第4节幂函数与二次函数

第4节幂函数与二次函数【考试要求】1.通过具体实例，结合y＝x，y＝1x，y＝x2，y＝x，y＝x3的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数；2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.【教学重点】幂函数的概念，三个二次的关系【教学难点】幂函数性质，三个二次的转换【教学方法】知识梳理、典例启发讲练【教学手段】多媒体辅助教学【教学过程】【知识梳理】1.幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.(2)常见的五种幂函数的图象(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.2.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n).零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点.(2)二次函数的图象和性质 函数 y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)y ＝ax 2＋bx ＋c (a <0)图象 (抛物线)定义域 R值域 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a对称轴 x ＝－b2a顶点 坐标 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a，4ac －b 24a奇偶性当b ＝0时是偶函数，当b ≠0时是非奇非偶函数单调性在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上是减函数； 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上是增函数 在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上是增函数； 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上是减函数 1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关. 2.若f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则当⎩⎨⎧a >0，Δ<0时恒有f (x )>0；当⎩⎨⎧a <0，Δ<0时，恒有f (x )<0.3.(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限； (2)幂函数的图象过定点(1，1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.【诊 断 自 测】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)函数y ＝2x 13是幂函数.( )(2)当α>0时，幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上是增函数.( )(3)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的两个零点可以确定函数的解析式.( ) (4)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈[a ，b ])的最值一定是4ac －b 24a .( )2.(多填题)(老教材必修1P79T1改编)已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＝________，α＝________.3.(新教材必修第一册P86T7改编)如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上单调递增，则实数a 的取值范围是________.4.(2016·全国Ⅲ卷)已知a ＝243，b ＝323，c ＝2513，则( ) A.b <a <cB.a <b <cC.b <c <aD.c <a <b5.(2020·河南省实验中学质检)已知函数f (x )＝3x 2－2(m ＋3)x ＋m ＋3的值域为[0，＋∞)，则实数m 的取值范围为( ) A.{0，－3} B.[－3，0] C.{0，3}D.(－∞，－3]∪[0，＋∞)6.(2018·上海卷)已知α∈⎩⎨⎧－2，－1，－12，⎭⎬⎫12，1，2，3.若幂函数f (x )＝x α为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝______.【考点解读】考点一 幂函数的图象和性质【例1】 (1)幂函数y ＝f (x )的图象过点(4，2)，则幂函数y ＝f (x )的大致图象是( )(2)当x ∈(0,+∞)时,幂函数y=(m2+m-1)x-5m-3为减函数,则实数m 的值为 ( )A.-2B.1C.1或-2D.m ≠15-±(3)若a=2312⎛⎫ ⎪⎝⎭ ,b=2315⎛⎫ ⎪⎝⎭ ,c= 1312⎛⎫ ⎪⎝⎭,则a,b,c 的大小关系是 ( )A.a<b<cB.c<a<bC.b<c<aD.b<a<c(4)(2020·衡水中学调研)已知点(m ，8)在幂函数f (x )＝(m －1)x n 的图象上，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，b ＝f (ln π)，c ＝f (2－12)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A.a <c <bB.a <b <cC.b <c <aD.b <a <c规律方法 1.对于幂函数图象的掌握，需记住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x ＝1，y ＝1，y ＝x 所分区域.根据α<0，0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定.2.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较.【训练1】 (1)(多选题)已知点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，12在幂函数f (x )＝(a －1)x b 的图象上，则函数f (x )是( )A.奇函数B.偶函数C.(0，＋∞)上的增函数D.(0，＋∞)上的减函数(2)若幂函数y ＝x －1，y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限内的图象如图所示，则m 与n 的取值情况为( )A.－1<m <0<n <1B.－1<n <0<mC.－1<m <0<nD.－1<n <0<m <1考点二 二次函数的解析式【例2】 (一题多解)已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定该二次函数的解析式.规律方法 求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式，一般选择规律如下：【训练2】(1)已知二次函数f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R),x∈R,若函数f(x)的最小值为f(-1)=0,则f(x)= .(2)若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(a,b∈R)是偶函数,且它的值域为(-∞,4],则f(x)= .（3）已知二次函数f(x)的图象经过点(4，3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则f(x)＝________.考点三二次函数的图象及应用【例3】(1)对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)与二次函数y＝(a－1)x2－x在同一坐标系内的图象可能是()(2)设函数f(x)＝x2＋x＋a(a>0)，已知f(m)<0，则()A.f(m＋1)≥0B.f(m＋1)≤0C.f(m＋1)>0D.f(m＋1)<0规律方法 1.研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向.2.求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图象特征，分析不等关系成立的条件.【训练3】一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是()考点四二次函数的性质多维探究角度1二次函数的单调性与最值【例4－1】已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R且a≠0)，x∈R.(1)若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，求f(x)的解析式，并写出单调区间；(2)在(1)的条件下，f(x)>x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，试求k的取值范围.角度2二次函数中的恒成立问题【例4－2】(2020·沈阳模拟)已知函数f(x)＝－x2＋ax－6，g(x)＝x＋4.若对任意x1∈(0，＋∞)，存在x2∈(－∞，－1]，使f(x1)≤g(x2)，则实数a的最大值为() A.6 B.4 C.3 D.2规律方法 1.二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合图象，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解.2.由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数.(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否易分离.这两个思路的依据是：a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.【训练4】(1)(角度1)若函数f(x)＝x2＋ax＋b的图象与x轴的交点为(1，0)和(3，0)，则函数f(x)()A.在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增B.在(－∞，3)上递增C.在[1，3]上递增D.单调性不能确定(2)(2)已知函数f(x)=x2-x+1,在区间[-1,1]上不等式f(x)>2x+m恒成立,求实数m的取值范围.(3)已知函数f(x)=ax2+2ax+1在区间[-1,2]上有最大值4,求实数a的值.(4)若函数f(x)＝ax2－(2a＋1)x＋a＋1对于x∈[－1，1]时恒有f(x)≥0，则实数a 的取值范围是________.【课堂小结】1、幂函数性质应用2、二次不等式、方程函数间关系及应用3、恒成立问题的转换【作业】《创新设计》第二章函数第4节【教学反思】。