矢量分析场论基础
矢量分析
∇ × ∇ϕ = 0
梯度
三、矢量场的通量、散度
1、通量
r 定义：若矢量场 A 分布于空间中，在空间中存在任意曲面 S
r 上。定义 A 在曲面上的积分为通量。
r r Ψ = ∫ A ⋅ dS
s
曲面 S 的方向 开表面： 作一封闭线圈，选定绕行方向后，沿绕行方向 按右手螺旋法则，拇指方向为开表面方向 闭合面：外法线方向
s l
无旋场 性质
r ∇× A = 0
r ∇ ⋅ (∇ × A) = 0
旋度
例题讲解（课本） 例题1-8 例题1-9 例题1-10
例题
五、亥姆霍兹定理
内容：位于空间有限区域内的矢量场，当它的散度，旋度 以及它在区域边界上的场分布给定之后，该矢量场就被唯 一确定；对于无限大空间，如果矢量在无限远处减少至零 则该矢量由其散度和旋度唯一确定。
基础
矢量表示式
r r r r A = er Ar + eϕ Aϕ + e z Az
微分长度
r r r r dl = er dr + eϕ rdϕ + e z dz
微分面积
r r dS r = er rdϕdz r r dS ϕ = eϕ drdz r r dS z = e z rdrdϕ
微分体积
dV = rdrd ϕdz
只改变大小，不改变方向 矢量与矢量点乘
s r r r A ⋅ B = A B cosθ AB = Ax Bx + Ay B y + Az Bz
r r r r A⋅B = B⋅A
基础
说明： 1、两个矢量的标量积或点积，是一个标量 。 2、Θ是A、B之间较小的夹角，小于Π弧度。 3、其结果表示一个矢量的模和另一个矢量在该矢量 上的投影和乘积。 矢量与矢量叉乘
第一章矢量分析与场论基础题解
第一章 矢量分析与场论基础1-1 求下列温度场的等温线1）T xy =，2）T x y=+122解 求等温线即设定相关的方程为常数，因此可得⑴ C xy =，xCy =；⑵ C y x =+221-2 求下列标量场的等值面1）u ax by cz=++1，2） =- u z x y 22+， 3）u x y z =ln(++)222解 据题意可得 ⑴ k cz by ax =++⑵ c y x z =+-22，()222c z y x -=+⑶ ()c z y x =++222ln ，c e z y x =++222，2222k z y x =++1-3 求矢量场A e e e =++x y z x y z 2 经过点M (.,.,.)102030的矢量线方程。
解 根据矢量线的定义，可得zzy y x x 2d d d == 解微分方程，可得 x c y 1=，22x c z =将点M (.,.,.)102030的坐标代入，可得 21=c ，32=c 即 x y 2=，23x z = 为所求矢量线方程。
1-4 求矢量场A e e e =++y x x y y z x y z 222的矢量线方程。
解 根据矢量线的定义，可得zy zy x y x y x 222d d d == 解微分方程，可得 122c y x =-，x c z 2= 为所求矢量线方程。
1-5 设u x z yz xz ()M =+-+32222，求：1）u ()M 在点M 0102030(.,.,.)处沿矢量l e e e =++yx zx xy x y z 方向的方向导数，2）u ()M 在点M 0(.,.,.)102030处沿矢量l e e e =+-+-+()()622222x z z z y x x y z 方向的方向导数。
解 l 的方向余弦为 1722322cos 222=++=α，1732323cos 222=++=β，1722322cos 222=++=γ；又有12260=+=∂∂M M xz x xu ，620-=-=∂∂M M z yu ，42220=+-=∂∂M M x y z zu据方向导数的定义，可得 1714172436212cos cos cos 0000=⨯+⨯-⨯=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂γβαM M M M z uy u x u l u1-6 求标量场u xy yz zx =++在点M 0(.,.,.)102030 处沿其矢径方向的方向导数。
第一章矢量分析与场论基础题解
第一章 矢量分析与场论基础1-1 求下列温度场的等温线1）T xy =，2）T x y=+122解 求等温线即设定相关的方程为常数，因此可得⑴ C xy =，xCy =；⑵ C y x =+221-2 求下列标量场的等值面1）u ax by cz=++1，2） =- u z x y 22+， 3）u x y z =ln(++)222解 据题意可得 ⑴ k cz by ax =++⑵ c y x z =+-22，()222c z y x -=+⑶ ()c z y x =++222ln ，c e z y x =++222，2222k z y x =++1-3 求矢量场A e e e =++x y z x y z 2 经过点M (.,.,.)102030的矢量线方程。
