博弈论案例分析——弄巧成拙的防鲨网
博弈论以及经典案例分析
• 变和博弈。即意味着在不同策略组合下各博弈方的得益之和是不 同的。倘若博弈各方之间相互配合，则可能争取到总得益和个人 得益均较大的理想结局；反之则社会总得益和个人得益均较小。
1．碟子、猫和古董商 有位古董商发现有个人用珍贵的碟子做猫食碗，于是假装对这 只猫相当喜爱，要从主人手中买下。猫主人不卖，为此古董商出高 价。
成交之后，古董商装作漫不经心地说：“这个碟子它用惯了， 就一块给我吧。”猫主人不干了：“你知道我用这个碟子已经买出 多少只猫了？”下面分析该故事。在这里
知识是“碟子是古董”
• 在这种情况下，无论是对开发商Ａ还是开发商Ｂ，都不 存在一种策略优于另一种策略，也不存在严格劣策略： 如果Ａ选择开发，则Ｂ的最优策略是不开发；如果Ａ选 择不开发，则Ｂ的最优策略是开发；类似地，如果Ｂ选 择开发，则Ａ的最优策略是不开发；如果Ｂ选择不开发， 则Ａ的最优策略是开发。
第二节 生活中的博弈论
完全信息指的是每一个参与人对所有其他参与人的特征， 如策略集合及得益函数都有准确完备的知识；否则就是 不完全信息。
☞将上述角度的划分结合起来，我们就得到四种不同类型 的博弈，这就是：完全信息静态博弈、完全信息动态博 弈、不完全信息静态博弈、不完全信息动态博弈
表5-1 博弈的分类和均衡表
行动次序 信息
三、博弈论的基本概念
(一)博弈论的定义
博弈论（gametheory），又译为对策论，就是研究决策主体的行为 发生直接相互作用时的决策以及这种决策的均衡问题。实际上， 博弈是一种日常现象。
在经济学中，博弈论是研究当某一经济主体的决策受到其他经济主 体决策的影响，同时，该经济主体的相应决策又反过来影响其他 经济主体选择时的决策问题和均衡问题。
博弈论的经典案例五篇
博弈论的经典案例五篇博弈论主要研究公式化了的激励结构间的相互作用，是研究具有斗争或竞争性质现象的数学理论和方法。
本站为大家整理的相关的博弈论的经典案例供大家参考选择。
博弈论的经典案例篇一囚徒困境学习管理学或经济学的人一定都了解一些博弈论方面的知识。
在博弈论中有一个经典案例囚徒困境，非常耐人回味。
“囚徒困境”说的是两个囚犯的故事。
这两个囚徒一起做坏事，结果被警察发现抓了起来，分别关在两个独立的不能互通信息的牢房里进行审讯。
在这种情形下，两个囚犯都可以做出自己的选择：或者供出他的同伙(即与警察合作，从而背叛他的同伙)，或者保持沉默(也就是与他的同伙合作，而不是与警察合作)。
这两个囚犯都知道，如果他俩都能保持沉默的话，就都会被释放，因为只要他们拒不承认，警方无法给他们定罪。
但警方也明白这一点，所以他们就给了这两个囚犯一点儿刺激：如果他们中的一个人背叛，即告发他的同伙，那么他就可以被无罪释放，同时还可以得到一笔奖金。
而他的同伙就会被按照最重的罪来判决，并且为了加重惩罚，还要对他施以罚款，作为对告发者的奖赏。
当然，如果这两个囚犯互相背叛的话，两个人都会被按照最重的罪来判决，谁也不会得到奖赏。
那么，这两个囚犯该怎么办呢?是选择互相合作还是互相背叛?从表面上看，他们应该互相合作，保持沉默，因为这样他们俩都能得到最好的结果：自由。
但他们不得不仔细考虑对方可能采取什么选择。
A犯不是个傻子，他马上意识到，他根本无法相信他的同伙不会向警方提供对他不利的证据，然后带着一笔丰厚的奖赏出狱而去，让他独自坐牢。
这种想法的诱惑力实在太大了。
但他也意识到，他的同伙也不是傻子，也会这样来设想他。
所以A犯的结论是，唯一理性的选择就是背叛同伙，把一切都告诉警方，因为如果他的同伙笨得只会保持沉默，那么他就会是那个带奖出狱的幸运者了。
