5.剪力和弯矩图习题
材料力学习题解答5
M FR sin
F
T FR(1 cos )
R
F
R sin
R(1 cos )
9．如图所示，半径为 R 的四分之一个圆的曲梁一端固 定，一端自由，曲梁受垂直于轴线平面的载荷作用。 试求曲梁的剪力、扭矩以及弯矩函数。 解：
Fs q d s qR
d FN q2 q1 dx d FS 0 dx
dM ( q q2 ) h Fs 1 dx 2
d FS 0 dx
FS C FS (0) 0 C 0
9．如图所示，半径为 R 的四分之一个圆的曲梁一端固 定，一端自由，曲梁受垂直于轴线平面的载荷作用。 试求曲梁的剪力、扭矩以及弯矩函数。 解：
2 kN
Fs
2 kN
㊀
2 kN
x
1m
1m
2m
2 kN
M
2 kNm
7． 设梁的弯矩图如图所示，试作梁的剪力图和载荷图。
20 kNm 10 kNm
10 kN
Fs
10 kN
10 kN
M
10 kN m
x
㊀ ㊀
10 kN m
1m 1m 1m
10 kN m
40 kNm
40 kN
40 kN
Fs
qa2
2qa2
2qa
qa2
FN
Fs
M
6． 设梁的剪力图如图所示，试作梁的弯矩图 和载荷图。已知梁上无集中力偶作用。
4 kN 0.75 kN/ m
3 kN
Fs
2 kN
3 kN
㊀
2 kN
剪力弯矩练习题
常见问题题1题型：计算题题目：试作图所示悬臂梁A B的剪力图和弯矩图。
【解】1、列剪力方程和弯矩方程取坐标原点与梁左端点A对应。
选取距梁左端点A为x的任一截面，如图(a)所示，以该截面左侧梁段上的外力，写该截面上的剪力和弯矩表达式，即可得到梁A B 的剪力方程和弯矩方程为上面两式后的括号内，表明方程适用范围。
由于截面A,B处有集中力作用，则其剪力为不定值，第一式的适用范围为。
由于截面B有集中力偶作用，则其弯矩也为不定值，第二式的适用范围为关于这个问题，待后面作进一步说明。
2、作剪力图和弯矩图剪力方程表明，梁各截面上的剪力都相等，因此剪力图应是一条平行于横轴的直线。
取直角坐标系x—，画出梁的剪力图为一水平直线。
因各横截面的剪力为负值，故画在横轴下面，如图（b）所示。
弯矩方程表明，弯矩M是x的一次函数，因此弯矩图应是一条倾斜直线。
可以确定其上两点，在x=0处，M=0；在x=L处（应理解为x略小于L处），M=P L。
取直角坐标系O x M，表示弯矩的纵坐标以向下为正，画出梁的弯矩图，如图（c）所示。
由图可见，最大弯矩发生在固定端B稍偏左的横截面上，其值为常见问题题2题型：计算题题目：试作图（a）所示简支梁A B的剪力图和弯矩图。
【解】1、求支座反力由梁的平衡方程，可求得支座A,B两处的反力为2、列剪力方程和弯矩方程取坐标原点与梁左端点A对应。
列出梁A B的剪力方程和弯矩方程为3、作剪力图和弯矩图剪力方程表明，剪力是x的一次函数，剪力图应是一条倾斜直线。
因此，只要确定其上两点，即可绘出该梁的剪力图。
在处（应理解为x略大于0）,；处（应理解为x略小于），。
画出梁的剪力图，如图(b)所示。
由剪力图可见，，该梁最大剪力发生在支座内侧的横截面上，其值为弯矩方程表明，弯矩M是x的二次函数，弯矩图应是一条抛物线。
因此，只要确定其上三个点，即可绘出该梁的弯矩图。
在处，M=0；在处，M=0；在处，。
画出弯矩图，如图6-12(c)所示。
结构力学计算题经典(有答案)
结构力学 ——渐进法与近似法分析与计算题1. 用力矩分配法计算图示连续梁，作弯矩图和剪力图，并求支座B 的反力。
答案：计算过程、弯矩图、剪力图及支座B 的反力分别如图（a ）、（b ）和（c ）所示。
解析：根据单结点结构力矩分配法的步骤计算即可。