解 根据矢量线的定义，可得zzy y x x 2d d d == 解微分方程，可得 x c y 1=，22x c z =将点M (.,.,.)102030的坐标代入，可得 21=c ，32=c 即 x y 2=，23x z = 为所求矢量线方程。
1-4 求矢量场A e e e =++y x x y y z x y z 222的矢量线方程。
解 根据矢量线的定义，可得zy zy x y x y x 222d d d == 解微分方程，可得 122c y x =-，x c z 2= 为所求矢量线方程。
1-5 设u x z yz xz ()M =+-+32222，求：1）u ()M 在点M 0102030(.,.,.)处沿矢量l e e e =++yx zx xy x y z 方向的方向导数，2）u ()M 在点M 0(.,.,.)102030处沿矢量l e e e =+-+-+()()622222x z z z y x x y z 方向的方向导数。
解 l 的方向余弦为 1722322cos 222=++=α，1732323cos 222=++=β，1722322cos 222=++=γ；又有12260=+=∂∂M M xz x xu ，620-=-=∂∂M M z yu ，42220=+-=∂∂M M x y z zu据方向导数的定义，可得 1714172436212cos cos cos 0000=⨯+⨯-⨯=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂γβαM M M M z uy u x u l u1-6 求标量场u xy yz zx =++在点M 0(.,.,.)102030 处沿其矢径方向的方向导数。
第0章 矢量分析和场论基础
13
0.6 亥姆霍兹定理
亥姆霍兹定理(Helmholtz Theorem)：
在有限区域内，矢量场由它的散度、旋度及边界条件唯一地确定。
矢量A的通量源密度 电荷密度 在电磁场中 矢量A的旋度源密度 场域边界条件
已知
电流密度J （矢量A唯一地确定） 场域边界条件
例：判断矢量场的性质
F ? =0 F ? =0
E 质：
以根据净通量的大小判断闭合面
ÑE gdS ，可
S
矢量场的通量
= 0 (无源)
< 0 (有负源)
> 0 (有正源)
8
矢量场的通量
2、散度 如果包围点P的闭合面S所围区域V以任意方式缩小为点P 时，通量与体积之比的极限存在，即 1 divA lim A dS V 0 V S A A A 计算公式 div A A x y z 散度(divergence)
( , , ) x y z
梯度(gradient)
6
式中
哈密(尔)顿算子
2、 标量场的梯度是一个矢量，是空间坐标点的函 • 梯度的物理意义
数; • 梯度的大小为该点标量函数 的最大变化率，即该点最大方向导数; • 梯度的方向为该点最大方向导数的方向,即与等值线（面）相垂直的方向，它 指向函数的增加方向。 例1 高度场的梯度h =f(x,y) 例2 电位场的梯度 (金属球在正电荷产生的场中—电场线)
环量的计算
流速场 水流沿平行于水管轴线方向流动 =0，无涡旋运动
流体做涡旋运动 0，有产生涡旋的源
11
2、旋度 (1) 环量密度 过点P作一微小曲面S，它的边界曲线记为L，面的法线方 向与曲线绕向成右手螺旋法则。当S点P时，存在极限
第01章 矢量分析和场论基础
cos ϕ e y
− sin ϕ e x
cos ϕ e x ϕ
e ρ cos ϕ sin ϕ 0 e x e = − sin ϕ cos ϕ 0 e ϕ y ez 0 0 1 e z − sin ϕ cos ϕ 0 0 e ρ 0 eϕ 1 e z
第一章 矢量分析与场论基础
电磁场与电磁波理论基础
3.体、面和线微分元 体 体微分元 dV = ρ d ρ dϕ dz
dS ρ = ρ dϕ dze ρ 面微分元 dSϕ = d ρ dz eϕ dS = ρ d ρ dϕ e z z
Z
ez
线微分元 dl = d ρ e ρ + ρ dϕ eϕ + dze z
P( ρ ,θ , ϕ )
er eϕ
θ是位矢 与正 轴之间的夹角， 是位矢r与正 轴之间的夹角， 与正Z轴之间的夹角
θ
in rs
eθ
r sin θ sin ϕ
(1-17)