而如果他的同伙也根据这个逻辑向警方交代了，那么，A犯反正也得服刑，起码他不必在这之上再被罚款。
所以其结果就是，这两个囚犯按照不顾一切的逻辑得到了最糟糕的报应：坐牢。
博弈论的经典案例五篇
博弈论的经典案例五篇博弈论主要研究公式化了的激励结构间的相互作用，是研究具有斗争或竞争性质现象的数学理论和方法。
本站为大家整理的相关的博弈论的经典案例供大家参考选择。
博弈论的经典案例篇一囚徒困境学习管理学或经济学的人一定都了解一些博弈论方面的知识。
在博弈论中有一个经典案例囚徒困境，非常耐人回味。
“囚徒困境”说的是两个囚犯的故事。
这两个囚徒一起做坏事，结果被警察发现抓了起来，分别关在两个独立的不能互通信息的牢房里进行审讯。
在这种情形下，两个囚犯都可以做出自己的选择：或者供出他的同伙(即与警察合作，从而背叛他的同伙)，或者保持沉默(也就是与他的同伙合作，而不是与警察合作)。
这两个囚犯都知道，如果他俩都能保持沉默的话，就都会被释放，因为只要他们拒不承认，警方无法给他们定罪。
但警方也明白这一点，所以他们就给了这两个囚犯一点儿刺激：如果他们中的一个人背叛，即告发他的同伙，那么他就可以被无罪释放，同时还可以得到一笔奖金。
而他的同伙就会被按照最重的罪来判决，并且为了加重惩罚，还要对他施以罚款，作为对告发者的奖赏。
当然，如果这两个囚犯互相背叛的话，两个人都会被按照最重的罪来判决，谁也不会得到奖赏。
那么，这两个囚犯该怎么办呢?是选择互相合作还是互相背叛?从表面上看，他们应该互相合作，保持沉默，因为这样他们俩都能得到最好的结果：自由。
但他们不得不仔细考虑对方可能采取什么选择。
A犯不是个傻子，他马上意识到，他根本无法相信他的同伙不会向警方提供对他不利的证据，然后带着一笔丰厚的奖赏出狱而去，让他独自坐牢。
这种想法的诱惑力实在太大了。
但他也意识到，他的同伙也不是傻子，也会这样来设想他。
所以A犯的结论是，唯一理性的选择就是背叛同伙，把一切都告诉警方，因为如果他的同伙笨得只会保持沉默，那么他就会是那个带奖出狱的幸运者了。
而如果他的同伙也根据这个逻辑向警方交代了，那么，A犯反正也得服刑，起码他不必在这之上再被罚款。
所以其结果就是，这两个囚犯按照不顾一切的逻辑得到了最糟糕的报应：坐牢。
博弈论 金句 案例
博弈论金句案例1. 博弈论啊，就像是一场看不见硝烟的战争，每个人都在算计着自己的最优解。
比如说在市场竞争里，两个卖水果的小贩，都想多赚点钱。
一个小贩想：“我要是降价，就能吸引更多顾客。
”另一个也这么想，结果都降价，最后谁也没多赚多少，这就是典型的博弈，都想自己利益最大化，却陷入了一种僵局。
2. 博弈论中，有时候选择合作可比单打独斗强多了，就像两根筷子，一根易折，两根抱团就坚韧得很。
我有俩朋友一起创业，开始都想自己占大头，互相算计，结果生意一塌糊涂。
后来想通了，合作共赢，齐心协力把公司做得红红火火。
这就是懂得博弈之后的智慧转变啊。
3. 嘿，博弈论可不是什么高深莫测的天书，它就在我们身边呢。
你看在家庭里，夫妻两人商量谁去洗碗，这也是一种博弈。
丈夫可能会想：“我要是先答应洗，以后这活儿不都归我了？”妻子也这么琢磨，于是就开始各种“谈判”，这小小的家务事里，可有着博弈论的影子呢。
4. 在博弈论的世界里，信息就是力量，就像在黑暗中你有一盏灯，而别人在摸黑。
我记得有一次参加竞拍，有个人知道那幅画的底价，我们其他人都蒙在鼓里。
他就巧妙地利用这个信息，用最低的价格拍到了画，这就是掌握信息在博弈中的厉害之处啊。
5. 博弈论里有个有趣的现象，有时候退让一步反而是向前一步。
这就好比下象棋，你为了保帅，舍掉一个小卒，看似亏了，其实是为了更大的胜利。