难易程度：易知识点：单结点结构的力矩分配2. 用力矩分配法计算图示连续梁，作弯矩图和剪力图，并求支座B 的反力。
A60kN 40kN·m EIEI B C4m4m6m(b)M 图（单位： ）kN·m 图（单位： ）(c)kNQ F (a)计算过程答案：图（a ）为求解结点B 约束力矩的受力分析图。
计算过程、弯矩图、剪力图及支座B 的反力分别如图（b ）、（c ）和（d ）所示。
解析：根据单结点结构力矩分配法的步骤计算即可。
难易程度：中知识点：单结点结构的力矩分配3. 用力矩分配法计算图示连续梁，作弯矩图和剪力图，并求支座B 的反力。
答案：CD 段为静定悬臂梁，将其截开并暴露出截面C 的弯矩，用力矩分配法计算如图（a ）所示结构。
弯矩图和剪力图如图（b ）、（c ）所示。
BCEIN/m2EI m3m3m40kN(b)计算过程F BM (a)图（单位： ）(c)M kN·m图（单位： ）Q F (d)kN10kN20kN12kN/m ABCDEI 2EI 2m 4m4m解析：根据单结点结构力矩分配法的步骤计算即可。
本题中悬臂段CD 若不切除，则可按B 、C 两个刚结点的结构进行计算。
难易程度：中知识点：单结点结构的力矩分配4. 用力矩分配法计算图示连续梁，作弯矩图和剪力图，并求支座B 的反力。
答案：AB 段为静定悬臂梁，将其截开并暴露出截面B 的弯矩，用力矩分配法计算过程如图（a ）所示。
弯矩图和剪力图图（b ）、（c ）所示。
kNQ F (c)图（单位： ）m M 图（单位： ）(b)RB F =63.02kN ( )计算过程(a)mkN·10kN/m 60kN EI 2IB CD2m6m2m解析：根据单结点结构力矩分配法的步骤计算即可。
剪力图和弯矩图
2 括号里的不等式说明对应的内力方程所使用的区段。
FS(x)qx (0xl) M(x)1qx2 (0xl)
2 剪力图为一斜直线
FS(0) 0 FS(l) ql
弯矩图为二次抛物线
M (0) 0 M ( l 2 ) 1 ql 2
8 M ( l ) 1 ql 2
绘剪力图和弯矩图的基本方法：首先分别写出梁 的剪力方程和弯矩方程，然后根据它们作图。
Fs(x)
o
x
o
x
Fs 图的坐标系
M(x) M 图的坐标系
不论在截面的 左侧 或 右侧 向上的外力均将引起 正值 的弯矩，而向下 的外力则引起 负值 的弯矩。
例题：图示简支梁 ，在全梁上受集度为 q 的均布荷载作用。 试作此梁的剪力图和弯矩图。
FS 称为 剪力
y
FA
m
C
A
xm
FS x
由平衡方程
a
P
m
m C0
MFAx0
A
B
m
可得 M = FAx
x
内力偶 M 称为 弯矩
y
FA
m FS
C
x
A
xm
M
结论
a
P
m
梁在弯曲变形时，
横截面上的内力有
A
B
两个，即，
m x
剪力 FS 弯矩 M
y
FA
m FS
C
x
A
xm
M
取右段梁为研究对象。
y
FA
m FS
-
FS FS
dx
（2）弯矩符号 横截面上的弯矩使考虑的脱离体下边受拉，上边受压时为 正 。
工程力学(剪力与图)
2.弯矩图与荷载的关系 2.弯矩图与荷载的关系 (1)在均布荷载作用的区段， 图为抛物线。 (1)在均布荷载作用的区段，M图为抛物线。 在均布荷载作用的区段
d 2M(x) 图为上凹下凸。 (2)当q(x)朝下时 朝下时， (2)当q(x)朝下时， 2 = q(x) < 0 M图为上凹下凸。 dx 2 d M(x) q(x)朝上时 朝上时， 图为上凸下凹。 当q(x)朝上时， dx2 = q(x) > 0 M图为上凸下凹。
DB段:q<0, 段 剪力图为斜直线； 弯矩图为抛物线。
