1.定义：对任意事件A和事件B,在已知事件A发生的条件下事件B发生的概率，叫做条件概率。
记作P(B |A),读作A发生的条件下B的概率。
2.事件的交(积):由事件A和事件B同时发生所构成的事件D,称为事件A与事件B的交(或积)。
记作D=ANB或D=AB3. 条件概率计算公式：P(B | A)相当于把AB发生的概率：若P(A)>0,则P(AB)=P(B | A) · P(A)(乘法公式);O≤P(B | A)≤1 .4. 公式推导过程：5. 解题步骤：例1. 10个产品中有7个正品、3个次品，从中不放回地抽取两个，已知第一个取到次品，求第二个又取到次品的概率.解：设A={第一个取到次品},B={第二个取到次品}所以，P(B | A)=P(AB)/P(A)=2/9答：第二个又取到次品的概率为2/9.二、相互独立事件1. 定义：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。
说明：(1)判断两事件A、B是否为相互独立事件，关键是看A(或B)发生与否对B(或A)发生的概率是否影响，若两种状况下概率不变，则为相互独立.(2)互斥事件是指不可能同时发生的两个事件.相互独立事件是指一事件的发生与否对另一事件发生的概率没影响.(3)如果A、B是相互独立事件，则A的补集与B的补集、A与B的补集、A的补集与B也都相互独立.2. 相互独立事件同时发生的概率公式两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。
则有：P(A●B)=P(A)●P(B)说明：(1)使用时，注意使用的前提条件；(2)此公式可作为判断事件是否相互独立的理论依据，即P(A · B )=P(A) · P (B)是A 、B 相互独立的充要条件. (3)如果事件Al,Az, … Aa 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。
最新高中数学二项分布及其应用知识点+练习
高中数学二项分布及其应用知识点+练习二项分布及其应用要求层次重难点条件概率A 了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题．事件的独立性A n 次独立重复试验与二项分布B（一） 知识内容条件概率对于任何两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率，用符号“(|)P B A ”来表示．把由事件A 与B 的交（或积），记做D A B =（或D AB =）．（二）典例分析：【例1】 在10个球中有6个红球，4个白球（各不相同），不放回的依次摸出2个球，在第1次摸出红球的条件下，第2次也摸出红球的概率是（ ）A ．35B ．23C ．59D ．13【例2】 某地区气象台统计，该地区下雨的概率是415，刮风的概率是215，既刮风又下雨的概率是条件概率事件的独立性独立重复实验二项分布高考要求例题精讲知识框架二项分布及其应用板块一：条件概率1，10设A=“刮风”，B=“下雨”，求()()，．P B A P A B【例3】设某种动物活到20岁以上的概率为0.7，活到25岁以上的概率为0.4，求现龄为20岁的这种动物能活到25岁以上的概率．【例4】把一枚硬币抛掷两次，事件A=“第一次出现正面”，事件B=“第二次出现反面”，则()_____P B A=．【例5】抛掷一颗骰子两次，在第一次掷得向上一面点数是偶数的条件下，则第二次掷得向上一面点数也是偶数的概率为．【例6】设某批产品有4%是废品，而合格品中的75%是一等品，任取一件产品是一等品的概率是_____．【例7】掷两枚均匀的骰子，记A=“点数不同”，B=“至少有一个是6点”，求(|)P B A．P A B与(|)【例8】甲、乙两班共有70名同学，其中女同学40名．设甲班有30名同学，而女生15名，问在碰到甲班同学时，正好碰到一名女同学的概率?【例9】从1~100个整数中，任取一数，已知取出的—数是不大于50的数，求它是2或3的倍数的概率．【例10】袋中装有21n-个白球，2n个黑球，一次取出n个球，发现都是同一种颜色的，问这种颜色是黑色的概率是多少?【例11】 一袋中装有10个球，其中3个黑球，7个白球，先后两次从袋中各取一球（不放回）⑴已知第一次取出的是黑球，求第二次取出的仍是黑球的概率；⑵已知第二次取出的是黑球，求第一次取出的也是黑球的概率； ⑶已知第一次取出的是黑球，求第二次取出的是白球的概率．【例12】 有两箱同类零件，第一箱内装50件，其中10件是一等品；第二箱内装30件，其中18件是一等品．现从两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零件（取出的零件均不放回），试求：⑴先取出的零件是一等品的概率；⑵在先取出的零件是一等品的条件下后取出的仍然是一等品的概率．（保留三位有效数字）【例13】 设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份、7份和5份．随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份，⑴求先抽到的一份是女生表的概率p ．⑵己知后抽到的一份是男生表，求先抽到的是女生的概率q ．（一） 知识内容事件的独立性如果事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响，即(|)()P B A P B =，这时，我们称两个事件A ，B 相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件．