我工作的团队里，有两个人争一个项目负责人的位置，争得不可开交。
后来其中一个人主动退让，去辅助另一个人，结果项目成功后，他也得到了很多好处，还赢得了大家的尊重。
6. 博弈论告诉我们，别老想着占尽便宜，小心偷鸡不成蚀把米。
就像那只想要吃到葡萄又不想付出努力的狐狸，最后只能饿着肚子说葡萄酸。
有些商家为了多赚点钱，在商品里偷工减料，以为顾客发现不了，结果顾客发现后再也不买他家东西了，这就是贪婪在博弈中的下场。
7. 你知道吗？博弈论就像一场大棋局，我们每个人都是棋子，也都是下棋的人。
就像办公室里的同事们，都在为了升职加薪博弈。
博弈论案例分析
博弈论案例分析1. 引言博弈论是研究决策过程中各方相互影响的数学分析方法。
它分析了参与者之间的策略选择，并根据不同策略选择的结果来评估最优解。
本文将通过一个具体的案例来分析博弈论的应用。
2. 案例介绍假设有两个公司A和B，它们都在同一个行业竞争。
两家公司都可以选择两种策略：低价策略和高价策略。
如果两家公司都采取低价策略，那么它们的收益将会受到一定程度的影响；而如果两家公司都采取高价策略，它们的收益也会受到一定程度的影响。
因此，公司A和B之间存在着博弈关系。
3. 定义博弈模型我们可以使用博弈论来分析这个案例。
首先，我们需要定义博弈模型。
在这个案例中，博弈模型可以用一个4 x 4的矩阵来表示。
矩阵的行表示公司A的策略选择，列表示公司B的策略选择。
每个矩阵元素表示两家公司的收益。
低价策略高价策略低价策略10, 1020, 5高价策略5, 2015, 15例如，矩阵中的元素10表示当两家公司都选择低价策略时，它们的收益都为10。
类似地，元素20表示当两家公司都选择高价策略时，它们的收益都为20。
4. 求解博弈问题通过博弈模型，我们可以求解博弈问题。
在这个案例中，我们希望找到一种最优的策略组合，使得两家公司的总收益最大化。
可以通过解析解或数值方法求解这个问题。
4.1 解析解法对于这个简单的案例，我们可以通过观察矩阵来找到最优的策略组合。
观察矩阵中的各个元素，我们可以发现当两家公司都选择低价策略时，它们的收益最高。
因此，在这个案例中，最优的策略组合是两家公司都选择低价策略。
4.2 数值方法求解除了通过观察矩阵来找到最优的策略组合外，我们还可以使用数值方法来求解博弈问题。
常用的数值方法包括最小最大法、支配法和线性规划法等。
为了使用数值方法求解这个案例，我们可以使用计算机软件来实现。
例如，我们可以使用Python编程语言中的博弈论库来求解博弈问题。
首先，我们需要定义矩阵，然后使用库函数来计算最优的策略组合和总收益。
(完整word版)经典的博弈论分析案例——“海盗分金”问题
经典的博弈论分析案例——“海盗分金”问题5个海盗抢得100枚金币，他们按抽签的顺序依次提方案：首先由1号提出分配方案，然后5人表决，超过半数同意方案才被通过，否则他将被扔入大海喂鲨鱼，依此类推。
“海盗分金”其实是一个高度简化和抽象的模型，体现了博弈的思想。
在“海盗分金”模型中，任何“分配者”想让自己的方案获得通过的关键是事先考虑清楚“挑战者”的分配方案是什么，并用最小的代价获取最大收益，拉拢“挑战者”分配方案中最不得意的人们。
假设前提假定“每个海盗都是绝顶聪明且很理智”，那么“第一个海盗提出怎样的分配方案才能够使自己的收益最大化？”推理过程从后向前推，如果1至3号强盗都喂了鲨鱼，只剩4号和5号的话，5号一定投反对票让4号喂鲨鱼，以独吞全部金币。
所以，4号惟有支持3号才能保命。
3号知道这一点，就会提出（100，0，0）的分配方案，对4号、5号一毛不拔而将全部金币归为已有，因为他知道4号一无所获但还是会投赞成票，再加上自己一票，他的方案即可通过。
