动态规划算法作业
0018算法笔记——【动态规划】流水作业调度问题与Johnson法则
0018算法笔记——【动态规划】流水作业调度问题与Johnson 法则1、问题描述：n个作业{1，2，…，n}要在由2台机器M1和M2组成的流水线上完成加工。
每个作业加工的顺序都是先在M1上加工，然后在M2上加工。
M1和M2加工作业i所需的时间分别为ai和bi。
流水作业调度问题要求确定这n个作业的最优加工顺序，使得从第一个作业在机器M1上开始加工，到最后一个作业在机器M2上加工完成所需的时间最少。
2、问题分析直观上，一个最优调度应使机器M1没有空闲时间，且机器M2的空闲时间最少。
在一般情况下，机器M2上会有机器空闲和作业积压2种情况。
设全部作业的集合为N={1，2，…，n}。
S是N的作业子集。
在一般情况下，机器M1开始加工S中作业时，机器M2还在加工其他作业，要等时间t后才可利用。
将这种情况下完成S中作业所需的最短时间记为T(S,t)。
流水作业调度问题的最优值为T(N,0)。
设π是所给n个流水作业的一个最优调度，它所需的加工时间为aπ(1)+T’。
其中T’是在机器M2的等待时间为bπ(1)时，安排作业π(2)，…，π(n)所需的时间。
记S=N-{π(1)}，则有T’=T(S,bπ(1))。
证明：事实上，由T的定义知T’>=T(S,bπ(1))。
若T’>T(S,bπ(1))，设π’是作业集S在机器M2的等待时间为bπ(1)情况下的一个最优调度。
则π(1)，π'(2)，…，π'(n)是N的一个调度，且该调度所需的时间为aπ(1)+T(S,bπ(1))<aπ(1)+T’。
这与π是N的最优调度矛盾。
故T’<=T(S,bπ(1))。
从而T’=T(S,bπ(1))。
这就证明了流水作业调度问题具有最优子结构的性质。
由流水作业调度问题的最优子结构性质可知:从公式（1）可以看出，该问题类似一个排列问题，求N个作业的最优调度问题，利用其子结构性质，对集合中的每一个作业进行试调度，在所有的试调度中，取其中加工时间最短的作业做为选择方案。
算法分析与设计（线下作业二）
算法分析与设计（线下作业⼆）《算法分析与设计》学习中⼼：专业：学号：姓名：作业练习⼆⼀、名词解释1、MST性质2、⼦问题的重叠性质递归算法求解问题时，每次产⽣的⼦问题并不总是新问题，有些⼦问题被反复计算多次，这种性质称为⼦问题的重叠性质。
⼆、简答题1、简述动态规划算法求解的基本要素。
答：动态规划算法求解的基本要素包括：1)最优⼦结构是问题能⽤动态规划算法求解的前提；2)动态规划算法，对每⼀个⼦问题只解⼀次，⽽后将其解保存在⼀个表格中，当再次需要解此⼦问题时，只是简单地⽤常数时间查看⼀下结果，即重叠⼦问题。
2、备忘录⽅法和动态规划算法相⽐有何异同简述之。
答：备忘录⽅法是动态规划算法的变形。
与动态规划算法⼀样，备忘录⽅法⽤表格保存已解决的⼦问题的答案，在下次需要解此问题时，只要简单地查看该⼦问题的解答，⽽不必重新计算。
备忘录⽅法与动态规划算法不同的是，备忘录⽅法的递归⽅式是⾃顶向下的，⽽动态规划算法则是⾃底向上递归的。
因此，备忘录⽅法的控制结构与直接递归⽅法的控制结构相同，区别在于备忘录⽅法为每个解过的⼦问题建⽴了备忘录以备需要时查看，避免了相同的⼦问题的重复求解，⽽直接递归⽅法没有此功能。
3、贪⼼算法求解的问题主要具有哪些性质简述之。
答：贪⼼算法求解的问题⼀般具有⼆个重要的性质：⼀是贪⼼选择性质，这是贪⼼算法可⾏的第⼀个基本要素；另⼀个是最优⼦结构性质，问题的最优⼦结构性质是该问题可⽤贪⼼算法求解的关键特征。
三、算法编写及算法应⽤分析题1、设计求解如下最⼤⼦段和问题的动态规划算法。
只需给出其递推计算公式即可。
最⼤⼦段和问题：给定由n 个整数（可能为负整数）组成的序列a1a2 … an，求该序列形如Σi≤k≤j ak的⼦段和的最⼤值。
当所有整数均为负整数时定义其最⼤⼦段和为0。
依次定义，所求的最优值为max{0, max1≤i≤j≤n Σi≤k≤j ak }。
2、关于多段图问题。
设G ＝(V ，E)是⼀个赋权有向图，其顶点集V 被划分成k>2个不相交的⼦集V i ：1i k ≤≤，其中，V 1和V k 分别只有⼀个顶点s （称为源）和⼀个顶点t （称为汇），图中所有的边（u,v ），i u V ∈，1i v V +∈。
动态规划练习例题
动态规划方法总结
动态规划算法的设计步骤
– – – – – – – 将问题表示成多步判断 确定是否满足优化原则——必要条件 确定子问题的重叠性——估计算法效率 列出关于优化函数的递推方程(或不等式)和边界条件 自底向上计算子问题的优化函数值----非递归的算法 备忘录方法记录中间结果 标记函数追踪问题的解