如果事件1A ，2A ，…，n A 相互独立，那么这n 个事件都发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即1212()()()()n n P A A A P A P A P A =⨯⨯⨯，并且上式中任意多个事件i A 换成其对立事件后等式仍成立．（二）典例分析：板块二：事件的独立性cba【例14】 判断下列各对事件是否是相互独立事件⑴容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”．⑵一筐内有6个苹果和3个梨，“从中任意取出1个，取出的是苹果”与“把取出的苹果放回筐子，再从筐子中任意取出1个，取出的是梨”．⑶甲组3名男生、2名女生；乙组2名男生、3名女生，今从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”．【例15】 从甲口袋摸出一个红球的概率是13，从乙口袋中摸出一个红球的概率是12，则23是（ ）A ．2个球不都是红球的概率B ．2个球都是红球的概率C ．至少有一个红球的概率D ．2个球中恰好有1个红球的概率【例16】 猎人在距离100m 处射击一只野兔，其命中率为12．如果第一次射击未命中，则猎人进行第二次射击，但距离为150m ；如果第二次又未命中，则猎人进行第三次射击，但在射击瞬间距离野兔为200m ．已知猎人命中率与距离的平方成反比，求猎人命中野兔的概率．【例17】 如图，开关电路中，某段时间内，开关a b c 、、开或关的概率均为12，且是相互独立的，求这段时间内灯亮的概率．【例18】 甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为14，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为112，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为29． 分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率．【例19】 椐统计，某食品企业一个月内被消费者投诉的次数为012，，的概率分别为0.4，0.5，0.1 ⑴ 求该企业在一个月内被消费者投诉不超过1次的概率；⑵假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率．【例20】某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为45、35、25、15，且各轮问题能否正确回答互不影响．⑴求该选手进入第四轮才被淘汰的概率；⑵求该选手至多进入第三轮考核的概率．【例21】甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．⑴求再赛2局结束这次比赛的概率；⑵求甲获得这次比赛胜利的概率．【例22】纺织厂某车间内有三台机器，这三台机器在一天内不需工人维护的概率：第一台为0.9，第二台为0.8，第三台为0.85，问一天内：⑴3台机器都要维护的概率是多少？⑵其中恰有一台要维护的概率是多少？⑶至少一台需要维护的概率是多少？【例23】为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类．这三类工程所含项目的个数分别占总数的12，13，16．现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设．求：⑴他们选择的项目所属类别互不相同的概率；⑵至少有1人选择的项目属于民生工程的概率．【例24】甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为13和14，求：⑴两个人都译出密码的概率；⑵两个人都译不出密码的概率；⑶恰有1个人译出密码的概率；⑷至多1个人译出密码的概率；⑸至少1个人译出密码的概率．【例25】从10位同学（其中6女，4男）中，随机选出3位参加测验，每位女同学能通过测验的概率均为45，每位男同学能通过测验的概率均为35，试求：⑴选出的3位同学中至少有一位男同学的概率；⑵10位同学中的女同学甲和乙及男同学丙同时被抽到，且三人中恰有二人通过测验的概率．【例26】甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为12与p，且乙投球2次均未命中的概率为116．⑴求乙投球的命中率p；⑵求甲投球2次，至少命中1次的概率；⑶若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中2次的概率．【例27】一汽车沿一街道行驶，需要通过三个设有红绿灯的路口，每个信号灯彼此独立工作，且红绿灯信号显示时间相等．以X表示该汽车首次遇到红灯时已通过的路口个数，求X的分布列以及该汽车首次遇到红灯时至少通过两个路口的概率．【例28】甲、乙二射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：⑴2人都射中的概率？⑵2人中有1人射中的概率？⑶2人至少有1人射中的概率？⑷2人至多有1人射中的概率？【例29】（07福建）甲、乙两名跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率分别是0.7，0.6，且每次试跳成功与否相互之间没有影响，求：⑴甲试跳三次，第三次才成功的概率；⑵甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率；⑶甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率．