2018年高中数学 第2章 平面解析几何初步 2.1.4 两条直线的交点课件6 苏教版必修2
=-1时，方程为x+4y+9=0
-1
l2
l
-2 l3
时，方程表示什么图形？
发现：此方程表示经过直线2x+3y+8=0与直线x-y-1=0交 点的直线系（直线集合）
探究拓展
一般地,
若直线l1 : A1x B1 y C1 0和l2 : A2 x B2 y C2 0相交, 则, 方程
A1x B1 y C1 ( A2 x B2 y C2 ) 0 ( R)
表示经过直线l1和l2交点的直线系方程.
不包含直线l2
在方程 表示的直线系中, 如何确定经过原点的直线方程?
合作交流
反思： 方法（１）普通方法 求交点，求斜率．利用点斜式写出方程 方法（２）利用直线系方程
合作交流
问题情境
直线x＋y－2＝0与直线x－y＝0的位置关系是什么？ 垂足的坐标能否求出？如何求？
请试着总结求两条直线交点的一般方法.
合作交流
两条直线的交点
P(x0，y0)
A1x＋B1y＋C1＝0 A2x＋B2y＋C2＝0
方程组的解就是两条直线的交点的坐标.
y
． P(x0，y0) O
x
合作交流
例1 解下列方程组，并分别在同一坐标系中画出每一方程组中的两 条直线，观察它们的位置关系．
方程（组）思想、数形结合思想．
复习回顾
1．平面内两直线的位置关系. 相交（有且只有一个公共点） 平行（无公共点） 重合（有无数个公共点）
2．利用两直线的一般式方程判断两直线的平行与垂直关系. l1：A1x＋B1y＋C1＝0 l2：A2x＋B2y＋C2＝0 l1∥l2 A1B2 ＝ A2B1，且A1C2≠A2C1或 B1C2≠B2C1． l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0．
y＝－2x＋3 4x＋2y＋4＝0
平行！
数学原理
设两条直线的方程分别是
l1 : A1 x B1 y C1 0,
l2 : A2 x B2 y C2 0.
据此, 我们有
方程
组
A1 A2
x x
B1 B2
y y
C1 C2
0的 0
解
直线l1, l2公共点个数 直线l1, l2的位置关系
一组
一个 相交
无数组
无数个 重合
无解
零个 平行
合作交流
例2 直线l经过原点，且经过另两条直线 2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0的交点，求直线l的方程．
合作交流
探究拓展 思考 :
方程
该方程表示什么图形 该图形有何特点
探究拓展
方程
=0时，方程为2x+3y+8=0 y
=1时，方程为3x+2y+7=0
例3.求证 : 不论m取何实数, 直线(2m 1)x (m 3) y (m 11) 0 都经过一个定点, 并求出这个定点的坐标.
分析：化为过两直线交点的直线系方程．
练习: 对任意实数m, 直线(m 1)x (2m 1) y m 8恒通过定点 .
小结反思：
知识与技能: （1）通过解方程组确定两直线交点坐标． （2）通过求交点坐标判断两直线的位置关系 ． （3）过定点的直线系方程的理解与应用． 思想与方法：
2x－y＝7 (1) 3x＋2y－7＝0
2x－6y＋4＝0 (2) 4x－12y＋8＝0
4x＋2y＋4＝0 (3) y＝－2x＋3
有且只有一组解 y
2x－y＝7 x
O
有无数组解
y 1
无解 y
－2－1 O x
O
x
3x＋2y－7＝0
重合！
相交！交点坐标为(3，－1) 想一想两直线的位置关系和方程组的解之间有什么联系？
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2018年高中数学第2章平面解析几何初步2.1.4两条直线的交点课件1苏教版必修2
前置问题：直线( 1)x (1 2 )y 4 1 0 恒
过哪个定点？
l1 x y 1 0 l2 x 2 y 4 0
x y 1 ( x 2y 4 ) 0
l1 l2 l2
跟进提问: 在这些直线中，
如何确定经过点（4,-2）的直线方程？
解两直线的方程所组成的方程组，若方程组只有一解，则两 直线相交.
