大一高等数学第九章第三节三重积分资料

F ( x, y) z2( x, y) f ( x, y, z)dz z1 ( x , y )
计算 F ( x, y) 在闭区间 D 上的二重积分
F ( x, y)d [ z2( x,y) f ( x, y, z)dz]d .
D
D z1 ( x , y )
D : y1( x) y y2( x), a x b, 得
的平面来划分 , 则 vi x jykzl .
三重积记为
n
f ( x, y, z)dxdydz
lim
0 i1
f (i ,i , i )vi .
其中dxdydz 叫做直角坐标系中的体积元素.
二、三重积分在直角坐标系中的
计算法
直角坐标系中将三重积分化为三次积分．
如图，闭区域 在 xoy z
面上的投影为闭区域D,
2 2
),
b
2
(1
z c
2 2
)
原式
c c
ab(1
z2 c2
) z 2dz
4 15
abc3 .
例 6 计算三重积分 y 1 x2dxdydz ，其中
由曲面 y 1 x2 z2 ， x2 z2 1，y 1所
围成.
解 如图,
将 投影到zox 平面得
Dxz : x z 1,
22
再求Dxz 上二重积分, 先对 y 积分，
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y2 b2
z2 c2
1所成的空间闭区域.
解 : {( x, y, z) | c z c,
x2 a2
y2 b2
1
z c
2 2
}
z
Dz
o
y
原式 c z2dz dxdy, c
x
Dz
Dz
{( x,
y)
|
x2 a2
y2 b2
1
z c
2 2
}
dxdy
Dz
a
2
(1
z c
2 2
)
ab(1
z c
z)(1
z)
1
x
原式
1 z 1 (1 z)2 dz
1
.
02
24
y
1
解（二）
z
1
zdxdydz
1
1 z
1 yz
0 zdz0 dy0 dx
1
1 z
0 zdz0 (1 y z)dy
o
1
x
1
0
z
1 (1 2
z)2 dz
1
.
24
y
1
例 5 计算三重积分 z2dxdydz，其中 是由
椭球面 x2 a2
S1 : z z1( x, y),
S2 : z z2( x, y),
过点 ( x, y) D 作直线,
o
a
从
z1
穿入，从
z2
穿出．b
x
z z2( x, y)
z2 S2
z1 S1
z z1( x, y)
D
(x, y) y y1( x)
y
y y2( x)
先将 x, y 看作定值，将 f ( x, y, z)只看作 z 的 函数，则
1
1 x2
x22 y2
例2 化三重积分 I f ( x, y, z)dxdydz为三
次积分，其中 积分区域
为由曲面z x2 y2,
y x2, y 1, z 0 所围
成的空间闭区域. 如图，
解 : 0 z x2 y2,
x2 y 1, 1 x 1.
1
1
x2 y2
I
dx 1
如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于零
时，这和式的极限存在，则称此极限为函数
f ( x, y, z)在闭区域 上的三重积分，记为
f ( x, y, z)dv ,
n
即
f
( x,
y, z)dv
lim
0
i 1
f (i ,i , i )vi .
其中dv 叫做体积元素.
在直角坐标系中，如果用平行于坐标面
xoy 面上的投影 P 的极坐标为r,，则这样的三
个数 r, , z 就叫点 M 的柱面坐标．
z
规定： 0 r ,
0 2,
z .
• M(x, y,z)
or
•
y
P(r, )
(4)最后计算单积分 c2 F (z)dz 即得三重积分值. c1
例 4 计算三重积分 zdxdydz，其中 为三个
坐标面及平面x y z 1所围成的闭区域.
1
解（一） zdxdydz 0 zdz dxdy,
z
1
Dz
Dz {( x, y) | x y 1 z}
1
o
Dz
dxdy
(1 2
x2
dy0
f ( x, y, z)dz.
例3
将 1dx 1dy x2 y2
0
0
0
f
( x,
y, z)dz 按y, z, x
的次序积分.
z
解
D1
D1：
0 0
z x2 y1
y x
D2：
x2 z
z x
x 2
2
y
1 1
D2
原式
01dx
x2
0
dz
1
0
f
(
x,
y,
z
)dy
1dx
0
x2 x2
f ( x, y, z)dv
b
dx
dy y2 ( x )
z2 ( x, y) f ( x, y, z)dz.
a
y1 ( x )
z1 ( x , y )
注意 这是平行于 z 轴且穿过闭区域 内部的 直线与闭区域 的边界曲面 S 相交不多 于两点情形．
例 1 化三重积分 I f ( x, y, z)dxdydz为三
一、三重积分的概念
设 f ( x, y, z)是空间有界闭区域 上的有界 函数，将闭区域 任意分成n 个小闭区域v1 ，
v2,, vn，其中vi 表示第i 个小闭区域，也 表示它的体积, 在每个vi 上任取一点(i ,i , i )
作乘积 f (i ,i , i ) vi ，(i 1,2,, n)，并作和,
次积分，其中积分区域 为由曲面 z x2 2 y2
及z 2 x2所围成的闭区域.
解
由
z
x2 z2
2 x
y
2
2
,
得交线投影区域
x2 y2 1,
1 x1
故 ： 1 x2 y 1 x2 ,
x2 2 y2 z 2 x2
1
1 x2
2 x2
I dx dy
f ( x, y, z)dz.
Dxz
原式 y 1 x dxdz dy 1 x2z2
2
1
1
dx
1 x2
1 x2 x2 z2 dz
1
1 x2
2
1 1
1
x2(x2z
z3 3
)
|
1 x 1
2
x
2
dx
1 1 (1 x2 2 x4 )dx 28 .
1 3
45
三、三重积分在柱面坐标系中计 算法
设 M ( x, y, z) 为空间内一点，并设点M 在
1
dz
1 z x2
f ( x, y, z)dy.
截面法的一般步骤：
(1) 把积分区域 向某轴（例如z 轴）投影，得投
影区间[c1,c2 ]；
(2) 对z [c1,c2 ]用过z 轴且平行xoy 平面的平面去 截 ，得截面Dz ;
(3) 计算二重积分 f ( x, y, z)dxdy z
Dz
其结果为z 的函数F (z) ；