【例30】A、B两篮球队进行比赛，规定若一队胜4场则此队获胜且比赛结束（七局四胜制），A、B两队在每场比赛中获胜的概率均为12，X为比赛需要的场数，求X的分布列及比赛至少要进行6场的概率．【例31】已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病．下面是两种化验方法：方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．求依方案甲、乙分别所需化验次数的分布列以及方案甲所需化验次数不少于方案乙所需化验次数的概率．【例32】 为防止某突发事件发生，有甲、乙、丙、丁四种相互独立的预防措施可供采用，单独采用甲、乙、丙、丁预防措施后此突发事件不发生的概率（记为P ）和所需费预防措施 甲 乙 丙 丁P0.9 0.8 0.7 0.6 费用（万元）90 60 30 10 120万元的前提下，请确定一个预防方案，使得此突发事件不发生的概率最大．【例33】 某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案．方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过．假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是a b c ，，，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．⑴ 分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率；⑵ 试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小．（说明理由）（一） 知识内容板块三：独立重复试验与二项分布1．独立重复试验如果每次试验，只考虑有两个可能的结果A 及A ，并且事件A 发生的概率相同．在相同的条件下，重复地做n 次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为n 次独立重复试验．n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为()C (1)kk n k n nP k p p -=-(0,1,2,,)k n =．2．二项分布若将事件A 发生的次数设为X ，事件A 不发生的概率为1q p =-，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率是()C k k n kn P X k p q -==，其中0,1,2,,k n =． 于是得到由于表中的第二行恰好是二项展开式0()C C C C n n n n n n q p p q p q p q p q +=++++各对应项的值，所以称这样的离散型随机变量X 服从参数为n ，p 的二项分布，记作~(,)X B n p ．（二）典例分析：【例1】 某人参加一次考试，4道题中解对3道则为及格，已知他的解题正确率为0.4，则他能及格的概率为_________（保留到小数点后两位小数）【例2】 某篮球运动员在三分线投球的命中率是12，他投球10次，恰好投进3个球的概率 ．（用数值表示）【例3】 接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0.80，现有5人接种了该疫苗，至少有3人出现发热反应的概率为 ．（精确到0.01）【例4】 甲乙两人进行围棋比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为23，则甲以3∶1的比分获胜的概率为（ ）A ．827B ．6481C ．49D ．89【例5】 一台X 型号的自动机床在一小时内不需要人照看的概为0.8000，有四台这种型号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多有2台机床需要工人照看的概率是（ ）A ．0.1536B ．0.1808C ．0.5632D ．0.9728【例6】 某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买．根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是0.6，经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润200元；若顾客采用分期付款，商场获得利润250元．⑴求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率；⑵求3位位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元的概率．【例7】某万国家具城进行促销活动，促销方案是：顾客每消费1000元，便可获得奖券一张，每张奖券中奖的概率为15，若中奖，则家具城返还顾客现金200元．某顾客消费了3400元，得到3张奖券．⑴求家具城恰好返还该顾客现金200元的概率；⑵求家具城至少返还该顾客现金200元的概率．【例8】某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为56和45，且各株大树是否成活互不影响．求移栽的4株大树中：⑴至少有1株成活的概率；⑵两种大树各成活1株的概率．【例9】一个口袋中装有n个红球（5n≥且*n∈N）和5个白球，一次摸奖从中摸两个球，两个球颜色不同则为中奖．