2015线性代数辅导讲义 答疑整理【日期更新至5.26】
学生问：2015线性代数辅导讲义，P2，评注2，第6页括号五，特征多项式公式，这两个地方没看明白，主要是不清楚行列式是怎么拆分的，以及怎么合并成特征多项式公式的，谢谢老师解答! 老师答：111213212223313233000000a a a a a a a a a λλλ--------- 行列式的性质将第1列拆开， 121322233233000000a a a a a a λλλ--=--+--1112132122233132330000a a a a a a a a a λλ--------- 这两个矩阵分别再对第2列拆开，得四个行列式，再分别对四个行列式的第3列拆开， 得8个行列式，就是第二页的所给结果，这8个三阶行列式前7个都很好计算，（主对角线性，一列只有一个非零元素展开）。
按行也可以得出一样的结果，要点就是一行（列）元素拆成两元素之和，其他行（列）元素保持不变。
学生问：老师你好，我想问一下，2015线性代数辅导讲义，P6，（3），1.10的推倒过程中前两个式子为什么相等～～～ 老师答：这三个式子是相等的， 前两式子分别等于第3个，传递性知前两个式子相等。
学生问：2015线性代数辅导讲义，P6，关于副对角线的行列式从第一不到第二步看不懂，是怎样化的能详细点吗？副对角线跟主对角线有什么区别呢？谢谢老师。
老师答：这儿的两式子没有推导关系，只是结果相等的关系。
根据行列式的定义或展开计算得出1.8的结果。
副对角线行列式的结果不只是对角线上元素乘积，还有与阶数有关的符号。
学生问：2015线性代数辅导讲义，（1）P8，图片画线处前后两个等号不理解，不知道怎么来的，以及后面那个行列式怎么的出来（2）P4，为什么D1=4老师答：这个行列式用常数12,,,n b b b ， 换掉前面系数行列式中第j 列的元素得到的行列式，记为j D ，行列式按第j 列展开的计算式就是画线的式子。
4页，这就是第一行第一列一个元素的行列式。
学生问：老师，我想问一下，2015线性代数辅导讲义，P9，例1.1，为什么不能用分块矩阵的方法来做，谢谢。
老师答：怎么分块呢，对于这题分块矩阵都没有好的方法。
学生问：2015线性代数辅导讲义，P19， 例1.21，老师好，我有疑问 为什么用分块矩阵变成那样，第二个就是下面用行列式性质 我划线的部分是怎样变得老师答：矩阵乘法定义就是这样计算的。
行列式的性质，将第1列的—1倍加到第2 、3列，所得结果第2列的—1倍加第3列。
提取列向量前公因数，第3列的—3倍加第2列，第2列的—1倍加第1列。
学生问：2015《线性代数辅导讲义》， P20，例题1.22的方法一等式右边化简不懂.老师答：行列式的初等列变换，将第1列的—2倍加到第3列，第2列的—2倍加到第3列。
学生问：老师你好！2015《线性代数辅导讲义》，P20，例1.22方法三用特征值怎么理解？老师答：特征值的相关内容在第五章，暂时不理解可以先放放。
学生问：老师，您好。
可否解答一下2015线性代数辅导讲义，P21，练习1、2和P50，练习题，在书中我没有找到答案，很困惑，麻烦解答一下，万分感谢*^_^*老师答：学生问：老师您好：请问，2015线性代数辅导讲义，P21，练习（1）（2如何解答？）老师答：学生问：2015《线性代数辅导讲义， P21 ，练习1，一点思路没有…老师答：学生问：2015线性代数辅导讲义，P23，例1.26（1994.1）我用了和老师解答不一样的做法。
总感觉哪里不对，红笔写的是我的拙见，请老师批阅希望老师指正老师答：有零解不等于只有零解。
学生问：老师我想问下，2015线性代数辅导讲义，P23，[1.24].证法二，为什么s 和s 的转置秩为1？ 老师答：ξ非零3维列向量。
就是只有一列三行总共3个元素的矩阵，它的子式最大的是1阶的，就是一个元素，显然有元素不等于零，否则都等于零为零向量。
秩为1. 同样可以得出Tξ的秩为1.根据 ()()()()min ,r AB r A r B ≤，知()()()()min ,1TTr r r ξξξξ≤=T ξξ中有非零元素，()1T r ξξ≥， 故()1T r ξξ=。
学生问：2015线性代数辅导讲义，P28，第4道选择题。
老师答：A=⇒（B），必要条件，就是0A=⇒矩阵A的行向量线性相关，若存在某行向量为零，零向量为其余行线性组合，0（B）成立.若没有零向量，则存在不全为零的系数，移项就可得出（B）。
学生问：老师。
能解答一下2015线性代数辅导讲义，P26，那道练习题嘛？谢谢老师答：老师你好，我想问下2015线性代数辅导讲义，P28，如图为什么不能得出D选项。
老师答：行列式的前提是行数等于列数。
学生问：老师我想问下2015线性代数辅导讲义，P47，[2.16]，分块矩阵求逆不太懂。
老师答：参考39页的（2.8）。
这样求高阶矩阵的逆矩阵时，可以分块成小块矩阵来求逆，要注意分块矩阵后逆矩阵对应的位置。
学生问：老师，2015线性代数辅导讲义，P50，例2.2这道题请问用秩怎么做呢？我憋了几天都还是没有想出来秩怎么做？老师答：证明不正确。
第一个小于等于怎么来的？如果BA E =，E BA O -=，还成立吗？学生问：老师，2015线性代数辅导讲义 ，P50，例题2.21 不会变形的第二步。
老师答：利用互逆矩阵相乘等于单位矩阵。
()()1E A E A E -++=。
学生问：老师您好：请问2015线性代数辅导讲义，P50，例2.22练习如何证明？ 老师答：学生问：矩阵的行转换与列转换能一起来？例如,2015线性代数辅导讲义，P54，例29，行列式也能？前面也出现过，为什么呢老师答：矩阵是个数表，对行和列都可以进行变换。
变换的具体意义不同的情况，要具体分析。
等价矩阵，经过有限次的初等变换变成的矩阵。
（行、列都可以），这个变换保持了矩阵之间的等价关系。
线性方程组求解，对系数矩阵只做行初等变换。
这个变换保持了方程组是同解的。
学生问：2015线性代数辅导讲义, P53，例2.28，这样做为什么做出来是D，哪一步错了老师答：矩阵有乘法，没有定义除法，所以矩阵不能作为分母。
学生问：老师，2015线性代数辅导讲义，P82，例3.20（2）的解法2原理是什么？矩阵的秩为什么要+1？？？老师答：从向量组的秩等于极大无关组向量个数，加一个不能由向量组线性表出，也就是不能由向量组的极大无关组线性表出，极大无关组向量增加1个 。
也可以这样理解：不能线性表出 ，等价于方程组 ()12,,,m x ααα=β无解，等价于 ()12,,,1m r ααα+=()12,,,,m r αααβ。
学生问：老师，您好。
2015线性代数辅导讲义，P88，例3.29证法一的最后一句中，为什么r(BTAT)=老师答：利用了上一步证明结果，()()r AB r B ≤。
学生问：2015线性代数辅导讲义，P89，例3.32，老师，这题您的评注中说本题可以用相似对角化做，学生我苦思冥想很久没结果。
望老师解答，谢谢！ 老师答：A 是3阶实对称矩阵，故可以相似对角化。
存在可逆矩阵P ，使得1123P AP λλλ-⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭， 211123P APP AP λλλ--⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 21122223P A P λλλ-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 2122223A λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭222123000λλλ++=++，1230λλλ===，三重()0330r E A -=-=，()0r A =，A O =学生问：2015线性代数辅导讲义，P86,3.25老师答：学生问：2015线性代数辅导讲义，P88，例3.29证法一B老师答： 可能是零向量。
学生问：想问一下，2015线性代数辅导讲义，（1）P75，我发的照片的红笔圈的是怎么来的。
（2）P82，如图。
老师答：（1）P75， 方程组线性无关解的个数为()n r A -，方程组的解构成的向量组的秩最大为()n r A -。
（2）P82， β可以有12,,,m ααα线性表出，向量组12,,,m ααα与12,,,m ααα，β可以相互线性表出，等价，秩相等。
秩表示向量组中极大线性无关组向量的个数，β不能用121,,,m ααα-线性表出，线性无关组的向量增加1个，秩+ 1.学生问：老师我想问一下，2015线性代数辅导讲义，P89，例3.30评注里面第二条怎么证出来的，线性代数这么多定理怎么都记不住怎么办？ 老师答：例3.30不就是证明吗。
评注是要你注意遇到这种情况就要本能的反应出这两隐含的条件。
定理要多用才能记住。
学生问：请问下李永乐老师，n-r （A ），n 是什么意思啊？为什么讲义中例3.33说的n 是向量的维数？n代表维数还是未知数个数啊？还有求解释2015线代讲义，P93，例3.37老师答：n-r（A），n是表示未知量的个数，未知量表示成向量就是n维向量。
例3.33 是根据矩阵乘法的要求（列数=行数）；判断出未知量个数。
例3.37这部分涉及向量空间的内容，数学一要求的，看91页这部分的讲解。
学生问：2015线性代数辅导讲义， P90，Schmidt正交化图中画圈的部分怎么计算的，没太明白，请老师指教。
老师答：向量的内积，参见64页。
学生问：老师，我想请问一下2015线性代数辅导讲义，P96，的最后一道题、即解答第三小题，答案说k1,k2比不全为零，但我不明白。
还有最后的gama是怎么解出k[0,1,1]的？老师答：学生问：2015线性代数辅导讲义，P114，例4.12老师答：极大无关组是线性无关的，123,,ααα线性相关，肯定不是极大无关组。
这里1234,,,αααα是方程组的系数矩阵的列向量，不是解向量。
学生问：2015线性代数辅导讲义，P115，例4.14老师答：,a b 的结果是怎么得出来的，这儿最好要再写两步，说明一下。
学生问：2015线性代数辅导讲义，P121，例4.23老师答：上面必要性证明中，得出 ()()211r A r A =+，（很长、很大的那个式子）()()221r A r A =+ ()()21r A r A =代入计算就可以得出。
学生问： 2015年线性代数辅导讲义，（1）P122，图中红色箭头处不懂，望请老师解答（2）P130，红色部分不懂，望老师解答老师答：（1）P122，从矩阵秩等于矩阵列向量组的秩，包含零向量，线性相关，列向量组去掉零向量后是等价的。
或者从矩阵秩为不等于0的子式，最大的阶数，包含0元素的列在内的所有子式都为0. 秩就等于去掉0元素列和矩阵的秩。
（2）P130，向量组可以相互表出，等价，秩相等。
学生问：老师,2015线性代数辅导讲义，P131，一句是k重特征值至多有k个线性无关的特征向量一句是如λ是k重特征值，那么λ必有k个线性无关的特征向量，这两句话好相似啊有什么区别吗！结论还得出的不一样，后面会证，前一句不会证。
2015考研数学强化-线性代数(章飞)讲义
2015考研数学强化班线性代数讲义第一讲 行列式一、理论强化1．行列式的定义 2n 个数),,2,1,(n j i a j i =排成n 行n 列的方形表)(det )1(212121,,212222111211ij j n j j j j j nnn n n n a D A A a a a a a a a a a a a a nn∆====-=∑τ称为一个n 阶行列式，n 阶行列式是一个数，它等于所有来自不同行，不同列的n 个元素的乘积1211,,,n j j n j a a a ⋅⋅的代数和．其中12,,n j j j 是1,2,n 的一个排列．1=n 时，1111a a =为一阶行列式．2．行列式的性质（1）行列式转置后，其值不变，TD D =（表示行列地位平等）；（2）行列式某行（列）的元素的公因子k ，可以提到行列式符号外；（3）行列式具有分行（列）相加性；例：fe dbf e c af e d c b a +=++； （4）行列式中有两行（列）元素成比例时，其值为0； （5）互换行列式两行（列），行列式变号；（6）把某行（列）的k 倍加到另一行（列）后，行列式值不变． 3．行列式的余子式、代数余子式把j i a 所在的i 行，j 列划去余下来的1-n 阶行列式称为D 的元素j i a 的余子式记为j i M ； 称(1)i j i j i j A M +=-为D 的元素j i a 的代数余子式．*4．行列式展开定理定理1．行列式等于它的任意一行（列）的元素与其对应的代数余子式的乘积之和：),,2,1(),,2,1(11n j A a n i A a D j i ni j i j i n j j i ====∑∑==．定理2．1,,0,,nk j i j j D k i a A k i ==⎧=⎨≠⎩∑ 10,,,.ni k ij i k j a A D k j =≠⎧=⎨=⎩∑5．方阵的行列式 设A 、B 为n 阶方阵，则①11--=AA ； ②Ak kA n =； ③1-*=n AA ；④B A BA AB ==； ⑤ ||||||A B A B +≠+．二、常用结论1．