不过，2号推知3号的方案，就会提出（98，0，1，1）的方案，即放弃3号，而给予4号和5号各一枚金币。
由于该方案对于4号和5号来说比在3号分配时更为有利，他们将支持他而不希望他出局而由3号来分配。
这样，2号将拿走98枚金币。
同样，2号的方案也会被1号所洞悉，1号并将提出（97，0，1，2，0）或（97，0，1，0，2）的方案，即放弃2号，而给3号一枚金币，同时给4号（或5号）2枚金币。
由于1号的这一方案对于3号和4号（或5号）来说，相比2号分配时更优，他们将投1号的赞成票，再加上1号自己的票，1号的方案可获通过，97枚金币可轻松落入囊中。
这无疑是1号能够获取最大收益的方案了！答案是：1号强盗分给3号1枚金币，分给4号或5号强盗2枚，自己独得97枚。
分配方案可写成（97，0，1，2，0）或（97，0，1，0，2）。
分析1号看起来最有可能喂鲨鱼，但他牢牢地把握住先发优势，结果不但消除了死亡威胁，还收益最大。
博弈论的经典案例五篇
博弈论的经典案例五篇囚徒困境学习管理学或经济学的人一定都了解一些博弈论方面的知识。
在博弈论中有一个经典案例——囚徒困境，非常耐人回味。
——"囚徒困境"说的是两个囚犯的故事。
这两个囚徒一起做坏事，结果被警察发现抓了起来，分别关在两个独立的不能互通信息的牢房里进行审讯。
在这种情形下，两个囚犯都可以做出自己的选择：或者供出他的同伙(即与警察合作，从而背叛他的同伙)，或者保持沉默(也就是与他的同伙合作，而不是与警察合作)。
这两个囚犯都知道，如果他俩都能保持沉默的话，就都会被释放，因为只要他们拒不承认，警方无法给他们定罪。
但警方也明白这一点，所以他们就给了这两个囚犯一点儿刺激：如果他们中的一个人背叛，即告发他的同伙，那么他就可以被无罪释放，同时还可以得到一笔奖金。
而他的同伙就会被按照最重的罪来判决，并且为了加重惩罚，还要对他施以罚款，作为对告发者的奖赏。
当然，如果这两个囚犯互相背叛的话，两个人都会被按照最重的罪来判决，谁也不会得到奖赏。
——那么，这两个囚犯该怎么办呢是选择互相合作还是互相背叛从表面上看，他们应该互相合作，保持沉默，因为这样他们俩都能得到最好的结果：自由。
但他们不得不仔细考虑对方可能采取什么选择。
A犯不是个傻子，他马上意识到，他根本无法相信他的同伙不会向警方提供对他不利的证据，然后带着一笔丰厚的奖赏出狱而去，让他独自坐牢。
这种想法的诱惑力实在太大了。
但他也意识到，他的同伙也不是傻子，也会这样来设想他。
所以A犯的结论是，唯一理性的选择就是背叛同伙，把一切都告诉警方，因为如果他的同伙笨得只会保持沉默，那么他就会是那个带奖出狱的幸运者了。
而如果他的同伙也根据这个逻辑向警方交代了，那么，A犯反正也得服刑，起码他不必在这之上再被罚款。
所以其结果就是，这两个囚犯按照不顾一切的逻辑得到了最糟糕的报应：坐牢。
——当然，在现实世界里，信任与合作很少达到如此两难的境地。
谈判、人际关系、强制性的合同和其他许多因素左右了当事人的决定。
博弈论案例分析报告(2篇)
第1篇一、案例背景博弈论是一种研究具有冲突和合作行为的决策制定过程的数学理论。
它广泛应用于经济学、政治学、军事学、生物学等多个领域。
本报告将以一场经典的博弈论案例——“囚徒困境”为基础，分析其背后的决策逻辑和结果。
二、案例描述“囚徒困境”是一个经典的博弈论模型，描述了两个犯罪嫌疑人被分别关押在两个不同的房间里，他们无法沟通。
警方告诉他们，如果两人都保持沉默，他们将各被判刑1年；如果两人都认罪，则各被判刑2年；如果一人认罪而另一人保持沉默，则认罪者将被释放，而保持沉默者将被判刑3年。