• S(i)表示结束于位置i的最大子区间和 • max{S(i)}即为所求最大子区间和 • 考虑如何递推求解并反算问题解
最大子矩阵
• 已知矩阵的大小定义为矩阵中所有元素的 和。给定一个矩阵，找到最大的非空(大小 至少是1 * 1)子矩阵。 • 例如这个矩阵的最大子矩阵大小为15。
0 -2 -7 0 9 2 -6 2 -4 1 -4 1 -1 8 0 -2
动态规划练习例题在棋盘上移动在一个nn的棋盘上棋子可以向上方右上方或左上方移动每次从x方格移动到y方格将获得pxy元钱pxy不一定是正数现求一个获得钱最多的从底边到顶边的一种移动棋子的方案
动态规划练习例题
在棋盘上移动
• 在一个n×n的棋盘上，棋子可以向上方、 右上方或左上方移动，每次从x方格移动到y 方格将获得p(x,y)元钱， p(x,y)不一定是正 数，现求一个获得钱最多的从底边到顶边 的一种移动棋子的方案。
解题思路
Qx, y 1 Q x, y max Qx 1, y 1 Q x 1, y 1 y 1 px, y 1, x, y y 1 px 1, y 1, x, y y 1且x 1 px 1, y 1, x, y y 1且x 字符串X=x1,x2,…xm和Y=y1,y2,…yn 使用一系列编辑操作将字符串X转变成Y。允许使 用插入，删除，修改三种操作，每种操作都有 一定的代价，求一个总代价最小的操作序列。 – 设从字符X中删除符号xi的代价为D(xi) – 将符号yj插入X的代价为I(yj) – 将X中的符号xi修改成yj的代价为C(xi,yj)
第3章 动态规划_作业-3.22
0.36
0 1 2 3
1 0.24
2
3
4
5
6 1
0
1
2
3
4
5
6
0
0.6
0.18
1
0
0.36
0.09
2
1 2
0
0.31
0.13 0.56
3 4 0.3 0.42
2 3
4
5 6 7
0
4 4
0
4
5
6 7
5 5
0
0.06
5 6
k 3 : C ( 3, 2 ) C ( 4 , 4 ) C ( 3,4) m in k 4 : C ( 3 , 3 ) C ( 5 ,4 )
式1 式2
C(i, j)=min{C(i, k-1)+C(k+1, j)+w(i,j)} (1≤i≤j≤n, i≤k≤j) =min{C(i, k-1)+C(k+1, j)}+w(i,j) (1≤i≤j≤n, i≤k≤j) 式3
0 1 0.24 2 3 4 5 6 1 2 0.09 3 0.13 4 0.3 5 0.06 6 7 0 1 2 3 4 5 6
s
0 0.18 0.42 0.6
C(i, i-1)=0 (1≤i≤n+1) C(i, i)=pi (1≤i≤n)
式1 式2
C(i, j)=min{C(i, k-1)+C(k+1, j)+w(i,j)} (1≤i≤j≤n, i≤k≤j) =min{C(i, k-1)+C(k+1, j)}+w(i,j) (1≤i≤j≤n, i≤k≤j) 式3
动态规划练习题(含答案)
动态规划练习题USACO 2.2 Subset Sums题目如下：对于从1到N的连续整集合合，能划分成两个子集合，且保证每个集合的数字和是相等的。
举个例子，如果N=3，对于{1，2，3}能划分成两个子集合，他们每个的所有数字和是相等的：and {1,2}这是唯一一种分发（交换集合位置被认为是同一种划分方案，因此不会增加划分方案总数）如果N=7，有四种方法能划分集合{1，2，3，4，5，6，7}，每一种分发的子集合各数字和是相等的:{1,6,7} and {2,3,4,5} {注1+6+7=2+3+4+5}{2,5,7} and {1,3,4,6}{3,4,7} and {1,2,5,6}{1,2,4,7} and {3,5,6}给出N，你的程序应该输出划分方案总数，如果不存在这样的划分方案，则输出0。
程序不能预存结果直接输出。
PROGRAM NAME: subsetINPUT FORMAT输入文件只有一行，且只有一个整数NSAMPLE INPUT (file subset.in)7OUTPUT FORMAT输出划分方案总数，如果不存在则输出0。