上（下）三角形行列式n n a a a 0*2211＝n n a a a 2211 ，nn a a a *2211＝n n a a a 2211．2． 副对角行列式11(1)2(1)2(1)212(1)3(2)111*(1)0*nnn n n n n n n n n n a a a a a a a a a a -----==-．3．范德蒙行列式)(1111111312112232221321j i j i n n nn n n nnn x x x x x x x x x x x x x x D -∏==≥>≥----． 4．分块行列式①B A BCA B C A ==00 ；② 0(1)0m m m mm n n n n nA CA AB BC B ⨯⨯⨯⨯==-； ③ A BAD BC C D≠-．三、题型强化1．具体行列式的计算 方法一：三角形法（基础题）求4124120233200112D =．（答案：50）． 1234123412341234a x a a a a a x a a D a a a x a a a a a x--=--例：求 a b b b ba b b D bb a b bbba=例：求011211111(0)1n i na a D a a a +=≠．例：求1243411112222(0)33334444i a a D a a a ++=≠++．方法二：展开法-3-2-4-2-2=0-4-2-3λλλ求方程的根方法三：递推法：例：求2100012100200012n D =．方法四：利用范德蒙行列式例：222ab cD a b c b c c a a b=+++222323111122223333n n n nD nn n n =方法五：拆项法例： 已知232311111111124812480. 104150351211x x x x x x x ----+==则 ．方法六：分块法例：设212322212223() 333245354435743x x x x x x x x f x x x x x x x x x --------=-------，则()f x 的根的个数为（ ）． (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 :题型2．抽象行列式（方阵行列式）的计算 （基础题）设A 是三阶方阵，21=A ，求*--A A 2)3(1． （答案：16/27)- ()()123123122313,,=,,1,=+++A B B αααααααααααα==例：设是三维列向量，记A 且若，，，则例：设,A B 是n 阶方阵，2,A =3,B =1,A B -= 求11A B ---．例：（04-1，2）设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100021012A ，矩阵B 满足E A B A B A +=**2 ，则_____B =．3．有关余子式的计算方法：利用行列式展开定理3132331234511122=321462221143150D A A A ++，求30402222=07005322D --，求第四行个元素代数余子式之和第二讲 矩阵§1、矩阵及其运算一、理论强化1 矩阵的概念 ()m n ij m n A a ⨯⨯= （是一个数表）．2 矩阵的运算（1）线性运算 (+),();ij ij m n ij m n A B a b A ka ⨯⨯+=⎧⎪⎨=⎪⎩加法数乘 k（2）乘法运算 m n m s s n C A B ⨯⨯⨯= (条件：左矩阵列数=右矩阵行数)； 运算性质：（i ）BA AB ≠ 00=⇒/=A AB 或0=B ；（ii ）AC AB C B A +=+)(，CA BA A C B +=+)(；（3）方阵的幂 mA AA A = 满足 ()m n mn A A =，但()m m m AB A B ≠；（4） 转置 设 (),ij m n A a ⨯= 则()T ji n m A a ⨯=．运算性质：（i ）()T T A A =； （ⅱ）()T T kA kA = ；（ⅲ）()T T T A B A B +=+；（ⅳ）()T T T AB B A =．*⑸ 伴随阵 *A(ⅰ)定义 设(),ij n n A a ⨯= 则1121112222*12()n n ji n nnnnn n nA A A A A A A A A A A ⨯⨯⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭为A 的伴随阵． （ⅱ）基本公式 **||A A AA A E ==． *⑹ 可逆阵（非奇异阵）(ⅰ)定义 对于n 阶方阵A ,若存在n 阶方阵B ,使AB BA E ==,则称A 可逆，B 为A 的逆阵，记1A B -=．注 1A -唯一，且11AA A A E --==． (ⅱ) A 可逆的充要条件n 阶方阵A 可逆⇔||0A ≠⇔存在n 阶方阵B 使得AB E =或BA E =⇔()R A n =⇔A 的行（列）向量组线性无关⇔方程组Ax =0只有零解⇔12s A PP P =（其中i P 为初等方阵）； （ⅲ）逆阵公式 1*1||AA A -=； （ⅳ）性质 ① 11()A A --=； ② 111() (0)kA A k k--=≠； ③11()()T T A A --=； ④ 111()AB B A ---= ； ⑤111()A B A B ---+≠+．3. 分块矩阵（1）概念 将大矩阵用若干条纵线和横线分成多个小矩阵，每个小矩阵称为A 的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵．如123422440002100001000010A A A A A ⨯⨯⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭例： 100001000010001000121000131110100214010010121A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪- ⎪ ⎪⎪ ⎪==-- ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，则AB= （2）运算性质分块矩阵的运算与普通矩阵的运算规则相似，但要注意，运算的两矩阵按块能运算，并且参与的子块也能运算，即内外都能运算．（3）常用的分块（ⅰ）列分块 ()121,,,m n n n A ⨯⨯=ααα，i α——1⨯n ．（ⅱ）行分块 121m nm m A ⨯⨯⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭βββ，i β——1n ⨯． （ⅲ）A =0x 的分块12121122()n n n n x xA x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪=⇔⇔++= ⎪ ⎪⎝⎭000ααααααx ．（ⅳ）O AB =的分块1212(,,)(0,0,0)(,,)(0,0,0)n n AB A A A A =⇔=⇔=0ββββββ0 (1,2,)i A i n ⇔==β．结论：若O AB =，则B 的列向量i β是方程组A =0x 的解．（V ）分块对角阵 1s A A ⎛⎫ ⎪Λ= ⎪ ⎪⎝⎭．二、常用结论1. 设,αβ为n 维列向量，T A =αβ,则1()n T n A A -=βα．2．① *1||A A A -=； ② ()kA *=1n k-*A ； ③ 1*()A -=*1()A - ；④ ***()AB B A =． 3. 1110000A A B B ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 1110000A B B A---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 4．1122n n n A A A A ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．三、题型强化1．求nA ．方法：数学归纳法、拆项法、分块法、利用常用结论1、相似对角化法1013101-120100302-24001002-11-2A A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭例：()222,,,0n A B B A B A B AB BA ==-=+==阶矩阵满足A 证明：2. 逆阵的计算或证明（具体矩阵、抽象矩阵） 方法一：公式法例：123045002A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则1()A *-=__________方法二：初等变换法求具体矩阵的逆例：223110121A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，求1A -例：()1240A A E A E -+-=-若，求例：设T A E =+αβ，其中,αβ是n 维列向量，且2T =αβ，证明：A 是可逆阵，并求1A -．例：设,A B 是n 阶矩阵，E AB -可逆，证明E BA -可逆．例：设0,i a ≠1,2,...i n =，12100000000000n na a A a a -⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，求 1A -．*题型3. 解矩阵方程（基础题）设矩阵301110014A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，且2AX A X =+，求矩阵X ．（答案：522432223--⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭）例：设矩阵111111111A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，且*11(2)()84A X A X -=+，求矩阵X ．§2、初等变换与矩阵的秩一、理论强化1．初等变换 初等行变换 (i j r r ↔ ， i r k ⨯ (0),k ≠ )i j r ki + 初等列变换 (i j c c ↔ ， i c k ⨯ (0),k ≠ )i j c kc +*2．初等方阵 （1）．定义： 由单位阵经过一次初等变换而得到的矩阵．如： 13312(2)11021010(1,3(2))1001r r c c E E ++⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=−−−−→= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． (2)．共三种①11(,) 101E i j ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ （对应 i j r r ↔或i j c c ↔）； ②1(())1E i k k ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（对应 i r k ⨯或 (0)i c k k ⨯≠）； ③11(,())11k E i j k ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（对应 i j r kr +或（)j ic kc +）． (3)．性质① 1(,)(,)E i j E i j -=； 11(())(()k E i k E i -=； 1(,())(,())E i j k E i j k -=- 如11102102(1,3(2))010010(1,3(2))001001E E ---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪===- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；②初等方阵与初等变换的关系1A B PA B −−−−→⇔=一次行变换，其中1P为相应的初等方阵， A B −−−−→一次列变换A ⇔1Q =B ， 其中1Q 为相应的初等方阵， 如 12110201201110(1,2)123123r r A B E A B ↔⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=−−−→=⇔= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． *3．矩阵等价⑴ 概念：若A B −−−−−→有限次初等变换，称A 与B 等价，记A B ． ⑵性质 ①,m n m n A B A B ⨯⨯⇔同型且()()R A R B =⇔∃可逆阵,m n P Q 使m n P AQ B =．②000rE A ⎛⎫⎪⎝⎭，其中()r R A =． *4．矩阵的秩(1)．概念()R A r =⇔至少有一个r 阶子式 0r D ≠ (())R A r ≥，所有1r + 阶子式 1=0r D +(())R A r ≤．如 123401252468A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 110D ∃=≠,()1R A ≥,212=001D ∃≠（()2R A ≥），所有30D =（()2R A ≤）， ()2R A ∴=．(2)．性质 若B A ~，则()()R A R B =．二、常用结论1．00,()10;A R A A =⇔=⎧=⎨≥⇔≠⎩2．设()ij m n A a ⨯=，则()()()min{,}(0)T R A R A R kA m n k ==≤≠； 3．设A 为n 阶矩阵，则||0,()||0;n A R A n A =⇔≠⎧=⎨<⇔=⎩4．()min{(),()}R AB R A R B ≤； 5．()()()R A B R A R B +≤+；6．设0m n n s A B ⨯⨯=，则()()R A R B n +≤；7．(),()1()1,0()1;n R A n R A R A n R A n *⇔=⎧⎪=⇔=-⎨⎪⇔<-⎩8．设,P Q 为可逆阵，则()()()()R A R PA R AQ R PAQ ===．三、题型强化4．初等变换与初等矩阵的关系与应用 例：（2011-1,2,3）设A 是3阶方阵，将A 的第2行加到第1行得矩阵B ，再将B 的第1列的-1倍加到第2列得到C ，记110010001P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则（）. （A ）1C P AP -= （B ）1C PAP -= （C ）T C P AP = （D ）TC PAP =．5．求矩阵的秩方法：基本方法：初等变换法对矩阵作初等行变换，化为阶梯形，阶梯形中非零行的个数即为矩阵的秩。