式中 n 是一垂直于由矢量 A 和 B 构成的平面的单位矢量， 构成的平面的单位矢量，并遵循 右手螺旋法则，见图1-3。 右手螺旋法则，见图 。
图1-3 矢量的标积和矢积
矢量的矢积不满足交换律： 矢量的矢积不满足交换律： A × B = −B × A (1-18) 矢积满足分配律和数乘， 矢积满足分配律和数乘，即
ϕ
ez
P( ρ , ϕ , z )
ρ
eϕ
eρ
图1-10 圆柱坐标
0 ≤ ρ < +∞ 取值范围 0 ≤ ϕ ≤ 2π −∞ < z < +∞
z = 常数
矢量分析和场论讲义
曲面S。 试求矢量场r从S内穿出S的通量。
P55 3. 求矢量场 A （x3 yz）i （y2 xz）j （z3 +xy）k
的散度。
• 假如曲面s是闭合旳，并要求曲面法矢由闭合 曲面内指向外，矢量场对闭合曲面旳通量是：
A
0
l 当 (G, lˆ) 0
,即
lˆ
与
G
方向一致时,
u l
为最大。
u l
0 ,沿l增加
u
l
0 ,沿l降低
G
n
u l lˆ c2 c1
u c1
梯度、方向导数与等值面
总结：数量场梯度旳性质
（1）数量场沿任一方向旳方向导数等于梯度在 该方向旳投影。
（2）数量场在任一点旳梯度垂直于过该点旳等 值面，且指向场增大旳一方。（注意：等值面 旳法向有两个）
直接从散度旳定义出发，不难得到矢量场 在空间任意闭合曲面旳通量等于该闭合曲 面所包括体积中矢量场散度旳积分。
A ds divAdV
s
V
上式称为矢量场旳Gauss定理。
注：它能把一种闭合曲面旳面积分转为对 该曲面所包围体积旳体积分，反之亦然。
§4 矢量场旳环量及旋度(Rotation)
1. 矢量场旳环量
以温度场为例：
等温面
热源
能够看出：数量场旳函数是单值函数，各等值面 是互不相交旳。
矢量场旳矢量线：直观描述矢量在场中旳分布情况。
矢量线上每一点处曲线与相应于该点旳矢量相切。
A
M
z
r
l
y
o
x
观察：
图2 矢量线
1.在曲线上旳每一点M处， 场旳矢量都位于该点处旳 切线上（如图所示），称其为矢量线。例：静电场电力 线、磁场旳磁力线、流速场中旳流线等。
第1章 矢量分析与场论基础
ex e y e y ez ez ex 0 ex ex e y e y ez ez 1
（4）矢量的矢积（叉积） 两矢量的叉积是一个矢量，其大小为两个矢量的大小与它们之
用单位矢量 en 表示。
间夹角 的正弦之积，它的方向垂直于包含两个矢量的平面，
工程电磁场
第1章 矢量分析与场论基础
10
1.2 三种常用的正交曲线坐标系
三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来 确定。 三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为
正交曲线坐标系；三条正交曲线称为坐标轴；描述坐标轴的量称
为坐标变量。 在电磁场与波理论中，三种常用的正交曲线坐标系为：直角 坐标系、圆柱坐标系和球坐标系。
矢量的加减符合交换律和结合律 交换律 A B B A 结合律 A ( B C ) ( A B) C
B B
A B
矢量的减法
A
工程电磁场
第1章 矢量分析与场论基础
6
（2）标量乘矢量
B sA ex sAx e y sAy ez sAz
第1章 矢量分析与场论基础
17
（3）圆柱坐标系与球坐标系的坐标变量之间的转换
r柱 r球 sin r球 r柱 z 2
2
z r cos r柱 z
arctg
工程电磁场
第1章 矢量分析与场论基础
18
1.3场的基本概念和可视化 1场的概念 “场”是指某种物理量在空间的分布。具有标量特征的物理量在空间 的分布是标量场，具有矢量特征的物理量在空间的分布是矢量场。 例如，温度场、能量场、电位场是标量场；电场、磁场、流速场与 重力场都是矢量场。 定义了场量的空间点称为场点。
工程电磁场-第1章-矢量分析和场论基础
04
电磁2
03
静电场
由静止电荷产生的电场， 其电场线不随时间变化。
恒定磁场
由恒定电流产生的磁场， 其磁场线是闭合的，且不 随时间变化。
时变电磁场
由变化的电流或变化的电 荷产生的电场和磁场，其 电场线和磁场线都随时间 变化。
电磁场的分类
按存在形式分类
有源场和无源场。有源场是指其散度非零的场，如静电场和恒定 磁场；无源场是指其散度为零的场，如时变电磁场。
根据场的来源，可以将场分为自然场 和人工场。
场量和场强
场量是描述场中物理量分布的量，如电场强度、磁场强度等 。
场强是描述场作用的强度和方向的物理量，如电场线、磁场 线等。
03
矢量场和标量场
矢量场的性质
02
01
03
矢量场由矢量线组成，具有方向和大小。
矢量场具有旋度或散度，分别表示场中的旋涡或电荷 分布。 矢量场的变化遵循斯托克斯定理和格林定理。