例1.求下列两条直线的交点坐标. l1 : 3x+4y -2= 0 ，l2 :2x+y+2= 0 . 例2 判断下列各对直线的位置关系， 如果相交，则求出交点的坐标。 （1） l1 ： x - y =0，l2 ：3x+3y - 10=0； （2）l1 3x - y +4=0，l2 ：6x - 2y= 0； （3）l1 ：3x + 4y - 5 =0，l2 ： 6x +8y - 10 =0 .
2、共点直线系方程如何表示？ A1x+B1y+C1+λ（ A2x+B2y+C2）=0是过直线A1x+B1y+C1=0 和A2x+B2y+C2=0的交点且不包含直线A2x+B2y+C2=0的直 线系方程。
数形结合思想,分类讨论思想，坐标法
当堂检测
1、若三条直线ax 2y 8 0, 4x 3y 10, 2x y 10
相交于一点，则a=_______ 2、已知直线5x 4y 2m 1 0与2x 3y m 0 的交点 在第四象限，则m的取值范围是_______ 3、已知直线 mx 4y 2 0与2x 5y n 0 相互垂直，垂 足为（1，p），则m-n+p=_______ 4、直线 l 经过直线 2x 3y 8 0与x y 1 0 的交点， 且过原点，则直线l 的一般式方程为____________
高中数学第二章解析几何初步2.1.4两条直线的交点课件北师大版必修2
[思路探究]
解方程组 验证交点总 思路一： 令k＝0，k＝1 ―→ 求交点 ―→ 在直线上
变形方程，
解方程组
思路二： 提取参数 ―→ 列方程组 ―→ 求出定点
[规范解答] 证明：证法一：当 k＝1 时，直线方程为 x＝1，2 分 当 k＝0 时，直线方程为 x＋y＝0，4 分
x＝1 由x＋y＝0 得交点 P(1，－1)，8 分 将 P(1，－1)代入原方程左边得 k＋1－(k－1)×(－1)－2k＝k＋1＋k－1－2k＝0， 即点 P 的坐标总适合直线方程.10 分 ∴无论 k 取何实数，点 P(1，－1)总在直线(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0 上.12 分
∵直线 l 与直线 3x＋y－1＝0 平行，
λ＋2 λ－3 2λ－3
11
∴ 3 ＝ 1 ≠ －1 ，解得 λ＝ 2 .
从而所求直线方程为 15x＋5y＋16＝0.
3
2x－3y－3＝0，
x＝－5，
方法三：由方程组x＋y＋2＝0，
解得y＝－75.
∵所求直线 l 与直线 3x＋y－1＝0 平行，
[提示] 直线l1与l2相交于点P，点P的坐标既适合l1的方程，也适合l2的方 程，从而是两个方程的公共解，也就是两方程组成的方程组的解．
1．能用解方程组的方法求两直线的交点坐标． 2．会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系．
两条直线相交与方程组解的关系
已知两条不重合的直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0. A1x0＋B1y0＋C1＝0
2 ，解得－3＜k＜1.
求过两直线交点的直线方程
求经过两直线 l1：3x＋4y－2＝0 和 l2：2x＋y＋2＝0 的交点且过坐 标原点的直线 l 的方程．
两条直线的交点-PPT课件
第2章 平面解析几何初步 2．1 直线与方程
2．1.4 两条直线的交点
1
课标点击
栏 目 链
接
2
1．了解直线上的点的坐标和直线方程方向的关 系． 2．掌握用代数方法求两条直线的交点坐标．
3
典例剖析 栏 目 链 接 4
两条直线的交点问题
求经过两条直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的
栏
交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线l的方
方程组
1＋2x0－2×4＋2y0＝0， x0＝159，
xy00－－41×12＝－1，得 y0来自－85.栏 目 链 接
同理可求得点 A 关于直线 x＋y－1＝0 的对称点 A″的坐标为(－3，
0)．
13
由于点 A′159，－58，点 A″(－3，0)均在 BC 所在的直线上，
∴直线 BC 的方程为－y－85－00＝15x9＋＋33，
6
方法二 ∵直线 l 过两直线 2x－3y－3＝0 和 x＋y＋2＝0 的交点，
∴可设直线 l 的方程为 2x－3y－3＋λ(x＋y＋2)＝0.
∵直线 l 与直线 3x＋y－1＝0 平行，
栏 目
链
∴λ＋3 2＝λ－1 3≠2λ－－1 3，得 λ＝121.
接
从而所求直线方程为 15x＋5y＋16＝0.