《线性代数讲义》课件
在工程学中，性变换也得到了广泛的应用。例如，在图像处理中，可
以通过线性变换对图像进行缩放、旋转等操作；在线性控制系统分析中
，可以通过线性变换对系统进行建模和分析。
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特征向量的性质
特征向量与特征值一一对应，不同的 特征值对应的特征向量线性无关。
特征值与特征向量的计算方法
01
定义法
根据特征值的定义，通过解方程 组Av=λv来计算特征值和特征向 量。
02
03
公式法
幂法
对于某些特殊的矩阵，可以利用 公式直接计算特征值和特征向量 。
通过迭代的方式，不断计算矩阵 的幂，最终得到特征值和特征向 量。
矩阵表示线性变换的方法
矩阵的定义与性质
矩阵是线性代数中一个基本概念，它可以表示线性变 换。矩阵具有一些重要的性质，如矩阵的加法、标量 乘法、乘法等都是封闭的。
矩阵表示线性变换的方法
通过将线性变换表示为矩阵，可以更方便地研究线性 变换的性质和计算。具体来说，如果一个矩阵A表示 一个线性变换L，那么对于任意向量x，有L(x)=Ax。
特征值与特征向量的应用
数值分析
在求解微分方程、积分方程等数值问题时， 可以利用特征值和特征向量的性质进行求解 。
信号处理
在信号处理中，可以利用特征值和特征向量的性质 进行信号的滤波、降噪等处理。
图像处理
在图像处理中，可以利用特征值和特征向量 的性质进行图像的压缩、识别等处理。
05
二次型与矩阵的相似性
矩阵的定义与性质
数学工具
矩阵是一个由数字组成的矩形阵列，表示为二维数组。矩阵具有行数和列数。矩阵可以进行加法、数 乘、乘法等运算，并具有相应的性质和定理。矩阵是线性代数中重要的数学工具，用于表示线性变换 、线性方程组等。
(word完整版)线性代数重要知识点及典型例题答案,推荐文档
线性代数知识点总结第一章 行列式二三阶行列式N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和n nn nj j j j j j j j j nij a a a a ...)1(21212121)..(∑-=τ（奇偶）排列、逆序数、对换行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。
（转置行列式TD D =） ②行列式中某两行（列）互换，行列式变号。
推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。
③常数k 乘以行列式的某一行（列），等于k 乘以此行列式。
推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零； 推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。
④行列式具有分行（列）可加性⑤将行列式某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，值不变 行列式依行（列）展开：余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1(定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。
克莱姆法则：非齐次线性方程组 ：当系数行列式0≠D 时，有唯一解：)21(n j DD x j j ⋯⋯==、齐次线性方程组 ：当系数行列式01≠=D 时，则只有零解 逆否：若方程组存在非零解，则D 等于零 特殊行列式：①转置行列式：332313322212312111333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a =③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零④三线性行列式:333122211312110a a a a a a a 方法：用221a k 把21a 化为零，。
化为三角形行列式 ⑤上（下）三角形行列式:行列式运算常用方法（主要）行列式定义法（二三阶或零元素多的） 化零法（比例）化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、第二章 矩阵n （零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n 阶方阵、相等矩阵) ---------交换、结合律 数乘n m ij ka kA *)(=---------分配、结合律乘法nm lkj ik n l kj l m ik b a b a B A *1**)()(*)(*∑==注意什么时候有意义一般AB=BA ，不满足消去律；由AB=0，不能得A=0或B=0 转置A A T T =)( TT T B A B A +=+)( T T kA kA =)( TT T A B AB =)((反序定理) 方幂：2121k k k kA AA +=2121)(k k k k A A +=对角矩阵：若AB 都是N 阶对角阵，k 是数，则kA 、A+B 、 数量矩阵：相当于一个数（若……）单位矩阵、上（下）三角形矩阵（若……） 对称矩阵 反对称矩阵阶梯型矩阵：每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方 注：把分出来的小块矩阵看成是元素N 阶方阵，若存在N 阶矩阵B 的AB=BA=I 则称A 是可逆的，|A|=0、伴随矩阵)2.、非零k 乘某一行（列）3、将某行（列）的K 初等变换不改变矩阵的可逆性 初等矩阵都可逆倍乘阵 倍加阵） ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=O OO I D rr矩阵的秩r(A)：满秩矩阵 降秩矩阵 若A 可逆，则满秩 若A 是非奇异矩阵，则r （AB ）=r （B ） 初等变换不改变矩阵的秩求法：1定义2转化为标准式或阶梯形矩阵与行列式的联系与区别：都是数表；行列式行数列数一样，矩阵不一样；行列式最终是一个数，只要值相等，就相等，矩阵是一个数表，对应元素相等才相等；矩阵n ij n ij a k ka )()(=，行列式nij n n ij a k ka =逆矩阵注：①AB=BA=I 则A 与B 一定是方阵 ②BA=AB=I 则A 与B 一定互逆； ③不是所有的方阵都存在逆矩阵；④若A 可逆，则其逆矩阵是唯一的。
线性代数串讲讲义
第一章 行列式一．行列式的定义和性质1. 余子式ij M 和代数余子式ij A 的定义例1行列式0111101111011110------第二行第一列元素的代数余子式21A =（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．2测试点 余子式和代数余子式的概念解析 0111101111011110------,212121111111(1)1010121110001A M +--=-=--=--=---答案 B2．行列式按一行或一列展开的公式 1）11,1,2,;(,1,2,)nnijij ij ijij ij nni j A a a A j n A a a A i n ========∑∑2）11 ;00nn ij ik ij kj i j k j k i A Aa A a A k j k i ====⎧⎧==⎨⎨≠≠⎩⎩∑∑ 例2 设某3阶行列式的第二行元素分别为1,2,3,-对应的余子式分别为3,2,1--则此行列式的值为 .测试点 行列式按行(列)展开的定理 解 212223212223212223(1)23(1)(1)2(1)3(1)D A A A M M M +++=-⋅++=--+-+-34310=---=-例3 已知行列式的第一列的元素为1,4,3,2-，第二列元素的代数余子式为2,3,4,x 问x = . 测试点 行列式的任意一行(列)与另一行(列)元素的代数余子式的乘积之和为零.解 因第一列的元素为1,4,3,2-，第二列元素的代数余子式为2,3,4,x ,故1243(3)420x ⨯+⨯+-⨯+=所以1x =-3．行列式的性质1）.TA A =2）用数k 乘行列式的某一行（列）所得新行列式＝原行列式的k 倍.推论 3）互换行列式的任意两行（列）所得新行列式等于原行列式的相反数. 推论 4）如果行列式中两行（列）对应元素成比例，则行列式值为0. 5）行列式可以按任一行（列）拆开.6）行列式的某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，所得新行列式与原行列式的值相等.例4 已知1112132122233132333a a a a a a a a a =，那么111213212223313233222222a a a a a a a a a =---（ ） A.24- B.12- C.6-D. 12测试点 行列式的性质解析 1112131112132122232122233132333132332222(2)12.222a a a a a a a a a a a a a a a a a a =⨯-=---- 答案 B 例5设行列式2211b a b a =1，2211c a c a =2，则222111c b a c b a ++=（ ）A ．3-B ．1-C ．1D ．3测试点 行列式的性质 解111111122222223a b c a b a c a b c a b a c +=+=+故应选 D 答案 D二．行列式的计算1．二阶行列式和三角形行列式的计算.2.对一般数字行列式，利用行列式的性质将其降阶以化成二阶行列式或三角形行列式的计算.3．对行列式中有一行或一列中只有一个或两个非零元的情况，用这一行或一列展开.4．行列式中各行元素之和为一个常数的类型. 5.范德蒙行列式的计算公式 例6求4阶行列式1111112113114111的值. 测试点 行列式的计算解111411140231131002302103(3)6121101031000311110003--==-=-=---例7计算3阶行列式 .767367949249323123解 (1)(1)(2)(2)(1)(3)1232331002331002032494992004992004090.367677300677300607+-+-=== 例8 计算行列式：x a a a a x a aa a x a a a a x测试点 各行元素之和为常数的行列式的计算技巧.解 33300030003000x a a a x a a a a x a aa a a x a a x a x a a x a D a a x a x a a x a x a a a a x x a a a x x a+++-====+-+-3(3)().x a x a =+-例9计算行列式0000000000 000000n a b a b a D a b b a=测试点 行列式中有一行只有两个元素不为零的行列式的计算和三角形行列式的计算例10计算行列式60001002005006000D =解 36(1)(6)(2)(5)(3)(4)0001100000200200(1)6!0500005060000006D ↔↔↔==-=- 例11设2311248()13927141664x x x D x =问（1）()D x 中，3x 项的系数＝？（2）方程()0D x =有几个根？试写出所有的根。
线性代数讲义正式版
3：行列式——由 n2 个数组成的下列记号
a11 a12 ... a1n
D
a21
a22
...