⑴试用n表示一次摸奖中奖的概率p；⑵若5n=，求三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率；⑶记三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为P．当n取多少时，P最大？【例10】已知随机变量ξ服从二项分布，1~(4)3Bξ，，则(2)Pξ=等于____【例11】已知随机变量ξ服从二项分布，1~(6)3Bξ，，则(2)Pξ=等于（）A．316 B．4243C．13243D．80243【例12】从一批由9件正品、3件次品组成的产品中，有放回地抽取5次，每次抽一件，求恰好抽到两次次品的概率（结果保留2位有效数字）．【例13】袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率是13，从B中摸出一个红球的概率为p．⑴从A中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止．①求恰好摸5次停止的概率；②记5次之内（含5次）摸到红球的次数为ξ，求随机变量ξ的分布．⑵若A B，两个袋子中的球数之比为1:2，将A B，中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是25，求p的值．【例14】设在4次独立重复试验中，事件A发生的概率相同，若已知事件A至少发生一次的概率等于6581，求事件A在一次试验中发生的概率．【例15】我舰用鱼雷打击来犯的敌舰，至少有2枚鱼雷击中敌舰时，敌舰才被击沉．如果每枚鱼雷的命中率都是0.6，当我舰上的8个鱼雷发射器同是向敌舰各发射l枚鱼雷后，求敌舰被击沉的概率（结果保留2位有效数字）．【例16】某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%，现从一批产品中的任意连续取出2件，求次品数ξ的概率分布列及至少有一件次品的概率．【例17】某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审．假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是12．若某人获得两个“支持”，则给予10万元的创业资助；若只获得一个“支持”，则给予5万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助．求：⑴该公司的资助总额为零的概率；⑵该公司的资助总额超过15万元的概率．【例18】射击运动员李强射击一次击中目标的概率是0.8，他射击3次，恰好2次击中目标的概率是多少？【例19】设飞机A有两个发动机，飞机B有四个发动机，如有半数或半数以上的发动机没有故障，就能够安全飞行，现设各个发动机发生故障的概率p是t的函数1tp eλ-=-，其中t为发动机启动后所经历的时间，λ为正的常数，试讨论飞机A与飞机B哪一个安全？（这里不考虑其它故障）．【例20】假设飞机的每一台发动机在飞行中的故障率都是1P-，且各发动机互不影响．如果至少50%的发动机能正常运行，飞机就可以顺利地飞行．问对于多大的P而言，四发动机飞机比二发动机飞机更安全？【例21】一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是13．⑴设ξ为这名学生在途中遇到红灯的次数，求ξ的分布列；⑵设η为这名学生在首次停车前经过的路口数，求η的分布列；⑶求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．【例22】一个质地不均匀的硬币抛掷5次，正面向上恰为1次的可能性不为0，而且与正面向上恰为2次的概率相同．令既约分数ij为硬币在5次抛掷中有3次正面向上的概率，求i j+．【例23】某气象站天气预报的准确率为80%，计算（结果保留到小数点后面第2位）⑴5次预报中恰有2次准确的概率；⑵5次预报中至少有2次准确的概率；⑶5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率；【例24】某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第181920，，层可以停靠．若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为13，求至少有两位乘客在20层下的概率．【例25】10个球中有一个红球，有放回的抽取，每次取一球，求直到第n次才取得()k k n≤次红球的概率．【例26】某车间为保证设备正常工作，要配备适量的维修工．设各台设备发生的故障是相互独立的，且每台设备发生故障的概率都是0.01．试求：⑴若由一个人负责维修20台，求设备发生故障而不能及时维修的概率；⑵若由3个人共同负责维修80台设备，求设备发生故障而不能及时维修的概率，并进行比较说明哪种效率高．【例27】A B，是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验．每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效．若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组．设每只小白鼠服用A有效的概率为23，服用B有效的概率为12．观察3个试验组，求至少有1个甲类组的概率．（结果保留四位有效数字）【例28】已知甲投篮的命中率是0.9，乙投篮的命中率是0.8，两人每次投篮都不受影响，求投篮3次甲胜乙的概率．（保留两位有效数字）【变式】若甲、乙投篮的命中率都是0.5p=，求投篮n次甲胜乙的概率．