80%
斯托克斯定理
斯托克斯定理是矢量积分的重要 定理之一，它描述了矢量场中某 点处的散度与该点处单位球体体 积内的积分之间的关系。
矢量函数和场
矢量函数
矢量函数是描述空间中矢量场 变化的数学工具，其定义域和 值域都是矢量。
矢量场
矢量场是由空间中一系列点构 成的集合，每个点都有一个与 之相关的矢量。
梯度、散度和旋度
在磁场的边界上，磁场线切线方向的 分量连续，即磁场强度不突变。
05
电磁场的能量和动量
电磁场的能量
电磁场能量的定义
01
电磁场能量是指存在于电磁场中的能量，它与电场和磁场的变
化率有关。
电磁场能量的计算
02
通过计算电场和磁场的能量密度，可以得出整个电磁场的总能
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x y z
Fx Fy Fz
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工程电磁场
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标量场的梯度
l
嘉
兴 学 院
z
Q(x, y, z)
机 电 工
程
P(x, y, z)
学
院
o
y
x
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工程电磁场
17
若标量函数(x, y, z) 在P(x, y, z)点可微，则其全增量：
y
y 0
y
x, y, z lim x, y, z z x, y, z
z
z 0
z
工
程 标量函数的全微分
学
院
d x, y, z dx x, y, z dy x, y, z dz
x
y
z
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工程电磁场
程 学 院
dFx
Fx x, y, z dx
x
Fx x, y, z dy
y
Fx x, y, z dz
z
dFy
Fy x, y, z dx
x
Fy x, y, z dy
y
Fy x, y, z dz
z
dFz
Fz x, y, z dx
x
Fz x, y, z dy
工
程
学
院
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标量函数的偏导数和全微分
在直角坐标系中，标量函数 x, y, z 的偏导数
x, y, z lim x x, y, z x, y, z
嘉
x
x0
x
兴 学 院 机 电
x, y, z lim x, y y, z x, y, z Az2
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工程电磁场
4
矢量的方向余弦
A与x、y、z三个坐标轴正向的夹角α、β、γ
嘉
Ax Acos
兴 学
Ay Acos
院 机
Az Acos
电
工
程 直角坐标系中
学
院
cosα,cos β,cosγ 称为A的方向余弦
首先，把Q点当做固定点，则其坐标为常数。
r 1
2(x x)
x x
嘉 x 2 (x x)2 ( y y)2 (z z)2 r
兴
学 院
r y y y r
r z z z r
机 电 工
x x y y z z
长度为一个单位的矢量称为单位矢量。如矢量A
的单位矢量指的是方向与A一致，大小为一个单位
的矢量，可以用a0表示。
嘉 兴 学
A AA0
在正交坐标系如直角坐标系中，矢量可以用坐标
院 机
来表示。则从O指向终点P的矢量A可以表示为
电 工
Ax,y,z Axex Aye y Azez
程 学
ex 、 e y 、 ez 表示x、y、z三个坐标轴方向上的单位矢量
标量场和函数密不可分
院
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工程电磁场
11
矢量场
在直角坐标系中，若空间区域D的任意一点M(x,y,z)
对应一个矢量函数F(x,y,z), 则它在空间区域D就构成了
嘉
兴 学
一个矢量场，如电场E(x,y,z),磁场H(x,y,z)等若M的位置
院
机 电
用矢径r确定，则矢量F可以看成矢径r的 矢量函数F(t)。
嘉 兴
定义梯度：grad i j k
x y z
学 院 机 电
显然方向导数：
l
grad l0
grad
l0
cos
工 梯度矢量的意义：
程 学
1.标量场在某点沿某方向的方向导数，等于该点的梯度矢
院 量的模乘以求导方向与梯度方向夹角的余弦；
2.标量场在某点处的梯度，等于该点的方向导数的最大值；
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20