a2 n
,称为 n 阶行列式，规定
an1 an2 ... an2
D 1 a a a j1 j2 jn
( j1 j2 jn )
1 j1 2 j2
njn
4：余子式与代数余子式——把行列式
1
郑老师线代核心讲义 第五节：线性方程组的性质........................................................................................................ 29 第六节：典型例题：.................................................................................................................... 31 第五章 特征值与特征向量................................................................................................................ 39 第一节：基本概念........................................................................................................................ 39 第二节:特征值与特征向量的性质............................................................................................... 40 第三节：矩阵相似........................................................................................................................ 43 第四节：相似及对角化性质........................................................................................................ 43 第五节：非实对称阵对角化步骤................................................................................................ 43 第六节：求特征值的方法............................................................................................................ 44 第七节：典型例题........................................................................................................................ 46 第六章 二次型.................................................................................................................................... 56 第一节 二次型及其标准型.......................................................................................................... 56 第二节：如何化二次型为标准二次型........................................................................................ 58 第三节 矩阵之间的三大关系.................................................................................................... 59 第四节 正定矩阵与正定二次型.................................................................................................. 63
线性代数基础讲义
2015考研数学线性代数基础讲义第一章 行列式一．基本内容1．排列与逆序定义 ：由 n 个自然数1, 2,3,..., n 组成的无重复有序实数组 称为一个 n 级排列。
定义 ：在一个 n 级排列中，如果一个较大数排在一个较小数前面，我们就称这两个数构成一个逆序。
对于逆序，我们感兴趣的是一个 n 级排列中逆序的总数，称为 n 级排列的逆序数，记作。
2. 行列式的定义个数 （ ）排成的行列的方形表称为一个n 阶行列式。
它表示所有取自不同行不同列的个元素乘积的代数和。
3.行列式的性质（1）转置不改变行列式的值（2）行列式某行（列）元素的公因子可以提到行列式之外（3）行列式的分行（列）可加性（4）行列式两行（列）元素成比例，则行列式值为0（5）互换行列式的某两行（列）行列式的值改变符号（6）行列式某行（列）的倍加到另外一行（列），行列式值不变4.行列式的余子式、代数余子式划去元素 所在的行、列，剩下的元素按照原来的顺序排成的n-1阶行列式称为 的余子式，记为 ，称 为 的代数余子式。
5.行列式的展开（1）展开定理（2）行列式某一行（列）每个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积的和等于0 。
二.基本结论（1）（2）12,,n i i i 12,,n i i i ()12,,n i i i τ2n ij a ,1,2,,i j n =⋅⋅⋅1212121112121222(,,,)12,,,12(1)n n n n n j j j j j nj j j j n n nn a a a a a a D a a a a a a τ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅==-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅∑ij a ij a ij M (1)i j ij ij A M +=-ij a 1122i i i i in in D a A a A a A =++1,2,,i n =1122j j j j nj nj a A a A a A =++1,2,,j n =11220k i k i kn in a A a A a A ++=k i≠11220k i k i nk ni a A a A a A ++=k i ≠1122nn a a a =11112222******nn nn a a a a a a ==1112(1)2(1)2(1)111******n n n n n n n n n a a a a a a a a a ---===三. 基本题型与基本方法题型1：行列式的计算：行列式基本方法：利用性质及展开具体方法：方法一 ：三角法（利用性质将行列式化为三角型行列式）例方法二：降阶法（利用展开降阶）例第二章 矩阵第一节 矩阵及其运算一. 基本内容1．矩阵概念1）定义2）特殊矩阵：（1）零矩阵：（2）阶方阵：（3）行矩阵（向量）、列矩阵（向量）：（4）对角矩阵、单位矩阵、上三角矩阵、下三角矩阵：（5）对称矩阵、反对称矩阵：2．矩阵的运算1）线性运算：加法与数乘2）乘法：（1）乘法法则：（2）运算律：3）方阵的运算（1）方阵的幂及其运算律：（2）方阵的行列式4）转置：性质5）伴随矩阵性质：二、基本结论1．伴随矩阵的相关结论2．分块矩阵的逆 4124120233200112D =0111111n n a a D a +=12344000000a x a a a x x D x x x x +-=--()111212122212n n ij m n m m mn a a a a a a A a a a a ⨯⋅⋅⋅⎛⎫ ⎪⋅⋅⋅ ⎪== ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭第二节 可逆矩阵一、基本内容1．可逆的定义：2．阶矩阵可逆的充要条件：3．性质：二、基本题型与基本方法题型1：逆矩阵的计算与证明（具体矩阵、抽象矩阵）方法一：公式法求逆方法二：初等变换求逆：方法：例方法四：利用定义，求（证明）逆矩（抽象矩阵的情形中常见）例：n 阶矩阵满足 求第三节 矩阵的初等变换与秩一、基本内容1．初等变换的定义：2．初等矩阵（1）定义：由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵（2）三种初等矩阵：（3）性质：初等矩阵都是可逆的，其逆仍是初等矩阵3．初等变换的本质（初等变换与初等矩阵的关系）4．矩阵等价1）定义：2）性质：5．矩阵的秩（1）定义：（2）性质：初等变换不改变矩阵的秩二、基本题型与基本方法题型：求矩阵的秩基本方法：初等变换法对矩阵作初等行变换，化为阶梯形，阶梯形中非零行的个数即为矩阵的秩。
线性代数讲义(第一章)
an1 an2 ann
解 展开式的一般项为 (-1)t( j1 j2jn ) a1 j1 a2 j2 anjn .
不为零的项只有 (-1)t(12n) a11a22 ann.
a11 0
0
a21 a22 0 1 t12na11a22 ann
1
1
a2 a a 1
1
1
b2 b b 1
1
1
c2 c c 1
1
1
d2 d d 1
a
b abcd
c
d
11
1 a2 a
a
1
1 b2
1
1 c2
1
b
b 1
13
c
c
1
1 d2
1 d
d
11 1 a2 a
1
1 b2
1 b
1
1 c2
1 c
1
1 d2
1 d
0.
性质5 把行列式的某一列（行）的各元素乘以 同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行 列式不变．
当 a11a22 a12a21 0 时， 方程组的解为
x1
b1a22 a11a22
a12b2 ， a12a21
x2
a11b2 a11a22
b1a21 . a12a21
（3）
由方程组的四个系数确定.