（1n n∈N，≥）【例29】省工商局于某年3月份，对全省流通领域的饮料进行了质量监督抽查，结果显示，某种刚进入市场的x饮料的合格率为80%，现有甲，乙，丙3人聚会，选用6瓶x饮料，并限定每人喝2瓶，求：⑴甲喝2瓶合格的x饮料的概率；⑵甲，乙，丙3人中只有1人喝2瓶不合格的x饮料的概率（精确到0.01）．【例30】在一次考试中出了六道是非题，正确的记“√”号，不正确的记“×”号．若某考生随手记上六个符号，试求：⑴全部是正确的概率；⑵正确解答不少于4道的概率；⑶至少答对2道题的概率．【例31】 某大学的校乒乓球队与数学系乒乓球队举行对抗赛，校队的实力比系队强，当一个校队队员与系队队员比赛时，校队队员获胜的概率为0.6．现在校、系双方商量对抗赛的方式，提出了三种方案：⑴双方各出3人；⑵双方各出5人；⑶双方各出7人．三种方案中场次比赛中得胜人数多的一方为胜利． 问：对系队来说，哪一种方案最有利？（一） 知识内容二项分布的均值与方差：若离散型随机变量X 服从参数为n 和p 的二项分布，则()E X np =，()D x npq =(1)q p =-．（二）典例分析：【例32】 一盒子内装有10个乒乓球，其中3个旧的，7个新的，每次取一球，取后放回，取4次，则取到新球的个数的期望值是______．【例33】 同时抛掷4枚均匀硬币80次，设4枚硬币正好出现2枚正面向上，2枚反面向上的次数为ξ，则ξ的数学期望是（ ）A ．20B ．25C ．30D ．40【例34】 已知~()X B n p ，，()8E X =，() 1.6D X =，则n 与p 的值分别为（ ） A ．10和0.8 B ．20和0.4 C ．10和0.2 D ．100和0.8【例35】 某服务部门有n 个服务对象，每个服务对象是否需要服务是独立的，若每个服务对象一天中需要服务的可能性是p ，则该部门一天中平均需要服务的对象个数是（ ）A ．(1)np p -B ．npC ．nD ．(1)p p -【例36】 已知随机变量X 服从参数为60.4，的二项分布，则它的期望()E X =_______，方差()D X =_____．【例37】 已知随机变量X 服从二项分布，且() 2.4E ξ=，() 1.44D ξ=，则二项分布的参数n ，p 的值板块四：二项分布的期望与分别为__________、_________．【例38】一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，则其中含红球个数的数学期望是_________．（用数字作答）【例39】已知(100.8)X B，，求()E X与()D X．【例40】同时抛掷4枚均匀硬币80次，设4枚硬币正好出现2枚正面向上，2枚反面向上的次数为ξ，则ξ的数学期望是（）A．20 B．25 C．30 D．40【例41】甲、乙、丙3人投篮，投进的概率分别是121 352，，．⑴现3人各投篮1次，求3人都没有投进的概率；⑵用ξ表示乙投篮3次的进球数，求随机变量ξ的概率分布及数学期望．【例42】抛掷两个骰子，当至少有一个2点或3点出现时，就说这次试验成功．⑴求一次试验中成功的概率；⑵求在4次试验中成功次数X的分布列及X的数学期望与方差．【例43】某寻呼台共有客户3000人，若寻呼台准备了100份小礼品，邀请客户在指定时间来领取．假设任一客户去领奖的概率为4%．问：寻呼台能否向每一位顾客都发出奖邀请？若能使每一位领奖人都得到礼品，寻呼台至少应准备多少礼品？【例44】某批数量较大的商品的次品率是5%，从中任意地连续取出10件，X为所含次品的个数，求()E X．【例45】某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人%的选择相互之间没有影响．⑴任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；⑵任选3名下岗人员，记ξ为3人中参加过培训的人数，求ξ的分布和期望．【例46】设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．记ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求ξ的分布及期望．【例47】某班级有n人，设一年365天中，恰有班上的m（m n≤）个人过生日的天数为X，求X的期望值以及至少有两人过生日的天数的期望值．【例48】购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10000元的赔偿金．假定在一年度内有10000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10000元的概率为410-．10.999⑴求一投保人在一年度内出险的概率p；⑵设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）．【例49】某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查（简称安检）．若安检不合格，则必须进行整改．若整改后复查仍不合格，则强行关闭．设每家煤矿安检是否合格是相互独立的，且每家煤矿整改前安检合格的概率是0.5，整改后安检合格的概率是0.8，计算（结果精确到0.01）．⑴恰好有两家煤矿必须整改的概率；⑵平均有多少家煤矿必须整改；⑶至少关闭一家煤矿的概率．。
高考专题复习 二项分布(解析版)
（3）由题意，得 ～
，从而
：
； 所以 的分布列为
X
0
1
P
： .
2
3
故
：
.
考向三 超几何分布与二项分布区分
【例 3】某地区为调查新生婴儿健康状况，随机抽取 6 名 8 个月龄婴儿称量体重（单位：千克），称量结果 分别为 6，8，9，9，9.5，10.已知 8 个月龄婴儿体重超过 7.2 千克，不超过 9.8 千克为“标准体重”，否 则为“不标准体重”.
