必修二立体几何题型归纳

第1讲空间几何体的结构及其三视图和直观图

【例1】给出下列四个命题：

①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；

②底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱；

③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；

④棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．

其中正确命题的个数是()．

A．0 B．1 C．2 D．3

【训练1】给出下列四个命题：

①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；

③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体；④若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱．

其中错误的命题的序号是________．

【例2】(2013·新课标全国Ⅱ卷)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O－xyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为()．

【训练2】(2014·济宁一模)点M，N分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱A1B1，A1D1的中点，用过A，M，N和D，N，C1的两个截面截去正方体的两个角后得到的几何体如图1，则该几何体的正视图，侧视图、俯视图依次为图2中的()．

考点三由空间几何体的三视图还原直观图

【例3】(1)(2013·四川卷)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是()．

(2)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是()．

【训练3】若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是()．

【典例】(2012·陕西卷)将正方体(如图1所示)截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的侧视图为()．

【自主体验】

(2014·东北三校模拟)如图，多面体ABCD－EFG的底面ABCD为正方形，FC＝GD＝2EA，其俯视图如下，则其正视图和侧视图正确的是()．

第2讲 空间几何体的表面积与体积

【例1】 (2014·日照一模)如图是一个几何体的正视图和侧视图，其俯视图是面积为82的矩形．则该几何体的表面积是( )．

A ．8

B ．20＋8 2

C ．16

D ．24＋8 2

【例2】 (1)(2013·新课标全国Ⅰ卷)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．

A ．16＋8π

B ．8＋8π

C ．16＋16π

D ．8＋16π

(2)(2014·福州模拟)如图所示，已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长均为1，且AA 1⊥底面ABC ，则三棱锥B 1－ABC 1的体积为 ( )． A.

312 B.34 C.612 D.6

4

【训练2】 如图所示，已知E ，F 分别是棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱A 1A ，CC 1的中点，求四棱锥C 1－B 1EDF 的体积．

【例3】 (1)(2013·福建卷)已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是______________．

(2)(2013·辽宁卷)已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为

A.3172 B ．210 C.132

D ．310

【训练3】 (2013·新课标全国Ⅰ卷)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为

( )．

A.500π3 cm 3

B.866π3 cm 3

C.1 372π3 cm 3

D.2 048π3 cm 3

【例4】 (1)如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD 中，AC 与BD 相交于O ，剪去△AOB ，将剩余部分沿OC ，OD 折叠，使OA ，OB 重合，则以A ，B ，C ，D ，O 为顶点的四面体的体积为________．

(2)如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，△ABC 为直角三角形，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝CC 1＝3.P 是BC 1上一动点，则CP ＋P A 1的最小值为________(其中P A 1表示P ，A 1两点沿棱柱的表面距离)．

【训练4】如图为一几何体的展开图，其中ABCD是边长为6的正方形，SD＝PD＝6，CR＝SC，AQ＝AP，点S，D，A，Q共线，点P，D，C，R共线，沿图中虚线将它们折叠起来，使P，Q，R，S四点重合，则需要________个这样的几何体，可以拼成一个棱长为6的正方体．

【典例】(2012·山东卷)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1－EDF的体积为________．

第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系

【例1】(1)以下四个命题中，正确命题的个数是()．

①不共面的四点中，其中任意三点不共线；

②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面；

③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；

④依次首尾相接的四条线段必共面．

A．0 B．1 C．2 D．3

(2)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q，R分别是AB，AD，B1C1的中点，那么正方体的过P，Q，R的截面图形是()．

A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形

【例2】如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，①GH与EF平行；

②BD与MN为异面直线；

③GH与MN成60°角；

④DE与MN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________．

【训练2】在图中，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号)．

【例3】在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱

形，∠DAB＝60°，对角线AC与BD交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成角为60°.

(1)求四棱锥的体积；

(2)若E是PB的中点，求异面直线DE与P A所成角的余弦值．

【训练3】(2014·成都模拟)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱A1B1，A1D1的中点，则A1B与EF 所成角的大小为________．

【典例】 (2012·上海卷)已知空间三条直线l ，m ，n ，若l 与m 异面，且l 与n 异面，则( )．

A ．m 与n 异面

B ．m 与n 相交

C ．m 与n 平行

D ．m 与n 异面、相交、平行均有可能

【自主体验】

1．(2013·浙江卷)设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面( )． A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B ．若m ∥α，m ∥β ，则α∥β C ．若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥α D ．若m ∥α，α⊥β，则m ⊥β

2．对于不同的直线m ，n 和不同的平面α，β，γ，有如下四个命题：

①若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α；②若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α；③若α⊥β，γ⊥β，则α∥γ；④若m ⊥α，m ∥n ，n ?β，则α⊥β.其中真命题的个数是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

3.(2013·安徽卷)如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段CC 1上的动点，过点A ，P ，Q 的平面截该正方体所得的截面记为S .则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．①当0＜CQ ＜12时，S 为四边形；②当CQ ＝12时，S 为等腰梯形；③当CQ ＝3

4时，S 与C 1D 1的交点R 满足C 1R

＝13；④当34＜CQ ＜1时，S 为六边形；⑤当CQ ＝1时，S 的面积为6

2

.