为便于记忆，引入记号
a D 11
a21
a 12
a a11 22 a a 12 21
三阶行列式的计算: 对角线法则
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
2015年考研数学线性代数第一章和第二章复习方法指导-李兰巧
2015年考研数学线性代数第一章和第二章复习方法指导在考试大纲中，数一、数二、数三对线性代数的要求基本相同，只有数一的要求多了解向量空间的相关知识。
在历年考题中，数一、数二、数三的线性代数的题目基本相同，所以同学们在复习线性代数时它的要求是相同的，复习难度也是相同的。
线性代数的题型是非常固定的，尤其是解答题。
其中一道解答题考查的是向量或者线性方程组，另外一道解答题是矩阵的特征值、特征向量或者二次型。
所以同学们在复习线性代数时，一定要花大量时间来复习这些内容。
今天我先来介绍第一章行列式和第二章矩阵的复习方法.第一章行列式是整个线性代数的基础。
复习行列式时，同学们主要掌握行列式的性质和展开定理，会熟练计算行列式。
对于行列式的定义，考试大纲要求了解，但是在考试中没有考查过它的定义，所以同学们了解定义即可。
有的同学说，我看不明白，那可以不看。
计算行列式是，主要是掌握行列式的性质和展开定理.对于行列式的性质，同学们要熟练利用，它的证明同学们不用看。
在复习展开定理时，要掌握定理本身和它的推论，同时要区分余子式和代数余子式。
关于代数余子式，在伴随矩阵中还会涉及。
考题中涉及到代数余子式，考虑展开定理或者伴随矩阵。
行列式的计算分为数值型行列式的计算和抽象型行列式的计算。
数值型行列式主要考查四种类型的行列式：行和（或者列和）相等的行列式，三对角行列式，两对角线一边的行列式，爪型行列式。
其中行和（或者列和）相等的行列式考试频率最高。
计算数值型行列式，同学们不但要会，而且要熟练掌握它们相应的方法。
数值型行列式的计算主要是结合线性方程组、矩阵的特征值来考查。
例如2012年在解答题第（I ）问中直接计算四阶行列式，第（II ）问考查线性方程组。
2014年以选择题的形式考查了四阶行列式的计算。
抽象型行列式的计算涉及的知识点较多，经常结合矩阵的性质、特征值、相似等等考查，所以需要同学们随着学习的不断深入要不断总结。
抽象型行列式的计算主要是以客观题的形式来考查，在2010年，2012年，2013年都以客观题的形式考查。
线性代数习题2015及参考答案
线性代数练习题（答案）一、填空题：1. 五阶行列式中，项a 21 a 32 a 53 a 15a 44 的符号为 负 。
2. 行列式某两行（列）元对应成比例，则行列式的值 0 。
3. 已知⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=162131A ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4113095B ,则AB 等于 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--42146 . 4. 若⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=t A 31322013,且秩(A)=2,则t = 6 .5. 已知方阵A 满足02=++cE bA aA (c b a ,,为常数0≠c ),则=-1A c bE aA )(+6.4阶行列式4713482475010532--中（3，2）元素的代数余子式A 32是 -223 . 7.向量组（Ⅰ）α1 , α 2 ,…, αr 与向量组（Ⅱ）β1，β2，…, βs 等价，且组（Ⅰ）线性无关，则r 与s 的大小关系为 s r ≤ .8. 设A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡500030201，A *为A 的伴随矩阵，则| A *|= 225 .9. 排列4 6 7 1 5 2 3的逆序数是 13 .10.四阶行列式44434241343332312423222114131211a a a a a a a a a a a a a a a a D =是 24 项的代数和，其中含11a 的项共 6项。
11. 任意一个数域都包含 有理 数域.12. 设λ1, λ 2 ,…, λn 是矩阵A 的n 个特征值，则λ1 λ2…λn= | A| 。
13. 设矩阵A =100220340⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，那么矩阵A 的列向量组的秩为 2 .14．设向量α=（1，2，3，4），则α的单位化向量为 30)4,3,2,1( .15．设A ，B 均为三阶方阵，且｜A ｜= -3，｜B ｜=6，则｜AB ｜= 18 ． 16. 设)0,1,1(),1,1,0(),1,0,1(321===βββ是3F 的一个基,则3F 的自然基321,,εεε到321,,βββ的过渡矩阵为 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛011110101 .16. 在欧氏空间4R 中，()1,0,0,1=α，()0,1,0,1=β，则α与β的夹角等于3π. 17．已知⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=710321A ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4113095B ,则A-2B 等于⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---12163209 . 18. 与矩阵101032120-⎛⎫⎪=- ⎪⎪-⎝⎭A 对应的二次型是x x x x x x x x x f 32312221321423),,(-++-= ．19. 二次型f(x 1,x 2,x 3)=323121232221x x 4x x x x 4x 3x 2x +--+-的对称矩阵为___⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---322220201_____ . 20. 若二次型f(x 1,x 2,x 3, x 4)的正惯性指数为3，符号差为2，则f(x 1,x 2,x 3 ,x 4)的规范型为yy y y 24232221-++二、单项选择题：1. 设2阶方阵A 可逆，且A=⎪⎭⎫ ⎝⎛--2173，则A -1=（ A ）。
李林2015年线代讲义
第二篇 线性代数第一讲 行列式考纲要求1.了解行列式的定义，掌握行列式的性质.2.会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式. 问题1 何谓行列式？行列式在线性代数中有哪些应用？答 行列式是方阵的元素按一定规则运算得到的一个数，它在线性代数中有广泛应用： 设A 为阶方阵，则下列命题等价： n ⑴0A ≠（A 非奇异）； ⑵A 可逆；⑶存在方阵B ，使得AB E =； ⑷（()r A n =A 满秩）；⑸A 的特征值全不为零；⑹A 的行（列）向量组线性无关； ⑺只有零解； 0Ax =⑻有惟一解. Ax b =问题2 何谓余子式、代数余子式？答 余子式、代数余子式的定义见教材，由定义知，代数余子式ij A 与第i 行、第j 列的元素的取值无关.例设4521011130112101−−=D ，求41424344A A A A +++；41424344.M M M M +++【】 1;5−−问题3 行列式有哪些性质？ 答 行列式的性质有⑴行列互换，行列式不变； ⑵两行互换，行列式反号； ⑶一行的公因子可以提出来； ⑷两行成比例，行列式为零；⑸行列式可以按一行拆分为两个行列式之和；⑹一行的倍数加到另一行，行列式不变. 注 行列式对行成立的性质，对列也成立. 问题4 写出行列式按行（列）展开公式.答 1122i i i i in in A a A a A a A =+++L （按第i 行展开）1122j j j j nj nj A a A a A a A =+++L （按第j 列展开）▲一行元素与另一行对应元素的代数余子式乘积之和为零，即11220()i j i j in jn a A a A a A i j +++=≠L问题5 如何计算数字、字母型行列式？ 答 数字、字母型行列式的计算方法有 ⑴化三角形法； ⑵展开降阶法； ⑶展开递推法； ⑷归纳法；⑸公式法.常用公式有公式1 上（下）三角形行列式112212************n n na a a a a a a a a ==L OO . 公式2 关于副对角线的上（下）三角形行列式11(1)22212******(1)******n n n n na a a a a a a a a −==−L N N . 公式3 范德蒙德行列式12111112111()ni j j i nn n n nx x x x x x x x ≤<≤−−−=−ΠL LM MM L . 计算行列式时，根据行列式的特点（例如行和相等、爪形、可化为爪形、三对角等），采用适当的变形方法，可以简化运算.常用变形方法⑴把某一行（列）的倍数加到其余各行（列）； ⑵把每行（列）的倍数加到某一行（列）；⑶逐行（列）相加. 例1.设方阵，且⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−=3241223k kA 0A E λ−=，求λ的值.【1231,1λλλ==−=】 2.求方程0347534453542333322212223212=−−−−−−−−−−−−−−−x x x x x x x x x x x x x x x x 的根.【0,1x x ==】3.设63121024221421)(++−−=x x xx xxx f ，证明0)(=′x f 有小于1的正根.【用罗尔定理】4.计算1111111111111111−−+−−−+−−−=x x x x D 【】 4x 解 【行和相等，首先将第2、3、4列加到第1列】12341111111111111111111111111c c c c 111x xx x x x D x x x x x +++−−−−−+−−+−==−−−−+−−−−213141411111*********111110011111000c c c cc c x x x x x xx x x +−+−−−+−==−−−−=.5.计算432101001001111a a a a D =，其中0432≠a a a .【)111(4321432a a a a a a a −−−】 【爪形行列式，将第2、3、4列的适当倍数加到第1列，化为上三角】6.计算43214321432143214321++++=a a a a a a a a a a a a a a a a D 【32414!(1)234a a aa ++++】【特点：除对角元素外，各列元素相同，只要将第2、3、4行减去第1行，就化为爪形】7.计算a a a a a a a a a D −−−−−−−−−=110001100011000110001【三对角行列式，展开、递推，】 23451a a a a a −+−+−8.计算22221111000000c d a b d c b a D =【特点：多零，按第一行展开， 】12121212()(a a b b c c d d −−)9. 计算12564271625169454321111=D【利用行列式性质和范德蒙德行列式，】4−10.计算ab b b a bb b a D n L M M M L L =【特点：各行元素之和相等，各列加到第一列，1[(1)]()n a n b a b −+−−】问题6 如何计算抽象行列式？答 计算抽象行列式，除了掌握行列式的性质，还必须熟记关于矩阵行列式的结论： ⑴若A 为n 阶矩阵，则nkA kA =.⑵若A 为n 阶矩阵，则TAA =，1*n A A−=.⑶若A 为n 阶可逆矩阵，则11A A −−=.⑷若A ，B 为阶矩阵，则n AB A B =⋅.⑸若A 为n 阶矩阵，(1,2,,i i )n A 的特征值，则12n A λλλ=L .=λL 是⑹设A ，B 分别为阶，阶矩阵，则m n A C A O A B O B C B ==⋅，(1)mn C A O AA B B O B C==−⋅.例1.设γβααα,,,,321都是4维列向量，且a =βααα,,,321，b =+123,,,αααγβ，=321,,,2αααγ .【2()a b −】2.设123,,2ααα=，则112123,2,23αααααα+++= .【12】3.设A 为3阶方阵，且2=A ，则=−−*1)2(A A . 【2716−】 4.设，矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=100021012A B 满足E BA ABA +=**2，则B = .【19B =】5.设A 为3阶方阵，且E A E A E A +−−2,2,均不可逆，则=A .【】 1−6.设A ,B ,C 都是行列式为2的3阶方阵，求CB A O1)32(−−.【278】第二讲 矩阵及其运算考纲要求1.理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵以及它们的性质.2.掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质.3.理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵.4.理解矩阵初等变换的概念，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法.5.