SAMPLE OUTPUT (file subset.out)4参考程序如下：#include <fstream>using namespace std;const unsigned int MAX_SUM = 1024;int n;unsigned long long int dyn[MAX_SUM];ifstream fin ("subset.in");ofstream fout ("subset.out");int main() {fin >> n;fin.close();int s = n*(n+1);if (s % 4) {fout << 0 << endl;fout.close ();return ;}s /= 4;int i, j;dyn [0] = 1;for (i = 1; i <= n; i++)for (j = s; j >= i; j--)dyn[j] += dyn[j-i];fout << (dyn[s]/2) << endl;fout.close();return 0;}USACO 2.3 Longest Prefix题目如下：在生物学中，一些生物的结构是用包含其要素的大写字母序列来表示的。
动态规划-例题众多-详细讲解
步骤2：状态转移方程：
步骤3：以自底向上的方法来计算最优解
12
程序的实现
BuyTicks(T, R)
1 n ← length[T]
2 f[0] ← 0
3 f[1] ← T[1]
4 for i ← 2 to n do
5
f[i] ← f[i-2]+R[i-1]
6
if f[i] > f[i-1]+T[i] then
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 F(n) 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89
2
递归 vs 动态规划
递归版本:
F(n)
1 if n=0 or n=1 then
2
return 1
3 else
4
return F(n-1) + F(n-2)
太慢!
动态规划:
F(n)
1 A[0] = A[1] ← 1
这里是某支股票的价格清单： 日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 价格 68 69 54 64 68 64 70 67 78 62 98 87 最优秀的投资者可以购买最多4次股票，可行方案中的一种是： 日期 2 5 6 10 价格 69 68 64 62 输入 第1行: N (1 <= N <= 5000)，股票发行天数 第2行: N个数，是每天的股票价格。 输出 输出文件仅一行包含两个数:最大购买次数和拥有最大购买次数的方案数(<=231) 当二种方案“看起来一样”时（就是说它们构成的价格队列一样的时候）,这2种方 案被认为是相同的。
你的任务是，已知所有N位同学的身高，计算最少需要 几位同学出列，可以使得剩下的同学排成合唱队形。
动态规划习题详解
动态规划动态规划是运筹学的一个分支，它是解决多阶段决策过程最优化问题的一种方法。
该方法是由美国数学家贝尔曼(R．Bellman)等人在本世纪50年代初提出的。
他们针对多阶段决策问题的特点，提出了解决这类问题的“最优化原理”，并成功地解决了生产管理、工程技术等方面的许多实际问题，从而建立了运筹学的一个新分支——动态规划。
他的名著《动态规划》于1957年出版，该书是动态规划的第一本著作。
动态规划是现代企业管理中的一种重要决策方法，在工程技术、经济管理、工农业生产及军事及其它部们都有广泛的应用，并且获得了显著的效果。
动态规划可用于解决最优路径问题、资源分配问题、生产计划与库存问题、投资分配问题、装载问题、设备更新与维修问题、排序问题及生产过程的最优控制等。
由于它所具有独特的解题思路，在处理某些优化问题时，常常比线性规划或非线性规划方法更有效。
第一节动态规划的基本方法多阶段决策的实际问题很多，下面通过具体例子，说明什么是动态规划模型及其求解方法。
例1：最短路线问题某工厂需要把一批货物从城市A运到城市E，中间可经过B1 、B2、B3、C1、C2、C3、D1、D2等城市，各城市之间的交通线和距离如下图所示，问应该选择一条什么路线，使得从A到E的距离最短？下面引进几个动态规划的基本概念和相关符号。
(1)阶段(Stage)把所给问题的过程，按时间和空间特征划分成若干个相互联系的阶段，以便按次序去求每个阶段的解，阶段总数一般用字母n表示，用字母k表示阶段变量。
如例l中 (最短路线问题)可看作是n=4阶段的动态规划问题，k=2表示处于第二阶段。
(2)状态(State)状态表示每个阶段开始时系统所处的自然状况或客观条件，它描述了研究问题过程状况。
描述各阶段状态的变量称为状态变量，常用字母sk表示第k阶段的状态变量，状态变量的取值范围称为状态集，用Sk表示。