栏 目 链 接
即 4x＋17y＋12＝0.
∴BC 所在直线的方程为 4x＋17y＋12＝0.
14
规律总结：点关于点对称问题是最基本的对称
栏
问题，用中点坐标公式及垂直的条件求解，它
目 链
接
是解答其他对称问题的基础．
15
►变式训练 2．一条光线从点A(3，2)出发，经x轴反射，通过点B( －1，6)，求入射光线和反射光线所在的直线方程．
2．1.4 两条直线的交点
1
课标点击
栏 目 链
接
2
1．了解直线上的点的坐标和直线方程方向的关 系． 2．掌握用代数方法求两条直线的交点坐标．
3
典例剖析 栏 目 链 接 4
两条直线的交点问题
求经过两条直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的
栏
交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线l的方
方程组
1＋2x0－2×4＋2y0＝0， x0＝159，
xy00－－41×12＝－1，得 y0来自－85.栏 目 链 接
同理可求得点 A 关于直线 x＋y－1＝0 的对称点 A″的坐标为(－3，
0)．
13
由于点 A′159，－58，点 A″(－3，0)均在 BC 所在的直线上，
∴直线 BC 的方程为－y－85－00＝15x9＋＋33，
6
方法二 ∵直线 l 过两直线 2x－3y－3＝0 和 x＋y＋2＝0 的交点，
∴可设直线 l 的方程为 2x－3y－3＋λ(x＋y＋2)＝0.
∵直线 l 与直线 3x＋y－1＝0 平行，
栏 目
链
∴λ＋3 2＝λ－1 3≠2λ－－1 3，得 λ＝121.
接
从而所求直线方程为 15x＋5y＋16＝0.
栏 目 链 接
即 4x＋17y＋12＝0.
∴BC 所在直线的方程为 4x＋17y＋12＝0.
14
规律总结：点关于点对称问题是最基本的对称
栏
问题，用中点坐标公式及垂直的条件求解，它
目 链
接
是解答其他对称问题的基础．
15
►变式训练 2．一条光线从点A(3，2)出发，经x轴反射，通过点B( －1，6)，求入射光线和反射光线所在的直线方程．
高中数学 第二章 解析几何初步 2.1.4 两条直线的交点课件 北师大版必修2
()
(4)过直线 l1:x-y+1=0 与直线 l2:3x+y-7=0 的交点的所有直线可
写为参数形式 x-y+1+λ(3x+y-7)=0(其中 λ∈R).
()
答案:(1)√ (2)× (3)√ (4)×
K12课件
6
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
探究一判断两条直线的位置关系
【例1】判断下列给出的两条直线的位置关系: (1)l1:x-y-1=0,l2:2x+y+4=0; ((32))ll11::y3=x--y12+x2+=20,l,2l2:x:6+x2-2y-y4-1==00. ; 分析:将两个直线的方程联立解方程组,通过方程组解的情况确
2, 3,
故两条直线的交点坐标为(2,3).
答案:B
K12课件
4
K12课件
5
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的
打“×”.
(1)若两直线方程组成的方程组无解,则这两直线平行. ( )
(2)直线 x=2 与直线 y=3 没有交点.
()
(3)两条直线的交点坐标就是两直线方程组成的方程组的解.
变式训练2 若直线5x+4y-2m-1=0与2x+3y-m=0的交点在第四象限, 求m的取值范围.
解:由方程组
5������ 2������
+ +
4������-2������-1 = 3������-������ = 0,
0,解得
������ = 2������+3 ,
7
������
高中数学第2章平面解析几何初步2.1直线与方程2.1.4两
4． (2014· 曲靖高一检测)两直线 2x＋3y－k＝0 和 x－ky＋12＝0
±6 的交点在 y 轴上，那么 k 的值为________ ．
k k 解析：在 2x＋3y－k＝0 中，令 x＝0 得 y＝ ，将(0， )代入 x 3 3 －ky＋12＝0，解得 k＝± 6.
两条直线位置关系的判断
2．方程组的解的组数与两直线的位置关系 方程组的解 交点 两直线 位置关系 平行 方程系数特征 A1B2＝A2B1 B1C2≠B2C1
无解
两直线 无 ____________ 交点
两条直线 ____________ 有一个 交点
有惟一解
相交
A1B2≠A2B1
两条直线有 无数 有无数个解 ____________ 个交点
1．两直线的位置关系与二元一次方程组的关系 设两条直线的方程分别是l1：A1xபைடு நூலகம்B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y
＋C2＝0.