了解分块矩阵及其运算. 问题1 关于矩阵的运算. 答 相关内容有：1.矩阵的概念（零矩阵、单位矩阵、数量矩阵、三角矩阵、对角矩阵、对称矩阵、反对称矩阵）2.矩阵的运算（加法、数乘、乘法、方阵的幂、转置）3.矩阵的运算律矩阵的加法和数乘满足下列运算律：设A ，B ，C 是同型矩阵，λ，μ是数，则 ⑴A B B A +=+；⑵()()A B C A B C ++=++； ⑶()()A A λμλμ=； ⑷()A A A λμλμ+=+； ⑸()A B A B λλλ+=+. 矩阵的乘法满足如下运算律：设A ，B ，C 都是矩阵，λ是数，且下列运算都是可行的，则 ⑴()()AB C A BC =；（结合律） ⑵()A B C AB AC +=+；（左分配律） ⑶()B C A BA CA +=+；（右分配律） ⑷()()()A B A B AB λλλ==；（结合律） ⑸AE EA A ==.（单位矩阵的性质） 方阵的幂满足klk lA A A+=，()，但不满足.k l kl A A =()k k AB A B =k矩阵的转置满足下列运算律：假设下面的矩阵运算是可行的，则 ⑴；TT()A A =⑵；TT ()A B A B +=+T T ⑶； TT ()A A λλ=⑷.TT ()AB B A =▲关于矩阵的运算，一是可行性，二是运算律. 特别，矩阵的乘法不满足交换律，消去律和零因子律，即一般情形下，AB BA ≠；,AB AC A O =≠不能推出B C =；AB O =不能推出A O =或者B O =.例1.设维向量n ⎟⎠⎞⎜⎝⎛=21,0,,0,21L α，T A E αα=−，T 2B E αα=+，则=AB .【E 】2.下列关于矩阵的命题中哪些是错误的（假设运算都是可行的）： ⑴BA AB =；⑵若，则O AB =O A =或O B =； ⑶若，则AC AB =C B =； ⑷；TT ()AB A B =T ⎞⎟⎠⑸； kkkB A AB =)(⑹；111)(−−−=B A AB ⑺；))((22B A B A B A −+=−⑻，其中TA B A C C D B D ⎛⎞⎛=⎜⎟⎜⎝⎠⎝A ，均为方阵；D ⑼B A AB =； ⑽B A B A +=+； ⑾A k kA =；⑿若为同阶对称阵，则B A ,AB 为对称阵.▲只有⑼对；若可交换，⑴⑷⑸⑹⑺⑿也是对的，且所有乘法公式（平方差、立方差、立方和、二项式定理等 ）对矩阵成立.B A ,问题2 如何求方阵的幂？ 答 求方阵A 的幂的方法有⑴归纳法 依次求出A ，等，找出规律，写出； 2A nA ⑵对角化法 若1P AP Λ−=，则1A P P Λ−=，1nnA P P Λ−=； ⑶将矩阵分解为列向量与行向量的乘积，再用结合律；⑷将矩阵分解为数量矩阵与幂零矩阵的和，再用二项式定理； ⑸利用分块矩阵求幂.▲求方阵的幂时，常常运用矩阵乘法的结合律. 例1.设，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=321α⎟⎠⎞⎜⎝⎛=31211β，αβ=A ，求.【nA 111123232133312n −⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠】2.设矩阵，求.111121A −⎛⎞=⎜⎟⎝⎠T ()nA A 【】 11111111111111111136326363263463263632636n n n n n n n n n n n n n n n n n n −−−−−−−−−−−−−−−−−−⎛⎞+−+⋅+⎜⎟−+⋅+⋅−+⋅⎜⎟⎜⎟+−+⋅+⎝⎠3.设,求.【⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=λλλ001001A nA 121(1)2n n n nn nn n n n λλλλλλ−−−−⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠】4.设，，且⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=100000001B ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=112012001P PB AP =，求A 及.5A 【5A 100200611A ⎛⎞⎜⎟==⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠】5.设，求.【 】 ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=10001000010001λλA n A10010********n n λλ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠问题3 关于可逆矩阵. 答 相关内容有 1.概念定义1 设A 为阶方阵. 若存在阶方阵n n B ，使得AB BA E ==，则称方阵A 是可逆矩阵，或者说A 可逆，并称B 是A 的逆阵，记作，即1AB −=.定义2 设()ij A a =为阶方阵，由元n (,1,2,,)ij a i j n =L 的代数余子式ij A 组成的方阵1121112222*12n n nn nn A A A A A A A A A A ⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠L L M M M L称为A 的伴随矩阵.A 的伴随矩阵具有如下重要性质：**AA A A A E ==.2.矩阵可逆的充要条件定理 n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是：0A ≠，且当A 可逆时，1*1AA A−=. ▲设A ，B 都是n 阶方阵，若AB E =，则A ，B 都可逆，且A ，B 互为逆阵. 3.可逆矩阵的性质⑴若方阵A 可逆，则1A −可逆，且11()A A −−=；⑵若方阵A 可逆，则(0A )λλ≠可逆，且111()A A λλ−−=；⑶若方阵A 可逆，则可逆，且；TA T 11T ()()A A −−=⑷若阶方阵n A ，B 都可逆，则AB 可逆，且11()AB B A 1−−−=.问题4 如何求逆矩阵？ 答 求逆矩阵的方法⑴用定义：找方阵B ，使得AB E =. ⑵用伴随矩阵：1*1AA A−=. ⑶用初等行变换：.1()~(A E E A −)⑷用分块矩阵：111A O A O O B OB −−−⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠，111O A O B B O AO −−−⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠. ▲求逆阵的运算容易出错，建议读者求出1A −后验证1AA E −=.例1.设，求.【210121111A ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠1A −111110222113A −−⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠】 2.设，则＝ ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=0004300002000010A 1−A .【100041000100210003⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠0 】3.设B A AB 2−=，，则＝ ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=102010201B 1)2(−+E A .【】 001010100−⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠4.设，，则⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=3211A E A A B 232+−=1−B ＝ .【10211⎛⎞⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠】 5.已知矩阵A 满足E A 23=，则＝ 1−A .【212A 】 6.已知矩阵A 满足，则 O A =3=++−12)(A A E .【E A −】问题5 如何证明矩阵可逆？ 答 证明矩阵A 可逆的方法有⑴定义法：找方阵B ，使得AB E =； ⑵行列式法：证明0A ≠. 例1.已知矩阵A 满足，证明O E A A =−−322E A 4+可逆，并求其逆阵.【1(621)A E −−】2.已知矩阵A ,B 满足B A AB +=，证明E A −可逆，并求其逆阵.【B E −】3.设A ,B ，B A +都是可逆矩阵，证明11−−+B A 可逆，并求其逆阵.【1()B A B A −+】4.设E B A ==22，且0=+B A ，证明B A +不可逆. 5.已知α,β是相互正交的维列向量，证明可逆. n TE αβ+问题6 如何解矩阵方程？答 先将矩阵方程化简为三种基本类型：AX B =，XA B =，AXB C =，然后用逆矩阵求解.例1.设3阶方阵A ,B 满足，且BA A BA A +=−61⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=710004100031A ，则=B .2.设矩阵A ,B 满足，且，求E BA BA A 82*−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=121A B . 3.设，，且，求⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−=1000110001100011B ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=2000120031204312C 11)(−−=−A C B C E T T A . 4.已知，且，求⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−=8030010100100001*A E BA ABA 311+=−−B . 5.设矩阵满足B A ,E B B A 421−=−， ⑴证明E A 2−可逆；⑵若，求⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=200021021B A . 6.设，且，则 ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−=7600054000320001A )()(1A E A EB −+=−=+−1)(B E . 答案 1. 2.3. 300020001⎛⎞⎜⎟⎜⎜⎟⎝⎠⎟⎟200040002⎛⎞⎜⎟−⎜⎜⎟⎝⎠100021*********1⎛⎞⎜⎟−⎜⎟⎜⎟−⎜⎟−⎝⎠4. 5. 6. 6000060060600301⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠020110002⎛⎞⎜⎟−−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠1000120002300034⎛⎞⎜⎟−⎜⎟⎜⎟−⎜⎟−⎝⎠问题7 关于伴随矩阵.答 关于伴随矩阵，除了它的定义，还要掌握：1.基本关系式：**AA A A A E ==. 2.求伴随矩阵的方法⑴用定义：1121112222*12n n nn nn A A A A A A A A A A ⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠L L M M M L，特别地，若，则； a b A c d ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠*d b A c a −⎛⎞=⎜⎟−⎝⎠⑵用逆矩阵：1**11AA A A A A−−=⇒=. 3.伴随矩阵的性质（行列式、秩、特征值） 设A 为阶方阵， n ⑴1*n A A−=.⑵若，则()r A n =*()r A n =；若，则()1r A n =−*()1r A =；若()1r A n <−，则. *()0r A =⑶若A 可逆，λ是A 的特征值，则Aλ是的特征值.*A 例1.设，则⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=4321A =*A ，1A −= .【4231−⎛⎞⎜⎟−⎝⎠ ；】213/21/2−⎛⎞⎜⎟−⎝⎠2.设A 为阶方阵，证明.n *1()n kA k A −=*证 先求代数余子式.22232323331111123()n nn n n nnka ka ka ka ka ka kA k A ka ka ka −==L L M M M L ，类似求得， 1()(,1,2,,)n ij ij kA k A i j n −==L 故.*1()n kA kA −=*3.设A 为阶可逆方阵，证明n A AA n 2**)(−=.4.设A 为可逆方阵，证明，.T **T()()A A =1**1)()(−−=A A 5.设A 是3阶非零矩阵，且)3,2,1,(==j i A a ij ij ，证明A 可逆，并求A .6.设3阶方阵A 的特征值为1，2，3，则112233A A A ++= .