(1)根据样本估计总体思想，将频率视为概率，若从该地区全部 8 个月龄婴儿中任取 3 名进行称重，则至少 有 2 名婴儿为“标准体重”的概率是多少？
(2)从抽取的 6 名婴儿中，随机选取 4 名，设 X 表示抽到的“标准体重”人数，求 X 的分布列和数学期望.
【答案】(1) P( A) 20 (2)见解析 27
（Ⅰ）用该实验来估测小球落入 4 号容器的概率，若估测结果的误差小于 ，则称该实验是成功的.试问：
该兴趣小组进行的实验是否成功？（误差
）
（Ⅱ）再取 3 个小球进行试验，设其中落入 4 号容器的小球个数为 ，求 的分布列与数学期望.（计算时采 用概率的理论值）
【答案】（Ⅰ）是成功的；（Ⅱ）详见解析.
(1)在被调查的驾驶员中，从平均车速不超过 100 km/h 的人中随机抽取 2 人，求这 2 人恰好有 1 名男性驾 驶员和 1 名女性驾驶员的概率；
(2)以上述样本数据估计总体，从高速公路上行驶的家用轿车中随机抽取 3 辆，记这 3 辆车平均车速超过 100
km/h 且为男性驾驶员的车辆为 X，求 X 的概率分布．
a
考向二 二项分布
【例 2】为研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机选取 100 名家用轿车驾驶员进行调查，得 到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在 55 名男性驾驶员中，平均车速超过 100 km/h 的有 40 人， 不超过 100 km/h 的有 15 人；在 45 名女性驾驶员中，平均车速超过 100 km/h 的有 20 人，不超过 100 km/h 的有 25 人．
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4.二项分布教学背景教学课时：第1课时教学准备：教师：硬币、多媒体课件，表格学生：纸、笔教学目标（1）在了解条件概率和相互独立事件概念的前提下，理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题。
同时，渗透由特殊到一般，由具体到抽象,观察、分析、类比、归纳的数学思想方法。
（2）培养学生的自主学习能力、数学建模能力和应用数学知识解决实际问题的能力。
（3）通过主动探究、合作学习、相互交流，感受探索的乐趣与成功的喜悦，体会数学的理性与严谨，养成实事求是的科学态度和契而不舍的钻研精神。
教材分析通过前面的学习，学生已经了解了有关概率和统计中的等可能事件概率、互斥事件概率、条件概率、相互独立事件概率的求法以及分布列有关内容，掌握二项式定理与两点分布、事件的独立性的基础上学习中学数学离散概型中的一种常见概率模型_二项分布概型，它是独立等可能事件的重复次数从一次向有限多次的延伸。
二项分布是应用广泛的概率模型，在自然现象和社会现象中，大量的随机变量都服从或近似的的服从二项分布，实际应用广泛，理论上也非常重要。
教材的这一安排对学生全面系统地掌握离散型随机变量的分布以及对概率统计思想的感悟具有明显的促进作用。
可以说本节内容是对前面所学知识的综合应用，是一种模型的构建，也是后继课程的一个出发点（转折点），对今后数学及相关学科的学习产生深远的影响。
因此本课在教学内容上起着承前启后的作用。
通过本节课的教学，进一步提高学生的归纳演绎能力，让学生感受数学来源于生活，最终也将服务于生活，充分展示数学的应用价值。
教学重难点重点：独立重复试验、二项分布的理解及应用二项分布模型解决一些简单的实际问题难点：二项分布模型的构建及理解二项分布的特征教学方法为了使学生更主动地参加到课堂教学中，培养他们的能力，本课采用自主探究法。
即“创设问题——启发讨论——探索结果”及“直接观察——归纳抽象——总结规律”的一种研究性教学方法。
通过引导学生观察和对比分析、启发学生思考和概括问题等教学互动活动，突出体现以学生为主体的探索性学习和因材施教的原则。
教学过程一、创设情景激发求知师：同学们，我手上有一枚均匀的硬币，如果投掷了4次，同学们猜想下会出现几种结果?生：16种师：你是怎么想到的呢？生：2×2×2×2师：你能解释一下这是什么原理吗？生：分步乘法原理。
师：哈哈，确切的说是分步乘法计数原理。