3. 梯度本身并不依赖于坐标系，如果场值变化最快方向的单 位矢量为n，则梯度的矢量定义式为：
grad n
嘉
n
兴 学
4.梯度场是源于标量场的一个矢量场，这个场全面刻画了该
院 标量场的空间变化率变；
机 电
5.梯度矢量与等值面垂直。
工 程
6.特别地：grad i j k ( i j k)
工程电磁场
6
矢量的标积
矢量的标乘又称点乘
嘉
A B A B cos ABcos
兴
学 院
在直角坐标系中，其解析式为
机
电 工
A B Ax Bx Ay B y Az Bz
程
学
矢量点乘服从交换律和分配律
院
AB B A
A(B C) A B AC
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矢量函数的偏导数和全微分
偏导数
F x
Fx x
ex
Fy x
ey
Fz x
ez
嘉 兴
F y
Fx y
ex
Fy y
ey
Fz y
ez
学 院 机
F z
Fx z
ex
Fy z
ey
Fz z
ez
电
工 全微分
dF dFxex dFye y dFzez
矢量分析和场论基础
机电工程学院电气工程系 孙红贵
嘉 兴
坐标系
学
院
机 电
直角坐标系
工 程
• 三种正交坐 圆柱坐标系
学 院
标系
球面坐标系
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工程电磁场
1
直角坐标系 圆柱坐标系 球面坐标系
嘉
兴
学
院
机 电
工
坐标系
向量单位
长度元
和直角坐标系的关系
程
直角坐标
学 院
ex ey ez
dx dy dz
嘉
兴
梯度运算的基本法则
学
院
, 为常数,是标量函数
机
电 工
具有线性性
程 学
满足莱布尼兹律
院
f f
1 2
21 12 22
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工程电磁场
22
学 院
x y
由此定义矢量微分算符：
z
x y z
i j k x y z
*哈密顿微分算符▽的各个分量同样可以像普通矢量一样进行
点乘、叉乘等运算,具有矢量的性质。它也具有微分的性质。
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工程电磁场
21
7.若已知某矢量存在，则必定有一标量函数取梯度与之相等； 8.其他坐标系下，梯度公式完全不同。
圆柱坐标
x r cos
er e ez
dr rd dz
y r sin
球面坐标
er e e
dr rd r sind
zz x r sin cos y r sin sin
z r cos
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2
矢量分析和场论基础
• 电磁学中的各种物理量可分为两类 标量
x
ex
y
e
y
z
ez
Fx e x
Fye y
Fzez
兴 学
Fx Fy Fz
院
x y z
机 电 工 程
F
x
ex
y e y
z
e
z
Fx e x
Fye y
Fzez
学
院
ex ey ez
嘉
矢量
兴 学
标量（Scalar） ：选定单位后仅用一个数值就可以表示
院 机
其大小的物理量，称为标量，如电位、能量等
电 工
矢量（Vector） ：不仅有大小，还有方向的物理量，称
程
为矢量，如电磁力、电场强度、磁感应强度等
学
院
矢量在印刷体中常用黑体字，如A
2020年3月8日星期日
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3
矢量表示法
院
cos cos cos
l x
y
z
( i j k) (cosi j cos cosk)
x y z
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工程电磁场
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式中：l0 cosi j cos cosk 是沿l方向的单位矢量 α、β、γ 为其方向角
微分算子▽叫劈形算符，因为长得像竖琴(nabla)，
院 所以也叫纳布拉。又由于是Δ(delta)的倒转，故反其序而
读之，念做atled；也是为了与delta的读音相区别，有人
则将其读作del（代儿）。
2020年3月8日星期日
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15
x
ex
y
ey
z
ez
嘉
F
工程电磁场
7
矢量的矢积
A×B
矢量的矢积又称叉乘 两矢量的叉乘，其结果仍是一个矢量