Q = Q = −P = −3kN
+ C − A
M C= 0 MA = −P ×a = −1.8kN
AD段:q=0, :q=0,剪力图为水平直线；
弯矩图为斜值线。
Q = −RB = −5kN Q(x) = −RB + qx (0 < x ≤ 2a)
AB段 AB段：
Me FQ ( x) = 0<x<l） l （0<x<l） AC段 AC段：
Me M ( x ) = F Ay x = x (0≤x≤a) l
CB段 CB段：
M ( x) = FAY x − Me = Me x − M e (a<x≤l) l
3.绘出剪力图和弯矩图 3.绘出剪力图和弯矩图
1 FAy = FBy = ql 2
2.列剪力方程和弯矩方程 2.列剪力方程和弯矩方程 1 FQ ( x) = FAy − qx = ql − qx 2
1 2 1 1 2 M ( x) = FAy x − 9 x = qlx − qx 2 2 2
3.作剪应力图和弯矩图 3.作剪应力图和弯矩图 最大剪力发生在梁端， 最大剪力发生在梁端，其值为
范钦珊版材料力学习题全解 第5章 梁的弯曲问题(1)-剪力图与弯矩图
M A = ql 2
| FQ | max = 5 ql 4
| M | max = ql 2
题（c）
∑ F y = 0 ， FRA = ql （↑）
9
∑ M A = 0 ， M A = ql 2
∑ M D = 0 ， ql 2 + ql ⋅ l − ql ⋅ − M D = 0
3 2 ql 2 | FQ | max = ql MD =
C
4000 4000
B
FB
习题 5－8 载荷图之二
5－9 试作图示刚架的剪力图和弯矩图，并确定 FQ
max
、 M
max
12
习题 5－9 图
解：题（a） ：
∑M A = 0
FRB ⋅ 2l − FP ⋅ l − FP ⋅ l = 0
FRB = FP （↑）
∑ F y = 0 ， F Ay = FP （↓）
∑ Fx = 0 ， FAx = FP （←）
C
2
1
B
C
－
B
1
D
M(FPl)
1 +
D
FQ(FP)
A
A
习题 5－9a 的弯矩图
剪力图和弯矩图如图所示，其中 | M | max = 2 FP l ， 位于刚节点 C 截面；
| FQ |max = FP
题（b） ： ∑ F y = 0 ， F Ay = ql （↑）
8
习题 5－6c、e 解图
习题 5－6d、f 解图
题（b）
∑ M A = 0 − ql 2 − ql ⋅ l + ql ⋅ l + FRB ⋅ 2l = 0
2
FRB
材料力学习题
材料⼒学习题材料⼒学试卷⼀⼀、图⽰桁架，材料为Q235钢，已知：σs =240MPa ，σb =350MPa ，杆⼦直径d =50mm ，安全系数n =3，试确定外⼒P 的最⼤允许值。
（14%）⼆、空⼼圆轴，内径d=60mm ，外径D=80mm ，⼒偶矩m=4kN ·m ，[τ]=80MPa ，试校核轴的强度。
（14%）三、画梁的剪⼒图和弯矩图。
A 、B ⽀座反⼒为R A =R B =qa /2。
（15%）2四、铸铁梁，截⾯惯性矩I Z=538cm4，y1=92mm，y2=42mm, P=5kN，l=2m,许⽤拉应⼒ [σt]=40MPa，许⽤压应⼒[σC]=90MPa，校核梁的弯曲正应⼒强度。
五、已知：载荷P，梁长a，梁的抗弯刚度为EI，试⽤积分法求梁的挠度⽅程，并求B 点挠度。
（14%）五、P=10kN，D=500mm，a=600mm，[σ]=90 MPa，试⽤第三强度理论设计B材料⼒学试卷⼆⼀、如图所⽰的圆截⾯杆，d =50mm ，在杆⼦的表⾯沿45°⽅向粘贴应变⽚，现测得应变ε=－400×10-6，材料常数E=210GPa ，µ=0.28，求外⼒偶矩m 的⼤⼩。