三、博弈论分析1. 收益矩阵| 行动 | A（沉默） | B（认罪） || ---------- | -------- | -------- || A（沉默） | (1, 1) | (3, 0) || B（认罪） | (0, 3) | (2, 2) |在这个收益矩阵中，行代表A的选择，列代表B的选择。
括号中的第一个数字代表A的收益，第二个数字代表B的收益。
2. 纳什均衡纳什均衡是指在博弈中，每个参与者都选择了最优策略，且任何参与者单独改变策略都不会得到更好的结果。
在这个案例中，(认罪，认罪)是唯一的纳什均衡。
3. 个人理性与集体理性从个人理性的角度来看，每个囚徒都倾向于选择认罪，因为这样可以确保自己被判刑2年，而不是3年。
然而，从集体理性的角度来看，如果两个囚徒都选择沉默，他们将各被判刑1年，这是一个更好的结果。
四、案例分析1. 信任与背叛在“囚徒困境”中，信任是关键因素。
如果两个囚徒之间有信任，他们可能会选择沉默，从而实现集体理性。
然而，由于他们无法沟通，信任难以建立，导致双方都选择认罪，实现了个人理性。
2. 合作与竞争在博弈中，合作和竞争是两种基本策略。
在“囚徒困境”中，竞争策略（即选择认罪）在短期内可能带来更好的结果，但在长期内可能导致双方都受损。
合作策略（即选择沉默）虽然短期内可能受损，但长期来看更有利于双方。
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如果5名董事各占公司股份20%，在不采取任何策 略的情况下，不会有人提出大幅修改董事资格的 提议（提议通过，提议者将控制董事会，其他董 事都得滚蛋）分析如下： 1.对于最后一个董事来说： （1）如果有4票赞成，提议通过。他投什么都无 所谓，提议都通过，他失去董事资格。 （2）如果有3票赞成，提议通过。他投什么都无 所谓，提议都通过，他失去董事资格。 （3）如果有2票赞成，很显然他会投反对票。因 为投反对票可以得到13.3%股份。而投赞成票，什 么都得不到。 （4）如果有1票赞成，很显然他会投反对票。因 为投反对票可以得到5%股份。如果投赞成票，自 己20%的股份会被夺走。
（3）在他投票之前有（N-3）/2人投反对票(N-1)/2人投 赞成票时。如果有 X>（N-3）/（N+1），不管自己投什 么票，最后一个董事都会投赞成票，因此他必须投赞成 票，使提议通过。如果有X≤（N-3）/（N+1），他预计 到自己投反对票时，最后一个董事也会投反对票，得到 的收益是（NX+X+N-3）/(N+1)(N-1)。而自己投赞成票时， 最后一个董事肯定会投赞成票，得到的收益是2X/(N+1)。 相比之下，他肯定会选择投反对票。 （4）提议未通过，在他投票前有大于或等于（N+1）/2 人投了反对票。那他肯定会投反对票。
• 4.对于第一个投票的董事来说：有2种方 案。方案1，投赞成票；这样的结果最后 三个董事都投反对票，自己将损失20%的 股份。方案2，投反对票；这样的结果是 都投反对票，四人瓜分提议者20%的股份。 • 5,对于提议者来说：他肯定不会提出大 幅修改董事资格的提议，提出后的结果 必然是遭到其他4个董事的集体反对。自 己损失20%的股份。
• （3）如果有2票赞成。假设他投赞成票，提议就会通过， 他本人得到该公司25.5%的公司股份。如果他投反对票， 海贝壳先生的财产（以及另外一名投赞成票的董事的股 份）就会在另外三名董事之间平分，他本人得到21.1%的 公司股份。因此他肯定会投赞成票。这样的结果是海贝 壳先生控制董事会，投赞成票的得到25.5%的补偿，而投 反对票的2名董事什么都没有得到。 • （4）如果有1票赞成，很显然他会投反对票。如果投赞 成票，自己12.25%的公司股份会白白牺牲掉，而投反对 票，不仅自己的12.25%的公司股份不会损失，而且还会 和其他3名董事一起去平分海贝壳先生51%的公司股份。 这样的结果是海贝壳先生没有控制董事会，并且失去自 己51%的公司股份，而其他4名董事保住了董事资格，并 且都得到了12.75%的股份。