【11】 解A 的特征值为1，2，3，6A =，的特征值为6，3，2，*A 由特征值的性质知，的对角元之和*A 11223363211A A A ++=++=.问题8 关于分块矩阵.答 分块矩阵的内容包括：分块矩阵的概念、运算和分块对角阵1.概念 用一组横线和竖线将矩阵A 分割成若干个小矩阵，每个小矩阵成为A 的子块，这种以子块为元的形式上的矩阵称为分块矩阵.矩阵分块的作用是：⑴降低矩阵的阶数，简化矩阵的运算；⑵利用矩阵分块（尤其是按行分块和按列分块），进行理论推导，许多重要的定理和结论都是用这种方法推导出来的.2.运算分块矩阵的运算类似普通的数字矩阵.设11122122A A A A A ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠，11122122B B B B B ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠. 在运算可行的条件下，1111121221212222A B A B A B A B A B ++⎛⎞+=⎜⎟++⎝⎠；11122122A A A A A λλλλλ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠；11111221111212222111222121122222A B A BA B A B AB A B A B A B A B ++⎛⎞=⎜⎟++⎝⎠；TTT1121TT 1222A A A A A ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠. 分块矩阵的运算含有两级运算：分块矩阵间的运算和子块间的运算，分块方法必须使得这两级运算都有意义.对于分块矩阵的加法，要求两个矩阵的分块方法相同；对于分块矩阵的乘法，要求左矩阵列的分组方法和右矩阵行的分组方法一致.3.分块对角阵设均为方阵，则称矩阵12,,,r A A A L 12r A A A A ⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠O为分块对角阵. 分块对角阵具有如下性质：⑴12n n nn r A A A A ⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠O； ⑵12r A A A A =L ；⑶若都可逆，则12,,,r A A A L A 可逆，且111121r A A A A −−−−⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠O. 例1.设为可逆方阵，，证明B A ,⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=B O O A C ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=***B A OO A B C .2.设A 为阶非奇异方阵,n α为维列向量，n T *EO P A A α⎛⎞=⎜⎟−⎝⎠，T A Q b αα⎛⎞=⎜⎟⎝⎠⑴计算并化简；【PQ T 10()APQ A b A ααα−⎛⎞=⎜⎟−⎝⎠】⑵证明：Q 可逆的充要条件是T 1A b αα−≠.3.设方阵，可逆，证明分块矩阵11A 22A 111222A A A O A ⎛⎞=⎜⎝⎠⎟可逆，并求1A −. .问题9 关于矩阵的初等变换和初等方阵 答 相关内容有：1.初等变换的概念 下面的三种变换称为矩阵的初等行变换： ⑴互换两行的位置；⑵用一个非零数乘某一行； ⑶把一行的倍数加到另一行上. 将定义中的“行”换成“列”，就得到矩阵的初等列变换的定义. 矩阵的初等行变换和初等列变换统称为矩阵的初等变换.如果矩阵A 经有限次初等变换变成矩阵B ，则称矩阵A 与B 等价，记作~A B .2.初等方阵 单位矩阵经一次初等变换得到的方阵称为初等方阵.三种初等变换对应三种初等方阵，三种初等方阵都可逆，且它们的逆矩阵仍为初等方阵：1(,)(,)E i j E i j −=，11(())(())E i k E i k−=，1(,())(,())E i j k E i j k −=−.3.初等变换与初等方阵的关系定理 对矩阵m n ×A 进行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘以相应的阶初等方阵；对矩阵m A 进行一次初等列变换，相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等方阵.推论⑴任何可逆方阵都可以表示为有限个初等方阵的乘积.⑵m 矩阵n ×~A B 的充要条件是：存在阶可逆方阵和阶可逆方阵Q ，使得m P n PAQ B =，特别，m n ×矩阵A 经初等行变换化为B 的充要条件是：存在阶可逆方阵，使得.m P PA B =⑶若A 为可逆方阵，则经有限次初等行变换，. 1()~(A E E A −))证 .11()(A A E E A −−=⑷若A 为可逆方阵，则经有限次初等行变换，. 1()~(A B E A B −)))证 .11()(A A B E A B −−=4.初等变换的应用⑴求矩阵的秩【用初等变换将矩阵化为阶梯阵】⑵求矩阵的逆矩阵【用初等行变换：】1()~(A E E A −⑶求矩阵方程AX B =的解1X A B −=【用初等行变换：】 1()~(A B E A B −)⑷解线性方程组Ax b =【用初等行变换将方程组的增广矩阵()A b 化为行最简形】 ⑸求向量组12,,,s ααL α的一个最大无关组【用初等行变换将12(,,,)s αααL 化为阶梯阵】 例1.设A 是阶可逆方阵，将n A 的第行和第i j 行对换后得到的矩阵记为B , ⑴证明B 可逆； ⑵求.【1−AB (,)E i j 】2.设，，，则必有（）.【C 】⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=333231232221131211a a a a a a a a a A ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛+++=133312321131131211232221a a a a a a a a a a a a B ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=1000010101P ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=1010100012P （A ） (B) B P AP =21B P AP =12 (C) B A P P =21 (D) B A P P =123.设A 为三阶矩阵，将A 的第1列与第2列交换得B ，再将B 的第2列加到第3列得，则满足C AQ C =的可逆矩阵Q 为（）.【D 】（A ）（B ）（C ）（D ）010100101⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠010101001⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠010100011⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠011100001⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠4.设A 为三阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的1−倍加到第2列得C ，记，则（）.【B 】110010001P ⎛⎞⎜⎟=⎜⎜⎟⎝⎠⎟（A ）（B ）（C ）（D ）1C P AP −=1C PAP −=T C P AP =T C PAP =5.设A 为阶可逆矩阵，交换(2n n ≥)A 的第1行与第2行得矩阵B ，则（）.【C 】（A ）交换的第1列与第2列得*A *B（B ）交换的第1行与第2行得*A *B（C ）交换的第1列与第2列得*A *B −（D ）交换的第1行与第2行得*A *B −问题10 关于矩阵的秩. 答 相关内容有：1.概念 矩阵的非零子式的最高阶数称为矩阵的秩；2.性质⑴设A 是m 矩阵，则n ×()r A m ≤，()r A n ≤； ⑵；T()(r A r A =)⑶若A 为阶矩阵，则当n n A R =)(时，；当n A R =)(*1)(−=n A R 时，；当时，；1)(*=A R 1)(−<n A R 0)(*=A R ⑷； ()()()r A B r A r B +≤+⑸，；()(r AB r A ≤))()(r AB r B ≤⑹若A 可逆，则()(r AB r B )=，若B 可逆，则()(r AB r A )=； ⑺设A 是m 矩阵，n ×B 是矩阵，且n s ×AB O =，则()()r A r B n +≤. 3.定理定理1 初等变换不改变矩阵的秩. 定理2 阶梯阵的秩等于它的非零行数. 4.求法⑴初等变换法：用初等变换化为阶梯阵；⑵夹逼法：利用关于秩的不等式，证明()r A r ≤，，则. ()r A r ≥()r A r =例1.设，，则＝ ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=4321032100210001A ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=1100111011010011B )(AB r .【3】 2.设阶矩阵，且)3(≥n ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=111LM M M L L a a a aa a A 1)(−=n A r ，则=a .【11a n=−】3.设，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=54232121a A B 是43×的非零矩阵，且AB O =，=)(B r .【1】第三讲 向量考纲要求1.理解维向量、向量的线性组合与线性表示的概念.n 2.理解向量线性相关、线性无关的概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法.3.理解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大线性无关组和秩.4.理解向量组等价的概念，理解矩阵的秩与其行（列）向量组的秩之间的关系.5.了解维向量空间、子空间、基、维数、坐标等概念. n6.了解基变换和坐标变换公式，会求过渡矩阵.7.了解内积的概念，掌握线性无关向量组正交规范化的施密特（Schmidt ）方法. 8.了解规范正交基、正交矩阵的概念以及它们的性质. 问题1 关于向量的线性组合与线性表示. 答 相关内容有： 1.概念定义 如果存在一组数12,,,s k k k L ，使得1122s s k k k βααα=+++L ，则称向量β 是向量组12,,,s ααL α的一个线性组合，或者称向量β可由向量组12,,,s ααL α线性表示，其中12,,,s k k k L 称为表示系数.2.关于线性表示的定理 定理1 下列命题等价⑴向量β可由向量组12,,,s ααL α线性表示； ⑵线性方程组1122s s x x x αααβ+++=L 有解；⑶1212(,,,,)(,,,)s s r r αααβααα=L L . 定理2⑴向量β可由向量组12,,,s ααL α线性表示且表示法唯一线性方程组⇔1122s s x x x ααα+++=L β有唯一解；⑵向量β可由向量组12,,,s ααL α线性表示且表示法不唯一线性方程组⇔1122s s x x x ααα+++=L β有无穷多解；⑶向量β不可由向量组12,,,s ααL α线性表示⇔线性方程组1122s s x x x αααβ+++=L 无解.定理3 若向量组12,,,s ααL α线性无关，12,,,s αααL ，β线性相关，则向量β可由向量组12,,,s ααL α线性表示，且表示法惟一.问题2 如何判别向量β能否由向量组12,,,s ααL α线性表示？ 答 判别向量β能否由向量组12,,,s ααL αT−线性表示的方法有： ⑴定义法 ⑵秩法⑶利用已知结论 例1.若可由线性表示，则t＝ ()T1,2,t β=()()()T T 1232,1,1,1,2,7,1,1,4ααα==−=−.【.】5t =2.设，()()()TT1231,1,,1,1,,1,,1,2t t ααα=−=−=T()T24,,4t β=−,若β可由321,,ααα线性表示且表示法不唯一，求t 及β的表达式.【124,3(4)t k k 3k βαα==−+−+k α(为任意常数)】 3.若向量组321,,ααα线性无关，432,,ααα线性相关，问 ⑴4α能否由321,,ααα线性表示？ ⑵1α能否由432,,ααα线性表示？ 证明你的结论.答 ⑴4α能由321,,ααα线性表示.因为321,,ααα线性无关，故23,αα线性无关，又432,,ααα线性相关，所以4α能由23,αα线性表示，从而4α能由321,,ααα线性表示.⑵1α不能由432,,ααα线性表示.若1α能由432,,ααα线性表示，由⑴知4α能由23,αα线性表示，则1α能由23,αα线性表示，从而321,,ααα线性相关，与题设相矛盾.所以，1α不能由432,,ααα线性表示.问题3 关于向量组的线性相关性. 答 相关内容有： 1.概念定义 如果存在一组不全为的数012,,,s k k k L ，使得11220s s k k k ααα+++=L ，则 称向量组12,,,s ααL α线性相关，否则称12,,,s ααL α线性无关.2.