（20分）⼆、画剪⼒图和弯矩图。
已知⽀反⼒（22分）三、简⽀梁由两根No18号槽钢和上下盖板焊接⽽成，盖板材料与槽钢相同，σp =200MPa ，σs =235MPa ，σb =390MPa 。
盖板尺⼨为b =320mm ，t =16mm 。
已知P =140kN ，a =2m （。
, 2qa R qa R B A ==四、已知:杆⼦⾯积A =200 mm 2，长l =2m ，δ=1mm ，受外⼒P =60kN ，材料的弹性模量E =200GPa ，试画出杆⼦的轴⼒图。
（22分）五、钢制圆截⾯杆，直径d =80mm ， P=3kN ，m =4kN ·m ，a =1m ，试按第三强度理论，计算危险点的相当应⼒。
简支梁的剪力图和弯矩图例题
简支梁的剪力图和弯矩图例题
简支梁是一种受拉拔及弯矩影响的梁，它可以用来支撑荷载，改变楼层的结构形式，也可以用来支撑桥梁。
简支梁由梁顶、支点及梁端组成，其中梁顶受到拉拔和弯矩的双重作用，支点只受拉拔作用，梁端只受弯矩作用。
简支梁的剪力图和弯矩图是用来分析梁顶的剪力和弯矩的，它们是构成简支梁的基本工程图象。
简支梁的剪力图是用来分析梁顶的剪力的，它是由梁顶的剪力构成的图象，从而求出梁顶的剪力状态。
一般来说，简支梁剪力图是由梁顶上拉拔力的大小及其方向构成的，它以梁顶为枢纽，把力划分为两部分，一部分是向上的拉力，另一部分是向下的拉力，这样就可以求出梁顶的剪力状态。
简支梁的弯矩图是用来分析梁顶的弯矩的，它是由梁顶的弯矩构成的图象，从而求出梁顶的弯矩状态。
一般来说，简支梁弯矩图也是由梁顶上弯矩的大小及其方向构成的，它以梁顶为枢纽，把弯矩划分为两部分，一部分是向上的弯矩，另一部分是向下的弯矩，这样就可以求出梁顶的弯矩状态。
简支梁的剪力图和弯矩图是用来分析梁顶的剪力和弯矩的，它们是确定梁的设计参数的基础。
根据剪力图和弯矩图，可以确定梁顶的荷载状态，从而确定梁顶的设计参数，使梁能够满足设计要求。
因此，简支梁的剪力图和弯矩图非常重要，必须正确地计算和分析，以确保梁的安全性和结构稳定性。
总之，简支梁的剪力图和弯矩图是用来分析梁顶的剪力和弯矩的，它们是构成简支梁的基本工程图象，是确定梁的设计参数的基础，是确保梁的安全性和结构稳定性的重要工具和手段。
正确的分析简支梁的剪力图和弯矩图，是确保梁的安全性和结构稳定性的关键，也是工程师们必须掌握的重要技能。
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习题1
剪力、弯矩图习题
q
A
Fa
F
RA F
a
F
a
B
RB 0
Fs
M
Fa
习题2
q
A
剪力、弯矩图习题 q F qa
a
a
B
a
RB 2qa
C
RA qa
解：1）求支座反力
3a a M B 0 RA 2a qa 2 qa a qa 2 0 RA qa 5 a a M 0 A RB 2a qa qa a qa 0 2 2
上节课主要内容回顾：
微分关系 几何意义 剪力图上某点处切线的斜率等于 梁上该点处的分布载荷集度 q 弯矩图上某点处切线的斜率等于 梁上该点处截面上的剪力 Fs 弯矩图的凹凸方向取决于分布载 荷集度 q 的正负
d Fs ( x ) q( x ) dx
d M( x) Fs ( x ) dx
d M( x ) q( x ) 2 dx
RA
RB
解：1）求支座反力
3 qa 2 1 M B 0 RA a qa 2 a 2 qa 2 a 0 qa RA 2 2 a a qa M A 0 RB a qa qa 0 2 2 2 qa RB 2