3.对于第二个投票的董事来说： （1）当第一个投票股东投赞成票时，他肯定会投反 对票，因为倒数第二个董事在有2票赞成的情况下会 投反对票，最后一个董事在有2票赞成的情况下，肯 定也会投反对票，这样的结果是对于第二个董事来说 会得到13.3%的股份。如果第二个董事投赞成票，提 议通过，他什么都得不到。 （2）当第一个投票股东投反对票时，有2种情况 （1） 投反对票。这样的结果是倒数第二个股东投票的也投 反对票，最后一个股东也投反对票。因此4人平分提 出建议的那个股东的20%股份，每人得到5%的股份。 （2）投赞成票。这样的结果是倒数第二个董事投反 对票，最后一个也投反对票，自己的20%的股份损失 掉。因此第二个投票的董事在第一个投反对票时，肯 定会投反对票。
• 现在情况发生变化，海贝壳先生收购了该公司 51%的股份，并且成为该公司的董事。在第一 次董事局会议上，海贝壳先生提议大幅修改董 事资格的规定。这是董事局首次就这样一项提 议进行表决。海贝壳先生的提议不仅通过，更 令人感到不可思议的是，这项提议既然全票通 过！结果，害贝壳先生随即取代了整个董事局。 原来的董事在得到一项称为“降落伞”的微波 补偿（总比什么也没有强）后，被扫地出门。 这个被称为“降落伞”的策略是指如果投票的 董事如果投赞成票，投赞成票股东的将会平分 他51%的股份。
• 2.对于倒数第二个投票的董事来说： • （1）当只有1票赞成时（海贝壳先生投自己的）。他 知道在自己投赞成票后，最后一名董事肯定会投赞成 票，这样的结果是他失去董事资格，但得到了25.5%的 公司股份。而投反对票意味着，这项决议失败，最后 一名董事肯定会投反对票，这样他得到12.75%的公司 股份。因此，他肯定会投赞成票。 • （2）当有2票赞成时，他可以预计到哪怕自己投反对 票，最后一名董事也会投赞成票。他无法左右这个提 议的通过。因此他肯定会投赞成票，至少可以得到一 点补偿。 • （3）当有3票赞成时，这项提议已经通过，他只能被 动的选择投赞成票。否则什么只有1票赞成，他肯定不会投赞成票，因 为最后一个在他投赞成票的情况下，肯定会投 反对票。那他会损失自己20%的股份。因此， 他会投反对票。 （2）当有2票赞成时，他肯定会投反对票。因 为最后一个股东在有2票赞成的情况下，他会 投反对票，这样对于倒数第二个投票的人来说， 可以得到13.3%的股份。如果投赞成票，什么 都没有，并且失去董事资格。 （3）当有3票赞成时，他投什么都无所谓，提 议都通过，他失去董事资格。
• 为什么会是全票通过，分析如下： • 1. 对于最后一个董事来说： • （1）如果有4票赞成，提议将通过。他肯定会投赞成 票，这样可以和其他3人平分51%的股份，也就是得到 12.75%的公司股份，而投反对票什么都没有，他投赞 成票是必然的。这样的结果是海贝壳先生控制董事会， 其他4名董事失去董事资格，但都得到了12.75%的公司 股份。 • （2）如果有3票赞成，提议将通过。他投反对票什么 都没有。而投赞成票他可以和其他投赞成票的2人平分 51%的股份，也就是得到17%的股份。这样的结果是海 贝壳先生控制董事会，投赞成票的3名董事失去董事资 格，并得到了17%的公司股份。投反对票的董事什么都 没有了。