关于线性相关性的定理 定理1 下列命题等价：⑴向量组s ααα,,,21L 线性相关（线性无关）；⑵齐次方程组11220s s x x x ααα+++=L 有非零解（只有零解）； ⑶12(,,,)()s r s s ααα<=L ；推论 个维向量组s s s ααα,,,21L 线性相关（线性无关）的充要条件是行列式12,,,0(0)s ααα=≠L .定理2 向量组s ααα,,,21L 线性相关（线性无关）的充要条件是其中至少有一个向量可（其中任何一个向量都不可）由其余向量线性表示. 问题4 如何判断向量组的线性相关性？答s ααα,,,21L 线性相关（线性无关）等价于齐次方程组11220s s x x x ααα+++=L 有非零解（只有零解），因此可以利用齐次方程组来判断线性相关性，方法有：⑴定义法 ⑵秩法 ⑶行列式法除用上述方法外，还常用下列结论：⑴线性无关向量组的任何一个部分组线性无关； ⑵线性无关向量组的任何一个延伸组线性无关；⑶个维向量必线性相关，一般地，若，则个维向量必线性相关； 1n +n r n >r n ⑷两个向量线性相关的充要条件是它们的对应分量成比例.例1（具体向量组）1.设, ()()()TT1231,1,1,1,2,3,1,3,t ααα===T⑴t 为何值时，321,,ααα线性相关？【5t =】 ⑵t 为何值时，321,,ααα线性无关？【5t ≠】⑶线性相关时，将3α表为21,αα的线性组合.【3122ααα=−+】2.设，，(线性相关，则＝ ()T1,1,2,1()T1,0,0,2)T1,4,8,t −−−t .【】 2t =3.判断()，()，，(的线性相关性. T1,0,2,3T1,1,3,5()T1,1,2,1a −+)T1,2,4,9a +【当且1a ≠−2a ≠−时，线性无关；当1a =−或者2a =−时，线性相关.】 例2（抽象向量组）1.设向量组321,,ααα线性无关，证明133221,,αααααα+++线性无关.2.设向量组s ααα,,,21L 线性无关，讨论13221,,,αααααα+++s L 的线性相关性.3.设r ααα,,,21L 是齐次方程组的一个基础解系，向量0=Ax β不是的解，证明0=Ax β，r αβαβαβ+++,,,21L 线性无关.证 【用定义法】设1211()()r r k k k 0ββαβα++++++=L ，整理得121211()r r k k k k k 0r βαα++++++++=L L ，⑴ 左乘A ，得121211()r r k k k A k A k A 0r βαα++++++++=L L ，121()0(0,1,2,)r i k k k A A i r βα+⇒+++===L Q L ， 1210(0)r k k k A β+⇒+++=≠L Q ，⑵代入⑴，得2110r r k k αα+++=L ，又r ααα,,,21L 线性无关，故，代入⑵，得20,,0r k k +=L 1=10k =， 所以β，1βα+，2βα+，L ，r βα+线性无关.4.设A 是阶矩阵，若存在正整数，使线性方程组有解向量n k 0=x A k α，且，证明线性无关.01≠−αk A ααα1,,,−k AA L 5.设A 为阶矩阵，n 321,,ααα是维列向量，且n 01≠α，11A k αα=，21A l k 2ααα=+，323A l k αα=+0，≠l ，证明321,,ααα线性无关.α6.设A 是矩阵，n m ×B 是矩阵，且m n ×E AB =，，证明n m >B 的列向量组线性无关. 证 【用秩法，只要证明()r B m =】()r B m ≤，又，故()()()r B r AB r E m ≥==()r B m =，所以B 的列向量组线性无关. 例31.设向量组4321,,,αααα线性无关，则向量组（）.【用排除法，C 】 （A ）14433221,,,αααααααα++++线性无关 （B ）14433221,,,αααααααα−−−−线性无关 （C ）14433221,,,αααααααα−+++线性无关 （D ）14433221,,,αααααααα−−++线性无关2.设向量组Ⅰ：r ααα,,,21L 可由向量组Ⅱ：s βββ,,,21L 线性表示，则（）. （A ）当s r <时,向量组Ⅱ必线性相关 （B ）当s r >时,向量组Ⅱ必线性相关 （C ）当s r <时,向量组Ⅰ必线性相关 （D ）当s r >时,向量组Ⅰ必线性相关【D ，因为1212(,,,)(,,,)r s r r s r αααβββ≤≤L L <TT】3.设有4个向量组① TTT(,,),(,,),(,,),(,,)a b c b c d d e f f g h ②TT(,1,,0,0),(,0,,2,0),(,0,,0,3)a b c d e f③ T T T (,1,2,3),(,1,2,3),(,1,2,3),(,0,0,0)a b c d TTT ④ TTT(1,0,3,1),(1,3,0,2),(2,1,7,2),(4,2,14,5)−−则下列结论正确的是（）.【D 】（A ）线性相关的向量组为①④，线性无关的向量组为②③ （B ）线性相关的向量组为③④，线性无关的向量组为①② （C ）线性相关的向量组为①②④，线性无关的向量组为③ （D ）线性相关的向量组为①③④，线性无关的向量组为②4.设,则（）.【A 】 T T 123(1,4,3,1),(2,,1,1),(2,3,1,1)t t ααα=−=−−=−+（A ）,R t ∈∀321,,ααα 线性无关 （B ）仅当3−=t 时,321,,ααα线性无关 （C ）当时,0=t 321,,ααα线性相关 （D ）仅0≠t 且3−≠t ,321,,ααα线性无关5.设A 是矩阵，则（ ）.【A 】 43×（A ）A 的列向量组线性相关 （B ）A 的列向量组线性无关 （C ）A 的行向量组线性相关 （D ）A 的行向量组线性无关6.设非零矩阵满足，则（ ）.【A 】 B A ,O AB =（A ）A 的列向量组线性相关,B 的行向量组线性相关 （B ）A 的列向量组线性相关,B 的列向量组线性相关 （C ）A 的行向量组线性相关,B 的行向量组线性相关 （D ）A 的行向量组线性相关,B 的列向量组线性相关7.设A 是矩阵，n m ×B 是矩阵，且满足m n ×E AB =，则（）.【D 】 （A ）A 的列向量组线性无关,B 的行向量组线性无关 （B ）A 的列向量组线性无关,B 的列向量组线性无关 （C ）A 的行向量组线性无关,B 的行向量组线性无关 （D ）A 的行向量组线性无关,B 的列向量组线性无关8.设向量组321,,ααα线性相关，向量组432,,ααα线性无关，则（）.【A 】 （A ）1α必能由432,,ααα线性表示 （B ）2α必能由431,,ααα线性表示（C ）3α必能由421,,ααα线性表示 （D ）4α必能由321,,ααα线性表示问题5 关于向量组的秩与最大无关组. 答 相关内容有： 1.概念最大无关组：向量组的一个部分组满足⑴线性无关，⑵任意添加一个向量所得部分组线性相关（向量组12,,,s ααL α中任一向量可由其最大无关组线性表示）.向量组的秩：最大无关组所含向量的个数. 2.定理定理1 矩阵的秩等于它的行向量组的秩，也等于它的列向量组的秩. 定理2 若向量组A 可由向量组B 线性表示，则()()r A r B ≤. 定理3 若向量组A 与向量组B 等价，则()()r A r B =. 3.求最大无关组的步骤⑴以向量m ααα,,,21L 为列向量构成矩阵A ；⑵用初等行变换将矩阵A 化为阶梯阵U ，则U 的首非零元对应的A 的列向量为向量组的一个最大无关组.【若继续将U 化为行最简形，则可求出其余向量由该最大无关组线性表示的表示系数】 例1.向量组的秩为 ()()()(TTTT12342,3,4,5,3,4,5,6,4,5,6,7,5,6,7,8αααα====).【2】2.求向量组()()()()(T T T T 123451,2,1,2,1,0,3,1,2,1,0,1,2,1,2,2,2,2,4,3ααααα===−=−=)T的一个最大无关组，并把其余向量用此最大无关组线性表示.解 利用初等行变换将()12345,,,,A ααααα=化为阶梯阵：()12345112220211,,,,301232112A ααααα⎛⎞⎜⎟−⎜⎟==⎜⎟−⎜⎟⎝⎠241122205322~022*******⎠1122200770~008800312⎛⎞⎜⎟−−−−⎜⎟⎜⎟−−⎜⎟−⎝−−−⎛⎞⎜⎟−−⎜⎟⎜⎟−−⎜⎟−⎝−−−11⎠112220312~0001100000⎛⎞⎜⎟−−−−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠， 最大无关组为123,,ααα（或者124,,ααα，或者135,,ααα，或者145,,ααα）. 再利用初等行变换将A 化为行最简形：A 00001121110000111111~~00000011110000000000⎛⎞⎛⎜⎟⎜−−−⎜⎟⎜⎜⎟⎜⎜⎟⎜⎝⎠⎝⎞⎟⎟⎟⎟⎠3， 故412αααα=−+，512ααα=+.3.设A 是矩阵，n m ×B 是矩阵，证明s n ×()(r AB r A )≤，()(r AB r B )≤. 证 将A 按列分块为()12,,,n A a a a =L ，则()11121212221212,,,s s n n n ns b b b b b b AB a a a b b b ⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠L L L M M M L (1,2,,)j s L 的第个列向量 1122j j j nj c b a b a b a =+++L n ，即AB 的列向量可由A 的列向量线性表示，故 ()(r AB r A ≤)T ).由，得.TT ()AB B A =T T T T ()(())()()(r AB r AB r B A r B r B ==≤=4.设A 是矩阵，n m ×B 是矩阵，且s n ×O AB =，证明n B R A R ≤+)()(证 ，故1212(,,,)(,,,)s s AB A b b b Ab Ab Ab O ===L L 0(1,2,,)j Ab j s ==L ，即B 的个列向量都是的解，这个解的秩s 0Ax =s ()()R B n R A ≤−（解集的秩），即.0Ax =n B R A R ≤+)()( 5.证明：若A 为阶矩阵，则当时，；当n n A R =)(n A R =)(*1)(−=n A R 时，；1)(*=A R当时，.1)(−<n A R 0)(*=A R 证 ⑴当时，n A R =)(1*0,0n A A A−≠=≠，故；n A R =)(*⑵当时，1)(−=n A R *0,A AA A E O ===，故*()()R A R A n +≤，*()()1R A n R A ≤−=，又**()10()1ij R A n A A O R A =−⇒∃≠⇒≠⇒≥，故；1)(*=A R ⑶当时，则1)(−<n A R *,1,2,,,0ij i j n A A O ∀==⇒=⇒0)(*=A R L . 问题6 关于向量空间.（数一） 答 相关内容有：1.基础知识（向量空间、基、维数、坐标、基变换公式与过渡矩阵、坐标变换公式） 设V 为维向量的非空集合n V 为向量空间⇔对向量的加法和数乘运算封闭； V V 的基的最大无关组；V 的维数的秩；⇔V ⇔V 若1122s s x x x βαα=+++L α，称12(,,,)s x x x L 为在基12,,,s ααL αs 下的坐标（表示系数）； 若1212(,,,)(,,,)s P βββααα=L L ，称矩阵为基P 12,,,s ααL α到基12,,,s ββL β的过渡矩阵（表示系数矩阵） 2.求过渡矩阵的方法设1212(,,,)(,,,)s s P βββααα=L L ，记作B AP =，则1P A B −=，求法如下：因为，所以，可利用初等行变换，.1(,)(,)A A B E A B −=1−1231,1,1,1,0,1,1,0,1ααα==−=31(,)~(,)A B E A B −例1.已知是()()()TTTR的一组基，证明也是()()()TTT1231,2,1,2,3,4,3,4,3βββ===3R 的一组基，并求由基321,,ααα到基321,,βββ的过渡矩阵.解 【因为任意3个线性无关的向量是3R 的一组基，只要证明321,,βββ线性无关】123123,,23440143βββ==≠，故321,,βββ线性无关，故321,,βββ是3R 的一组基.经初等行变换，()123123111123,,,,,100234111143αααβββ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟−⎝⎠111123101133~011111~001101020020010010⎛⎞⎛⎜⎟⎜−−−⎜⎟⎜⎜⎟⎜−−⎝⎠⎝⎞⎟⎟⎟⎠⎞⎟⎟⎟−⎠ 100234100234~001101~01001001001001101⎛⎞⎛⎜⎟⎜−−⎜⎟⎜⎜⎟⎜−−⎝⎠⎝， 故由基321,,ααα到基321,,βββ的过渡矩阵234010101P ⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠.2.已知3R 的两个基()()(T T 1231,0,1,2,1,1,1,1,1ααα=−==)TT和.()()()TT1230,1,1,1,1,0,1,2,1βββ==−=⑴求由321,,ααα到321,,βββ的过渡矩阵P ；⑵求在这两组基下的坐标.【⑴()T 9,6,5γ=011132244P ⎛⎞⎜⎟=−−−⎜⎟⎜⎟⎝⎠T (1,2,4)⑵；】T(0,4,5)−。