习题4
0 弯矩为减函数，上斜直线
上节课主要内容回顾：
分布载荷、剪力图和弯矩图之间的规律
2.梁段上的分布载荷为不等于零的常数
dFs ( x ) (1) q( x ) 常数 0 dx
剪力为一次函数 剪力图为斜直线
0
q( x )
剪力为增函数，上斜直线 剪力为减函数，下斜直线
0
上节课主要内容回顾：
2
上节课主要内容回顾：
分布载荷、剪力图和弯矩图之间的规律
1.梁段上无分布载荷：
dFs ( x ) (1) q( x ) 0 dx
剪力图切线斜率为零 Fs为常数，剪力图为平直线
弯矩为一次函数 dM ( x ) (2) Fs ( x ) 常数 弯矩图直线 dx 0 弯矩图为平直线 Fs ( x ) 0 弯矩为增函数，下斜直线
习题6
剪力、弯矩图习题
q A
ql
l
ql RA 6
水平切线
B
ql RB 3
ql
Fs
6
l
M
3
3
3ql 2 27
测验1
q
剪力、弯矩图习题
2qa
A
测验2
F=3KN
a
a
M 0 6KN.m
B
q=2KN/m
C
1m
A
D
4m 1m
B
分布载荷、剪力图和弯矩图之间的规律
2.梁段上的分布载荷为不等于零的常数
dM ( x ) (1) Fs ( x ) 一次函数 dx M ( x ) 为二次函数， 弯矩图为二次曲线
0
q( x )
M ( x ) 应有极小值
弯矩图为上凸曲线
0
M ( x ) 应有极大值
弯矩图为下Байду номын сангаас曲线
例1
q
上节课主要内容回顾：
B
A
RA
ql 2
l
RB
利用剪力、弯矩与分布
Fs
l/2
ql 2
荷载间的积分关系定值
M
ql 2 8
习题1
剪力、弯矩图习题
q
A
Fa
F
a
a
B
解：1）求支座反力
M
B
0 0
RA 2a Fa Fa 0
RA F
M
A
RB 2a Fa Fa 0
RB 0
q
剪力、弯矩图习题 q qa 2 / 2 B A a a
qa
qa RA
2
RB qa
2
Fs
qa / 2 qa / 2
M
qa 2 8
qa 2
2
习题5
A
q
剪力、弯矩图习题 qa
a
RA qa
a
a
B
qa 2
2
RB qa
解：1）求支座反力
MB 0 M
A
5a qa RA 3a qa qa a 0 2 2 RA qa qa a RB 3a qa 2a qa 0 2 2
RA qa
M
A
0 R 2a 2qa2 2qa a 2qa 3a 0 B
RB 5qa
习题3 2qa 2
剪力、弯矩图习题 q 2qa
A
a RA qa
Fs
2a
2qa
B
a RB 5qa
C
qa
3qa
2ql 2
M
2ql 2
习题4
q
剪力、弯矩图习题 q qa 2 / 2 B A a a
RB 2qa
习题2
q
A
剪力、弯矩图习题 q F qa
a
qa
②
a
B
a
RB 2qa
qa
C
RA qa
Fs
① ③ ⑤
⑥
qa M
qa 2 2
④
qa 2 2
习题3 2qa 2
剪力、弯矩图习题 q 2qa
a
RA
A
2a
B
a
C
RB
解：1）求支座反力
2 R 2 a 2 qa 2qa a 2qa a 0 M 0 B A
2
2
0
RB qa
习题5
A
q
剪力、弯矩图习题 qa
a
RA qa
qa
Fs
a
a
B
qa 2
2
RB qa
qa M
qa 2 2
qa 2 2
剪力、弯矩图习题
习题6
q
l
RA ql 6
A
B
ql RB 3
解：1）求支座反力 1 ql RA l l 0 MB 0
3 2
ql RA 6 2 ql RB l l 0 MA 0 3 2 ql RB 3