师：如果把每次投掷硬币看成做了依次试验，一共进行了多少次试验？每次试验有几种可能的结果？生：总共抛掷了4次，所以可以看成进行了4次试验，每次试验有两种结果：正面朝上或反面朝上。
师：是的，那每次试验正面朝上的概率p=，反面朝上的概率是1=-=？q p各次试验是否相互独立？生：每次试验相互独立，正面朝上的概率0.5=-=。
q pp=，反面朝上的概率是10.5师：有人认为，投掷一枚均匀的硬币4次，恰好1次正面朝上的概率比恰好3次正面朝上的概率大，同学们讨论一下，再来判断他的说法是否正确？生：互相讨论，有说正确的，也有说不正确的，还有不确定的。
师：好，下面进入本节课的学习，通过今天学习我们就能知道他的说法是否正确了。
设计意图：引起学生的好奇,激发学生学习和探究知识的兴趣.学生回答这个问题的同时，可以初步体验独立重复试验模型，为定义的提出作好铺垫.二、实例分析，了解n次独立重复试验的特征师：多媒体展示实例1、某射击运动员，每次射击击中目标的概率为0.7，进行了4次射击。
2、某篮球明星罚球命中率为0.8，罚球6次。
3、口袋内装有3个白球、2个黑球，不放回地摸5个球。
提出问题：上面这些试验有什么共同的特点？生1：我发现，射击结果有2种，击中和击不中，罚球的结果也是两种命中和命不中，摸球试验的结果，一种是摸到白球，一种是摸到黑球，所以它们共同的特点是都有两种试验结果。
师：两种试验结果相同吗？如果不是它们又有什么关系呢？生1：例1中每次试验“击中”的概率p都是0.7，“击不中”的概率q为0.3，1=-。
q p例2中每次试验，罚球“命中的”概率p都是0.8，“命不中”的概率q为0.2，1=-。
q p例3中每次试验，摸球摸到“白球的”概率p都是0.6，摸到“黑球”的概率q为0.4，1=-。
q p每次两种试验结果的概率相同，且加起来和为1.师：哦，那其他同学还有什么不一样的发现吗？生2：每次试验的条件是相同的，每次试验也是相互独立，都是独立事件，互不影响。
生3：每次试验都可以看做重复的。
师：那这些重复的独立事件发生的概率满足加法法则还是乘法法则呀？生：支支吾吾........师：什么叫相互独立事件呀，设,A B 两个事件,如果事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响(即()()()=P AB P A P B ), 则称事件A 与事件B 相互独立，那你们说是满足加法法则还是满足乘法法则呢？生：齐声回答“乘法法则”师：其实生活中有很多这样的实例（1）包含了n 个相同的试验（2）每次试验相互独立（3）每次试验只有两种可能的结果：“成功”或“失败”（4）每次出现“成功”的概率p 相同，“失败“的概率也相同，为1p -（5）试验”成功”或“失败”可以计数，即试验结果对应于一个离散型随机变量 我们定义：在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验。
（板书n 次独立重复试验特征）在学生对概念有了初步感知后，以具体实例引导学生分析如何求独立试验的概率。
师：下面我们具体研究一个3次独立重复试验：射击3次，每次射中目标的概率都为0p >．设随机变量X 是射中目标的次数，我们如何求随机变量X 的概率分布？第一步？生：确定随机变量的可取值师：很好，确定之后如何求其对应的概率呢？师：随机变量0X =时的概率如何表示”？生：3(1)p -师：随机变量1X =呢？生：思考了比较久师：我们可不可先把它所包含的事件先列出来，列出事件后，能不能知道它的概率如何表示？生：可以，这样概率和就是随机变量1X =的概率师：接下来你能不能完成随机变量X 的分布列设计意图：通过简单的具体实例，设置问题，逐渐引导学生思考，调动学生思维的积极性，激发学生学习本节课的兴趣，紧扣本节课教学内容的主题与重点。
利用知识的迁移，使学生明确知识的实际应用性，了解数学来源于实际。
通过问题的对比分析，学生自然得出独立重复试验模型的特征，定义的提出水到渠成，从而掌握判断的依据，达到第一个目标.并且初步感知独立事件的随机变量的概率的求法。
三、合作交流，探究新知师：独立重复试验，是在相同条件下各次之间相互独立地进行的一种试验，每次试验只有“成功”或“失败”两种可能结果。
每次试验“成功”的概率都p，“失败”的概率为1p-。