如例l中，第一阶段的状态为A（即出发位置）。
第二阶段有三个状态：B1 、B2、B3，状态变量s2=B2表示第2阶段系统所处的位置是B2。
算法设计与分析-动态规划习题
a
j
k
T(n)=2T(n/2)+O(n) 解此递归方程可知，T(n)=O(nlogn) 3） 记 b[j]=
a
k 1
j
k
,1≤i≤n,则所求的最大子段和问题为
a
k 1
j
k
=max max
a
k i
j
k
=max b[j]
由 b[j]的定义可知，b[j-1]>0 时，b[j]= b[j-1]+a[j], 否则 b[j]=a[j]，因此 b[j]的动态规划递 归式 b[j]=max{b[j-1]+a[j],a[j]},1≤j≤n。 据此， 可设计出最大子段和动态规划算法如下： int MaxSum(int n,int *a) { Int sum=0,b=0; For(int i=1;i<=n;i++){ If(b>0)b+=a[j]; Else b=a[j]; If(b>sum)sum=b; } Return sum; } 显然，这个算法需要的时间和空间复杂度均为 O(n)。
则 RELI(1,n,c)可靠性设计的最优值为：
初始条件：f0 (X)=1，0≤X≤c
i
S ={ (f , X ) | f =f (X ) }
i i
S ={ (f , X ) | f =f (X ) }为可靠性设计问题 RELI(1,i,X) 的最优解，(f, X)是由 m1 ，m2 ，…，mi 的
按此递归式计算出来的 m(n,b)为最优值，算法所需的计算时间为 O(nb)。
4、可靠性设计：一个系统由 n 级设备串联而成，为了增强 可靠性，每级都可能并联了不止一台同样的设备。假设第 i 级设备 Di 用了 mi 台，该级设备的可靠性是 gi(mi)，则这个 系统的可靠性是Π gi(mi)。一般来说 gi(mi)都是递增函数，所 以每级用的设备越多系统的可靠性越高。但是设备都是有成 本的， 假定设备 Di 的成本是 ci， 设计该系统允许的投资不超 过 c，那么，该如何设计该系统（即各级采用多少设备）使 得这个系统的可靠性最高。试设计一个动态规划算法求解可 靠性设计。
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动态规划算法作业
动态规划是一种解决多阶段决策问题的优化方法。
在这种方法中，我
们将问题划分为多个子问题，并通过解决这些子问题来求解原始问题的最
优解。
动态规划可以应用于各种领域，如经济学、制造业、计算机科学等，在优化问题中经常被使用。
1.状态定义：确定问题的子问题以及每个子问题的状态。
状态是问题
的关键属性，这些属性在问题的不同阶段保持不变。
2.状态转移方程：表示问题的子问题之间的关系。
它描述了如何从一
个子问题转移到下一个子问题。
通过状态转移方程，我们可以推导出子问
题的最优解。
3.初始条件：定义问题的起始状态。
这通常是问题的边界条件，如在
第一个阶段的子问题中，我们需要定义初始状态。
4.最优解的计算：通过迭代计算，我们可以逐步解决子问题，并最终
求解出原始问题的最优解。
这通常通过填充一个表或者使用递归函数来实现。
为了更好地理解动态规划算法的应用，我们可以考虑以下两个经典问题。
1.背包问题：有一个容量为C的背包和一组物品。
每件物品有一个重
量和价值。
我们的目标是选择物品，使其总重量不超过背包的容量，同时
价值最大化。
我们可以使用动态规划来解决这个问题。
我们定义一个二维表，其中每一行表示一个物品，每一列表示背包的容量。
通过填充这个表，我们可以计算出每个子问题的最优解，并最终得出最优解。
2.最长公共子序列问题：给定两个字符串，求它们的最长公共子序列。
子序列在原字符串中不一定是连续的，但保持原有顺序。
我们可以使用动
态规划来解决这个问题。
我们定义一个二维表，其中每个单元格表示两个
字符串的子问题。
通过填充这个表，我们可以逐步计算出更长子序列的最
优解，并最终得出最长公共子序列。
动态规划算法的优点是可以减少问题的重复计算，并且可以避免使用
递归导致的堆栈溢出。
然而，这种算法也存在一些局限性。
首先，动态规
划算法需要定义子问题以及状态转移方程，这在一些问题中可能会很困难。
其次，动态规划算法的时间复杂度通常较高，特别是对于一些大规模问题。
总之，动态规划算法是一种重要的优化方法，可以用于解决各种多阶
段决策问题。
通过合理定义状态和转移方程，我们可以有效地求解原始问
题的最优解。
然而，动态规划算法也存在一些限制，需要根据具体问题来
进行适当的选择和应用。