如果这两条直线相交，由于交点同时在这两条直线上，交点 公共解 的坐标一定是这两个方程的 ______________ ；反之，如果这 一个 两个二元一次方程只有 ______________ 公共解，那么以这个 解为坐标的点必是直线l1与l2的交点．
第2章
平面解析几何初步
2．1.4 两条直线的交点
第2章
平面解析几何初步
学习导航 1.了解用代数法求解两条直线的交点的思路． 2.理解两直线的位置关系与二元一次方程组的 学习 解之间的联系．(难点) 目标 3.掌握应用二元一次方程组的解讨论研究两条 直线的位置关系的方法．(重点) 通过把两直线交点坐标的问题转化为两直线对 应的二元一次方程组解的问题，加深对解析法 学法 的理解及对数形结合思想的感悟；通过对一般 指导 形式的直线方程组解的讨论，提高对分类讨论 思想的掌握.
高中数学 第2章 解析几何初步 §1 1.4 两条直线的交点课件高一数学课件
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第二十八页，共四十五页。
·
自
课
主 预
法二：将原方程化为 k(x－y－2)＋x＋y＝0，
堂 小
习
结
·
探
x－y－2＝0，
提
新 知
要使其对任意实数 k 恒成立，则有x＋y＝0，
素 养
合 作 探 究
∴xy＝ ＝1－，1.
课 时 分 层
释
作
疑
∴不论 k 为何实数，原直线都过定点(1，－1)．
业
难
·
层 作
疑
业
难
·
返 首 页
第八页，共四十五页。
·
自
课
主
堂
预
小
习
结
·
探
提
新 知
2．已知两条直线 l1：ax＋3y－3＝0，l2：4x＋6y－1＝0，若 l1 与
素 养
l2 相交，则实数 a 满足的条件是________．
合
课
作
探
a≠2 [由题意得 6a－12≠0，即 a≠2.]
时 分
究
层
释
作
疑
业
难
·
返 首 页
释 疑
方程为 λ1A1x＋B1y＋C1＋λ2A2x＋B2y＋C2＝0λ1，λ2 为参数.,当 λ1＝1，λ2
作 业
难
＝0 时，方程即为 l1；,当 λ1＝0，λ2＝1 时，方程即为 l2.
返 首 页
第二十一页，共四十五页。
·
自
课
主
堂
预
小
习
结
·
探
提
新
[跟进训练]
素
高中数学第二章解析几何初步2.1直线与直线的方程2.1.4两条直线的交点课件北师大版必修2
题型一
题型二
题型三
题型四
方法三: 很显然直线l不为直线l2,所以可设直线l的方程为x-2y+4+λ(x+y2)=0, 即(1+λ)x+(λ-2)y+4-2λ=0, 由题意,知3(1+λ)+(-4)(λ-2)=0, 解得λ=11,则直线l的方程为4x+3y-6=0. 反思本题的三种方法是从三个不同的角度来考虑的.方法一是从 垂直直线的斜率关系来考虑,求出直线l的斜率和一定点坐标;方法 二是从直线l与直线l3垂直来考虑,利用垂直直线系设出方程;方法三 是从直线l过直线l1和l2的交点来考虑,利用过两条直线交点的直线 系设出方程.
4 3
题型一
题型二
题型三
题型四
方法二 : 设直线 l 的方程为 4x+3y+m=0. 因为它过两条直线 l1 与 l2 的交点 P, ������-2������ + 4 = 0, 解方程组 得 P(0,2), ������ + ������-2 = 0, 所以 4×0+3×2+m=0, 解得 m=-6. 所以直线 l 的方程为 4x+3y-6=0.
������ = -1, 得 所以直线 l1 和 l2 相交,交点坐标是(-1,-2). ������ = -2,
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
判断两条直线的位置关系
【例 1】 判断直线 l1:x-2y+1=0 与直线 l2:2x-2y+3=0 的位置关系. 如果相交, 求出交点坐标.
������ = -2, ������-2������ + 1 = 0, 解:解方程组 得 1 所以直线 l1 与 l2 相交, 交 2������-2������ + 3 = 0, ������ = - , 点坐标是 -2,- 2 .