则投掷硬币是否可以看成是独立重复试验？生：是独立重复试验。
师：那每次正面朝上的概率p=，反面朝上的概率1=-=？q p生：都是0.5师：那通过刚才我们对独立重复试验特征的分析，我们就分组一起来探究一下投掷一枚均匀的硬币4次，恰好1次正面朝上的概率比恰好3次正面朝上的概率大的说法是否正确。
（对学生进行分组合作，并发放表格）师：试验中，我们知道共有16种试验的结果，首先我们分组列出这16种试验结果，然后我们用X表示正面朝上的次数，再分组探讨X的取值和相应的概率，并完成下表。
生：小组积极探究，学生积极参与课堂活动。
师：在学生有困难的时候给予一定引导。
设计意图：从问题探究入手，引导学生合作探索新知识，符合“学生为主体，老师为主导”的现代教育观点，也符合学生的认知规律。
同时突出本节课重点，也突破了难点。
虽然要在一定时间内完成表格需要几个学生的同时分工合作有点困难，但这样设计主要是想培养学生的合作精神，同时还培养了他们严谨的研究态度。
通过原始数据的处理，学生基本可以完成这两个问题。
分小组合作、讨论、交流.，再以组为单位得出结论，10分钟后，请小组代表汇报结果 师：通过填表、分析，你觉得投掷一枚均匀的硬币4次，恰好1次正面朝上的概率比恰好3次正面朝上的概率大的说法是否正确吗？生：不正确，它们的概率是相同的师：怎么就相同了呢？生：通过列举法16种情况（投影展示学生列出的16种情况）(1)正正正正（2）正正正反（3）正正反正（4）正反正正(5)反正正正（6）正正反反（7）正反正反（8）正反反正（9)反正反正 （10）反反正正(11) 反正正反（12）正反反反(13)反正反反（14）反反正反（15）反反反正（16）反反反反并计算，发现其中恰好1次正面朝上的概率为0.25，恰好3次正面朝上的概率也为0.25 师：这个方法不错，但是如果抛掷的次数增多，也这样列举下去吗？生：好像是不能师：那我们还有别的方法计算出概率，并做出合理的判断吗？生：我们还可以通过公式计算？师：什么公式呀？哪里的公式？生：我们可以发现规律，猜想公式师：那你得到了什么公式？生：若有 n 次试验，正面朝上的次数=X k 的概率()(1)-==-k k n k n P Xk C p p师：计算的结果和我们通过列举法计算的结果一样吗?生：我计算后，发现结果是一样的，算出来恰好1次正面朝上的概率为0.25，恰好3次正面朝上的概率也为0.25师：是的，很多时候我们不能凭感觉来做出判断，需要科学理性的进行分析。
生：嗯嗯........师：观察 ()(1)-==-k k n k n P X k C p p ，你还能联想到什么公式？生：和排列组合里的公式有的像 师：好，那我们来看看这些组合数，你分析到什么了？生：事件次数写出组合数形式和二项式系数一样师：对的，在二项式[](1)-+np p 的展开式中，第1+k 项1(1)-+=-k n k k K n T C p p ，那么()=P X k 就是二项式[](1)-+n p p 的展开式中第1+k 项，所以公式 ()(1)-==-k k n k n P X k C p p 称为二项分布，记忆的时候我们结合二项公式进行记忆是不是更好理解呀？生：是的师：下面请同学对我们探究的结果，及适用情况进行归纳概括？生：在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数X ，在每次试验中事件A 发生的概率为P ，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生K 次的概率为师：很好，我们也称随机变量X 服从二项分布,记作X ~(,)B n p ，也叫Bernolli 分布。
设计意图：完成上面的表格，学生通过归纳，定义自然就出来了。
定义的处理既突出了二项分布的背景，强调了事件A 只有发生（概率P )和不发生（概率1-q ）两种情况，帮助学生进一步理解随机变量X 的含义，同时又给学生提供了一种公式的记忆的好方法。
（从为什么叫二项分布出发）四、深化认识，内化新知师：二项分布是一种概率模型,用以解决独立重复试验中的概率问题，有着十分广泛的应用.下面请同学判断下列问题中的随机变量ξ都可以看作是服从二项分布？（多媒体课件出示问题）1.n 个新生婴儿，ξ为男婴的个数。