3.对于第i个投票的董事来说：他有2种策略，投反对 票和赞成票。当X>（N-3）/（N+1）时，他肯定会投 赞成票。当X≤（N-3）/（N+1）时，他会投反对票。
因此，提议者要想控制董事会，自己的股份数满足 的条件是X>（N-3）/（N+1）。
• 如果公司不是5人，而是一个不确定的数N （N为奇数）呢？提议者所占公司股份为X， 其他每名董事占公司（1-X）/(N-1)的公 司股份。有没有可能占公司股份为X的那 个董事像海贝壳先生，采用“降落伞”策 略去控制整个董事会呢？
• 1. 对于最后一个董事来说： • （1） 提议通过，在他投票前有大于或等于（N+1） /2人投了赞成票。那他一定会投赞成票。而投赞成 票至少会得到一点补偿，投反对票什么都没有。 • （2） 在他投票之前打成平手，投赞成票和反对票 的人数都是（N-1）/2，他投赞成票还是投反对票， 取决于投赞成票得到的公司股份2X/(N-1)与投反对 票得到公司股份（NX+X+N-3）/(N+1)(N-1)的大小。 当X>（N-3）/（N+1）时，他投赞成票。但X≤（N3）/（N+1）时，他投反对票。 • （3） 提议未通过，在他投票之前已经有大于或等 于（N+1）/2人投了反对票。那他一定会投反对票。
2. 对于倒数第二个董事来说：
•（1）提议通过，在他投票前有大于或等于（N+1）/2人 投了赞成票。那他一定会投赞成票。而投赞成票至少会得 到一点补偿，投反对票什么都没有。 •（2） 在他投票之前有（N-3）/2人投赞成票，（N-1） /2人投反对票时。如果有X>（N-3）/（N+1），他预计到 他如果投赞成票，最后一个董事也肯定会投赞成票，他得 到的收益是2X/(N-1)。如果投反对票，表示提议未通过， 最后一个也投反对票，他得到的收益(NX+3X+N5)/(N+3)(N-1） 。很显然，他会投赞成票。如果有X≤ （N-3）/（N+1），他预计到即使自己投了赞成票，最后 一个董事也会投反对票。因此，他没有选择只能投反对票。
案例：创办人担心，为了避免一个充满敌意的对手在 控制全部股份后，进而控制董事会。规定董事局的选 举过程只能由董事局本身修改。现有5名董事，如果其 中一个董事提出修改董事局架构还是选择方式，无须 得到其他董事成员的支持。但有一个条件。提议的人 必须投他自己的提议一票。投票必须以顺时针次序沿 着董事局会议的圆桌进行。一项提议必须获得董事局 至少50%的选票才能通过（缺席者按反对票计算）。在 董事局只有5名成员的前提下，这就意味着至少得到3 票才能通过。要命的是，任何人若是提交一项提议而 未获通过，他都将失去自己的董事席位和股份。他的 股份将在其他董事之间平均分配。同时，任何一个向 这项提议投了赞成票的董事也会失去他的董事席位和 股份。
• 3.对于第二个投票的董事来说： • （1）当第一个投票股东投赞成票时，他知道不管自己投 什么票，对于倒数第二个董事来说，至少有2票赞成，因 此倒数第二个董事肯定会投赞成票。因此他只能被动选择 投赞成票。 • （2）当第一个投票股东投反对票时，他有2种选择（1） 投反对票。这样的结果是倒数第二个投票的董事肯定会与 最后一个投票的董事合资，都投赞成票，使自己损失董事 资格和12.25%的公司股份。（2）投赞成票。这样的结果 是倒数第二个董事和最后一个董事也会投赞成票，自己虽 然失去董事资格，但得到21.1%的公司股份。因此他会选 择投赞成票。 • 4.对于第一个投票的董事来说：不管自己怎么投，他都 预计到其他3名投票的董事都会投赞成票，因此为了避免 自己的损失，他肯定会投赞成票。 • 5.对于海贝壳先生来说：他已经预计到只要自己采取这 种策略，肯定会全票通过。以51%的股份换取对董事会的 控制。