4．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中， (1)求A 1C 1与B 1C 所成角的大小；

(2)若E ，F 分别为AB ，AD 的中点，求A 1C 1与EF 所成角的大小．

第4讲直线、平面平行的判定与性质

【例1】(1)(2013·广东卷)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是()．A．若α⊥β，m?α，n?β，则m⊥n

B．若α∥β，m?α，n?β，，则m∥n

C．若m⊥n，m?α，n?β，则α⊥β

D．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β

(2)设m，n表示不同直线，α，β表示不同平面，则下列结论中正确的是()．

A．若m∥α，m∥n，则n∥α

B．若m?α，n?β，m∥β，n∥α，则α∥β

C．若α∥β，m∥α，m∥n，则n∥β

D．若α∥β，m∥α，n∥m，n?β，则n∥β

【训练1】(1)(2014·长沙模拟)若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是()．A．b?αB．b∥αC．b?α或b∥αD．b与α相交或b?α或b∥α

(2)给出下列关于互不相同的直线l，m，n和平面α，β，γ的三个命题：

①若l与m为异面直线，l?α，m?β，则α∥β；

②若α∥β，l?α，m?β，则l∥m；

③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.

其中真命题的个数为()．

A．3 B．2 C．1 D．0

【例2】如图，直三棱柱ABC－A′B′C′，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，AA′＝1，点M，N分别为A′B 和B′C′的中点．

(1)证明：MN∥平面A′ACC′；

(2)求三棱锥A′－MNC的体积．

【训练2】如图，在四面体A－BCD中，F，E，H分别是棱AB，BD，AC的中点，G为DE的中点．证明：直线HG∥平面CEF.

【例3】(2013·陕西卷)如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O是底面中心，A1O⊥底面ABCD，AB＝AA1＝ 2.

(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；

(2)求三棱柱ABD－A1B1D1的体积．

【训练3】在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是C1C，B1C1，C1D1的中点，求证：平面PMN∥平面A1BD.

【自主体验】(2013·福建卷改编)如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥DC，AB＝6，DC＝3，若M为P A的中点，求证：DM∥平面PBC.

9．(2014·青岛一模)四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，N是PB中点，过A，N，D三点的平面交PC于M.

(1)求证：PD∥平面ANC；

(2)求证：M是PC中点．

第5讲直线、平面垂直的判定与性质

【例1】如图，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，P A＝AB＝BC，E是PC的中点．

证明：(1)CD⊥AE；

(2)PD⊥平面ABE.

【训练1】如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝2，AD＝2，AA1＝3，E为CD 上一点，DE＝1，EC＝3.

证明：BE⊥平面BB1C1C.

【例2】(2014·深圳一模)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB＝BC＝AA1，且AC＝2BC，点D是AB的中点．

证明：平面ABC1⊥平面B1CD.

【训练2】如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点．

证明：平面ABM⊥平面A1B1M.

【例3】 如图，在四棱锥P －ABCD 中，AB ⊥AC ，AB ⊥P A ，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，E ，F ，G ，M ，N 分别为PB ，AB ，BC ，PD ，PC 的中点． (1)求证：CE ∥平面P AD ； (2)求证：平面EFG ⊥平面EMN .

【训练3】 如图，AB 是圆O 的直径，P A 垂直圆O 所在的平面，C 是圆O 上的点． (1)求证：BC ⊥平面P AC ；

(2)设Q 为P A 的中点，G 为△AOC 的重心，求证：QG ∥平面PBC .

【例4】 如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，P A ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．

(1)求PB 和平面P AD 所成的角的大小； (2)证明AE ⊥平面PCD ；

(3)求二面角A －PD －C 的正弦值．

【训练4】 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为 ( ) A.

23 B.33 C.23 D.6

3

转化思想：垂直关系的转化

【典例】 (2012·北京卷) 如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D ，E 分别为AC ，AB 的中点，点F 为线段CD 上的一点．将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1F ⊥CD ，如图2. (1)求证：DE ∥平面A 1CB ； (2)求证：A 1F ⊥BE ；

(3)线段A 1B 上是否存在点Q ，使A 1C ⊥平面DEQ ？说明理由.

【自主体验】

(2014·韶关模拟)如图1，在直角梯形ABCD 中，∠ADC ＝90°，CD ∥AB ，AD ＝CD ＝12AB ＝2，点E 为AC 中点，

将△ADC 沿AC 折起，使平面ADC ⊥平面ABC ，得到几何体D －ABC ，如图2. (1)求证：DA ⊥BC ；

(2)在CD 上找一点F ，使AD ∥平面EFB .